Деформация защитных плоских преград с технологическими люками
На основе модели идеального жесткопластического тела разработана методика, позволяющая проанализировать динамическое поведение эллиптических шарнирно опертых или защемленных пластин, имеющих абсолютно жесткую вставку произвольной формы. На пластину действует равномерно распределенная по поверхнос...
Saved in:
| Published in: | Проблемы прочности |
|---|---|
| Date: | 2007 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України
2007
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/48002 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Деформация защитных плоских преград с технологическими люками / Ю.В. Немировский, Т.П. Романова // Проблемы прочности. — 2007. — № 1. — С. 22-38. — Бібліогр.: 16 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859757936124887040 |
|---|---|
| author | Немировский, Ю.В. Романова, Т.П. |
| author_facet | Немировский, Ю.В. Романова, Т.П. |
| citation_txt | Деформация защитных плоских преград с технологическими люками / Ю.В. Немировский, Т.П. Романова // Проблемы прочности. — 2007. — № 1. — С. 22-38. — Бібліогр.: 16 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Проблемы прочности |
| description | На основе модели идеального жесткопластического тела разработана методика, позволяющая
проанализировать динамическое поведение эллиптических шарнирно опертых или
защемленных пластин, имеющих абсолютно жесткую вставку произвольной формы. На
пластину действует равномерно распределенная по поверхности кратковременная динамическая
нагрузка высокой интенсивности взрывного типа. Показано, что существует
несколько механизмов деформирования пластин. Для каждого из них получены уравнения
динамического деформирования и проанализированы условия их реализации. Приведены примеры
численных решений в случаях круглой и прямоугольной жестких вставок.
На основі моделі ідеального жорстко-пластичного тіла розроблено методику,
що дозволяє проаналізувати динамічну поведінку еліптичних шарнірно опертих
або затиснутих пластин з абсолютно жорсткою вставкою довільної
форми. На пластину діє рівномірно розподілене по поверхні короткочасне
динамічне навантаження високої інтенсивності вибухового типу. Показано,
що існує декілька механізмів деформування пластин. Для кожного з них
отримано рівняння динамічного деформування та проаналізовано умови їх
реалізації. Наведено приклади числових розв’язків у випадках круглої і
прямокутної жорстких вставок.
Based on the model of ideal rigid-plastic bodies,
the technique is developed, permitting one
to analyze dynamic behavior of hinged or restrained
elliptic plates containing an absolutely
rigid insert of arbitrary shape. The plate under
study is subjected to the action of short-term
high-intensity dynamic load of the explosive
type, which is uniformly distributed along the
plate surface. It is shown that there are several different mechanisms of plate deformation. For
each of these, the equations of dynamic deformation
are obtained and conditions of their realization
are analyzed. Examples of numerical
solutions are provided for the cases of round
and rectangular rigid inserts.
|
| first_indexed | 2025-12-02T01:48:18Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 539.4+539.37
Деформация защитных плоских преград с технологическими
люками
Ю . В. Н ем ировский , Т. П . Р ом ан ова
Институт теоретической и прикладной механики СО РАН, Новосибирск, Россия
На основе модели идеального жесткопластического тела разработана методика, позволя
ющая проанализировать динамическое поведение эллиптических шарнирно опертых или
защемленных пластин, имеющих абсолютно жесткую вставку произвольной формы. На
пластину действует равномерно распределенная по поверхности кратковременная дина
мическая нагрузка высокой интенсивности взрывного типа. Показано, что существует
несколько механизмов деформирования пластин. Для каждого из них получены уравнения
динамического деформирования и проанализированы условия их реализации. Приведены при
меры численных решений в случаях круглой и прямоугольной жестких вставок.
К л ю ч е в ы е с л о в а : жесткопластическое тело, эллиптическая пластина, жесткая
вставка, нагрузка взрывного типа, предельная нагрузка, остаточный прогиб.
Введение. Эллиптические пластины с жесткими технологическими лю
ками широко используются в качестве защитных преград при воздействии
нагрузок взрывного типа. В связи с этим возникает проблема оценки их
динамической повреждаемости и предельного уровня допустимых динами
ческих нагрузок. Обзор исследований по динамическому изгибу круглой
пластины с жестким кругом в центре приведен в [1]. В настоящей работе на
основе модели жесткопластического тела предложена методика расчета пре
дельных нагрузок и остаточной повреждаемости для эллиптических пластин
с абсолютно жесткой вставкой (люком) произвольной формы, находящихся
под действием кратковременных интенсивных динамических нагрузок. М е
рой повреждаемости служил остаточный прогиб пластины. Методика может
быть использована для широкого класса приближенных инженерных задач.
1. М одель, предполож ения и у р авн ен и я движ ения. Рассмотрим плас
тину из идеального жесткопластического материала с эллиптическим конту
ром I, шарнирно опертым или защемленным. В центральной ее части
расположена абсолютно жесткая вставка 2 а с произвольным контуром 12 .
Пластина находится под действием равномерно распределенной по поверх
ности динамической нагрузки высокой интенсивности Р ( г) взрывного типа,
которая характеризуется мгновенным достижением максимального значения
Ртах = Р ( г0 ) в начальный момент времени г0 и последующим быстрым
снижением интенсивности. Поскольку вставка 2 а при деформировании
остается жесткой, полагаем, что предельный изгибающий момент во вставке
больше, чем в остальной части пластины М 0, и р а / р > 1, где р , р а -
поверхностные плотности материалов пластины и вставки.
