Метод окаймления для решения систем линейных уравнений, порождаемых методом конечных элементов в задаче об изгибе пластины
Для решения систем линейный системных алгебрагических уравнений, порождаемых методом конечных елементом в задаче об изгибе пластины, предложен комбинированый интерационный алгоритм на основе методов окаймления и спряденных градиентов. Представленные численные результаты анализа скорости сходимости...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Проблемы прочности |
|---|---|
| Datum: | 2007 |
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України
2007
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/48067 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Метод окаймления для решения систем линейных уравнений, порождаемых методом конечных элементов в задаче об изгибе пластины / А.Ю. Чирков // Проблемы прочности. — 2007. — № 4. — С. 137-145. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-48067 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Чирков, А.Ю. 2013-08-14T12:02:06Z 2013-08-14T12:02:06Z 2007 Метод окаймления для решения систем линейных уравнений, порождаемых методом конечных элементов в задаче об изгибе пластины / А.Ю. Чирков // Проблемы прочности. — 2007. — № 4. — С. 137-145. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. 0556-171X https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/48067 539.3 Для решения систем линейный системных алгебрагических уравнений, порождаемых методом конечных елементом в задаче об изгибе пластины, предложен комбинированый интерационный алгоритм на основе методов окаймления и спряденных градиентов. Представленные численные результаты анализа скорости сходимости итерационного процесса при решении модельных задач с использованием класического и модифицированного алгоритма методом сопряженных градиентов. Показана возможность ускорения итерационного алгоритма. Для розв’язку систем лінійних алгебраїчних рівнянь, породжуваних методом скінченних елементів у задачі про згин пластини, запропоновано комбінований ітераційний алгоритм на основі методів облямування та спряжених градієнтів. Представлено числові результати аналізу швидкості збіжності ітераційного процесу при розв’язанні модельних задач із використанням класичного і модифікованого алгоритмів методу спряжених градієнтів. Показано можливість прискорення ітераційного алгоритму. In order to solve the systems of linear algebraic equations generated by the finite-element on the Fourier image of the Green function for the infinite anisotropic space. The results of this study obtained for particular cases are compared to those of other researchers. The effect of the elliptical crack orientation in the orthotropic space on the distribution of stress in tensity factors along the crack contour is studied. ru Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України Проблемы прочности Научно-технический раздел Метод окаймления для решения систем линейных уравнений, порождаемых методом конечных элементов в задаче об изгибе пластины The bordered domain method for solution of the systems of linear equations generated by the finite-element method for the plate bending problem Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Метод окаймления для решения систем линейных уравнений, порождаемых методом конечных элементов в задаче об изгибе пластины |
| spellingShingle |
Метод окаймления для решения систем линейных уравнений, порождаемых методом конечных элементов в задаче об изгибе пластины Чирков, А.Ю. Научно-технический раздел |
| title_short |
Метод окаймления для решения систем линейных уравнений, порождаемых методом конечных элементов в задаче об изгибе пластины |
| title_full |
Метод окаймления для решения систем линейных уравнений, порождаемых методом конечных элементов в задаче об изгибе пластины |
| title_fullStr |
Метод окаймления для решения систем линейных уравнений, порождаемых методом конечных элементов в задаче об изгибе пластины |
| title_full_unstemmed |
Метод окаймления для решения систем линейных уравнений, порождаемых методом конечных элементов в задаче об изгибе пластины |
| title_sort |
метод окаймления для решения систем линейных уравнений, порождаемых методом конечных элементов в задаче об изгибе пластины |
| author |
Чирков, А.Ю. |
| author_facet |
Чирков, А.Ю. |
| topic |
Научно-технический раздел |
| topic_facet |
Научно-технический раздел |
| publishDate |
2007 |
| language |
Russian |
| container_title |
Проблемы прочности |
| publisher |
Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
The bordered domain method for solution of the systems of linear equations generated by the finite-element method for the plate bending problem |
| description |
Для решения систем линейный системных алгебрагических уравнений, порождаемых методом конечных елементом в задаче об изгибе пластины, предложен комбинированый интерационный алгоритм на основе методов окаймления и спряденных градиентов. Представленные численные результаты анализа скорости сходимости итерационного процесса при решении модельных задач с использованием класического и модифицированного алгоритма методом сопряженных градиентов. Показана возможность ускорения итерационного алгоритма.
