Расчет собственных и вынужденных колебаний трубопроводной системы. Сообщение 1. Анализ колебаний пространственной стержневой системы
Проанализировано динамическое поведение трубопроводов как стержневой системы с помощью метода динамических жесткостей. Согласно методу, уравнения связи между неизвестными параметрами записываются по методу начальных параметров, поэтому процедура решения подобна таковой в статической задаче. Показ...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Проблемы прочности |
|---|---|
| Дата: | 2007 |
| Автори: | , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України
2007
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/47999 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Расчет собственных и вынужденных колебаний трубопроводной системы. Сообщение 1. Анализ колебаний пространственной стержневой системы / И.В. Орыняк, С.А. Радченко, А.С. Батура // Проблемы прочности. — 2007. — № 1. — С. 79-93. — Бібліогр.: 28 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-47999 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Орыняк, И.В. Радченко, С.А. Батура, А.С. 2013-08-12T12:36:17Z 2013-08-12T12:36:17Z 2007 Расчет собственных и вынужденных колебаний трубопроводной системы. Сообщение 1. Анализ колебаний пространственной стержневой системы / И.В. Орыняк, С.А. Радченко, А.С. Батура // Проблемы прочности. — 2007. — № 1. — С. 79-93. — Бібліогр.: 28 назв. — рос. 0556-171X https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/47999 539.4 Проанализировано динамическое поведение трубопроводов как стержневой системы с помощью метода динамических жесткостей. Согласно методу, уравнения связи между неизвестными параметрами записываются по методу начальных параметров, поэтому процедура решения подобна таковой в статической задаче. Показано, что для криволинейных стержней проще и эффективнее применять модель, состоящую из прямых участков и безынерционных поворотных элементов. Для определения собственных частот колебаний пространственных стержневых систем предлагается использовать метод размыкания по перемещениям, который позволяет выделять частоты, соответствующие разным формам колебаний (поперечные, продольные и т.д.). Подход позволяет корректно моделировать поведение системы при вынужденных колебаниях с гармонической возбуждающей силой. Методом динамічних жорсткостей проаналізовано динамічну поведінку трубопроводів як стрижневої системи. Згідно з методом, рівняння зв’язку між невідомими параметрами записуються за допомогою методу початкових параметрів, що робить процедуру розв’язку подібною до статичної задачі. Показано, що для криволінійних стрижнів набагато простіше й ефективніше застосовувати модель, що складається з прямих ділянок і безінерціних поворотних елементів. Для визначення власних частот коливань просторових стрижневих систем пропонується використовувати метод розмикання по перемщеннях, що дозволяє відразу виділяти частоти, як віповідають різним формам коливань (поперечні, поздовжні т.п.). Похід дозволяє коректно моделювати поведінку системи за вимушених коливань із гармонійною збуджуючою силою. The dynamic behavior of pipelines as a rod system is analyzed with the help of the dynamic stiffness method. According to this method, equations linking the unknown parameters are formulated using the method of initial parameters, therefore, the procedure of solution is similar to that of the static problem. It is shown that, in case of curvilinear rods, it is easier and more effective to apply the model consisting of direct sections and inertialess rotary elements. For determination of intrinsic frequencies of vibration of spatial framed structures we propose to use the disconnection method in displacements, which allows one to select the frequencies corresponding to various vibration modes (transversal, longitudinal, etc.). This approach allows one to provide correct simulation of the system behavior in the case of forced vibrations with a harmonic exciting force. ru Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України Проблемы прочности Научно-технический раздел Расчет собственных и вынужденных колебаний трубопроводной системы. Сообщение 1. Анализ колебаний пространственной стержневой системы Calculation of free and forced vibrations of a pipeline system. Part 1. The analysis of vibrations of a spatial rod system Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Расчет собственных и вынужденных колебаний трубопроводной системы. Сообщение 1. Анализ колебаний пространственной стержневой системы |
| spellingShingle |
Расчет собственных и вынужденных колебаний трубопроводной системы. Сообщение 1. Анализ колебаний пространственной стержневой системы Орыняк, И.В. Радченко, С.А. Батура, А.С. Научно-технический раздел |
| title_short |
Расчет собственных и вынужденных колебаний трубопроводной системы. Сообщение 1. Анализ колебаний пространственной стержневой системы |
| title_full |
Расчет собственных и вынужденных колебаний трубопроводной системы. Сообщение 1. Анализ колебаний пространственной стержневой системы |
| title_fullStr |
Расчет собственных и вынужденных колебаний трубопроводной системы. Сообщение 1. Анализ колебаний пространственной стержневой системы |
| title_full_unstemmed |
Расчет собственных и вынужденных колебаний трубопроводной системы. Сообщение 1. Анализ колебаний пространственной стержневой системы |
| title_sort |
расчет собственных и вынужденных колебаний трубопроводной системы. сообщение 1. анализ колебаний пространственной стержневой системы |
| author |
Орыняк, И.В. Радченко, С.А. Батура, А.С. |
| author_facet |
Орыняк, И.В. Радченко, С.А. Батура, А.С. |
| topic |
Научно-технический раздел |
| topic_facet |
Научно-технический раздел |
| publishDate |
2007 |
| language |
Russian |
| container_title |
Проблемы прочности |
| publisher |
Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Calculation of free and forced vibrations of a pipeline system. Part 1. The analysis of vibrations of a spatial rod system |
| description |
Проанализировано динамическое поведение трубопроводов как стержневой системы с
помощью метода динамических жесткостей. Согласно методу, уравнения связи между
неизвестными параметрами записываются по методу начальных параметров, поэтому
процедура решения подобна таковой в статической задаче. Показано, что для криволинейных
стержней проще и эффективнее применять модель, состоящую из прямых участков и
безынерционных поворотных элементов. Для определения собственных частот колебаний
пространственных стержневых систем предлагается использовать метод размыкания по
перемещениям, который позволяет выделять частоты, соответствующие разным формам
колебаний (поперечные, продольные и т.д.). Подход позволяет корректно моделировать
поведение системы при вынужденных колебаниях с гармонической возбуждающей силой.