В динамике пластины из жесткопластического материала в зависимости
от значения Ртах могут иметь место три схемы деформирования. При
нагрузках, не превышающих предельные (низкие нагрузки), пластина оста
ется в покое. При нагрузках, незначительно превышающих предельные
© Ю. В. НЕМИРОВСКИЙ, Т. П. РОМАНОВА, 2007
22 Й'ОТ 0556-171Х. Проблемы прочности, 2007, № 1
Деформация защитных плоских преград
(средние нагрузки), пластина деформируется в некоторую линейчатую по
верхность, а абсолютно жесткая вставка и точки ее контура движутся
поступательно с одинаковой скоростью w c ( t). При этом, как и в случае
отсутствия вставки [2 ], в пластине может образовываться пластическая
шарнирная прямая линия \ ъ состоящая из двух участков (схема 1 на рис. 1 ,a).
Как и в случаях изгиба балок [3], круглых и кольцевых пластин [4-6],
прямоугольных и полигональных пластин [3, 7-9], пластин со сложным
контуром [2, 10-14], при достаточно высоких значениях Pmax динамика
пластины может сопровождаться возникновением области интенсивного
пластического деформирования Z p , движущейся поступательно. При этом
возможны следующие ситуации: часть шарнира /1 сохраняется; область Z p
охватывает не всю вставку Z a (схема 2 на рис. 1,6; “высокие” нагрузки);
ш арнира /1 нет, а вставка Z a находится внутри области Z p (схема 3 на
рис. 1 ,в; “сверхвысокие” нагрузки).
Уравнение эллипса / задано в параметрической форме x = a cos р , y =
= b sin р , 0 < р < 2 л , b < а. Уравнение прямой / 1 имеет вид [2]: y 1 = 0;
—а + b 21 а < x 1 < a — b 2 / а. Во всех схемах деформирования нормаль к кри
вой /, опущенная внутрь области пластины, попадает либо на шарнир /1,
либо на контур / 2 , либо на кривую /3 - контур области Z p (рис. 1).
в
Рис. 1. Схемы деформирования 1 (а), 2 (б) и 3 (в) для эллиптической пластины с произволь
ной жесткой вставкой.
Обозначим через 2 І область пластины, из лю бой точки которой нор
маль к контуру I попадает на кривую 1І (І = 1, 2, 3), через ї Ьі - часть внеш-
ISSN 0556-171X. Проблемыг прочности, 2007, № 1 23
Ю. В. Немировский, Т. П. Романова
него контура I, которая является опорным контуром области 2^ (часть кон
тура 1Ы определена в интервале \р г < р < £ г, г = 1 ,2 ,3), через Б у - рас
стояние по нормали к контуру I, вычисленное от контура I ^ до кривой в
области (] = 1,2). Величина Б 2 зависит от формы вставки и, следова
тельно, только от параметра р , а Б 1( р ) = Ь Ь (р ) / а [2]:
Можно показать [2], что нормаль к контуру I является также нормалью
к кривой Iз и что расстояние Б между 1ьз и 1з не зависит от параметра р.
Уравнение Iз (х = х 3 ( р ), у = у 3 ( р ), \р 3 < р < £ 3) для контура области Х р
имеет вид ([2 ])
х 3 = [а - Б Ь /Ь (р )]со 8 р ; у 3 = [Ь - Б а /Ь ( р ) ] э т р .
Уравнения движения пластины выведем из принципа виртуальных
мощностей с использованием принципа Даламбера [9]:
К = А - N ; (1)
2 * 2 *
Я д и ди г г д и ди
^ + { 3 р а " д Г ^^ \ г и
*
ди
А = 5 5 Р ( () - ^ ; N = 2 5 М ш ДОЦ д г ] й 1 ,
( )
т 1тБ
где К , А, N - соответственно мощности инерционных, внешних и внут
ренних сил пластины; Б - площадь пластины; и - прогиб; г - текущее
время; 1т - линии разрыва угловых скоростей; М т - изгибающий момент
на 1т ; [д0 т / дг ] - разрыв угловой скорости на 1т . В выражении для N
суммирование проводится по всем линиям разрыва угловой скорости, вклю
чая границу пластины. Звездочкой обозначены допустимые скорости.
Поскольку области 2 а и 2 р движутся поступательно, в силу непре
рывности скоростей на их границах скорость прогиба в области 2 р равна
> с ( г). Скорости угла отклонения области 2 { на опорном контуре 1Ы
обозначим через а г (г = 1 ,2 ,3). Из условия непрерывности скоростей на
границах областей 2 3 и 2 р следует > с = а 3 Б и, значит, а 3 не зависит от
параметра р . Обозначим а 3 через а . Как и в [9], а также учитывая
непрерывность скорости на границах областей 21 и 2 р , 22 и 2 р , пола
гаем, что а 1 не зависит от параметра р . Тогда скорости прогибов в разных
областях пластины имеют следующий вид:
(х , у ) е 2 а : и ( х , у , г) = > с( г); (х , у ) е 2 р : и (х , у , г) = > с( г);
• (х , у ) е 2 3 : и (х , у , г) = а ( г)й 3 (х , у ); (3 )
(х , у ) е 2 г : и (х , у , г) = а (х , у ), г = 1, 2 ,
24 ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2007, № 1
Деформация защитных плоских преград
где d j (х , у ) - расстояние от точки (х , у ) до опорного контура области 2 ̂
О ' = 1 ,2 ,3 ); (•) =Э(-)/дг.
Из условия непрерывности скоростей на границах областей 2 І и 2 з
получим
П ( г) П ( г)
а і = Р і а ( О, І = 1, 2; р 1( г) = _ ; ^ ( г, Ф) = п ( ф ), (4)
п 1( Ф ь ) п 2 ( Ф)
где ф ь - параметр границы областей 2 і и 2 3 .
М ощность внутренних сил в (2) равна [15]
. *
ди
N = М о ( 2 - ^ ) $ — Л ,
I дп
где ] = 0 при защемлении внешнего контура, ] = 1 при его шарнирном
опирании; дм/дп - производная от скорости прогиба по нормали к контуру I,
или скорость угла отклонения поверхности пластины от горизонта на конту
ре I; Л1 - элемент контура I.
