Обобщенные уравнения вязко-невязкого взаимодействия и их применение в задачах типа пограничного слоя

Обсуждаются вопросы использования уравнений пограничного слоя для приближенного решения задач, в которых строго не выполняются асимптотические оценки параметров, используемые при обосновании классических уравнений пограничного слоя, полученных Прандтлем. Формулируется понятие задач типа пограничного...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2005
Автори:	Белоцерковец, И.С., Тимошенко, В.И.
Формат:	Стаття
Мова:	Російська
Опубліковано:	Інститут гідромеханіки НАН України 2005
Онлайн доступ:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/4796
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Обобщенные уравнения вязко-невязкого взаимодействия и их применение в задачах типа пограничного слоя / И.С. Белоцерковец, В.И. Тимошенко // Прикладна гідромеханіка. — 2005. — Т. 7, № 3-4. — С. 19-34. — Бібліогр.: 19 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

_version_	1859902106739146752
author	Белоцерковец, И.С. Тимошенко, В.И.
author_facet	Белоцерковец, И.С. Тимошенко, В.И.
citation_txt	Обобщенные уравнения вязко-невязкого взаимодействия и их применение в задачах типа пограничного слоя / И.С. Белоцерковец, В.И. Тимошенко // Прикладна гідромеханіка. — 2005. — Т. 7, № 3-4. — С. 19-34. — Бібліогр.: 19 назв. — рос.
collection	DSpace DC
description	Обсуждаются вопросы использования уравнений пограничного слоя для приближенного решения задач, в которых строго не выполняются асимптотические оценки параметров, используемые при обосновании классических уравнений пограничного слоя, полученных Прандтлем. Формулируется понятие задач типа пограничного слоя и обсуждаются алгоритмы их численного решения. В качестве конкретных примеров рассмотрены задачи о истечении дозвуковых струй в спутный сверхзвуковой поток (в том числе и задачи о течениях при нерегулярном взаимодействии ударных волн), течение вязкого газа в узких каналах и определения параметров в вязком ударном слое при гиперзвуковом обтекании тупых тел. Обговорюються питання використання рiвнянь пограничного шару для наближеного розв'язання задач, в яких строго не виконуються асимптотичнi оцiнки параметрiв, що використовуються при обєрунтуваннi класичних рiвнянь пограничного шару, отриманих Прандтлем. Формулюється поняття задач типу пограничного шару i обговорюються алгоритми їхнього чисельного рiшення. Як конкретнi приклади, розглянуто задачi: витiкання дозвукових струменiв у супутнiй надзвуковий потiк (у тому числi задачi про нерегулярнi взаємодiї ударних хвиль), течiї в'язкого газу у вузьких каналах i визначення параметрiв у в'язкому ударному шарi при гiперзвуковому обтiканнi тупих тiл. Problems on use of the boundary layer equations for an approximate solution of problems, in which an asymptotic evaluation of parameters for validation of the Prandtl classic boundary layer equations is not fully accomplished, are examined. The concept of boundary layer-type problems is formulated, and algorithms of their numerical solution are discussed. As specific examples, we consider problems on subsonic jets in a cocurrent supersonic flow (including problems on flows under irregular shock-wave interactions), the viscous-gas flow through narrow channels, and calculations of parameters in a viscous shock layer under the hypersonic flow around blunt bodies.
first_indexed	2025-12-07T15:57:44Z
format	Article
fulltext	ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2005. Том 7(79), N 3-4. С. 19 – 34 УДК 533.6.011 ОБОБЩЕННЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЯЗКО-НЕВЯЗКОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ В ЗАДАЧАХ ТИПА ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ И. С. БЕ Л ОЦ ЕР К О ВЕ Ц, В. И. ТИ М OШ ЕН К О Институт технической механики НАН Украины и Национального космического агенства Украины, Днепропетровск Получено 05.10.2004 Обсуждаются вопросы использования уравнений пограничного слоя для приближенного решения задач, в кото- рых строго не выполняются асимптотические оценки параметров, используемые при обосновании классических уравнений пограничного слоя, полученных Прандтлем. Формулируется понятие задач типа пограничного слоя и об- суждаются алгоритмы их численного решения. В качестве конкретных примеров рассмотрены задачи о истечении дозвуковых струй в спутный сверхзвуковой поток (в том числе и задачи о течениях при нерегулярном взаимодей- ствии ударных волн), течение вязкого газа в узких каналах и определения параметров в вязком ударном слое при гиперзвуковом обтекании тупых тел. Обговорюються питання використання рiвнянь пограничного шару для наближеного розв’язання задач, в яких строго не виконуються асимптотичнi оцiнки параметрiв, що використовуються при обґрунтуваннi класичних рiвнянь пограничного шару, отриманих Прандтлем. Формулюється поняття задач типу пограничного шару i обговорюються алгоритми їхнього чисельного рiшення. Як конкретнi приклади, розглянуто задачi: витiкання дозвукових струменiв у супутнiй надзвуковий потiк (у тому числi задачi про нерегулярнi взаємодiї ударних хвиль), течiї в’язкого газу у вузьких каналах i визначення параметрiв у в’язкому ударному шарi при гiперзвуковому обтiканнi тупих тiл. Problems on use of the boundary layer equations for an approximate solution of problems, in which an asymptotic evaluation of parameters for validation of the Prandtl classic boundary layer equations is not fully accomplished, are examined. The concept of boundary layer-type problems is formulated, and algorithms of their numerical solution are discussed. As specific examples, we consider problems on subsonic jets in a cocurrent supersonic flow (including problems on flows under irregular shock-wave interactions), the viscous-gas flow through narrow channels, and calculations of parameters in a viscous shock layer under the hypersonic flow around blunt bodies. ВВЕДЕНИЕ Сформулированная Прандтлем концепция по- граничного слоя послужила эффективным сред- ством упрощений уравнений Навье-Стокса и опре- делила последующее развитие теоретической ги- дродинамики и газовой динамики. Наиболее су- щественным является отсутствие в упрощенных уравнениях вторых производных по направлени- ям, касательным к поверхности тела, и триви- альный вид уравнения количества движения в проекции на нормаль к обтекаемой поверхности. Уравнения пограничного слоя строго вытекают из уравнений Навье-Стокса при использовании мето- дов составных асимптотических разложений. При- чем эти методы позволяют с единых методологи- ческих позиций получить уравнения погранично- го слоя и сформулировать высшие приближения, в которых учитывается вязко-невязкое взаимодей- ствие пограничного слоя с невязкой частью пото- ка [1]. На основе последовательного применения метода составных асимптотических разложений в работах Нейланда В.Я. получен ряд принципиаль- ных результатов, касающихся, в частности, тече- ний в окрестности точек излома обтекаемой по- верхности, распространения возмущений вверх по потоку в гиперзвуковом пограничном слое, тече- ния в пограничном слое в области отрыва присое- динения и др. [2]. Строгое теоретическое обоснование, основанное на асимтотических оценках, имеют и упрощения уравнений Навье-Стокса для задач внешнего ги- перзвукового обтекания тупых тел в приближени- ях тонкого вязкого ударного слоя [3]. В этих за- дачах на основе предельного перехода Re → ∞, Me → ∞ и γ → ∞ или k = γ − 1 γ + 1 → ∞, при усло- вии, что k · Re ≈ 1, уравнения Навье-Стокса сво- дятся к уравнениям, аналогичным уравнениям по- граничного слоя за исключением того, что в силу большой плотности за ударной волной необходимо учитывать наличие градиента давления поперек ударного слоя, вызванного центробежными сила- ми. При этом кривизна и угол наклона ударной волны с точностью до величин порядка k совпада- ют с соответствующими параметрами тела (здесь и далее индекс e относится к параметрам нево- змущенного потока, Re – число Рейнольдса; γ – отношение удельных теплоемкостей при постоян- c© И. С. Белоцерковец, В. И. Тимошенко, 2005 19 ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2005. Том 7(79), N 3-4. С. 19 – 34 ном давлении и постоянном объеме; M – число Ма- ха) [6, 7]. В силу простоты уравнений пограничного слоя и наличия эффективных численных методов их ре- шения эти уравнения получили без строгого те- оретического обоснования широкое распростране- ние для описания многих других течений. Пред- посылкой для этого послужила только обобщен- ная гипотеза