Методом динамічних жорсткостей проаналізовано динамічну поведінку
трубопроводів як стрижневої системи. Згідно з методом, рівняння зв’язку
між невідомими параметрами записуються за допомогою методу початкових
параметрів, що робить процедуру розв’язку подібною до статичної
задачі. Показано, що для криволінійних стрижнів набагато простіше й
ефективніше застосовувати модель, що складається з прямих ділянок і
безінерціних поворотних елементів. Для визначення власних частот коливань
просторових стрижневих систем пропонується використовувати метод
розмикання по перемщеннях, що дозволяє відразу виділяти частоти, як
віповідають різним формам коливань (поперечні, поздовжні т.п.). Похід
дозволяє коректно моделювати поведінку системи за вимушених коливань
із гармонійною збуджуючою силою.
The dynamic behavior of pipelines as a rod system
is analyzed with the help of the dynamic
stiffness method. According to this method,
equations linking the unknown parameters are
formulated using the method of initial parameters,
therefore, the procedure of solution is similar
to that of the static problem. It is shown
that, in case of curvilinear rods, it is easier and
more effective to apply the model consisting of
direct sections and inertialess rotary elements.
For determination of intrinsic frequencies of vibration
of spatial framed structures we propose
to use the disconnection method in displacements,
which allows one to select the frequencies
corresponding to various vibration modes
(transversal, longitudinal, etc.). This approach
allows one to provide correct simulation of the
system behavior in the case of forced vibrations
with a harmonic exciting force.
|
| issn |
0556-171X |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/47999 |
| citation_txt |
Расчет собственных и вынужденных колебаний трубопроводной системы. Сообщение 1. Анализ колебаний пространственной стержневой системы / И.В. Орыняк, С.А. Радченко, А.С. Батура // Проблемы прочности. — 2007. — № 1. — С. 79-93. — Бібліогр.: 28 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT orynâkiv rasčetsobstvennyhivynuždennyhkolebaniitruboprovodnoisistemysoobŝenie1analizkolebaniiprostranstvennoisteržnevoisistemy AT radčenkosa rasčetsobstvennyhivynuždennyhkolebaniitruboprovodnoisistemysoobŝenie1analizkolebaniiprostranstvennoisteržnevoisistemy AT baturaas rasčetsobstvennyhivynuždennyhkolebaniitruboprovodnoisistemysoobŝenie1analizkolebaniiprostranstvennoisteržnevoisistemy AT orynâkiv calculationoffreeandforcedvibrationsofapipelinesystempart1theanalysisofvibrationsofaspatialrodsystem AT radčenkosa calculationoffreeandforcedvibrationsofapipelinesystempart1theanalysisofvibrationsofaspatialrodsystem AT baturaas calculationoffreeandforcedvibrationsofapipelinesystempart1theanalysisofvibrationsofaspatialrodsystem |
| first_indexed |
2025-11-26T12:30:18Z |
| last_indexed |
2025-11-26T12:30:18Z |
| _version_ |
1850621468417720320 |
| fulltext |
УДК 539.4
Расчет собственных и вынужденных колебаний трубопроводной
системы. Сообщение 1. Анализ колебаний пространственной
стержневой системы
И. В. О р ы н як , С. А. Р адченко , А. С. Б ату р а
Институт проблем прочности им. Г. С. Писаренко НАН Украины, Киев, Украина
Проанализировано динамическое поведение трубопроводов как стержневой системы с
помощью метода динамических жесткостей. Согласно методу, уравнения связи между
неизвестными параметрами записываются по методу начальных параметров, поэтому
процедура решения подобна таковой в статической задаче. Показано, что для криволиней
ных стержней проще и эффективнее применять модель, состоящую из прямых участков и
безынерционных поворотных элементов. Для определения собственных частот колебаний
пространственных стержневых систем предлагается использовать метод размыкания по
перемещениям, который позволяет выделять частоты, соответствующие разным формам
колебаний (поперечные, продольные и т.д.). Подход позволяет корректно моделировать
поведение системы при вынужденных колебаниях с гармонической возбуждающей силой.
К л ю ч е в ы е с л о в а : трубопровод, прямая труба, гиб трубы, стержень, дина
мика, частота колебаний, коэффициент увеличения податливости.
Введение. Динамические расчеты трубопроводных систем дополняют
статические расчеты в случае если трубопроводы подвержены вибрациям
или необходимо продемонстрировать целостность трубопровода при сейсми
ческом воздействии. При анализе динамического деформирования, как и
статического, также применяют теорию стержней, что регламентировано
современными нормативными документами (см., например, [1-3]).
В данном сообщении остановимся на рассмотрении двух проблем вы
числительного процесса при динамическом деформировании.
Первая проблема связана с выбором наиболее оптимального метода
решения стержневой статически неопределимой системы, с чем соглаша
ются все исследователи, с другой стороны, в литературных источниках
приведено большое количество методов и программных продуктов, позво
ляющих решать специфические задачи динамического поведения трубопро
водов. Здесь уместно сделать следующее замечание. М ногие методы и
программные продукты не обеспечивают непрерывность решения при пере
ходе от статики к динамике (а ведь, собственно, где между ними граница?).
При нагружении часть времени конструкция может находиться в квазиста-
тических условиях, когда допустимо и уместно пользоваться статическими
подходами, а часть - в быстротекущих динамических условиях. Во многих
комплексах при решении, например, задач о колебаниях используются дис
кретные модели, в то время как при реш ении статических задач - непрерыв
ные дифференциальные модели. Это требует совершенно другой организа
ции вычислений. Очевидно, предпочтительными являются такие методы
динамического анализа, которые и организацией вычислений и формой
представления исходных уравнений сводятся к соответствующим статичес
ким постановкам.
