Сравнительный анализ нелинейных резонансов механической системы с несимметричной кусочно-линейной характеристикой восстанавливающей силы
Представлены результаты численного сравнительного анализа супергармонических резонансов порядка 2/1...5/1 и субгармонического резонанса порядка 1/2 механической колебательной системы с одной степенью свободы с несимметричной кусочно-линейной характеристикой восстанавливающей силы при различных соотн...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Проблемы прочности |
|---|---|
| Дата: | 2007 |
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України
2007
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/48042 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Сравнительный анализ нелинейных резонансов механической системы с несимметричной кусочно-линейной характеристикой восстанавливающей силы / А.П. Бовсуновский // Проблемы прочности. — 2007. — № 2. — С. 72-87. — Бібліогр.: 31 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-48042 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Бовсуновский, А.П. 2013-08-13T17:11:10Z 2013-08-13T17:11:10Z 2007 Сравнительный анализ нелинейных резонансов механической системы с несимметричной кусочно-линейной характеристикой восстанавливающей силы / А.П. Бовсуновский // Проблемы прочности. — 2007. — № 2. — С. 72-87. — Бібліогр.: 31 назв. — рос. 0556-171X https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/48042 620.178;620.179 Представлены результаты численного сравнительного анализа супергармонических резонансов порядка 2/1...5/1 и субгармонического резонанса порядка 1/2 механической колебательной системы с одной степенью свободы с несимметричной кусочно-линейной характеристикой восстанавливающей силы при различных соотношениях жесткости системы на полуциклах и в условиях существенного изменения уровня демпфирования колебаний в системе. Представлено результати числового порівняльного аналізу супергармоніч- них резонансів порядку 2/1...5/1 і субгармонічного резонансу порядку 1/2 механічної коливної системи з одним ступенем вільності з несиметричною кусково-лінійною характеристикою відновлювальної сили при різних співвідношеннях жорсткості системи на півциклах і в умовах суттєвої зміни рівня демпфірування коливань у системі. We present results of the numerical comparative analysis of superharmonic resonances of 2/1-5/1 order and a sub-harmonic resonance of 1/2 order of mechanical vibratory systems with one degree of freedom with asymmetrical piecewise linear performance of recovering force for various system rigidity ratios in half-cycles and for conditions of significant variation of the level of vibration damping in the system. ru Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України Проблемы прочности Научно-технический раздел Сравнительный анализ нелинейных резонансов механической системы с несимметричной кусочно-линейной характеристикой восстанавливающей силы The comparative analysis of nonlinear resonances of a mechanical system with asymmetrical piecewise-linear characteristics of recovering force Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Сравнительный анализ нелинейных резонансов механической системы с несимметричной кусочно-линейной характеристикой восстанавливающей силы |
| spellingShingle |
Сравнительный анализ нелинейных резонансов механической системы с несимметричной кусочно-линейной характеристикой восстанавливающей силы Бовсуновский, А.П. Научно-технический раздел |
| title_short |
Сравнительный анализ нелинейных резонансов механической системы с несимметричной кусочно-линейной характеристикой восстанавливающей силы |
| title_full |
Сравнительный анализ нелинейных резонансов механической системы с несимметричной кусочно-линейной характеристикой восстанавливающей силы |
| title_fullStr |
Сравнительный анализ нелинейных резонансов механической системы с несимметричной кусочно-линейной характеристикой восстанавливающей силы |
| title_full_unstemmed |
Сравнительный анализ нелинейных резонансов механической системы с несимметричной кусочно-линейной характеристикой восстанавливающей силы |
| title_sort |
сравнительный анализ нелинейных резонансов механической системы с несимметричной кусочно-линейной характеристикой восстанавливающей силы |
| author |
Бовсуновский, А.П. |
| author_facet |
Бовсуновский, А.П. |
| topic |
Научно-технический раздел |
| topic_facet |
Научно-технический раздел |
| publishDate |
2007 |
| language |
Russian |
| container_title |
Проблемы прочности |
| publisher |
Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
The comparative analysis of nonlinear resonances of a mechanical system with asymmetrical piecewise-linear characteristics of recovering force |
| description |
Представлены результаты численного сравнительного анализа супергармонических резонансов порядка 2/1...5/1 и субгармонического резонанса порядка 1/2 механической колебательной системы с одной степенью свободы с несимметричной кусочно-линейной характеристикой восстанавливающей силы при различных соотношениях жесткости системы на полуциклах и в условиях существенного изменения уровня демпфирования колебаний в системе.
Представлено результати числового порівняльного аналізу супергармоніч- них резонансів порядку 2/1...5/1 і субгармонічного резонансу порядку 1/2 механічної коливної системи з одним ступенем вільності з несиметричною кусково-лінійною характеристикою відновлювальної сили при різних співвідношеннях жорсткості системи на півциклах і в умовах суттєвої зміни рівня демпфірування коливань у системі.
