Расчет собственных и вынужденных колебаний трубопроводной системы. Сообщение 2. Динамическая жесткость гиба трубы
Сформулировано понятие динамического коэффициента податливости гиба трубы для использования в задачах расчета гармонических колебаний трубопроводов. На основе полубезмоментной теории Власова введены упрощающие гипотезы, позволяющие свести постановку задачи к решению дифференциального уравнения четве...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Проблемы прочности |
|---|---|
| Дата: | 2007 |
| Автори: | , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України
2007
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/48043 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Расчет собственных и вынужденных колебаний трубопроводной системы. Сообщение 2. Динамическая жесткость гиба трубы / И.В. Орыняк, С.А. Радченко, А.С. Батура // Проблемы прочности. — 2007. — № 2. — С. 52-71. — Бібліогр.: 20 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859472916465319936 |
|---|---|
| author | Орыняк, И.В. Радченко, С.А. Батура, А.С. |
| author_facet | Орыняк, И.В. Радченко, С.А. Батура, А.С. |
| citation_txt | Расчет собственных и вынужденных колебаний трубопроводной системы. Сообщение 2. Динамическая жесткость гиба трубы / И.В. Орыняк, С.А. Радченко, А.С. Батура // Проблемы прочности. — 2007. — № 2. — С. 52-71. — Бібліогр.: 20 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Проблемы прочности |
| description | Сформулировано понятие динамического коэффициента податливости гиба трубы для использования в задачах расчета гармонических колебаний трубопроводов. На основе полубезмоментной теории Власова введены упрощающие гипотезы, позволяющие свести постановку задачи к решению дифференциального уравнения четвертой степени. С помощью результатов динамического анализа торообразных оболочек разработана методика учета повышенной податливости гиба трубы при динамическом нагружении. Получено выражение для коэффициента увеличения податливости в зависимости как от геометрических параметров гиба, так и частоты колебаний. На большом количестве примеров проиллюстрирована эффективность полученного выражения для коэффициента увеличения податливости.
Сформульовано поняття динамічного коефіцієнта піддатливості згину труби для використання в задачах розрахунку гармонійних коливань трубопроводів. На основі напівбезмоментної теорії Власова застосовано спрощуючі гіпотези, що дозволяє звести постановку задачі до розв’язку диференціального рівняння четвертого ступеня. Із використанням результатів проведеного динамічного аналізу тороподібних оболонок розроблено методику врахування підвищеної піддатливості згину труби при динамічному навантаженні. Отримано вираз для коефіцієнта збільшення піддатливості в залежності як від геометричних параметрів згину, так і частоти коливань. На великій кількості прикладів проілюстровано ефективність отриманого виразу для коефіцієнта збільшення піддатливості.
We formulate the concept of a dynamic coefficient of pipe bend unit compliance, which can be used in problems of calculation of simple harmonic vibrations of pipelines. Based on the Vlasov semi-momentless theory, we introduce the simplifying hypotheses, which allow one to reduce the problem formulation to the solution of a differential equation of the fourth degree. Using the results of the dynamic analysis of toroidal shells, we developed the technique of taking into account of the increased compliance of pipe bend unit under dynamic loading conditions. The equations linking compliance increase coefficient with the pipe bend unit geometry parameters, as well as with the vibration frequency. The efficiency of obtained expression for compliance increase coefficient is illustrated by numerous examples.
|
| first_indexed | 2025-11-24T10:46:08Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 539.4
Расчет собственных и вынужденных колебаний трубопроводной
системы. Сообщение 2. Динамическая жесткость гиба трубы
И. В. О р ы н як , С. А. Р адченко , А. С. Б ату р а
Институт проблем прочности им. Г. С. Писаренко НАН Украины, Киев, Украина
Сформулировано понятие динамического коэффициента податливости гиба трубы для
использования в задачах расчета гармонических колебаний трубопроводов. На основе полу-
безмоментной теории Власова введены упрощающие гипотезы, позволяющие свести поста
новку задачи к решению дифференциального уравнения четвертой степени. С помощью
результатов динамического анализа торообразных оболочек разработана методика учета
повышенной податливости гиба трубы при динамическом нагружении. Получено выраже
ние для коэффициента увеличения податливости в зависимости как от геометрических
параметров гиба, так и частоты колебаний. На большом количестве примеров проиллюст
рирована эффективность полученного выражения для коэффициента увеличения подат
ливости.
К л ю ч е в ы е с л о в а : трубопровод, прямая труба, гиб трубы, цилиндрическая
оболочка, динамика, частота колебаний, коэффициент увеличения податли
вости.
Введение. При анализе деформирования трубопроводной системы одним
из основных физических уравнений является дифференциальное уравнение
связи угла поворота в с изгибающим моментом М . Для гиба трубы (как
криволинейного стержня) оно имеет следующий вид:
й в _ К М
й х _ ~ Е Т ’ (1)
где Е - модуль упругости; I - момент инерции сечения тонкостенной
трубы, I _ л Я Н; К - коэффициент увеличения податливости гиба по
сравнению с таковым в прямой трубе той же формы поперечного сечения;
х - осевая (продольная) координата; Я - радиус трубы; Н - толщина стенки.
Величина К связана с овализацией поперечного сечения [1, 2]. При дина
мических процессах овализация сечения, представляющего собой тонко
стенное кольцо, должна зависеть от локальных сил инерции в плоскости
сечения, поскольку деформирование кольца зависит от сил инерции, вызы
ваемых перемещениями точек в плоскости сечения. Это значит, что вели
чина К также зависит от скорости процесса нагружения, которое при
гармонических колебаниях характеризуется частотой т. Для динамического
коэффициента увеличения податливости гиба введем обозначение К д .
Метод и результаты решения [3] для криволинейных стержней как
составленных из прямолинейных, соединенных безынерционными поворот
ными элементами, позволяют конкретизировать задачу для гиба трубы. Запи
шем дифференциальное уравнение поперечных колебаний участка гиба тру
© И. В. ОРЫНЯК, С. А. РАДЧЕНКО, А. С. БАТУРА, 2007
52 0556-171Х. Проблемы прочности, 2007, № 2
Расчет собственных и вынужденных колебаний
бы как прямолинейного стержня с увеличенной податливостью в самой
простой постановке по Эйлеру:
й 4Ж д р Б ю 2
---- а— К д - ------ Ж = 0, (2)
й х 4 Е 1 ’ ( )
где Ж - поперечное перемещение осевой линии. Таким образом, задача
сводится к определению динамического коэффициента увеличения податли
вости гиба К д, используемого в уравнениях (2).