© И. В. ОРЫНЯК, С. А. РАДЧЕНКО, А. С. БАТУРА, 2007
ТХОТ 0556-171Х. Проблемы прочности, 2007, № 1 79
И. В. Орыняк, С. А. Радченко, А. С. Батура
Основная цель данного сообщения заключается в разработке техни
ческих особенностей применения метода динамических жесткостей для
анализа пространственных многоопорных и многоконтурных стержневых
систем. Основное требование к методу - обеспечение непрерывности и
одинаковой технологии реализации динамического и статического [4] реш е
ний.
Вторая проблема, которой будет посвящено сообщение 2, менее очевид
на и связана с локальными податливостями стержней (балок) при динами
ческом нагружении. Так, жесткостные свойства прямых труб при динамичес
ком нагружении полностью соответствуют таковым свойствам прямых стерж
ней. При установлении характеристик их сечений непосредственно исполь
зуются обычные теории балок Эйлера-Бернулли либо Тимошенко-Рейснера.
Особенности динамического поведения учитываются путем ввода сил инер
ции для сечения в целом. Именно поэтому нормативные документы [1, 2],
программные продукты, практика научно-исследовательских работ [5, 6]
предполагают использование статически определенных жесткостных свойств
сечений. Однако для гиба трубы применение статических свойств может
приводить к существенным неточностям.
Особенность деформирования гиба трубы состоит в том, что при при
ложении внешних изгибающих моментов перпендикулярно его оси возника
ют дополнительные перерезывающие силы, приводящие к овализации попе
речного сечения (см., например, [7-9]). Это приводит к изменению харак
тера распределения напряжений и увеличению податливости гиба по сравне
нию с податливостью прямой трубы одинакового поперечного сечения. При
этом известное дифференциальное уравнение связи угла поворота 0 с
изгибающим моментом М для гиба трубы как криволинейного стержня
записывается следующим образом:
К М
~ёх ~ ~ Е Т ’ (1)
где Е - модуль упругости; I - момент инерции сечения; К - коэффицент
увеличения податливости гиба по сравнению с податливостью прямой тру
бы с такой же формой поперечного сечения, в линейной постановке К
является постоянной величиной, определяемой радиусом сечения, толщиной
стенки, радиусом кривизны [9]; х - осевая (продольная) координата.
При динамических процессах характеристика К также зависит от
скорости процесса нагружения. В этом случае коэффициент К может
многократно превышать значение К при статическом нагружении.
1. М етод д и н ам ических ж есткостей . Вопрос о линейной динамике
стержней рассматривается в многочисленных литературных источниках.
Среди известных методов гармонического анализа отметим три наиболее
распространенных. Метод конечных элементов (МКЭ) имеет длительную
историю и является наиболее универсальным и широко применимым. Одна
ко, несмотря на это, все еще существуют проблемы точности расчета, напри
мер, при анализе колебаний очень тонкостенных криволинейных стержней.
80 ISSN 0556-171Х. Проблемыг прочности, 2007, № 1
Расчет собственных и вынужденных колебаний
Не вдаваясь в их причины, отметим, что они могут быть решены путем
увеличения порядка аппроксимирую щих функций [10-12] и в пределе
использованием точных реш ений уравнений движения, как и в методе
динамических жесткостей. В последнее время широко применяются методы
дифференциальных квадратур (МДК). Суть метода состоит в замене част
ных производных по пространственным координатам в дискретных точках
некоторой линейной комбинацией значений функции в этих точках, т.е.
дифференциальное уравнение заменяется алгебраическим. Метод успешно
используется при анализе колебаний пространственных стержней [13], одна
ко возникают проблемы в сопряжении разных элементов и при рассмот
рении сложных систем. Кроме того, метод позволяет определять ограни
ченное число собственных форм колебаний.
Метод динамических жесткостей (МДЖ) - наиболее распространенный
при анализе динамического поведения стержней. Он был предложен в
начале 40-х гг. X X ст. за рубежом В. Колоушеком [14], а в нашей стране -
Ф. М. Диментбергом [15, 16] и М. Л. Кемпнером [17]. Н а наш взгляд, его
основное преимущество - возможность представления в виде метода на
чальных параметров (МНП). Суть метода состоит в том, что значения
переменных в конце однородного участка могут быть записаны посредством
матрицы перехода, зависящей от жесткостных характеристик сечения, через
значения переменных в начале участка. Благодаря использованию МДЖ
совместно с методом прогонки (последовательное перемножение п матриц
перехода позволяет получить связь между переменными в начале первого
участка и в конце п-го), который резко уменьшает размерность решаемых
задач, можно эффективно решать сложные стержневые системы [18]. Еще
одно преимущество М ДЖ заключается в том, что для каждого участка
используется точное решение балки и при любом конечном разбиении
системы на участки можно точно определить сколь угодно большое число
характеристических форм и чисел колебаний. Перейдем к сути М ДЖ при
менительно к решению сложных пространственных трубопроводных сис
тем.
Запишем уравнения движения для прямого стержня. Правила знаков
для стержня при пространственном нагружении показаны на рис. 1, где N -
осевая сила; Q у, Q z - поперечные силы вдоль осей у и г; К х - крутящий
момент; К у - изгибающий момент относительно оси у; К 2 - изгибающий
момент относительно оси 2 . Перемещения и , Ж у, направлены вдоль
осей х, у , 2 соответственно; это же относится и к силам N , Q y, Q z . Углы
поворота \р, в у , в 2 считаются положительными, если вращение происхо
дит по часовой стрелке вокруг соответствующей оси х, у , г; это же
относится и к глобальным моментам К х, К у, К 2. Для простоты решения
будем использовать балку Эйлера, уравнения движения для которой записы
ваются следующим образом [19].