Прандтля о преобладании градиен- тов параметров по направлениям, перпендикуляр- ным к направлению основного течения. При этом для многих практически интересных течений, для приближенного описания которых используются уравнения пограничного слоя, считается, что про- изводная давления по направлению потока явля- ется неизвестной функцией, то есть dp dx подлежит определению. К таким течениям относятся, напри- мер,течения в струях, истекающих в спутный по- ток, течения в трубах и каналах, течения в тонком вязком ударном слое и ряд других течений. При вытекании дозвуковых струй в спутный по- ток можно положить, что давление в поперечных сечениях струи не изменяется, а для определения изменения давления вдоль струи необходимо рас- сматривать задачу взаимодействия струи с вне- шним потоком. При течении в трубах и каналах также можно считать, что давление не изменяется в поперечном сечении и течение в канале может быть описа- но уравнениями пограничного слоя. Продольный градиент давления в общем случае для пространс- твенной задачи подлежит определению, исходя из краевого характера граничных условий для попе- речной составляющей вектора скорости, опреде- ляемой из дифференциального уравнения первого порядка – уравнения неразрывности. Для двумер- ной задачи при течении газа в плоском канале или осесимметричной трубе для определения продоль- ного градиента давления могут быть использова- ны условия сохранения расхода. Решение задачи обтекания тупых тел в при- ближении тонкого вязкого ударного слоя асим- птотически строго сводится к решению уравнений пограничного слоя. Однако учет вне порядковых отличий угла наклона ударной волны от угла на- клона поверхности тела, который приводит к не- обходимости определения изменения угла накло- на ударной волны и, как следствие, определения продольного градиента давления dp/dx за удар- ной волной, позволяет расширить диапазон при- менения [8]. При этом используются соотношения Рэнкина-Гюгонио, записанные в общем случае с учетом скольжения. Перечисленные задачи объединены общностью математической постановки. Системы уравнений для их решения содержат уравнения второго по- рядка параболического типа – уравнения для про- дольной составляющей вектора скорости, темпе- ратуры или энтальпии, концентрации компонент для смеси газов и уравнение первого порядка – уравнение неразрывности. Кроме того, в эти зада- чи входят неизвестные параметры или функции: толщина пограничного слоя или ширина струи, толщина вытеснения и распределение давления в задачах вязкого взаимодействия или продольный градиент давления в течениях в трубах и каналах. Общей особенностью всех этих задач является то, что для нормальной к направлению основного те- чения компоненты вектора скорости Vn, определя- емой из уравнения первого порядка – уравнения неразрывности, формулируется краевая задача – задаются условия для Vn на двух границах расче- тной области. Наиболее просто эти условия запи- сываются на границах, являющихся обтекаемыми поверхностями тел, Vn = 0 или Vn = Vnw – задан- ная функция. В других случаях условие для ком- понент скорости Vn формулируется, исходя из до- полнительных соотношений. Например, для задач вязкого взаимодействия эти соотношения вытека- ют из условий сопряжения с внешним невязким потоком, а для задач, решаемых в приближени- ях тонкого вязкого ударного слоя – из обобщен- ных соотношений Рэнкина-Гюгонио. Во всех слу- чаях возможность решения краевой задачи для поперечной составляющей вектора скорости Vn об- условлено наличием дополнительных свободных параметров или функций, а ее реализация орга- нично связана с решением уравнений первого по- рядка и, в частности, уравнения неразрывности. В свою очередь, определение этих свободных функ- ций или параметров требует организации дополни- тельного итерационного процесса, на каждом ша- ге которого необходимо решать уравнения второго порядка параболического типа. Поскольку такая формулировка задач являе- тся обобщением приближения пограничного слоя, то класс задач, объединенных описанной общно- стью, будем называть задачами типа погранично- го слоя. Основанием для такого понятия служит то, что особенности конечно-разностной аппрокси- мации дифференциальных уравнений задач типа пограничного слоя, решение соответствующих ал- гебраических уравнений для сеточных функций, а также организация итерационного процесса для определения свободных параметров или функций практически не зависят от конкретной гидрогазо- динамической задачи, в которой они использую- 20 И. С. Белоцерковец, В. И. Тимошенко ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2005. Том 7(79), N 3-4. С. 19 – 34 тся. Это позволяет при разработке методов и алго- ритмов решения задач исходить только из матема- тических свойств этих задач и отвлечься от их фи- зических особенностей. Созданные на этой основе алгоритмы, основные элементы которых изложе- ны в [9, 10], и реализующие их программы могут быть использованы для решения широкого класса разных по физическому смыслу задач. Часть этих задач рассматривается ниже. 1. ДО- (СВЕРХ-)ЗВУКОВЫЕ СТРУИ В СПУТНОМ СВЕРХ- (ДО-)ЗВУКОВОМ ПОТОКЕ При вдуве струи в безграничный сверхзвуковой поток либо если большая часть канала или тру- бы занята спутным сверхзвуковым потоком, дав- ление во внешнем потоке определяется условиями взаимодействия этого потока с дозвуковой струей. В свою очередь, течение в дозвуковой струе опре- деляется давлением в спутном потоке. В связи с этим решение задачи требует детального расчета взаимодействия через давление вдуваемой струи с внешним сверхзвуковым потоком. В этих услови- ях эффективной оказывается модель, использую- щая уравнения пограничного слоя для описания течения во вдуваемой дозвуковой струе, и урав- нения невязкого течения (уравнения Эйлера) для внешнего сверхзвукового потока, дополненные со- отношениями, описывающими вязко-невязкое вза- имодействие и вытекающими из сращивания ре- шений дифференциальных уравнений. Эта же мо- дель оказывается достаточно эффективной и при описании вдува сверхзвуковых струй в спутный дозвуковой поток в трубе или канале. Методоло- гия решения таких задач развита в работах [8, 11– 14]. Этим задачам свойственна особенность, свя- занная с переходом от до- к сверхзвуковому тече- нию во вдуваемой струе или спутном потоке. Это накладывает определенные особенности на фор- мулировку и реализацию алгоритмов численного решения таких задач. Возможные схемы течений, которые имеют место при взаимодействии до- (сверх-)звуковых струй со спутным сверх- (до-)звуковым потоком, приведены на рис. 1. На схеме (a) изображены кар- тины симметричного и несимметричного течений за плоским торцом в сверхзвуковом спутном пото- ке при наличии дозвукового вдува через проница- емую стенку донного среза. Схемы (б) и (в) иллю- стрируют течения в ограниченном пространстве – канале или трубе: (б) – схема истечения дозву- ковой вдуваемой струи в спутный сверхзвуковой поток; (в) – схема течения для задачи о взаимо- действии сверхзвуковой вдуваемой струи с дозву- ковым спутным потоком. Отличительной особен- ностью этих задач является наличие вязкой сим- метричной или несимметричной области течения, взаимодействующей со сверхзвуковыми потоками, которые описываются в приближении невязкого газа. Параметры вязкого течения существенно за- висят от волновой структуры невязких сверхзву- ковых потоков, изменение которой в свою очередь определяется механизмом взаимодействия волн с дозвуковой частью течения. При всех численных расчетах, результаты которых обсуждаются ниже, параметры невязких потоков и интенсивность вду- ва выбирались так, чтобы исключить образование рециркуляционных зон и областей дозвукового не- вязкого течения. Во всех этих задачах одним из определяю- щих параметров является относительный удель- ный расход во вдуваемой дозвуковой струе, кото- рый находится как отношение qv = (ρu)v/(ρu)e, где индексы v и e относятся к параметрам струи и невозмущенного сверхзвукового потока в плоско- сти сечения вдува. В связи с наличием передачи возмущений вверх по потоку, свойственным дозву- ковым течениям, в практических задачах относи- тельный расход зависит не только от условий в ре- сивере, откуда газ истекает, но и от условий вза- имодействия дозвуковой струи со спутным пото- ком. Поэтому эта величина подлежит определе- нию при заданных параметрах торможения вдува- емого газа и параметрах спутного сверхзвукового потока. Однако, имея целью проиллюстрировать возможности сформулированной методологии ре- шения задач, вопросы нахождения