Для розв’язку систем лінійних алгебраїчних рівнянь, породжуваних методом скінченних елементів у задачі про згин пластини, запропоновано комбінований ітераційний алгоритм на основі методів облямування та спряжених градієнтів. Представлено числові результати аналізу швидкості збіжності ітераційного процесу при розв’язанні модельних задач із використанням класичного і модифікованого алгоритмів методу спряжених градієнтів. Показано можливість прискорення ітераційного алгоритму.
In order to solve the systems of linear algebraic equations generated by the finite-element
on the Fourier image of the Green function for the infinite anisotropic space. The results of this study obtained for particular cases are compared to those of other researchers. The effect of the elliptical crack orientation in the orthotropic space on the distribution of stress in tensity factors along the crack contour is studied.
|
| issn |
0556-171X |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/48067 |
| citation_txt |
Метод окаймления для решения систем линейных уравнений, порождаемых методом конечных элементов в задаче об изгибе пластины / А.Ю. Чирков // Проблемы прочности. — 2007. — № 4. — С. 137-145. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT čirkovaû metodokaimleniâdlârešeniâsistemlineinyhuravneniiporoždaemyhmetodomkonečnyhélementovvzadačeobizgibeplastiny AT čirkovaû thebordereddomainmethodforsolutionofthesystemsoflinearequationsgeneratedbythefiniteelementmethodfortheplatebendingproblem |
| first_indexed |
2025-11-26T00:17:31Z |
| last_indexed |
2025-11-26T00:17:31Z |
| _version_ |
1850597617422041088 |
| fulltext |
УДК 539.3
Метод окаймления для решения систем линейных уравнений,
порождаемых методом конечных элементов в задаче об изгибе
пластины
А . Ю . Ч и р к о в
Институт проблем прочности им. Г. С. Писаренко НАН Украины, Киев, Украина
Д л я р е ш е н и я си с т е м л и н е й н ы х а л г е б р а и ч е ск и х ур а в н ен и й , п о р о ж д а е м ы х м е т о д о м к о н е ч н ы х
эл ем ен т о в в з а д а ч е о б и з ги б е п ласт ин ы , п р е д л о ж е н к о м б и н и р о в а н н ы й и т е р а ц и о н н ы й а л го
р и т м н а о с н о в е м е т о д о в о к а й м л ен и я и с о п р я ж е н н ы х гр ад и ен т о в. П р е д с т а в л е н ы чи сл е н н ы е
р е зу л ь т а т ы а н а л и за с к о р о с т и с х о д и м о с т и и т е р а ц и о н н о го п р о ц е с с а п р и р е ш е н и и м о д е л ь н ы х
з а д а ч с и сп о л ь зо в а н и е м к л а с с и ч е с к о г о и м о д и ф и ц и р о в а н н о го а л го р и т м а м е т о д а с о п р я ж е н
н ы х гр ад и ен т о в. П о к а з а н а в о з м о ж н о с т ь у с к о р е н и я и т е р а ц и о н н о го алгорит м а.
К л ю ч е в ы е с л о в а : м е т о д к о н е ч н ы х э л е м е н т о в , м е т о д о к а й м л е н и я , м е т о д
с о п р я ж е н н ы х г р а д и е н т о в , и т е р а ц и о н н ы й п р о ц е с с , с х о д и м о с т ь , т о ч н о с т ь .