С учетом введенных обозначений и ^ = 1 выражения (2) примут вид
К = а * « р 2 х + й * у>с [ р 2 4 + р а 2 5 ];
Л = Р ( ? )[<а * 2 2 + мй* 2 6 ]; Ж = М о ( 2 - ] ) а * 2 3 ,
где
3
2 1 = 2 / / ^ ^ 2 2 = 2 / / Е 1Л1Л^ ; 2 3 = 2 / Р Л ;
1=1 г , 1=1 г , 1=1 1Ы
2 4 = / / Л?; 2 5 = / / Л?; 2 6 = / / Лу.
г р г а г а и г р
*
Подставляя эти равенства в (1) и учитывая независимость Мс ( г) и
*
а ( г), получаем уравнения движения для схемы деформирования 2 (рис. 1 ,6 ):
р « 2 1 = Р ( г)2 2 - М о ( 2 - ] ) 2 з ; (5)
Мс [Р 2 4 + Р а 2 5 ] = Р ( г ) 2 6 . (6)
Из условия непрерывности скоростей на границах областей Б р и г з
следует
М с ■ (7)
На границах областей г , и г 3 выполняется равенство (г = 1, 2)
Б = Б , (уЗ), (8 )
где З = Ф г, или З = ^ г ■
/££# 0556-171Х. Проблемы прочности, 2007, № 1 25
3 3
Ю. В. Немировский, Т. П. Романова
В начальный момент пластина находится в состоянии покоя:
« ( го ) = а ( (о) = V ( г о) = IV с ( г о) = 0. (9)
Начальные значения В ( г о), А г о) определяются в зависимости от
значения Р тах, как будет показано ниже для конкретных задач.
Система уравнений (4)-(8) описывает поведение пластины в случае
деформирования по схеме 2 (рис. 1,6). В случае схемы 3 (рис. 1,в) области
Z 1 и X 2 отсутствуют, а движение описывается уравнениями (5)-(7) при
замене 2 , величиной ^ , (г'= 1, . . . , 6), где
Q 1 = f f d Id s; Q 2 = f f d 3 ds; Q 3 = f dl; Q 4 = 2 4 ;
Z 3 Z 3 l
Q 5 = 2 5 ; Q 6 = 2 6-
В случае схемы 1 (рис. 1,а) области X 3 отсутствуют, вместо (4), (7)
выполняются равенства
1 1
« I = & 1™с(г), 1 = 1 ,2 с 1 = п / я ч ; с 2 ( р ) = п / „ч ■ ( 1о)
В 1(Р а ) В 2(^ )
Здесь р а = ^ 1, или р а = £ 1, а выражения (2) преобразуются к виду
£ = IV* (Р 2 7 + Р а 2 5 ) ; А = Р ( г)(2 8 + 2 5) ; # = ^ М о(2 “ ^ )2 9 ,
где
2 7 = 2 И ^ * ; 2 8 = 2 Я 2 9 = 2 / с ^ .
1=1,2 X, 1=1,2 X 1=1,2
Подставляя эти равенства в (1), получаем
(Р 2 7 + Р а 2 5) = Р ( t ) (2 8 + 2 5) - M 0( 2 - ^ )2 9 - С11)
Система уравнений (10), (11) описывает движение в случае дефор
мирования по схеме 1 (рис. 1,а). Прогибы в разных областях пластины
определяются из (3).
Для вычисления двойных интегралов по областям Z t (i = 1, 2, 3) в
уравнениях движения удобно перейти к криволинейной системе координат
(v 1 , v 2 ), связанной с декартовой системой координат соотношениями [2]
X = [а - v 1 b /L (v 2 )]co sv 2 , y = [b - v 1й /Д > 2 )]s in v 2 -
Кривые семейства v 1 = const удалены от контура l на расстояние v 1.
Прямые v 2 = const являются нормалями к внешнему контуру пластины.
26 ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2007, № 1
Деформация защитных плоских преград ...
Предельную нагрузку Р 0 определим из уравнения (11) в момент начала
движения £ 0 и из условия с (£ о ) = 0. Тогда имеем
М о(2 - ч )2 9
Ро 2 8 + 2 5 ' (12)
2. Д инам ическое поведение элли п тической п ласти н ы с круглой
вставкой . Рассмотрим динамическое поведение эллиптической пластины с
абсолютно круглой жесткой вставкой радиуса Я (рис. 2). При этом возмож
ны два случая: Я < а — Ь 2/ а и Я > а — Ь 2 / а. Д ля определенности полагаем
Я > а — Ь 2 / а , при этом шарнирная линия 11 в схеме 1 отсутствует (рис. 2 ,а).
Поскольку должно выполняться условие Я < Ь, то случай отсутствия шарнир
ной линии возможен при значениях (л/5 — 1)/2 < Ь/ а < 1. Заметим, что пропор
ция Ь /а = { 4 5 — 1)/2 ~ 0,618 названа “золотой” еще античными авторами [16].
При средних нагрузках пластина деформируется в линейчатую поверхность
(схема 1 на рис. 2,а). При высоких нагрузках в центральной части пластины
около жесткой вставки образуются две одинаковые области 2 р с областью
определения — ж — £ < < р < я + £, 0 < £ < ж/ 2 (схема 2 на рис. 2 ,6 ).
При этом сохраняются две одинаковые области 2 2 : ^ < р < ж — ж + £ <
< р < 2ж — §. При сверхвысоких нагрузках области 2 2 отсутствуют, а вставка
2 а находится внутри области 2 р и 0 < О < Ь — Я (схема 3 на рис. 2,в).
в
Рис. 2. Схемы деформирования 1 (а), 2 (б) и 3 (в) для эллиптической пластины с круглой
жесткой вставкой.