qv, которые мо- гут составить предмет решения отдельной зада- чи, рассматривать не будем. К рассматриваемо- му классу течений относятся течение в дозвуко- вой струе, образованной в сверхзвуковом потоке в результате нерегулярного взаимодействия удар- ных волн (схема (г) ), и течение, возникающее при падении интенсивной ударной волны на сверхзву- ковую струю, распространяющуюся в сверхзвуко- вом потоке (схема (д) ). При нерегулярном взаи- модействии ударных волн возникает слабо искрив- ленный, близкий к прямому, скачок уплотнения на поверхности контактного разрыва. При пере- ходе через скачок течение становится дозвуковым и, следовательно, в спутном сверхзвуковом потоке образуется дозвуковая струя. При падении скачка уплотнения на сверхзвуковую струю, как показа- но на схеме (д), в этой струе может возникнуть прямой скачок уплотнения, за которым течение становится дозвуковым, т. е. как и в течении по И. С. Белоцерковец, В. И. Тимошенко 21 ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2005. Том 7(79), N 3-4. С. 19 – 34 Рис. 1. Схемы течений при взаимодействии до-(сверх-)звуковой струи со спутным сверх-(до-)звуковым потоком схеме (г): в области, лежащей вниз по потоку от возникшего прямого скачка, получаем дозвуковую струю, распространяющуюся в спутном сверхзву- ковом потоке. В этой группе течений положение прямого скачка подлежит определению при реше- нии задачи. Все перечисленные задачи, представляя само- стоятельный интерес, позволяют проиллюстриро- вать основные особенности распространения до- звуковых струй в спутном сверхзвуковом потоке. 1.1. Основные уравнения. Условия вязко- невязкого взаимодействия Особенностью рассматриваемых задач являе- тся необходимость сопряженного решения уравне- ний пограничного слоя и уравнений Эйлера, так как в этих течениях вязко-невязкое взаимодей- ствие играет определяющую роль. Поэтому при постановке задачи наряду с записью дифферен- циальных уравнений и соответствующих грани- чных условий необходимо сформулировать и усло- вия вязко-невязкого взаимодействия. Общие прин- ципы формулировки таких условий изложены в [8, 11]. В качестве иллюстрации основных особенно- стей задачи остановимся на выводе уравнений со- пряжения для двумерных несимметричных тече- ний. Течение в вязкой зоне смешения и в дозву- ковых струях будем описывать уравнениями типа пограничного слоя. Решение этих уравнений дол- жно удовлетворять условиям сопряжения значе- ний параметров струи и спутных сверхзвуковых потоков: u = Uδk(x), i0 = u2/2 + i = i0δk(x) при y = yk, k = 1, 2, где y = yk(x) – условные границы вязкой области снизу (k = 1) и сверху (k = 2); индекс δ относится к параметрам невяз- кого спутного потока. Для симметричной вязкой области граничное условие на нижней границе за- писывается в виде: v = ∂u/∂y = ∂i0/∂y при y = y1 = 0. В случае несимметричной “вязкой” области гра- ничное условие для поперечной составляющей ско- рости будет оговорено ниже. Распределение давления p(x) находится из усло- вия сопряжения с внешними “невязкими” пото- ками. В задачах пограничного слоя, решаемых с учетом высших приближений, для определения продольного градиента давления формулируются условия вязко-невязкого взаимодействия, которые основываются на концепции толщины вытеснения 22 И. С. Белоцерковец, В. И. Тимошенко ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2005. Том 7(79), N 3-4. С. 19 – 34 либо вытекают из условий асимптотического сра- щивания решений уравнений пограничного слоя и уравнений невязкого обтекания. Используя урав- нение неразрывности, можно показать, что между обоими этими подходами к формулировке условий вязко-невязкого взаимодействия имеется взаимо- связь (например, [8]). При построении унифицированных алгоритмов для нахождения продольного градиента давления в задачах типа пограничного слоя эффективным оказывается непосредственно использовать соот- ношения, вытекающие из краевого характера гра- ничных условий для поперечной составляющей ве- ктора скорости v, определяемой из уравнения не- разывности, которое имеет первый порядок отно- сительно v. Назовем эти соотношения уравнениями вязко- невязкого взаимодействия. Для их вывода пре- образуем уравнение неразрывности ∂yωρu ∂x + ∂ρyωρu ∂y = 0, (1) исключая из него с помощью уравнения количе- ства движения и уравнения энергии производные по продольной координате x от продольной состав- ляющей вектора скорости u, плотности ρ и удель- ной энтальпии i. После простых преобразований уравнение неразрывности (1) можно записать в виде [15]: ( 1 − 1 M2 ) yω 1 γp dp dx + ∂ ∂y yv u = 1 ρi yω u2 ( i ∂τ ∂y − u ∂Q ∂y ) , (2) где ∂Q ∂y = µ ( ∂u ∂y )2 − ∂ ∂y ( 1 Pr µ ∂i ∂y ) , τ = µ ∂u ∂y . Проинтегрировав уравнение (2) по y в пределах от y1 до y2, где y = yk(x) – уравнения границ вязкой области, получим γP ( yω 2 Vn2 U2 − yω 1 Vn1 U1 ) + B dp dx + A = 0, (3) где A, B имеют вид A = γ − 1 γ y2 ∫ y1 1 u2 { i ∂rωτ ∂y − u ∂rωQ ∂y } dy, B = y2 ∫ y1 ( 1 − 1 M2 ) rωdy; Рис. 2. Расчетная схема взаимодействия дозвуковой струи со спутным сверхзвуковым потоком Vnk – значение поперечной составляющей вектора скорости на асимптотических границах струи. Невязкие потоки сверху и снизу вязкой области обтекают некоторое эффективное тело, ограничен- ное поверхностями вытеснения y = y∗k(x) (рис. 2). В тонком слое невязкого газа, ограниченном по- верхностями y = yk(x) и y = y∗k(x), пренебре- жем поперечным градиентом давления, т. е. будем считать, что течение невязкого газа в этом слое описывается уравнениями невязкого погранично- го слоя. Для исключения из уравнения (3) комплекса yk Vnk Uk произведем сращивание решений уравне- ний пограничного слоя и внешних невязких пото- ков, в результате чего получим уравнение, которое после интегрирования по y можно записать в виде dp dx = ( γP ( y∗ω 2 dy∗2 dx − y∗ω 1 dy∗1 dx ) + A ) /∆, (4) где ∆ = y2 ∫ y1 d dy ( 1 − 1 M2 ) yω+1dy− − ( 1 − 1 M2 δ2 ) y∗ω+1 2 + ( 1 − 1 M2 δ2 ) y∗ω+1 1 . Уравнение (4) связывает распределение давле- ния в вязкой зоне смешения с функциями, зада- ющими форму нижней и верхней “эффективных” поверхностей вытеснения, обтекаемых невязкими И. С. Белоцерковец, В. И. Тимошенко 23 ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2005. Том 7(79), N 3-4. С. 19 – 34 потоками. Назовем его обобщенным уравнением вязко-невязкого взаимодействия. Остановимся более подробно на задании грани- чных условий для поперечной составляющей ско- рости при y = y1 6= 0. При заданных y1, y∗1 и dp/dx эта составляющая скорости определяется из урав- нения (4) при k = 1. Изменение v поперек вяз- кой области находится в результате интегрирова- ния уравнения первого порядка – уравнения нера- зрывности. Условие для v, вытекающее из урав- нения (4) при k = 2, будет выполняться автома- тически при dp/dx, найденном из этого же урав- нения, которое можно рассматривать как диффе- ренциальное, связывающее dp/dx, dy∗k/dx. Недо- стающие уравнения получаются в результате опре- деления течения в невязком сверхзвуковом пото- ке, обтекающем “эффективные” поверхности выте- снения. В общем случае для нахождения параме- тров на “эффективных” поверхностях можно полу- чить, используя уравнения Эйлера и условия ра- венства нулю нормальной к эффективным поверх- ностям вытеснения составляющей скорости, сле- дующие уравнения: dy∗k dx dp dx − ρδ kuδk d2y∗k dx2 = 1 yδ k ∂p ∂y ( 1 + ( dy∗k dx )2 ) . (5) В случае, когда внешнее течение описывается ре- шением Прандтля Майера, что дает достаточно точные для многих приложений результаты, мож- но воспользоваться следующими уравнениями: ( 1 − ( dy∗k dx )2 ) −1 d2y∗k dx2 = ( −1k ) √ M2 bk − 1 Mbk 1 γP dp dx . (6) Итак, имеем систему дифференциальных урав- нений (4) и (5) или (6) для определения неизвест- ных функций, которую будем называть системой обобщенных уравнений вязко-невязкого взаимо- действия. При этом коэффициенты уравнения (4) существенным образом зависят от изменения па- раметров в зоне вязкого течения. В свою очередь, эти параметры должны определяться из системы уравнений пограничного слоя. Принципиальным для уравнений (4), (5) или (6), которые следу- ет решать совместно с уравнениями погранично- го слоя и уравнениями Эйлера, является возмож- ность обращения величины ∆ в ноль при некото- ром значении x. Это связано с переходом дозву- кового осредненного по сечению течения в свер- хзвуковое. Характерным для истечения дозвуко- вых струй в спутный сверхзвуковой поток ока- зывается то, что возможность обращения знаме- нателя ∆ в ноль реализуется. При этом, для того, Рис. 3. Интегральные кривые уравнений вязко-невязкого взаимодействия чтобы были ограниченными производные dp/dx, необходимо одновременное обращение в ноль чи- слителя этих уравнений (4). Это условие служит для определения недостающих данных в началь- ном сечении дозвуковой струи: давления, расхо- да, геометрических характеристик и др. (неко- торые конкретные ситуации рассмотрены ниже, типичная картина поведения интегральных кри- вых уравнения (4), рассматриваемого как обыкно- венное дифференциальное уравнение относитель- но p(x), представлена на рис. 3). Причем сущность этого условия не зависит от способа представле- ния решения уравнений пограничного слоя и урав- нений невязкого течения. Это позволяет отделить вопросы построения алгоритмов и выбора расче- тных соотношений для прохождения особой точки и выбора величины донного давления от вопросов решения уравнений, описывающих течение в вяз- кой и невязкой областях. 