Метод расчета кавитационного течения в вихревом набегающем потоке

Предложен численно-аналитический метод расчета кавитационного обтекания криволинейного контура произвольно завихренным набегающим потоком. Завихренность, распределенная в потоке непрерывно, заменяется дискретной, сосредоточенной на линиях тока, а течение в каналах, образованных линиями тока, считает...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2005
Автори:	Савченко, Ю.Н., Семенов, Ю.А.
Формат:	Стаття
Мова:	Російська
Опубліковано:	Інститут гідромеханіки НАН України 2005
Онлайн доступ:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/4790
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Метод расчета кавитационного течения в вихревом набегающем потоке / Ю. Н. Савченко, Ю. А. Семенов // Прикладна гідромеханіка. — 2005. — Т. 7, № 2. — С. 54-62. — Бібліогр.: 11 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

_version_	1859656644921655296
author	Савченко, Ю.Н. Семенов, Ю.А.
author_facet	Савченко, Ю.Н. Семенов, Ю.А.
citation_txt	Метод расчета кавитационного течения в вихревом набегающем потоке / Ю. Н. Савченко, Ю. А. Семенов // Прикладна гідромеханіка. — 2005. — Т. 7, № 2. — С. 54-62. — Бібліогр.: 11 назв. — рос.
collection	DSpace DC
description	Предложен численно-аналитический метод расчета кавитационного обтекания криволинейного контура произвольно завихренным набегающим потоком. Завихренность, распределенная в потоке непрерывно, заменяется дискретной, сосредоточенной на линиях тока, а течение в каналах, образованных линиями тока, считается безвихревым. Получены аналитические решения для безвихревого течения в каналах и кавитационного обтекания контура струей конечной ширины, связанные между собой граничными условиями, вытекающими из условий взаимодействия. Численная процедура основывается на методе последовательных приближений и применена для анализа влияния градиента скорости в пограничном слое на параметры кавитационного течения. Показано, что при заданной длине каверны с увеличением толщины пограничного слоя число кавитации и коэффициент сопротивления существенно уменьшаются. Запропоновано чисельно-аналiтичний метод розрахунку кавiтацiйного обтiкання криволiнiйного контура довiльно завихреним набiгаючим потоком. Завихрила, розподiлена у потоцi безперервно, замiнюється дискретною, зосередженою на лiнiях струму, а течiя в каналах, утворених лiнiями струму, вважається безвихревою. Одержанi аналiтичнi рiшення для безвихревої течiї в каналах i кавiтацiйного обтiкання контура струменем кiнцевої ширини, зв'язанi мiж собою граничними умовами, витiкаючими з умов взаємодiї. Чисельна процедура грунтується на методi послiдовних наближень i застосована для аналiзу впливу градiєнта швидкостi в приграничному шарi на параметри кавiтацiйної течiї. Показано, що при заданiй довжинi каверни iз збiльшенням товщини граничного шару число кавiтацiї i коефiцiєнт опору iстотно зменшуються. A numerical-and-analytical method for solving cavity flows in a whirling incidence flow is proposed. The continuous vorticity arbitrary displayed in the flow field is replaced by discreet vortex lines coinciding with stream lines. The flow between these lines is assumed to be vortex free. The problems of the flow in channels formed by stream/vortex lines and the problem of the cavity flow in a jet of a finite width connected each other by the derived interaction conditions are solved by using complex variable theory. The numeric procedure is based on the method of successive approximations and adopted to investigate the effect of the velocity gradient in a boundary layer on parameters of the cavity flow. The presented calculations show that, at some fixed cavity length, the cavity number and drag coefficient decreases with the increase of the boundary layer width.