При поперечных колебаниях в плоскости ху:
* 4^ у Р Г Ю2 ^ у * в 2 К г й К г )
----- л— —---------W v = 0, —-— = в 2 , —-— = —------ , —-— = —О у; (2а)
йх Е 1 2 у й х й х Е 1 2 й х у
ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2007, № 1 81
И. В. Орыняк, С. А. Радченко, А. С. Батура
при поперечных колебаниях В ПЛОСКОСТИ Х2!
d W
ё х 4
р Б ю d W z
!------- w = 0 ------2
Б / у 2 ’ ё х ё х
К ,
Б Г
ё К у
ё х Я г (2б)
при продольных колебаниях:
ё х 2
р ю
+ ^ и = 0,Б
ё и
ё х Б Б
(2В)
при крутильных колебаниях:
■ +
С / р = о,
кр
ё р
ё х
К
С / кр
(2г)
где / 2, / у - моменты инерции сечения относительно осей 2 , у соответст
венно; / кр, /р - крутящий и полярный моменты инерции; р - плотность
материала; С - модуль сдвига; ю - частота колебаний.
Рис. 1. Правила знаков для стержня при пространственном нагружении.
Суть М ДЖ поясним на примере решения уравнения колебаний прямых
стержней в плоскости ху. Аналитическое решение уравнения (2а) в виде,
пригодном для использования в методе начальных параметров, записывается
через функции Крылова:
К
W y = W y07 1( к ух ) + Т — 7 2(к ух ) - „ Т ,
к у ' Б / 2к
Я
02 7 э( к , х ) + - ^ Т Г4( к , х );
у у
в 2 = в 20 7 ^ к , х )
К г0 Я у0
0 -72 (к , х ) + 7 з ( к ,х ) + k y W y о7 4 (к , х );
(3а)
Б / 2к у Б / Л у
82 /88Ы 0556-171Х. Проблемы прочности, 2007, № 1
Расчет собственных и вынужденных колебаний
У0 о
K Z = K z0Y1(k y X ) Y 2(k y X ) - W yQk y E I z Y 3 (k y X ) -
k y
- в Zo k y E I z Y 4(k yx ); (3g)
Q y = Q y0 Yl (k yx ) + Wy0 k l E I z Y 2(k yx ) + 0 z0 k 2 e I zY3 ( k yx ) -
- K z0 k yY4(k yx X
/ 4 P F(° 2 n где k y = ---------; индекс 0 указывает на принадлежность к началу рассматри-
E I z
ваемого участка.
Функции Крылова имеют следующий вид:
l l
Y1 = - (cos k yx + ch k yx ); Y2 = - (sin k yx + sh k yx );
2 1 (4)
Y 3 = - (ch k yx - cos k yx ); Y 4 = - (sh k yx - sin k yx ).
Их особенность состоит в том, что Г1(0) = 1, 7 2 (0 ) = 7 з (0 )= У4 (0 )= 0.
Таким образом, по уравнениям (3) можно получить связь между пара
метрами в начале участка (обозначим его номер нижним индексом г) и в
конце; обобщенно они могут быть представлены в виде
Ш ? = [А(а , х е ) У Т Ь , (5)
где индекс е обозначает принадлежность к концу участка, Ь - к началу
участка; матрица [А (а, х )] определяется уравнениями (3); вектор Ш (х )
состоит из четырех компонент (3).
Из условия непрерывности решения очевидно, что значения всех пара
метров в начале следующего участка равны соответствующим значениям
параметров в конце предыдущего участка:
Ш +1 = Ш е . (6 )
Последовательно применяя уравнения (5) и (6 ) к N последовательным
участкам, можно получить связь между параметрами в конце п-го участка и
в начале первого участка:
Шпе = [Ап(а ) ] Ш Ь , (7а)
где матрица перехода [Ап (а ) ] записана в виде произведения локальных
матриц:
п
[Ап(а ) ] = П [А (а, хП-г+х)]. (7б)
г=1
ТХОТ 0556-171Х. Проблемы прочности, 2007, N 1 83
И. В. Орыняк, С. А. Радченко, А. С. Батура
Заметим, что уравнения (5), (6) позволяют без увеличения трудоемкости
рассматривать последовательное соединение участков, имеющих разное сече
ние, свойства и т.д., как единый участок, что существенно ускоряет расчет.
Аналогично рассматриваются и реш аются уравнения (2б)-(2г). Для
полноты изложения приведем реш ения для (2в) и (2г):
N 0
U = U 0 cos k xx - sin k xx ; (8а)
N = U оE F k x sin k xx + N 0 cos k xx ; (86)
V = V о cos k x x - ^ - J — sin k x ; (9а)
G* кр k кр
K x = V 0 G I крk кр s in k крx + K x0 c0s k крx , (96)
где
k 2 = p - e - = ^
’ Е
Основное преимущество М ДЖ перед двумя другими методами заклю
чается в том, что анализ динамического поведения стержневой системы при
гармоническом возбуждении подобен статическому и нет необходимости
разрабатывать для него отдельную процедуру.
2. П рим енение метода д л я динам ического ан ал и за слож ны х систем.
2.1. М о д е л и р о в а н и е ги б о в т р уб ы с п о м о щ ью п р я м ы х ст е р ж н е й . Глав
ный недостаток решений, используемых для анализа трубопроводных систем,
описанных в р. 1, состоит в том, что они не обеспечивают непрерывность
решения при постепенном повороте осей трубопровода (например, при
движении вдоль гиба трубы). Дело в том, что переменные, входящие в
уравнения (2), становятся связанными. В постановке Эйлера уравнения для
гиба трубы как криволинейного стержня записываются так [19].