1.2. Результаты численных расчетов до- (сверх-)звуковых струй в спутном сверх- (до-)звуковом потоке Для иллюстрации основных закономерностей течений рассмотрим результаты численных расче- тов при различных значениях определяющих па- раметров. При расчетах использовалась алгебраи- ческая и дифференциальная модели турбулентно- сти. В серийных расчетах можно использовать ал- гебраическую модель турбулентности, как более простую. В соответствии со сказанным выше, PД – давление в начальном сечении дозвуковой струи – подбиралось таким образом, чтобы числитель и знаменатель в уравнении (4) обращались в ноль в одном и том же сечении x = const. Это сечение назовем сечением “запирания”. Возмущения, вно- 24 И. С. Белоцерковец, В. И. Тимошенко ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2005. Том 7(79), N 3-4. С. 19 – 34 Рис. 4. Зависимости давления от интенсивности вдува и относительной температуры вдуваемой струи симые в поток ниже по течению от этого сечения, не влияют на величину давления на срезе сопла и на распределение давления в струе до сечения “запирания”. Результаты, иллюстрирующие пове- дение интегральных кривых уравнений (4), (6), представлены на рис. 3. Для оценки влияния разных способов расчета невязких потоков на параметры вязкого течения в режиме вязко-невязкого взаимодействия расче- ты проводились как с использованием соотноше- ния (5), в котором производная ∂p ∂y определялaсь на основе численного интегрирования уравнений газовой динамики по схеме Мак-Кормака, так и из соотношения (6), полученного с использовани- ем решения Прандтля-Майера для простой вол- ны. Результаты расчетов хорошо согласуются ме- жду собой (штриховая и сплошная линии 1 на рис. 4), что позволяет использовать при решении за- дачи истечения дозвуковой струи в безграничный спутный сверхзвуковой поток соотношение (6) и не решать уравнения для невязкого газа. Влия- ние интенсивности вдува и температуры вдувае- мой струи на величину давления в сечении вдува при числах Рейнольдса 500, 1000, 3000 (кривые 1–3 соответственно) проиллюстрировано на рис. 4. Ре- зультаты получены при следующих опорных зна- чениях параметров: M1 = M2 = 2, qbd = 0.05. 1.3. Распространение до- (сверх-)звуковой струи со спутным сверх- (до-)звуковым пото- ком в канале и трубе Отличительной особенностью задачи о распро- странении дозвуковой струи в спутном сверхзву- ковом потоке в трубе или канале (схема (б) на рис. 1) является постановка граничных условий непро- текания на ограничивающей поверхности AА. Это соответствует задаче об истечении блока плоских одинаковых струй в спутный равномерный сверх- звуковой поток, когда поверхности AА и ВВ, яв- ляясь плоскостями симметрии, вычленяют повто- ряющийся фрагмент поля течения, изображенный на рис 1, б. Результаты, полученные в этом слу- чае, могут быть интерпретированы и как резуль- таты расчета истечения дозвуковой струи в спу- тный сверхзвуковой поток в канале или трубе, ко- гда трение на стенках не учитывается. Это допу- щение слабо влияет на распределение статическо- го давления по оси канала на относительно неболь- ших расстояниях. Параметры истечения дозвуко- вой струи в спутный сверхзвуковой поток в трубе или в канале существенным образом определяю- тся отражением волн сжатия и разрежения от по- верхности трубы или канала и их взаимодействием с дозвуковой струей. Поэтому для расчета таких течений необходимо для определения параметров невязкого потока в сверхзвуковой части течения использовать численные методы с использованием конечно-разностного аналога соотношения (5). В качестве иллюстрации основных особенностей те- чения на рис. 5 приведены распределения давле- ния на оси и стенках канала при различных зна- чениях относительной ширины вдуваемой струи h (1 − h = 0.1, 2 − h = 0.334, 3 − h = 0.5; MΘ = 2, qv = 0.05, h отнесено к ширине струи в началь- ном сечении). Сравнение результатов расчетов между собой показывает, насколько существенно влияние стен- ки на волновую структуру. Чем больше h, тем И. С. Белоцерковец, В. И. Тимошенко 25 ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2005. Том 7(79), N 3-4. С. 19 – 34 Рис. 5. Распределение статического давления и толщины вытеснения в канале при различных значениях относительной ширины дозвуковой струи быстрее волновая структура невязкого потока ска- зывается на параметрах течения в вязкой обла- сти. Более подробно эволюцию волновой структу- ры распределения давления при движении вниз по потоку от кромки сопла проследим на примере, когда задана относительная ширина струи в на- чальном сечении h = 0.5 (кривые 3 на рис. 5). Поскольку отношение давления в струе в сечении к давлению в невозмущенном сверхзвуковом по- токе Pq/Pe < 1, то при стекании сверхзвукового потока с кромки сопла образуется волна разре- жения, которая, попадая на стенку AA, вызыва- ет понижение давления (на участке x = 1.8 ÷ 4). Отражаясь от стенки АА, волна разрежения по- сле взаимодействия с волнами сжатия, иницииро- ванными обтеканием сверхзвуковым потоком во- гнутой поверхности эффективного тела вытесне- ния, попадает на струю и приводит к понижению давления на оси канала (на участке x = 4 ÷ 7.5, сплошная кривая). Эта волна, отражаясь от по- верхности эффективного тела, приводит, с одной стороны, к росту y∗(x), т. е. к утолщению эффе- ктивного тела вытеснения, и, с другой стороны, к дальнейшему инициированию волн сжатия, кото- рые, попадая на стенку АА, вызывают на ней по- вышение давления. Отражаясь от стенки, волны сжатия приводят к увеличению давления в струе и уменьшению толщины “тела вытеснения”, зада- ваемой функцией y = y∗(x). Рассмотрим задачу о взаимодействии сверхзву- ковой струи со спутным дозвуковым потоком в канале (рис. 1, схема (a)). Как и в предыдущей задаче, параметры в дозвуковом потоке, ограни- ченном поверхностью канала и границей свер- хзвуковой струи, определяются, исходя из чи- Рис. 6. Изменение давления на стенке канала при вдуве дозвуковой струи в сверхзвуковой поток в канале сленного решения уравнений пограничного слоя, а вдуваемая сверхзвуковая струя рассчитывается конечно-разностным методом Мак-Кормака, исхо- дя из уравнений невязкого течения. Распределе- ние давления в дозвуковом потоке находится из условий вязко-невязкого взаимодействия (4), (5). Неизвестное значение статического давления Pq в дозвуковом потоке находится в процессе решения задачи из условий прохождения через особую то- чку системы уравнений вязко-невязкого взаимо- действия. На рис. 6 приведено распределение ста- тического давления вдоль стенки канала. Харак- тер распределения давления аналогичен приведен- ному на рис. 5 для задачи взаимодействия дозву- ковой струи со спутным сверхзвуковым потоком. Наблюдается такое же волнообразное изменение давления с затухающей вниз по потоку амплиту- дой. С увеличением относительной высоты сопла амплитуда колебаний статического давления воз- растает, а период колебаний уменьшается, что со- гласуется с волновой структурой течения в спу- тной невязкой недорасширенной струе. Там же на рис. 6 значками отмечены положения сечений “за- пирания”. За этими сечениями вязкое течение в среднем становится сверхзвуковым. 