first_indexed	2025-12-07T13:40:18Z
format	Article
fulltext	ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2005. Том 7, N 2. С. 54 – 62 УДК 532.528 МЕТОД РАСЧЕТА КАВИТАЦИОННОГО ТЕЧЕНИЯ В ВИХРЕВОМ НАБЕГАЮЩЕМ ПОТОКЕ Ю. Н. СА ВЧ Е Н К О, Ю. А. С ЕМЕ Н ОВ Институт гидромеханики НАН Украини, Киев Получено 19.03.2005 Предложен численно-аналитический метод расчета кавитационного обтекания криволинейного контура произволь- но завихренным набегающим потоком. Завихренность, распределенная в потоке непрерывно, заменяется дискре- тной, сосредоточенной на линиях тока, а течение в каналах, образованных линиями тока, считается безвихревым. Получены аналитические решения для безвихревого течения в каналах и кавитационного обтекания контура стру- ей конечной ширины, связанные между собой граничными условиями, вытекающими из условий взаимодействия. Численная процедура основывается на методе последовательных приближений и применена для анализа влияния градиента скорости в пограничном слое на параметры кавитационного течения. Показано, что при заданной длине каверны с увеличением толщины пограничного слоя число кавитации и коэффициент сопротивления существенно уменьшаются. Запропоновано чисельно-аналiтичний метод розрахунку кавiтацiйного обтiкання криволiнiйного контура довiльно завихреним набiгаючим потоком. Завихрила, розподiлена у потоцi безперервно, замiнюється дискретною, зосередже- ною на лiнiях струму, а течiя в каналах, утворених лiнiями струму, вважається безвихревою. Одержанi аналiтичнi рiшення для безвихревої течiї в каналах i кавiтацiйного обтiкання контура струменем кiнцевої ширини, зв’язанi мiж собою граничними умовами, витiкаючими з умов взаємодiї. Чисельна процедура грунтується на методi послiдовних наближень i застосована для аналiзу впливу градiєнта швидкостi в приграничному шарi на параметри кавiтацiй- ної течiї. Показано, що при заданiй довжинi каверни iз збiльшенням товщини граничного шару число кавiтацiї i коефiцiєнт опору iстотно зменшуються. A numerical-and-analytical method for solving cavity flows in a whirling incidence flow is proposed. The continuous vorticity arbitrary displayed in the flow field is replaced by discreet vortex lines coinciding with stream lines. The flow between these lines is assumed to be vortex free. The problems of the flow in channels formed by stream/vortex lines and the problem of the cavity flow in a jet of a finite width connected each other by the derived interaction conditions are solved by using complex variable theory. The numeric procedure is based on the method of successive approximations and adopted to investigate the effect of the velocity gradient in a boundary layer on parameters of the cavity flow. The presented calculations show that, at some fixed cavity length, the cavity number and drag coefficient decreases with the increase of the boundary layer width. ВВЕДЕНИЕ Неравномерный набегающий поток формируется в результате проявления вязкости жидкости и обла- дает завихренностью, интенсивность которой воз- растает с увеличением градиента скорости, что имеет место в пограничном слое обтекаемого тела. В некоторых случаях размеры области завихрен- ности могут быть соизмеримы либо превосходить размеры обтекаемого тела. В этом случае требуе- тся учитывать влияние завихренности набегающе- го потока на гидродинамические характеристики кавитационного течения. Теоретическое изучение кавитационных течений в завихренном набегающем потоке – достаточно трудная задача, так как течение не является по- тенциальным, и применение известных методов расчета кавитционных течений, основанных на те- ории потенциала и теории аналитических функ- ций, не представляется возможным. Исключение составляет класс задач с постоянной завихренно- стью набегающего потока. Предположение о по- стоянной завихренности потока упрощает поста- новку задачи и позволяет рассмотреть течение в виде суперпозиции потенциального безвихрево- го течения и течения, вызванного одиночным ви- хрем. В такой постановке задачи завихренность течения проявляется в записи граничных условий для потенциальной составляющей течения и по- зволяет использовать математический аппарат ре- шения обратных краевых задач, в значительной степени базирующийся на теории функций ком- плексного переменного. Теоретическому исследо- ванию влияния постоянной завихренности пото- ка на геометрические и гидродинамические ха- рактеристики течения посвящены работы [1 – 7]. В большинстве работ авторы рассматривают ли- нейную постановку задачи и формулируют сме- шанную краевую задачу для полуплоскости, реше- ние которой находится с использованием формулы Келдыша–Седова [8]. Задача сводится к решению интегрального уравнения для функции, определя- ющей форму каверны и входящей в граничные условия. В работах [1, 2] рассмотрена линейная задача кавитационного обтекания клина линейно скошенным потоком жидкости на бесконечности 54 c© Ю. Н. Савченко, Ю. А. Семенов, 