We present results of the numerical comparative analysis of superharmonic resonances of 2/1-5/1 order and a sub-harmonic resonance of 1/2 order of mechanical vibratory systems with one degree of freedom with asymmetrical piecewise linear performance of recovering force for various system rigidity ratios in half-cycles and for conditions of significant variation of the level of vibration damping in the system.
|
| issn |
0556-171X |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/48042 |
| citation_txt |
Сравнительный анализ нелинейных резонансов механической системы с несимметричной кусочно-линейной характеристикой восстанавливающей силы / А.П. Бовсуновский // Проблемы прочности. — 2007. — № 2. — С. 72-87. — Бібліогр.: 31 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT bovsunovskiiap sravnitelʹnyianaliznelineinyhrezonansovmehaničeskoisistemysnesimmetričnoikusočnolineinoiharakteristikoivosstanavlivaûŝeisily AT bovsunovskiiap thecomparativeanalysisofnonlinearresonancesofamechanicalsystemwithasymmetricalpiecewiselinearcharacteristicsofrecoveringforce |
| first_indexed |
2025-11-24T16:13:05Z |
| last_indexed |
2025-11-24T16:13:05Z |
| _version_ |
1850484602086359040 |
| fulltext |
УДК 620.178;620.179
Сравнительный анализ нелинейных резонансов механической
системы с несимметричной кусочно-линейной характеристикой
восстанавливающей силы
А. П . Б овсуновский
Институт проблем прочности им. Г. С. Писаренко НАН Украины, Киев, Украина
Представлены результаты численного сравнительного анализа супергармонических резонан
сов порядка 2/1...5/1 и субгармонического резонанса порядка 1/2 механической колебатель
ной системы с одной степенью свободы с несимметричной кусочно-линейной характерис
тикой восстанавливающей силы при различных соотношениях жесткости системы на полу-
циклах и в условиях существенного изменения уровня демпфирования колебаний в системе.
К л ю ч е в ы е с л о в а : закрываю щ аяся трещ ина, суб- и супергармонический
резонансы, спектр колебаний, диагностические признаки повреждения.
Введение. При циклическом деформировании упругого тела трещина
усталости имеет свойство открываться на полуцикле растяжения и закры
ваться на полуцикле сжатия (закрывающаяся трещина). В моменты закрытия
и открытия трещ ины происходит внезапное изменение жесткости тела, что
обусловливает существенную нелинейность его динамического поведения и,
как следствие, проявление так называемых нелинейных эффектов, к числу
которых относятся суб- и супергармонические (нелинейные) резонансы, а
также нелинейность вибрационного отклика механической системы (пере
мещения, скорости, ускорения, деформации и т.п.) при резонансных реж и
мах колебаний.
Периодическое изменение жесткости механической системы приводит к
ряду трудностей, возникающих при аналитическом реш ении задачи о ее
вынужденных колебаниях. Приближенные аналитические решения [1-7]
ограничиваются упрощающ ими предположениями о свойствах колебатель
ной системы и рассматривают один или два нелинейных резонанса, что не
позволяет выполнить сравнительный анализ супер- и субгармонических
резонансов различного порядка. Порядок нелинейного резонанса опреде
ляется номером супер- или субгармоники в спектре колебаний, амплитуда
которой монотонно увеличивается по мере приближения ее частоты к собст
венной частоте колебательной системы и достигает максимума при совпа
дении этих частот. Внешнее подобие явления с резонансом определило его
название - нелинейный резонанс.
Так, в работах [5-9] рассматривается супергармонический резонанс
второго порядка, в [10, 11] - субгармонический резонанс порядка / т/ p = 1/2
(/ т - собственная частота колебаний тела с трещиной; p - частота вынуж
дающей силы). Поскольку суперрезонансные колебания второго и третьего
порядка системы с одной степенью свободы исследованы в [1,2] без учета
демпфирования, не представляется возможным сопоставить амплитуды этих
нелинейных резонансов.
© А. П. БОВСУНОВСКИЙ, 2007
72 ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2007, № 2
Сравнительный анализ нелинейных резонансов ...
В работах [12-14] процесс открытия-закрытия трещ ины определялся
частотой вынуждающей силы. Такая модель неверно описывает поведение
колебательной системы в случаях сильных супергармонических резонансов,
когда амплитуды высших гармоник достигают величин, при которых систе
ма изменяет свою жесткость более чем один раз за период колебаний [15].
Учет этого явления представляет собой одну из фундаментальных труд
ностей аналитического исследования супергармонических резонансов.
Численные реш ения задачи о вынужденных колебаниях стержня с
закрывающейся трещ иной под действием гармонической сосредоточенной
силы, полученные с помощью электрического аналогового моделирования
[16-20] или на основе конечноэлементного моделирования [15, 21-23], пока
зали, что его колебания характеризуются наличием супергармонического
резонанса второго порядка, амплитуда которого на порядок ниже амплитуды
основного резонанса. Установлено также, что при супергармоническом резо
нансе имеет место существенная нелинейность колебательного процесса,
характеризующаяся наличием значительной амплитуды второй гармоники в
спектре колебаний. Кроме того, в [16, 17] обнаружены суперрезонансы
порядка / т/ р = 3/1 и 4/1 и субрезонанс порядка / т/ р = 1/2 и, в частности,
показано, что супергармонический резонанс второго порядка возникает при
значительно меньших значениях глубины трещины, чем субгармонический.
При этом в указанных работах не учитывалась возможность изменения
уровня демпфирования в системе в результате появления трещ ины [24]. В то
же время подавляющее влияние демпфирования на проявление нелинейных
эффектов отмечалось, например, в [5, 25, 26]. Следовательно, при иссле
довании взаимосвязи между параметрами повреждения и параметрами нели
нейных эффектов необходимо учитывать изменение уровня демпфирования
в системе вследствие возникновения и роста трещины.
Цель работы заключалась в численном исследовании и сравнительном
анализе особенностей проявления нелинейных резонансов колебательной
системы с несимметричной кусочно-линейной характеристикой восстанавли
вающей силы при разных уровнях демпфирования в системе и чувстви
тельности нелинейных эффектов при нелинейных резонансах различных
порядков к наличию в механической системе повреждения типа закрыва
ющейся трещины.
М одель тел а с трещ иной . Используется относительно простая и на
глядная модель упругого тела с закрывающейся трещ иной в виде механи
ческой колебательной системы с одной степенью свободы с несимметрич
ной кусочно-линейной характеристикой восстанавливающей силы (рис. 1) и
линейным вязким трением. В ряде случаев такая модель позволяет с доста
точной для инженерной практики точностью описывать динамическое пове
дение сложных конструкций [27].