15БМ 0556-171Х. Проблемы прочности, 2007, № 1 27
Ю. В. Немировский, Т. П. Романова
Для рассматриваемой пластины имеем
2Ь — д/Я 2а 21 ? (р ) — ( а 2 — Ь 2 ) 2 Ь 2 8 т 2 р с о 8 2 р
аЬ( р )
Я 2 о 2 ( | )
2 ‘( 5 ) = 4 /§ Р 2 (v 2)
+ 4 /
О2 (У 2 )
/ V2Д (V !, V2 ^ !
0
( 0 < р < 2 я ); ( 13)
dv 2 +
Щ(5)
/ V2 1 , V2)^к 1
0
я/ 2
= 4О 22( 5) /
Р 2 (V2 )Д V2 ) Р 2 (V2 )аЬ
3 4£? ( 2 )
4 5
+ - в 23 (5 ) / ДV 2 )^^ 2 — в 24(5 )А(5);
3 0
Я 2
2 2 ( 5 ) = 4 /
О 2( 5)
5 Р 2( v 2 )
5
+ 4 /
°2 ('̂ 2 )
/ V15 (v 1 , V2)^Т 1
0
dv 2 +
^2(5)
/ V1^ 1 , V 2 ) dv!
0
2 =
Я 2
= 4О 2 ( 5 ) /
Р 2 (V2 )^ ( V2 ) Р 2 ( V 2 )аЬ
2 312( V 2 )
+ 2 Р 2 ( 5 ) / Д V 2 ) dv 2 — - р 23( 5 )А( 5);
0 3
2 3( 5) = 4
Я 2
d р
2 4 (5) = 4 /
Р 2 (У 2 )
/ 1 ^ 2 )dv 1
Р2(5)
= 4 / | д V 2 ) [Р 2 ( V 2 ) — Р 2 (5 ) ]— ^ 2)аЬ ^ 2 + 2 Р 22( 5 )А( 5);
28
Ж (V2) ]
/.ХОТ 0556-171Х. Проблемы прочности, 2007, № 1
0
0
0
0
0
Деформация защитных плоских преград
2 5 = я Я 2; 2 б (£ ) = 2 4 (1 ) + 2 5 ; 2 7 = 2 , (0)/( а - Я ) 2 ;
2 8 = 2 2(0 ) / ( а - Я ); 2 9 = 2 3 (0) / ( а - Я ); А(£) = а г ^ Ь £
V 1аЬ Я/*2 Й 3 3 я 4
Я(у 1 , V2 ) = Ц у 2 ) - - ^ — ; Й 3 = 4 / Д р )й р ; Й = - 3 О 3 - - О 4 ;
X (v 2 ) 0 3 2
Й 2 = Й 3 £ 2 - 2 * .£ 3; й 4 = Я ( аЬ + £ 2 - Я 2 ) - Й 3О; Й 5 = я Я 2 ;
Й 6 = я ( аЬ + Б 2 ) - Й 3 О.
С учетом г = 2 условие (8 ) примет вид
о = Б 2 (£).
Предельная нагрузка Р 0 (12) определяется как
(14)
2 я
М 0(2 - я )2 3(0)
М 0(2 - я ) / [X (р V О 2 (Р Ж р
0 2 2 (0 ) + (а - Я ^ я Я 2 ^ О 2 (р Ж р ) О 2 (Р )аЬ
(15)
й р + яЯ
2 3Х2 (р )
При а = Ь рассматриваемая пластина является круглой с жесткой встав
кой. Для этого случая формула (15) примет вид Р 0 = 6 М 0(2 - я ) а / ( а 3 - Я 3 ).
Н а рис. 3 представлена зависимость приведенной предельной нагрузки
р 0 = Р 0 а 2 /[(2 - я ) М 0 ] от отношения Я а для разных значений у = Ь /а
(У - 1).
Рис. 3. Зависимость приведенной предельной нагрузки Р0 от отношения Я а для эллип
тической пластины с круглой жесткой вставкой при разных значениях у: 1 - у = 1; 2 - у = 0,9;
3 - у = 0,8; 4 - у = 0,7; 5 - у = 0,65.
0
1ББЫ 0556-171Х. Проблемы прочности, 2007, № 1 29
Ю. В. Немировский, Т. П. Романова
Проанализируем подробно движение рассматриваемой пластины при
разных уровнях нагрузки взрывного типа. Если 0 < Ртах < Р 0 (“низкие” на
грузки), то пластина остается в состоянии покоя. Если Ро < Ртах < Р^ (сред
ние нагрузки), где Р^ - нагрузка, соответствующая появлению области ,
то движение происходит по схеме 1 (рис. 2,а). Нагрузку Р х определим так.
Дифференцируя (7) по времени и исключая величины а , жс из полученного
равенства с помощью (5) и (6 ), запишем равенство
- р а Б
Б
^ 1 = Р ( г)
Р 2 12 (
Б ( р 2 4 + р а2 5)
- М о ( 2 - ^ ) 2 3- (16)
С учетом того что а ( г о) = 0, и при возникновении области 2 р : Р 1 =
= Р ( г0 ), Б ( г0 ) = т а х Б = т а х Б 2 ( р ) = а — Я , £ ( г0 ) = 0, а области Х р и Z 3
р
отсутствуют, имеем
Р 1 =
М 0 (2 V )2 з (0)
2 2(0) —
р 2 1(0)2 б(0) (17)
(а — К )[р 2 4(0) + р а 2 5 ]
Из (15), (17) видно, что Р 0 < Р 1. Уравнение (11) для схемы 1 (рис. 2,а)
запишем в виде
ж с ( г) = Q [Р( г) — Р 0 ], (18)
где Q = ( 2 8 + 2 5 ) / ( р 2 7 + р а2 5 ). Начальные условия имеют вид (9). В
момент г = Т нагрузка снимается, и пластина некоторое время движется по
инерции.
