Напряженно-деформированное состояние подвеса гироскопа при акустическом нагружении
Анализируется упругое взаимодействие проникающего акустического излучения разгонных блоков ракет-носителей с подвесом поплавкового гироскопа. Рассматривается торцевая пластина поплавка как наиболее опасная с точки зрения ее малой жесткости в направлении нормали. Проведена качественная и количеств...
Saved in:
| Published in: | Проблемы прочности |
|---|---|
| Date: | 2007 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України
2007
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/47993 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Напряженно-деформированное состояние подвеса гироскопа при акустическом нагружении / В.Н. Мельник // Проблемы прочности. — 2007. — № 1. — С. 39-54. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859729814260285440 |
|---|---|
| author | Мельник, В.Н. |
| author_facet | Мельник, В.Н. |
| citation_txt | Напряженно-деформированное состояние подвеса гироскопа при акустическом нагружении / В.Н. Мельник // Проблемы прочности. — 2007. — № 1. — С. 39-54. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Проблемы прочности |
| description | Анализируется упругое взаимодействие проникающего акустического излучения разгонных
блоков ракет-носителей с подвесом поплавкового гироскопа. Рассматривается торцевая
пластина поплавка как наиболее опасная с точки зрения ее малой жесткости в направлении
нормали. Проведена качественная и количественная оценка упругого деформированного
состояния поплавка.
Аналізується пружна взаємодія проникаючого акустичного випромінювання
розгінних блоків ракет-носіїв із підвісом поплавкового гіроскопа. Розглядається
торцева пластина поплавця як найбільш небезпечна з точки зору
малої її жорсткості у напряму нормалі. Проведено якісну і кількісну оцінки
пружного деформованого стану поплавця.
We analyze the elastic action of penetrating
acoustic radiation of accelerating units of carrier-
rockets on the float-type gyroscope suspension.
The edge plate of the gyroscope
suspension float is considered to the most critical
part from the point of view of its small rigidity
in the normal direction. We provide
qualitative and quantitative estimations of the
elastic strain condition of the gyroscope
suspension float.
|
| first_indexed | 2025-12-01T12:33:38Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 629.7.054
Напряженно-деформированное состояние подвеса гироскопа при
акустическом нагружении
В. Н . М ел ьн и к
Национальный технический университет Украины “КПИ”, Киев, Украина
Анализируется упругое взаимодействие проникающего акустического излучения разгонных
блоков ракет-носителей с подвесом поплавкового гироскопа. Рассматривается торцевая
пластина поплавка как наиболее опасная с точки зрения ее малой жесткости в направлении
нормали. Проведена качественная и количественная оценка упругого деформированного
состояния поплавка.
К л ю ч е в ы е с л о в а : напряженно-деформированное состояние, поплавковый
гироскоп, гироагрегат, торцевая пластина поплавка.
Введение. В командно-измерительных комплексах ракет-носителей (PH)
широко применяются так называемые поплавковые гироскопы, конструк
тивно лишенные основного недостатка “сухих” приборов - значительного и
в то же время непостоянного по величине момента трения на выходной оси.
Отличительной особенностью поплавковых модификаций является наличие
погруженной в тяжелую жидкость подвижной части прибора - поплавка с
гироагрегатом.
Принцип плавающего двухстепенного гироскопа была впервые предло
жен Л. И. Ткачевым [1], затем Дрейпером [2], под руководством которого в
Массачусетском технологическом институте были созданы опытные образ
цы. Фирмой “M inneapolis Honeywell Reg. Co” впервые разработаны серий
ные варианты плавающих гироскопов.
М оменту активного отделения второй ступени от первой предшествует
вывод на номинальный режим работы ее маршевых двигателей с одно
временной подготовкой к работе навигационно-пилотажного оборудования
PH. В этот период времени строится система заданных ориентирных направ
лений. Как оказалось, акустическое излучение со стороны двигательных
установок, которое проникает под головной аэродинамический обтекатель
PH, обусловливает возникновение волновых процессов в подвесе гироскопа,
приводящих к напряженно-деформированному состоянию как комплекту
ющих, так и поверхности поплавка в целом [3].
Экспериментальные исследования показали, что акустическое излуче
ние опасно не только для некорректируемых приборов, но и для корректи
руемых. Последний факт объясняется влиянием звуковых волн на чувстви
тельные элементы систем коррекции [4]. Наиболее сложным в рамках по
ставленной задачи представляется анализ напряженно-деформированного
состояния полиагрегатных структур, к которым могут быть отнесены, на
пример, поплавковые гироскопы.