В в е д е н и е . П р и и с с л е д о в а н и и п р и к л а д н ы х з а д а ч о б и з г и б е п л а с т и н ы
м е т о д о м к о н е ч н ы х э л е м е н т о в ( М К Э ) н а и б о л е е т р у д о е м к и м э т а п о м р а с ч е т а
я в л я е т с я р е ш е н и е б о л ь ш и х с и с т е м л и н е й н ы х а л г е б р а и ч е с к и х у р а в н е н и й с
р а з р е ж е н н о й с и м м е т р и ч н о й п о л о ж и т е л ь н о о п р е д е л е н н о й м а т р и ц е й к о э ф ф и
ц и е н т о в . Д л я и х р е ш е н и я п р и м е н я ю т с я к а к п р я м ы е м е т о д ы , т а к и и т е р а ц и о н
н ы е [ 1 - 4 ] . О с н о в н ы м п р я м ы м а л г о р и т м о м р е ш е н и я с и с т е м л и н е й н ы х у р а в н е
н и й М К Э я в л я е т с я м е т о д Г а у с с а и е г о р а з л и ч н ы е м о д и ф и к а ц и и - ф р о н т а л ь
н ы й м е т о д , м е т о д Х о л е ц к о г о и д р . [ 1 - 3 ] . Н а и б о л ь ш е е р а с п р о с т р а н е н и е с р е д и
и т е р а ц и о н н ы х а л г о р и т м о в п о л у ч и л м е т о д с о п р я ж е н н ы х г р а д и е н т о в с п е р е -
о б у с л о в л и в а ю щ е й м а т р и ц е й [ 4 - 6 ] .
Б л о ч н о е и с к л ю ч е н и е н е и з в е с т н ы х , н а и б о л е е и з в е с т н о е к а к м е т о д о к а й м
л е н и я , в с т р е ч а е т с я в с а м ы х р а з н о о б р а з н ы х с о в р е м е н н ы х п р я м ы х и и т е р а ц и
о н н ы х м е т о д а х р е ш е н и я с и с т е м л и н е й н ы х у р а в н е н и й , п о р о ж д а е м ы х м е т о
д о м к о н е ч н ы х э л е м е н т о в [ 1 , 2 , 7 , 8] . Н и ж е р а с с м а т р и в а е т с я м е т о д о к а й м л е
н и я д л я р е ш е н и я с и с т е м л и н е й н ы х а л г е б р а и ч е с к и х у р а в н е н и й , в о з н и к а
ю щ и х п р и к о н е ч н о э л е м е н т н о й а п п р о к с и м а ц и и с а м о с о п р я ж е н н ы х э л л и п т и
ч е с к и х у р а в н е н и й ч е т в е р т о г о п о р я д к а , в ч а с т н о с т и д л я з а д а ч и о б и з г и б е
т о н к о й п л а с т и н ы [ 9 ] . С и с т е м а у р а в н е н и й п р и в о д и т с я к б л о ч н о м у в и д у , в
к о т о р о м г р у п п ы у з л о в ы х н е и з в е с т н ы х с о о т в е т с т в у ю т п р о г и б у и у г л а м п о в о
р о т о в п л а с т и н ы .
Ц е л ь р а б о т ы з а к л ю ч а л а с ь в в ы я в л е н и и н а и б о л ь ш е й э ф ф е к т и в н о с т и
м е т о д а о к а й м л е н и я в с о ч е т а н и и с м е т о д о м с о п р я ж е н н ы х г р а д и е н т о в д л я
р е ш е н и я п р е о б р а з о в а н н о й с и с т е м ы у р а в н е н и й м е н ь ш е й р а з м е р н о с т и .