2005 ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2005. Том 7, N 2. С. 54 – 62 0 1 i i+1 N N+1U Рис. 1. Физическая модель кавитационного обтекания криволинейного контура тела вихревым потоком по схеме Тулина. Используя данный подход, в ра- ботах [3 – 6] рассмотрены решения различных за- дач со свободной границей. Решение нелинейной задачи струйного обтекания клина равномерно за- вихренным потоком представлено в работе [7]. Чи- сленные результаты, полученные для линейной и нелинейной постановки задачи, показывают, что равномерная завихренность набегающего потока оказывает слабое влияние на коэффициент сопро- тивления, однако существенным образом влияет на размеры каверн. В реальных течениях завихренность на бесконе- чности вверх по потоку существенно неравномер- на. Например, в турбулентном пограничном слое завихренность изменяется от нуля на внешней гра- нице пограничного слоя до некоторого максималь- ного значения вблизи тела. Предельными случа- ями очень малой и очень большой толщины по- граничного слоя являются равномерные течения, однако с разными значениями скорости набегаю- щего потока. Поэтому, если толщина пограничного слоя соизмерима с размерами тела, то можно ожи- дать существенного влияния завихренности на ги- дродинамические характеристики кавитационного течения. Для набегающего потока, завихренного нерав- номерно, теоретические исследования в литерату- ре не представлены. В настоящей работе предло- жена физическая модель течения, в которой не- прерывно распределенная в потоке завихренность заменяется дискретной и сосредоточенной на ли- ниях тока. В такой модели течение в канале, обра- зованном линиями тока, становится безвихревым, а профиль скорости набегающего потока меняется ступенчато от слоя к слою. При увеличении числа рассматриваемых слоев величина разрыва скоро- сти уменьшается и течение в пределе стремится к непрерывно завихренному. Такая физическая мо- дель позволяет, с одной стороны, использовать хо- рошо разработанные методы теории потенциаль- ных течений, с другой стороны – количественно оценить степень влияния завихренности и ее не- равномерность на гидродинамические и геометри- ческие параметры течения. В качестве элементов, составляющих полное решение задачи, использую- тся решения задач кавитационного обтекания кри- волинейного препятствия струей конечной шири- ны и течения струи вдоль криволинейной поверх- ности. 1. ФИЗИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ТЕЧЕНИЯ Поток завихренной идеальной жидкости рас- сматривается в виде дискретных слоев, граница- ми которых являются линии тока либо твердая граница. Профиль скорости набегающего потока в каждом слое принимается равномерным и меняю- щимся дискретно от слоя к слою. На границе двух слоев имеет место разрыв скорости, соответству- ющий изменению среднеинтегральной скорости в набегающем вихревом потоке, а давление меняе- тся непрерывно. Так как завихренность набегаю- щего потока в слое отсутствует, а жидкость счита- ется идеальной, то для расчета течения в каждом слое можно применить модель безвихревого тече- ния идеальной жидкости. Таким образом, непре- рывная завихренность набегающего потока заме- няется дискретными вихревыми линиями, совпа- дающими с линиями тока и образующими грани- цы слоев, как показано на рис. 1. С увеличением числа слоев N , что равнозначно уменьшению ши- рины каждого слоя δi, i = 0, N , скачок изменения скорости на границе слоя уменьшается, то есть в пределе при N → ∞ течение будет соответство- вать заданному течению с непрерывной завихрен- ностью. Сделанные предположения сводят задачу Ю. Н. Савченко, Ю. А. Семенов 55 ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2005. Том 7, N 2. С. 54 – 62 B B C CA z0 B O B C i u i a) b) h D lc x s Рис. 2. Схема кавитационного обтекания криволинейного контура струей конечной ширины: a – физическая область течения; b – область параметра кавитационного обтекания тела произвольно зави- хренным потоком к следующим трем типам задач безвихревого течения идеальной жидкости. 1. Кавитационное обтекание тела струей коне- чной ширины с заданным распределением давления на внешней границе (слой “0” на рис. 1). 2. Течение струи конечной ширины вдоль криво- линейной поверхности с заданным распреде- лением давления на свободной границе (слои 1 − N). 