© В. Н. МЕЛЬНИК, 2007
ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2007, № 1 39
В. Н. Мельник
П остан овка задачи. Опишем природу упругого взаимодействия акус
тического излучения с поплавковым гироскопом. При этом рассмотрим
отдельные элементы конструкции в предположении отсутствия перекачки
энергии акустической вибрации на сопряженные детали. Это позволит, не
лишая объективности возникающей картины, принципиально оценить сте
пень влияния прошедшего звукового излучения на характер возникающих
волновых процессов, что и является целью данного исследования.
Объектом исследований служила круглая пластина как наиболее под
верженная влиянию акустического нагружения.
В [5] впервые изучено влияние упругости на колебания конструкции в
жидкости, затем в [6 , 7] - при анализе бесконечных по протяженности
цилиндрических оболочек. Что касается исследования свойств оболочек при
акустическом нагружении, дифракции и интерференции звуковых волн на
их поверхности, то одной из первых следует назвать работу [8 ]. Дальнейшее
развитие эти направления, в том числе волновые задачи рассеяния звука,
получили, например, в [9-11].
С тац и о н ар н ая задача. М еханическую модель прохождения звука через
торец поплавка представим следующим образом (рис. 1).
Рис. 1. Схема прохождения звуковой волны через торец поплавка.
С левой (лицевой) стороны пластины падает плоская монохромати
ческая волна давления р в направлении нормали п к фронту. Падающую,
отраженную и прошедшую волны обозначим соответственно 1, 2 и 3. Тол
щину пластины примем равной Н, радиус - Я.
Систему координат 0 х у 2 свяжем со срединной плоскостью, а точку О
совместим с геометрическим центром. Очевидно, что пластина наиболее
подвержена влиянию акустического излучения в направлении 02 нормали к
поверхности, так как именно здесь ее импеданс минимальный по сравнению
с двумя другими измерениями.
Проанализируем возмущенное изгибное движение торцевой пластины
поплавка под действием плоской звуковой волны. Дифференциальное урав
нение вынужденных колебаний в форме Софи Жермен имеет вид
Б А 2Ж (х , у , г) + рН Ш (х , у , г) = д ( х , у , г), ( 1)
40 0556-171Х. Проблемы прочности, 2007, № 1
Напряженно-деформированное состояние
2 2 д 4 д 4 д 4 ^
где Д - итерированный лапласиан, Д = — 4 + 2 — 2— 2 + — 4 = А; Б , р ,4 *-> 2 ̂ 2 4дх дх ду ду
к и о - цилиндрическая жесткость, плотность материала пластины, толщи-
Е к
на и коэффициент Пуассона соответственно, Б = ; Ч - возмущ а
ющее воздействие.
Пластина колеблется относительно плоскости х О у . Уравнение (1) спра
ведливо в плоской области, которая расположена в системе хОу. Это урав
нение дает удовлетворительные результаты, если отношение толщины плас
тины к наименьшей длине генерируемой волны не превыш ает 0,1. В про
тивном случае следует учитывать сдвиг и инерцию вращения либо решать
трехмерную задачу
Исключим из рассмотрения время г и установим закономерность рас
пространения акустической вибрации. В этом случае уравнение (1) пре
образуется следующим образом:
2 1 ^
Ш = Д Ж ( х , у ) = Б Ч ( х , у ) = / (х , у X (2 )
где / (х , у ) - проекция плотности возмущающей силы к / (х , у ) на нормаль
к лицевой поверхности.
На боковой поверхности Г пластины
Г:
2 , 2 л 2х + у = К ;
к к (3)
2 2
выполняются граничные условия первого рода
д Щ
Щ Г = 0 ;|Г д п 1
что соответствует жесткому закреплению, где «1 - внешняя нормаль к
боковой поверхности.
Построим систему линейно независимых функций
и = и ( х , у ), х 2 + у 2 < К 2 , 2 = 0, і = 1, N , (5)
2
принадлежащих области определения бигармонического оператора А = Д
и удовлетворяющих условиям (5).
Линейную оболочку функций обозначим через и N . Таким образом,
координатные функции и і образуют базис
ТХОТ 0556-171Х. Проблемы прочности, 2007, N 1 41
В. Н. Мельник
{ и }= М1 , и 2 ,
в своей линейной оболочке и N .
Найдем приближенное решение Ж задачи (2)-(4) в виде линейной
комбинации координатных функций
Ж ~ с и г ( х , у ), г = 1, N (6 )
со столбцом
С = ( с 1 с 2 ... с 1* )т (7)
неизвестных коэффициентов с 1, подлежащих определению. Тогда выраже
ние (6 ) преобразуется к приближенному равенству
А Ж ~ Л с п 1 ( х , у ) = с Л п 1 ( х , у ) ~ / ( х , у ). (8 )
1 2 N ТНаилучшим считается столбец С = ( с с ... с ) , при котором
с V{(х , у ) = п р ^ / ( х , у ) . (9 )
Это условие представляет собой один из вариантов классической
идеи, предложенной Л. Рэлеем, В. Ритцем, И. Г. Бубновым, С. П. Тимошенко,
Б. Г. Галеркиным.
