Математическое моделирование пограничных слоев

Представлен обзор формирования и развития теории пограничного слоя, а также соответствующих ей физических и математических моделей. Излагается один из плодотворных полуэмпирических подходов, развиваемый авторами по разработке непрерывной алгебраической модели турбулентной вязкости. Представлены разл...

Full description

Saved in:

Bibliographic Details
Date:	2005
Main Authors:	Мовчан, В.Т., Шквар, Е.А.
Format:	Article
Language:	Russian
Published:	Інститут гідромеханіки НАН України 2005
Online Access:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/4800
Tags:	Add Tag No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Cite this:	Mатематическое моделирование пограничных слоев / В.Т. Мовчан, Е.А. Шквар // Прикладна гідромеханіка. — 2005. — Т. 7, № 3-4. — С. 73-85. — Бібліогр.: 43 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-4800
record_format	dspace
spelling	Мовчан, В.Т. Шквар, Е.А. 2009-12-24T10:44:20Z 2009-12-24T10:44:20Z 2005 Mатематическое моделирование пограничных слоев / В.Т. Мовчан, Е.А. Шквар // Прикладна гідромеханіка. — 2005. — Т. 7, № 3-4. — С. 73-85. — Бібліогр.: 43 назв. — рос. 1561-9087 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/4800 532.526 Представлен обзор формирования и развития теории пограничного слоя, а также соответствующих ей физических и математических моделей. Излагается один из плодотворных полуэмпирических подходов, развиваемый авторами по разработке непрерывной алгебраической модели турбулентной вязкости. Представлены различные приложения построенной теории к расчету ряда течений в рамках приближения пограничного слоя. Приведены примеры тестовых расчетов турбулентных течений. Представлено огляд формування i розвитку теорiї примежового шару, а також вiдповiдних до неї фiзичних i математичних моделей. Висвiтлюється один з плiдних напiвемпiричних пiходiв, що розвивається авторами по розробцi неперервної алгебраїчної моделi турбулентної в'язкостi. Наведенi рiзноманiтнi застосування побудованої теорiї до розрахункiв ряду течiй в рамках наближення примежового шару. Наведенi приклади тестових розрахункiв турбулентних течiй. A review of forming and developing of the boundary layer theory together with corresponding physical and mathematical models is presented. One of fruitful semiempirical approaches elaborating by authors in the direction of development of the algebraic model of turbulent viscosity is described. Several applications of created theory for flow calculations in frame of boundary layer approximation are demonstrated. The examples of predictions of flow characteristics are presented. ru Інститут гідромеханіки НАН України Математическое моделирование пограничных слоев Mathematical modelling of boundary layers Article published earlier
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
title	Математическое моделирование пограничных слоев
spellingShingle	Математическое моделирование пограничных слоев Мовчан, В.Т. Шквар, Е.А.
title_short	Математическое моделирование пограничных слоев
title_full	Математическое моделирование пограничных слоев
title_fullStr	Математическое моделирование пограничных слоев
title_full_unstemmed	Математическое моделирование пограничных слоев
title_sort	математическое моделирование пограничных слоев
author	Мовчан, В.Т. Шквар, Е.А.
author_facet	Мовчан, В.Т. Шквар, Е.А.
publishDate	2005
language	Russian
publisher	Інститут гідромеханіки НАН України
format	Article
title_alt	Mathematical modelling of boundary layers
description	Представлен обзор формирования и развития теории пограничного слоя, а также соответствующих ей физических и математических моделей. Излагается один из плодотворных полуэмпирических подходов, развиваемый авторами по разработке непрерывной алгебраической модели турбулентной вязкости. Представлены различные приложения построенной теории к расчету ряда течений в рамках приближения пограничного слоя. Приведены примеры тестовых расчетов турбулентных течений. Представлено огляд формування i розвитку теорiї примежового шару, а також вiдповiдних до неї фiзичних i математичних моделей. Висвiтлюється один з плiдних напiвемпiричних пiходiв, що розвивається авторами по розробцi неперервної алгебраїчної моделi турбулентної в'язкостi. Наведенi рiзноманiтнi застосування побудованої теорiї до розрахункiв ряду течiй в рамках наближення примежового шару. Наведенi приклади тестових розрахункiв турбулентних течiй. A review of forming and developing of the boundary layer theory together with corresponding physical and mathematical models is presented. One of fruitful semiempirical approaches elaborating by authors in the direction of development of the algebraic model of turbulent viscosity is described. Several applications of created theory for flow calculations in frame of boundary layer approximation are demonstrated. The examples of predictions of flow characteristics are presented.
issn	1561-9087
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/4800
citation_txt	Mатематическое моделирование пограничных слоев / В.Т. Мовчан, Е.А. Шквар // Прикладна гідромеханіка. — 2005. — Т. 7, № 3-4. — С. 73-85. — Бібліогр.: 43 назв. — рос.
work_keys_str_mv	AT movčanvt matematičeskoemodelirovaniepograničnyhsloev AT škvarea matematičeskoemodelirovaniepograničnyhsloev AT movčanvt mathematicalmodellingofboundarylayers AT škvarea mathematicalmodellingofboundarylayers
first_indexed	2025-11-25T20:39:13Z
last_indexed	2025-11-25T20:39:13Z
_version_	1850525204397162496
fulltext	ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2005. Том 7(79), N 3-4. С. 73 – 85 УДК 532.526 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПОГРАНИЧНЫХ СЛОЕВ В. Т. М ОВ Ч А Н, Е. А. Ш К ВА Р Национальный авиационный университет, Киев Получено 25.02.2005 Представлен обзор формирования и развития теории пограничного слоя, а также соответствующих ей физических и математических моделей. Излагается один из плодотворных полуэмпирических подходов, развиваемый авторами по разработке непрерывной алгебраической модели турбулентной вязкости. Представлены различные приложения по- строенной теории к расчету ряда течений в рамках приближения пограничного слоя. Приведены примеры тестовых расчетов турбулентных течений. Представлено огляд формування i розвитку теорiї примежового шару, а також вiдповiдних до неї фiзичних i мате- матичних моделей. Висвiтлюється один з плiдних напiвемпiричних пiходiв, що розвивається авторами по розробцi неперервної алгебраїчної моделi турбулентної в’язкостi. Наведенi рiзноманiтнi застосування побудованої теорiї до розрахункiв ряду течiй в рамках наближення примежового шару. Наведенi приклади тестових розрахункiв турбу- лентних течiй. A review of forming and developing of the boundary layer theory together with corresponding physical and mathematical models is presented. One of fruitful semiempirical approaches elaborating by