Симметрии уравнений пограничного слоя
Рассмотрено приложение групп симметрий дифференциальных уравнений (групп Ли) к анализу задач течения в пограничном слое. Анализ проведен как для ламинарных, так и для турбулентных потоков. Показано наличие непрерывных и дискретных симметрий. Приведены примеры для различных моделей турбулентности. Ро...
Saved in:
| Date: | 2005 |
|---|---|
| Main Authors: | , , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут гідромеханіки НАН України
2005
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/4794 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Симметрии уравнений пограничного слоя / А.А. Авраменко, Б.И. Басок, А.И. Тыринов // Прикладна гідромеханіка. — 2005. — Т. 7, № 3-4. — С. 4-9. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859832223559057408 |
|---|---|
| author | Авраменко, А.А. Басок, Б.И. Тыринов, А.И. |
| author_facet | Авраменко, А.А. Басок, Б.И. Тыринов, А.И. |
| citation_txt | Симметрии уравнений пограничного слоя / А.А. Авраменко, Б.И. Басок, А.И. Тыринов // Прикладна гідромеханіка. — 2005. — Т. 7, № 3-4. — С. 4-9. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| description | Рассмотрено приложение групп симметрий дифференциальных уравнений (групп Ли) к анализу задач течения в пограничном слое. Анализ проведен как для ламинарных, так и для турбулентных потоков. Показано наличие непрерывных и дискретных симметрий. Приведены примеры для различных моделей турбулентности.
Розглянуто застосування груп симетрiй диференцiальних рiвнянь (груп Лi) до аналiзу задач течiї в пограничному шарi. Аналiз проведений як для ламiнарних, так i для турбулентних струменiв. Показано наявнiсть безперервних i дискретних симетрiй. Наведенi приклади для рiзних моделей турбулентностi.
The application of symmetries groups of the differential equations (Lie groups) to the analysis of problems of boundary-layer flow is surveyed. The analysis is conducted both for laminar, and for turbulent streams. The presence of continuous and discrete symmetries is shown. The examples for different models of turbulence are given.
|
| first_indexed | 2025-12-07T15:32:39Z |
| format | Article |
| fulltext |
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2005. Том 7(79), N 3-4. С. 4 – 9 НАУКОВI СТАТТI
УДК 532.517.4
CИММЕТРИИ УРАВНЕНИЙ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ
А. А. А В РА МЕН К О, Б. И. БА СО К, А. И. Т ЫР И Н ОВ
Институт технической теплофизики НАН Украины, Киев
Получено 14.12.2004
Рассмотрено приложение групп симметрий дифференциальных уравнений (групп Ли) к анализу задач течения в
пограничном слое. Анализ проведен как для ламинарных, так и для турбулентных потоков. Показано наличие
непрерывных и дискретных симметрий. Приведены примеры для различных моделей турбулентности.
Розглянуто застосування груп симетрiй диференцiальних рiвнянь (груп Лi) до аналiзу задач течiї в пограничному
шарi. Аналiз проведений як для ламiнарних, так i для турбулентних струменiв. Показано наявнiсть безперервних i
дискретних симетрiй. Наведенi приклади для рiзних моделей турбулентностi.
The application of symmetries groups of the differential equations (Lie groups) to the analysis of problems of boundary-
layer flow is surveyed. The analysis is conducted both for laminar, and for turbulent streams. The presence of continuous
and discrete symmetries is shown. The examples for different models of turbulence are given.