3. Течение неограниченного потока вдоль задан- ной криволинейной поверхности (слой N +1). Из решения первой задачи, соответствующей нулевому кавитационному слою, можно опреде- лить форму внешней границы струи по заданному распределению давления на ней. Эта граница рас- сматривается как твердая поверхность для слоя i = 1. Решая задачу 2 для i-го слоя, можно устано- вить форму ее внешней (свободной) границы, ко- торая рассматривается как твердая граница для (i+1)-го слоя. Решая задачу 3 для (N +1)-го слоя полубесконечной ширины, можно найти распреде- ление скорости на твердой поверхности, а соответ- ственно и распределение давления на ней. Это дав- ление должно совпадать с распределением давле- ния на свободной границе для слоя N . Двигаясь в обратном направлении от внешнего слоя к ну- левому слою кавитационного течения, можно по- лучить распределение давления на свободных гра- ницах в каждом слое. Последовательный расчет в прямом и обратном направлении повторяется до достижения сходимости итерационного процесса. Нетрудно заметить, что эффективность предло- женного численного метода зависит от разработки эффективных в вычислительном отношении реше- ний задач 1 – 3. Следуя методам Жуковского [9] и Чаплыгина [10], решение перечисленных выше за- дач ищется путем построения выражения компле- ксной скорости dW/dz и производной комплексно- го потенциала dW/du в области параметрического переменного u. Если эти выражения известны, то зависимость между областью параметра и физи- ческой плоскостью течения определяется отобра- жающей функцией z(u) = ∫ u 0 dW du / dW dz du + z0, (1) где z0 – координата точки в физической плоско- сти, в которую отображается точка u = 0. Методы Жуковского и Чаплыгина позволяют построить выражения комплексной скорости и производной комплексного потенциала для задач стационарно- го обтекания тел с прямолинейными границами и постоянной скоростью на свободной границе. Рас- сматриваемые в данной работе задачи несколько сложнее, так как твердая граница криволинейна, а на внешней (свободной) границе модуль скорости (давление) не является постоянной величиной. Ме- тод построения выражения комплексной скорости, учитывающий данные особенности, представлен в работе [11]. 2. КОМПЛЕКСНЫЕ ПОТЕНЦИАЛЫ 2.1. Кавитационное обтекание криволинейного контура струей конечной ширины На рис. 2, а представлена схема течения на “нуле- вом” кавитационном слое. Для упрощения записи номер слоя при переменных опущен. Струя иде- альной жидкости шириной h и имеющая скорость на бесконечности v∞, направлена вдоль твердой 56 Ю. Н. Савченко, Ю. А. Семенов ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2005. Том 7, N 2. С. 54 – 62 границы BDO. На внешней границе струи давле- ние меняeтся в соответствии с заданной функцией p(s), где s – длина дуги вдоль контура. Каверна образуется в точке O и замкнута на криволиней- ный контур AC, на котором задан модуль скоро- сти v∗(s). Форма контура замыкания каверны AC, как и форма внешней границы струи, неизвестна и должна быть определена из решения задачи. В качестве области параметра выбран первый ква- дрант, действительная ось которого соответству- ет твердой границе BDO. Интервал мнимой оси 0 < η < 1 соответствует контуру замыкания кавер- ны AC, а интервал 1 < η < ∞ – контуру внешней границы струи B′C ′. Соответствие точек области параметра и физической плоскости ясно из рис. 2. Форма границы BDO задана функцией угла на- клона касательной β(s). На верхней границе B′C ′ модуль скорости vup(s) изменяется в соответствии с заданным давлением p(s), а на контуре кавер- ны модуль скорости v0 постоянен и определяется числом кавитации σ0 : v0 = v∞ √ 1 + σ0, σ0 = 2(p∞ − pc) ρu2 ∞ = σv2 ∞ , (2) где v∞ = u∞/U – безразмерная скорость набега- ющего потока; σ – число кавитации, определенное по скорости внешнего безвихревого течения U ; pc – давление в каверне. Давление на бесконечности справа и слева одинаково, поэтому скорость вдоль контура AC изменяется от значения v0 в точке A до значения v∞ в точке C. Выражение комплексной скорости, удовлетво- ряющее заданным граничным условиям, имеет вид [11]: dw dz = v0 exp  − i π ∞ ∫ 0 d lnv dη ln ( iη − u iη + u ) dη− (3) − 1 π ∞ ∫ 0 dβ dξ ln ( ξ − u ξ + u ) dξ − iβ0   , где β0 – угол наклона вектора скорости в точке O; v(η) – модуль скорости вдоль свободных границ OC и C ′B′. Подставляя в выражение (3) u = iη, можно видеть, что вдоль мнимой оси области па- раметра \|dw/dz\| = v(η), где v(η) = v [s(η)] – задан- ная функция модуля скорости. Подставляя в (3) u = ξ, можно видеть, что arg (dw/dz) = −β(ξ), где β(ξ) = β [s(ξ)] – заданный угол наклона касатель- ной к твердой границе OB. Функции s = s(η) и s = s(ξ) определены ниже через отображающую функцию z = z(u). Комплексный потенциал течения имеет логарифмические особенности в точке C (u = i), соответствующей стоку конечного расхода q = v∞h, и в точке B (u = ∞ ), соответствующей источнику такой же интенсивности. Применяя метод Чаплыгина для построения производ- ной комплексного потенциала, можно получить следующие выражения: dw du = M u u2 + 1 , w(u) = q π ln ( u2 + 1 ) , (4) где M = 2q/π – масштабный коэффициент. Под- ставляя выражения (3) и (4) в (1), можно найти производную отображающей функции z = z(u), а также функции s = s(η) и s = s(ξ): dz du = M v0 u u2 + 1 exp   i π ∞ ∫ 0 d lnv dη ln ( iη − u iη + u ) dη  × × exp   1 π ∞ ∫ 0 dβ dξ ln ( ξ − u ξ + u ) dξ + iβ0   , (5) s(η) = − η ∫ 0 ∣ ∣ ∣ ∣ dz du ∣ ∣ ∣ ∣ u=iη dη, s(ξ) = − η ∫ 0 ∣ ∣ ∣ ∣ dz du ∣ ∣ ∣ ∣ u=ξ dξ. (6) Координата длины дуги вдоль