1.4. Дозвуковая струя в спутном сверхзвуковом потоке при нерегулярном взаимодействии удар- ных волн Рассмотрим взаимодействие двух симметрично расположенных ударных волн, которые формиру- ются на кромке сопла при истечении перерасши- ренной сверхзвуковой струи. В зависимости от не- расчетности струи и числа Маха на срезе сопла возможны две схемы взаимодействия. При первой 26 И. С. Белоцерковец, В. И. Тимошенко ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2005. Том 7(79), N 3-4. С. 19 – 34 Рис. 7. Влияние числа Маха на срезе сопла на размер скачка Маха схеме имеет место регулярное взаимодействие, при котором в точке пересечения ударных волн обра- зуются две переломленные ударные волны, вектор скорости за которыми параллелен плоскости сим- метрии, и течение остается сверхзвуковым. При второй схеме имеет место нерегулярное или махов- ское взаимодействие. В этом случае в некоторой точке А (рис. 1) образуется отраженная ударная волна АВ, поверхность контактного разрыва AL и сильная ударная волна АО (маховский скачок) с дозвуковым течением за ней. Размер маховского скачка определяется взаимодействием дозвуковой струи, формирующейся за этим скачком, со спу- тным сверхзвуковым потоком. При математиче- ской формулировке задачи, учитывающей перечи- сленные выше особенности, примем во внимание, что, хотя скачок АO искривлен, давление вдоль него меняется незначительно. В связи с этим бу- дем считать, что давление постоянно в попереч- ных сечениях дозвуковой струи, и для описания течения в ней воспользуемся уравнениями погра- ничного слоя. При наличии падающей волны разрежения, образованной при отражении ударной волны АВ от границы струи, изменение давления на линии AL определяется не только формой этой линии, но волной разрежения, под действием которой давле- ние в сверхзвуковом потоке на вогнутой поверхно- сти уменьшается. В этом случае замкнутое реше- ние может быть получено и в приближении невяз- кого газа. Влияние вязкости при этом носит ко- личественный характер. Сформулированная выше задача об истечении дозвуковой струи в спутный сверхзвуковой поток дает возможность оценить степень влияния вязкости на параметры течения при нерегулярном взаимодействии ударных волн. В качестве иллюстрации применения этого под- хода рассмотрим нерегулярное взаимодействие скачков уплотнения в плоской перерасширенной струе. Параметры струи будем задавать числом Маха и углом β скачка, возникающего на срезе со- пла. По этим параметрам легко определяется не- расчетность струи. Линейные размеры отнесем к половине ширины струи на срезе сопла. Неизве- стной является величина yd, равная высоте “пря- мого” скачка уплотнения АО (маховского скачка), которая подлежит определению при решении за- дачи взаимодействия. На рис. 7 представлена за- висимость yd от M для различных углов β. Спло- шной и штриховой линиями нанесены результаты, полученные в невязком приближении и при тур- булентном течении в струе. Видно, что турбулен- тное перемешивание приводит к уменьшению ска- чка Маха. 1.5. Взаимодействие ударной волны со сверх- звуковой струей Рассматривается задача о падении ударной вол- ны на сверхзвуковую струю, истекающую в спу- тный сверхзвуковой поток. Необходимость расчета такого класса течений возникает при решении раз- личных задач внешней и внутренней газовой дина- мики. Влияние вязкости на характеристики тече- ния до сечения падения ударной волны на струю не учитывается, что вполне оправдано на началь- ном участке струи, когда ширина области смеше- ния намного меньше начальной ширины струи, и значение турбулентной вязкости до сечения вза- имодействия на порядок меньше соответствующе- го характерного значения в области взаимодей- ствия с ударной волной. Для чисел Маха в потоке Me и в струе Mg по- лагается выполнение условий Me > Mg > 1. На- чальная ширина струи h0 принимается в качестве характерного линейного размера, т. е. h0 = 1. Па- дающая на струю ударная волна характеризуе- тся углом наклона βe относительно направления течения невозмущенного потока. В зависимости от значений определяющих параметров задачи βe, Me, и Mg возможны различные виды взаимодей- ствия (рис. 8). a) Полностью регулярное взаимодействие. Кар- тина течения, полученная в результате расчета и И. С. Белоцерковец, В. И. Тимошенко 27 ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2005. Том 7(79), N 3-4. С. 19 – 34 Рис. 8. Схемы взаимодейстия ударной волны со сверзвуковой струей соответствующая полностью регулярному взаимо- действию при βe = 22◦, представлена на рис. 8, а. Падающая ударная волна DA при взаимодействии с поверхностью контактного разрыва A1B1 распа- дается на преломленную волну АО, распространя- ющуюся в струе, и веер волн разрежения EAE’ в потоке. При регулярном отражении ударной вол- ны АО от плоскости симметрии течения ОО обра- зуется отраженная ударная волна ОВ, которая, взаимодействуя с границей струи A1B1 в точке В, распадается на преломленную ударную волну ВС, распространяющуюся в потоке, и переотраженную ударную волну ВО в струе. Картина переотраже- ния ударной волны ВО повторяется вниз по по- току до тех пор, пока течение в струе и потоке не станет опять плоскопараллельным. На доста- точно большом расстоянии от области взаимодей- ствия вниз по потоку параметры ударной волны ВО принимают значения, соответствующие регу- лярному отражению ударной волны DA от пло- скости A1A при заданном числе Маха в невозму- щенном потоке Me. Ширина струи находится из условия сохранения массы в струе. Особенностью полностью регулярного взаимодействия является то, что при прохождении через систему скачков в струе и потоке течение газа остается сверхзвуко- вым. б) Нерегулярное отражение в струе. Если в усло- виях рассмотренного выше течения интенсивность преломленной ударной волны АО или любой из переотраженных волн BO′, BO′′ такова, что не- возможно ее регулярное отражение от плоскости симметрии OO1, то в струе имеет место нерегу- лярное взаимодействие (рис. 8, б). В этих услови- ях возникают сильная ударная волна FO (рис. 8, г) с дозвуковым течением за ней и слабая отра- женная волна FВ. При взаимодействии этих волн с поверхностью контактного разрыва BB′ и с гра- ницей дозвуковой области струи образуется серия отраженных и переотраженных ударных волн и волн разрежения. Изменение давления вдоль до- звуковой области струи определяется этими вол- нами. в, г) Полностью нерегулярное отражение. Если интенсивность падающей ударной волны DА на- столько велика, что невозможна реализация схе- мы течения, описанной в п. б, то течение полно- стью перестраивается (рис. 8, г). В струе обра- зуется обращенная к направлению потока выпу- клостью ударная волна FO, близкая к прямой, в отличие от аналогичной вогнутой ударной волны при нерегулярном отражении в струе (рис. 8, в), течение за которой становится дозвуковым. Поло- жение этой волны заранее неизвестно и подлежит определению в процессе решения задачи. В набега- ющем потоке образуется слабая ударная волна FА, угол наклона которой совместно с углом накло- на сильной ударной волны FО в точке F опреде- ляется из соотношений Рэнкина-Гюгонио, исходя из условий на контактной поверхности FВ (равен- 28 И. С. Белоцерковец, В. И. Тимошенко ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2005. Том 7(79), N 3-4. С. 19 – 34 ство давлений и равенство углов наклона векто- ров скорости снизу и сверху). Во внешнем пото- ке ударная волна FА взаимодействует с падающей ударной волной DА, в результате чего образуются две ударные волны АС и АВ и поверхность конта- ктного разрыва. Углы наклона ударных волн АС и АВ и значения газодинамических параметров за ними в точке А можно рассчитать из соотноше- ний Рэнкина-Гюгонио и условий на контактной по- верхности. Ударная волна АВ при взаимодействии с границей в точке В отражается от нее веером волн разрежения HBH ′ с образованием излома в форме границы дозвуковой струи в точке В. Для этой задачи характерно, что взаимодей- ствие ударной волны со струей происходит без до- полнительных внешних возмущений. Назовем не- регулярное взаимодействие ударных волн, струк- тура которого формируется без влияния вне- шних, изолированным. Легко убедиться, что зада- ча определения параметров изолированного вза- имодействия в постановке невязкого газа не име- ет решения. Действительно, изменение давле- ния вдоль струи определяется условиями взаимо- действия со сверхзвуковым потоком в области ABO. Поскольку при нерегулярном взаимодей- ствии угол наклона контактной поверхности в то- чке А отрицательный и при удалении вниз по по- току от этой точки из-за влияния плоскости сим- метрии стремится к нулю, то контактная поверх- ность AВО должна иметь по крайней мере учас- тки вогнутости. На этих участках площадь по- перечного сечения струи, ограниченной поверхно- стью AВО, должна уменьшаться. В то же вре- мя, при сверхзвуковом обтекании вогнутой конта- ктной поверхности происходит увеличение давле- ния, что вызывает торможение дозвуковой струи. В связи с необходимостью сохранения массы в струе, ограниченной поверхностью тока AВО, пло- щадь