ВВЕДЕНИЕ
Как известно, теория пограничного слоя была
разработана Людвигом Прандтлем, который упро-
стил эллиптические уравнения Навье-Стокса до
параболического приближения. Это позволило
существенно увеличить количество симметрий
(групп Ли) дифференциальных уравнений и тем
самым упростить их анализ. Уравнения пограни-
чного слоя имеют следующий вид:
u
∂u
∂x
+ v
∂u
∂y
= −1
ρ
∂p
∂x
+
∂
∂y
[
(ν + νt)
∂u
∂y
]
,
∂p
∂y
= 0, (1)
∂u
∂x
+
∂v
∂y
= 0,
где x, y – продольная и поперечная координаты;
u, v – компоненты скорости, соответствующие ко-
ординатам x, y; p – давление; ν – кинематиче-
ская молекулярная вязкость; νt – турбулентная
вязкость. Так как количество и вид симметрий за-
висят от формы дифференциальных уравнений,
рассмотрим раздельно группы симметрии для ла-
минарных и турбулентных потоков.
1. ЛАМИНАРНЫЙ РЕЖИМ
Группы симметрии стационарного пограничного
слоя исследованы в работе [1]. В инфинитезималь-
ной форме они могут быть представлены следую-
щим образом:
q1 = Φ(x)
∂
∂y
+ Φ′(x)u
∂
∂v
, q2 =
∂
∂x
,
q3 = 2x
∂
∂x
+ y
∂
∂y
− v
∂
∂v
, (2)
q4 = x
∂
∂x
+ u
∂
∂u
+ 2p
∂
∂p
, q5 =
∂
∂p
,
где Φ(x) – произвольная функция. Первая сим-
метрия q1 носит название принципа смещения
Прандтля (Prandtl’s transposition principle) [2]. В
работе [3] на основании выражений (2) с исполь-
зованием методики, приведенной в [4], построена
оптимальная система подалгебр Ли без учета сим-
метрии q1:
q1, b1q1 + b2q2, b2q2 + b3q3, b3q3 + b4q4, (3)
т. е. система, которая позволяет конструиро-
вать оптимальную систему инвариантных реше-
ний. Здесь b1 − b4 произвольные постоянные. На-
помним, что “оптимальной системой” инвариан-
тных относительно s-параметрических групп ре-
шений системы дифференциальных уравнений на-
зывается набор решений, обладающий тем свой-
ством, что если f(x) – любое другое решение, инва-
риантное относительно s-параметрической груп-
пы, то существует такая симметрия, которая ото-
бражает f(x) в решение из этого набора. Выпол-
нив экспоненцирование выражений (2), находим
4 c© А. А. Авраменко, Б. И. Басок, А. И. Тыринов, 2005
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2005. Том 7(79), N 3-4. С. 4 – 9
u(1) = u(x, y − Θ), v(1) = v(x, y − Θ),
u(2) = u(x − b2Θ , y − b1Θ),
v(2) = v(x − b2Θ , y − b1Θ),
u(3) = exp(−2b3Θ)u(x − b2Θ , y exp(−b3Θ)),
v(3) = exp(−b3Θ)v(x − b2Θ , y exp(−b3Θ)),
u(4) = exp((b4 − 2b3)Θ)u(exp(−b4Θ),
y exp(−b3Θ)),
v(4) = exp(−b3Θ)v(x exp(−b4Θ), y exp(−b3Θ)),
где Θ – параметр группового преобразования.
Представленные соотношения связывают “новые”
и ”старые” решения.
Можно также построить решение, порождаемое
полным векторным полем (2). Оно выглядит сле-
дующим образом:
u(Σ) = exp
(
(b4 − 2b3)Θ
)
u
(
(
b2
b4
+ x) exp(−b4Θ)−
−b2
b4
,
(b1
b3
+ y
)
exp(−b3Θ) − b1
b3
)
,
v(Σ) = exp(−b3Θ)v
(
(b2
b4
+ x
)
exp(−b4Θ)−
−b2
b4
,
(b1
b3
+ y
)
exp(−b3Θ) − b1
b3
)
.
Группы Ли обладают замечательным свой-
ством, которое позволяет строить автомодельные
формы системы дифференциальных уравнений.
Для такого построения автомодельных форм сис-
темы (1) перепишем (2) в следующем виде:
qΣ = (b1 + b3y)∂y + (b2 + b4x)∂x+
+(b4 − 2b3)u∂u − b3v∂v . (4)
Напомним, что автомодельные переменные опре-
деляются как инварианты векторного поля (4), т.