контура возраста- ет при движении вдоль контура против часовой стрелки. Функции v(η) и β(ξ) находятся из реше- ния интего-дифференциальных уравнений d lnv dη = d lnv ds ds dη , dβ dξ = dβ ds ds dξ . (7) Система интего-дифференциальных уравнений (7) решается методом последовательных прибли- жений, k+1 итерация определяется выражениями ( d lnv dη )k+1 = d lnv ds ( ds dη )k , ( dβ dξ )k+1 = dβ ds ( ds dξ )k , где v(s) и β(s) – заданные функции. Для численного решения интегро-дифференци- альных уравнений на действительной оси обла- сти параметра задаются фиксированные точки ξj, j = 1, Kξ, а на мнимой оси – фиксированные точ- ки ηj, j = 1, Kη. На каждом интервале (ξj−1, ξj) и (ηj−1, ηj) производные dβ/dξ и d lnv/dη интерпо- лируются линейно, что позволяет получить ана- литические выражения интегралов, входящих в Ю. Н. Савченко, Ю. А. Семенов 57 ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2005. Том 7, N 2. С. 54 – 62 выражения (3) и (5), и существенно сократить объем вычислений. Решение задачи кавитационного течения в рам- ках модели идеальной жидкости не единственно в силу парадокса Бриллуэна. В используемой схе- ме замыкания каверны это проявляется в том, что функция модуля скорости v∗(s), определяющая форму контура замыкания каверны, может быть выбрана произвольным образом. Выбирая фун- кцию v∗(s), симметричную относительно полови- ны длины каверны, s = −lc/2, можно получить симметричную картину течения. Для этого значе- ния функции v∗(s) определяются путем вычисле- ния модуля скорости на твердой границе ODB на каждой итерации: v∗(s(η) − sc) = ∣ ∣ ∣ ∣ dw dz ∣ ∣ ∣ ∣ u=ξ . (8) На рис. 3 представлены расчет обтекания дуги окружности с углом π/2 струей ширины H/L = 1 (сплошная линия) и H/L = 2 (штриховая линия), где L – длина дуги, принятая в качестве харак- терного линейного размера. Давление на внешней границе струи постоянно и соответствует числу кавитации σ = 1.5. Как видно из рисунка, распре- деление скорости на контуре замыкания, задан- ное выражением (8), приводит к симметричному относительно половины длины каверны течению, то есть контур замыкания также имеет форму ду- ги окружности. Аналогично можно видеть, что с увеличением ширины струи размеры каверны уве- личиваются. На рис. 4 представлены зависимости числа кави- тации от длины каверны для различных значений ширины струи. При фиксированной длине кавер- ны число кавитации увеличивается с увеличением ширины струи. 2.2. Течение струи конечной ширины вдоль криволинейной поверхности Верхнюю границу струи можно рассматривать как твердую границу для следующего в попере- чном направлении слоя. Скорость на бесконечно- сти в слое i может быть не равна скорости на бе- сконечности в нижнем слое i − 1. Это позволя- ет учесть неравномерность набегающего потока. На рис. 5 приведена схема течения струи вдоль криволинейной поверхности. Нижняя граница для слоя i рассматривается как твердая криволиней- ная граница, форма которой определяется из ре- шения задачи для слоя i − 1. На верхней границе задается модуль скорости (давление). Обозначая -2 -1 0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 Y /L X/L Рис. 3. Контуры каверны и внешней границы струи при обтекании дуги окружности с углом δ = π/2 струей ширины h/L = 1 (сплошная линия) и h/L = 2(штриховая линия) 0 2 4 6 8 0 1 2 3 4 5 6 3.01.5 1.0 H/L=0.5 lc/L Рис. 4. Зависимости числа кавитации от длины каверны для струй различной ширины B B O O z h s i i-1 i+1 Рис. 5. Схема течения струи конечной ширины вдоль криволинейной поверхности 58 Ю. Н. Савченко, Ю. А. Семенов ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2005. Том 7, N 2. С. 54 – 62 точками O и B бесконечно удаленную точку те- чения справа и слева соответственно и применяя метод построения выражения комплексной скоро- сти [11], можно получить выражение комплексной скорости для слоя i: dw dz = v∞ exp  − i π ∞ ∫ 0 d lnvup dη ln ( iη − u iη + u ) dη  × (9) × exp  − 1 π ∞ ∫ 0 dβlw dξ ln ( ξ − u ξ + u ) dξ   , где v∞ = u∞/U – безразмерная скорость на беско- нечности справа; vup(η) и βlw(ξ) – модуль скорости на верхней границе и угол наклона касательной к оси X на нижней границе слоя i, как функции па- раметрического переменного (рис. 2,b). В выраже- нии (9) и далее номер слоя i не приводится. Комплексный потенциал течения имеет логари- фмические особенности в точках O (u = 0) и в точке B (u = ∞), соответствующие стоку и исто- чнику конечного расхода q = v∞h. Применяя ме- тод Жуковского для построения производной ком- плексного потенциала, можно получить следую- щее выражение: w(u) = 2q π ln (u) . (10) Функции vup(η) и βlw(ξ) определяются из решения интегро-дифференциальных уравнений, вид кото- рых совпадает с уравнениями (7). Пространствен- ная координата s = s(ξ) вдоль твердой поверхно- сти и вдоль свободной границы s = s(η) опреде- ляется выражениями (6), в которых производная отображающей функции с учетом выражений (9) и (10) принимает вид dz du = 2q π v∞ exp   i π ∞ ∫ 0 d lnvup dη ln ( iη − u iη + u ) dη  × (11) × exp   1 π ∞ ∫ 0 dβlw dξ ln ( ξ − u ξ + u ) dξ   . Интегрируя выражение (11) вдоль мнимой оси области параметра, можно определить контур верхней границы струи на слое i. 2.3. Течение неограниченного потока вдоль за- данной криволинейной поверхности Если ширина струи h в предыдущей задаче стре- мится к бесконечности, то в бесконечно удаленной точке будет находится источник бесконечного ра- схода. В этом случае, следуя методу Жуковского, можно получить выражение производной компле- ксного потенциала в виде dw du = Mu, (12) где M – масштабный коэффициент. Выражение комплексной скорости можно полу- чить из выражения (9), полагая, что скорость на свободной границе постоянна и равна скорости на бесконечности: dw dz = v∞ exp   1 π ∞ ∫ 0 dβlw dξ ln ( ξ − u ξ + u ) dξ   . (13) Выражения (12) и (13) позволяют найти прои- зводную отображающей функции, dz/du, для течения неограниченного потока вдоль задан- ной криволинейной поверхности. Пространствен- ная координата s = s(ξ) вдоль криволиней- ной поверхности определяется выражением (6), а функция βlw(ξ) находится из решения интегро- дифференциального уравнения (7). 3. КАВИТАЦИОННОЕ ТЕЧЕНИЕ В НЕРАВ- НОМЕРНОМ НАБЕГАЮЩЕМ ПОТОКЕ Профиль скорости неравномерного набегающего потока в безразмерном виде можно аппроксими- ровать функцией v∞(y) = u∞(y) U = = 1 U { u0 + (U − u0) ( y δ )n , y < δ, U, y ≥ δ, (14) где U – скорость внешнего равномерного потенци- ального потока; δ – толщина пограничного слоя; u0 – скорость вблизи твердой границы; n – формпа- раметр профиля скорости. Безразмерный расход и скорость набегающего потока для слоя i с учетом выражения (13) определяются выражениями qi = 1 U yi+1 ∫ yi u∞(y)dy, v∞i = qi hi , где hi – ширина слоя i на бесконечности. Условия взаимодействия верхней границы слоя (i − 1) и нижней границы слоя i включают равен- ство углов наклона векторов скорости и распреде- ления давления вдоль границы, то есть γi−1 = βi, pup i−1 = plw i , (15) Ю. Н. Савченко, Ю. А. Семенов 59 ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2005. Том 7, N 2. С. 54 – 62 где γi−1 = arg ( dz dη ) i−1 – угол наклона свободной границы слоя i − 1; βi – угол наклона твердой границы слоя i; pup i−1, plw i – давления при подходе к границе из слоя i и i−1 соответственно. Записывая интеграл Бернулли для соседних слоев, p∞+ρ v2 ∞(i−1) 2 = pup i−1+ρ v2 i−1 2 , p∞+ρ v2 ∞i 2 = plw i +ρ v2 i 2 , из условия (13) можно найти связь между скоро- стью на верхней границе слоя (i − 1) и скоростью на нижней границе в слое i: v2 up i−1 = v2 lw i + v2 ∞ i−1 − v2 ∞ i. (16) Для равномерного набегающего потока v∞i−1 = = vi∞, следовательно, v2up i−1 = v2lw i . Таким обра- зом, при подходе к границе сверху и снизу имеет место равенство как давлений, так и скоростей. С целью тестирования программы расчета и оценки точности вычислений на рис. 6 приведены контур внешней границы потока и число кавитации при обтекании четверти дуги окружности однородным потоком шириной h/L = 3 для двух вариантов расчета. Сплошными линиями показаны границы (линии тока) совместного расчета двух слоев; пун- ктирная линия соответствует расчету для одного слоя. Длина контура каверны задана sc/L = 2. Ко- личество точек дискретизации верхней и нижней границы струи принималось одинаковым и рав- ным Kξ = Kη = 400. Полученные значения чис- ла кавитации в обоих вариантах отличаются менее чем на 0.002, а контуры внешней границы потока практически совпадают. 0 1 2 3 4 -2 -1 0 1 2 3 4 X/L Y /L =1.810 =1.813 Рис. 6. Линии тока при обтекании дуги окружности потоком шириной h/L = 3: сплошные линии - совместный расчет двух слоев; пунктир - верхняя граница потока для одного слоя Эффективность предложенного численно- аналитического метода определяется требуемой степенью дискретизации толщины пограничного слоя, при которой выбор числа слоев N потен- циального течения не оказывает существенного влияния на результаты расчетов. На рис. 7 показано влияние числа слоев N на число кавитации при заданной длине контура ка- верны sc/L = 2 для различных значений толщи- ны пограничного слоя. Можно видеть, что доста- точно разделить пограничный слоя на 3–4 подслоя потенциального течения, чтобы определить пара- метры течения, соответствующие предельному те- чению с непрерывным изменением скорости в по- граничном слое. Также можно видеть, что увели- чение толщины пограничного слоя не оказывает заметного влияния на требуемое число дискрети- зации. 