Вынужденные колебания указанной системы описываются дифферен
циальным уравнением:
d t 22 + 2 а m d t + c r ( x ) = 9 ° sin p t ' ( і)
ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2007, № 2 73
А. П. Бовсуновский
Здесь а т - коэффициент вязкого трения; т - собственная угловая частота
колебаний тела без повреждения; д 0 - амплитуда вынуждающей силы,
приходящаяся на единицу обобщенной массы; С - обобщенная жесткость
системы, моделирующей тело массой т без трещ ины или на полуцикле
колебаний, когда трещ ина закрыта; Я ( х ) - восстанавливающая сила, урав
нения которой имеют вид:
где С 0 - жесткость системы на полуцикле колебаний, когда трещина
открыта. С учетом обозначений, принятых на рис. 1, имеем С = С 0 + С 1.
Точное аналитическое решение уравнения (1) можно получить для
случая свободных колебаний рассматриваемой системы без учета демпфи
рования [28] или с учетом линейного вязкого трения [29]. Для случая
вынужденных колебаний системы с учетом демпфирования получены при
ближенные аналитические решения [3, 4, 7], ограниченные рядом упро
щающих предположений о свойствах колебательной системы.
В настоящей работе уравнение (1) реш алось численно методом Нью-
марка [30], который не накладывает ограничений на уровень нелинейности
колебательной системы и позволяет получать решения с высокой точностью
Основной проблемой адекватного моделирования тела с трещиной явля
ется обоснованный выбор соотношения жесткостей колебательной системы
С 0 / С . Ниже такой выбор осущ ествлен на основании экспериментальных
данных об изменении резонансной частоты продольных колебаний образца
из стали с массивным грузом на конце при различной глубине краевой
трещ ины усталости [31]. Соотношение жесткостей колебательной системы
при соответствующ их значениях относительной глубины трещ ины у = а/И
( а - глубина трещины, И - высота поперечного сечения образца) представ
лено в табл. 1.
Спектральный анализ колебаний исследуемой системы проводили с
помощью ряда Фурье вида
(2)
Рис. 1. Модель тела с трещиной.
[31].
74 ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2007, № 2
Сравнительный анализ нелинейных резонансов
а 0 Х''
х = ~ к + ^ А к ( + р к X (3)
2 к=1
где А к = а1 + Ь к ; р к = атС£(а к / Ь к ); т т - собственная угловая частота
колебаний тела с трещиной.
Т а б л и ц а 1
Соотношение амплитуд основного и нелинейных резонансов
С о/С у = a h Srn / S1/2 Srn / S 2/1 Srn / S 3/1 Srn / S 4/1 Srn /S 5/1
0,998 0,0122 — 421,5 — 574,7 —
0,991 0,0500 637,7 280,2 550,8 494,1 595,2
— 45,5 — 58,2 —
0,983 0,1000 381,1 233,1 548,2 445,5 594,4
— 43,0 — 57,5 —
0,965 0,2000 194,0 179,6 525,3 412,0 581,0
— 36,5 54,9 55,4 —
0,913 0,4000 77,3 124,0 380,1 387,9 504,3
62,9 27,7 52,9 48,7 57,7
0,723 0,6000 21,9 70,0 277,8 361,4 314,7
21,2 17,7 34,4 39,0 46,1
Примечание. Над чертой приведены значения, соответствующие да = 0,5%, под чертой -
да = 5,0%.
Р езультаты расчетов. Амплитудно-частотные характеристики (АЧХ)
рассматриваемой колебательной системы получены в широком диапазоне
частот при уровне демпфирования, который соответствовал значению лога
рифмического декремента колебаний системы д а = 0,5%. Коэффициент
динамичности 0 определяли как отношение амплитуды установившихся
вынужденных колебаний поврежденной системы к статическому отклоне
нию неповрежденной системы.
На рис. к в качестве примера приведены АЧХ при двух значениях
отношения жесткостей. Как видно, при значительном изменении жесткости
системы (С 0 / С = 0,913) имеют место сильные суперрезонансы второго-
пятого порядка и субрезонанс порядка / т/ р = 1/к (рис. к,а). При этом
амплитуды суб- и суперрезонанса второго порядка превышают амплитуды
суперрезонансов третьего-пятого порядка более чем в 3 ,1 ...4 ,8 раза. Обра
щает на себя внимание необычная форма АЧХ нелинейных резонансов
нечетных порядков, а также то, что эти резонансные режимы практически не
проявляются при малом относительном изменении жесткости (рис. к,б),
которая соответствует трещине площадью 5% поперечного сечения. Изме
нение амплитуды субрезонанса порядка / т/ р = 1/к и суперрезонансов вто
рого и четвертого порядка по отношению к амплитуде колебаний неповреж
денной системы является все еще значимым и составляет соответственно
к,9, 1,7 и 1,4 раза.
ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2007, № 2 75
А. П. Бовсуновский
б
Рис. 2. Амплитудно-частотные характеристики поврежденной (сплошные линии) и неповреж
денной (штриховые линии) колебательных систем: 1 - С0/ С = 0,913, у = 0,4, да = 0,5%; 2 -
С0/С = 1,0, у = 0, да = 0,5%; 3 - С0/С = 0,991, у = 0,05, да = 0,5%.