е. как решения однородных дифференциальных
уравнений в частных производных первого поряд-
ка, порожденных полем (4). Для независимой ав-
томодельной переменной η имеем следующее урав-
нение:
(b1 + b3y)∂yη + (b2 + b4x)∂xη = 0,
которое решаем, используя метод характеристик
[5]. В результате имеем
η = C
(b1 + b3y)b4
(b2 + b4x)b3
,
где C – произвольная постоянная. При нахожде-
нии вида автомодельных функций необходимо за-
даться параметрической переменной. Выберем в
качестве таковой x, как обычно это делается в
теории пограничного слоя. Тогда определяющие
уравнения для u и v имеют вид
(b2 + b4x)∂xf ′(η) + (b4 − 2b3)u∂uf ′(η) = 0,
(b2 + b4x)∂xφ(η) − b3v∂vφ(η) = 0,
где штрих обозначает дифференцирование по η. В
качестве искомой функции для u выбрана произ-
водная для удобства в дальнейших преобразова-
ниях. Решение этих уравнений:
u = f ′(η)(b2 + b4x)1−2b3/b4/m,
v = φ(η)(b2 + b4x)−b3/b4,
где m – произвольная константа. Используя урав-
нение неразрывности, найдем связь между f ′(η) и
φ(η):
φ =
C−1/b4
m
(
f ′η1/b4 +
b3 − b4
b3b4
η
∫
0
f ′η1/b4−1dη
)
.
Следовательно, выражение для нормальной ком-
поненты скорости имеет вид
v =
C−1/b4
m(b2 + b4x)b3/b4
(
f ′η1/b4+
+
b3 − b4
b3b4
η
∫
0
f ′η1/b4−1dη
)
.
Подставим u и v в первое уравнение (1) при учете
отсутствия градиента давления. В результате по-
лучим [3]
(b4 − 2b3)f
′2 + (b3 − b4)f
′′η1−1/b4
η
∫
0
f ′η1/b4−1dη =
= m(b3b4)
2C2/b4f ′′′+
+mb2
3b4(b4 − 1)c2/b4η1−1/b4f ′′. (5)
Это уравнение можно назвать обобщенным
уравнением Блазиуса. Оно имеет интегро-
дифференциальную форму. Однако его можно
сделать чисто дифференциальным, если выделить
интеграл, который стоит в левой части, и затем
А. А. Авраменко, Б. И. Басок, А. И. Тыринов 5
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2005. Том 7(79), N 3-4. С. 4 – 9
один раз продифференцировать. В результате по-
лучим дифференциальное уравнение четвертого
порядка.
В задачах пограничного слоя обычно принима-
ется b4 = 1. В этом случае уравнение (5) суще-
ственно упрощается (здесь принято, как обычно
в задачах гидродинамического пограничного слоя
f(0) = 0):
(1 − 2b3)f
′2 + (b3 − 1)f ′′f = m(b3C)2f ′′′.
Кроме того, также обычно принимается, что b1 =
= b2 = 0, так как при этом легко удовлетворить
условия прилипания на стенке. Тогда, объединив
b3 и C в новую константу C∗, перепишем предыду-
щее уравнение в следующей форме:
(1 − 2b3)f
′2 + (b3 − 1)f ′′f = mC∗2f ′′′. (6)
Из уравнения (6) следуют всевозможные вариан-
ты исследованных ранее видов течения типа “по-
граничный слой”. Если положить b3 = 1/2, m = 1,
C∗ = 1, то уравнение (6) превращается в уравне-
ние Блазиуса, описывающее процессы течения в
пограничном слое около плоской пластины и на
границе раздела двух потоков:
f ′′f + 2f ′′′ = 0.