поперечного сечения струи при торможе- нии дозвукового потока должна увеличиваться. Таким образом, приходим к противоречию. Сле- довательно, в постановке невязкого газа задача о нерегулярном взаимодействии не имеет решения. Для разрешимости задачи о нерегулярном взаимо- действии ударных волн в приближении невязко- го газа необходимо, чтобы на контактную поверх- ность в области ее вогнутости падала извне вол- на разрежения, которая приводила бы к пониже- нию давления. Именно это имело место в рассмо- тренной выше задаче о нерегулярном взаимодей- ствии ударных волн в “пере” расширенной струи. В данном течении такая волна разрежения отсут- ствует и для формулировки замкнутой постанов- ки задачи необходимо учесть эжектирующее влия- ние сверхзвукового течения, примыкающего к до- звуковой струе. Другими словами, в этом случае расчет взаимодействия сверхзвукового потока со спутной дозвуковой струей необходимо проводить с учетом вязкости или, более конкретно, с учетом турбулентного перемешивания в зоне смешения. Уравнения пограничного слоя, описывающие те- чение в дозвуковой струе, и уравнения, описыва- ющие течение в невязком сверхзвуковом потоке, решаются маршевыми по продольной координате конечно-разностными методами. Характеристики невязкого течения в начальном сечении, в котором расположен скачок Маха FО, полагаются равными параметрам за скачком FA. Наклон этого скачка в свою очередь определяется, исходя из условий равенства давлений за скачками OF и FA. На- чальные данные в дозвуковой струе определяются из условия за прямым скачком ОF. Сопряжение решений уравнений невязкого течения и пограни- чного слоя осуществляется с помощью уравнений вязко-невязкого взаимодействия (4), (5). Для этих уравнений формулируется задача Ко- ши. Для этого в сечении скачка уплотнения FО x = 0 необходимо задать начальные значения p, dy∗ dx , y∗. Величины p, dy∗ dx = tgΘF определяются из соотношений Рэнкина-Гюгонио для условий в тройной точке F. Что касается y∗(0), то при тече- нии по схеме (г) имеем y∗(0) = 1, а при течении по схеме (в) эта величина может быть определена, если найдена координата x точки В или B′. По- ложение прямого скачка FO в случае полностью нерегулярного отражения может быть определено, если задано положение точки А. Таким образом, во всех этих течениях необходимо определить ко- ординату x точки А (или В и B′ ), которая находи- тся из условия прохождения особенности типа “се- дло” в обобщенных уравнениях вязко-невязкого взаимодействия (4), (5) и является собственным числом задачи. Зная расстояние xA или xB и xB′ точек А или В и B′, можно однозначно определить положение скачка FО в плоскости течения при за- данных βe, Me, Mg. Результаты расчетов нерегулярного отражения в струе и полностью нерегулярного отражения представлены на рис. 8. Расчеты соответству- ют течению при постоянных и равных значени- ях отношения удельных теплоемкостей γ = 1.4 и при значениях чисел Маха в потоке и струе соо- тветственно Me = 5, Mg = 3. Картины течения, представленные на рис. 8, a – г, отвечают разли- чным значениям угла наклона βe падающей удар- ной волны DА. При βe = 26◦ реализуется схема течения с нерегулярным отражением в струе (рис. И. С. Белоцерковец, В. И. Тимошенко 29 ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2005. Том 7(79), N 3-4. С. 19 – 34 Рис. 9. Влияние интенсивности падающей ударной волны на расстояние XA = xA/h0 и длину дозвуковой области L/h0(−−−) 8, б). При увеличении угла наклона ударной волны DA до βe = 29◦ (рис. 8, в) нерегулярное отражение в струе происходит уже для преломленной волны АF. Дальнейшее увеличение интенсивности пада- ющей ударной волны DA приводит к перестройке течения и реализации схемы рис. 8, г при βe = 32◦. Рис. 9 иллюстрирует влияние интенсивности пада- ющей ударной волны на геометрические характе- ристики дозвукового участка струи: на расстояние XA = xA/h0 (сплошные кривые) и длину дозвуко- вой области L = L/h0 (штриховые), измеряемую от сечения сильной ударной волны FО до сечения, в котором среднее число Маха равно единице. Ра- счеты проводились для схемы полностью нерегу- лярного отражения при Mg = 3. Кривые 1 – 3 сответствуют Me = 5, 6, 7. 2. ТЕЧЕНИЕ В КАНАЛАХ При истечении струи в спутный поток в длин- ных трубах и каналах зона турбулентного пере- мешивания распространяется на некотором рас- стоянии от входа на все поперечное сечение ка- нала, невязкая часть потока вырождается и урав- нения пограничного слоя могут быть применены для расчета параметров течения во всем канале. При этом, как уже упоминалось, можно считать, что давление не изменяется в поперечном сече- нии. Продольный градиент давления подбирается так, чтобы удовлетворялись оба граничных усло- вия для поперечной составляющей вектора скоро- сти. Этот подход может быть использован как для двумерных течений, так и для пространственных, в которых давление является функцией двух пере- менных. Соответствующие алгоритмы описаны в [9, 10]. Как показано в [8] при этом автоматически удовлетворяется условие сохранения расхода при течении газа по каналу. Однако для сопел со сла- бо меняющимся наклоном стенки к оси симметрии (приближение узкого канала) для определения ра- спределения давления вдоль сопла более удобно воспользоваться уравнениями типа (4), наличие особой точки типа “седло” в которых позволяет построить алгоритм определения расхода вязкого газа, который может пропустить сопло при задан- ных давлении и температуре торможения во вхо- дном сечении сопла и параметрах газа в ресивере. Применительно к задаче о течении вязкого газа в канале уравнение (4) может быть записано в виде: 1 ∫ 0 ( 1 − 1 M2 ) dη 1 γP dP dx = − 1 r2 dr2 dx − 1 ∫ 0 F u2 dη, (7) где y = r(x) – уравнение поверхности сопла; F = γ − 1 γ { i ∂yωτ ∂y − u ∂yωQ ∂y } , η = y r . Заметим, что для невязкого течения в гидравли- ческом приближении из этого уравнения вытекает обычное соотношение между изменением площади поперечного сечения сопла и градиентом давле- ния, применяемое в одномерной теории сопла Ла- валя. Интеграл, входящий в правую часть уравне- ния (7), расходится, если скорость газа на стенке стремится к нулю. Поэтому для вывода уравне- ния, связывающего изменения давления и площа- ди поперечного сечения канала, удобнее восполь- зоваться предложенным в [16] подходом, основан- ным на осреднении параметров в плоскости попе- речного сечения. Введем осредненные по попере- чному сечению сопла параметры: r2ρmU = 2 r ∫ 0 ρuydy = 2A, r2ρmU = 2 r ∫ 0 ρu2ydy = 2J, U = J/A, ρm = 2A/r2U. Запишем уравнения пограничного слоя в дивер- гентном виде и проинтегрируем их по y в пределах от 0 до r(x). Полагая, что осредненные параметры 30 И. С. Белоцерковец, В. И. Тимошенко ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2005. Том 7(79), N 3-4. С. 19 – 34 – давление, плотность и энтальпия – связаны урав- нением состояния, после очевидных преобразова- ний запишем осредненные уравнения погранично- го слоя в виде r2ρmU = 2A = const, 1 U ( M2 − 1 ) dU dx = 1 r2 dr2 dx + M2 AU 1 Re ( µ du dy ) y=r . (8) В этих уравнениях скорость отнесена к (2CpT ∗ 0 )1/2, давление – к P ∗ 0 , плотность – к ρ∗0 , линейные размеры – к радиусу критического сечения сопла r∗; Re = (2CpT ∗ 0 )1/2ρ∗0R ∗/µ∗ 0; T ∗ 0 , ρ∗0 – параметры в ресивере. Второе уравнение (8) отличается от уравнений одномерного течения через сопло наличием слага- емого, учитывающего трение о стенки канала. Для определения этого слагаемого необходимо знать профиль скорости в поперечном сечении. Урав- нения (7), (8) имеют особенность, связанную с обращением в ноль коэффициента при dp/dx или dU/dx, вызванным достижением скорости осре- дненного потока местной скорости звука. Как и в рассмотренных выше задачах, прохождение осо- бой точки этих уравнений обеспечивается специ- альным подбором расхода газа через сопло при за- данных параметрах в ресивере. Например, из вто- рого уравнения (8) видно, что для ограничения dU/dx и, следовательно, dp/dx, необходимо, что- бы в одном и том же сечении x было: M2 − 1 = 0, 1 r2 dr2 dx + M2 AU 1 Re ( µ du dy ) y=r = 0. (9) Эти равенства могут выполняться лишь при специально подобранном значении величины A, зная которую легко вычислить коэффициент ра- схода Cd – отношение реального расхода к расходу, рассчитанному для невязкого газа. Использование уравнения (8) оказывается удо- бным для определения dp/dx в окрестности крити- ческого сечения. Погрешность, вносимая усредне- нием параметров, здесь незначительна, так как в критическом сечении пограничный слой наиболее тонок. Для нахождения усредненных параметров, входящих в (8), (9), использовались результаты численного конечно-разностного решения уравне- ний пограничного слоя. В качестве примера, иллю- стрирующего получаемые результаты, рассчитано течение газа через коническое сопло с теплоизоли- рованными стенками. Угол полураствора входной части равен −30◦, выходной – +20◦. Образующие конических поверхностей сопрягаются окружно- стью с радиусом, равным 0.5. Расчеты проведены при Rе =1250, 590, 260, 175. Табл 1. Зависимость коэффициента расхода газа через сопло Лаваля от Re Re ∞ 1250 590 260 175 A 0.129 0.114 0.110 0.104 0.101 Cd 1 0.885 0.853 0.8 0.775 Cd эксп. - 0.9 0.84 0.8 0.77 В табл. 1 приведены значения расхода газа, по- лученные в расчете и в эксперименте [17]. На рис.10 представлено распределение отнесен- ной к радиусу текущего сечения сопла величины ядра равномерной скорости и температуры вдоль оси сопла. В ядре значения продольной скорости отличаются от соответствующих значений на оси менее, чем на 5%. Распределение температуры да- но в сравнении с экспериментальными данными из работы [17]. Увеличение температуры в расширя- ющейся части сопла вызвано влиянием работы сил вязкого трения. 