При всех рассматриваемых уровнях повреждения колебательной систе
мы амплитуды колебаний при нелинейных резонансах на один-два порядка
меньше амплитуды колебаний при основном резонансе (табл. 1). Различие
между амплитудами уменьшается по мере увеличения степени повреждения
и уровня демпфирования колебаний в системе, однако остается значитель
ным (заметим, что демпфирование слабо влияет на соотношение амплитуд
колебаний при основном и субгармоническом резонансе). Абсолютная вели
а
76 ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2007, № 2
Сравнительный анализ нелинейных резонансов
чина амплитуды колебаний при нелинейных резонансах небольшая, и надеж
ное обнаружение нелинейного резонанса по ее изменению может оказаться
проблематичным. Поэтому изменение амплитуды колебаний в окрестности
нелинейных резонансов является малопригодным для диагностики повреж
дения.
Возможность возбуждения точных резонансов и, следовательно, прак
тического использования нелинейных эффектов в качестве диагностических
признаков повреждения зависит от ш ирины резонансных кривых. Как
известно, в случае острого резонанса для точного определения параметров
резонансной кривой необходима высокая дискретность изменения частоты
вынуждающей силы.
Резонансные кривые такого же вида, что и на рис. 2, получены для
значений отношения жесткости системы, представленных в табл. 1. Ш ирина
резонансных кривых определялась непосредственно по АЧХ при амплитуде,
равной половине амплитуды основного резонанса (А 1/1), субрезонанса по
рядка / т/ р = 1/2 (А 1/2 ) и суперрезонансов второго-пятого порядка (соот
ветственно А 2/1, А 3/1, А 4/1 и А 5/1). Результаты измерения приведены в
табл. 2 .
Как видно, ширина резонансных кривых при основном и субгармони
ческом резонансах практически сопоставима. В обоих случаях наблюдается
тенденция к некоторому увеличению ширины АЧХ по мере роста трещины.
Более сложная зависимость имеет место при супергармоническом резонансе
второго порядка: ширина АЧХ увеличивается с уменьшением размеров
трещ ины до у = 0,05 и все же остается в 2 ,1 ...37 ,8 раза меньше, чем при
основном резонансе. Этот вывод качественно согласуется с результатами,
также полученными для системы с одной степенью свободы, но при больших
значениях С 0 / С и более высоком уровне демпфирования [5]. Таким образом,
возбудить точный супергармонический резонанс второго порядка сложнее,
чем основной резонанс или субгармонический резонанс порядка / т / р = 1/2 .
В отличие от супергармонического резонанса второго порядка, ширина
резонансной кривой при супергармоническом резонансе четвертого порядка
увеличивается прямо пропорционально размерам трещ ины (табл. 2). При
этом ее ширина остается узкой при малых и средних трещ инах (нами при
нята следующая условная классификация трещ ин по их размерам: у < 0 ,1 -
малы е трещ ины ; 0,1 < у < 0,3 - средние трещ ины ; у > 0,3 - большие тре
щины).
Вследствие особой формы резонансных кривых при нечетных супер-
гармонических резонансах не представляется возможным точно определить
их ширину. Данные, полученные для этих режимов колебаний при
С 0 / С = 0,913, являются, строго говоря, условными, однако можно заклю
чить, что ширина АЧХ при нелинейных резонансах третьего и пятого
порядка приблизительно в два раза меньше, чем при основном резонансе.
Как видно из данных табл. 3, по мере увеличения трещ ины частоты
основного и нелинейных резонансов системы монотонно уменьшаются (до
8 % в рассматриваемом диапазоне размеров трещины). Об этом также свиде
тельствует смещение АЧХ при основном резонансе в область меньших
частот (рис. 2 ).
ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2007, № 2 77
А. П. Бовсуновский
Т а б л и ц а 2
Ширина резонансных кривых (да = 0,5%)
II Л1/2 Д1/1 Л2/1 Л3/1 Л4/1 Д5/1
0,0122 - 0,00277 0,00069 - 0,00030 -
0,0500 0,00235 0,00279 0,00132 - 0,00063 -
0,1000 0,00238 0,00276 0,00124 - 0,00065 -
0,2000 0,00245 0,00277 0,00055 - 0,00088 -
0,4000 0,00256 0,00281 0,00020 0,00122 0,00170 0,00128
0,6000 0,00306 0,00302 0,00008 - - -
Т а б л и ц а 3
Частоты основного и нелинейных резонансов (да = 0,5%)
II w1/2 w1/1 w2/1 W3/1 W4/1 W5/1
0,0122 - 0,999486 0,499723 - 0,249817 -
0,0500 1,995469 0,997724 0,498835 0,331933 0,249384 0,199607
0,1000 1,991416 0,995695 0,497823 0,331503 0,248878 0,199126
0,2000 1,982175 0,991079 0,495514 0,330163 0,247705 0,198261
0,4000 1,954481 0,977238 0,488592 0,325693 0,244171 0,195489
0,6000 1,838169 0,919077 0,459532 0,306334 0,230217 0,184278
Примечание. Индексы при т обозначают порядок нелинейного резонанса.
В работе [5] показано, что частота точного суперрезонанса второго
порядка несколько ниже, чем частота, при которой вторая гармоника, доми
нирующая в спектре колебаний при указанном режиме, достигает наиболь
шего значения. Поэтому кроме точного значения частот основного и нели
нейных резонансов были вычислены частоты, при которых амплитуда доми
нирую щ ей гармоники в спектре колебаний достигает максимума (табл. 4).
Доминирующей в спектре субгармонического резонанса порядка / т / р = 1/2
является субгармоника, частота которой в два раза меньше частоты вынуж
дающей силы, а в спектре суперрезонансов второго-пятого порядка - соот
ветственно вторая-пятая гармоники.