При колебаниях в плоскости кривизны:
Л 4^ у Л ъи л и Г р Г ю 2Ж у
4 4 -̂--- 4 3 -̂-------2 К -----^ 2 ̂К ~ — 0; (10а)
В о4 ̂ 4 В 4 ̂ 3 1 2В о2 % в о21 2 Е 1 2
Л и л и Л 2Ж у В 2 р ю 2 л и
1 ё + - № У + Е <№у - И ) — 0 (10б)
при колебаниях из плоскости кривизны:
4 ТТЛ т j2 „ r Id W z G I кр d W
d £ 4 E I y d£
кр Bo i + G I кр
E I y ,
>4 2
d V p F B 0 a>2
d ^ - K - ^ r T W * = 0; (11а)
84 ISSN 0556-171X. Проблемыг прочности, 2007, № 1
Расчет собственных и вынужденных колебаний
(116)
где В о - радиус гиба; £ - текущий угол гиба.
Эти уравнения записаны для примера. Возможны также другие поста
новочные уравнения, учитывающие, например, свойства балки Тимошенко,
анизотропию свойств и т.д. Существуют два пути реш ения проблемы криво
линейных стержней. Первый путь - непосредственное решение уравнений
вида (10), (11), что является очень сложной задачей, связанной с необходи
мостью реш ения дифференциальных уравнений 6-го порядка. В современ
ной литературе этому вопросу посвящено большое количество работ (напри
мер, [20]). Так, в [21] приводится точное решение для криволинейного
стержня с постоянным поперечным сечением при колебаниях в плоскости. В
работах [22, 23] анализируются собственные колебания криволинейных
балок из плоскости с получением динамических матриц жесткости. Были
получены матрицы жесткости для кривых балок как с постоянным, так и
переменным поперечным сечением. Однако эти решения носят частный
характер и не в состоянии рассмотреть все возможные случаи. Попытка
расширить полученные решения для большего класса геометрий или усло
вий нагружения представляет трудности. Поэтому, на наш взгляд, необхо
димо найти более простой способ получения динамической матрицы жест
кости для криволинейных стержней в разных постановках.
В современных условиях предпочтительно использовать более простые
аналитические решения, а все трудные моменты решать с помощью компью
тера, а именно: использовать уравнения типа (7), где матрица перехода для
сложного случая получается как произведение более простых матриц. Наш
опыт расчета статического напряженно-деформированного состояния (НДС)
показал, что нет необходимости получать сложные аналитические решения
для криволинейного стержня. Численное решение с достаточно высокой сте
пенью точности может быть получено, если кривой стержень заменить пря
мыми участками, а сопряжение на границах проводить с учетом скачка угла
между двумя локальными системами координат. Аналогичный прием приме
няется в литературных источниках для решения статических задач [24].
Формально этот технический прием представляется следующим обра
зом. Пусть два прямолинейных участка сопрягаются под некоторым углом
ф г с конечным значением и первый из элементов по направлению обхода
стержневой системы имеет порядковый номер г. Тогда на границе сопряга
емых участков из условия равенства всех 12 параметров (по три параметра
усилий, моментов, перемещений и углов) в глобальных координатах уста
навливается матрица связи между значениями параметров в конце предыду
щего и начальными значениями последующего участка в локальных коорди
натах:
где [В(ф г)] - матрица связи, значение элементов которой устанавливается
из следующих уравнений:
^ + 1 = [В( ф г Ш *, (12)
ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2007, № 1 85
И. В. Орыняк, С. А. Радченко, А. С. Батура
б У,1+1 = Q ey,i С08 ф г - N 1 яп ф ;
<2^+1 = ;
_ N*+1 = N 4 соя ф г + б у,г я п ф г ;
кУ = к е • к 2 ,г+1 к 2 ,г;
к 1г+1 = к У,г С0э ф г - к 1 ,г э1п ф г •
Км'+1 = к : 1,г соя ф г + ку ,г я п ф г;
д У = Д е ;
17 2 ,г+1 и 2 ,г;
д У,г+1 = д еУ,г С0э ф г - Ф1 ^ г ;
Ф У+1 = Ф 1 С0э ф г + д У,г э т ф г;
^ • + 1 = ^ соя ф г - V е я п ф г;
< • + 1 = ^ г ;
V У+1 = и е соя ф г + ^ яп ф г.
Поскольку матрица [5(ф г)] выполняет только функцию поворота между
сопрягаемыми сечениями, назовем ее поворотной, а сам элемент, в котором
происходят указанные преобразования координатных систем, - поворотным.
Рис. 2. Схема замены криволинейного стержня прямыми участками. (Цифрами 1-5 обозна
чены номера прямых участков.)
Перейдем к процедуре применения метода прогонки в случае наличия
поворотных элементов. На рис. 2 приведен пример схемы моделирования
гиба с использованием пяти прямых стержней и четырех поворотных эле
ментов. Если считать, что уравнения (5) связи между параметрами в начале
и в конце участка записаны для всех 12 неизвестных, то аналогично (7)
можно получить связь между параметрами в конце п-го участка и в начале
первого:
^Пе = [Сп (® ) ]# 1У, (14а)
где матрица перехода [С п(» )] с учетом поворотных элементов может быть
записана в виде произведения локальных матриц:
п
[С п(®)] = П [А(^ * е-г+1]1Жф п - г )]- (14б)
г=1
Завершают постановку задачи правила обхода сложной пространствен
ной стержневой системы для составления уравнений связи, уравнений для
опор и условий сопряжения при наличии сосредоточенных сил и моментов.
86 ISSN 0556-171Х. Проблемыг прочности, 2007, № 1
Расчет собственныгх и выгнужденныгх колебаний
Все эти процедуры и уравнения абсолютно идентичны таковым при стати
ческом анализе [25]. С их использованием был разработан программный
комплекс “ЭБ Р1реМа81ег” для расчета НДС сложных трубопроводов.