authors in the direction of development of the algebraic model of turbulent viscosity is described. Several applications of created theory for flow calculations in frame of boundary layer approximation are demonstrated. The examples of predictions of flow characteristics are presented. ВВЕДЕНИЕ Хотя прошло 100 лет со времени создания Л. Прандтлем физической и математической моделей пограничного слоя, интерес к исследованию тече- ний в пограничных слоях не угасает и поныне. На время опубликования Л. Прандтлем модели погра- ничного слоя были известны и уравнения идеаль- ного движения Эйлера, и уравнения Навье-Стокса для описания динамики вязких течений, однако уравнения пограничного слоя Прандтля оказались вехой в механике жидкости и газа. На то время гидромеханика разделялась на две самостоятель- ные ветви науки – теоретическую, основанную на модели невязкого течения Эйлера, и эксперимен- тальную гидродинамику или гидравлику. Матема- тическая теория невязкого течения хотя и давала достоверную картину для отдельных типов тече- ний, но не могла ответить на важные для прак- тики вопросы – о сопротивлении тела при движе- нии в жидкости, о теплопередаче между телом и движущейся жидкостью, о потерях давления при движении жидкости или газа в трубах или кана- лах. Гидравлика, методы которой нашли широкое применение в инженерной практике, представляла не столько рациональную систему знаний, сколь- ко набор эмпирических фактов. Модель Прандтля объединила эти два самостоятельно развивавши- xся раздела науки в единую науку – гидромехани- ку. Она позволила объяснить влияние трения на развитие течения и понять суть явления отрыва, которое отрицательно влияет на подъемную силу – она резко уменьшается. Прандтль, которого считают одним из основопо- ложников экспериментальной аэродинамики, рас- смотрел ряд задач теории крыла, в том числе крыла конечного размаха, крыла с наиболее выго- дным распределением циркуляции. Он внес нео- ценимый вклад в науку о турбулентности, иссле- довал проблему теплопередачи в течении, открыл один из основных критериев подобия тепловых процессов в жидкостях и газах – число Прандтля. Теория пограничного слоя широко используется при решении важных проблем в различных обла- стях техники, где присутствуют процессы обтека- ния поверхностей. Самолето-, корабле-, ракето-, тепловозо-, автомобиле-, энергомашиностроение – эти и многие другие направленя инженерной де- ятельности в значительной мере обязаны своим прогрессом использованию модели пограничного слоя. Значимость теоретических и эксперименталь- ных исследований в практической деятельности определяется количеством публикаций. Интере- сная статистика роста приведена в [28]. Так, с 1934 по 1964 гг. число публикаций по пограничному слою утроилось, а в последующие два десятиле- тия они каждый раз удваивались и в 1982 г. было опубликовано фантастическое число работ по по- граничному слою – более 1200. Необходимо отметить, что модель погранично- c© В. Т. Мовчан, Е. А. Шквар, 2005 73 ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2005. Том 7(79), N 3-4. С. 73 – 85 го слоя стимулировала дальнейшие значительные исследования пристенных течений теоретического и экспериментального характера. Наиболее распространены в природе и в технике турбулентные течения. Так, турбулентными в сво- ем большинстве являются течения в пограничных слоях на поверхностях летательных аппаратов, ав- томобилей, поездов, в следах за подвижными те- лами, в соплах реактивных двигателей и в струях за ними, а также в трубах и каналах различной геометрии и предназначения. Турбулентными яв- ляются течения в океанах, морях, реках, течения воздушных масс атмосферы (ветры, бури, смер- чи). Поэтому не уменьшается значительный инте- рес к начатым еще в позапрошлом столетии иссле- дованиям турбулентных течений. Для успешного изучения явлений природы, а было это понято еще в эпоху Большого Возро- ждения, необходимы и наблюдения, и эксперимен- ты, и математические описания явления. Мате- матическая формализация задачи, решение ее и анализ результатов дают возможность получить наиболее общее и глубокое представление об ис- следуемом явлении. С математической точки зре- ния турбулентное течение, как и ряд других яв- лений природы, представляет настолько сложную проблему, что ее решение не может не использо- вать результаты эксперимента. Несмотря на то, что турбулентность является предметом большо- го внимания специалистов прикладной физики и математики, механики жидкости и газов, техники, усилий многих ученых, проблема турбулентности и сегодня оказывается не менее острой, чем она была более ста лет тому назад, когда ее выска- зал О. Рейнольдс [1, 2]. Среди множества подхо- дов к описанию турбулентных течений на сегодня основанием для проведения конкретных расчетов, несмотря на интенсивное развитие методов кру- пных вихрей или прямого численного моделирова- ния, остаются полуэмпирические подходы. Мате- матические полуэмпирические модели турбулен- тности своими истоками обязаны работам Бусси- неска, Рейнольдса, Тейлора, Кармана и Прандтля [1, 2]. Так как математическое моделирование по- луэмпирического направления опирается на зна- ние его структуры, то изменение ее стало одной из центральных проблем механики турбулентных течений. Прандтль [1] первым начал изучать стру- ктуру турбулентного пограничного слоя, предло- жив двухслойную схему – ламинарный слой и тур- булентное ядро. Карман ввел между этими зо- нами переходную или буферную зону. Экспери- ментальные исследования многих ученых указа- ли на наличие двух существенно различных обла- стей в пограничном слое, отличающихся как ха- рактером течения, так и характерными масшта- бами. Окончательно схема двух областей утверди- лась после классических экспериментальных ре- зультатов Клаузера [11] относительно вихревой структуры пограничного слоя. Согласно резуль- татам этих исследований, в пристенной области турбулентность является мелкомасштабной с “ко- роткой памятью”, а во внешней – крупномас- штабной с “долгой памятью”. Затухание возму- щений во внешней области, согласно исследова- ниям Клаузера, осуществляется на расстояниях, значительно больших, нежели во внутренней, и равной нескольким толщинам пограничного слоя. Это означает, что течение во внешней области в значительной мере зависит от предыстории тече- ния. Обе области существенно отличаются мас- штабом вихревых структур. Дальнейшие экспе- риментальные исследования [3, 12–14] обнаружи- ли существование крупномасштабных квазипери- одических детерминированных или когерентных структур, которые оказывают существенное, а то и определяющее влияние на развитие течения. Со- гласно экспериментальным исследованиям, суще- ствуют четыре основных элемента организован- ных структур. Цепочка продольных вихрей, кото- рые вращаются в противоположных направлени- ях, колеблются и покрывают всю гладкую стенку. Над ними размещается зона