0 0.4 0.8 1.2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 N /L =1 2 3 Рис. 7. Влияние степени дискретизации пограничного слоя на число кавитации при длине контура каверны sc/L = 2 для различной толщины пограничного слоя При фиксированной длине контура каверны с увеличением толщины пограничного слоя число кавитации, определенное по скорости внешнего равномерного потока, уменьшается. Это можно объяснить тем, что в соответствии с выражени- ем (12) с увеличением толщины пограничного слоя уменьшается среднеинтегральная скорость и, сле- довательно, полное давление потока вблизи тела. На рис. 8 показаны лини тока при кавитацион- ном обтекании дуги окружности для двух значе- ний толщины пограничного слоя. При толщине по- граничного слоя δ/L = 3 и длине контура кавер- ны sc/L = 2 расчетное значение числа кавитации σ = 0.24. При той же длине контура каверны и то- лщине пограничного слоя δ/L = 1 значение числа кавитации σ = 0.61. Из уравнения Бернулли, записанного для “нуле- вого” кавитационного слоя и внешнего потенци- ального течения, можно найти коэффициент дав- 60 Ю. Н. Савченко, Ю. А. Семенов ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2005. Том 7, N 2. С. 54 – 62 0 1 2 3 4 -2 -1 0 1 2 3 4 X/L Y /L = 0.24 /L = 3 a 0 1 2 3 4 -2 -1 0 1 2 3 4 X/L Y /L = 0.61 L = 1 b Рис. 8. Линий тока при длине контура каверны sc/L = 2 и относительной толщине пограничного слоя: а – δ/L = 3, σ = 0.24; b – δ/L = 1, σ = 0.61 ления на теле: Cn = p − p∞ 1 2ρU2 = v2 ∞0 + σ − v2, где v∞0 и v – безразмерная скорость на бесконе- чности для “нулевого” слоя и на теле соответ- ственно. Коэффициент сопротивления вычислял- ся по формуле Cx = 1 h∗ b ∫ 0 Cn [s(ξ)] sin β [s(ξ)] ds dξ dξ, (17) где высота дуги окружности h∗ = L ∫ 0 sin β(s)ds; b – координата действительной оси области парамет- ра, соответствующая точке сопряжения дуги окру- жности с прямолинейной границей. Влияние толщины пограничного слоя на чис- ло кавитации и коэффициент сопротивления по- казано на рис. 9. Можно видеть, что при толщине 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 Cx 4 sc/L=2 , C x /L Рис. 9. Зависимости числа кавитации и коэффициента сопротивления от толщины пограничного слоя пограничного слоя δ/L > 0.5, вследствие малого вклада динамической составляющей полного дав- ления, значения числа кавитации и коэффициента сопротивления практически совпадают. Для достаточно толстого пограничного слоя скорости значения v∞0 и v намного меньше 1, что можно видеть также из рис. 8, а. В этом случае из выражения (15) следует, что коэффициент дав- ления Cn ≈ σ. При толщине пограничного слоя δ → 0 значения числа кавитации и коэффициен- та сопротивления стремятся к соответствующим значениям для потенциального безвихревого обте- кания дуги окружности. 4. ВЫВОДЫ Представлена физическая модель двумерного ка- витационного обтекания тел потоком с произволь- ной завихренностью. Модель основана на замене непрерывно распределенной завихренности дис- кретной завихренностью, сосредоточенной на ли- ниях тока. Это позволяет вместо решения уравне- ния Пуассона для области непрерывно завихрен- ного течения решать уравнения Лапласса в по- добластях безвихревого течения и воспользова- ться для этого аппаратом теории функций компле- ксного переменного. В представленном численно- аналитическом методе, как составные элементы, использованы аналитические решения задач кави- тационного течения в струе и течение струи вдоль криволинейной поверхности. Метод позволяет получить количественную оценку влияния толщины пограничного слоя на параметры кавитационного течения. Показано, что увеличение толщины пограничного слоя при- водит к существенному снижению числа кавита- Ю. Н. Савченко, Ю. А. Семенов 61 ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2005. Том 7, N 2. С. 54 – 62 ции и коэффициента сопротивления тела при за- данной длине каверны. При толщине пограни- чного слоя, большей высоты обтекаемого препят- ствия, значения числа кавитации и коэффициента сопротивления практически совпадают. 1. Котляр Л. М., Лазарев В. А. Кавитационное об- текание клина завихренным потоком // Труды семинара по краевым задачам.– Казан. гос. ун-т, Казань.– 1971.– С. 15-25. 2. Street R. L. A linearized Theory for Rotational Super-Cavitating Flow // J. of Fluid Mech.– 1963.– V. 17, part 4.– P. 513-545. 3. Васильев В.Н., Галанин А.В.Влияние завихрен- ности потока на геометрические и гидродинами- ческие характеристики кавитирующего клина // Струйные и кавитационные течения и современ- ные вопросы теории управления.–Чуваш. ун-т. Чебоксары.–1978.–C. 3–18. 4. Васильев В.Н. Кавитационное обтекание криволи- нейной дуги завихренным потоком // Нестацио- нарное движение тел в жидкости.– Чуваш. ун-т. Чебоксары.– 1979.– С. 3-15. 5. Васильев В. Н. Кавитационное обтекание симме- тричных тел завихренным потоком // Динамика сплошной среды со свободными поверхностями.– Чуваш. ун-т. Чебоксары.– 1980.– С. 38-46. 6. Васильев В. Н. Кавитационное обтекание пластин- ки, перпендикулярной твердой стенке, завихрен- ным потоком // Динамика сплошных сред с грани- цами раздела.– Чуваш. ун-т. Чебоксары.– 1983.– С. 26-34. 7. Буров А. В. Струйное обтекание клина равномер- но завихренным потоком // Гидродинамика боль- ших скоростей.– Чуваш. ун-т. Чебоксары.– 1985.– С. 22-24. 8. Седов Л. И. Плоские задачи гидродинамики и аэродинамики.– М.: Наука, 1980.– 448 с. 9. Жуковский Н. Е.Видоизменение метода Кирхгофа для определения движения жидкости в двух изме- рениях при постоянной скорости, данной на неи- звестной линии тока // Матем. cборник.– 1890.– т. XV. 10. Гуревич М.И. Теория струй идеальной жидкости.– М.: Наука, 1979.– 536 с. 11. Семенов Ю.А. Комплексный потенциал нестацио- нарного течения со свободной границей // Вестник Херсонского университета.– Херсон.– 2003, Том 2.– С. 384 - 387. 62 Ю. Н. Савченко, Ю. А. Семенов