П у с т ь [ А ] - с и м м е т р и ч н а я п о л о ж и т е л ь н о о п р е д е л е н н а я м а т р и ц а , { х } -
в е к т о р н е и з в е с т н ы х , { у } - в е к т о р п р а в о й ч а с т и с и с т е м ы л и н е й н ы х у р а в н е
н и й :
[ А ] { х } = {у } . ( 1 )
© А. Ю. ЧИРКОВ, 2007
ЙХ# 0556-171Х. Проблемы прочности, 2007, № 4 137
А. Ю. Чирков
П р е д с т а в и м ( 1 ) в б л о ч н о м в и д е
[ А 11]
. [ А 12 ]Т
[ А 12]'
[ А 2 2 ]
[{X 1)1
[{X 2 }[
[{у 1)1
1{У 2 }\ ( 2)
г д е [ А п ] , [ А 22] - к в а д р а т н ы е с и м м е т р и ч н ы е п о л о ж и т е л ь н о о п р е д е л е н н ы е
т
м а т р и ц ы ; [ А ^ ] - п р я м о у г о л ь н а я м а т р и ц а ; [ А ^ ] - т р а н с п о н и р о в а н н а я п о
о т н о ш е н и ю к [ А 12 ] п р я м о у г о л ь н а я м а т р и ц а . В е к т о р ы н е и з в е с т н ы х { х 1},
{ х 2} и п р а в ы х ч а с т е й { у ^ , { у 2} с о о т в е т с т в у ю т у з л о в ы м з н а ч е н и я м п р о
г и б а и у г л о в п о в о р о т о в п л а с т и н ы .
С и с п о л ь з о в а н и е м б л о ч н о - г а у с с о в о г о и с к л ю ч е н и я с и с т е м у у р а в н е н и й
(2) м о ж н о п р и в е с т и к с и с т е м е у р а в н е н и й с л е д у ю щ е г о в и д а :
[ А 2 ] { х 2 } = { у 2} - [ А 12 ]Т [ А 11 ] _ 1 { у 1} , ( 3)
г д е
[ А 2 ] = [ А 22 ] - [ А 12 ]Т [ А 11 ] - 1 [ А 12 ] . ( 4 )
С в е д е н и е с и с т е м ы ( 2 ) к с и с т е м е у р а в н е н и й ( 3 ) м е н ь ш е й р а з м е р н о с т и
с о с т а в л я е т с у т ь м е т о д а о к а й м л е н и я ; м а т р и ц а [ А 2 ] н а з ы в а е т с я м а т р и ц е й
Ш у р а и л и д о п о л н е н и е м Ш у р а к м а т р и ц е [ А п ] . Д л я р е ш е н и я с и с т е м ы
у р а в н е н и й ( 3 ) с с и м м е т р и ч н о й п о л о ж и т е л ь н о о п р е д е л е н н о й м а т р и ц е й [ А 2 ]
м о г у т п р и м е н я т ь с я п р я м о й и л и и т е р а ц и о н н ы й м е т о д ы .
О т м е т и м , ч т о п р и и с п о л ь з о в а н и и и т е р а ц и о н н ы х а л г о р и т м о в я в н о г о
в ы ч и с л е н и я м а т р и ц ы [ А 2 ] м о ж н о и з б е ж а т ь . С э т о й ц е л ь ю м а т р и ц а [ А ц ]
п р е д с т а в л я е т с я в в и д е п р о и з в е д е н и я д в у х т р е у г о л ь н ы х м а т р и ц с п о м о щ ь ю
ф а к т о р и з а ц и и Х о л е ц к о г о :
[ А ц ] = [ С П ]Т [ С п ] , ( 5 )
т
г д е [ С 11 ] - в е р х н я я т р е у г о л ь н а я м а т р и ц а ; [ С п ] - т р а н с п о н и р о в а н н а я п о
о т н о ш е н и ю к [ С и ] н и ж н я я т р е у г о л ь н а я м а т р и ц а .
Т о г д а п р о ц е д у р а у м н о ж е н и я м а т р и ц ы [ А 2 ] н а п р о и з в о л ь н ы й в е к т о р
{§ 2 ) р а з б и в а е т с я н а т р и э т а п а :
[ С 11Ґ & 1} = [ А 12 ] { § 2 ) ;
• [ С 11] { § 1} = {Ч 1} ; ( 6)
[ А 2 ] { § 2} = [ А 22 ] { § 2 ) - [ А 12 ]Т { § 1) ,
г д е ^ 1} и { д 1} - в с п о м о г а т е л ь н ы е в е к т о р ы , и м е ю щ и е т а к у ю ж е р а з м е р
н о с т ь , к а к и в е к т о р ы { х 1 } , { у 1 }.