Сопоставление приведенных в табл. 3 и 4 данных показало, что частоты
точных резонансов действительно отличаются, хотя и незначительно, от
частот максимумов амплитуд доминирующих гармоник: при субрезонансе
это отличие достигает 0,0008%; при суперрезонансах второго, третьего,
четвертого и пятого порядка - 0,0031, 0,18, 0,069 и 0,052% соответственно.
Частоты точных суперрезонансов второго-четвертого порядка меньше час
тот максимумов амплитуд доминирующих гармоник, а частоты точных
субрезонанса порядка / т/ р = 1/2 и суперрезонанса пятого порядка - боль
ше. В приведенном анализе не учитывались данные для отношения жест
костей С 0 / С = 0,723, поскольку вследствие существенной нелинейности ко
лебательной системы АЧХ при суперрезонансе четвертого порядка имеют
разрыв (рис. 2,а). Известно [31], что амплитуда второй гармоники в окрест
78 ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2007, № 2
Сравнительный анализ нелинейных резонансов
ности основного резонанса не имеет экстремума: она монотонно умень
шается при увеличении частоты вынуждающей силы. Поэтому относящиеся
к основному резонансу данные в табл. 4 не приведены.
Т а б л и ц а 4
Частоты максимумов доминирующих гармоник в спектрах колебании
при основном и нелинейных резонансах (да = 0,5%)
II тИ2 т2П т3П т4П т5П
0,0122 - 0,499723 - 0,249822 -
0,0500 1,995468 0,498844 0,332542 0,249385 0,199530
0,1000 1,991411 0,497832 0,331865 0,248882 0,199077
0,2000 1,982159 0,495522 0,330326 0,247738 0,198154
0,4000 1,954361 0,488607 0,325724 0,244339 0,195387
0,6000 1,836734 0,459524 0,307142 0,230503 0,184714
Примечание. Прочерки обозначают, что соответствующие нелинейные резонансы отсутст
вуют.
Возникновение нелинейных резонансов является качественным призна
ком наличия повреждения типа трещ ины усталости, а амплитуды этих
резонансов позволяют судить о степени повреждения. Известно, что колеба
тельные процессы при нелинейных резонансах существенно негармоничес
кие (нелинейно искажаются). Это также может использоваться для качест
венной и количественной оценки повреждения. Причина значительных не
линейных искажений колебаний при нелинейных резонансах заключается в
том, что при этих режимах в спектре колебаний возникает гармоника, часто
та которой совпадает с частотой основного резонанса. Амплитуда этой
гармоники сопоставима или во много раз превыш ает при точном нелиней
ном резонансе амплитуду основной гармоники. При супергармонических
резонансах порядка / т/ р = 2/1, 3/1, 4/1 и т.д. в спектре колебаний превали
рую т соответственно вторая, третья, четвертая и т.д. гармоники, при суб
гармоническом резонансе порядка / т / р = 1/2 - первая субгармоника. П о
этому в качестве признака повреждения можно использовать отношение
амплитуды доминирующей гармоники в спектре колебаний к амплитуде
основной гармоники, пренебрегая другими составляю щ ими спектра.
Ограничимся анализом трех наиболее интересных с практической точки
зрения нелинейных резонансов: субгармоническим порядка / т/ р = 1 /2 и
супергармоническими порядка / т/ р = 2/1 и 3/1. В качестве диагностичес
кого признака повреждения используем соотношение между амплитудой
доминирую щ ей гармоники в спектре колебаний (соответственно А1/2 , ^ 2/1
и А3/1) и амплитудой первой гармоники (А1) и отношение амплитуды
точного нелинейного резонанса (Б 1/2 , Б 2/1 и Б 3/1) к амплитуде вынуж
денных колебаний неповрежденной системы при той же частоте ( Б ).
Как следует из рис. 3, при субгармоническом резонансе рост трещ ины в
диапазоне 0 ,1 < у < 0 ,6 приводит к значительному (почти на два порядка)
увеличению обоих рассматриваемых диагностических признаков поврежде
ISSN 0556-171X. Проблемыг прочности, 2007, № 2 79
А. П. Бовсуновский
ния. При суиергармонических резонансах второго и третьего порядка анало
гичные изменения соответственно на один и два порядка ниже. Если при
супергармоническом резонансе второго порядка диагностические признаки
повреждения существенно изменяются при наличии средних и больших
трещин, как это имеет место при субгармоническом резонансе, то при
супергармоническом резонансе третьего порядка - только при наличии
больших трещин.
(Аш+Аі)/Аі (А2+А1УА1 < W A 1
О 0,2 0,4 0,6
a
S 1,2/ S 1 S 3/ S 1
Рис. 3. Зависимости относительного изменения доминирующей гармоники (а-в) и амплитуды
резонанса (г-д) от размеров повреждения при субгармоническом резонансе порядка 1/2 (а, г)
и супергармоническом резонансе порядка 2/1 (б, д) и 3/1 (в, е). (Здесь и на рис. 4: сплошные
линии - да = 0,5%; штриховые линии - да = 5,0%.)
Є
Зависимости относительных изменений доминирующих гармоник и
амплитуд колебаний от размеров трещ ины при соответствующих режимах
колебаний качественно идентичны. Это значит, что амплитуда точных нели
нейных резонансов определяется главным образом амплитудой доминиру
ющей гармоники в спектре колебаний, частота которой совпадает с частотой
основного резонанса. Количественно относительный рост амплитуды нели
нейных резонансов несколько выше, чем относительный рост доминиру-
80 ISSN 0556-171X. Проблємьі прочности, 2007, № 2
Сравнительный анализ нелинейных резонансов
ющих гармоник. Причина этого заключается в том, что обе характеристики
определялись при частотах точных резонансов, которые, как было показано
выше, не совпадают с частотами, при которых амплитуды доминирующих
гармоник достигают максимальных значений.