низкоскоростных дви- жений с чередованием больших и меньших скоро- стей. Область перемежаемости называют жгута- ми. Взаимодействие жгутов с течением происхо- дит в такой последовательности: образование, по- дъем, внезапные колебания и разрушение. После- довательность от подъема до разрушения называ- ют вспышками. Во внешней области также осу- ществляются интенсивные мелкомасштабные дви- жения. Основные элементы внешней области – это крупномасштабные поперечные вихри, характери- зующиеся размерами порядка толщины пограни- чного слоя и типичные вихри с большой энерги- ей в зоне перемежаемости. Известные результа- ты исследований организованных структур свиде- тельствуют об отсутствии полного понимания про- цессов переноса в этих структурах. Считается до- стоверным факт образования преобладающей ча- сти турбулентности вблизи стенки на вспышках, но сам механизм, приводящий к условиям их ре- ализации, остается неясным. Приведенная схема структуры представляет собой очень сложную и не до конца изученную картину взаимодействия структурных элементов. Карман и Тейлор опреде- ляли турбулентность как неупорядочное движение во времени, а Хинце отметил, что это движение 74 В. Т. Мовчан, Е. А. Шквар ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2005. Том 7(79), N 3-4. С. 73 – 85 неупорядочено как во времени, так и в пространс- тве, и что существует возможность изучения тур- булентности статистическими методами. Наиболее широкое определение турбулентности дано Бред- шоу: “Турбулентность – это трехмерное нестаци- онарное движение, в котором вследствие растя- жения вихрей осуществляется непрерывное рас- пределение пульсаций скорости в интервале длин волн от минимальных, определяемых вязкими си- лами, до максимальных, определяемых границами течения”. Лапин предложил дополнить это опре- деление: “Это многомасштабное движение в опре- деленных частях носит когерентный (организован- ный) характер”. Хотя в настоящее время и отсут- ствует полное описание механизма растяжения ви- хревых трубок, однако накопленная к настояще- му времени информация дает возможность по- нять, за счет чего поддерживается турбулентное движение. Крупномасштабные структуры (вихри) поглощают энергию основного течения, деформи- руются, делятся и путем нелинейных взаимодей- ствий осуществляют передачу энергии от основно- го течения до мелкомасштабных структур в при- стенной области, где осуществляется вязкая дис- сипация. Следовательно, турбулентное движение может существовать за счет энергии основного те- чения благодаря крупномасштабным структурам. Механизм растяжения вихревых трубок связан с каскадным процессом передачи энергии от основ- ного движения к крупномасштабным вихрям, а от них к мелкомасштабным. Крупномасштабные структуры сильно анизотропные и существенно зависят от границ и характера внешних влияний, а поэтому они разные для различных течений. Ха- рактеристики мелкомасштабных структур меньше зависят от индивидуальных особенностей. Турбу- лентность, в отличие от ламинарного режима те- чения – это свойство движения, а не физическая характеристика газа или жидкости. Что касается структуры течения в отношении распределения ее по толщине пограничного слоя, она представляется двумя областями – пристенной с вязкой, переходной и логарифмической зонами и внешней (следной) областью. Первой моделью для замыкания уравнений тур- булентного пограничного слоя является модель Буссинеска, основанная на подобии вязких и тур- булентных напряжений. В середине 20-х годов ХХ ст. Прандтль создал полуэмпирическую тео- рию турбулентности, которая получила наимено- вание теории турбулентного перемешивания или старой гипотезы Прандтля. Карманом из сообра- жений размерности и локальности была получе- на иная полуэмпирическая формула для турбу- лентных напряжений. Обе полуэмпирические мо- дели турбулентности легли в основу многочислен- ных методов расчета. Как утверждает Л.Г. Лой- цянский [2], Л. Прандтль первоначально обосно- вал свою старую гипотезу с помощью теории подо- бия и размерности. Клаузер для внешней области предложил свою гипотезу для коэффициента тур- булентной вязкости. Известный способ масштаби- рования профиля скорости вблизи обтекаемой по- верхности, получивший по этой причине название “закона стенки”, также впервые был обоснован Прандтлем. Затем Колмогоров (1941) и Прандтль (1945) предложили в качестве масштаба скорости в модели Буссинеска использовать квадратный корень из кинетической энергии турбулентности. Первым модель Колмогорова-Прандтля в числен- ных расчетах использовал Глушко (1965). Вольф- штейну путем введения демпфирующих множите- лей типа предложенного ранее Ван-Дристом уда- лось улучшить прогнозирование низкорейнольдсо- вых течений. Невзглядов (1945) предложил фор- мулу, в которой турбулентное напряжение трения линейно зависит от кинетической энергии турбу- лентности. Такая зависимость подтверждена Та- унсендом. Несколько позже эта формула была улучшена. Надежность выбираемых для конкрет- ных расчетов гипотез оценивается по конечным результатам, а именно, по профилям скорости и интегральным характеристикам пограничного слоя в сравнении с физическими экспериментами. Чтобы исключить в расчетах влияние упрощений и дополнительных допущений, которые обычно принимаются в приближенных аналитических ме- тодах, стало общепринятой практикой решать сис- тему дифференциальных уравнений турбулентно- го пограничного слоя с помощью численных мето- дов. Теоретические основы турбулентности как фун- даментальной науки далеки до завершения, а по- этому широкое распространение нашли полуэмпи- рические феноменологические модели. Большин- ство моделей, которые используются в инженер- ных расчетах, относятся к моделям турбулентной вязкости. Эксперименты подтверждают, что гипо- теза турбулентной вязкости пригодна для расчета многих течений. 1. МОДЕЛИ КОЭФФИЦИЕНТА ТУРБУЛЕНТНОЙ ВЯЗКОСТИ При построении математических моделей ко- эффициента турбулентной вязкости принципиаль- ной является необходимость учета структуры по- В. Т. Мовчан, Е. А. Шквар 75 ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2005. Том 7(79), N 3-4. С. 73 – 85 граничного слоя, взаимодействия существенно ра- зных процессов каждой из областей и учета мо- лярного и молекулярного взаимодействия в окре- стности стенки. Как отмечалось, области погра- ничного слоя существенно отличаются как хара- ктером развития, так и характерными масшта- бами. Поэтому при использовании формулы пу- ти перемешивания Прандтля линейный масштаб в пристенной области считается пропорциональ- ным расстоянию от поверхности, а в следной области – постоянным. В другом подходе, кото- рый считается более удачным, в следной области используется формула Клаузера. В обоих подхо- дах с целью учета молекулярного и молярного вза- имодействия используется демпфирующий мно- житель Ван-Дриста. Очевидный недостаток моде- ли пути перемешивания заключается в том, что