Асимптотичний пiдхiд до рiвнянь Нав'є-Стокса при дослiдженнi iнтенсивного поверхневого масопереносу на тiлах обертання у високошвидкiсних потоках газу

На основе асимптотического анализа уравнений Навье-Стокса рассматриваются постановки и решения ряда задач, связанных с проблемой интенсивного поверхностного массопереноса на телах вращения в сверх- и гиперзвуковых потоках газа. Для тел конечной длины распределение вдува задается степенной функцией....

Full description

Saved in:

Bibliographic Details
Date:	2005
Main Authors:	Антонов, А.М., Зайцев, О.В., Закревський, В.О., Хорошилов, О.В.
Format:	Article
Language:	Ukrainian
Published:	Інститут гідромеханіки НАН України 2005
Online Access:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/4795
Tags:	Add Tag No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Cite this:	Асимптотичний пiдхiд до рiвнянь Нав'є-Стокса при дослiдженнi iнтенсивного поверхневого масопереносу на тiлах обертання у високошвидкiсних потоках газу / А.М. Антонов, О.В. Зайцев, В.О. Закревський, О.В. Хорошилов // Прикладна гідромеханіка. — 2005. — Т. 7, № 3-4. — С. 10-18. — Бібліогр.: 20 назв. — укр.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

_version_	1860250863181758464
author	Антонов, А.М. Зайцев, О.В. Закревський, В.О. Хорошилов, О.В.
author_facet	Антонов, А.М. Зайцев, О.В. Закревський, В.О. Хорошилов, О.В.
citation_txt	Асимптотичний пiдхiд до рiвнянь Нав'є-Стокса при дослiдженнi iнтенсивного поверхневого масопереносу на тiлах обертання у високошвидкiсних потоках газу / А.М. Антонов, О.В. Зайцев, В.О. Закревський, О.В. Хорошилов // Прикладна гідромеханіка. — 2005. — Т. 7, № 3-4. — С. 10-18. — Бібліогр.: 20 назв. — укр.
collection	DSpace DC
description	На основе асимптотического анализа уравнений Навье-Стокса рассматриваются постановки и решения ряда задач, связанных с проблемой интенсивного поверхностного массопереноса на телах вращения в сверх- и гиперзвуковых потоках газа. Для тел конечной длины распределение вдува задается степенной функцией. Интенсивность инжекции соответствует режимам умеренного и сильного вдува. Исследования расширены на случаи вдува горючей смеси газов с учетом химических экзотермических реакций. Разработан метод решения краевых задач со свободной границей и процедура построения общего решения. На основi асимптотичного аналiзу рiвнянь Нав'є-Стокса розглядаються постановки i розв'язання низки задач щодо iнтенсивного поверхневого масопереносу на тiлах обертання в над- та гiперзвукових потоках газу. Для тiл скiнченої довжини розподiл вдуву задається степеневою функцiєю. Iнтенсивнiсть iнжекцiї вiдповiдає режиму помiрного та сильного вдуву. Дослiдження розширенi на випадки вдуву горючої сумiшi газiв з врахуванням хiмiчних екзотермiчних реакцiй. Розроблений метод розв'язання крайових задач iз вiльною границею та процедура побудови загального розв'язку. In the papers on the basis of the asymptotic analysis of equations of Navier-Stokes the formulation and solutions of some of problems, that concerning with a problem intensive surface mass transfer on body of revolutions in super- and hypersonic gas flow are considered. For bodies with final length the distribution of an injection is set by an exponential function. The intensity of injection corresponds to modes moderated and large injection. The researches are expanded on cases of an injection of a combustion-mixture of gases with allowance for of chemical exothermic reactions. The method of the solution of boundary value problems with free boundary and procedure of construction of the general solution is developed.
first_indexed	2025-12-07T18:43:07Z
format	Article
fulltext	ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2005. Том 7(79), N 3-4. С. 10 – 18 УДК 532.5 АСИМПТОТИЧНИЙ ПIДХIД ДО РIВНЯНЬ НАВ’Є-СТОКСА ПРИ ДОСЛIДЖЕННI IНТЕНСИВНОГО ПОВЕРХНЕВОГО МАСОПЕРЕНОСУ НА ТIЛАХ ОБЕРТАННЯ У ВИСОКОШВИДКIСНИХ ПОТОКАХ ГАЗУ А. М. А Н ТОН О В∗, О. В. З АЙ Ц Е В∗∗, В. О. ЗА К РЕ В СЬ К И Й∗, О. В. Х О РО ШИ Л О В∗∗ ∗Нацiональний авiацiоний унiверситет, Україна, ∗∗Київський нацiональний унiверситет iменi Тараса Шевченка Получено 17.02.2005 На основi асимптотичного аналiзу рiвнянь Нав’є-Стокса розглядаються постановки i розв’язання низки задач щодо iнтенсивного поверхневого масопереносу на тiлах обертання в над- та гiперзвукових потоках газу. Для тiл скiнче- ної довжини розподiл вдуву задається степеневою функцiєю. Iнтенсивнiсть iнжекцiї вiдповiдає режиму помiрного та сильного вдуву. Дослiдження розширенi на випадки вдуву горючої сумiшi газiв з врахуванням хiмiчних екзо- термiчних реакцiй. Розроблений метод розв’язання крайових задач iз вiльною границею та процедура побудови загального розв’язку. На основе асимптотического анализа уравнений Навье-Стокса рассматриваются постановки и решения ряда задач, связанных с проблемой интенсивного поверхностного массопереноса на телах вращения в сверх- и гиперзвуковых потоках газа. Для тел конечной длины распределение вдува задается степенной функцией. Интенсивность инже- кции соответствует режимам умеренного и сильного вдува. Исследования расширены на случаи вдува горючей смеси газов с учетом химических экзотермических реакций. Разработан метод решения краевых задач со свободной границей и процедура построения общего решения. In the papers on the basis of the asymptotic analysis of equations of Navier-Stokes the formulation and solutions of some of problems, that concerning