3. ЗАДАЧА ГИПЕРЗВУКОВОГО ОБТЕКА- НИЯ ТУПЫХ ТЕЛ В ПРИБЛИЖЕНИИ ТОН- КОГО ВЯЗКОГО УДАРНОГО СЛОЯ Расчет параметров внешнего гиперзвукового об- текания тупых тел в приближениях тонкого вязко- го ударного слоя асимтотически строго сводится, как уже отмечалось, к уравнениям пограничного слоя, за исключением того, что учитывается гра- диент давления поперек ударного слоя, вызванный центробежными силами. Используя уравнение не- разрывности, легко убедиться, что для параме- тров за ударной волной должны выполняться сле- дующие порядковые соотношения: ρ ∼ 1/k, Va ∼ 1, Vn ∼ δ , δ ∼ k, где δ – характерная толщина вязко- го ударного слоя. Граничные условия на поверхно- сти тела остаются такими же, как и для уравнений Навье-Стокса. За ударной волной должны выпол- няться обобщенные уравнения Ренкина-Гюгонио, которые с учетом приведенных оценок записыва- ются в виде [6]: ρ0Vn1s = Vnse, ρ0V 2 n1s + P + ρeVnse + Pe, Vnse(Vas − Vase ) = (µ/K × ∂Vas /∂η), (10) Vnse(H − He) = µ K ( ∂H ∂η + (1/Pr − 1) ∂h ∂η ) , И. С. Белоцерковец, В. И. Тимошенко 31 ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2005. Том 7(79), N 3-4. С. 19 – 34 Рис. 10. Изменение ядра равномерной скорости (а) и температуры газа (б) вдоль оси сопла где η = n S , n = S(x) – уравнение ударной волны; Va – касательные составляющие вектора скорости; K = k · Re; индекс s относится к компонентам ве- ктора скорости в системе координат, связанной с ударной волной. Последние два уравнения (10) служат в каче- стве одного из граничных условий для дифферен- циальных уравнений второго порядка относитель- но продольной составляющей вектора скорости и полной энтальпии. При этом, поскольку уравне- ния тонкого вязкого ударного слоя имеют пара- болический тип, их решение может быть полу- чено численными методами пошагового интегри- рования. Первое уравнение из системы (10) мо- жет быть удовлетворено соответствующим подбо- ром толщины вязкого слоя. Однако при заданных углах наклона ударной волны (или, что то же Vase и Vnse) это не вносит препятствий в пошаговое ин- тегрирование уравнений вязкого ударного слоя. Представляет интерес приближение, которое не следует из результатов асимптотических оценок – используются уравнения движения, в которых опущены слагаемые k, и условия на ударной вол- не, в которых сохранены члены k. Использова- ние более точных граничных условий на ударной волне позволяет существенно расширить диапа- зон по γ и Re применимости уравнений вязкого ударного слоя для описания сверхзвукового обте- кания тел. Однако решение задачи в этом прибли- жении представляет определенные трудности, свя- занные с необходимостью построения ударной вол- ны и обусловленные этим проявления “эллипти- чности”, присущей физической задаче. Возможен следующий итерационный путь решения этой за- дачи: проводится расчет обтекания тела при усло- вии Vase = Vae , Vnse = Vne . Отход ударной волны перед телом, т. е. функцию S(x) можно определить из условия ρVns = Vnse. Затем при Vase , найденных по определенному в предыдущей итерации S(x), опять решается задача обтекания и находятся но- вые значения S(x). В каждой итерации уравне- ния вязкого ударного слоя решаются маршевыми по продольной переменной конечно-разностными методами. При этом в условиях на ударной вол- не (10) величины Vase , Vnse считаются заданными, что не нарушает корректность пошагового инте- грирования дифференциальных уравнений пара- болического типа. Вся же задача решается свое- го рода некоторым методом установления, кото- рый получил название метода глобальных итера- ций или каскадной схемы [6, 18]. Это позволяет получить решение задачи при той ее “эллипти- чности”, которая вносится неопределенной заранее формой ударной волны. Учет передачи возмуще- ний вверх по потоку осуществляется в процессе численного дифференцирования таблично задан- ной функции S(x). При этом следует отметить, что для решения задачи реализуется итерацион- ный процесс, на каждом цикле которого осуществ- ляется два шага: на первом шаге при маршевом ре- шении уравнений вязкого ударного слоя находится отход ударной волны; на втором шаге с исполь- зование численного дифференцирования найден- 32 И. С. Белоцерковец, В. И. Тимошенко ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2005. Том 7(79), N 3-4. С. 19 – 34 Рис. 11. Распределение вдоль поверхности гиперболоида вращения: а – угла наклона поверхности; б – давления; в – кривизны; г – коэффициента трения ной функции S(x) определяются компоненты нор- мали к ударной волне или, что то же, величины Vase , Vnse . Некорректность процедуры численного дифференцирования во многих случаях не позво- ляет добиться сходимости глобальных итераций без применения дополнительных приемов. В свя- зи с этим представляется целесообразным добива- ться выполнения уравнения не выбором S(x), а подбором непосредственно Vnse – величины, вхо- дящей в граничные условия (10). При этом отход ударной волны можно найти в результате числен- ного интегрирования производной ∂S/∂x, которая в свою очередь определяется, исходя из Vnse . Это позволяет реализовать маршевое решение задачи с одновременным определением нормали к удар- ной волне, отказавшись от глобальных итераций [8, 19]. Кроме того, в таком подходе некорректная операция дифференцирования таблично заданной функции S(x), которая необходима для определе- ния Vase , Vnse , заменяется сглаживающей проце- дурой численного интегрирования при определе- нии S(x). Преимущества, достигаемые при этом, иллюстрируются на рис. 11, где представлены ре- зультаты расчета осесимметричного обтекания ги- перболоида вращения с полным внутренним углом 45◦. Приведены первая и вторая производные то- лщины вязкого слоя ∂S/∂x и ∂2S/∂x2, также рас- пределения давления и трения. Сплошные линии относятся к результатам, полученным по каска- дной схеме, и цифры обозначают номер итерации. Результаты расчетов с определением формы удар- ной волны по описанной маршевой схеме нанесе- ны штриховой линией. Из приведенных результа- тов видно, что построенные по маршевой схеме ра- спределения ∂S/∂x (рис. 11, б) и коэффициента трения (рис. 11, г) являются пределами, к кото- И. С. Белоцерковец, В. И. Тимошенко 33 ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2005. Том 7(79), N 3-4. С. 19 – 34 рым сходятся приближения каскадной схемы для соответствующих функций. Из рис. 11 хорошо ви- дно увеличение счетных осцилляций в значениях ∂S/∂x с ростом номера приближения. Для значе- ний второй производной ∂2S/∂x2 при x > 2 схо- димости не наблюдается, лишь условие малости абсолютных значений самой величины не наруша- ет устойчивости алгоритма. В то же время, опи- санная маршевая схема оказалась настолько уда- чной, что в поведении второй производной прак- тически нет осцилляций, хотя она и определяе- тся конечно-разностным дифференцированием ве- личины ∂S/∂x. При этом использовались левосто- ронние разностные соотношения. Заметим, что ре- зультаты, приведенные на рис. 11, получены для Me = 20, γ = 1.4, Re = 300. ЗАКЛЮЧЕНИЕ Упрощения, принятые Прандтлем при записи уравнений пограничного слоя, могут быть исполь- зованы не только для определения параметров в тонком пристеночном пограничном слое, но и при формулировке широкого круга задач о тече- нии вязкого газа. Получающиеся в результате этих упрощений системы уравнений содержат уравне- ния второго порядка параболического типа (урав- нения количества движения и энергии) и уравне- ние первого порядка (уравнение неразрывности). Кроме того, эти задачи содержат неизвестные па- раметры или функции: продольный градиент дав- ления, границы расчетной области и др. Общность математической постановки дает возможность ра- зрабатывать общие для различных по физической сущности задач методы и алгоритмы их решения. В качестве конкретных приложений сформулиро- ванных положений рассмотрены различные по фи- зической сущности задачи: истечение дозвуковой струи в спутный сверхзвуковой поток в канале; расчет течения при нерегулярном взаимодействии ударных волн; падение ударной волны на свер- хзвуковую струю; истечение вязкого газа через сопло Лаваля; определение параметров в вязком ударном слое при гиперзвуковом обтекании тупых тел. 1. Ван Дайк M. Теория сжимаемого пограничного слоя во втором приближении с применением к обтеканию затупленных тел гиперзвуковым пото- ком. Исследования гиперзвуковых течений. Под ред.