В более компактной форме данное условие можно записать следующим
образом:
О С = ( / 1 / 2 ... )т , (10)
где Є = (g ij ), і, у = 1, N - матрица Грама линейно независимых векторов V і
(г = 1, Щ , вследствие чего det О > 0, и система (10) однозначно разрешима:
С = О ~ \ / 1 / 2 ... / N )Т . ( 1 1 )
В качестве координатных функций выберем такие:
и1
I 2 2 \ 2 у
1 _ — _ У—
у Я 2 Я 2 ! и 2 = Я и1; и 3 = Я и1;
2 2 х у х у
и 4 = тг и і ; и 5 = тг и і ; и 6 = и і .
4 я 2 1 5 Я 2 1 6 Я 2 1
(12)
Эти функции безразмерные, принадлежат области определения бигар-2
монического оператора А = Д и удовлетворяют граничным условиям (4).
42 ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2007, № 1
Напряженно-деформированное состояние
Образы Vг = Л и 1 этих функций определяются соотношениями:
4! 4! 16 64
V1 = Л и 1 = —7 + — 7 + — 7 =
Я 4 я 4 я 4 я
120 48 24 192
V 2 = Л и 2 = —т х + —т х + —т х :
2 2 Я 5 Я 5 Я 5
24 48 120
V з = Л и 3 = —г у + ^ у + ^ у = —
3 3 Я 5 Я 5 я 5 я
32 ,
V 4 = Л и 4 = 1_ 2 + 1 5 2 + 3 2—2 х + — 2 у
Я 2 Я 2
Я 5
192
Т у ;
32 ( 3 2 15
V 5 = Л и 5 = —г | - 2 + ---- 7 х +—
5 5 я 4 1 я 2 я
2 у
120 144 120 384
v 6 = Л и б = я б ху + Я 6 ху + Я 6 ху = Я 6 ху ■
(13)
Следует вычислить элементы матрицы Грама образов координатных
функций:
§ ] = (VI > V ] ) = I I V г (х > у )V ] ( х * у ) АхАу-
х2 + у2<Я 2
В окончательном виде матрицу Грама образов координатных функций
запишем в виде
4 0 0 5 5 0
0 9 0 0 0 0
4 5 0 0 9 0 0 0
а л
я 6 5 0 0 19 7 0
5 0 0 7 19 0
0 0 0 0 0 6
г, ] = 1,6. (14)
Вычислим элементы столбца ( / 1 / 2 / 3 / 4 / 5 / 6 ) = Р :
■А = f f v 1/ ( х ’ у )ахау = _6т I I / ( х ’ у )Л а у ;
х2 + у2<Я2 я х2 + у2<Я2
/ = I I V 2/ (х , у )й х й у = -95- I I х / ( х , у ~)йхйу\ (15а)
х2 + у2<Я2 Я х2 + у2<Я2
Г Г 192 л л
Л = ^ v 3/ ( х * у ¥ х Лу = ^ у/ ( х * у
х2 + у2<Я2 Я х2 + у2<Я2
ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2007, № 1 43
В. Н. Мельник
/ 4 = И у 4/ (х > У ~ ) ^ У =
х2 + у2<К 2
К х2 + у2<К 2
И | _ 2 + ^ 2 х 2 + ^ 2 У 2 / ( х ’ у ^ у ;
/ 5 = И У 5/ ( х , У М-^У =
х2 + у2<К 2
32 г г I 3 2 15 2 1
т й ^ г 2 + 1 7 2 х + _ ;т2 у •/ ( х ’ у ^ у ;
К х2 + у2<К21 К К 1
384
/ б = б/ ( х , У ¥ ^ У = — 6 / / хУ/ ( х , у )d xd y
2 , 2^п2х + у <К К 2 . ^ „ 2х + у <К
(156)
и окончательно запишем
Б =
/ 1
/ 2
/ 3
/ 4
/ 5
/ 6
Л
21 о
6
— 1 х К х
6
к 1 у
15 3
~ 2 0 + ~ 2 1 2 + 2 1 2
К 2 х К 2 у
3 15
~ 210 + — 2 1 2 + 2 1 2
0 К 2 х К 2 у
12
К
2 1 ху
(16)
где
1 0 = И / (х , У )dxdy;
х2 + у2<К 2
1х = И х / ( х , у )dxdy;
х2 + у2<К 2
1 у = / / у / (х , У)d xd y ; I , = / / х 2/ ( х , у ) ^ у ; (17)
х2 + у2<К 2 х2 + у2 <К 2