Интегрируя уравнение движения (18) при г0 < г < Т, получаем
/ Р ( г )ёт — Р 0 ( г — г 0 ) ; жс (г) = Q
г0 г0
(г — г 0 )2
2
При Т < г < движение пластины происходит по инерции до останов
ки в момент г у- и описывается уравнением
ж с ( г ) = —^ 0
с начальными условиями ж с(Т), жс (Т).
М омент г у определяется из условия
ж с ( г/ ) = 0
Интегрируя уравнение движения, получаем равенства
ж с ( г) = ж с (Т ) — QPо( г — Т );
^ ( г) = ^ (Т ) + ж с (Т ) ( г — т ) — Q Pо( г — т ) 2 / 2 .
(19)
(20)
г0
30 ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2007, № 1
Деформация защитных плоских преград
Из (18), (19) следует, что
1 Т
= t о + ^ " f P ( t ) d tP(\ .
(21)
Прогибы вычисляются из уравнений (1), (3) (13) при I = 2. М акси
мальный остаточный прогиб равен
w. :(t f ) = Q
I Т
2 P
vo
f P ( t )dt — f ( t — to ) P ( t ) d t
о
2
1
Если Р 1 < Ртях < Р 2 (высокие нагрузки), где Р 2 - нагрузка, при которой
исчезает область Z 2 , то движение пластины начнется с развитой областью
2 р , и тогда Ь — К < Б ( г0 ) < а - Я. Начальные значения £ 0 = £ ( г0 ), Б 0 =
= Б ( г0 ) вычисляются из уравнения (16) с учетом равенства а ( г0 ) = 0 и
соотношений (13), (14):
п гь \ Р 2 1( £ 0 ) 2 6 ( £ 0 ) I , , /Л \
Р,пях I 2 2< £ 0) Б 0 [ £ 0 ) + Р а ̂ ; ] } = М 0 ( 2 , ) 2 3( £ 0 ) ' (22)
Нагрузка Р 2 определяется из равенства (22) при £ о = я / 2 и D о =
= min D 2 ( ) = b — Д:
<Р
= _________ М о(2 — у )! з( я / 2)_________
' у ( m ^ > < Я 2 ) 2 б (я /2 ) '2 2( я / 2) ■
( b — Д )[ р 2 4 (я / 2) + Р й 2 5 ]
В первой (г0 < г < ^ ) фазе деформирования движение пластины про
исходит по схеме 2 (рис. 2,6) и описывается уравнениями (4), (5)-(7), (13),
(14) при I = 2 с начальными условиями (9) и (22). В этой фазе происходит
сжатие (Б > 0) области Z p по закону (16). Время ^ , соответствующее
исчезновению области Z p , определяется из равенства £( ̂ ) = 0. В этот
момент определяются значения м>с ( г1), w c ( г1).
Во второй (?1 < г < г^ ) фазе деформирования движение пластины про
исходит по схеме 1 (рис. 2,а) до остановки в момент времени . Д ефор
мирование описывается уравнениями (10), (13), (18) при 1= 2 с начальными
условиями, определенными в конце первой фазы движения. Время оста
новки определяется условием (19). Все прогибы в пластине вычисляются из
уравнений (3) при I = 2 с учетом всех фаз движения.
Если Ртях > Р 2 (сверхвысокие нагрузки), то движение пластины начнет
ся по схеме 3 (рис. 2,в) с развитой областью Z p , которая охватывает
полностью жесткую вставку Z a , и тогда 0 < Б < Ь — Я. Значение Б 0 = Б ( г0 )
определим следующим образом. Дифференцируя (7) по времени и исключая
ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2007, № 1 31
Ю. В. Немировский, Т. П. Романова
из полученного равенства величины а , м?с с помощью (5), (6 ) при замене
2 1 величиной ^ I , получаем
— p ä D
D Q i = P ( t ) Q 2 — M o (2 —^)Q 3 .
D ( p Q 4 + p aQ 5)
С учетом того что ä ( t o) = 0, D o определим из равенства
(23)
[ p Q i ( D o )Q 6 (D o ) 1
K (D o) — д o[ ̂ ̂ + p aQ 5 ] [ = M o( 2 —№ • (24)
Для сверхвысоких нагрузок в первой (to < t < t i ) фазе деформирования
движение пластины происходит по схеме 3 (рис. 2,в) и описывается уравне
ниями (5)-(7) при замене 2 i величиной Q i с начальными условиями (9) и
(24). В этой фазе происходит сжатие области Z p по закону (23). Время ti,
соответствую щ ее появлению области Z 2 , определяется из равенства
D ( t i ) = m inD 2 ( (р) = b — R . Д ля этого м ом ента врем ени определяю тся зна-
<р
чения ä ( t i ), ä ( t i ).
Во второй (ti < t < 12) и третьей (t2 < t < t f ) фазах деформирования
движение пластины происходит так же, как и в первой и второй фазах
деформирования при высоких нагрузках и соответствующих начальных
значениях.
Прогибы вычисляются из равенства (3) при i = 2 с учетом фазности
движения. Системы уравнений решаются численно методом Рунге-Кутта. На
2 2рис. 4 приведены прогибы w = ua p / ( M o T ) при р = o шарнирно опертой
эллиптической пластины с у = o,8 , R a = o,4, p a / p = 3,o (P o = 8 ,52M o/ a 2,
P i = i7 ,o 2 M o / a 2 , P 2 = 2 4 ,i2 M o/ a 2) под действием сверхвысокой нагруз
ки “прямоугольного” вида: P ( t) = 42,93 M o
t > T .
при o < t < T, P ( t ) = o при
Рис. 4. Прогибы ^ в сечении (р = 0 шарнирно опертой эллиптической пластины с круглой
жесткой вставкой в различные моменты времени: 1 - ? = Т ; 2 - ? = ^ = 1,18Т; 3 - ? = <2 =
= 1,57Т; 4 - < = = 5,50Т.