Очевидно, что коэффициент К д должен определяться теми же метода
ми, что и статический коэффициент К , но с учетом сил инерции. При
статическом нагружении значение К рассчитывают методами теории обо
лочек. В общем виде К является функцией многих геометрических и
силовых параметров и зависит от параметра гибкости Х = Я 2/В о к , кри
визны гиба а = Я В о , внутреннего давления Р , где В о - радиус оси гиба
трубы. При примыкании гиба трубы к другим конструктивным элементам,
что приводит к возникновению краевого эффекта, К также зависит от
текущего расстояния х от этого элемента [1, 2, 4-6]:
К = / \ ( X, а , Р , х ). (За)
Определение общей функции / 1 является сложной задачей даже для
статического анализа. При переходе к динамическому анализу следует огра
ничиться простейшими постановками. Самым важным параметром, влия
ющим на К , является параметр гибкости X. Поэтому ограничимся малыми
значениями а ( а ^ 0) и не будем учитывать проявление краевого эффекта и
давление Р:
К д = /2 (X , ю 2 ). (Зб)
Такое искомое решение, по сути, представляет собой аналог статической
задачи Кармана для гиба трубы при динамическом нагружении. Как и в
статической задаче, будем рассматривать гибы достаточной длины Ь, чтобы
не проявлялись краевые эффекты (в статике это требование имеет вид
Ь > ц Я ^ Я / 1 , где ц - некоторый коэффициент [6]).
Поэтому цель работы заключалась в получении из упрощенного рас
смотрения гиба трубы как оболочки значения коэффициента увеличения
податливости в форме (Зб) для использования его в уравнении для колеба
ний балки в форме (2).
Насколько нам известно, такая постановка задачи применяется впервые,
хотя в литературных источниках [7, 8] отмечается важность описания дина
мических свойств тороидальной оболочки для динамического анализа трубо
проводов.
Динамическое поведение круговых цилиндрических оболочек хорошо
изучено, и для многих задач частоты колебаний представлены в анали
ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2007, № 2 53
тической форме. Очень часто решение для частот колебаний определяется
путем представления его в виде произведения двух простых законов, выра
жаемых обычно гармоническими и экспоненциальными функциями, каждая
из которых зависит только от одной из двух координат и удовлетворяет
граничным условиям. К сожалению, для тороидальных оболочек в диффе
ренциальных уравнениях равновесия и в геометрических уравнениях функ
ции форм деформирования в окружном направлении связаны между собой,
что очень усложняет анализ. В [9] сделан вывод о невозможности получения
аналитического решения в замкнутом виде. Более того, очень сложно найти
соответствие между формами колебаний одинаково закрепленных цилиндри
ческой и тороидальной оболочек равной длины, даже если параметр кри
визны последней а стремится к нулю [9]. Поэтому, несмотря на большое
количество методов решения, полученные с их помощью результаты [7-12]
носят частный характер, а сама процедура решения заключается в приме
нении численных методов, даже если постановка проблемы дана в анали
тическом виде. Интегральные свойства сечений стержня в таких решениях не
экстрагируются.
В реальных трубопроводных системах длина свободных участков обыч
но намного больше диаметра труб. Для низших частот свободных колебаний
трубопроводов длина волны собственной формы колебаний в продольном
направлении значительно больше длины волны в окружном направлении,
ограниченной длиной полуокружности. Это позволяет при анализе оболо-
чечных форм колебаний использовать полубезмоментную теорию Власова и
существенно упростить вычисления. В этом и состоит отличие настоящей
работы от многих исследований, где часто рассматриваются тороидальные
оболочки, длина которых сопоставима с радиусом, и где преобладают оболо-
чечные формы колебаний.
1. О сновны е соотнош ения д ля торообразной оболочки. Все обозна
чения, направления, обоснования принимаемых упрощений и гипотез совпа
дают с принятыми в статическом анализе [1]. Поэтому постановочные
уравнения приводим в сокращенном виде. Уравнения равновесия торообраз
ной оболочки при а ^ 0 имеют вид
И. В. Орыняк, С. А. Радченко, А. С. Батура
(4а)
1 _ Q
R d p R
(46)
(4в)
(4г)
54 ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2007, № 2
Расчет собственных и вынужденных колебаний
1 д М д М -
Q - + - — ^ - + — = о,
R д р д - (4Д)
где Шф, Шх, Q у , Q x - внутренние продольные и поперечные силы в
соответствующих направлениях; М ^ , М х - внутренние изгибающие мо
менты; Ь, М ф Х - касательные сила и момент соответственно; и, V, ^ -
продольное, тангенциальное и радиальное перемещения срединной поверх
ности; ф - угловая координата по сечению трубы. Для гиба х = В £ , где £ -
угловая координата поперечного сечения гиба.
Геометрические уравнения, связывающие перемещения точек средин
ной поверхности и деформации, имеют вид
ди V cos р + w sin р
£ ъ = \-------------------------
ъ д - B о
1 ду w
£ р ~ R д р + R ’
(5à)
(56)
Хъ
д 2 w
д -
1 д 2 w
R 2 д р 2 R
w
Т
(6à)
(66)
1 ди ду
Уъ<р = R д р + д - ’ (5в) Хър
2 ду 2 д w
R д - R д - д р ’
(6в)
где ££, £ф , У'Ёф - деформации срединной поверхности; , % ф , %£ф -
кривизны в соответствующих направлениях.
Внутренние силы и моменты связаны с деформациями следующим обра
зом:
(7а)N р = Н ( £ р + /л£ ъ );
N - = Н ( £ ъ + № р );
H
L = — (1 ~ ц )y ^p ;
где H =
2
E h
М р = H ô ( Х р + № ъ ); (8à)
(76) М - = H ô ( Х ъ + Х р ); (86)
Hô(1 —^ )
(7в) М р - = ------ 2------ Хър > (8в)
h 2
2 ; ~ ^ - модуль Ю нга; ц - коэффициент Пуассона.
1 - ц 2 12
Опыт расчета тороидальной оболочки при статическом нагружении, в
том числе с учетом краевого эффекта [4-6], показал, что для оболочечных
компонент можно применить такие упрощающие гипотезы полубезмомент-
ной теории Власова:
У ёф = 0; £ ф = o, (9а)
из которых следуют условия связи оболочечных компонент перемещений:
дvди ду
— = - R — ;
д р д -
w = — ■
д р
(96)
ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2007, № 2 55
И. В. Орыняк, С. А. Радченко, А. С. Батура
При проведении динамического анализа также будем применять гипо
тезы (9), которые накладывают ограничение не только на длину волны, но и
на рассматриваемые формы колебаний. Из теории Власова следует еще одно
условие, которое позволяет упростить исходные уравнения. Рассматрива
ются только такие моды оболочечных колебаний, длина волны деформи
рования которых в осевом направлении значительно меньше таковой в
окружном:
< <
2д V
д р ‘
(10)
В этом случае в уравнениях равновесия можно пренебречь величинами Q x ,
М х , М р . Запишем выражения для остальных силовых компонент в уравне
ниях (4).