При b3 = 2/3, m = 3 и C∗ = 1/3 мы переходим к
уравнению, которое описывает течение в плоской
затопленной струе:
f ′2f + f ′′f + f ′′′ = 0.
Уравнение (6) переходит в уравнение для пло-
ской полуограниченной струи, если принять b3 =
= 3/4, m = C∗ = 1:
2f ′2f + f ′′f + 4f ′′′ = 0.
При b3 = 1 из уравнения (6) получаем
f ′2 + mC∗2f ′′′ = 0. (7)
Это уравнение обладает трехпараметрической
разрешимой группой Ли:
q1 = ∂η, q2 = ∂f , q3 = −η∂η + f∂f .
Следовательно, согласно [4], уравнение (7) может
быть проинтегрировано в квадратурах. Решение
имеет вид
u = −Θl(
η√
6mC∗2
+ C2,
h2 = 0, h3 = C1)(mx)−1,
v = −ηΘl(
η√
6mC∗2
+ C2,
h2 = 0, h3 = C1)(C
∗mx)−1,
где Θl – эллиптическая функция Вейерштрасса;
C1 и C2 – константы интегрирования; h2 и h3 – так
называемые инварианты функции Вейерштрасса.
Полученные решения согласуются с распределени-
ем скорости в следе за обтекаемым телом при тур-
булентном режиме течения. На основе этих про-
филей и индуктивной теории Г. Рейхардт по экспе-
риментальным данным можно получать информа-
цию о турбулентной структуре потока. Уравнение
(6) допускает двухпараметрическую группу сим-
метрий
q1 = ∂η,
q2 = −η∂η + f∂f .
Это позволяет редуцировать уравнение (6) на два
порядка. Техника и примеры редукции представ-
лены в [3–6]. Кроме непрерывных симметрий, для
уравнений Прандтля существуют дискретные сим-
метрии отражения. Эти симметрии характеризую-
тся инфинитезимальными генераторами
q = x
∂
∂x
+ u
∂
∂u
, q = y
∂
∂y
+ v
∂
∂v
. (8)
Первый генератор (8) порождает следующие авто-
модельные переменные:
η =
y
L
, u =
xν
L2
f ′(η), v = − ν
L
f(η).
Соответствующее автомодельное уравнение имеет
вид
f ′′′ + ff ′′ − f ′2 = 0.
Примеры использования таких типов симметрий
для конкретных задач можно найти в [6].
В работе [7] рассмотрены приложения анализа
симметрий для нестационарного и стационарного
ламинарного пограничного слоя в условиях про-
дольного градиента давления. Температурные по-
граничные слои проанализированы в [6].
6 А. А. Авраменко, Б. И. Басок, А. И. Тыринов
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2005. Том 7(79), N 3-4. С. 4 – 9
2. ТУРБУЛЕНТНЫЙ РЕЖИМ
Свойства симметрии турбулентных потоков ис-
следовались не так интенсивно, как ламинарных.
Очевидно, это было обусловлено большой стру-
ктурной сложностью уравнений для турбулен-
тных течений, а также большим разнообразием
моделей турбулентной вязкости, с помощью ко-
торых замыкаются уравнения переноса. Каждой
модели турбулентности свойственен свой тип сим-
метрии. Поэтому для турбулентного пограничного
слоя вид автомодельных переменных будет изме-
няться при изменении модели турбулентной вяз-
кости.
Начнем рассмотрение с простейшей алгебраиче-
ской модели, которая получается из модели длины
пути смешения Прандтля:
νt = l2
∂u
∂y
= (χy)2
∂u
∂y
. (9)
Eсли для профиля скорости использовать лога-
рифмический закон стенки, то для турбулентной
вязкости получаем следующее соотношение:
νt = χuτy, (10)
где χ = 0, 4 – постоянная Кармана. Исследование
системы (1) с учетом соотношения (10) на свой-
ства симметрии позволили получить выражение
для инфинитезимального генератора групп Ли [8]:
q = C3(1 + MY )∂Y + (C1xC2)∂χ+
+(C1 − C3M)u∂u, (11)
где C1, C2, C3 – константы интегрирования; M =
= χuτ/(ν)0.5; uτ – скорость трения; Y = y/(ν)0.5.