1 у2 = И у 2 / (х ’ у ̂ Ф ; 1ху = / / ху / ( х , у ) ^ у -
х2 + у2<К 2 х2 + у2<К 2
В силу (11) получим
С = в . (18)
О стается задать значения моментов плотности приведенной силы
к / ( х , У) -
С этой целью акустическое излучение представим в виде плоской
гармонической волны давления, распространяющейся в направлении п:
44 Й'ОТ 0556-171Х. Проблемы прочности, 2007, N 1
23
Напряженно-деформированное состояние
P = P 0 exp i [o t — к о Г0 ],
^ ^ o ^
где к о = n — - волновой вектор; n - единичный вектор направления рас-
c
пространения волны; Го - радиус-вектор точки пространства. Тогда давле
ние в падающей (Р 1), отраженной (Р 2 ) и прошедшей (Р 3 ) волнах опре
деляется по следующим соотношениям:
P 1 = P 10 exP i
P 2 = P 20 exp i
P 3 = P 30 exP i
o t — к 0 1 —x cos 0 i sin 0 + y sin 0 1 + | z + ^ I cos 0 1 cos(
o t — к о |— x cos 01 sin 0 + y sin 0 1 — | z + ^ I cos 0 1 cos(
m t — к о |— x c o s 01 s in 0 ' + y s in 0 1 + | z — ^ |c o s 0 1 co s0 '
Угол 0 ' вычисляется согласно закону Снеллиуса:
1
cos 01 sin 0 cos 01 sin 0
Если для простоты взять к о = к 1 и 0 ' = 0, то давления определяются по
следующим выражениям:
P 1 = P 10 exP i
P 2 = P 20 exp i
P 3 = P 30 exP i
o t — к о |— x c o s 01 s in 0 + y s in 0 1 + | z + — |c o s 0 1 co s0
o t — к о |— x cos 01 sin 0 + y sin 0 1 — | z + ^ I cos 0 1 cos(
o t — к о |— x cos 01 sin 0 + y sin 0 1 + | z — ^ I cos 0 1 cos(
В предположении нормального падения звуковой волны на лицевую
сторону пластины, т.е. принимая 01 = 0 , приходим к известным соотноше
ниям [4].
Таким образом, на лицевой стороне торца избыточное давление равно
(P 1 + P 2 ) z=_h/2 = (P 10 + P 2 0 ) exp i [o t — к о(—x cos 0 1 sin 0 + y sin 0 1 )],
в зоне акустической тени -
P 3 | z_ —̂2 = P 30 e x p i[o t — k 0 (—x cos 0 1 s in 0 + y s in 0 1)].
ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2007, № 1 45
В. Н. Мельник
В дальнейшем будем учитывать влияние только антисимметричной
составляющей звукового давления Р а как наиболее опасной:
1
P a = 2 (P 10 + P 20 _ P 3 0 )e x p i [wt — k o ( - x co s0 1 s in 0 + y s in 0 1)] =
= P 0 exp i [wt — k 0 ( —a x + f l y )].
Для количественной оценки стационарного взаимодействия торцевой
пластины с акустической волной примем следующие значения параметров:
Р 0 = 165 дБ « 102 Н -м —2; R = 0,04 м; w = (1 ...6 )• 103 с - 1 ; D = 67,61 - 10—9
Н- м; h = 2 - 10—3 м; а = 0,31; Е = 7 1 Н - м —2; с 0 = 330 м - с —1; « = 0,25; /3 =
= 0,26; 0 1 = 0 = 15°.
Числовые значения прогибов под действием звукового излучения при
ведены в таблице и определяются формулой (6 ) с учетом соотношений (13).