турбулентная вязкость равна нулю при ∂u ∂y = 0. Это означает, что турбулентная вязкость равна нулю в центре трубы, в области смешения при- стенной струи и внешнего потока. Кроме того, при использовании двухзонной схемы для коэффици- ента турбулентной вязкости не учитывается вза- имодействие областей, а этим пренебрегается су- ществование зоны перекрытия и нарушается глад- кость решения. Поэтому более надежный путь ре- шения проблемы лежит в построении единой зави- симости для коэффициента турбулентной вязко- сти, которая одновременно описывала бы обе обла- сти. Перспективной в этом смысле оказалась базо- вая алгебраическая модель коэффициента турбу- лентной вязкости, предложенная в 1973 г. В. Мов- чаном [15–18], которая позволяет описать его еди- ной формулой; отразить характерные особенности областей и зон течения в пограничном слое; полу- чить приближенные аналитические зависимости для профиля скорости в каждой из характерных зон. Эта модель коэффициента турбулентной вяз- кости имеет вид: τt = νt ∂u ∂y , (1) νt = νtcth νt пр νtc , (2) νtc = χ∆v∗γ, νt пр = ky √ τ+Dm, (3) Dm = th sh2(k1y +)th [ sh2(k2y +) ] ky+ √ τ+ , (4) где τt – турбулентное напряжение трения; νt – коэффициент турбулентной вязкости всего по- граничного слоя; νtc – коэффициент турбулен- тной вязкости следной области; νt пр – коэффи- циент турбулентной вязкости пристенной области; χ, k, k1, k2 – модельные коэффициенты; τ+ – на- пряжение трения в окрестности стенки: τ+ = = 1+Φȳ при положительном градиенте давления, τ+ = 1/1− Φȳ – при отрицательном; v∗ – динами- ческая скорость; ν – коэффициент молекулярной вязкости; ∆ – параметр длины Клаузера-Ротта; Dm – демпфирующий множитель; y+ = yv∗ ν , ȳ = = y δ , Φ = δ τw dp dx – параметр Федяевского; δ – толщина пограничного слоя; τw – напряжения на стенке; γ = √ 1 − ȳt – функция перемежаемости. Формула (2) И. Беловым и С. Исаевым [13] оши- бочно приписана Джонсону и Кингу, которые в 1985 г. предложили другую зависимость: νt = νtc ( 1 − e− νt пр νtc ) . Демпфирующий множитель (4) дает возмож- ность получить приближенно-аналитические за- висимости для профиля скорости в вязкой и переходной зонах одновременно с учетом гра- диента давления. Для построения приближенно- аналитического метода предложены следующие двухпараметрические аппроксимации для напря- жений трения: τ̄ = τ τw = (1− ȳ) ( A0 + A1ȳ + A2ȳ nth ky √ τ+ χ∆ ) (5) при неотрицательном градиенте давления и τ̄ = (1 − ȳ) ( B0 B1 + B2ȳ + B3 ȳ nth ky √ τ+ χ∆ ) . (6) – при отрицательном. Гипотеза Буссинеска дает возможность рассчитать профили скорости u(y) − u(y0) = y ∫ y0 τ ρ(ν + νt) dy. (7) Здесь y0 – ордината нижней границы моделируе- мой области сдвигового слоя. В пристенной обла- сти предполагалось, что γ ≈ 1, th ky √ τ+ χ∆ ≈ ky √ τ+ χ∆ ; τ = τ+, что позволило для вязкой и переходной зон полу- чить u+ = u v∗ = 1 + p+y+ k1 th(k1y +)− −p+ k2 1 ln [ ch(k1y +) ] , p+ = ν ρv∗ dp dx (8) 76 В. Т. Мовчан, Е. А. Шквар ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2005. Том 7(79), N 3-4. С. 73 – 85 при градиентном течении, а при безградиентном течении u+ = 1 k1 th(k1y +). (9) Для логарифмической зоны имеем: u+ = 1 k [ ln √ 1 + p+y+ − 1 √ 1 + p+y+ + 1 + 2 √ 1 + p+y+ ] + C (10) при положительном и незначительном отрица- тельном (p+ ≥ −1) градиентах давления, u+ = 1 k [ ln 1 − √ 1 + p+y+ 1 + √ 1 + p+y+ ] (11) при значительных отрицательных градиентах дав- ления (p+ < −1), u+ = 1 k ln y+ + C (12) при нулевом градиенте давления. В следной области для дефекта скорости в слу- чае положительного и незначительного отрица- тельного (Φ ≥ −1) градиентов давления получены следующие формулы: u− = u − u H v∗ = 1 χ∆1 [ ȳ − 1+ + 2Φ + 1 4 (ȳ2 − 1) + Φ + 1 5 (ȳ3 − 1)− −(2 + Φ) ( ȳn+1 − 1 n + 1 − ȳn+2 − 1 2(n + 2) )] , (13) где u H – скорость на внешней границе пограни- чного слоя; n – показатель степени, определямый условием соответствия рассчитываемого профиля скорости соответствующей ему толщине вытесне- ния δ∗. При сильном отрицательном градиенте давле- ния (Φ < −1): u− = 1 χ∆1 [ 0.5− Φ (Φ + 1)2 ln ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 1 − (Φ + 1)ȳ −Φ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ + + ȳ − 1 2(Φ + 1) + 1 Φ ( ȳn+1 − 1 n + 1 − ȳn+2 − 1 2(n + 2) )] , (14) где ∆1 = ∆/δ. Для случая нулевого градиента дав- ления получена формула: u− = 1 χ∆1 [ ȳ − 1 + ȳ2 − 1 4 − ȳ3 − 1 6 − −2 ( ȳn+1 − 1 n + 1 − ȳn+2 − 1 2(n + 2) )] . (15) Известно, что алгебраические модели требуют ввода специальных поправок для учета специфи- ки течения, что приводит к модификации модель- ных коэффициентов. Приближения для профилей скорости (9)–(15) позволили провести численный эксперимент, который совместно с использованием исследований других авторов и физическим экспе- риментом дал основание предложить применение в расчетах следующего набора зависимостей для модельных коэффициентов [18]: k1 = k10k1R(1 + 15.089r1r2), k2 = k20(1 + 30.178p+), χ = χ R [ 0.0095 + 1 74.6 + (2.4 + p+)2 ] , k = 0, 4 + 0.1823(1 + p+)(1 − e−0.3207β) при неотрицательном и k = 0, 4 + 58.5103 p+ β (1 − e−0.3207β) при отрицательном градиентах давления, r1 = 1 − 0.5e−0.1436β + 0.5e−0.3231β, r2 = 1 − e −76.1528 p+ β + e −361.4064 p+ β , k10 = 0.072, k20 = 0.223, k1R = 1 + 0.01  1 − e − 14 1 + z2   , χ R = 1.55 [ 1 + 0.55(1− e−0.243 √ z1−0.298z1) ] , z = R∗∗ · 10−3, R∗∗ = δ∗∗u H ν , β = δ∗ τw dp dx , z1 = R∗∗ 412 − 1. Выполненные сравнения напряжений трения по двупараметрическим приближениям с экспери- ментальными результатами Г. Шубауэра и П. Кле- банова, П. Брэдшоу, а также с расчетами К. Фе- дяевского и В. Новожилова [21] дают основание утверждать, что двупараметрические приближе- ния предпочтительнее. Необходимые для рачетов В. Т. Мовчан, Е. А. Шквар 77 ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2005. Том 7(79), N 3-4. С. 73 – 85 интегральные параметры брались из эксперимен- тов. С целью комплексной проверки возможно- стей предложенной базовой алгебраической моде- ли, она была использована в численном расче- тном методе [20]. Результаты численных расчетов и численных экспериментов по материалам Стен- фордской конференции [22] подтвердили примени- мость разработанной алгебраической модели и для неравновесных течений, а также справедливость приведенных формул для коэффициентов, хотя при значениях параметра f = − ν u2 H du H dx > 10−7 следует использовать зависимость [25] χ = χ R { 0.0168 + 1/ [ 212.85 + (2.4 + β)2 ] } . Что касается равновесных пограничных слоев, то предложенные здесь поправки для коэффициен- тов не во всех случаях приводили к улучшению сходимости расчетных и экспериментальных ре- зультатов. Аналогичные затруднения испытывали и исследователи, использующие двупараметриче- ские модели. Так, для улучшения соответствия ра- счетов и экспериментов в работе [23] корректиро- валось уравнение переноса для скорости диссипа- ции турбулентной энергии. Хотя это вполне ожи- даемое несоответствие, если вспомнить