В соответствии с гипотезами (9) и геометрическими уравнениями (6) из
уравнения равновесия (4г) получим следующее выражение для поперечной
силы Q р :
И д
Q р ~ ~ п 3 - - 4 + - 2 . (11)
я 3
2д V
д р 4 д р
Осевая сила Ы х выражается через тангенциальные перемещения V. Полагая,
что окружная сила Ы р ^ 0, из выражений (7) с учетом (5) и (9) имеем
др
= -Е Н Я
д в д V 8Ш р
----- С08 р + ---- -г + -----
дх дх Я В о
I
V +
д 2 V
\ \
д р
(12)
П
где в - угол поворота всего сечения как целого [1].
Дифференцируя уравнение (4в) один раз по угловой координате р ,
получаем выражение для касательного усилия Ь, которое с учетом урав
нения для Ы х (12) записывается так:
д 2 Ь
д р 2
= Е Н Я ‘
! 1 зд V 8Ш р
— :т +
д х 3 Я В
д 3 Vдv
----- + 2
дх д р дх
\\
р Н Я ‘
ПП
д 3 V
д t 2дх
(13)
Отметим, что гипотезы (9) могут использоваться, если исключить величины
N р и Ь из уравнений равновесия. Для этого уравнение (4а) дифферен
цируем один раз по угловой координате р и вычитаем его из (4б). Про
дифференцировав два раза полученное уравнение по координате р и под
ставив в него выражение для касательного усилия Ь (4в), с учетом а ^ 0 и
условия (10) запишем следующее уравнение:
д р 4
+
2
д 1Q<
д р
+ Я -
д 3 N д 2 ^2Ы х соз р + яп р дЫ ^
д р д х д р ' В 0 В 0 др
+
56 0556-171Х. Проблемы прочности, 2007, № 2
Расчет собственных и вынужденных колебаний
+ P h 2
d t
д V д4 '' д V
д р д р
= 0. (14)
Применение гипотез (9) позволило выразить все функции в (14) только
через одну неизвестную величину - тангенциальное перемещение V. На
примере цилиндрической оболочки покажем, что при анализе собственных
частот применение гипотез (9) и (10) является обоснованным.
2. Д и н ам ический ан али з прям ой трубы . Для прямой трубы в поста
новочных уравнениях необходимо положить В о = “ . Тогда уравнение (14)
записываем так:
Л 8д V
дер8
■ + 2- +
4д V
д р д р
+
R 6 д 4 v 1 2 ( 1 - ^ R р д _
h 2 дх 4 E h 2 д t7
+ 12(1 — л 2 )
д 2 V
д р 2 д р
= 0. (15)
Поскольку цилиндрическая оболочка замкнута в окружном направле
нии, тангенциальные перемещения V с использованием условия периодич
ности по координате р удобно представить в следующем виде:
V(х , р , t ) = V n (х ) sin п р sin (ü t, (16)
где ¥ п (х ) - неизвестные функции от осевой координаты х; п - числа нату
рального ряда, характеризующие деформирование в окружном направлении.
Подставляя в уравнение (15) разложение (16), получаем дифференци
альное уравнение четвертого порядка по переменной х для определения
неизвестных функций ¥ п (х ):
V IV —n
п 4( п 2
12(1— л 2 ) R 6
Vn = 0. (17)
Структура полученного уравнения подобна таковой дифференциаль
ного уравнения движения для балки (2). Заметим, что данное уравнение
применимо только для оболочек средней и большой длины, для которых
выполняется условие (10). Отметим также, что для волны очень большой
длины в продольном направлении значение Гп1У становится пренебрежимо
малым, в результате получаем известные уравнения частот для кольца (см.,
например, [13]).
Решение такого уравнения может быть также получено для общего
случая (для разных типов закрепления) и записано аналогично выражениям
для балки (3) [3] через функции Крылова. Четыре неизвестные постоянные в
реш ении уравнения (17) могут быть выражены через начальные значения
четырех параметров, в качестве которых, как и при статическом нагружении,
ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2007, № 2 57
И. В. Орыняк, С. А. Радченко, А. С. Батура
выбираем тангенциальное V и продольное и перемещения, осевое Ы х и
касательное Ь усилия. Уравнения для этих параметров имеют следующий
вид:
V» = v X + ( - 1 ) » ^ ^ + ( - 1 ) » nN xn ¥ 3 ’П
2 гО
R k» E h R k l E h R 2 k»
L» ¥ 4 ,»
2 - Т ! (18a)
u n u n ¥ 1,n + E h R k n + ( - 1 ) » E h R k 2IV f .
( - 1 ) n+1 M ^ , » ; (186)
N xn = N X n ¥ 1)n + ( - 1 ) n
R k r
k l E h R v n
¥ з,» + k nE h u n ¥ 4,n ;
(18b)
n k » E h R 2 n » » » E h R n » . n
L n — L°n¥1» - - ^ - v ° ¥ 2» - ( - 1 ) » ^ -------и » ¥ з » - ( - 1 Г — NX»¥4„
’ » 2 ’ n ’ n ’
V » k »R гО
(18r)
где
2 4 / 2 - 1 4 2 / 2
, 4 P® 2 , 2 , ^ » ( » - 1 ) h
k„ — w » ( » + 1)---------------- 0 T
» E R 2 12(1 - л 2 ) R 6
(19)
индекс “0” указывает на принадлежность к началу рассматриваемого участ
ка.
Функции Крылова записываются следующим образом:
1 1
¥ 1 — 2 (cos k » x + ch k » x ); ¥ 2 — 2 (sin k » x + sh k » x );
1 1 (Ю)
¥ 3 — 2 (c h k » x - co sk » x ); ¥ 4 — 2 (sh k » x - s in k » x ).
Из (19) несложно получить выражение для собственных частот колеба
ний цилиндрической оболочки длины 5 в общем виде
E
p R 2( n 2 +1)
( ̂ m )4 , » 2( » 2 - 1)2 h 2+
n 2 12(1 - л 2 ) R 2 (21)
где Ят _ —А; число А определяется из условия равенства нулю определи
теля системы уравнений (18), записанной с учетом граничных условий, и
соответствует решениям для прямой балки (см., например, [14]).
58 ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2007, № 2
n
Расчет собственных и вынужденных колебаний
Рассмотрим два случая колебаний цилиндрической оболочки.
2.1. С о б ст вен н ы е к о леб а н и я ц и ли н д р и ч еск о й о б о ло ч к и с ш а р н и р н о о п е р
т ы м и кр а ям и . В этом случае граничные условия записываем как V = Ы х = 0,
число А = т л , т = 0, 1, 2, ... [14]. Полученное выражение для частот (21)
представляет интерес, поскольку соответствует предельным случаям, а
именно: при п = 1 и т > 1 выражение (21) переходит в выражение для
частоты колебаний шарнирно закрепленной полой прямой балки [13]:
2 _2
(о= „ 2 (22)
5 2
при т = 0 и п > 2 выражение (21) преобразуется в (17а) в [3] для частоты
колебаний кругового кольца при плоской деформации.
Для других значений п и т сопоставим приведенное выше выражение
для собственных частот с представленными в литературных источниках.