Демпфирование уменьшает чувствительность всех представленных диа
гностических признаков к наличию повреждения. Рост декремента колеба
ний системы на порядок снижает амплитуду субрезонанса до 10 раз, супер
резонанса второго порядка - до 2,5 раза, суперрезонанса третьего порядка -
до 1,6 раза, что обусловлено соответствующим уменьшением амплитуды
доминирующей гармоники в спектре колебаний. При этом характер зави
симостей признаков повреждения от относительных размеров трещ ины ка
чественно не изменяется.
Поскольку на практике наибольший интерес представляет диагностика
малых повреждений, на рис. 4 показаны те же зависимости, что и на рис. 3,
но при меньших относительных размерах трещины. Как видно, имеет место
качественное отличие между суб- и супергармоническими резонансами. Суб
гармонический резонанс возникает в случае, когда трещ ина достигает опре
деленного значения, что согласуется с результатами работы [16]. Например,
при уровнях демпфирования д а = 0,5 и 5,0% субгармоника в спектре коле
баний появляется при размерах трещ ины у = 0,03 и 0,28 соответственно.
Дальнейший рост трещ ины приводит к существенному увеличению суб
гармоники. Повышение амплитуд доминирующих гармоник при супергармо
нических резонансах с увеличением размера трещ ины происходит менее
интенсивно, но наблюдается с момента ее зарождения. Абсолютная вели
чина этого роста при супергармоническом резонансе третьего порядка пре
небрежимо мала в области малых трещин. В то же время интенсивность
изменения амплитуды второй гармоники в области малых трещ ин при
супергармоническом резонансе второго порядка и малом уровне демпфиро
вания является достаточно значительной для практического использования.
Надежное экспериментальное фиксирование диагностического призна
ка повреждения зависит от точности и разрешающей способности измери
тельной аппаратуры, а также от уровня шума электронных приборов, по
скольку вибродиагностика повреждений выполняется обычно при неболь
ших уровнях колебаний. Эти факторы в той или иной мере определяют
предел чувствительности любой методики диагностики повреждения, т.е.
минимальный размер повреждения, который может быть надежно обнару
жен.
В дальнейшем анализе условно принято, что относительная погреш
ность определения той или иной характеристики повреждения составляет
20%. Следовательно, повреждение может быть надежно обнаружено, если
изменение диагностического признака превышает эту величину. На рис. 3 и
4 принятая погрешность показана штриховыми линиями. Как видно, учет
погрешности экспериментального определения признака повреждения сни
жает чувствительность обоих методов диагностики. И если при субгармони
ческом резонансе порядка / т/ р = 1/2 и супергармоническом резонансе
порядка / т / р = 2/1 при низком уровне демпфирования колебаний в системе
ISSN 0556-171X. Проблемыг прочности, 2007, № 2 81
А. П. Бовсуновский
это снижение относительно невелико, то при супергармоническом резонансе
порядка / т / р = 3/1 оно настолько значительно, что практически использо
вать этот режим колебаний вряд ли целесообразно.
(А1/2+А 1)УА1 ( а 2+ а 1) / а 1 (А3+А1)/А1
S 1/2/ S 1
5
4
3
2
1
0,2 О
а
0,1 0,2 0,3
е
Рис. 4. Зависимости относительного изменения доминирующей гармоники (а-в) и амплитуды
резонанса (г-д) от размеров повреждения при субгармоническом резонансе порядка 1/2 (а, г)
и супергармоническом резонансе порядка 2/1 (б, д) и 3/1 (в, е) в области малых трещин.
М инимальный размер повреждения, выявляемый обоими методами диа
гностики с учетом погрешности измерений, существенно зависит от уровня
демпфирования колебаний в системе. В табл. 5 приведены результаты рас
четов минимальных размеров трещины, которые определяли при 20%-ном
изменении доминирующей гармоники в спектре колебаний при субгармони
ческом резонансе порядка / т / р = 1/2 и супергармонических резонансах
порядка / т/ р = 2/1 и 3/1 и уровня демпфирования колебаний в системе на
два порядка. Анализ результатов расчетов показал, что супергармонический
резонанс второго порядка более чувствителен к наличию повреждения. Так,
при наименьшем исследованном уровне демпфирования колебаний в систе
ме (д а = 0,101%) чувствительность нелинейных искажений колебаний при
бa
г
82 ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2007, № 2
Сравнительный анализ нелинейных резонансов
супергармоническом резонансе второго порядка в 7,2 раза выше, чем при
субгармоническом резонансе, и в 90,0 раза выше, чем при супергармони
ческом резонансе третьего порядка. По мере увеличения уровня демпфи
рования в системе эта разница уменьшается, поскольку рост демпфирования
наиболее значительно снижает чувствительность супергармонического резо
нанса второго порядка. Например, с увеличением декремента колебаний
системы в 100 раз чувствительность супергармонического резонанса второго
порядка снижается в 96 раз, субгармонического резонанса порядка
f i l Р = 1/2 - в 32 раза, супергармонического резонанса третьего порядка - в
3,5 раза.