На основе выражения (11) находим правило полу-
чения новых решений по известным решениям:
u(1) = exp(−Θ)u
(
x exp(−Θ), Y
)
,
V (1) = V
(
x exp(−Θ), Y
)
,
u(2) = u(x − Θ, Y ),
V (2) = V (x − Θ, Y ),
u(3) = exp(−MΘ)u×
×
x,
[
(1 + MY ) exp(−MΘ) − 1
]
M
,
V (3) = V
x,
[
(1 + MY ) exp(−MΘ) − 1
]
M
,
где V = v/(ν)0,5. Далее, используя опять выраже-
ние (11), находим автомодельные формы уравне-
ний (1). Для автомодельной переменной имеем (C
– постоянная интегрирования):
η = C
1 + MY
(C1x + C2)MC3/C1
.
Если в качестве параметрической переменной
выбрать x, то получаем следующие выражения
для компонент скорости: автомодельной скорости
u =
f ′(η)
(C1x + C2)MC3/C1−1
,
V = 1
CM
[
f ′ηMC3 − fC1
]
.
При этом уравнение (1) переходит в автомодель-
ное уравнение
(C1 − MC3)f
′2 − C1ff ′′ = ηf ′′′CM2 + f ′′CM2,
примеры анализа которого можно найти в [6].
Если использовать модель длины пути смешения
(9) в ее общем виде, то для системы уравнений
(1) и (9) получим инфинитезимальный генератор
в следующем виде [9–11]:
q = [C1Y + C3Φ(x)]∂Y + [C1x + C2]∂x−
−C1u∂u + [C3Φ
′(x)u − C1V ]∂V . (12)
На основе приведенного инфинитезимального ге-
нератора, без учета подалгебры Ли C3, находим
вид автомодельных величин:
η =
sy
b(x0 + x)
, Rex =
U∞(x0 + x)
ν
,
ū =
φ′
bRex
, v̄ =
v
U∞
=
φ′η
bRex
.
Здесь x0 соответствует либо началу ламинарно-
турбулентного перехода, либо x0 = 0, если гипоте-
тический турбулентный пограничный слой возни-
кает на передней кромке обтекаемого тела. Коэф-
фициенты b и s играют роль масштабных множи-
телей, и их значения могут быть выбраны, исходя
из удобства численных расчетов.
Уравнения движения (1) в указанных перемен-
ных приобретают вид обыкновенного дифферен-
циального уравнения
− b
s2
φ′2 =
[(
1 +
χ2
s
η2φ′′
)
φ′′
]′
. (13)
Рассмотрим модели более высокого порядка.
Первая модель – так называемая “ν”-модель – в ко-
торой появляется дополнительное уравнение, опи-
сывающее поведение суммарной νΣ (турбулентной
А. А. Авраменко, Б. И. Басок, А. И. Тыринов 7
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2005. Том 7(79), N 3-4. С. 4 – 9
и молекулярной) вязкости. Данная модель была
предложена в работе [12] и пригодна как для при-
стенных, так и для свободных (струйных) тече-
ний. В соответствии с этой моделью в дополнение
к уравнениям системы (1) появляется уравнение
u
∂ν̄Σ
∂x
+ V
∂ν̄Σ
∂Y
= ν̄Σ
∂2ν̄Σ
∂Y 2
+
(
∂νΣ
∂Y
)2
+
+AK(ν̄Σ − j)
∣
∣
∣
∣
∂u
∂Y
∣
∣
∣
∣
− BK
L2
K
(ν̄Σ − j)ν̄Σ, (14)
где ν̄Σ = νΣ/ν , AK = 0, 133/
√
ν ; BK = 0, 8; LK =
= Y для пристенных течений и LK ∼ δ/
√
ν и для
струйных, j может равняться либо единице, либо
нулю в зависимости от того, что используется в
последних двух слагаемых уравнения (14). Если
используется турбулентная вязкость, то j = 1,
если же суммарная, то j = 0. Групповой анализ
системы уравнений (1) и (14) показывает, что ин-
финитезимальный генератор в данном случае при-
обретает вид
q = [C1Y + C3Φ(x)]∂Y + [C1x + C2]∂x + C1u∂u+
+[C3Φ
′(x)u + C1V ]∂V + 2C1ν̄Σ∂ν̄Σ
. (15)
Анализ, проведенный на основе инфинитези-
мального генератора (15), как и в предыдущих
случаях, позволяет получить форму автомодель-
ных переменных (симметрия C3 не учитывалась)
η = y
x
, ū = φ′Rex,
v̄ = [φ′η − 2φ]Rex, ν̄Σ = M(ν)Re2
x.