Прогибы W -10 9 торцов поплавка для R = 0,04
r w = 1000 w = 2000 w = 3000 w = 4000 w = 5000 w = 6000
0 799,915 799,660 799,235 798,641 797,876 796,942
0,001 798,915 798,661 798,237 797,643 796,879 795,946
0,002 795,920 795,667 795,244 794,653 793,892 792,962
0,003 790,941 790,689 790,269 789,681 788,925 788,001
0,004 783,996 783,747 783,331 782,748 781,999 781,083
0,005 775,112 774,866 774,455 773,878 773,138 772,232
0,006 764,323 764,080 763,675 763,107 762,376 761,483
0,007 751,669 751,431 751,032 750,473 749,755 748,877
0,008 737,200 736,967 736,576 736,028 735,324 734,463
0,009 720,972 720,744 720,362 719,826 719,137 718,295
0,010 703,048 702,827 702,453 701,931 701,260 700,439
0,011 683,501 683,285 682,923 682,415 681,762 680,964
0,012 662,407 662,199 661,847 661,355 660,723 659,950
0,013 639,854 639,654 639,314 638,839 638,228 637,482
0,014 615,936 615,744 615,417 614,960 614,372 613,653
0,015 590,754 590,570 590,256 589,818 589,254 588,565
0,016 564,416 564,241 563,941 563,523 562,984 562,326
0,017 537,039 536,873 536,588 536,189 535,677 535,051
0,018 508,747 508,589 508,320 507,942 507,457 506,864
0,019 479,670 479,522 479,268 478,912 478,455 477,896
0,020 449,947 449,809 449,571 449,237 448,809 448,285
0,021 419,726 419,597 419,375 419,064 418,664 418,176
0,022 389,159 389,040 388,834 388,546 388,175 387,722
0,023 358,407 358,299 358,109 357,843 357,502 357,085
46 ISSN 0556-171X. Проблемыг прочности, 2007, № 1
Напряженно-деформированное состояние
продолжение таблицы
0,024 327,640 327,541 327,368 327,125 326,814 326,433
0,025 297,034 296,945 296,788 296,568 296,285 295,940
0,026 266,772 266,692 266,551 266,354 266,100 265,790
0,027 237,046 236,975 236,850 236,674 236,449 236,174
0,028 208,054 207,992 207,882 207,728 207,531 207,289
0,029 180,002 179,949 179,854 179,721 179,550 179,341
0,030 153,105 153,060 152,980 152,866 152,721 152,544
0,031 127,583 127,546 127,479 127,385 127,264 127,116
0,032 103,666 103,636 103,582 103,505 103,407 103,287
0,033 81,589 81,566 81,523 81,463 81,385 81,291
0,034 61,597 61,579 61,547 61,501 61,443 61,372
0,035 43,939 43,927 43,904 43,871 43,830 43,779
0,036 28,876 28,868 28,853 28,831 28,804 28,771
0,037 16,763 16,668 16,660 16,647 16,631 16,612
0,038 7,604 7,602 7,598 7,592 7,585 7,576
0,039 1,950 1,949 1,948 1,947 1,945 1,943
0,040 0 0 0 0 0 0
Обращенная матрица Грама имеет вид
с - 1 =
0,4810 0 0 -0 ,0 9 2 6 0 -0 ,0 9 2 6 0 0
0 0,111 0 0 0 0
0 0 0,111 0 0 0
-0 ,0 9 2 6 0 0 0,07870 -0 ,00463 0
-0 ,0 9 2 6 0 0 -0 ,00463 0,07870 0
0 0 0 0 0 0,167
Численный анализ показал, что для малых углов в и 0 1? что соответ
ствует наибольшей интенсивности воздействия, в торцах поплавка генери
руются изгибные колебания, величина которых в геометрическом центре
максимальна и уменьшается в направлении периферии.
Изгибные волны в плане имеют вид концентрических окружностей.
Величина и фаза прогиба Ж не зависят от полярного угла р (рис. 2).
О
Рис. 2. Прогибы торцевых пластин поплавка при стационарном взаимодействии с акусти
ческой волной.
ISSN 0556-171Х. Проблемы! прочности, 2007, № 1 47
В. Н. Мельник
Рассмотрим эти процессы во времени.
Н естац и о н ар н ая задача. В случае нестационарного упругого взаимо
действия дифференциальное уравнение возмущенного изгибного движения
пластины ( 1) имеет вид
2 pH •• 1
Д W ( x , y , t) + D w ( x , y , t) = D q(x ’ У ’ t), (19)
p H
где D = const; t - время.
Правую часть этого уравнения зададим следующим образом:
1
D q ( x , y , t) = f (x , y )e x p im t , (2 0 )
где m = const, а ограничения на величину этого параметра уточним далее.
Решение уравнения (19) ищем в виде
W (x , y , t ) = p ( x , y )e x p im t. (2 1 )
М ножитель p ( x , y ), который не зависит от времени t, назовем ампли
тудой изгибных колебаний.
Подставляя (21) в исходное уравнение (19), получаем
2
Д P (x , y ) ~ m п P (x , y ) = f ( x , У), (22)
P H 2— m
D
Найдем приближенные решения в форме (6 ):
где m п = — m = const
р ( х , у ) = е 1ы1 ( х , у ), I =1 , N . (23)
Столбец
С = ( с 1 с 2 ... ^ ) т (24)
подлежит определению.