2.2. О п р ед е лен и е со б ст вен н ы х ча ст о т к о леб а н и й . Одной из важных
задач динамического анализа является определение спектра собственных
частот. Обычно собственные частоты находят из условия равенства нулю
определителя динамической матрицы жесткости. С этой целью применяют
графические либо итерационные методы. Недостаток подобного подхода
для определения собственных частот состоит в том, что такая процедура не
нужна в статическом анализе, и для динамического анализа ее нужно
создавать специально. Другой недостаток - пользователь не может из найден
ного спектра частот выделить те, которые соответствуют интересующ ей его
форме колебаний (поперечная, продольная и т.д.). Для трехмерной модели
применение такого подхода нецелесообразно. Поэтому для поиска собствен
ных частот будем применять метод “размыкания по перемещениям”.
Суть данного метода состоит в следующем. На границе двух сопряга
емых элементов из одного условия сопряжения убираем одно уравнение
равенства для определенной компоненты перемещений (например, Шу ) и
вместо него записываем условие равенства соответствующ ей силы Q y
какому-то ненулевому числу, например Q у = 1000. Тогда с помощью графи
ческого или итерационного метода находим такие частоты, при которых
разомкнутые перемещения равны друг другу. Фактически это означает, что
существует нетривиальное решение, при котором все граничные условия и
условия сопряжения выполняются. Достоинством метода является то, что
пользователь заранее знает, что, по крайней мере, для заданной частоты
интересующее его перемещение не равно нулю. Это дает возможность
расчетчику контролировать правильность полученного результата с помощью
последовательного размыкания системы в разных точках.
Применение метода размыкания по перемещениям было проверено при
реш ении большого количества задач для прямых стержней, в том числе для
многопролетных балок, с различными условиями закрепления. При этом
установлена высокая точность определения собственных частот. Ниже пока
жем корректность модели криволинейного стержня, набранного из прямых
участков, на примере расчета собственных частот и сопоставления их с
известными данными.
Э. П р и м ер ы п рим ен ен ия метода.
Э.1. В ы н у ж д е н н ы е га р м о н и ч е ск и е к о леб а н и я п р я м о й ба лки . В качестве
примера проанализируем гармоническое нагружение шарнирно опертой
балки Эйлера длиной I , к центру которой приложена возмущающая сила
Р ( г) = Р 0 соэ Ш , (15)
где Ро - амплитуда внешней нагрузки.
С помощью программного комплекса “ЭБ Р1реМа$1ег” были рассчитаны
амплитудные значения изгибающего момента М в точке приложения силы в
зависимости от частоты колебаний. Результаты расчета полностью совпадают
с теоретическим решением, которое записывается следующим образом [19]:
ISSN 0556-171Х. Проблемыг прочности, 2007, № 1 87
И. В. Орыняк, С. А. Радченко, А. С. Батура
м ( V2) = —р 2 у (г§ у + л у ); (16)
где
_ 1 4 р Е ш 214
2 ЕТ
3.2. К о леб а н и я за м к н у т о го кольца . В этом и последующих примерах
криволинейный стержень будем строить из прямых участков, образующих
описанный многоугольник. Для замкнутого кольца ввиду условия периодич
ности перемещений, которые принимаются в виде тригонометрических ря
дов, выражения для собственных частот легко получаются теоретически и
они известны [19]:
при колебаниях в плоскости кривизны (без учета деформации средин
ной поверхности):
ш :
Е Т , 2 / 2 1 \ 2 П ( П — 1)
Р Е В о4 2п +1
п > 2;
при колебаниях из плоскости кривизны:
ш :
п 2( п 2 —1)
2 в Т кр + . п ---------+ 1
Е Т У
в Г
Р Е В о4
(17а)
(17б)
В табл. 1 представлены данные сопоставления значений теоретических
частот (13) и найденных по предлагаемому подходу. Расчеты проведены для
кривого стержня с круглым сплошным поперечным сечением, имеющего
такие параметры: Е = 2 • 1 О6 МПа; в = 8 • 105 МПа; /л = 0,3; р = 8000 кг/м 3;
В о = 2 м; Я = 0,1 м (радиус трубы).
Т а б л и ц а 1
Значения собственных частот при колебании замкнутого кольца
п Колебания
в плоскости кривизны из плоскости кривизны
2 167,7051 163,6634
167,5690 163,3600
3 474,3416 468,5213
473,8570 467,3710
4 909,5086 902,8939
908,4868 900,3910
5 1470,8710 1463,8510
1469,1460 1459,6620
Примечание. Над чертой приведены теоретические данные, под чертой - полученные по
предложенному методу.
88 ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2007, № 1
Расчет собственных и вынужденных колебаний
Результаты расчетов первых четырех собственных частот для замкну
того криволинейного стержня (табл. 1) указанным методом свидетельствуют
о высокой точности полученных результатов по сравнению с теоретичес
кими значениями (17). Незначительное расхождение обусловлено неучетом
сжимаемости срединной поверхности стержня в теоретическом решении.
3.3. К о леб а н и я к р уго во й арки . Одним из преимуществ предлагаемого
подхода является то, что используются только уравнения для прямых стерж
ней, которые могут быть легко преобразованы для самых разных случаев
нагружения и форм поперечного сечения. Так, в постановке Тимошенко с
учетом сдвига и момента инерции вращения рассматриваемого сечения, что
необходимо в случае коротких длин волн колебаний, уравнение (2а) прини
мает вид
ё х 4 + р ! 2 ю [1+ к с ) ё х 2 рЕШ 1 ¥ у 1 С , = о, ( 1 8 )
где к - коэффициент формы сечения.
Решение уравнения (18) тривиально и записывается аналогично (3) в
удобной форме для применения М НП при расчете НДС стержневой систе
мы. Оценим эффект влияния сдвига и момента инерции вращения на значе
ния собственных частот и сопоставим полученные значения с приведен
ными в литературных источниках.