З а м е т и м , ч т о п о р я д о к и ш и р и н а л е н т ы м а т р и ц ы [ А п ] в т р и р а з а
м е н ь ш е и с х о д н о й м а т р и ц ы [ А ] , и , з н а ч и т , в ы ч и с л и т е л ь н ы е з а т р а т ы п р и
ф а к т о р и з а ц и и м а т р и ц ы [ А п ] в 2 7 р а з м е н ь ш е , ч е м п р и р е ш е н и и и с х о д н о й
138 ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2007, № 4
Метод окаймления для решения систем линейных уравнений
с и с т е м ы у р а в н е н и й ( 1 ) . П р и э т о м в д е в я т ь р а з с о к р а щ а ю т с я п о т р е б н о с т и в
р е с у р с а х п а м я т и к о м п ь ю т е р а .
Д л я р е ш е н и я с и с т е м ы у р а в н е н и й ( 3 ) р а с с м о т р и м м е т о д с о п р я ж е н н ы х
г р а д и е н т о в . П у с т ь { х 0 } - п р о и з в о л ь н о е н а ч а л ь н о е п р и б л и ж е н и е к р е ш е н и ю
{ х 2}. Т о г д а в е к т о р { х 0 } о п р е д е л я е т с я н а о с н о в а н и и с о о т н о ш е н и й
[ С ц Г { д 1} = { у 1} - [ А 1 2 ] { х 0 };
[ С п ] { х 0 } = { д 1}.
( 7 )
В е к т о р н а ч а л ь н о й н е в я з к и {Г2 } в ы ч и с л я е т с я с п о м о щ ь ю ф о р м у л ы
{Г20 } = [А 22 ] {х 2 } + [А 12 ]Т {х 0 } - { у 2}. ( 8)
В е к т о р н а ч а л ь н о г о н а п р а в л е н и я ^ 2 } и н а ч а л ь н о е з н а ч е н и е и т е р а ц и о н
н о г о п а р а м е т р а у о о п р е д е л я ю т с я п о с о о т н о ш е н и ю
{§ 0 } = {Г22 }; У 0 = {Г20 }Т {Г22 }. ( 9 )
Т о г д а ф о р м у л ы м е т о д а с о п р я ж е н н ы х г р а д и е н т о в м о г у т б ы т ь з а п и с а н ы в
с л е д у ю щ е м в и д е :
[ С п ] т { д 1} = [ А 12 ] { § 2 } ;
[ С ц ]{8 к } = { д 1} ;
{Ч 2 } = [ А 22} { § 2 } - [ А 12 ]Т {§ к };
У к; =
к і ^ Т С ;
{д 2} {§ 2}
{ х 2+ 1 } = { х 2 } - я к { § 2 };
{ г 2к + 1 } = {Г2к } - А к { д 2};
у к = {Г2к + 1 }Т {Г2к + 1 };
уЗ =
у к+1
У к
{ § 2+ 1} = { г Г 1 } + / % 2 }.
( 10)
В м е т о д е с о п р я ж е н н ы х г р а д и е н т о в д л я о к о н ч а н и я и т е р а ц и о н н о г о п р о
ц е с с а ц е л е с о о б р а з н о и с п о л ь з о в а т ь к р и т е р и й
( { х 2 + 1 } - { х 2 } ) Т [ А 2 ] ( { х 2 + 1 } - { х 2 } ) ^ £ { х 2 } Т [ А 2 ] { х 2 } , ( 1 1 )
_ 12 _ 13
г д е £ - м а л о е н а п е р е д з а д а н н о е п о л о ж и т е л ь н о е ч и с л о , £ = 10 ...10 .