о выпол- ненных ранее Клаузером [4] сравнениях профилей скорости равновесных (Клаузер) и неравновесных (Денхофф и Тетервин) пограничных слоев. Ока- залось, что равновесные профили не совпадали с неравновесными при одних и тех же значениях па- раметра формы профиля H . При этом неравнове- сные профили оказались значительно более плав- ными, чем равновесные. Кроме того, для равно- весных профилей скорости параметр H остается почти постоянным при изменении продольной ко- ординаты, в то время как для неравновесных он постепенно увеличивался. Это означает, что при наличии равновесия толщина вытеснения δ∗ воз- растает медленнее, а значит перемешивание прои- сходит более интенсивно. Вычислительные экспе- рименты показали, что модель (1)–(3) способна прогнозировать и эти течения при условии моди- фикации коэффициентов χ и k в зависимости от H, du H dx , R∗∗ [20]. Анализ тестовых численных расчетов при срав- нении с каноническими экспериментами Стен- фордской конференции [18, 20] дает основание го- ворить о несомненных достоинствах предложен- ной алгебраической модели, особенно при значи- тельных положительных градиентах давления с возможным отрывом пограничного слоя. 2. ОДНОПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ ПОЛУЭМПИРИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ КОЭФФИЦИЕНТА ТУРБУЛЕНТНОЙ ВЯЗКОСТИ В отличие от алгебраической модели, опре- деленной через локальные характеристики осре- дненного движения, однопараметрическая модель строится с использованием локальных характери- стик пульсационного движения. В пристенной области коэффициент турбулен- тной вязкости взят из алгебраической модели, а в следной области предложена модель на основе подхода Колмогорова-Прандтля, теории подобия и размерности [19, 24-27]. В качестве масштаба скорости взят √ e, а масштаба длины – ∆, где e – кинетическая энергия пульсационного движе- ния, отнесенная к плотности. Модель для внешней области имеет вид: νtc = χ∆ √ e. (16) Для нахождения e использовано известное урав- нение переноса. В большинстве известных экспе- риментов отсутствует информация относительно кинетической энергии турбулентности и ее дисси- пации, а поэтому большую ценность представля- ют приближенные решения, которые использую- тся для задания начальных условий. Эти решения в пристенной области имеют вид: e = v2 ∗ c0 r1r2, ε = v4 ∗ ν r1r2 ch2(k1y+) + 2 νe y2 Dε для вязкой и переходной зон, e = v2 ∗ c0 r1, ε = v∗r 3/2 1 ky в логарифмической зоне, где ε – диссипация кине- тической энергии турбулентности, r1 =    1 + p+y+ при p+ > 0, 1 при p+ = 0, 1/(1 − p+y+) при p+ < 0, r2 = th(k1y +)th0.5 [ sh2(k2y +) ] , p+ = ν ρv3 ∗ dp dx , c0 = 0.2575 { 1 + 0.2456[1− th(0.4y+)]− −0.0592th(40ȳ) } , Dε = 1 − th [ 0.025y+(1 − 7.15) ] . 78 В. Т. Мовчан, Е. А. Шквар ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2005. Том 7(79), N 3-4. С. 73 – 85 В струйной области кинетическая энергия турбу- лентности определялась с помощью формулы Нев- зглядова τt = ae и двухпараметрических при- ближений для профилей напряжения трения, а диссипация e определялась известной формулой ε = cDe3/2/k. Для количественной оценки пре- дложенных приближений для коэффициента тур- булентной вязкости, кинетической энергии турбу- лентности и ее диссипации производилось срав- нение расчета по предложенным формулам с эк- спериментами Лауфера и Клебанова [5], которое показало хорошее соответствие. Кроме того, был выполнен численный расчет, который также про- демонстрировал удовлетворительное соответствие полученных результатов экспериментальным дан- ным. 3. МОДЕЛЬ КОЭФФИЦИЕНТА ТУРБУЛЕНТНОЙ ВЯЗКОСТИ ДЛЯ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ТЕЧЕНИЙ Для трехмерных пограничных слоев “старая” формула Прандтля обычно записывается в виде [23] νt = l2 [ (∂u ∂y )2 + (∂u ∂y )2 ]1/2 . В такой форме турбулентная вязкость νt – это ска- ляр. Учет неизотропности трехмерного пограни- чного слоя выполнен в соответствии с подходом Ю. Ротта [30]: νt xx = νt u2 x + Nu2 z u2 H , νt xz = νt zx = νt(1 − N) uxuz u2 H , νt zz = νt u2 z + Nu2 x u2 H . Здесь x, y и z – обозначения продольной, нор- мальной и поперечной осей декартовой системы координат, связанной с обтекаемой поверхностью, а в качестве индексов – проекции расчетных вели- чин на соответствующие оси; N – параметр ани- зотропии турбулентной вязкости, определяемый отношением ее величин в направлениях вторично- го и основного течений. Для определения νt в фор- мулах (1)–(3) следует [27, 31, 32] вычислять τ+ по следующей формуле: τ+ = √ v2 ∗xτ+ x + v2 ∗zτ+ z , а также заменить произведение ∆ · v∗ произведени- ем суммарной внешней скорости u H на интеграль- ный параметр пространственного профиля скоро- сти D, представленный, например, формулой Т. Меллора и К. Херринга: D = δ ∫ 0 y u H [ (∂ux ∂y )2 + (∂uz ∂y )2 ]1/2 dx. (17) Для расчета сдвиговых напряжений применялись формулы −uxuy = (νt)xx ∂ux ∂y + (νt)xz ∂uz ∂y , −uzuy = (νt)zx ∂ux ∂y + (νt)zz ∂uz ∂y . 4. МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРИСТЕННЫХ СТРУЙ При моделировании данного вида течения используется традиционное представление при- стенной струи, характеризуемой немонотонным в нормальном к стенке направлении распределени- ем продольной составляющей скорости в виде трех характерных областей (пристенная, струйная, сле- дная), в каждой из которых продольная составля- ющая монотонна. В пристенной части использую- тся формулы (1)–(3) с γ = 1. В струйной части δm ≤ y < δст и в следной δст ≤ y < δсл применяю- тся зависимости [27, 31, 32, 33] вида: νt = χстδ ∗ стγ(um − umin) при δm ≤ y < δст, νt = χслδ ∗ слγ(uн − umin) при δст ≤ y < δсл, где χст, χсл – модельные коэффициенты; δm, δст, δсл – толщины пристенной, струйной и следной областей; δст = δст ∫ δm um − u um − umin dy; δсл = δсл ∫ δсл uн − u uн − umin dy. 5. МОДЕЛЬ КОЭФФИЦИЕНТА ТУРБУЛЕНТНОЙ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ При построении алгебраической модели коэф- фициента турбулентной теплопроводности aq при- менен такой же подход, как и для получения моде- ли коэффициента турбулентной вязкости. Модель В. Т. Мовчан, Е. А. Шквар 79 ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2005. Том 7(79), N 3-4. С. 73 – 85 коэффициента турбулентной тепловодности имеет вид [31, 32, 34] aq = aq слth aq пр aq сл , где aq пр, aq сл – коэффициенты турбулентной теплопроводности соответственно для внешней и внутренней областей. При этом aq пр = kqyDq √ (τ+), Dq = th sh2(k1qy +)th [ sh2(k2qy +) ] kqy+ √ τ+ , aq сл = χq∆v∗γ. Эмпирические коэффициенты модели опреде- ляются с учетом числа Прандтля в соответ- ствии с [31, 32, 41] зависимостями вида: k1q = f1(Pr)k1, k2q = f2(Pr)k2, kq = fk(Pr)k, χq = f(Pr)χ. Приведенная модель коэффициента турбулен- тной теплопроводности легко обобщается на про- странственный случай [31, 32]. 