with a problem intensive surface mass transfer on body of revolutions in super- and hypersonic gas flow are considered. For bodies with final length the distribution of an injection is set by an exponential function. The intensity of injection corresponds to modes moderated and large injection. The researches are expanded on cases of an injection of a combustion-mixture of gases with allowance for of chemical exothermic reactions. The method of the solution of boundary value problems with free boundary and procedure of construction of the general solution is developed. ВСТУП Ця робота присвячується 35-рiччю створення на кафедрi аерогiдромеханiки та тепломасообмiну Київського нацiонального унiверситету iменi Та- раса Шевченка наукового напрямку щодо вивчен- ня високошвидкiсного обтiкання тiл, скрiзь по- верхню яких здiйснюється iнтенсивний вдув маси газу, i є обзором деяких проведених дослiджень. Вiдправною датою ми вважаємо вихiд першої ро- боти [1], що була присвячена цiй тематицi, авто- рами якої є А. П. Комашенко i А. М. Антонов, науковий керiвник i лiдер колективу. Дослiдження iнтенсивного масопереносу на по- верхнi тiл, що знаходяться у високошвидкiсному потоцi газу, мають значний iнтерес як для вдоско- налення систем теплозахисту лiтальних апаратiв, так i для розробки засобiв керування їхнiми аеро- динамiчними характеристиками. Одним з пiдходiв до вирiшення таких задач є математичне моделю- вання реальних фiзичних явищ за допомогою при- мусового вдуву маси газу скрiзь пористу поверхню тiл. З практичної точки зору найбiльший iнтерес мають моделi, якi описують iнтенсивний вдув, ко- ли прикордонний шар вiдтискується вiд поверхнi тiла, поблизу якої локалiзується область течiї газу, що вдувається. Вдув вважається iнтенсивним, якщо нормаль- на складова швидкостi газу, що вдувається, зна- чно перевищує за порядком швидкiсть, яка iнду- кується пограничним шаром, але значно менше за швидкiсть зовнiшнього потоку [1,2]. За умови ма- лої товщини утвореного “фiктивного” тiла τ асим- птотичний аналiз повної системи рiвнянь при гра- ничному переходi Re∞ → ∞, τ → 0, M∞ → ∞, (Re∞ · τ4) → ∞, (M∞ · τ ) ∼ O(1) дозволяє замi- нити вихiднi рiвняння на рiвняння тонкого шару [3]. 1. НАДЗВУКОВЕ I ГIПЕРЗВУКОВЕ ОБТI- КАННЯ КОНУСА СКIНЧЕНОЇ ДОВЖИНИ ПРИ IНТЕНСИВНОМУ ВДУВI З БIЧНОЇ ПОВЕРХНI ОДНОРIДНОГО ГАЗУ 10 c© А. М. Антонов, О. В. Зайцев, В. О. Закревський, О. В. Хорошилов, 2005 ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2005. Том 7(79), N 3-4. С. 10 – 18 y= (x)δy xδ(x)ψ=ψ cu =0c Рис. 1. Схема течiї газу, що вдувається, при дослiдженнi надзвукового та гiперзвукового обтiкання конуса скiнченої довжини Задачi про надзвукове i гiперзвукове обтiкання тiл скiнченої довжини при вдувi з бiчної поверхнi однорiдного газу були розглянутi в роботах [1, 2, 4] для пластини i клину у надзвуковому потоцi i в роботах [5, 6] для степеневих загострених тiл обер- тання у гiперзвуковому потоцi. Спроба узагальни- ти одержанi рiшення шляхом граничного переходу на випадок обтiкання конусу виявилась марною, тому що призводить до розбiжного рiшення. 1.1. При дослiдженнi надзвукового та гiперзву- кового обтiкання конуса скiнченої довжини (рис. 1), основнi результати яких викладенi в роботах [7, 8], використовується модель тонкого шару. Розпо- дiли тиску вздовж тiла i товщини шару δ(x) за- лежать один вiд одного i граничнi умови на кiнцi тiла будуть впливати на усi характеристики течiї, починаючи з носика. Для визначення тиску на поверхнi контактно- го розриву використовуються такi спiввiдношен- ня: для надзвукового потоку p = C dδ dx , а для гi- перзвукового потоку p = C∗ [ dδ∗ dx ]2 . 1.2. При вказаних обмеженнях, для надзвуково- го обтiкання конуса одержуємо краєву задачу: ψc B2 dψc dx f · f ′′ − ψc B d dx [ ψc B ] f ′2 − 1 ρβ d2δ dx2 = (1) = [ ψc B ]2 (f ′ · ḟ ′ − ḟ · f ′′), βp = dδ dx , β = M∞(γ + 3)3/2 2 √ 2 , η = y(x + 0.5y) B ,B = δ(x + 0.5δ), f(x, 0) = 1, f ′(x, 0) = 0, f(x, 1) = 0, (2) p(x = 1) = pд, де ψ/ψc = f(x, η) – безрозмiрна витрата газу при вдувi; M∞ − число Маха набiгаючого потоку; γ – питома теплоємкiсть; точкою позначена похiдна по x, а штрихом – по η . Рiвняння i граничнi умови для гiперзвукового обтiкання конуса: ∂f ∂q = q(f + 2xf) β(1 − q2) , ∂η ∂q = (f + 2xf) β(1 − q2) , (3) β = γ − 1 γ d(ln p) d(lnx) , δ2 ∗ = x2 + γ − 1 γp √ 2x · Φ, Φ = 1 ∫ 0 f + ḟx β dq, (4) f(x, 0) = −1, f(x, 1) = 0, η(x, 0) = 0, η(x, 1) = ηe(x), (5) де новi змiннi задаються спiввiдношеннями: f = ψ√ 2x , q = f ′ = ∂f ∂η , η = 2γp (γ − 1) √ 2x y ∫ 0 (x+ y)dy 1 − q2 . 1.3. У малому околi носика тiла (x → 0) для кожної з одержаних крайових задач (1)-(5) будує- ться асимптотичний розв’язок i знаходяться спiв- вiдношення для визначення перших його коефiцi- єтiв, якi вiдповiдають автомодельнiй задачi про вдув з напiвнескiнченного тiла, i спiввiдношен- ня для нетривiального розв’язку, що характери- зує вiдхилення вiд автомодельного через наявнiсть ефекту розповсюдження збурень вiд донного зрiзу назустрiч потоку. Для надзвукового обтiкання конуса маємо асим- птотичнi спiввiдношення: f = f0(η) + xaf1(η) + ..., β = C0x m +C1x m1 + ..., p = A0x n + A1x n1 + ... Автомодельний розв’язок має вигляд: η = 1 f0 1 ∫ f0 √ α 1 − z2α dz, K = 1 ∫ 0 √ α 1 − z2α dz, m = 2s+ 1 5 , n = 2(2 − s) 5 , α = s− 2 5s , 0 < s < 2, C = [ 50ρβK2 s (2s+ 1)(2 − s) ] 1 5 , A = 2C(2 + γ) √ 2 5M∞(γ + 3)3/2 . А. М. Антонов, О. В. Зайцев, В. О. Закревський, О. В. Хорошилов 11 ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2005. Том 7(79), N 3-4. С. 10 – 18 Для визначення нетривiального розв’язку має- мо: f ′′0 Φ1 + f0Φ ′′ 1 − 2αf ′0Φ ′ 1 − 4f0f ′′ 0 +Df ′20 +N = = a(f0Φ ′ 1 − Φ1f ′′ 0 )/s, Φ1(0) = Φ′ 1(0) = Φ1(1) = 0, де Φ1 = C C1 f1, аD = D(a, s, α) iN = N(K,m, n, a, ) − вiдомi функцiї, що залежать вiд параметрiв за- дачi. При дослiдженнi знайдено значення параметра a, при якому iснує нетривiальний розв’язок для функцiї Φ1. Крайова задача (1) – (2) рiвномiрно обгрунто- вана в областi, де x ∼ O(0), y ∼ O(τ ). Це на- кладає обмеження на характер змiни тиску. Якщо тиск задовольняє умовi (2), то течiя в зонi дон- ного зрiзу описується крайовою задачею для си- стеми повних рiвнянь Ейлера [8]. Для зрощування рiшень у областях ∆p ∼ O(τ ) (вздовж поверхнi) i ∆p ∼ O(0) (у локальнiй областi донного зрiзу) бу- дувалося промiжне рiшення, яке злiва переходило у рiшення для областi ∆p ∼ O(τ ), а праворуч − у рiшення для областi ∆p ∼ O(1). Задача розв’я- зувалась чисельними методами, а система рiвнянь лiнеаризувалася на кожнiй характеристичнiй сму- зi x = const. Розрахунки показали, що при розподiленому вдувi коефiцiєнт тиску повiльно спадає вздовж поверхнi конуса при будь-яких швидкостях вду- ву i швидкостях набiгаючого потоку, а на деякiй вiдстанi вiд донного зрiзу тиск рiзко зменшує- ться. Зменшення параметра вдуву S (що вiдповi- дає збiльшенню швидкостi вдуву у зонi передньої точки конуса) призводить до збiльшення тиску у головнiй частинi конуса i зменшенню у хвостовiй. Аналогiчний пiдхiд був застосований для гiпер- звукового обтiкання конуса, де мають мiсце асим- птотичнi спiввiдношення: f = f0(q) + xaf1(q) + ..., η = η0(q) + xmη1(q) + ..., Φ = Φ0 + xϕ1Φ1 + ... p = C0x n + C1x n1 + ..., δ∗ = B0x k +B1x k1 + ..., β = β0 + β1x s1 + .... Пiдставляючи цi спiввiдношення у рiвняння (3) – (5), одержуємо рекурентнi системи рiвнянь для перших i других членiв, що складають розв’язок, який iснує тiльки для деякого значення параметра a. При розрахунках (в областi a > 0) визначено одне значення, яке бiльше за значення такого ж r x L dU 8 1 2 3 δ (x)f δ (x)r V (x) w Рис. 2. Модель гiперзвукового обтiкання тонкого вiсесиметричного тiла, через бiчну поверхню якого пiдводиться горюча сумiш параметра, що обчислено у [9]. Це вказує на те, що вплив крайових умов на течiю, яка знаходиться вище за потоком, при обтiканнi клина сильнiший нiж при обтiканнi конуса. 2. ГIПЕРЗВУКОВЕ ОБТIКАННЯ ВIСЕСИ- МЕТРИЧНОГО ТIЛА ПРИ IНТЕНСIВНОМУ ВДУВI З БIЧНОЇ ПОВЕРХНI ГОРЮЧОЇ СУ- МIШI У межах тiєї ж моделi виконується дослiдження [10] гiперзвукового обтiкання тонкого вiсесиметри- чного тiла (d/L ∼ τ << 1) з вiдомим розподiлом швидкостi Vw(x) горючої сумiшi, яка пiдводиться скрiзь бiчну поверхню (рис. 2). Твiрна тiла i роз- подiлення вдуву задаються степеневими законами вiд поздовжньої координати rw = Cwx w, 0 < w < 1, f(x) = γxn,−1 < n < 0. Розглядається течiя з iнтенсивними хiмiчними реакцiями, швидкiсть яких вважається нескiнченно великою у порiвнян- нi iз швидкiстю дифузiї. Тонка зона горiння за- мiнюється поверхнею − фронтом полум’я δf , яка розташована мiж тiлом i поверхнею контактного розриву δτ [11]. Граничнi умови мають наступний вигляд: r = rw(x) : Uw = 0, √ ρwV 2 w = γxs, −1 < s < 0; r = δr(x) : Vr Ur = dδr dx , p = C∗ ( dδr dx )2 ; r = δf (x) : ρ1 ( U1 dδf dx − V1 ) = ρ2 ( U2 dδf dx − V2 ) , γ2 γ2 − 1 · p2 ρ2 = γ1 γ1 − 1 · p1 ρ1 + q, а система рiвнянь, яка характерна для мо- делi тонкого шару, перетворюється у iнтегро- диференцiальнi рiвняння, що задають твiрнi кон- тактного розриву i фронту полум’я як функцiй вiд 12 А. М. Антонов, О. В. Зайцев, В. О. Закревський, О. В. Хорошилов ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2005. Том 7(79), N 3-4. С. 10 – 18 розподiлу тиску, контуру тiла i закону вдуву: δ2f (x) = r2w(x) + K0 p1/γ(x) × (6) × x ∫ ϕ(x) f(z)rw(z)p1/(2γ)(z)dz √ p(γ−1)/γ(z) − p(γ−1)/γ(x) , δ2r(x) = δ2f + K0 p1/γ(x) × (7) × ϕ(x) ∫ 0 f(z)rw(z)p1/(2γ)(z)[1 + 2qp∗]dz √ (1 + 2q)pγ/(γ−1)(z) − (1 + 2qp∗)pγ/(γ−1)(x) , p∗ = [ p(x) p(ϕ−1)(x) ](γ−1)/γ Величина ϕ(x) визначається з умови ψw(z) = ψ1(x), де ψ1 − значення функцiї току на фронтi полум’я. Параметр подiбностi K0 = λ/C2 w характери- зує взаємний вплив на потiк iнтенсивностi вду- ву i форми тiла, а видiлений параметр взаємо- дiї Kf = V/K0C0 − вплив нормальної швидкостi фронту полум’я V на створення шару газу, який пiдводиться. У випадку, коли Kf = 0, рiвняння описують течiю в областi вдуву без тепловидiлен- ня [5]. У малому околi носика тiла (x→ 0) маємо асим- птотичнi спiввiдношення: δr = Dxr +D1x r1 + ..., δf = Axf +A1x f1 + ..., p = Bxd +B1x d1 + ... Пiдставляючи такий розв’язок у iнтегро- диференцiальнi рiвняння (6), (7), одержимо спiввiдношення для автомодельного i нетривiаль- ного розв’язкiв: A2 = 1 + K0√ B [G−Rα+1M1], D2 = A2 + √ 1 + 2qR−m K0√ B Rα+1M2, B = C∗D2r2, r = f = w = 0.5n+ 1, d = n, m = −γ − 1 γ n, 2AA1 = K0B1 2γB3/2 [Φ − 2G+ Rα+1(2M1 −M3)], B1 = 2C∗DD1r(r + a), 2DD1 = 2AA1 + K0B1 2γB3/2 Rα+1(M4 − 2M2)× × √ 1 + 2qR−m, f1 = f + a, d1 = d+ a, t = (α+ 1)/m, s = t + a/m, z = (γ − 1)(2s− 1), де R,M1,M2,M3,M4 − однозначно визначенi функцiї вiд параметрiв задачi i коефiцiєнтiв асим- птотичного розв’язку, а G i Φ визначаються через гама-функцiї Ейлера: G = √ πΓ(t) m · Γ(t+ 0.5) , Φ = (1 + z) √ π · Γ(s) m · Γ(s+ 0.5) − 2t(γ − 1)G. Одержанi рiвняння для визначення автомодель- ного i нетривiального розв’язкiв залежать вiд ко- ефiцiєнтiв подiбностi K0, Kf i деякого параметру a, знаходження якого виконувалось чисельно. Аналiз одержаних значень параметрiв задачi вказує на те, що приK0 → 0 параметр a→ ∞ i збу- рення локалiзуються у зонi донного зрiзу. Збiльше- ння коефiцiєнта взаємодiї Kf призводить до змен- шення впливу донної областi. Порiвняння одержа- них результатiв з оцiнками вдуву негорючої сумiшi вказує на те, що при однакових значеннях коефi- цiєнтiв подiбностiK0 i коефiцiєнта n, вдув горючої сумiшi зменшує вплив донної областi на усю зону течiї. 