ISSN 0556-171Х. Проблемыг прочности, 2007, № 4 139
А. Ю. Чирков
Н а о с н о в а н и и ф о р м у л ( 1 0 ) и ( 1 1 ) п о л у ч а е м
к -1
Л к У к т Г т ' ( 1 2 )
т =1
Ч и с л е н н ы й а н а л и з . В с е з н а ч е н и я в п р и в е д е н н ы х н и ж е м о д е л ь н ы х
з а д а ч а х б е з р а з м е р н ы е . Н а п р и м е р , м о д у л ь у п р у г о с т и м а т е р и а л а , т о л щ и н а
п л а с т и н ы и и н т е н с и в н о с т ь р а в н о м е р н о р а с п р е д е л е н н о й н а г р у з к и п р и н и м а
л и с ь р а в н ы м и е д и н и ц е . К о э ф ф и ц и е н т П у а с с о н а з а д а в а л с я 0 ,3 . И с п о л ь з о
в а л с я т р е х у з л о в о й т р е у г о л ь н ы й к о н е ч н ы й э л е м е н т , п о с т р о е н н ы й н а о с н о в е
т р е у г о л ь н и к а З е н к е в и ч а [ 1 0 ] . П р и м е н я л а с ь р а в н о м е р н а я т р е у г о л ь н а я с е т к а
т и п а “ к р е с т ” ( р и с у н о к ) .
\. /
\ / \/ \ / \ / \ / / \ х
х / \
/ \ х х
X \ /
\ //\/\
\ / \ / \ / \ /
\/х /\/\
Р ав н о м ер н ая тр е у го л ьн а я с етк а т и п а “к р е с т ” .
Ф а к т о р и з а ц и я м а т р и ц ы [ А п ] о с у щ е с т в л я л а с ь с п о м о щ ь ю а л г о р и т м а
п р о ф и л ь н о г о м е т о д а , п р е д л о ж е н н о г о Д ж е н н и н г с о м [ 1 1 ] , а д л я с ж а т и я п р о
ф и л я м а т р и ц ы и с п о л ь з о в а л с я о б р а т н ы й а л г о р и т м К а т х и л л а - М а к к и [ 1 2 ] . Д л я
х р а н е н и я м а т р и ц [ А 22] и [ А 12] п р и м е н я л с я р а з р е ж е н н ы й с т р о ч н ы й ф о р
м а т , п р е д л о ж е н н ы й Ч э и г о м [ 1 3 ] . Т а к а я с х е м а х р а н е н и я п р е д ъ я в л я е т м и н и
м а л ь н ы е т р е б о в а н и я к п а м я т и к о м п ь ю т е р а и о к а з ы в а е т с я в е с ь м а э ф ф е к т и в
н о й п р и у м н о ж е н и и р а з р е ж е н н о й м а т р и ц ы н а в е к т о р .
П р и с р а в н е н и и ч и с л е н н ы х р е з у л ь т а т о в и с п о л ь з у ю т с я о б о з н а ч е н и я :
К М С Г - к л а с с и ч е с к и й м е т о д с о п р я ж е н н ы х г р а д и е н т о в ; М М С Г - м о д и ф и ц и
р о в а н н ы й м е т о д с о п р я ж е н н ы х г р а д и е н т о в ( 1 0 ) . Э ф ф е к т и в н о с т ь М М С Г п о
с р а в н е н и ю с К М С Г о ц е н и в а л а с ь п о к о э ф ф и ц и е н т у у с к о р е н и я , к о т о р ы й
о п р е д е л я л с я к а к о т н о ш е н и е в р е м е н и р е ш е н и я з а д а ч и с п о м о щ ь ю К М С Г и
М М С Г . Р а с ч е т ы п р о в о д и л и с ь н а 1 В М Р е П ш ш 4 , С Р и 3 Г Г ц , 5 1 2 М Б О З У в
с р е д е W i n d o w s X P .
К в а д р а т н а я п л а с т и н а . Р а с с м а т р и в а л а с ь к в а д р а т н а я п л а с т и н а п о д д е й с т
в и е м р а в н о м е р н о р а с п р е д е л е н н о й н а г р у з к и п р и р а з л и ч н ы х у с л о в и я х е е
з а к р е п л е н и я . Р е з у л ь т а т ы р а с ч е т о в п р е д с т а в л е н ы в т а б л . 1 - 4 . Т а м ж е п р и
в е д е н ы р а з б и е н и я в д о л ь с т о р о н ы к в а д р а т а . И з д а н н ы х т а б л . 1 - 4 в и д н о , ч т о
п р и в с е х р а з б и е н и я х М М С Г п р е в а л и р у е т . П р и с г у щ е н и и с е т к и э ф ф е к т и в
н о с т ь М М С Г п о с р а в н е н и ю с К М С Г в о з р а с т а е т .