В табл. 2 представлены результаты расчета безразмерной первой собст
венной частоты колебаний А = ю £ 2 ^ Б р /~ ПРИ колебаниях в плоскости кри
визны круговой арки с углом дуги § = 45 и 90°. Условие закрепления -
жесткая заделка на обоих концах арки. Частота Я рассчитывается для трех
случаев: с учетом растяжимости срединной поверхности стержня; растяжи
мости срединной поверхности и момента инерции вращения и растяжи
мости срединной поверхности, момента инерции вращения и сдвига.
В табл. 3 приведены результаты расчета безразмерной первой собст-
2 4 р Бвенной частоты колебаний у = ю В 0 ------ при колебаниях из плоскости кри
С / у
с / кр
визны круговой арки в зависимости от угла дуги § и параметра ^ = ------- .
Б / у
Условие закрепления - жесткая заделка на обоих концах арки. Параметр у
определен с учетом влияния растяжимости срединной поверхности стержня.
Как видно из данных табл. 2 и 3, наблюдается хорошее соответствие
между полученными значениями расчетных параметров Я и у и приведен
ными в литературных источниках. Такая высокая точность полученных
результатов свидетельствует о корректности модели криволинейного стерж
ня, образуемого прямыми участками, и высокой эффективности метода
размыкания по перемещениям, используемого при определении собствен
ных частот колебаний.
ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2007, № 1 89
И. В. Орыняк, С. А. Радченко, А. С. Батура
Т а б л и ц а 2
Значения параметра 1 при колебаниях круговой арки в плоскости кривизны
Ь г С учетом растяжимости
град срединной поверхности срединной поверхности
и момента инерции
вращения
срединной поверхности,
момента инерции
вращения и сдвига
[26] Наши данные [27] Наши данные Наши данные
25 45 27,33 27,310 - 27,05 25,040
50 39,03 39,025 - 38,92 38,570
100 60,08 60,000 - 59,93 58,740
12,5 90 26,35 26,000 - 25,20 26,690
25 - 38,070 37,81 37,69 36,590
50 55,37 55,490 54,98 54,91 50,920
100 55,73 55,640 55,63 55,60 54,473
150 55,78 55,770 55,74 55,72 55,208
200 55,81 55,790 55,79 55,77 55,476
250 55,81 55,810 55,80 55,79 55,600
300 55,82 55,810 55,81 55,80 55,665
350 - 55,820 55,83 55,81 55,710
400 - 55,820 55,83 55,81 55,740
500 55,84 55,820 55,84 55,82 55,750
Примечание. Ь = - длина арки; г = ^ 1 - радиус инерции сечения.
Т а б л и ц а 3
2 4 рРЗначения параметра у = а В0 ---- при колебаниях круговой арки
С1у
из плоскости кривизны с учетом растяжимости срединной поверхности оси
рад п у
[28] Наши данные
я 0,005 47,6000 47,5990
0,200 13,3600 13,3540
0,500 6,3340 6,3270
1,000 3,3750 3,3690
1,625 2,1340 2,1250
3л/ 2 0,005 3,3040 3,3030
0,200 1,6460 1,6460
0,500 0,9548 0,9544
1,000 0,5776 0,5771
1,625 0,3939 0,3934
2я 0,005 0,4540 0,4532
0,200 0,3350 0,3350
0,500 0,2533 0,2533
1,000 0,1915 0,1915
1,625 0,1528 0,1526
90 ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2007, N 1
Расчет собственных и вынужденных колебаний
Заметим, что с увеличением искомой собственной частоты может иметь
место несходимость решения из-за того, что собственные решения уравне-
большая, например Ьр > ( 6 — 8) / @, то ошибки вычислений очень быстро на
капливаются. Поэтому для обеспечения устойчивости счета целесообразно
процедуру прогонки организовывать на более коротких участках, что приво
дит к большему числу неизвестных в глобальной матрице вычислений.
Заклю чение. Разработан метод анализа динамического поведения слож
ных трубопроводных систем, рассматриваемых в качестве стержневых конст
рукций. При разработке метода использовались все преимущества МДЖ. В
этом случае уравнения записываются по М НП, в связи с чем процедура
решения подобна таковой для статической задачи.
Показано, что для кривых стержней необязательно отыскивать точные
решения дифференциальных уравнений движения. Гораздо проще и эффек
тивнее применять модель криволинейного стержня, образуемого прямыми
участками. Любые сложные системы можно рассчитывать с помощью пря
мых труб, решения для которых могут быть легко получены.
При определении спектра собственных частот колебаний пространст
венных стержневых систем удобно пользоваться методом размыкания по
перемещениям, который сразу выделяет частоты, соответствующие разным
формам колебаний (поперечные, продольные и т.д.). Точность метода про
иллюстрирована при расчетах собственных частот колебаний для прямых и
криволинейных стержней. Для прямых стержней проведено также моде
лирование вынужденных гармонических колебаний. Установлено хорошее
соответствие между полученными, теоретическими и литературными дан
ными.
Р е з ю м е
М етодом динам1чних жорсткостей проанаш зовано динам1чну поведш ку
трубопровод1в як стрижнево! системи. Згвдно з методом, р1вняння зв ’язку
м1ж невщомими параметрами записуються за допомогою методу почат
кових параметр1в, що робить процедуру розв’язку под1бною до статично!
задача Показано, що для криволш ш них стр и ж тв набагато п ростш е й
еф ективтш е застосовувати модель, що складаеться з прямих дшянок 1
безшерцш них поворотних елеменпв. Для визначення власних частот коли
вань просторових стрижневих систем пропонуеться використовувати метод
розмикання по перем щ еннях, що дозволяе ввдразу видшяти частоти, я к
вщповвдають р1зним формам коливань (п оп еречт, п о зд о вж т 1 т.п.). Пщх1д
дозволяе коректно моделювати поведш ку системи за вимушених коливань
1з гармоншною збуджуючою силою.