6. МОДЕЛЬ ТУРБУЛЕНТНОЙ ВЯЗКОСТИ ДЛЯ СЛОЖНЫХ ТЕЧЕНИЙ Существенные затруднения при решении задач сдвиговых течений могут возникать из-за неопре- деленности линейных масштабов, которые (как на- пример, толщина пограничного слоя или толщина вытеснения) входят в формулы для коэффициента турбулентной вязкости внешней области. Это при- водит к необходимости определять их в процессе решения задачи итерационным путем, что снижа- ет скорость сходимости, а значит и эффективности расчетного метода, одновременно усложняя его. Свободным от этого недостатка является подход Болдуина-Ломакса, получивший по этой причине широкое распространение в расчетах сложных те- чений. Однако и он не лишен недостатка, посколь- ку использует различные зависимости при зада- нии коэффициента турбулентной вязкости в при- стенной и внешней областях. Представленная ниже модель сочетает до- стоинства единого описания турбулентной вязко- сти, предложенного здесь, и подхода Болдуина- Ломакса для внешней области. Данная модель имеет следующий вид: νt сл = χCcpFwake, где Fwake = min [ y(Fmax) · Fmax, Cwk · y(Fmax) u2 max Fmax ] , F (y) = y ∣ ∣ ∣ ∣ ∂u ∂y + ∂v ∂x ∣ ∣ ∣ ∣ Dm, Fmax = maxF (y), γ = [ 1 + 5.5 ( CKleby ymax )2 ]−1 , Ccp = 1.6, Cwk = 0.25, CKleb = 0.4. Выполненные расчеты по предложенному вариан- ту модели коэффициента турбулентной вязкости и стандартной формулировке модели Болдуина- Ломакса при сравнении с каноническими экспе- риментами Стенфордской конференции продемон- стрировали предпочтение проведенной модифика- ции. 7. МОДЕЛЬ ДЛЯ УЧЕТА ШЕРОХОВАТОСТИ ПОВЕРХНОСТИ Исследованию влияния шероховатости поверх- ности на течение в пограничном слое уделялось много внимания [1, 3, 4, 6]. Однако наиболее удо- бным и универсальным оказался подход, предло- женный И. Ротта [3], в котором выполняется сдвиг ординаты y на функцию сдвига ∆y. Этот подход, в отличие от других, при использовании матема- тической модели (1)–(3) позволяет получать ана- литические зависимости для профиля осреднен- ной скорости. Многочисленные эксперименталь- ные данные о влиянии шероховатости поверхности на течения указывают на отсутствие ее влияния на следную область. В пристенной области y+ заме- няется на y+ + ∆y+. Детальные исследования проблемы, проведен- ные Е. Шкваром [35, 36], позволили предложить следующую модель учета шероховатости поверх- ности в модели (1)–(3): ∆y+ = { 1 k1 arcth(k1∆u+) при h+ ≤ h∗, h+ exp(−kB(h+) при h+ > h∗, где h – средняя высота элементов шероховатости, h+ = hv∗ ν , h∗ = y∗ exp[k(C + 2.89], C = 5.2, y∗ = 25.36, ∆u+ = 1 k lnh+ − B(h+) + C. Для вы- числения функции B(h+) Е. Шкваром предложе- на удачная единая для всех трех режимов шеро- ховатости аппроксимация экспериментальных ре- зультатов, не требующая интервальных оценок: B = C + sth lnh+ ks , 80 В. Т. Мовчан, Е. А. Шквар ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2005. Том 7(79), N 3-4. С. 73 – 85 s = 2.98 1 − 87 ( lnh+ 8 )2.03( 1 − lnh+ 8 )8.39 . Важно, что данная модель продемонстрировала свою работоспособность во всех рассмотренных здесь модельных случаях конфигураций течений. 8. МОДЕЛИРОВАНИЕ ДВУХФАЗНОГО ТУРБУЛЕНТНОГО ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ Многие важные для практики задачи приво- дят к необходимости моделирования обтекания тел двухфазным потоком вода (жидкость)–воздух (газ). В авиации, например, такие задачи возни- кают при движении летательного аппарата в сло- жных метеорологических условиях. На обтекае- мых поверхностях может образовываться жидкая пленка, которая обтекается воздушным пограни- чным слоем. Изменившиеся граничные условия для воздушного пограничного слоя приводят к изменению аэродинамических характеристик ле- тательного аппарата. Как показали эксперимен- тальные исследования [37], волнистую границу ра- здела фаз следует рассматривать как шерохова- тую и подвижную. Течение в самой водной пленке в широком диапазоне режимных параметров тече- ния сохраняет ламинарный режим. Модель шеро- ховатости в этом случае видоизменяется и прини- мает вид ∆y+ = { 1 k1 arcth(k1∆u+ + u+ o ) при h+ ≤ h∗, h+ exp(−k(B − u+ o ) при h+ > h∗, где h∗ = h+ 1 exp[k(B − u+ o ]; h1 – средняя высота волнистой шероховатости, определяемая согласно [37]; h+ 1 = h1v∗ ν ; B = 75.4Re−0.204 x вод – постоянная логарифмического закона для обтекания поверх- ности с волнистой шероховатостью, предложенная в [37] в виде функции числа Рейнольдса водной пленки: Rex вод = uср водδвод/νвод. 9. МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭФФЕКТОВ ВОЗДЕЙСТВИЯ НА ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ СЛАБЫХ РАСТВОРОВ ПОЛИМЕРНЫХ ИЛИ ИНЫХ ДОБАВОК Еще одним актуальным направлением исследо- ваний, где разработанная модель (1)–(3) показала свою работоспособность и адаптируемость к но- вым расчетным условиям, является моделирова- ние течений жидкости с присутствующими в ней Рис. 1. Сравнение расчета распределения Cf (x) с экспериментальными данными Г.Шубауэра и П.Клебанова (id.2100) Рис. 2. Сравнение расчета распределения ∆∗∗ с экспериментальными данными (id.2100) добавками малых концентраций веществ (поли- меров, поверхностно активных веществ, и т. п.), способных активно воздействовать на проявление вязких свойств [40, 41]. Практический эффект по- добного воздействия состоит в реализации воз- можности эффективного снижения сопротивления трения. Особенностью реализации данной модификации модели является учет неоднородности распределе- ния концентрации вводимого вещества по толщи- не сдвигового течения. В данном случае, наподо- бие учета влияния поверхностной шероховатости, в дополнение к сдвигу нормальной координаты на ∆y+, был применен еще один параметр сдвига нор- мальной координаты y ∆yadd, то есть y+ модифи- цировалась следующим образом: y+ = { 0 при s+ ≤ 0, s+ при s+ > 0, В. Т. Мовчан, Е. А. Шквар 81 ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2005. Том 7(79), N 3-4. С. 73 – 85 где s+ = y+ + ∆y+ − ∆y+ add. Функция сдвига ∆y+ add > 0 учитывает смещение логарифмическо- го участка профиля скорости в противоположном воздействию шероховатости направлении. Данное смещение является экспериментально зафиксиро- ванным результатом, возникающим под влияни- ем добавок полимеров или поверхностно-активных веществ [40] в пограничный слой жидкости. В рам- ках данной модели появляется удобная возмож- ность связать ∆y+ add с концентрацией, а так- же при необходимости и с другими параметрами, характеризующими физико-химические свойства вводимых в пограничный слой растворов актив- ных веществ [41]. Для учета неравномерности концентрации по- лимера по поперечному сечению рассчитываемо- го течения была использована следующая гипоте- за: функция сдвига ∆y+ add, в отличие от функции влияния шероховатости ∆y+, не является посто- янной величиной в конкретном расчетном сечении x = const, а определяется в каждом расчетном узле вдоль нормальной координаты y значения- ми локальных концентраций переносимых доба- вок, которые находятся в результате решения соо- тветствующих уравнений переноса каждой из при- сутствующих в пограничном слое фаз примесей. Данная модель была обобщена на случай течения многокомпонентной расслоенной смеси растворов добавок с различными концентрациями и физико- химическими свойствами и продемонстрировала способность учитывать сложную структуру тако- го управляющего воздействия на поток [41]. 