Используя эти переменные, получим следующую
систему уравнений:
Mφ′′′ + (M ′ + 2φ)φ′′ − φ′2 = 0,
2(φ′M − φM ′) = MM ′′ + M ′2+
+AKφ′′
[
M − j
Re2
x
]
− BK
η2
M
[
M − j
Re2
x
]
, (16)
которая не является полностью автомодельной из-
за наличия постоянной j. В случае j = 0 приходим
к полностью автомодельной системе уравнений.
Наличие неавтомодельности не должно вызывать
затруднений при численном расчете, так как на
каждом шаге маршевой переменной следует зада-
вать Rex как постоянный параметр и проводить
решение системы как системы обыкновенных диф-
ференциальных уравнений.
В качестве модели турбулентной вязкости вто-
рого порядка рассмотрим k− ε-модель. В соответ-
ствии с этой моделью к уравнениям движения и
энергии добавляются два уравнения для кинети-
ческой энергии турбулентности k и для скорости
диссипации ε:
u
∂k
∂x
+ V
∂k
∂Y
=
∂
∂Y
[
(1 +
Cν
κK
k2
νε
)
∂k
∂Y
]
+
+
Cν
ν
k2
ε
(
∂u
∂Y
)2
− ε,
u
∂ε
∂x
+ V
∂ε
∂Y
=
∂
∂Y
[(
1 +
Cν
κε
k2
νε
)
∂ε
∂Y
]
+ (17)
+C1ε
Cν
ν
k
(
∂u
∂Y
)2
− C2ε
ε2
k
−
−C2ε
ε2
k
{
1 − Aε exp
[
−Bε
(
k2
νε
)]}
,
где Cν, C1ε, C2ε, κK , κε, Aε, Bε – константы мо-
дели турбулентности. Групповой анализ системы,
состоящей из уравнений (1) и (17), позволил полу-
чить следующий инфинитезимальный генератор:
q = [C1Y + C3Φ(x)]∂Y + [C1x + C2]∂x−
−C1u∂u + [C3Φ
′(x)u − C1V ]∂V − (18)
−2C1k∂k − 4C1k∂k − 4C1ε∂ε.
На основе инфинитезимального генератора нахо-
дим вид автомодельных переменных (принимаем
C2 = C3 = C5 = 0):
η =
y
x
, ū =
φ
Rex
, V =
U∞√
νRex
,
k̄ =
k
U2
∞
=
K(η)
Re2
x
, ε̄ =
εν
U4
∞
=
E(η)
Re4
x
.
В данном случае систему уравнений турбулентно-
го пограничного слоя можно представить в авто-
модельной форме
−φ2 =
[(
1 + Cν
K2
E
)
φ′
]′
,
8 А. А. Авраменко, Б. И. Басок, А. И. Тыринов
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2005. Том 7(79), N 3-4. С. 4 – 9
−2φK =
[(
1 + Cν
K2
κKE
)
K′
]′
+ Cν
K2
E
φ′2 − E,
(19)
−4φE =
[(
1 + Cν
K2
κεE
)
E′
]′
+ CνC1εKφ′2−
−C2ε
E2
K
[
1 − Aε exp
(
−Bε
K4
E2
)]
.