1. Н о р м ы расчета на прочность оборудования и трубопроводов атомных
энергетических установок (ПНАЭ Г-7-002-86). - М.: Энергоатомиздат,
и е , где собст-
участка “прогонки”
1989. - 525с.
ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2007, № 1 91
И. В. Орыняк, С. А. Радченко, А. С. Батура
2. A S M E B 3 1 .3 . Proceedings o f Piping ASM E. - N ew York, 2002.
3. A m e r ic a n Lifelines Alliance. Seismic Design and Retrofit o f Piping Systems,
2002.
4. О р ы н як И . В ., Р а д ч е н к о С. А . Анализ деформаций гиба трубы на основе
смешанного подхода. Сообщ. 3. Расчет перемещений оси гиба методом
начальных параметров // Пробл. прочности. - 2004. - № 5. - С. 23 - 35.
5. In te rn a tio n a l Piping Integrity Research Group (IPIRG) Program. Program
Final Report, 1997.
6. M e lo F. J . M . Q ., C a rn e iro J . A . O , L o p e s H . R., e t al. The dynamic analysis
o f piping systems using pseudo-dynam ic techniques // J. Strain Analysis. -
2001. - 36. - Р. 441 - 451.
7. K a ra m a n o s S. A . Bending instabilities o f elastic tubes // Int. J. Solids Struct.
- 2002. - 39. - Р. 2059 - 2085.
8. А к с е л ь р а д Э. Л ., И ль и н В. П . Расчет трубопроводов. - Л.: М аш ино
строение, 1972. - 240 с.
9. О р ы н як И . В., Р а д ч е н к о С. А . Анализ деформаций гиба трубы на основе
смешанного подхода. Сообщ. 1. Пространственный изгиб по Сен-Венану
// Пробл. прочности. - 2004. - № 3. - С. 23 - 51.
10. K r ism a n A . a n d S u re c h Y. J . A simple cubic linear element for static and free
vibration analysis o f curved beams // Comp. Struct. - 1998. - 68. - Р. 473 -
489.
11. M e c k H . R . A n accurate displacement function for finite ring elements to
circular arches // Ibid. - 1980. - 11. - Р. 265 - 269.
12. D a w e D . J . Curved finite elements for the analysis o f shallow and deep
arches // Ibid. - 1974. - 4. - Р. 229 - 580.
13. K a n g K. J ., B e r t C. W., a n d S tr iz A . G. V ibration and buckling analysis of
circular arches using DQM // Ibid. - 1996. - 60, No. 1. - P. 49 - 57.
14. K o lo u se k V. Dynamics in Engineering Structures. - London: Butterworths,
1973.
15. Д и м е н т б е р г Ф. М . М етод “динамической жесткости” в применении к
определению частот колебаний систем с сопротивлением // Изв. АН
СССР. Отд-ние техн. наук. - 1948. - № 10.
16. Д и м е н т б е р г Ф. М . Применение метода “динамической жесткости” для
расчета связанных колебаний // Динамика и прочность коленчатых
валов. - М.: Изд-во АН СССР, 1949.
17. К е м п н е р М . Л . М етоды динамических податливостей и жесткостей для
расчета изгибных колебаний упругих систем со многими степенями
свободы // Поперечные колебания и критические скорости. - М.: Изд-во
АН СССР, 1951.
18. C hen S h ilin , G era d in M ., a n d L a m in e E . An im proved dynamic stiffness
method and m odal analysis for beam-like structures // Comp. Struct. - 1996.
- 60, No. 5. - P. 725 - 731.
19. Б и д е р м а н В. Л . Прикладная теория механических колебаний. - М.:
Высш. шк., 1972. - 416 с.
92 ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2007, № 1
Расчет собственных и вынужденных колебаний
20. K im N a m I I a n d K im M o o n , J r . Exact dynamic element stiffness matrix of
shear deformable non-symmetric curved beams subjected to initial axial
force // Struct. Eng. Mech. - 2005. - 19, No. 1. - P. 73 - 96.
21. H o w so n W. P. a n d J e m a h A . K . Exact dynamic stiffness m ethod for planar
natural frequencies o f curved Timoshenko beams // Proc. Inst. Mech. Eng. -
1999. - 213. - P. 687 - 696.
22. L e e S. Y. a n d C hao. J. C. Exact solutions for out-of-plane vibration o f curved
nonuniform beams // J. Appl. Mech. - 2001. - 68. - P. 186 - 191.
23. H u a n g C. S., T sen g Y. P ., C h a n g S. H., a n d H u n g C. L . Out-of-plane
dynamic analysis o f beams w ith arbitrarily varying curvature and cross
section by dynamic stiffness matrix m ethod // Int. J. Solids Struct. - 2000. -
37. - P. 495 - 513.
24. Iw a k u m a T ., Ik e d a K ., a n d N ish in o F . C onsistency o f straight-beam
approxim ation o f a thin-walled circular beam // Comp. Struct. - 1996. - 60,
No. 1. - P. 87 - 93.
25. О р ы н як И . В ., Т о р о п В. М ., Р о м а щ е н к о В. А ., Ж у р а х о в с к и й С. В . Расчет
пространственного разветвленного трубопровода в программном комп
лексе оценки прочности оборудования АЭС // Пробл. прочности. -
1998. - № 2. - С. 87 - 100.
26. V ele tsos A . S., A u s tin W. J., P e re ira C. A . L., a n d W ung S. J . Free in-plane
vibration o f circular arches // J. Eng. Mech. ASCE. - 1972. - 98. - Р. 311 -
329.
27. A u s tin W. J . a n d V ele tso s A . S . Free vibration o f arches flexible in shear //
Ibid. - 1973. - 99. - Р. 735 - 753.
28. O ja lvo U. Coupled tw isting-bending vibrations o f incomplete elastic rings //
Int. J. Mech. Sci. - 1962. - 4. - Р. 53 - 72.
Поступила 21. 11. 2005
ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2007, № 1 93
|