Подстановка (23) в (22) приводит к приближенному равенству
Л с п 1 ( х , у ) - ( О п с п 1 ( х , у ) ~ / ( х , у ), (25)
для которого столбец (24) полагаем наиболее подходящим в том смысле,
чтобы проекции левой и правой частей выражения (25) на линейную обо
лочку V N образов координатных функций были бы равны.
Умножив обе части равенства (25) на
48
v j ( x , y ) = A u j ( x , y ), j = 1, N ,
ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2007, N2 1
Напряженно-деформированное состояние
получаем
[(V і , V у ) _ т п( и і , и у )] С = ( / , V у ) = / у , і, у = 1, N . (26)
М атрица Грама образов координатных функций
Є = (g i j X gi j = (V і , V у )
найдена выше и описана формулой (14). Столбец Г = ( / 1 / 2 ... / ^ )
также определен и представлен соотношением (16). Таким образом, остается
составить матрицу
В = ( Ьц X Ьц = ( и і , у X и у = 1 N (27)
которую назовем матрицей Грама координатных функций и г (х , у ) по энер
гии оператора А.
После вычислений получим
в = ( Ь Ц ) = ( и і V у ) =
40 0 0 5 5 0
0 15 0 0 0 0
8я 0 0 15 0 0 0
15Я 2 5 0 0 7 1 0
5 0 0 1 7 0
0 0 0 0 0 3
(28)
Зная матрицу Грама образов координатных функций (14) и матрицу
Грама В координатных функций по энергии оператора А (28), систему (26)
можно записать так:
(Є _ т п В ) С = Г . (29)
Если ёе1;(С _ т п В ) Ф 0, то эта система однозначно разрешима:
С = (Є _ т пВ ) _ 1 Г , (30)
и можно строить приближенное решение уравнения (22) в виде (23).
Поскольку матрица В неособенная (невырожденная), то
ёе1;(С _ т п В ) = ёе1 В ( В Є _ т п I )
где I - единичная матрица.
Тогда
ёе1;(С _ т п В ) = (ёе1 В )ёе1;( В Є _ т п I );
ISSN 0556-171Х. Проблемыг прочности, 2007, № 1 49
В. Н. Мельник
det(G — o п В ) = 0 ̂ det( В 1G — o п I ) = 0.
Однако det( B — 1G — o пI ) есть многочлен степени N относительно o п .
Если o о является положительным корнем этого уравнения, то система (29)
может оказаться неразрешимой.
Проанализируем это более подробно. Для простоты полагаем уравнение
однородным:
Д 2 к 2W + W = о, (31)
D
где о < к = . —- = const при однородных граничных условиях.
V Р —
Ненулевые решения ищем в виде
W = Z ( x , y )Т( t ),
где множитель Z(x , y ) удовлетворяет граничным условиям (4).
Подставляя (32) в уравнение (31), получаем
Д2 Z
Z
T
+ 2 = о;
к 2Т
(32)
где А = Д
Тогда
Д 2 Z
Z
Т + Як 2Т = о.
Приближенное решение задачи (33) отыскиваем в виде
(33)
(34)
Z (x , y ) = O U i (x , y ), i = 1,6, (35)
где u t (x , y ) - координатные функции (5).
После подстановки выражения (35) в соотношение (33) получим при
ближенное равенство
A c l u i ( x , y ) — Ic 'u j- (x , y ) (36)
с неизвестным столбцом C = ( c 1 c 2 ... c 6 )T .
Как и ранее, наилучшим считаем столбец, при котором проекции левой
и правой частей выражения (36) на линейную оболочку V N образов коор
динатных функций были бы равны:
50
G C = Я В С ^ ( G — ЯВ)С = о.
ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2007, № 1
Напряженно-деформированное состояние
Столбец С не должен быть нулевым, поэтому
а е < є - х в ) = о.
Из положительной определенности оператора А следует, что 0 < X, а
значит, Х = ю п есть положительные корни многочлена ёе1;(В — Є — ю пI ). В
данной задаче они представляются приближенными собственными числами
оператора А = Д .
Принимая во внимание, что Х = ю п > 0, из выражения (33) находим
Т = а с о § ( ю п і ) + Ь 8Іп(к ^ ю п і ).
Это значит, что в принятом приближении собственные частоты опреде
ляются соотношениями
I В I pH
Л —Г ю л — = ю.
\ p H М В
Следовательно, для разрешимости определения вынужденных колеба
ний торцов необходимо исключить совпадение частот плотности возму
щающего акустического воздействия и собственной, другими словами, избе
жать частотного резонанса.