10. СРАВНЕНИЕ РАСЧЕТНЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ С ДАННЫМИ ЭКСПЕРИМЕНТОВ Данный раздел содержит иллюстративный ма- териал, демонстрирующий возможности примене- ния представленной выше модели В.Т.Мовчана и ее модификаций посредством сопоставления выполненых расчетов с экспериментальными дан- ными для плоского и пространственного турбулен- тных пограничных слоев. При построении мето- да расчета использовались два подхода, а именно: 1) метод прямых, состоящий в сведении системы уравнений пограничного слоя к системе обыкно- венных дифференциальных уравнений и ее после- дующем интегрировании по нормальной к поверх- ности координате y на каждом расчетном шаге x = const методом Рунге-Кутта (4-го порядка); 2) конечно-разностный метод, в рамках которого ав- торами применялись различные (как явные, так и Рис. 3. Сравнение расчета распределения H(x) с экспериментальными данными id.2100) неявные) разностные схемы решаемых уравнений, имеющие второй порядок точности по координа- там расчетной области. Рис. 1–3 служат иллюстрациями расчета [26] плоского градиентного неравновесного турбулен- тного пограничного слоя на крыловом профиле, исследованного экспериментально Г. Шубауэром и П. Клебановым и вошедшего под номером id.2100 в перечень канонических экспериментов Стэнфорд- ской конференции [22]. Данное течение форми- руется в условиях немонотонного распределения градиента давления, переходящего от отрицатель- ных значений к положительным. Кроме непосред- ственно экспериментальных данных, представлен- ных символами 1 (см. обозначения на pис. 1–3), и расчетов [26], выполненных по однопараметриче- ской дифференциальной модели (1)–(3), (16), опи- санной в п. 2. посредством метода прямых (сим- волы 2), на данных иллюстрациях приведены так- же расчетные результаты В. В. Новожилова [21] (символы 3), К.К. Федяевского, А.С. Гиневского и А.В. Колесникова [6] (символы 4), а также Синга- ла и Сполдинга (символы 5). Представленные ре- зультаты сравнений демонстрируют наиболее ка- чественное воспроизведение тенденций изменения экспериментальных распределений локального ко- эффициента трения Cf и формпараметра H = δ∗/δ∗∗ (pис. 1, 3) в расчетах по данной модели при несколько худшем их соответствии данным экспе- римента по толщине потери импульса δ∗∗ (pис. 2) для предотрывной области течения в пользу ра- счетных результатов В.В. Новожилова [21]. Следующая серия иллюстраций (pис. 4–7) де- монстрирует расчеты авторов (линии), воспрои- зводящие результаты экспериментального изуче- ния отрывного обтекания на стреловидном крыле 82 В. Т. Мовчан, Е. А. Шквар ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2005. Том 7(79), N 3-4. С. 73 – 85 Рис. 4. Схема скользящего турбулентного обтекания стреловидного крыла бесконечного удлинения бесконечного удлинения (кружки). Схема данно- го течения (угол стреловидности – 35o), связан- ная с телом система координат, а также характер- ные рассчитываемые углы и параметры представ- лены на рис. 4. Расчеты выполнялись как прямым (сплошные линии), так и обратным (штриховые линии) конечно-разностными методами. Кроме то- го, в расчетах применялись несколько подходов к вычислению характерного интегрального масшта- ба длины для пространственного профиля скоро- сти (линии 1 и 2). Как следует из представленных результатов, расчеты в целом адекватно воспрои- зводят тенденции изменения рассчитываемых ло- кальных и интегральных параметров данного те- чения. Расхождения в поведении расчетных зави- симостей проявляются лишь по мере приближе- ния к отрыву, причем преимущество в предотрыв- ной области демонстрируют обратный и прямой методы, основанные на вычислении интегрально- го масштаба по формуле Т. Меллора, К. Херринга (17). На рис. 8 представлены результаты сопостав- ления расчетов распределения продольной со- ставляющей скорости (линии) с эксперименталь- ными данными, полученными различными авто- рами (точки различного начертания) для течений Рис. 5. Сравнение расчетных распределений локального коэффициента трения Cf (x) и его проекции Cfx(x) с экспериментальными данными Ван-ден-Берга и Эльсенаара [43] Рис. 6. Сравнение расчетных распределений углов скоса пристенных векторов скорости деформации βw и напряжения трения βτ w по отношению к направлению линии тока внешнего течения c экспериментальными данными [43] однородных растворов разных полимеров различ- ных концентраций в широком диапазоне значе- ний. Все профили скорости представлены в по- лулогарифмических координатах. При моделиро- вании турбулентной вязкости использовались со- ответствующие экспериментальным условиям вид полимера и значения его концентрации. Как следует из приведенных сопоставлений, ра- счетные распределения скорости с удовлетвори- тельной точностью соответствуют данным экспе- риментов различных авторов, причем, в расчетах корректно моделируется эффект увеличения то- лщины вязкого подслоя при увеличении концен- В. Т. Мовчан, Е. А. Шквар 83 ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2005. Том 7(79), N 3-4. С. 73 – 85 Рис. 7. Сопоставление характерных интегральных толщин, вычисляемых по профилям основного δs и вторичного δn течений в расчете (линии) и эксперименте [43] - кружки Рис. 8. Сравнение рассчитанных (линии) и экспериментально измеренных (точки) профилей скорости u+ = u+(y+) для течений однородных растворов различных полимеров в широком диапазоне концентраций c = 0 − 7.4 · 10−4 г/см3 трации полимера в растворе, а также переход от линейной зависимости в вязком подслое u+ = y+ к логарифмическому закону u+ = k−1 lny+ + C. Кроме того, проведенный численный эксперимент показал, что зависимость коэффициента Карма- на от концентрации полимера k = k(c) не явля- ется универсальной и, также как и зависимость ∆y+ add = f(c), определяется видом конкретной по- лимерной добавки. ВЫВОДЫ 1. Представлен анализ развития и сформулиро- ваны основные вехи исследований в области моде- лирования турбулентных течений вязкой жидко- сти. 2. Особо выделена и освещена роль Л. Прандтля как основоположника теории пограничного слоя – мощного инструмента теоретических исследова- ний течений жидкости вблизи обтекаемых поверх- ностей. 3. Приведена информация о хронологии фор- мирования современного уровня понимания стру- ктурных особенностей турбулентного пристенного течения, очерчены основные направления подхо- дов и возможностей полуэмпирического описания турбулентных течений в пограничных слоях. 4. Представлены результаты моделирования турбулентной вязкости на основе модели, предло- женной В.