Примеры численных решений уравнений (13),
(16) и (19) и их приближенный аналитический ана-
лиз можно найти в работах [6,8-11].
Симметрия C3 генераторов (12), (15) и (18) (она
же симметрия q1 в (2)) была использована в рабо-
те [13] для анализа уравнений пограничного слоя
около поверхности произвольной формы.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В работе продемонстрированы приложения мето-
дов групп Ли к исследованию дифференциальных
уравнений пограничного слоя. Конечно, остался
не охваченным широкий круг проблем. Это и по-
нятно, так как к настоящему времени проведено
большое число исследований, в которых использу-
ются (может быть не всегда осознано) групповые
методы анализа. Эти методы применяются и в но-
вых областях теоретической гидромеханики. На-
пример, групповой метод получения автомодель-
ных форм был использован при анализе биокон-
векционных (биоконвенкция изучает массообмен-
ные и гидродинамические процессы, связанные с
движением микроорганизмов) процессов [14, 15]. В
изложенном материале показано несколько вари-
антов применения групп симметрий дифференци-
альных уравнений. Разнообразие групповых мето-
дов зависит от количества симметрий, которые до-
пускает конкретная система дифференциальных
уравнений. Как правило, чем проще структура
дифференциальных уравнений, тем большее ко-
личество симметрий присуще им и, следователь-
но, тем шире арсенал групповых методов. Однако
даже если не удается найти полные симметрии за-
дачи, можно использовать частичные симметрии.
Хотя в этом случае не удается получить полных
автомодельных форм, но размерность задачи по-
нижается. При этом приходим к системе уравне-
ний с параметром, которая проще для анализа,
чем исходная. Существует проблема правильно-
сти выбора симметрии. Необходимо уметь выя-
вить, какая конкретно симметрия присуща той
или иной задаче. Иногда в этом помогают инте-
гральные условия сохранения импульса, момента
импульса и т. д. Правильный выбор необходимой
симметрии может быть связан с симметрией гра-
ничных или начальных условий. Этот вопрос ра-
зработан еще не достаточно полно.
1. Павловский Ю. Н. Исследования некоторых ин-
вариантных решений уравнений пограничного
слоя // Журнал выч. математики и мат. физики.–
1961.– 1 N2.– С. 280 - 294.
2. Oberlack M. Asymptotic expansion, symmetry
groups, and invariant solutions of laminar and
turbulent wall-bounded flows // ZAMM.– 2000.– 80
N 11, 12.– P. 791 - 800.
3. Авраменко А. А. Группы Ли и автомодель-
ные формы уравнений Прандтля // Прикладна
гiдромеханiка.– 1999.– 1 (73), N 2.– С. 3 - 11.
4. Олвер П. Приложение групп Ли к исследованию
дифференциальных уравнений.– М.: Мир, 1989.–
639 с.
5. Камке Э. Справочник по дифференциальным
уравнениям в частных производных первого
порядка.– М.: Наука, 1966.– 260 с.
6. Авраменко А.А., Басок Б.И., Кузнецов А.В. Груп-
повые методы в теплофизике.– Киев: Наук. думка,
2003.– 484 с.
7. Овсянников Л. В. Групповой анализ дифференци-
альных уравнений.– М.: Наука, 1978.– 400 с.
8. Авраменко А. А. Свойства симметрии турбулен-
тных динамических и температурных пограни-
чных слоев // Пром. теплотехника.– 2000.– 22, N
5-6.– С. 29 - 36.
9. Авраменко А. А. Групповой анализ теплогидро-
динамимческих процессов в турбулентных пара-
болических течениях // Доповiдi НАН України.–
1999.– N8.– С. 76 - 80.