Выражение для собственных частот, близкое к (21), получено в [15] на
основе принципа минимума потенциальной энергии системы, а также с
использованием гипотезы (9б). Классическим решением для собственных
частот, полученным на основе точных постановок (рассматривается реш е
ние дифференциального уравнения 8-го порядка), является следующее выра
жение [16, 17]:
E
(Х2т + n 2 ) 2 12(1— л 2 ) R 22 \ 2 + ■( ̂ m + n 2)2 h
(23)
4
2 т
Формула (23) подтверждается многочисленными экспериментальными
данными, ее решение для предельных случаев кольца и балки дает значения
частот, которые близки к теоретическим, но не совпадают с ними. При
выполнении условия (10), которое для этого случая запишем как
п 2 < < Я 2т , (24)
результаты, полученные по выражениям (21) и (23) для тонкостенных
цилиндров, практически одинаковые.
2.2. С о б ст вен н ы е к о леб а н и я ц и ли н д р и ч еск о й о б о ло ч к и со сво б о д н ы м и
кр а ям и . В этом случае граничные условия запишем как Ы х = Ь = 0, число
А = 0; 4,73; 7,8532; 10,996; —(2 т + 1) [1 4 ]. Сопоставим рассчитанные по
формуле (21) значения собственных частот с данными [7] (рис. 1). В [7]
приведены как экспериментальные данные, так и результаты численного
определения собственных частот для прямой трубы с такими параметрами:
Е = 2,07 • 105 МПа; ^ = 0,3; р = 7850 кг/м 3; 5 = 1,118 м; R = 0,0806 м; Н =
= 0,00711 м. При этом выполнена градация собственных частот в зависи
мости от мод колебаний, определяемых числами т и п. Как видно из рис. 1,
ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2007, № 2 59
И. В. Орыняк, С. А. Радченко, А. С. Батура
результаты расчета собственных частот по формуле (21) хорошо согласуют
ся с численными и экспериментальными данными [7].
Для рассматриваемой оболочки рассчитывали также первую собствен
ную частоту с помощью программы “ЭБ PipeM aster” [3, 18], предназначен
ной для анализа трубопроводов как стержневой системы. Этой частоте соот
ветствует мода колебаний 1,1. В зависимости от уравнений движения стерж
ня реализованы две версии программы: в постановке балки Эйлера и в поста
новке балки Тимошенко. В постановке Эйлера значение Ю ц = 834,6 Гц и
совпадает со значением, полученным по (21). В более точной постановке
Тимошенко значение Ю ц = 749,3 Гц, что практически соответствует экспе
риментальному результату (рис. 1).
1600
^ 1400
го 1200
го 1000
&
3 " 800
800
0,2 1,1 1,2 2,2 3,2
Мода колебаний т , п
Рис. 1. Собственные частоты колебаний цилиндрической оболочки со свободными краями:
■ - данные эксперимента; О - данные по БЕЛ [7]; А - по формуле (21).
Значения собственных частот, рассчитанные по выражению (21) для
разных п и т, достаточно хорошо совпадают с численными и экспери
ментальными результатами, приведенными в литературных источниках. Это
свидетельствует о корректности применения гипотез (9) и (10) для анализа
частот колебаний цилиндрической оболочки. Будем использовать их и при
анализе торообразной оболочки.
3. Д ин ам и ч ески й ан ал и з торообразной оболочки. Заметим, что рас
сматривается динамическое деформирование оболочки, аналогичное тако
вому в задаче Кармана (Сен-Венана), когда краевыми условиями сопряж е
ния гиба с другими конструктивными элементами трубопроводной системы
можно пренебречь. Для изгибающего момента в сечении, как и ранее [1],
запишем соотношение
М = к о (х ) о л Я 2 г, (25)
где о - единичное напряжение; к а - безразмерный коэффициент, харак
теризующий величину внешнего нагружения. Решение задачи для пере
мещений точек деформирования оболочки будем искать в виде
60 ISSN 0556-171X. Проблемыг прочности, 2007, № 2
Расчет собственных и вынужденных колебаний
у ( х , ф , г) = Q R [V2(х , ю ^ т 2 ф + V 3(х , ю )ео 8 3 ^ + . . . ] э т ю г , (26)
о В 0
где коэффициент ^ = е я введен для удобства; V n - искомые функции.
Тогда выражение для динамического коэффициента увеличения подат
ливости гиба К д согласно (12) и (26) при а ^ 0 представим так:
K д(х , ю) = 1 -
3
V 2 (X, ю). (27)
Неизвестную функцию V 2 (х , w) определяем с помощью уравнения (14)
для тора. При этом используем гипотезы (9) и (10), обоснованность приме
нения которых была проиллюстрирована в статическом анализе [6], а также
выше в динамическом анализе прямой трубы.
Подставив в уравнение (17) разложение (26) для перемещений v с
учетом (11)-(13) и сравнив коэффициенты при одинаковых тригонометри
ческих членах, т.е. sin np и cos np, n = 2 ,3 , ..., получим взаимосвязанные
дифференциальные уравнения четвертого порядка по переменной x для
определения неизвестных функций V n (x ) при колебаниях в плоскости кри
визны тора. В общем виде эти уравнения запишем так:
a 1,nV n + a 2,nV n-2 + a 3,nV n+2 + a 4,nVn-1 + a 5,nV n+1 + a V П = f n , (28a)
где
a 1,n = a 1,n- n 2( n 2 + 1)B ;
___ J144+ 12A , n = 2;
a1,n I n 4( n 2 — 1)2 + 6An2( n 2 + 1), n > 3;
a 2 ,n = 3 A n ( 3 — n )(1+ n );
R
a 4,n a 4,n (1 ) ̂ R
a 3 ,n = 3A n (3 + n )(1— n );
R
h a 5,n a 5,n (1 ^ ) ̂ R h
a 4,n = 12(-1)
n+1 n + n n 3 + n 2 + n
n - 1
A = R 4( 1 - ^ 2 )
= ( 1 - ^ 2 ) я2 ;
B 2 h 2
a 5,n = 1 2 (-1 ^ n + 1
J f 2 = - 72Ak a ( х ), n = 2;
\ f 'n = ^ n ^ 3;
R 2
a = 12(1 - и 2 ) —; r R 4; B = h 2
1 2 (1 -и 2 ) p R 4 ю 2
h 2 E
(286)
Уравнения (28) по структуре близки к уравнениям, получаемым при
реш ении задачи с учетом краевого эффекта [4-6], за исключением того, что
в данном случае отыскиваем частное, а не общее решение. В статике
частное решение было достаточно простым, поскольку коэффициент f 2 =
= const. В динамическом анализе f 2 зависит от х.