3. ГIПЕРЗВУКОВЕ ОБТIКАННЯ ВIСЕСИ- МЕТРИЧНОГО ЗАТУПЛЕНОГО ТIЛА У межах моделi тонкого шару розглядається гi- перзвукове обтiкання тонкого затупленого вiсеси- метричного тiла довжиною L i дiаметром донного зрiзу d(d/L << 1), форма твiрної якого r = rw(x) (рис. 3). Через його поверхню виконується пiд- вiд газу з заданим розподiлом iмпульсу √ ρwV 2 w = γf(x), де через ρw та Vw позначено вiдповiдно гу- стину та нормальну складову швидкостi газу, що вдувається, γ − iнтенсивнiсть вдуву, f(x)− закон його розподiлу вздовж поверхнi. Шар змiшуван- ня за таких припущень замiнено поверхнею кон- тактного розриву r = rb(x). 3.1. Iнтегрування системи рiвняння тонкого ша- ру у спецiальних змiнних дає можливiсть отрима- ти iнтегральне рiвняння для твiрної rb, яке пов’я- зує параметри вдуву та форму основного тiла i має вигляд [5] r2b(x) = r2w(x) + γ P 1/γ(x) x ∫ 0 f(ξ)P 1 γ (ξ)dξ √ P γ−1 γ (ξ) − P γ−1 γ (x) , (8) А. М. Антонов, О. В. Зайцев, В. О. Закревський, О. В. Хорошилов 13 ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2005. Том 7(79), N 3-4. С. 10 – 18 Рис. 3. Гiперзвукове обтiкання тонкого затупленого вiсесиметричного тiла скiнченої довжини, через поверхню якого виконується пiдвiд газу з заданим розподiлом iмпульсу де через γ позначена питома теплоємнiсть газа, що вдувається. Функцiя розподiлу тиску P (x), за при- пущеннями наближення тонкого шару, є функцiєю тiльки повздовжньої координати x i вважається вi- домою з розв’язання зовнiшньої задачi, яка у да- ному випадку являє собою гiперзвукове обтiкан- ня тонкого вiсесиметричного “фiктивного” тiла з твiрною rb(x). Використовуючи для зовнiшньої задачi нестацiонарну аналогiю [12], можна для цi- єї задачi записати систему рiвнянь, яка пов’язує твiрну “фiктивного” тiла rib(x), що обтiкається, ударної поверхнi RS(x) та розподiлу тиску P (x) впродовж поверхнi “фiктивного” тiла: rsṙs(ṙ 2 s + rss̈) + 1 γ − 1 bṖ (r2s − r2b )+ +2P (rsṙs − rbṙb)c = 2P (x)rbṙb, r̈3s = 6P (x)rs. (9) Тут лапками позначено диференцiювання за змiн- ною x. Безпосереднє iнтегрування системи рiвнянь (9) вiд носика тiла до областi донного зрiзу утрудню- ється через наявнiсть передачi збурень вгору за потоком з областi донного зрiзу [2]. Крiм того, на зрiзi дна має виконуватися додаткова умова P (L) = Pдон. (10) У випадку, коли форма твiрної тiла та розподiл iм- пульсу задаються за степеневими законами, тобто rb(x) = Cxχ, 0 < x < L, f(x) = xn,−1 < n < 0, сис- тема рiвнянь (9) буде iнварiантною вiдносно на- ступної групи перетворень: x = Lx̃, P = LnP̃ , r = Lχr̃, 2χ = n+ 2, (11) i дозволяє видiлення параметра подiбностi k = = γ/c2, який за своїм змiстом характеризує вза- ємовплив вдува i форми контуру тiла на форму- вання поверхнi контактного розриву. За аналогiчних припущень розв’язувалася зада- ча про обтiкання тонкого загостреного тiла [5, 6]. 3.2. Крайова задача для системи iнтегро- диференцiальних рiвнянь (9) зводиться до зада- чi типу Кошi з початковими умовами, що мiстять один довiльний параметр, остаточне значення яко- го встановлюється пiсля iнтегрування системи вiд початку тiла до областi донного зрiзу та виконан- ня умови (10). Далi використовується процедура побудови асимптотичного розв’язку, що була викладена ви- ще. Для започаткування розв’язання задачi Ко- шi за початковий розв’язок вибирається асимпто- тичний розв’язок системи рiвнянь (9) при x → 0, який пропонується знаходити у виглядi асим- птотичних розвинень функцiй P (x), rb(x), rs(x), де першi складовi вiдповiдають асимптотичному ав- томодельному розв’язковi задачi для напiвнескiн- ченного тiла, а iншi є поправками внаслiдок наяв- ностi збурень вiд донного зрiзу, якi розповсюджу- ються назустрiч потоку. Система рiвнянь для першого наближення, тоб- то задача про вдув з напiвнескiнченного тiла, має єдиний розв’язок. Система для визначення кое- фiцiєтiв другого наближення, яке характеризує вплив донного зрiзу, є лiнiйною та однорiдною, не- тривiальний розв’язок якої можливий у разi задо- волення певної умови, що накладається на параме- три задачi, i визначається з точнiстю до довiльних значень одного з коефiцiєнтiв другого наближен- ня. Аналiз поведiнки отриманого розв’язку дає мо- жливiсть зробити висновки про iснування режиму, при якому величина збурень, якi розповсюджую- ться вiд донного зрiзу до областi носика тiла, не залежить вiд iнтенсивностi вдуву. 