32 ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2007, № 1
Деформация защитных плоских преград
3. Д инам ическое поведение элли п тической п ласти н ы с п рям оуголь
ной вставкой . В качестве примера рассмотрим динамическое поведение
эллиптической пластины с жесткой вставкой 2 а , имеющей форму прямо
угольника со сторонами 2 а 1 и 2Ь 1, Ьх/ а 1 < 1. П олагаем, что а — а 1 =
= Ь — Ь1 = В а < Ь 2/ а (рис. 5). При этом шарнир /1 отсутствует. Поскольку
прямоугольник 2 а находится внутри эллиптической пластины, должно
в
Рис. 5. Схемы деформирования 1 (а), 2 (б) и 3 (в) для эллиптической пластины с прямо
угольной жесткой вставкой.
Для такой пластины возможны три схемы деформирования. При сред
них нагрузках пластина деформируется в линейчатую поверхность (схема 1
на рис. 5). При высоких нагрузках в центральной части пластины около
жесткой вставки образуются две пары одинаковых областей 2 р с областью
определения — £ 1 < р < £ 1, £ 2 < р < Ж — £ 2 , Ж — £ 1 < р < Ж + £ 1, Ж + £ 2 —
< р < 2ж — £ 2 (0 < £ 1 < £ 2 < ж /2) (схема 2 на рис. 5,б). При сверхвысоких
нагрузках области 2 2 отсутствуют, а вставка 2 а находится внутри области
2 р , и тогда 0 < Б < Б а (схема 3 на рис. 5,в). Динамическое поведение
изучаемой пластины будет описываться теми же уравнениями, что и для
*
пластины, рассмотренной в п. 2 , с заменой лиш ь Б 2( р ) величиной Б 2 ( р ),
выполняться неравенство Б а >
X
2,• - 2 * ( і = 1 , 9 ) , Я у - О* (/' = 1 , 6), где
ІББМ 0556-171Х. Проблемы прочности, 2007, № 1 33
Ю. В. Немировский, Т. П. Романова
D 2 ( p ) = E 1( p ) пРи 0 < p < p a ;
D 2 ( p ) = E 2 ( p ) пРи p a < p < V 2;
^ ?r d 222(? 1)
s >( ? l ) = 4 f D^ -
?1 D 2 ( v 2 )
D2 (v 2 )
f v 2B(v 1 , v 2 )dv 1 dv 2 +
?1 D2(?i ) ?l D2(?l)
+ 4 f f vj2B(v 1 , v 2 )dv 1 v 2 + f f vj2B(v 1 , v 2 )dv 1 v 2
O O O O
4D 22( ? l ) f
?і
D 2 ( v 2 ) L v 2 ) D 22 (v 2 )ab
3
+ 3 D 23( ? 1
Я 2
) f L v 2 )dv 2 + f L(v 2 )d v ;
?2
4 L ( v 2 )
D 24 (? і ) [ я / 2 + A(? 1) - A(? 2 )];
» * ?r D 2 (? 1)
S 2 (? ) = 4 f 2 ^ U
?1 D 2 ( v 2 )
D2 (v 2 )
f v lB (v 1 , v 2 )dv 1
O
dv 2 +
?l
+ 4 f
’d2(?i )
f v lB ( v l ,v 2 )dv 1
Я 2
dv 2 + 4 f
"d ^ ?l)
f v lB ( v l ,v 2 )dv 1 dv 2
O O ?2 O
= 4D 2 ( ? l ) f
?l
D 2 ( v 2 ) L v 2^ D 22(v 2 )ab
3L2( v 2 )2 dv 2 +
+ 2D 22( ? 1)
?1 Я 2
f L v 2 )dv 2 + f L(v 2 )dv 2
O ? 2
4 D 23 (? і ) [ я /2 + A(? 1) - A(? 2 )];
S 3 (? 1 ) = 4
?l Я 2 ?2
f l ( p )dp + f l p )dp + d 2 ( ? l )f L( p )
?2 ?1 D 2 ( p )
dp
?l D2 (v 2 ) Я 2 D 2 (v 2 )
S 2 ( ? 1 ) = 4‘ f f B (v 1 , v 2 )dv 1 v 2 + f B (v 1 , v 2 ) d v 1 v 2
O _D2(?l) ? 2 _D’2 (?1 )
O
O
34 ISSN Ü556-171X. Проблемы прочности, 2ÜÜ7, № l
Деформация защитных плоских преград
£i I * * D 22(v 2 )ab
= 4/ | L v 2 )[D 2 (v 2 ) - D 2 (£ l)] Т- fdv 2 +
0 l 2L ( v 2 ) J
f * * * D 22( v 2 )a b ]
+ 4 J jL ( v 2 )[D 2 ( v 2 ) - D 2 (£ i ) ] ~ l Tl f 2 \ \ d v 2 +
£2 l 2L (v 2 ) J
+ 2D2*2(£ i ) [ ^ 2 + A (£ i) - A(£ 2 )];
2 5 = 4(a - D a ) (b - D a ); 2 * ( £ i) = 2 * ( £ i) + 2 * ; 2 * = 2 * ( 0 ) /d
2 * = 2 2 (0 ) / d a ; 2 * = 2 * (0~)/D a ; Q * = Q f ( i = i, 2, 3);
2 ;a ;
я/ 2 я/ 2 n 2
̂ Л * Л
Q 4(D ) = 4 J L (v 2 )[D 2 (v 2 ) - D ]d v 2 - 2ab J 2
0 0 L (v 2 )
D22 ( v 2 ) d + D 2d v 2 + я D ;
Q 5 = 2 5 ; Q 6(D ) = Q 5 + Q 4( d ); E i (p ) :
L p )
b cos p
( a cos p - a + D a );
L( у )
E 2 (p ) = — :-----( b s in p - b + D a ),
a sin p
p a - параметр эллипса, при котором нормаль к эллипсу попадает в вершину
прямоугольника Z a (рис. 5); 0 < p a < я / 2.