10. Авраменко А. А. Автомодельный анализ тур-
булентных гидродинамических и температурных
пограничных слоев // Теплофизика высоких
температур.– 2000.– 38, N3.– С. 452 - 457.
11. Avramenko A. A., Kobzar S. G., Shevchuk I. V.,
Kuznetsov A. V., Iwanisov L. T. Symmetry of
turbulent boundary-layer flows: Investigation of di-
fferent eddy viscosity models // Acta Mechanica.–
2001.– 151, N1-2.– P. 1 - 14.
12. Nee P., Kovasznay L.S.G. Structure of the turbulent
boundary layer // Phys. Fluids.– 1969.– 12, N3.–
P. 473 - 484.
13. Авраменко А. А. Уравнения пограничного слоя
около поверхности произвольной формы // Допо-
вiдi НАН України.– 2001.– N4.– С. 95 - 99.
14. Metcalfe A. M., Pedley T. J. Falling plumes in
bacterial bioconvection // J. Fluid Mech.– 2001.–
445.– P. 121 - 149.
15. Kuznetsov A.V., Avramenko A.A., Geng P. Analyti-
cal investigation of a falling plume caused by bi-
oconvection of oxytactic bacteria in a fluid saturated
porous medium // International Journal of Engineeri-
ng Science.– 2004.– 42.– P. 557 - 569.
А. А. Авраменко, Б. И. Басок, А. И. Тыринов 9
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-4794 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1561-9087 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T15:32:39Z |
| publishDate | 2005 |
| publisher | Інститут гідромеханіки НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Авраменко, А.А. Басок, Б.И. Тыринов, А.И. 2009-12-24T10:42:29Z 2009-12-24T10:42:29Z 2005 Симметрии уравнений пограничного слоя / А.А. Авраменко, Б.И. Басок, А.И. Тыринов // Прикладна гідромеханіка. — 2005. — Т. 7, № 3-4. — С. 4-9. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. 1561-9087 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/4794 532.517.4 Рассмотрено приложение групп симметрий дифференциальных уравнений (групп Ли) к анализу задач течения в пограничном слое. Анализ проведен как для ламинарных, так и для турбулентных потоков. Показано наличие непрерывных и дискретных симметрий. Приведены примеры для различных моделей турбулентности. Розглянуто застосування груп симетрiй диференцiальних рiвнянь (груп Лi) до аналiзу задач течiї в пограничному шарi. Аналiз проведений як для ламiнарних, так i для турбулентних струменiв. Показано наявнiсть безперервних i дискретних симетрiй. Наведенi приклади для рiзних моделей турбулентностi. The application of symmetries groups of the differential equations (Lie groups) to the analysis of problems of boundary-layer flow is surveyed. The analysis is conducted both for laminar, and for turbulent streams. The presence of continuous and discrete symmetries is shown. The examples for different models of turbulence are given. ru Інститут гідромеханіки НАН України Симметрии уравнений пограничного слоя Symmetry of the equations of boundary layer Article published earlier |
| spellingShingle | Симметрии уравнений пограничного слоя Авраменко, А.А. Басок, Б.И. Тыринов, А.И. |
| title | Симметрии уравнений пограничного слоя |
| title_alt | Symmetry of the equations of boundary layer |
| title_full | Симметрии уравнений пограничного слоя |
| title_fullStr | Симметрии уравнений пограничного слоя |
| title_full_unstemmed | Симметрии уравнений пограничного слоя |
| title_short | Симметрии уравнений пограничного слоя |
| title_sort | симметрии уравнений пограничного слоя |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/4794 |
| work_keys_str_mv | AT avramenkoaa simmetriiuravneniipograničnogosloâ AT basokbi simmetriiuravneniipograničnogosloâ AT tyrinovai simmetriiuravneniipograničnogosloâ AT avramenkoaa symmetryoftheequationsofboundarylayer AT basokbi symmetryoftheequationsofboundarylayer AT tyrinovai symmetryoftheequationsofboundarylayer |