ISSN 0556-171X. Проблемыг прочности, 2007, № 2 61
И. В. Орыняк, С. А. Радченко, А. С. Батура
Рассмотрим решение системы из четырех уравнений, т.е. до п < 5:
а 1,2 У 2 + а 3,2У4 + а 5,2У3 '+ а У 21У = -7 2 А к а (х); (29а)
а 1,3У3 + а 3,3У 5 + а 4,3У2 '+ а 5,3У4 '+ а У ¥ = °; (29б)
а ^ У 4 + а 2 ,4 У2 + а 4 4 У3 + а 5 ,4У 5 + a V 4 = 0; (29в)
a 1,5V 5 + а 2,5У3 + а 4,5У4 '+ а У 51У = 0 (29г)
Получение решения системы (29) в аналитической форме весьма за
труднительно. Чтобы упростить его, сделаем несколько допущений, позво
ляющих пренебречь подчеркнутыми компонентами в (29).
Первое допущение, которое вполне согласуется с принятой методо
логией решения, необходимо для получения замкнутого решения. Полагаем,
как и в задаче Кармана, что все локальные оболочечные перемещения, а
именно: У2 , У3 , У4 , ... пропорциональны глобальному (балочному) изгиба
ющему моменту, т.е. У ~ к а (х ). Поскольку в стержне все компоненты, в том
числе и момент, удовлетворяют уравнению (2 ), ему удовлетворяют и оболо
чечные компоненты. В связи с этим можно провести следующую замену,
позволяющую значительно упростить решение:
_1у = р Г К д( X, о 2 ) о 2
Е 1 ,Уп = - ------- ,,, Уп. (30)
Следующее допущение сделано относительно пренебрежения слагае
мых, содержащих коэффициент В (о ), в уравнениях (29) при п > 3. Напри
мер, сравнение компонент а 1 3 У3 и а У 31У в (29б) с учетом (30) показало,
что этими членами можно пренебречь, если выполняется условие
5 7 ,6 + 6А -
В < < ---------- 1— = [В], (3 1 )
1 + К д/45 [ (31)
где [В ] - некоторая предельная величина. Это условие является достаточ
ным также для уравнений (29в) и (29г), так как согласно (28б) коэффици
енты а и +1 > > а м .
Примем, что допустимое значение безразмерной частоты [В], обеспе
чивающее корректность решения, равно половине величины [В ], опреде
ляемой из (31):
2 8 ,8 + 3А
[В ] = Г + К ^ ■ (32)
62 ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2007, № 2
Расчет собственных и вынужденных колебаний
Таким образом, если выполняется условие, что В < [В ],то в уравнениях (29)
при п > 3 можно пренебречь компонентами с четвертой производной, а
выражение для коэффициента а п примет следующий вид:
| а 1п = а 1п — п 2( п 2 + 1)В; а 1п = 144 + 12А, п = 2;
1«! п = а 1 п; а 1 п = п 4 ( п 2 — 1) 2 + 6 А п 2 ( п 2 + 1), п > 3. (33)
С учетом сделанных допущений можно показать, что в ходе решения
допускается пренебрежение остальными подчеркнутыми членами, а система
(29) сводится к линейному уравнению относительно одной неизвестной
функции V 2 '-
V _ —И А к а (х )
2 ^ — £ ( 2 0 — К дБ 2 ) , (34)
где
F = «і 2 _ а
а 2,4 4800+ 536A + 3 A 2
*3, 2
а 1, 4 8(600+ 17A)
/
F2 = 2-
A
а 5,2 а 3,2
а 4 4
/ (35)
а 4,3 а 5,3
*2,4
‘1,4
■ = 2-
а 1,3 а 3,3
*2,5
‘1,5
A (5600+ 137A)2
8(600+ 17A)2(48 + 5A) '6
Подставив выражение для V 2 (34) в (27), получим квадратное уравне
ние относительно динамического коэффициента увеличения податливости
К д . Решение этого уравнения имеет следующий вид:
д = В(20 + Б 2 ) — ^ + У ( ^ — В(20 — Б 2 ) ) 2 + 432А^2В
2 ^ В ■ 1 ^
Заметим, что в предельном случае при В = 0 выражение (34) дает
статическое значение V 2 , а выражение (36) переходит в формулу Кармана
для К л (коэффициент увеличения податливости, полученный из решения
задачи Сен-Венана) во втором приближении:
л 4800+ 4136.4 + 1054 2
К л = ---------------------------- . (37)
4800+ 5364 + 34 2
В качестве примера на рис. 2 приведены зависимости К д, рассчитан
ные по формуле (36), от безразмерной частоты В для разных значений А.
Графики построены до значений В < [В], определяемых выражением (32). С
повышением частоты наблюдается увеличение коэффициента К д .
ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2007, № 2 63
И. В. Орыгняк, С. А. Радченко, А. С. Батура
к д
a
K д
Рис. 2. Зависимости динамического коэффициента увеличения податливости К д от без
размерной частоты В: 1 - А = 1; 2 - А = 3; 3 - А = 6; 4 - А = 10; 5 - А = 15; 6 - А = 20; 7 -
А = 30; 8 - А = 50.
Сопоставим значения собственных частот торообразной оболочки, полу
ченные по предлагаемому методу с учетом динамического коэффициента
увеличения податливости, с результатами, приведенными в литературных
источниках.
4. П р и м ер ы р асчета собственны х ч астот торообразной оболочки.
П р и м е р 1. Гиб с прямыми трубами на концах [7]. В [7] приведены
данные экспериментов и численного определения собственных частот коле
баний для гиба трубы, сопряженного с прямыми трубами на концах. Анализ
колебаний выполнен как в плоскости гиба (обозначим я), так и из плоскости
(обозначим а). Исходные параметры таковы: длина центральной линии всей
конструкции 5 = 1,118 м; длина каждой прямой трубы 0,2 м; радиус гиба
В 0 = 0,457 м; угол гиба в = 90°; средний радиус сечения трубы Я = 0,0806 м;
толщина стенки трубы Н = 0,00711 м; модуль Ю нга Е = 2 ,0 7 -105 МПа;
коэффициент Пуассона /л = 0,3; плотность р = 7850 кг/м . Граничные усло
вия - свободные края. В этом примере Х = 2.
64 ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2007, № 2
Расчет собственных и вынужденных колебаний
Результаты расчета собственных частот, полученные с применением
разработанной программы “ЭБ PipeM aster” и путем решения системы (29),
представлены в табл. 1. Там же приведены данные экспериментов и числен
ные результаты [7]. Для большей наглядности эти результаты представлены
также на рис. Э. Для иллюстрации влияния коэффициента увеличения подат
ливости К на значение собственных частот был выполнен расчет с помо
щью программы “ЭБ PipeM aster” для трех значений К :
1) гиб трубы не овализируется, и К = 1. Такая модель дает слишком
завышенные значения собственных частот;
2) К не зависит от частоты колебаний и соответствует значению, опре
деленному по Сен-Венану, К л = 3,13. Такая модель также приводит к неточ
ному (завышенному) определению собственных частот;
3) К = К д определяется по предложенной методике. Результаты рас
чета собственных частот по этой методике хорошо согласуются с экспери
ментальными данными [7].