3.3. Побудований у такий спосiб асимптотичний розв’язок системи рiвнянь (9) надалi використано як початковий для побудови розв’язку вздовж по- верхнi тiла. Визначивши область обгрунтованостi асимпто- тичного розв’язку, виконуємо побудову розв’язку у точцi x2 = x1 + ∆x. Значення розподiлу тиску P2 = P (x2) у довiльнiй точцi ξ iнтервалу [x1, x2] можна визначити як P2 = P1 + (x2 − ξ)t, ξ ∈ [x2, x1], (12) де t − параметр, вибiр якого пов’язаний з особли- востями задачи. Значення тиску, визначене за спiввiдношенням (12), пiсля пiдстановки до (8) та iнтегрування, дає можливiсть знайти перше значення функцiї rb(P2) = rb1(x2, t) у залежностi вiд параметра t. 14 А. М. Антонов, О. В. Зайцев, В. О. Закревський, О. В. Хорошилов ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2005. Том 7(79), N 3-4. С. 10 – 18 Особливiсть у верхнiй границi iнтервалу iнте- грування виключається аналiтично, а iнтеграл знаходиться чисельними методами. Друге значення величини rb2(x2, t) визначається пiсля iнтегрування системи (9). Система зводи- ться до нормального вигляду, dP/dx покладається рiвним t, початковi умови задаються значення- ми асимптотичного розв’язку. При цьому значення P (x) так само визначаються за спiввiдношенням (8) i в часi розв’язання системи (9) вважаються вiдомою функцiєю. За знайденими у такий спосiб значеннями rb1(x2, t) та rb2(x2, t) будується значе- ння функцiї F (t): F (t) = rb1(x2, t) − r + b2(x2, t). (13) Далi значення dP/dx у точцi x2 визначається за наведеним вище як розв’язок рiвняння F (t) = 0 i знаходиться чисельним методом. Пiсля визначення параметрiв у точцi x2 зазна- чений процес повторюється до значення xn = 1. У цiй точцi перевiряється виконання умови (10) i у разi невиконання змiнюється значення довiльно вибраного на першому кроцi певного вiльного ко- ефiцiєнта B2. Для визначення розподiлу P (x), яке вiдповiдає заданим умовам на донному зрiзi, цей коефiцiєнт обирається за параметр T i будується нова функцiя Φ(T ): Φ(B2) = Pдон − P (1, B2), де значення P (1, B2) = Pn визначено за наведеним вище алгоритмом, а значення коефiцiєнтуB2 може бути знайдене як розв’язок рiвняння Φ(B2) = 0 по- будовою iтерацiйного процесу, аналогiчному про- цесовi для знаходження розподiлу тиску, але на зовнiшньому по вiдношенню до побудованого ранi- ше. Певнi спрощення у розв’язання задачi можна запровадити, якщо застосувати групу перетворень (11). У цьому випадку можна для задовiльнення умови (10) побудувати зовнiшнiй iтерацiйний про- цес на тих самих засадах, що їх описано ранiше, але визначення функцiї розподiлу тиску P (x) про- водити тiльки один раз до визначення особливої точки, у якiй dP/dx → ∞ [2]. У такому варiантi виключається доволi складнi обчислення для ви- значення значень P (x) за рiзних значень парамет- ра B2 i виконується тiльки перерахунок значень розподiлу функцiї P (x), визначених тiльки один раз, для рiзних значень параметру групи перетво- рень, що суттєво скорочує час, який необхiдний для побудови розв’язку задачi. Докладно цей ме- тод викладений в роботi [13]. Надалi отриманий розв’язок задачi про гiпер- звукове обтiкання вiсесиметричного тiла степене- Рис. 4. Модель надзвукового обтiкання некруглого у поперечному перетинi конуса, через оболонку якого вдувається газ рiвномiрно вдовж всiєї поверхнi тiла вої форми при помiрному режимi вдуву було успi- шно використано для проведення дослiджень, по- в’язаних з проблемами оптимiзацiї параметрiв ма- сопереносу з метою забезпечення заданих аероди- намiчних характеристик “фiктивного” тiла. Так, у роботi [14] була розв’язана задача знаходження такого закону вдуву, який забезпечує мiнiмальне значення аеродинамiчного опiру “фiктивного” тi- ла. Проблемам мiнiмiзацiї хвильового опiру “фi- ктивного” тiла за умов, що сформульовано вище, присвячена робота [15]. 4. ПРОСТОРОВЕ НАДЗВУКОВЕ ОБТIКАННЯ НЕВIСЕСИМЕТРИЧНИХ КОНIЧНИХ ТIЛ У надзвуковому потоцi знаходиться некруглий у поперечному перетинi конус, скрiзь оболонку ∆ якого вдувається газ рiвномiрно вдовж всiєї по- верхнi тiла пiд деяким довiльним кутом θbd(0 < θbd < π/2) до неї. Стрибок ущiльнення Ω приєдна- ний до носика конуса, а швидкiсть газу, який вду- вається, є такою, що вiдповiдає режиму сильного вдуву [2]. Дослiдження рiвнянь Навьє-Стокса для ви- падку iнтенсивного вдуву, проведене за допомо- гою асимптотичних методiв, дозволило подiлити область течiї газу вiд стрибка ущiльнення до ко- нуса на двi нев’язкi зони [16]. При цьому шар змi- шування (взаємодiє) зовнiшнього i внутрiшнього потокiв замiнюється контактним розривом Θ, по- верхня якого також має конiчну форму i приєдна- на до носика конуса (рис. 4). 4.1. Суть запропонованого метода полягає в представленнi розв’язку задачi у виглядi суперпо- зицiї нелiнiйного розв’язку, який описує основний вiсесиметричний потiк, що обтiкає круглий у по- перечному перетинi конус iз вдувом, та лiнеари- зованих розв’язкiв, якi визначають збурення, що А. М. Антонов, О. В. Зайцев, В. О. Закревський, О. В. Хорошилов 15 ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2005. Том 7(79), N 3-4. С. 10 – 18 виникають у вiсесиметричному потоцi через вiд- хилення форми поперечного перетину конуса вiд форми круга, меридiанальну нерiвномiрнiсть ма- сопереносу тощо. У найбiльш загальному випадку постановка задачi передбачає наявнiсть у надзву- ковому потоцi нахилених до його напрямку пiд ма- лим кутом атаки та скосу некруглих у поперечно- му перетинi “фiктивного” конiчного тiла i пори- стого конуса, скрiзь поверхню якого здiйснюється меридiонально нерiвномiрний вдув газу. Вихiдною системою диференцiальних рiвнянь є система рiвнянь Ейлера. Через автомодельнiсть розв’язкiв всi газодина- мiчнi та геометричнi параметри в областях I та II є функцiями лише ξI , ξII i ϕ, якi пов’язанi зi сфе- ричною системою координат (r, θ, ψ) таким чином: ξI = η − Θ Ω − Θ , ϕ = ψ, ξII = Θ − η Θ − ∆ , ϕ = ψ, (14) де η = tg θ. Рiвняння поверхонь пористого конуса ∆, конта- ктного розриву Θ i стрибка ущiльнення Ω можуть бути записанi у загальному виглядi як: Γ = Γ0 + ∞ ∑ `=0 Γ` cos `ϕ + ∞ ∑ m=1 Γm sinmϕ, (15) де Γ0 − вiдповiднi поверхнi ∆0,Θ0,Ω0, що ма- ють круглий поперечний перетин, а коефiцiєнти Γl,Γm − (∆l,∆m,Θl,Θm,Ωl,Ωm) − малi величини, якi характеризують вiдхилення форми поперечно- го перетину тiла вiд форми перетину круглого ко- нуса. Газодинамiчнi параметри можна представити у виглядi: f = f0 + ∞ ∑ `=0 Θ`f` cos `ϕ+ ∞ ∑ m=0 Θmfm sinmϕ, f =            u ν p ρ S            , w = ∞ ∑ `=1 `Θ`w` sin `ϕ + ∞ ∑ m=0 mΘmwfm cosmϕ, (16) iндексом “0” позначенi функцiї, якi є розв’язком основної вiсесиметричної течiї, а iндексами l i m − функцiї, що характеризують збурення вiсесиме- тричного потоку. Пiсля пiдстановки (15) i (16) в систему рiвнянь Ейлера, залишивши лише члени першого порядку вiдносно Θl i Θm, отримаємо три системи дифе- ренцiальних рiвнянь, якi аналогiчнi за структурою як для зовнiшнього, так i для внутрiшнього пото- кiв. Вiсесиметрична течiя описується нелiнiйною системою нульового наближення: ν0 ∂ν0 ∂ξN + 1 ρ0 dp0 dξN − σ0η0u0ν0, (17) ν0 dp0 dξN + γp0 dν0 dξN − σ0γp0(ν0 + 2η0u0) = 0, dp0 dξN + γ p0 ρ0 dρ0 dξN = 0, u2 0 + ν2 0 + 2γ γ − 1 p0 ρ0 = γ + 1 γ − 1 D. Для визначення збурень в основному потоцi ма- ємо двi лiнiйнi системи диференцiальних рiвнянь, одна з яких не залежить вiд параметра Θm, а iнша – вiд Θl: ν0 dνi dξN + dν0 dξN + 1 ρ0 ( dpi dξN − ρi ρ0 dp0 dξN ) − −σ0(η0u0νi + η0uiν0 + ηiu0ν0) − σiη0u0 − nu0 = 0, (18) nu0 dwi dξ0 − σ0 [ wi(ν0 + η0u0− − √ 1 + η2 ρ0 ( pi + ηi Θ0 − ∆0 dp0 dξ0 )] = 0, ν0 dpi dξ0 + νi dp0 dξ0 + γ ( p`i dν0 dξ0 + p0 dνi dξ0 ) − −γσ0 { pi(ν0 + 2η0u0 + p0 [νi + 2(η0ui + ηiu0)+ +wi √ 1 + η2 0 ]} − σiγp0(ν0 + 2η0u0) = 0, uoui + ν0νi + γ γ − 1 p0 ρ0 ( pi p0 − ρi ρ0 ) = 0, pi p0 − γ ρi ρ0 = S1. У виразах (17) i (18) прийняти такi позначення: i = l, коли система не залежить вiд Θm, або i = = m, коли система не залежить вiд Θl; N − номер областi течiї; σ = Θ0 − ∆0 η0(1 + η2 0) , η0 = Θ0 + ξ(∆0 − Θ0), σi = Θi − σ0(1 + 3η2 0)ηi ηi = Θi(1 + η2 0) , 16 А. М. Антонов, О. В. Зайцев, В. О. Закревський, О. В. Хорошилов ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2005. Том 7(79), N 3-4. С. 10 – 18 ηi = Θi(1 − ξ), D = Ckp∞ Ckpbd . Аналогiчним чином отримaємо граничнi умови в обох областях течiї. На стрибку ущiльнення за- писуються спiввiдношення, якi витiкають iз зако- нiв збереження маси, iмпульсу та енергiї [12], на поверхнi контактного розриву − умови непротiка- ння i неперервностi тиску, на поверхнi конуса − умови, що задають параметри вдуву газу. 4.2. Сформульована математична модель, на- самперед граничнi умови, дозволяють класифiку- вати отриману задачу як пряму або обернену. Тер- мiн “пряма задача” використовується, якщо зада- на форма поверхнi “фiктивного” тiла i необхiдно знайти вiдповiдний режим вдуву через пористу по- верхню конуса iз вiдомими геометричними хара- ктеристиками. “Оберненою” задачею є сукупнiсть рiвнянь та граничних умов, якi задають закон роз- подiлу поверхневого масопереносу в поперечному перетинi пористого конуса вiдомої форми, при цьо- му геометричнi параметри поверхнi розподiлу за- лишаються невiдомi [17]. Слiд зауважити, що у випадку, коли течiя має площину симетрiї, в якiй розташована вiсь основ- ного конiчного потоку, достатньо одного пiдсумо- вування (по l або m ), а для течiї з двома площина- ми симетрiї необхiдно пiдсумовувати лише члени з парними коефiцiєнтами. При цьому окремо слiд видiлити випадок, коли l = 1, m = 0, тобто площиною симетрiї є площина ϕ = 0, ϕ = π. Таке рiшення має великий практи- чний iнтерес i описує обтiкання круглого конусу пiд кутом атаки [18]. 4.3. Метод отримання повного розв’язку задачi побудованo на iдеї послiдовного визначення газо- динамiчних та геометричних параметрiв в обла- стях I та II i наступного зрощування цих локаль- них розв’язкiв на поверхнi контактного розриву за допомогою умови неперервностi тиску. При цьо- му, в кожнiй областi течiї крайова задача зводи- ться до задачi типу Кошi з початковими умовами, що мiстять довiльнi параметри, остаточне значен- ня яких встановлюється пiсля iнтегрування систе- ми рiвнянь та виконання вiдповiдних граничних умов. Основою алгоритму є два iтерацiйних про- цеси, один з яких вкладений у другий. 4.4. У межах сформульованих вище припущень була розглянута задача про вдув горючої сумiшi газiв. Як й у випадку гiперзвукового обтiкання степеневого тiла, що був наведений вище, прийма- ється, що в серединi областi II течiї сумiшi у тон- кому шарi горiння вiдбувається хiмiчна екзотермi- чна реакцiя. Таким чином, область II є роздiленою на двi зони. У першому наближеннi шар горiння замiнює- ться поверхнею G фронту полум’я, швидкiсть роз- повсюдження якого є вiдомою фiзико-хiмiчною ве- личиною для кожної конкретної горючої сумiшi [19], що дає першу граничну умову на поверхнi G : νA = Vn. Додатковi умови витiкають з законiв збережен- ня маси, iмпульсу й енергiї для звершеного газу [19]: uA = uB , ρA = ρB , ρAν 2 A + pA = ρBν 2 B + pB , KA KA − 1 pA ρA + u2 A + ν2 A 2 = KB KB − 1 pB ρB + u2 B + ν2 B 2 −Q, де Q − кiлькiсть тепла, що видiляється в фронтi полум’я внаслiдок хiмiчної реакцiї; iндексами А та В позначаються параметри у вiдповiдних областях течiї горючої сумiшi. Крайова задача формується системою рiвнянь Ейлера, граничних умов на фронтi полум’я та на поверхнях конусу й контактного розриву, якi бу- ли розглянутi ранiше. Докладно це дослiдження викладено в роботi [20]. ВИСНОВКИ На основi асимптотичного аналiзу рiвнянь Нав’є-Стокса