Т а б л и ц а 5
Минимальные размеры трещины, рассчитанные по изменению
доминирующей гармоники в спектре колебаний при субрезонансе порядка 1/2
и суперрезонансах порядка 2/1 и 3/1
<5«,% у 1/2 у 2/1 у 3/1 у1/2/у 2/1 у 3/1/ у 2/1
0,101 0,013 0,0018 0,162 7,22 90,00
0,503 0,033 0,0090 0,314 3,67 34,89
1,005 0,069 0,0183 0,384 3,77 20,98
2,011 0,120 0,0363 0,440 3,31 12,12
5,027 0,285 0,0895 0,503 3,18 5,62
10,053 0,420 0,1732 0,575 2,42 3,32
Важной практической характеристикой методов диагностики кроме
чувствительности к повреждению является степень изменения функции,
описывающей зависимость диагностического признака от размеров повреж
дения Б ( у ), при единичном приращении размеров повреждения:
д Б ( у )
к = * • <4)
Как видно из рис. 5, метод диагностики, основанный на изменении
доминирующей гармоники при субрезонансе порядка / т/ р = 1/2, наиболее
чувствителен к росту трещины. Главный недостаток этого метода - нечувст
вительность к наличию трещ ины до достижения последней определенных
размеров, которые прямо зависят от уровня демпфирования колебаний в
системе. Порог полной нечувствительности этого метода тем выше, чем
выше уровень демпфирования в системе. Из данных табл. 5 следует, что при
уровне демпфирования д а = 2,0% указанный метод нечувствителен к нали
чию малых трещин.
Не получил подтверждения вывод о том, что изменение доминирующей
гармоники при супергармоническом резонансе порядка / т/ р = 3/1 по срав
нению с таковым порядка / т / р = 2/1 проявляется более существенно при
изменении величины повреждения [16]. Из рис. 5 следует, что интенсив
ность изменения диагностического признака при супергармоническом резо-
ISSN 0556-171X. Проблемыг прочности, 2007, № 2 83
А. П. Бовсуновский
V
О 0,2 0,4 0,6 у
Рис. 5. Скорость изменения зависимостей доминирующих гармоник при субгармоническом
резонансе порядка 1/2 (1) и супергармоническом резонансе порядка 2/1 (2) и 3/1 (3) от
размеров повреждения при единичном его приращении (да = 0,5%).
нансе порядка / т/ р = 2/1 в диапазоне малых и средних трещ ин выше, чем
при супергармоническом резонансе порядка / т/ р = 3/1.
Заклю чение. Особенностью колебаний механической системы с несим
метричной кусочно-линейной характеристикой восстанавливающей силы
является наличие ряда нелинейных резонансов, амплитуды которых значи
тельно меньше амплитуды основного резонанса. Ш ирина АЧХ нечетных
супергармонических резонансов сопоставима с таковой основного резонан
са. Ш ирина амплитудно-частотной характеристики четных супергармоничес
ких резонансов значительно меньше таковой основного резонанса, в связи с
чем возбуждение точных супергармонических резонансов четных порядков
становится проблематичным.
Наиболее чувствительной характеристикой к наличию повреждений
средних и больших размеров является нелинейность колебаний системы при
субгармоническом резонансе, который в случае малых повреждений не
возникает. В то же время супергармонический резонанс второго порядка
наблюдается с момента зарождения трещины, и его интенсивность при
малом уровне демпфирования будет достаточно значительной для диагнос
тики малых трещин.
При учете 20%-ной погрешности измерения амплитуды доминирующей
гармоники в спектре колебаний чувствительность к наличию повреждения
супергармонического резонанса второго порядка на один-два порядка выше,
чем чувствительность субгармонического резонанса порядка / т/ р = 1/2 и
супергармонического резонанса третьего порядка. С увеличением уровня
демпфирования в системе на два порядка разница в чувствительности ука
занных нелинейных резонансов уменьш ается, однако чувствительность
супергармонического резонанса второго порядка остается выше, чем осталь
ных нелинейных резонансов.
84 Й'ОТ 0556-171Х. Проблемы прочности, 2007, N 2
Сравнительный анализ нелинейных резонансов
Р е з ю м е
Представлено результати числового порівняльного аналізу супергармоніч-
них резонансів порядку 2/1...5 /1 і субгармонічного резонансу порядку 1/2
механічної коливної системи з одним ступенем вільності з несиметричною
кусково-лінійною характеристикою відновлювальної сили при різних спів
відношеннях жорсткості системи на півциклах і в умовах суттєвої зміни
рівня демпфірування коливань у системі.
1. M a e za w a S. Superharmonic resonance in piecewise linear system with
unsymmetrical characteristics // Proc. o f the 5th Int. Conf. on Nonlinear
Oscillations. - Kiev, 1970. - P. 401 - 422.
2. К р ю к о в Б. И . Вынужденные колебания существенно нелинейных сис
тем. - М.: М ашиностроение, 1984. - 216 с.
3. М а т ве е в В. В . К анализу эффективности метода спектральной вибродиа
гностики усталостного повреждения элементов конструкций. Сообщ. 1.
Продольные колебания, аналитическое решение // Пробл. прочности. -
1997. - № 6. - С. 5 - 20.
4. B a llo I. N on-linear effects o f vibration o f a continuous transverse cracked
slender shaft // J. Sound Vibration. - 1998. - 217, No. 2. - P. 321 - 333.
5. П л а х т и е н к о H . П . К диагностике кусочно-постоянной жесткости при
нелинейных резонансах // Прикл. механика. - 1991. - 27, № 10. - С. 112
- 120.
6. П л а х т и е н к о Н . П., Я с и н с к и й С. А . О резонансе второго порядка при
колебаниях балки, содержащей поперечную трещ ину // Пробл. проч
ности. - 1995. - № 3. - С. 56 - 63.
7. М а т в е е в В. В . Приближенное аналитическое определение вибродиа-
гностических параметров нелинейности упругих тел, обусловленной
наличием закрывающейся трещины. Сообщ. 1. Существующие и пред
лагаемый методы решения // Там же. - 2004. - № 4. - С. 5 - 20.