Т а б л и ц а 1
Собственные частоты т (Гц) колебаний гнба с прямыми трубами
Мода Данные [7] Полученные результаты при В
колебаний [7]
К = 1 СЛСОIIГ
К К д [ В ]
К,2« 325
366
637 377 358,0 (3,49) 0,05
К,2а 545
538
1005 601 532,0 (4,04) 0,11
1,2« 742
714
1592 1034 791,0 (5,72) 0,24
1,2а 742
714
1203 952 767,0 (5,52) 0,25
2,2а 879
879
- - 822,5 -
2,2« 881
908
- - 822,5 -
3,2« 1258
1367
2669 1980 1248,0 (9,47) 0,65
3,2а 1309
1384
1854 1507 1244,0 (9,50) 0,64
1,1« 1453
1436
- - 1454,0 -
1,1а 1550
1533
2671 1969 1419,0 (10,45) 0,85
Примечания. 1. Над чертой приведены данные экспериментов, под чертой - полученные
расчетами по МКЭ. 2. Здесь и в табл. 2, 3 в скобках указаны соответствующие значения К д,
при которых были получены собственные частоты.
ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2007, № 2 65
И. В. Орыняк, С. А. Радченко, А. С. Батура
1600
1400
1200
в 1000ЮФ
12 воо
оного
Т 600
1
\
2 ----
♦ ^
- - -О
;
Л
/А -
яг*
/
&
К25 И,2а 1,2б 1,2 а 2,2а 2,25 3,25
Мода колебаний т, п
3.2а 1.15 1,1а
Рис. 3. Собственные частоты колебаний гиба с прямыми трубами: 1 - данные эксперимента
[7]; 2 - данные по БЕЛ [7]; 3 - результаты, полученные при К д.
В отличие от прямой трубы, в гибе моды колебаний взаимосвязаны
между собой. Поэтому интерпретация полученных экспериментально или
численно частот и мод колебаний неоднозначна. Поскольку предложенный
метод анализа не позволяет провести градацию полученных собственных
частот в зависимости от мод колебаний, определяемых числами т и п в [7],
сопоставление результатов проводили по значениям частот. Определенные с
помощью программы “3 Б PipeM aster” значения частот совпадают с тако
выми для следующих мод в [7]: Я,2а; 1,2^; 1,2а; 3,2^; 3,2а; 1,1^; 1,1а
(рис. 3). Как было показано выше на примере цилиндрической оболочки,
первая частота, которая может быть рассчитана с помощью программы “3Б
PipeM aster”, соответствует моде 1,1. То, что авторы работы [7] связывают ее
с рэлеевской частотой, т.е. т = 0, п = 2, может быть связано с овализацией
гиба.
Частоты, соответствующие согласно [7] модам 2,2а; 2 ,2з, на наш взгляд,
отвечают колебаниям тора при отсутствии изгибающего момента, т.е. коэф
фициент к а в (25) равен нулю. Эти частоты не могут быть определены с
помощью разработанного комплекса, предназначенного для расчета балоч
ных форм колебаний. М ежду тем такие частоты колебаний легко опреде
ляются путем решения системы (29), в которой необходимо принять, что все
производные по осевой координате и коэффициент / 2 равны нулю.
Кроме того, полагаем, что частота, соответствующая по [7] моде 1,1^,
отвечает колебаниям тора при условии d Q /d x = 0. Такая частота опреде
ляется при реш ении системы (29) с учетом того, что все производные по
осевой координате равны нулю, а коэффициент / 2 = — 108АГ2 , что следует
из уравнения для прироста угла поворота [1].
66 ISSN 0556-171Х. Проблемыг прочности, 2007, № 2
Расчет собственных и вынужденных колебаний
В табл. 1 также приведено отношение безразмерной частоты В к ее
допустимому значению [В], рассчитанному по (32). Для всех рассматри
ваемых случаев выполняется условие В < [В ].
П р и м е р 2. Собственные колебания гиба трубы. В [19] представлены
данные экспериментов и численного определения собственных частот коле
баний для гиба трубы с одним свободным концом и жесткой заделкой на
другом. Приведены значения первых пяти частот при колебаниях в плос
кости гиба. Исходные параметры следующие: радиус гиба В 0 = 0,2 м; угол
гиба 0 = 90°; средний радиус сечения трубы Я = 0,05 м; толщина стенки
трубы Н = 0,002 м; модуль Ю нга Е = 2 - 10 5 МПа; коэффициент Пуассона
Л = 0,3; плотность р = 7850 кг/м 3 . В этом примере Я = 6,25.
Результаты расчета собственных частот с применением разработанной
программы “3Б PipeM aster” и путем решения системы (29) представлены в
табл. 2 и на рис. 4. Там же приведены данные экспериментов и численные
результаты [19]. Аналогично первому примеру был выполнен расчет для
трех значений К . В результате расчетов при К = 1 и К = К л = 10,3 полу
ченные значения собственных частот сильно завышены. Собственные часто
ты, определенные при К = К д, хорошо согласуются с экспериментальными
результатами [19] вплоть до значений В < [В ]. При В > [В ] значения К д по
предложенному методу занижены и, следовательно, завышены значения
собственной частоты (мода колебаний 5 в табл. 2). Как и в первом примере,
одна из частот соответствует колебанию тора при отсутствии изгибающего
момента (мода колебаний 2 в табл. 2 ).
Т а б л и ц а 2
Собственные частоты т (Гц) колебаний гиба
Мода Данные [19] Полученные результаты при B
колебаний [19] K = 1 3
СОIIП
K K д [ B ]
1 334
546
942 318 305 (11,2) 0,02
2 637
854
- - 882 -
3 1066
1605
2730 1329 939 (22,2) 0,26
4 1700
1807
5251 3269 1885 (37,1) 1,26
5 1778
2156
7707 5113 3105 (41,5) 3,62
Примечание. Над чертой приведены данные экспериментов, под чертой - полученные
расчетами по МКЭ.
П р и м е р 3. Собственные колебания гиба трубы с двумя разными прямыми
трубами на концах. В работе [20] приведены данные экспериментов и резуль
таты расчета (табл. 3) первых трех собственных частот трубной конструкции
при колебаниях ее в плоскости (обозначим я) и из плоскости (обозначим а).
ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2007, № 2 67
И. В. Орыняк, С. А. Радченко, А. С. Батура
Т а б л и ц а 3
Собственные частоты т (Гц) трубной конструкции
Мода
колебаний
[20]
Экспе
римент
[20]
Балочная модель Оболочечная модель В
[ В ]по дан
ным [20]
наши
результаты
по дан
ным [20]
,3
тіIIГ
К д
Ь 81,8 104,4 105,3 84,2 82,7 82,6 (5,31) 2,5-10“5
2а 263,3 269,9 270,6 263,8 270,1 270,1 (5,31) 2,6 • 10_4
3з 270,8 302,8 305,8 275,6 278,7 278,5 (5,31) 2,8 • 10_4
4а 611,4 640,7 634,5 611,3 627,5 627,4 (5,33) 1,4 -10_3
5з 635,8 655,9 663,0 633,3 644,5 644,4 (5,33) 1,5 -10_3
6а 798,0 883,5 856,5 805,2 846,1 846,1 (5,35) 2,6 -10_3
400-----------------------------------------------------------------------------------------------------
200- 1--------- ----------------------------------------,
1 2 3 4 5
Мода колебаний
Рис. 4. Собственные частоты колебаний гиба: 1 - данные эксперимента [19]; 2 - данные по
БЕЛ [19]; 3 - результаты, полученные при К д.
Конструкция состоит из гиба трубы и присоединенных к нему прямых труб
разной длины. Геометрические размеры конструкции таковы: длины прямых
труб составляют 0,5 и 0,3 м; радиус гиба В 0 = 0,025 м; угол гиба в = 90°;
внешний диаметр трубы В = 0,0191 м; толщина стенки трубы И = 0,001 м.
М атериал - медь с параметрами: модуль Ю нга Е = 1 ,37-105 МПа; коэффи
циент Пуассона л = 0,32; плотность р = 8930 кг/м . Граничные условия -
свободные края. В этом примере X = 3,3.
В [20] выполнен расчет собственных частот по балочной (К = 1) и
оболочечной моделям. Как и в предыдущ их примерах, расчеты проводили
с помощью программы “3Б PipeM aster” для трех значений К : К = 1;
68 1&$М 0556-171Х. Проблемы прочности, 2007, № 2
Расчет собственных и вынужденных колебаний
К = К л = 5,3; К = К д . Полученные по балочной модели значения собствен
ных частот, как и в предыдущих примерах, были больше эксперименталь
ных данных и совпадали с аналогичными данными работы [20]. Результаты
расчета при К л и К д близки между собой и хорошо согласуются с
данными эксперимента. Это связано с тем, что величина В в данном случае
очень мала и не оказывает существенного влияния на значение К д .
Заклю чение. П остроена аналитическая математическая модель дина
мического поведения цилиндрических и торообразных оболочек с использо
ванием упрощающих гипотез Власова для оболочечных перемещений и
проведен ее анализ. Для цилиндрических оболочек средней и большой
длины получено выражение собственных частот колебаний, подтвержденное
экспериментальными данными. Преимущество полученного выражения перед
приведенными в литературных источниках заключается в том, что оно
соответствует предельным случаям колебания цилиндра как кольца и балки
Эйлера.
Для торообразных оболочек впервые введено понятие динамического
коэффициента увеличения податливости. Для него получено аналитическое
выражение в зависимости от геометрических параметров гиба и частоты
колебаний. На основе этого разработана методика учета повышенной подат
ливости гиба трубы при динамическом нагружении, позволяющая корректно
применять стержневую модель и метод динамических жесткостей для дина
мического анализа криволинейных труб.
На ряде примеров показана эффективность использования полученного
выражения для динамического коэффициента увеличения податливости.
Использование в динамическом анализе коэффициента увеличения податли
вости, определенного из статического анализа, в общем случае приводит к
существенным ошибкам.
Р е з ю м е
Сформульовано поняття динамічного коефіцієнта піддатливості згину труби
для використання в задачах розрахунку гармонійних коливань трубопрово
дів. На основі напівбезмоментної теорії Власова застосовано спрощуючі
гіпотези, що дозволяє звести постановку задачі до розв’язку диференціаль
ного рівняння четвертого ступеня. Із використанням результатів проведе
ного динамічного аналізу тороподібних оболонок розроблено методику
врахування підвищеної піддатливості згину труби при динамічному наван
таженні. Отримано вираз для коефіцієнта збільшення піддатливості в залеж
ності як від геометричних параметрів згину, так і частоти коливань. На
великій кількості прикладів проілюстровано ефективність отриманого вира
зу для коефіцієнта збільшення піддатливості.
1. О ръ т як И . В ., Р а д ч е н к о С. А . Анализ деформаций гиба трубы на основе
смешанного подхода. Сообщ. 1. Пространственный изгиб по Сен-Венану
// Пробл. прочности. - 2004. - № 3. - С. 23 - 51.
ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2007, № 2 69
И. В. Орыгняк, С. А. Радченко, А. С. Батура
2. О р ы н як И . В., Р а д ч е н к о С. А . Анализ деформаций гиба трубы на основе
смешанного подхода. Сообщ. 2. Пространственный изгиб с учетом
внутреннего давления // Там же. - № 4. - С. 46 - 59.
3. О р ы н як И . В ., Р а д ч е н к о С. А ., Б а т у р а А . С. Расчет собственных и
вынужденных колебаний трубопроводной системы. Сообщ. 1. Анализ
колебаний пространственной стержневой системы // Там же. - 2007. -
№ 1. - С. 79 - 93.
4. О р ы н як И . В., Р а д ч е н к о С. А . Классический подход к анализу влияния
краевых условий на напряжения и податливость упругого гиба трубы //
Там же. - 2005. - № 4. - С. 64 - 94.
5. O r y n y a k l . V., R a d c h e n k o S. A ., a n d R o z g o n y u k V. V. The classical approach
to end-effect analysis o f elastic pipe bend: Proc. 4th Int. Conf. on Pipeline
Technology / Ed. R. Denys (Ostend, Belgium, 9-13 May, 2004). - 2004. - 3.
- P. 1405 - 1416.
6. O ry n y a k I. V. a n d R a d c h e n k o S. A . Analytical and num erical solution for a
elastic pipe bend at in-plane bending with consideration for the end effect //
Int. J. Solids Struct. - 2007. - 44, Is. 5. - P. 1488 - 1510.
7. S a lle y L. a n d P a n J . A study o f the m odal characteristics o f curved pipes //
Appl. Acoustics. - 2002. - 63. - P. 189 - 202.
8. L e u n g A . Y. T. a n d K w o k N . T. C. Dynamic Stiffness analysis o f toroidal
shells // Thin-W alled Struct. - 1995. - 21. - P. 43 - 64.
9. M in g R. S ., P a n J ., a n d N o r to n M . P . Free vibrations o f elastic circular
toroidal shells // Appl. Acoustics. - 2002. - 63. - P. 513 - 528.
10. J ia n g W. a n d R e d e k o p D . Static and vibration analysis o f orthotropic toroidal
shells o f variable thickness by differential quadrature // Thin-W alled Struct.
- 2003. - 41. - P. 461 - 478.
11. R e d e c o p D . a n d X u B . Vibration analysis o f toroidal panels using the
differential quadrature m ethod // Ibid. - 1999. - 34. - P. 217 - 231.
12. Г у л я е в В. И ., Б а ж е н о в В. А., Г о ц у л я к Е. А., Г а й д а ч у к В. В . Расчет
оболочек сложной формы. - Києв: Будівельник, 1990. - 192 с.