Параметры p a , £ 2 ( p a < £ 2 < я / 2) определяются из уравнений
E i (p a ) = E 2 (p a ); F i (£ i ) = F 2 (£ 2 ) -
Анализ динамического поведения рассматриваемой пластины анало
гичен анализу, проведенному в п. 2. При этом следует полагать, что
max D 2 ( p ) = D a , min D 2 ( p ) = D 2 ( p a ). Предельная нагрузка будет (см. (i2 ),
p p
(i5 ))
P o = „ *
M o ( 2 - ^ ) 2 3 (0)
2 2 (0) + 4(a - D a ) ( b - D a ) D C
я/ 2
M o( 2 - ^ ) J [L( p V D * ( p )]dp
D 2 (p Ж p ) - D *2(p )ab
2 3L2(p )
dp + ( a - D a ) ( b - D a )
0
TS.SW 0556-171X. Проблемы прочности, 2007, № 1 35
Ю. В. Немировский, Т. П. Романова
На рис. 6 представлена зависимость приведенной предельной нагрузки
р о от отношения а ^ а для различных значений у. Рис. 7 иллюстрирует
прогибы w при р = 0 шарнирно опертой эллиптической пластины с у =
= 0,8, а 1/ а = 0,4, р а / р = 3,0 (Р 0 = 8 ,0 7 М 0 / а 2, Р 1 = 13 ,60М 0 / а 2, Р 2 =
= 18,76 М 0 / а 2) под действием сверхвысокой нагрузки прямоугольного вида:
Д О = 2 6 ,8 9 М 0 / а 2 при 0 < 1 < Т , Р ( ^ = 0 при ? > Г .
Ро
30
24
18 -
12 -
0 -
0 0,2 0,4 0,6 а\!а
Рис. 6. Зависимость приведенной предельной нагрузки р0 от отношения а^а для разных
значений у: 1 - у = 1; 2 - у = 0,8; 3 - у = 0,7; 4 - у = 0,6.
0
5
10
15
20
Рис. 7. Прогибы w в сечении р = 0 шарнирно опертой эллиптической пластины с прямо
угольной жесткой вставкой в различные моменты времени: 1 - г = Т ; 2 - г = ̂ = 1,11Т; 3 -
г = г2 = 1,28Т; 4 - г = = 3,47Т.
Заклю чение. Получено общее решение динамического изгиба идеаль
ных жесткопластических пластин с шарнирно опертым или защемленным
эллиптическим контуром, имеющих абсолютно жесткую вставку произволь
ной формы и находящихся под действием равномерно распределенной по
поверхности кратковременной динамической нагрузки взрывного типа. П о
казано, что существует несколько механизмов деформирования пластин. Для
каждого из них выведены уравнения динамического деформирования и
проанализированы условия их реализации. Получены аналитические выраже
ния для предельной, высокой, сверхвысокой нагрузок и максимального
0 0,2 0,4 0,6 0,8 х!а
36 ТББИ 0556-171Х. Проблемы прочности, 2007, № 1
Деформация защитных плоских преград
остаточного прогиба в случае средних нагрузок. Приведены примеры чис
ленных реш ений для круглой и прямоугольной жестких вставок.
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фун
даментальных исследований (код проекта 05-01-00161-а).
Р е з ю м е
На основі моделі ідеального жорстко-пластичного тіла розроблено методику,
що дозволяє проаналізувати динамічну поведінку еліптичних шарнірно опер
тих або затиснутих пластин з абсолютно жорсткою вставкою довільної
форми. На пластину діє рівномірно розподілене по поверхні короткочасне
динамічне навантаження високої інтенсивності вибухового типу. Показано,
що існує декілька механізмів деформування пластин. Для кожного з них
отримано рівняння динамічного деформування та проаналізовано умови їх
реалізації. Наведено приклади числових розв’язків у випадках круглої і
прямокутної жорстких вставок.
1. М а за л о в В. Н ., Н е м и р о в с к и й Ю . В . Динамика тонкостенных пласти
ческих конструкций // Проблемы динамики упруго-пластических сред.
Новое в зарубежной науке. Механика. - 1975. - Вып. 5. - С. 155 - 247.
2. Н е м и р о в с к и й Ю . В ., Р о м а н о ва Т. П . Динамическая пластическая по
вреждаемость одно- и двусвязных эллиптических пластин // Прикл.
механика и теорет. физика. - 2002. - 43, № 4. - С. 142 - 154.
3. К о м а р о в К. Л ., Н е м и р о в с к и й Ю . В . Динамика жесткопластических
элементов конструкций. - Новосибирск: Наука, 1984.
4. Г о п к и н с Г ., П р а ге р В . Динамика пластической круглой пластинки //
Механика. - 1955. - № 3. - С. 112 - 122.
5. Ф ло р ен с А . Л . Поведение защемленной круговой жесткопластической
пластинки под действием взрывного давления // Тр. Амер. об-ва инже-
неров-механиков. Сер. Е. - 1966. - № 2. - С. 1 1 - 1 7 .
6. Ф ло р ен с А . Л . Кольцевая пластинка под действием поперечного линей
ного импульса // Ракет. техника и космонавтика. - 1965. - № 9. - С. 202
- 211.
7. Н е м и р о в с к и й Ю . В ., Р о м а н о ва Т. П . Динамическое поведение двусвяз
ных полигональных пластических плит // Прикл. механика. - 1987. - 23,
№ 5. - С. 52 - 59.