Если ограничиться только первыми тремя координатными функциями
щ =
2 \ 2
\ Я 2
и их образами
64
V = — т = сопй;
1 Я 4
X у
и 2 = "тт Мі; и з = "тт щ
Я
192
г 2 = Я 5 х;
Я
192
V з = ~ У,
3 Я 5
то матрица Є — ю п В окажется диагональной:
4 6ж 320ж
Є — ю п В —
ю
4 9ж 8ж
ю
4 9ж 8ж
ю
(37)
Нули ее определителя будут наблюдаться при условии
ю п1
3 • 2
~ Я 4
ю п2 ю п3
9 • 2 7
~ Я 4
с одновременным выполнением соотношения ю п2 І ю п 1 = 6 .
0556-171Х. Проблемы прочности, 2007, N 1 51
В. Н. Мельник
Для принятых числовых значений при Я = 0,04 м значения этих частот
будут таковы:
т п1 = 0 ,75-10° с т п2 = т п3 = 450-10° с \-1
Резонансными являются следующие:
т 1 = = 3,1 с 1; = к^1 т п 2 = к = 7 , 5 с
где
В
к \ р ь М
70-10"
2 8 0 - 2 - 10-3 2 л/ 2
1 0 3 м 2 - с 1.
Численный анализ величины ёе1(О — т п В ) позволяет определить резо
нансные частоты (рис. 3), составляющие 2,4; 7,3; 13,7 и 17,7 с - 1 .
Рис. 3. Численный анализ det(О - т пВ ).
Количественную оценку прогибов торца проведем в диапазоне частот
т = 1000...6000 с - 1 с шагом 1 0 0 0 для р = 280 кг /м 3, к = 2 - 1 0 - 3 м, т п =
2В т .
Величина прогиба есть комплексное число
Ж = 1Ж1 + Ж 2 = р ехр( гт?),
где р = е ] и у , у = 1, 2, 3; ф ункции иу задаю тся формулой (12); С =
= (О - т пВ ) - 1Е ; (О - т пВ ) - определяется матрицей (37); столбец Е -
формулой (16); Р 0 = 102 Н - м - 2 ; Я = 0,04 м; а = 0,25; ^ = 0,26; ? = п — ,
60
п = 1, ..., 6 ; г = 0, ..., 0,04, шаг 0,001.
52 0556-171Х. Проблемы прочности, 2007, № 1
9 1
Напряженно-деформированное состояние
Естественно, что с течением времени фаза колебаний изменяет знак.
ж з _1 _з
Так, в момент времени t = — (œ = 10 c ), что составляет около 0,5 *10 с,
б®
_ з ж
амплитуда прогиба в центре торца равна 0 ,4б4 * 10 м, при t = — -
3œ
_з ж0.268.* 10 м, при t = — прогиб равен нулю, и пластина занимает исходное
2œ
положение.
С увеличением t фаза прогиба изменяет знак, и пластина начинает
прогибаться в противоположном направлении. Таким образом, через опреде
ленное время наблюдаются своеобразные “хлопки” торцевой пластины.
Вообще говоря, торцы поплавка находятся не в одинаковых условиях с
точки зрения акустического нагружения. Дифракция звуковой волны внутри
подвеса может менять структуру поля совершенно случайным образом. П о
этому полная симметрия в пространстве и во времени акустической вибра
ции отсутствует, что является дополнительным источником принудитель
ного движения и, следовательно, дополнительной акустической девиации.
Заклю чение. Приведенные результаты позволяют понять природу упру
гого взаимодействия плоских элементов бортовой навигационной аппара
туры с проникающим акустическим излучением, оценить степень влияния
звуковых полей на напряженно-деформированное состояние материала и
научно обосновать рекомендации к эффективному подавлению этого влия
ния. Например, на основе пассивных методов звукоизоляции либо авто-
компенсационных методов подавления этого влияния.
Р е з ю м е
Аналізується пружна взаємодія проникаючого акустичного випромінювання
розгінних блоків ракет-носіїв із підвісом поплавкового гіроскопа. Розгля
дається торцева пластина поплавця як найбільш небезпечна з точки зору
малої її жорсткості у напряму нормалі. Проведено якісну і кількісну оцінки
пружного деформованого стану поплавця.
1. Т ка чев Л . И . Системы инерциальной ориентировки: Учеб. пособие. -
М.: Изд-во МЭИ, 1973. - 213 с.
2. D ra p e r C. S ., e t al. V. S. Patent No. 2752790, No. 2752792, No. 2752793. -
195б (July).
3. K o s h lja k o v V. N ., K a ra c h u n V. V., a n d M e l ’n ik V. N . The some aspects of
flaight safety in conditions penetrate acoustic radiation. The world Congress
“Aviation in the X X Ist Century” (Sept. 14-1б, 2003). - Kyiv: National
Aviation University. - P. 2.37 - 2.40.