13. Б и д е р м а н В. Л . Прикладная теория механических колебаний. - М.:
Высш. шк., 1972. - 416 с.
14. П р о ч н о с т ь , устойчивость, колебания. Справочник. Т. 3. / Под ред. И. А.
Биргера, Я. Г. Пановко. - М.: М ашиностроение, 1968. - 567 с.
15. К а н С. Н . Строительная механика оболочек. - М.: М ашиностроение,
1966. - 507 с.
16. О н и а ш ви ли О. Д . Некоторые динамические задачи теории оболочек. -
М.: Изд-во АН СССР, 1957. - 195 с.
17. S o e d e l W. Vibration o f Shells and Plates / Ed. M. Dekker (2nd edition). -
New York, 1992.
18. О р ы н як И . В., Т о р о п В. М ., Р о м а щ е н к о В. А., Ж у р а х о в с к и й С. В . Расчет
пространственного разветвленного трубопровода в программном комп
лексе оценки прочности оборудования АЭС // Пробл. прочности. -
1998. - № 2. - С. 87 - 100.
70 ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2007, № 2
Расчет собственных и вынужденных колебаний
19. C a rn e iro J. O ., D e M e lo F. J. Q ., R o d r ig u e s J . F . D ., e t al. The modal
analysis o f a pipe elbow w ith realistic boundary conditions // J. Press. Vess.
Piping. - 2005. - 82. - P. 593 - 601.
20. D u a n C., Y in g G ., a n d M e n g G. Exact FE model for air conditioner piping
system based on the thickness plastic deformation equation for the bend part
// Struct. Eng. Mech. - 2007. - 5. - P. 421 - 435.
Поступила 15. 09. 2006
ISSN 0556-171X. Проблемыг прочности, 2007, № 2 71
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-48043 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0556-171X |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-11-24T10:46:08Z |
| publishDate | 2007 |
| publisher | Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Орыняк, И.В. Радченко, С.А. Батура, А.С. 2013-08-13T17:17:42Z 2013-08-13T17:17:42Z 2007 Расчет собственных и вынужденных колебаний трубопроводной системы. Сообщение 2. Динамическая жесткость гиба трубы / И.В. Орыняк, С.А. Радченко, А.С. Батура // Проблемы прочности. — 2007. — № 2. — С. 52-71. — Бібліогр.: 20 назв. — рос. 0556-171X https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/48043 539.4 Сформулировано понятие динамического коэффициента податливости гиба трубы для использования в задачах расчета гармонических колебаний трубопроводов. На основе полубезмоментной теории Власова введены упрощающие гипотезы, позволяющие свести постановку задачи к решению дифференциального уравнения четвертой степени. С помощью результатов динамического анализа торообразных оболочек разработана методика учета повышенной податливости гиба трубы при динамическом нагружении. Получено выражение для коэффициента увеличения податливости в зависимости как от геометрических параметров гиба, так и частоты колебаний. На большом количестве примеров проиллюстрирована эффективность полученного выражения для коэффициента увеличения податливости. Сформульовано поняття динамічного коефіцієнта піддатливості згину труби для використання в задачах розрахунку гармонійних коливань трубопроводів. На основі напівбезмоментної теорії Власова застосовано спрощуючі гіпотези, що дозволяє звести постановку задачі до розв’язку диференціального рівняння четвертого ступеня. Із використанням результатів проведеного динамічного аналізу тороподібних оболонок розроблено методику врахування підвищеної піддатливості згину труби при динамічному навантаженні. Отримано вираз для коефіцієнта збільшення піддатливості в залежності як від геометричних параметрів згину, так і частоти коливань. На великій кількості прикладів проілюстровано ефективність отриманого виразу для коефіцієнта збільшення піддатливості. We formulate the concept of a dynamic coefficient of pipe bend unit compliance, which can be used in problems of calculation of simple harmonic vibrations of pipelines. Based on the Vlasov semi-momentless theory, we introduce the simplifying hypotheses, which allow one to reduce the problem formulation to the solution of a differential equation of the fourth degree. Using the results of the dynamic analysis of toroidal shells, we developed the technique of taking into account of the increased compliance of pipe bend unit under dynamic loading conditions. The equations linking compliance increase coefficient with the pipe bend unit geometry parameters, as well as with the vibration frequency. The efficiency of obtained expression for compliance increase coefficient is illustrated by numerous examples. ru Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України Проблемы прочности Научно-технический раздел Расчет собственных и вынужденных колебаний трубопроводной системы. Сообщение 2. Динамическая жесткость гиба трубы Calculation of free and forced vibrations of a pipeline system. Part 2. Dynamic rigidity of pipe bend unit Article published earlier |
| spellingShingle | Расчет собственных и вынужденных колебаний трубопроводной системы. Сообщение 2. Динамическая жесткость гиба трубы Орыняк, И.В. Радченко, С.А. Батура, А.С. Научно-технический раздел |
| title | Расчет собственных и вынужденных колебаний трубопроводной системы. Сообщение 2. Динамическая жесткость гиба трубы |
| title_alt | Calculation of free and forced vibrations of a pipeline system. Part 2. Dynamic rigidity of pipe bend unit |
| title_full | Расчет собственных и вынужденных колебаний трубопроводной системы. Сообщение 2. Динамическая жесткость гиба трубы |
| title_fullStr | Расчет собственных и вынужденных колебаний трубопроводной системы. Сообщение 2. Динамическая жесткость гиба трубы |
| title_full_unstemmed | Расчет собственных и вынужденных колебаний трубопроводной системы. Сообщение 2. Динамическая жесткость гиба трубы |
| title_short | Расчет собственных и вынужденных колебаний трубопроводной системы. Сообщение 2. Динамическая жесткость гиба трубы |
| title_sort | расчет собственных и вынужденных колебаний трубопроводной системы. сообщение 2. динамическая жесткость гиба трубы |
| topic | Научно-технический раздел |
| topic_facet | Научно-технический раздел |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/48043 |
| work_keys_str_mv | AT orynâkiv rasčetsobstvennyhivynuždennyhkolebaniitruboprovodnoisistemysoobŝenie2dinamičeskaâžestkostʹgibatruby AT radčenkosa rasčetsobstvennyhivynuždennyhkolebaniitruboprovodnoisistemysoobŝenie2dinamičeskaâžestkostʹgibatruby AT baturaas rasčetsobstvennyhivynuždennyhkolebaniitruboprovodnoisistemysoobŝenie2dinamičeskaâžestkostʹgibatruby AT orynâkiv calculationoffreeandforcedvibrationsofapipelinesystempart2dynamicrigidityofpipebendunit AT radčenkosa calculationoffreeandforcedvibrationsofapipelinesystempart2dynamicrigidityofpipebendunit AT baturaas calculationoffreeandforcedvibrationsofapipelinesystempart2dynamicrigidityofpipebendunit |