id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-4790
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
issn	1561-9087
language	Russian
last_indexed	2025-12-07T13:40:18Z
publishDate	2005
publisher	Інститут гідромеханіки НАН України
record_format	dspace
spelling	Савченко, Ю.Н. Семенов, Ю.А. 2009-12-23T16:40:59Z 2009-12-23T16:40:59Z 2005 Метод расчета кавитационного течения в вихревом набегающем потоке / Ю. Н. Савченко, Ю. А. Семенов // Прикладна гідромеханіка. — 2005. — Т. 7, № 2. — С. 54-62. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. 1561-9087 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/4790 532.528 Предложен численно-аналитический метод расчета кавитационного обтекания криволинейного контура произвольно завихренным набегающим потоком. Завихренность, распределенная в потоке непрерывно, заменяется дискретной, сосредоточенной на линиях тока, а течение в каналах, образованных линиями тока, считается безвихревым. Получены аналитические решения для безвихревого течения в каналах и кавитационного обтекания контура струей конечной ширины, связанные между собой граничными условиями, вытекающими из условий взаимодействия. Численная процедура основывается на методе последовательных приближений и применена для анализа влияния градиента скорости в пограничном слое на параметры кавитационного течения. Показано, что при заданной длине каверны с увеличением толщины пограничного слоя число кавитации и коэффициент сопротивления существенно уменьшаются. Запропоновано чисельно-аналiтичний метод розрахунку кавiтацiйного обтiкання криволiнiйного контура довiльно завихреним набiгаючим потоком. Завихрила, розподiлена у потоцi безперервно, замiнюється дискретною, зосередженою на лiнiях струму, а течiя в каналах, утворених лiнiями струму, вважається безвихревою. Одержанi аналiтичнi рiшення для безвихревої течiї в каналах i кавiтацiйного обтiкання контура струменем кiнцевої ширини, зв'язанi мiж собою граничними умовами, витiкаючими з умов взаємодiї. Чисельна процедура грунтується на методi послiдовних наближень i застосована для аналiзу впливу градiєнта швидкостi в приграничному шарi на параметри кавiтацiйної течiї. Показано, що при заданiй довжинi каверни iз збiльшенням товщини граничного шару число кавiтацiї i коефiцiєнт опору iстотно зменшуються. A numerical-and-analytical method for solving cavity flows in a whirling incidence flow is proposed. The continuous vorticity arbitrary displayed in the flow field is replaced by discreet vortex lines coinciding with stream lines. The flow between these lines is assumed to be vortex free. The problems of the flow in channels formed by stream/vortex lines and the problem of the cavity flow in a jet of a finite width connected each other by the derived interaction conditions are solved by using complex variable theory. The numeric procedure is based on the method of successive approximations and adopted to investigate the effect of the velocity gradient in a boundary layer on parameters of the cavity flow. The presented calculations show that, at some fixed cavity length, the cavity number and drag coefficient decreases with the increase of the boundary layer width. ru Інститут гідромеханіки НАН України Метод расчета кавитационного течения в вихревом набегающем потоке Method for solving a cavity flow in vortex mainstream Article published earlier
spellingShingle	Метод расчета кавитационного течения в вихревом набегающем потоке Савченко, Ю.Н. Семенов, Ю.А.
title	Метод расчета кавитационного течения в вихревом набегающем потоке
title_alt	Method for solving a cavity flow in vortex mainstream
title_full	Метод расчета кавитационного течения в вихревом набегающем потоке
title_fullStr	Метод расчета кавитационного течения в вихревом набегающем потоке
title_full_unstemmed	Метод расчета кавитационного течения в вихревом набегающем потоке
title_short	Метод расчета кавитационного течения в вихревом набегающем потоке
title_sort	метод расчета кавитационного течения в вихревом набегающем потоке
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/4790
work_keys_str_mv	AT savčenkoûn metodrasčetakavitacionnogotečeniâvvihrevomnabegaûŝempotoke AT semenovûa metodrasčetakavitacionnogotečeniâvvihrevomnabegaûŝempotoke AT savčenkoûn methodforsolvingacavityflowinvortexmainstream AT semenovûa methodforsolvingacavityflowinvortexmainstream

Метод расчета кавитационного течения в вихревом набегающем потоке

Репозитарії

Схожі ресурси