4. К а р а ч у н В. В ., Л о зо в и к В. Г ., М е л ь н и к В. Н . Дифракция звуковых волн
на подвесе гироскопа. - Киев: Корнейчук, 2000. - 17б с.
5. R a y le ig h L . On the vibration o f a cylindrical vessel containing liqiud //
Philos. Mag. - 1883. - 15.
ISSN 0556-l7lX. Проблемы прочности, 2007, № l 53
В. Н. Мельник
6. Н и к о л а и Е. И . О колебаниях тонкостенных цилиндров // Журн. рус.
физ.-хим. об-ва. - 1909. - 11, отдел 1. - С. 41 - 46.
7. L a m b H . On the vibration o f an elastic plate in contact w ith w ater // Proc.
Roy. Soc., Ser. A. - 1920. - 98. - P. 690.
8. Л я м ш е в Л . М . Отражение звука тонкими пластинами и оболочками в
жидкости. - М.: Изд-во АН СССР, 1955. - 73 с.
9. Г р и го л ю к Э. И ., Г о р ш к о в А . Г . Взаимодействие слабых ударных волн с
упругими конструкциями. - М.: Изд-во Моск. ун-та. Ин-т механики,
1968. - 180 с.
10. Г р и т е н к о В. Т. Равновесие и установившиеся колебания упругих тел
конечных размеров. - Киев: Наук. думка, 1978. - 264 с.
11. Г у зь А . H ., К у б е н к о В. Д . М етоды расчета оболочек. Т. 5. Теория
нестационарной аэрогидроупругости оболочек. - Киев: Наук. думка,
1982. - 400 с.
Поступила 12. 12. 2005
54 ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2007, № 1
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-47993 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0556-171X |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-01T12:33:38Z |
| publishDate | 2007 |
| publisher | Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Мельник, В.Н. 2013-08-12T09:43:20Z 2013-08-12T09:43:20Z 2007 Напряженно-деформированное состояние подвеса гироскопа при акустическом нагружении / В.Н. Мельник // Проблемы прочности. — 2007. — № 1. — С. 39-54. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. 0556-171X https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/47993 629.7.054 Анализируется упругое взаимодействие проникающего акустического излучения разгонных блоков ракет-носителей с подвесом поплавкового гироскопа. Рассматривается торцевая пластина поплавка как наиболее опасная с точки зрения ее малой жесткости в направлении нормали. Проведена качественная и количественная оценка упругого деформированного состояния поплавка. Аналізується пружна взаємодія проникаючого акустичного випромінювання розгінних блоків ракет-носіїв із підвісом поплавкового гіроскопа. Розглядається торцева пластина поплавця як найбільш небезпечна з точки зору малої її жорсткості у напряму нормалі. Проведено якісну і кількісну оцінки пружного деформованого стану поплавця. We analyze the elastic action of penetrating acoustic radiation of accelerating units of carrier- rockets on the float-type gyroscope suspension. The edge plate of the gyroscope suspension float is considered to the most critical part from the point of view of its small rigidity in the normal direction. We provide qualitative and quantitative estimations of the elastic strain condition of the gyroscope suspension float. ru Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України Проблемы прочности Научно-технический раздел Напряженно-деформированное состояние подвеса гироскопа при акустическом нагружении The stress-strain state of a gyroscope suspension under acoustic loading Article published earlier |
| spellingShingle | Напряженно-деформированное состояние подвеса гироскопа при акустическом нагружении Мельник, В.Н. Научно-технический раздел |
| title | Напряженно-деформированное состояние подвеса гироскопа при акустическом нагружении |
| title_alt | The stress-strain state of a gyroscope suspension under acoustic loading |
| title_full | Напряженно-деформированное состояние подвеса гироскопа при акустическом нагружении |
| title_fullStr | Напряженно-деформированное состояние подвеса гироскопа при акустическом нагружении |
| title_full_unstemmed | Напряженно-деформированное состояние подвеса гироскопа при акустическом нагружении |
| title_short | Напряженно-деформированное состояние подвеса гироскопа при акустическом нагружении |
| title_sort | напряженно-деформированное состояние подвеса гироскопа при акустическом нагружении |
| topic | Научно-технический раздел |
| topic_facet | Научно-технический раздел |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/47993 |
| work_keys_str_mv | AT melʹnikvn naprâžennodeformirovannoesostoâniepodvesagiroskopapriakustičeskomnagruženii AT melʹnikvn thestressstrainstateofagyroscopesuspensionunderacousticloading |