Т. Мовчаном, показаны основные на- правления ее приложений и развития. Продемон- стрированы преимущества разработанной модели перед иными подходами к моделированию турбу- лентной вязкости. 1. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя.– М.: На- ука, 1974.– 712 с. 2. Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа.– М.: Наука, 1973.– 847 с. 3. Ротта И. К. Турбулентный пограничный слой в не- сжимаемой жидкости.– Л.: Судостроение, 1967.– 232 с. 4. Турбулентные течения и теплопередача. / Под ред. Линь Цзя-Цзяо.– М.: Иност. лит, 1963.– 563 с. 5. Хинце И. О. Турбулентность.– М.: Физматгиз, 1963.– 680 с. 6. Федяевский К. К., Гиневский А. С., Колесни- ков А. В. Расчет турбулентного пограничного слоя несжимаемой жидкости.– Л.: Судостроение, 1973.– 256 с. 7. Турбулентность. / Под ред. П. Брэдшоу.– М.: Ма- шиностроение, 1980.– 343 с. 8. Турбулентность. Принципы и применения. / Под ред. У. Фроста, Т. Моулдена.– М.: Мир, 1980.– 526 с. 9. Колмогоров А. Н. Локальная структура турбу- лентности в несжимаемой жидкости при очень больших числах Рейнольдса // Докл. АН СССР.– 1941.– Т. 30, N 4.– С. 299–303. 10. Prandtl L., Weghardt K. Uber ein neges Formelsystem fur die ausgebildete Turbulent // Nachr. Akad. Wiss Gottingen. Math.-Phys.– 1945.– N 1.– P. 874–887. 11. Лапин Ю. В. Турбулентный пограничный слой в сверхзвуковых потоках газа.– М.: Наука, 1982.– 312 с. 12. Бабенко В. В., Канарский М. В., Коробов В. И. Пограничный слой на эластичных пластинах.– К.: Наукова думка, 1993.– 264 с. 13. Белов И. А., Исаев С. А. Моделирование турбулен- тных течений.– СПб: Балт. гос. техн. ун-т, 2001.– 108 с. 84 В. Т. Мовчан, Е. А. Шквар ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2005. Том 7(79), N 3-4. С. 73 – 85 14. Приходько А. А. Компьютерные технологии в аэрогидродинамике и тепломассообмене.– К.: На- укова думка, 2003.– 279 с. 15. Мовчан В. Т. Приближенный метод вычисле- ния профилей скорости и напряжения трения в турбулентных потоках с положительным гради- ентом давления // Тезисы докладов III Всесо- юзной технической конференции по прикладной аэродинамке.– В сб.: Гидромеханика. - В. 31.– 1973.– С. 115. 16. Мовчан В. Т. К вычислению коэффициента турбу- лентной вязкости // В сб.: Гидромеханика.– 1980.– В. 41.– С. 78-81. 17. Мовчан В. Т. Об одной полуэмпирической гипо- тезе в теории турбулентных пограничных слоев // Прикладная механика.– 1981.– Т. 17 - N 2.– С. 138- 141. 18. Мовчан В. Т. Приближенно-аналитическое ис- следование турбулентного пограничного слоя // Журн. ПМТФ.– 1982.– N 3.– С. 102-111. 19. Мовчан В. Т. К построению непрерывной алге- драической модели коэффициента турбулентной вязкости // Бионика.– 1986.– Вып. 20.– С. 58-60. 20. Мовчан В. Т. Результаты численного расчета и эк- сперимента плоского несжимаемого градиентного пограничного слоя // Инж.-физ. журн.– 1985.– Т. XVIII, - N 5.– С. 865-866. 21. Новожилов В. В. Теория плоского турбулентного пограничного слоя несжимаемой жидкости.– Л.: Судостроение, 1977.– N 3 с. 165 22. Computation of turbulent boundary layer// Proc. AFOSR-IFR-Stanford Conference. Ed. Coles P.E., Hirst E.A. – Vol. 2, 1969. 23. Ханжалик, Лондер Учет безвихревых напряжений в уравнении диссипации турбулентной энергии // Теоретические основы инженерных расчетов.– 1980.– N 1.– С. 149–159. 24. Мовчан В. Т., Романюк Л. А. До моделювання турбулентних примежових шарiв при вiд’ємних градiєнтах тиску // Вiсник КМУЦА.– 1998.– N 1.– С. 264–267. 25. Мовчан В. Т., Романюк Л. А. Новий пiдхiд до роз- рахунку турбулентних пристiнних течiй // Вiсник КМУЦА.– 2000.– N 3-4.– С. 63–64. 26. Мовчан В. Т., Романюк Л. А. Чисельне моде- лювання турбулентних примежових шарiв з ви- користанням однопараметричної моделi турбулен- тностi без додаткового рiвняння // Науковi вiстi НТУУ “КПI”.– 2001.– N 1.– С. 130–134. 27. Лунис М., Мамчук Вит. И.,Мовчан В. Т., Рома- нюк Л. А., Шквар Е. А. Алгебраические моде- ли турбулентной вязкости и теплопроводности в расчетах пристенных турбулентных течений // В cб.: Прикладная гидромеханика.– 2001.– Т. 3, N 1.– С. 37–45. 28. Козлов Л. Ф. Восьмидесятилетие теории пограни- чного слоя и проблемы гидромеханики в освоении океана // Тезисы доклада.– 1984.– ч. 1.– С. 2. 29. Андерсен А., Таннехилл Дж., Плетчер Р. Вычи- слительная гидромеханика.– М.: Мир, 1990.– Т. 1 с. 384, – Т. 2 c. 396 30. Ротта Ю. Х. Семейство моделей турбулентно- сти для трехмерных пограничных слоев // В кн.: Турбулентные сдвиговые течения. - М.: Машиностроение.– 1982.– Т. 1.– С. 279–290. 31. Movchan V. T., Mkhitaryan A. M., Shkvar E. A. The Simulation of Turbulent Separated Boundary Layers and Wall Jets // Proc. of the Separated Flows and Jets IUTAM Simposium (Novosibirsk, USSR, 1990).– Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag.– 1991.– P. 111– 119. 32. Movchan V. T., Shkvar E. A. Modeling of Turbulent Near-Wall Shear Flows Properties // AGARD Report 827.– High Speed Body Motion in Water.– 1997.– P. 10-1–10-7. 33. Мовчан В. Т. Плоская пристенная струя и ее исследования // Гидромеханика.– 1982.– В. 46.– С. 73–80. 34. Лунис М. Мовчан В. Т. Влияние турбулентного числа Прандтля на конвективный теплообмен в средах с различными теплофизическими свойства- ми // Промышленная теплотехника.– 2002.– Т. 24 - N 2-3.– С. 50–54. 35. Шквар Е. А. К учету влияния шероховатости об- текаемой поверхности // Журн. ПМТФ.– 1986.– N 6.– С. 57–63. 36. Баскакова А. Г., Мовчан В. Т., Шквар Е. А. О за- коне сопротивления турбулентных течений в тру- бах с шероховатой поверхностью // K..– В сб.: Некоторые вопросы прикладной аэродинамики.– 1986.– С. 3–7. 37. Дейч М. Е., Филиппов Г. А. Газодинамика двухфа- зных сред.– М.: Энергия, 1981.– 470 с. 38. Агеев С. Е., Мовчан В. Т., Мхитарян А. М., Шквар Е. А. Моделирование двухфазных течений с поверхностью раздела фаз // Журн. ПМТФ.– 1990.– N 6.– С. 101–108. 39. Мовчан В. Т., Шквар Е. А. Алгебраическая мо- дель турбулентной вязкости для расчетов сло- жных турбулентных течений // Бионика.– 1998.– В. 27-28.– С. 38–41. 40. Повх И. Л., Ступин А. Б., Асланов П. В. Особенно- сти турбулентной структуры потоков с добавками поверхностно-активных веществ и полимеров // В сб.: Проблемы турбулентных течений.– Наука.– 1987.– С. 152–162. 41. Шквар Е. А. Математическое моделирование пе- реноса примесей турбулентным пограничным сло- ем // В cб.: Прикладная гидромеханика.– 2000.– Т. 2 (74).– С. 96–105. 42. Movchan V. T., Shkvar E. A. Modelling of Dynamics and Heat Transfer Processes in Turbulent Near-Wall Shear Flows // Proc. of the 2nd European Thermal- Sciences and 14th UIT National Heat Transfer Conference,29-31 May, 1996, Rome, Italy.– Edizioni ETS, Pisa. – Vol. 1, 1996.– P. 535–540. 43. Ван ден Берг Б. Моделирование турбулентно- сти и обсуждение результатов эксперименталь- ных исследований трехмерных пограничных сло- ев // В кн.: Трехмерные турбулентные пограни- чные слои.– М.: Мир, 1985.– С. 10–25. В. Т. Мовчан, Е. А. Шквар 85

Математическое моделирование пограничных слоев

Institution

Similar Items