розроблений пiдхiд до вивчення iн- тенсивного поверхневого масопереносу на тiлах обертання в високошвидкiсних потоках газу. Для класу задач застосована двошарова модель течiї газу з невiдомою внутрiшньою границею, що дає змогу окремо розглядати крайовi задачi для зовнiшнього i внутрiшнього потокiв газу. Сформульований принцип їх розв’язання, за яким у кожнiй областi розв’язок задачi будується як суперпозицiя розв’язкiв, що вiдповiдають авто- модельнiй течiї, та збуренням потоку, якi пов’язанi з впливом геометричних параметрiв тiла. Запропонований метод розв’язання грунтується на зведеннi крайової задачi з невiдомою границею до задачi типу Кошi з початковими умовами, якi мiстять довiльний параметр, вибiр якого пов’яза- ний з особливостями конкретної задачi. Характер- ним є сполучення чисельних методiв з аналiтични- ми, якi базуються на асимптотичному аналiзi рiв- нянь. Процедура розв’язання задачi передбачає побу- дову певної трансцендентної функцiї вiд обраного параметра задачi i чисельне знаходження кореня цiєї функцiї. А. М. Антонов, О. В. Зайцев, В. О. Закревський, О. В. Хорошилов 17 ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2005. Том 7(79), N 3-4. С. 10 – 18 Автори вважають своїм обов’язком наголосити, що в рiзнi роки неоцiниму допомогу та пiдтрим- ку київськiй групi надали такi видатнi вченi, як В. Я. Нейланд, В. А. Левiн, К. I. Бабенко, В. В. Си- чьов. Надзвичайно плiдним i корисним було спiв- робiтництво з I. I. Лiпатовим, Ю. Б. Радвогiним, В. Ф. Захарченко та iншими вченими. Всiм їм ав- тори висловлюють щиру вдячнiсть та глибоку по- вагу. 1. Антонов А. М., Комашенко А. П. Некоторые ав- томодельные задачи о сильном вдуве газа через пластинку в сверхзвуковом потоке // Прикладная механика.– вып.10 т. 5.– 1969.– С. 111–114. 2. Матвеева Н. С., Нейланд В. Я. Сильный вдув на теле конечной длины в сверхзвуковом потоке // Ученые записки ЦАГИ.– 1970.– T. 1, N 5.– С. 13– 22. 3. Cole J., Aroesty J. The blowhard problem inviscid flows with surface injection // Int. J. Heat and Mass Transfer.– 1968.– V. 11.– P. 1167–1183. 4. Липатов И. И. Сверхзвуковое обтекание клина ко- нечных размеров при сильном вдуве газа через его поверхность // Ученые записки ЦАГИ.– 1975.– T. 6, N 5.– С. 119–123. 5. Антонов А. М., Зайцев А. В. Учет влияния дон- ной области на обтекание осесимметричных тел со вдувом // Прикладная механика.– 1979.– T. XV, N 6.– С. 110–115. 6. Антонов А. М., Зайцев А. В. Расчет распределе- ния давления по пористым оболочкам вращения при динамическом взаимодействии их с гиперзву- ковым потоком газа // Динамика и прочность тя- желых машин.– 1980.– Bып. 5.– С. 64–69. 7. Антонов А. М., Закревский В. А. Исследование влияния донного среза на сверхзвуковое обтекание конуса при степенном законе вдува // Прикладная механика.– 1979.– T. 15, N 8.– С. 99–103. 8. Антонов А. М., Закревский В. А. Сверхзвуковое обтекание конуса при степенном законе вдува га- за через его поверхность // Доклады АН УССР.– 1984.– N 8.– С. 31–35. 9. Нейланд В. В. Вдувание газа в гиперзвуковой по- ток // Ученые записки ЦАГИ.– 1972.– T. 3, N 6.– С. 29–40. 10. Закревский В. А. Обтекание гиперзвуковым по- током осесимметричного тела конечной длины при вдуве через боковую поверхность горючей смеси газов // Некоторые вопросы прикладной аэродинамики, Сборник научных трудов.– Киев: КИИГА.– 1988.– С. 51–56. 11. Зак Л. И. Сверхзвуковое обтекание тела конечной длины при наличии интенсивного вдува горючей смеси на его боковой поверхности // Научн. тр. НИИ механики МГУ.– 1974.– N 32.– С. 34–40. 12. Ферри А. Аэродинамика сверхзвуковых течений.– М.: ГИТТЛ, 1952.– 466 с. 13. Зайцев О. В., Хорошилов О. В. Про метод розв’я- зання задач з вiльною границею // Вiсн. Київ- ського ун-ту, Математика, механiка.– 2002.– N 7.– С. 47–53. 14. Зайцев А. В. Расчет оптимального вдува на осе- симметричных заостренных телах // Матема- тические методы механики жидкости и газа.– Днепропетровск.– 1981.– С. 40–45. 15. Антонов А. М., Зайцев А. В., Прокопенко Л. А. Численное решение задачи об оптимальном управ- лении вдувом на осесимметричных телах // Нео- сесимметричные задачи гидроаэромеханики и тео- рии упругости.– Днепропетровск.– 1987.– С. 4–10. 16. Левин В. А., Липатов И. И, Нейланд В. Я. Асим- птотические методы исследования тел с интенсив- ным массообменом.– К.: Знание, 1980.– 24 с. 17. Зайцев О. В., Хорошилов О. В.,Чернiй Д. I. Метод розв’язання прямої та оберненої задач про невiсе- симетричне обтiкання конiчних тiл iз вдувом // Вiсн. Київського ун-ту, Математика, механiка.– 2005.– N 13.– С. 56–63. 18. Антонов А. М., Хорошилов О. В. Расчет параме- тров газа в области вдува при обтекании пористого конуса под углом атаки // ДАН УССР, серия А.– 1973.– N 1.– С. 52–55. 19. Черный Г. Г. Автомодельные задачи обтекания тел горючей смесью газов // Изв. АН СССР.– МЖГ.– N 5.– С. 1966. 20. Бублик Б. Н., Антонов А. М., Хорошилов А. В. Ис- следование распространения фронта пламени при вдуве горючей смеси газов.– К.: Знание, 1982.– 24 с. 18 А. М. Антонов, О. В. Зайцев, В. О. Закревський, О. В. Хорошилов
id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-4795
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
issn	1561-9087
language	Ukrainian
last_indexed	2025-12-07T18:43:07Z
publishDate	2005
publisher	Інститут гідромеханіки НАН України
record_format	dspace