Ф.Р.Ридделла // М.– Мир, 1964.– С. 35–38. 2. Нейланд В. Я., Сычев Асимптотические решения уравнений Навье-Стокса в областях с большими локальными возмущениями // Изв. АН СССР, МЖГ.– 1966.– N 4.– С. 43-49. 3. Нейланд В. Я. Асимптотические задачи теории вязких сверхзвуковых течений// Труды ЦАГИ.– 1974.– Bып. 1529.– C. 124. 4. Сычев В. В., Рубан А. И., Сычев Вик. В., Кро- лев Г. Л. Асимптотическая теория отрывных те- чений Под ред. В.В. Сычева. Наука.– М.: Гл. ред. Физ.-мат. Лит, 1987.– 256 с. 5. Нейланд В. Я., Боголепов В. В., Дудин Г. Н., Ли- патов И. И. симптотическая теория сверхзвуковых течений вязкого газа.– М.: Физматлит, 2003.– 456 с. 6. Магомедов К. М. Гиперзвуковое обтекание тупых тел вязким газом // Изв. АН СССР Сер. МЖГ.– 1970.– N 2.– С. 45–56. 7. Davis R. T. Numerical Solution of the Hypersonic Viscous-Layer Equations // AIAA Journal.– 1970.– V. 8, No 5.– P. 843–851. 8. Тимошенко В. И. Сверхзвуковые течения вязкого газа // К.– Наукова думка, 1987.– С. 187. 9. Timoshenko V. I. Computer technology of solving problems in gasdynamics.– New york: Begell house inc. Publishers, 1998.– 247 p. 10. Тимошенко В. И. Газовая динамика высокотемпе- ратурных технологических процессов.– Днепропе- тровск: Институт технической механики НАНУ и НКАУ, 2003.– 460 с. 11. Белоцерковец И. С., Тимошенко В. И. К расче- ту характеристик течения при равномерном вду- ве однородного газа в кормовой области тела // Журн. прикл. мех. и техн. физики.– 1984.– N 1.– С. 76–81. 12. Белоцерковец И. С., Тимошенко В. И. Влияние ра- спространения волн сжатия и разрежения на вза- имодействие до(сверх)-звуковой струи со спутным сверх (до)- звуковым потоком в канале и трубе // Журн. прикл. мех. и техн. физики.– 1990.– N 4.– С. 112–117. 13. Белоцерковец И. С., Тимошенко В. И. К расче- ту нерегулярного взаимодействия ударных волн // Журн. прикл. мех. и техн. физики.– 1992.– N 6.– С. 9–14. 14. Белоцерковец И. С., Тимошенко В. И. Взаимо- действие ударной волны со струей, истекающей в спутный сверхзвуковой поток с меньшей сверхзву- ковой скоростью // Журн. прикл. мех. и техн. физики.– 1993.– N 5.– С. 10–15. 15. Баум, Денисон Расчет взаимодействующего свер- хзвукового ламинарного следа методом конечных разностей // Ракет. Техника и космонавтика.– 1966.– Т. 4, N 2.– С. 12–20. 16. Тимошенко В. И. К расчету истечения вязкого газа через сопло Лаваля // Косм. исслед. на Украине.– 1976.– Вып.8.– С. 51–55. 17. Rothe D. E. Electron-Beam Studies of Viscous Flow in Supersonic Nozzles // AIAA Journal.– 1971.– V. 9, N 5.– P. 804–811. 18. Васильевский С. А., Тирский Г. А. О некоторых способах численного решения уравнений вязкого ударного слоя. Аэродинамика гиперзвуковых тече- ний при наличии вдува. Под ред. Тирского Г.А..– М.: МГУ, 1979.– 87–98 с. 19. Тимошенко В. И., Лиманский А. В Внешнее об- текание тел вязким газом // Численные методы динамики вязкой жидкости. Под ред Ю.А. Бере- зина / ИТПМ СО АН СССР, Новосибирск, 1983.– C. 288–291. 34 И. С. Белоцерковец, В. И. Тимошенко
id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-4796
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
issn	1561-9087
language	Russian
last_indexed	2025-12-07T15:57:44Z
publishDate	2005
publisher	Інститут гідромеханіки НАН України
record_format	dspace
spelling	Белоцерковец, И.С. Тимошенко, В.И. 2009-12-24T10:43:08Z 2009-12-24T10:43:08Z 2005 Обобщенные уравнения вязко-невязкого взаимодействия и их применение в задачах типа пограничного слоя / И.С. Белоцерковец, В.И. Тимошенко // Прикладна гідромеханіка. — 2005. — Т. 7, № 3-4. — С. 19-34. — Бібліогр.: 19 назв. — рос. 1561-9087 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/4796 533.6.011 Обсуждаются вопросы использования уравнений пограничного слоя для приближенного решения задач, в которых строго не выполняются асимптотические оценки параметров, используемые при обосновании классических уравнений пограничного слоя, полученных Прандтлем. Формулируется понятие задач типа пограничного слоя и обсуждаются алгоритмы их численного решения. В качестве конкретных примеров рассмотрены задачи о истечении дозвуковых струй в спутный сверхзвуковой поток (в том числе и задачи о течениях при нерегулярном взаимодействии ударных волн), течение вязкого газа в узких каналах и определения параметров в вязком ударном слое при гиперзвуковом обтекании тупых тел. Обговорюються питання використання рiвнянь пограничного шару для наближеного розв'язання задач, в яких строго не виконуються асимптотичнi оцiнки параметрiв, що використовуються при обєрунтуваннi класичних рiвнянь пограничного шару, отриманих Прандтлем. Формулюється поняття задач типу пограничного шару i обговорюються алгоритми їхнього чисельного рiшення. Як конкретнi приклади, розглянуто задачi: витiкання дозвукових струменiв у супутнiй надзвуковий потiк (у тому числi задачi про нерегулярнi взаємодiї ударних хвиль), течiї в'язкого газу у вузьких каналах i визначення параметрiв у в'язкому ударному шарi при гiперзвуковому обтiканнi тупих тiл. Problems on use of the boundary layer equations for an approximate solution of problems, in which an asymptotic evaluation of parameters for validation of the Prandtl classic boundary layer equations is not fully accomplished, are examined. The concept of boundary layer-type problems is formulated, and algorithms of their numerical solution are discussed. As specific examples, we consider problems on subsonic jets in a cocurrent supersonic flow (including problems on flows under irregular shock-wave interactions), the viscous-gas flow through narrow channels, and calculations of parameters in a viscous shock layer under the hypersonic flow around blunt bodies. ru Інститут гідромеханіки НАН України Обобщенные уравнения вязко-невязкого взаимодействия и их применение в задачах типа пограничного слоя Extended equations of viscous-inviscid interaction and their application to the problems of boundary layet type Article published earlier
spellingShingle	Обобщенные уравнения вязко-невязкого взаимодействия и их применение в задачах типа пограничного слоя Белоцерковец, И.С. Тимошенко, В.И.
title	Обобщенные уравнения вязко-невязкого взаимодействия и их применение в задачах типа пограничного слоя
title_alt	Extended equations of viscous-inviscid interaction and their application to the problems of boundary layet type
title_full	Обобщенные уравнения вязко-невязкого взаимодействия и их применение в задачах типа пограничного слоя
title_fullStr	Обобщенные уравнения вязко-невязкого взаимодействия и их применение в задачах типа пограничного слоя
title_full_unstemmed	Обобщенные уравнения вязко-невязкого взаимодействия и их применение в задачах типа пограничного слоя
title_short	Обобщенные уравнения вязко-невязкого взаимодействия и их применение в задачах типа пограничного слоя
title_sort	обобщенные уравнения вязко-невязкого взаимодействия и их применение в задачах типа пограничного слоя
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/4796
work_keys_str_mv	AT belocerkovecis obobŝennyeuravneniâvâzkonevâzkogovzaimodeistviâiihprimenenievzadačahtipapograničnogosloâ AT timošenkovi obobŝennyeuravneniâvâzkonevâzkogovzaimodeistviâiihprimenenievzadačahtipapograničnogosloâ AT belocerkovecis extendedequationsofviscousinviscidinteractionandtheirapplicationtotheproblemsofboundarylayettype AT timošenkovi extendedequationsofviscousinviscidinteractionandtheirapplicationtotheproblemsofboundarylayettype

Обобщенные уравнения вязко-невязкого взаимодействия и их применение в задачах типа пограничного слоя

Репозитарії

Схожі ресурси