8. Н е м и р о в с к и й Ю . В ., Р о м а н о ва Т. П . Динамический изгиб пластических
полигональных плит // Прикл. механика и теорет. физика. - 1988. - № 4.
- С. 149 - 157.
9. Е р х о в М . И . Теория идеально пластических тел и конструкций. - М.:
Наука, 1978.
10. Н е м и р о в с к и й Ю . В ., Р о м а н о ва Т. П . Динамика пластического деформи
рования пластин с криволинейным контуром // Прикл. механика. -
2001. - 37, № 12. - С. 68 - 78.
ISSN 0556-171Х. Проблемыг прочности, 2007, № 1 37
Ю. В. Немировский, Т. П. Романова
11. Н е м и р о в с к и й Ю . В ., Р о м а н о ва Т. П . Пластическое деформирование
двусвязных пластин с криволинейным контуром при динамических
нагрузках // Актуальные проблемы динамики и прочности в теорети
ческой и прикладной механике. - Минск: Технопринт, 2001. - С. 515 -
525.
12. Н е м и р о в с к и й Ю . В ., Р о м а н о ва Т. П . М оделирование и анализ процесса
штамповки тонкостенных конструкций с гладкими выпуклыми конту
рами // М еханика оболочек и пластин: Сб. докл. XX М еждунар. конф.
по теории оболочек и пластин. - Н. Новгород: Изд-во Ниж.-Новгород.
гос. ун-та, 2002. - С. 231 - 239.
13. Н е м и р о в с к и й Ю . В ., Р о м а н о ва Т. П . Повреждаемость плоских преград с
невогнутыми контурами при воздействии взрывных нагрузок // Науч.
вестн. Новосиб. гос. техн. ун-та. - 2002. - № 2. - С. 77 - 85.
14. Н е м и р о в с к и й Ю . В., Р о м а н о ва Т. П . Динамическое поведение жестко
пластических пластин в форме сектора // Прикл. механика. - 2004. - 40,
№ 4. - С. 93 - 101.
15. Р ж а н и ц ы н А . Р . Строительная механика. - М.: Высш. шк., 1982.
16. Б р о н ш т е й н И . Н ., С е м е н д я е в К. А . Справочник по математике. - М.:
Наука, 1986. - 140 с.
Поступила 12. 12. 2005
38 1&$М 0556-171Х. Проблемы прочности, 2007, № 1
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-48002 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0556-171X |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-02T01:48:18Z |
| publishDate | 2007 |
| publisher | Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Немировский, Ю.В. Романова, Т.П. 2013-08-12T12:54:22Z 2013-08-12T12:54:22Z 2007 Деформация защитных плоских преград с технологическими люками / Ю.В. Немировский, Т.П. Романова // Проблемы прочности. — 2007. — № 1. — С. 22-38. — Бібліогр.: 16 назв. — рос. 0556-171X https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/48002 539.4+539.37 На основе модели идеального жесткопластического тела разработана методика, позволяющая проанализировать динамическое поведение эллиптических шарнирно опертых или защемленных пластин, имеющих абсолютно жесткую вставку произвольной формы. На пластину действует равномерно распределенная по поверхности кратковременная динамическая нагрузка высокой интенсивности взрывного типа. Показано, что существует несколько механизмов деформирования пластин. Для каждого из них получены уравнения динамического деформирования и проанализированы условия их реализации. Приведены примеры численных решений в случаях круглой и прямоугольной жестких вставок. На основі моделі ідеального жорстко-пластичного тіла розроблено методику, що дозволяє проаналізувати динамічну поведінку еліптичних шарнірно опертих або затиснутих пластин з абсолютно жорсткою вставкою довільної форми. На пластину діє рівномірно розподілене по поверхні короткочасне динамічне навантаження високої інтенсивності вибухового типу. Показано, що існує декілька механізмів деформування пластин. Для кожного з них отримано рівняння динамічного деформування та проаналізовано умови їх реалізації. Наведено приклади числових розв’язків у випадках круглої і прямокутної жорстких вставок. Based on the model of ideal rigid-plastic bodies, the technique is developed, permitting one to analyze dynamic behavior of hinged or restrained elliptic plates containing an absolutely rigid insert of arbitrary shape. The plate under study is subjected to the action of short-term high-intensity dynamic load of the explosive type, which is uniformly distributed along the plate surface. It is shown that there are several different mechanisms of plate deformation. For each of these, the equations of dynamic deformation are obtained and conditions of their realization are analyzed. Examples of numerical solutions are provided for the cases of round and rectangular rigid inserts. Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 05-01-00161-а). ru Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України Проблемы прочности Научно-технический раздел Деформация защитных плоских преград с технологическими люками Deformation of flat protective barriers with technological hatche Article published earlier |
| spellingShingle | Деформация защитных плоских преград с технологическими люками Немировский, Ю.В. Романова, Т.П. Научно-технический раздел |
| title | Деформация защитных плоских преград с технологическими люками |
| title_alt | Deformation of flat protective barriers with technological hatche |
| title_full | Деформация защитных плоских преград с технологическими люками |
| title_fullStr | Деформация защитных плоских преград с технологическими люками |
| title_full_unstemmed | Деформация защитных плоских преград с технологическими люками |
| title_short | Деформация защитных плоских преград с технологическими люками |
| title_sort | деформация защитных плоских преград с технологическими люками |
| topic | Научно-технический раздел |
| topic_facet | Научно-технический раздел |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/48002 |
| work_keys_str_mv | AT nemirovskiiûv deformaciâzaŝitnyhploskihpregradstehnologičeskimilûkami AT romanovatp deformaciâzaŝitnyhploskihpregradstehnologičeskimilûkami AT nemirovskiiûv deformationofflatprotectivebarrierswithtechnologicalhatche AT romanovatp deformationofflatprotectivebarrierswithtechnologicalhatche |