spelling	Антонов, А.М. Зайцев, О.В. Закревський, В.О. Хорошилов, О.В. 2009-12-24T10:42:47Z 2009-12-24T10:42:47Z 2005 Асимптотичний пiдхiд до рiвнянь Нав'є-Стокса при дослiдженнi iнтенсивного поверхневого масопереносу на тiлах обертання у високошвидкiсних потоках газу / А.М. Антонов, О.В. Зайцев, В.О. Закревський, О.В. Хорошилов // Прикладна гідромеханіка. — 2005. — Т. 7, № 3-4. — С. 10-18. — Бібліогр.: 20 назв. — укр. 1561-9087 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/4795 532.5 На основе асимптотического анализа уравнений Навье-Стокса рассматриваются постановки и решения ряда задач, связанных с проблемой интенсивного поверхностного массопереноса на телах вращения в сверх- и гиперзвуковых потоках газа. Для тел конечной длины распределение вдува задается степенной функцией. Интенсивность инжекции соответствует режимам умеренного и сильного вдува. Исследования расширены на случаи вдува горючей смеси газов с учетом химических экзотермических реакций. Разработан метод решения краевых задач со свободной границей и процедура построения общего решения. На основi асимптотичного аналiзу рiвнянь Нав'є-Стокса розглядаються постановки i розв'язання низки задач щодо iнтенсивного поверхневого масопереносу на тiлах обертання в над- та гiперзвукових потоках газу. Для тiл скiнченої довжини розподiл вдуву задається степеневою функцiєю. Iнтенсивнiсть iнжекцiї вiдповiдає режиму помiрного та сильного вдуву. Дослiдження розширенi на випадки вдуву горючої сумiшi газiв з врахуванням хiмiчних екзотермiчних реакцiй. Розроблений метод розв'язання крайових задач iз вiльною границею та процедура побудови загального розв'язку. In the papers on the basis of the asymptotic analysis of equations of Navier-Stokes the formulation and solutions of some of problems, that concerning with a problem intensive surface mass transfer on body of revolutions in super- and hypersonic gas flow are considered. For bodies with final length the distribution of an injection is set by an exponential function. The intensity of injection corresponds to modes moderated and large injection. The researches are expanded on cases of an injection of a combustion-mixture of gases with allowance for of chemical exothermic reactions. The method of the solution of boundary value problems with free boundary and procedure of construction of the general solution is developed. uk Інститут гідромеханіки НАН України Асимптотичний пiдхiд до рiвнянь Нав'є-Стокса при дослiдженнi iнтенсивного поверхневого масопереносу на тiлах обертання у високошвидкiсних потоках газу Asymptotic approach to Navier-Stokes equations at investigation of intensive surface mass transfer on bodies of revolution in high velocity gas flows Article published earlier
spellingShingle	Асимптотичний пiдхiд до рiвнянь Нав'є-Стокса при дослiдженнi iнтенсивного поверхневого масопереносу на тiлах обертання у високошвидкiсних потоках газу Антонов, А.М. Зайцев, О.В. Закревський, В.О. Хорошилов, О.В.
title	Асимптотичний пiдхiд до рiвнянь Нав'є-Стокса при дослiдженнi iнтенсивного поверхневого масопереносу на тiлах обертання у високошвидкiсних потоках газу
title_alt	Asymptotic approach to Navier-Stokes equations at investigation of intensive surface mass transfer on bodies of revolution in high velocity gas flows
title_full	Асимптотичний пiдхiд до рiвнянь Нав'є-Стокса при дослiдженнi iнтенсивного поверхневого масопереносу на тiлах обертання у високошвидкiсних потоках газу
title_fullStr	Асимптотичний пiдхiд до рiвнянь Нав'є-Стокса при дослiдженнi iнтенсивного поверхневого масопереносу на тiлах обертання у високошвидкiсних потоках газу
title_full_unstemmed	Асимптотичний пiдхiд до рiвнянь Нав'є-Стокса при дослiдженнi iнтенсивного поверхневого масопереносу на тiлах обертання у високошвидкiсних потоках газу
title_short	Асимптотичний пiдхiд до рiвнянь Нав'є-Стокса при дослiдженнi iнтенсивного поверхневого масопереносу на тiлах обертання у високошвидкiсних потоках газу
title_sort	асимптотичний пiдхiд до рiвнянь нав'є-стокса при дослiдженнi iнтенсивного поверхневого масопереносу на тiлах обертання у високошвидкiсних потоках газу
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/4795
work_keys_str_mv	AT antonovam asimptotičniipidhiddorivnânʹnavêstoksapridoslidženniintensivnogopoverhnevogomasoperenosunatilahobertannâuvisokošvidkisnihpotokahgazu AT zaicevov asimptotičniipidhiddorivnânʹnavêstoksapridoslidženniintensivnogopoverhnevogomasoperenosunatilahobertannâuvisokošvidkisnihpotokahgazu AT zakrevsʹkiivo asimptotičniipidhiddorivnânʹnavêstoksapridoslidženniintensivnogopoverhnevogomasoperenosunatilahobertannâuvisokošvidkisnihpotokahgazu AT horošilovov asimptotičniipidhiddorivnânʹnavêstoksapridoslidženniintensivnogopoverhnevogomasoperenosunatilahobertannâuvisokošvidkisnihpotokahgazu AT antonovam asymptoticapproachtonavierstokesequationsatinvestigationofintensivesurfacemasstransferonbodiesofrevolutioninhighvelocitygasflows AT zaicevov asymptoticapproachtonavierstokesequationsatinvestigationofintensivesurfacemasstransferonbodiesofrevolutioninhighvelocitygasflows AT zakrevsʹkiivo asymptoticapproachtonavierstokesequationsatinvestigationofintensivesurfacemasstransferonbodiesofrevolutioninhighvelocitygasflows AT horošilovov asymptoticapproachtonavierstokesequationsatinvestigationofintensivesurfacemasstransferonbodiesofrevolutioninhighvelocitygasflows

Асимптотичний пiдхiд до рiвнянь Нав'є-Стокса при дослiдженнi iнтенсивного поверхневого масопереносу на тiлах обертання у високошвидкiсних потоках газу

Institution

Similar Items