8. М а т в е е в В. В . Приближенное аналитическое определение вибродиа-
гностических параметров нелинейности упругих тел, обусловленной
наличием закрывающейся трещины. Сообщ. 2. Определение диагности
ческих параметров при основном и супергармоническом резонансе 2-го
порядка // Там же. - № 5. - С. 5 - 22.
9. J i J . C. a n d H a n se n C. H . On the approximate solution o f a piecewise
nonlinear oscillator under super-harmonic resonance // J. Sound Vibration. -
2005. - 283, No. 1-2. - P. 467 - 474.
10. В у л ь ф с о н И . И ., К о л о в с к и й М . 3. Нелинейные задачи динамики машин.
- Л.: М ашиностроение, 1968. - 283 с.
11. B e re sn e v ic h V. I. a n d T sy fa n sky S. L . Characteristic properties o f sub
harmonic oscillations and their application in vibration engineering // J.
Sound Vibration. - 2005. - 280, No. 3-5. - P. 579 - 593.
12. K r a w c z u k M . C oupled longitudinal and bending forced v ibration o f
Tim oshenko cantilever beam with a closing crack // M echanika teoretyczna i
stosowana. - 1994. - 32, No. 2. - P. 463 - 482.
ISSN 0556-171X. Проблемыг прочности, 2007, № 2 85
А. П. Бовсуновский
13. Abraham O. N. L. and Brandon J. A. A piece wise linear approach for
m odelling o f a breathing crack // Proc. o f the 17th Int. Seminar on Modal
Analysis. - Leuven (Belgium), 1992. - 1 . - P . 4 1 7 - 4 3 1 .
14. Shen M.-H. H. and Chu Y. C. Vibrations o f beams w ith a fatigue crack //
Comp. Struct. - 1992. - 45, No. 1. - P. 79 - 93.
15. Ruotolo R., Surace C , Crespo P., and Storer D. Harmonic analysis o f the
vibrations o f a cantilevered beam with a closing crack // Ibid. - 1996. - 61,
No. 6. - P. 1057 - 1074.
16. Цыфанский С. Л., Бересневт В. И., Магоне М. А. Вибродиагностика
усталостных трещ ин в несущих поверхностях летательных аппаратов
на основе использования нелинейных эффектов // Дефектоскопия. -
1993. - № 2. - С. 87 - 94.
17. Цыфанский С. Л., Магоне М. А., Ожиганов В. М. Об использовании
нелинейных эффектов для обнаружения трещ ин в стержневых элемен
тах конструкций // Там же. - 1985. - № 3. - C. 77 - 82.
18. Цыфанский С. Л., Окс А. Б., Бересневт В. И , Магоне М. А. Исполь
зование особенностей нелинейных колебаний для диагностики повреж
дений в подкрепляющих элементах тонкостенных конструкций // Там
же. - 1989. - № 7. - С. 29 - 37.
19. Tsyfansky S. L. and Beresnevich V. I. Detection o f fatigue cracks in flexible
geometrically non-linear bars by vibration m onitoring // J. Sound Vibration.
- 1998. - 213, No. 1. - P. 159 - 168.
20. Tsyfansky S. L. and Beresnevich V. I. N on-linear vibration method for
detection o f fatigue cracks in aircraft w ings // Ibid. - 2000. - 236, No. 1. -
P. 49 - 60.
21. Pugno N., Ruotolo R., and Surace C. Analysis o f the harmonic vibrations of
a beam w ith a breathing crack // Proc. o f the 15th IMAC. - Tokyo, 1997. - P.
409 - 413.
22. Pugno N., Surace C., and Ruotolo R. Evaluation o f the non-linear dynamic
response to harmonic excitation o f a beam w ith several breathing cracks // J.
Sound Vibration. - 2000. - 235, No. 5. - P. 749 - 762.
23. Saavedra P. N. and Cuitino L. A. Crack detection and vibration behavior of
cracked beams // Comp. Struct. - 2001. - 79, No. 16. - P. 1451 - 1459.
24. Bovsunovsky A. P. The mechanisms o f energy dissipation in the non
propagating fatigue cracks in metallic materials // Eng. Fract. Mech. - 2004.
- 71, No. 16-17. - P. 2271 - 2281.
25. Прочность, устойчивость, колебания. Справочник в 3 т. Т. 3 / Под ред.
И. А. Биргера и Я. Г. Пановко. - М.: М ашиностроение, 1968. - 568 с.
26. Бовсуновский А. П. К вопросу об исследовании колебаний нелинейной
механической системы, моделирующей тело с трещиной // Пробл. проч
ности. - 2001. - № 4. - С. 97 - 111.
27. Крюков Б. И. Динамика вибрационных машин резонансного типа. -
Киев: Наук. думка, 1967. - 210 с.
28. Карасев В. А , Ройтман А. Б. Доводка эксплуатируемых машин. Вибро-
диагностические методы. - М.: М ашиностроение, 1986. - 192 с.
86 ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2007, № 2
Сравнительный анализ нелинейных резонансов
29. Р о й т м а н А . Б ., А ле к с а н д р о в а Н . Б ., Х р и с т е н к о Т. А . Вибрационная
диагностика “дыш ащих” трещ ин в изделиях // Техн. диагностика и
неразрушающий контроль. - 2000. - № 1. - С. 58 - 67.
30. Т и м о ш ен к о С. П ., Я н г Д . Х., У ивер У. Колебания в инженерном деле. -
М.: М ашиностроение, 1985. - 472 с.
31. Б о в с у н о в с к и й А . П . Численное исследование колебаний нелинейной
механической системы, моделирующей тело с трещ иной // Пробл. проч
ности. - 1999. - № 6. - С. 65 - 80.
Поступила 07. 09. 2005
ISSN 0556-171X. Проблемыг прочности, 2007, № 2 87
|