140 188М 0556-171Х. Проблемы прочности, 2007, № 4
Метод окаймления для решения систем линейных уравнений
Т а б л и ц а 1
Сравнение эффективности КМСГ и ММСГ при решении задачи о защемленной
квадратной пластине под воздействием равномерно распределенной нагрузки
С етка К ол и ч ество
у р ав н ен и й
К о л и ч еств о
и тер ац и й К М С Г
К о л и ч еств о
и тер ац и й М М С Г
К о эф ф и ц и ен т
у ск о р ен и я
40 X 40 9843 602 82 2 ,67
50 X 50 15303 917 102 3,33
60X 60 21963 1300 121 3,92
70 X 70 29823 1747 142 4 ,09
80 X 80 38883 22 5 7 161 5,50
90 X 90 49143 2835 181 6,00
100X 100 60603 3470 200 6,33
110X 110 73263 41 7 7 220 6,83
120X 120 87123 49 4 7 239 7,12
130X 130 102183 5783 257 7 ,36
140X 140 118443 6684 277 7,71
Т а б л и ц а 2
Сравнение эффективности КМСГ и ММСГ при решении задачи о свободно опертой
квадратной пластине под воздействием равномерно распределенной нагрузки
С етка К о л и ч ество
у р ав н ен и й
К о л и ч еств о
и тер ац и й К М С Г
К о л и ч ество
и тер ац и й М М С Г
К о эф ф и ц и ен т
у ск о р ен и я
40 X 40 9843 644 90 2 ,50
50 X 50 15303 976 111 3,28
60X 60 21963 1377 133 3,43
70 X 70 29823 1847 154 3,91
80 X 80 38883 23 8 4 175 5,50
90 X 90 49143 29 8 4 196 6,33
100X 100 60603 3652 217 6,44
110X 110 73263 43 9 7 238 6,61
120X 120 87123 5197 259 6,77
130X 130 102183 6073 280 7 ,00
140X 140 118443 70 1 6 301 7,53
К о н с о л ь н а я п р я м о у г о л ь н а я п л а с т и н а . Р а с с м а т р и в а л а с ь п р я м о у г о л ь н а я
п л а с т и н а п о д в о з д е й с т в и е м р а в н о м е р н о р а с п р е д е л е н н о й н а г р у з к и , з а щ е м
л е н н а я в д о л ь к о р о т к о й с т о р о н ы . Р е з у л ь т а т ы р а с ч е т о в д л я р а з л и ч н ы х с о о т н о
ш е н и й с т о р о н п л а с т и н ы п р е д с т а в л е н ы в т а б л . 5 , 6 . Т а м ж е п р и в е д е н ы
р а з б и е н и я в д о л ь д л и н н о й и к о р о т к о й с т о р о н п р я м о у г о л ь н и к а . И з д а н н ы х
т а б л . 5 , 6 в и д н о , ч т о п р и в с е х р а з б и е н и я х п р е в а л и р у е т М М С Г , п р и ч е м д л я
б о л е е в ы т я н у т о г о п р я м о у г о л ь н и к а е г о э ф ф е к т и в н о с т ь в о з р а с т а е т .
ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2007, № 4 141
А. Ю. Чирков
Т а б л и ц а 3
Сравнение эффективности КМСГ и ММСГ при решении задачи
о защемленной в вершинах квадратной пластине
под воздействием равномерно распределенной нагрузки
С етка К ол и ч ество
у р ав н ен и й
К о л и ч еств о
и тер ац и й К М С Г
К о л и ч еств о
и тер ац и й М М С Г
К о эф ф и ц и ен т
у ск о р ен и я
40 X 40 9843 757 135 2,00
50 X 50 15303 1133 169 3,00
60Х 60 21963 1578 204 3,33
70 X 70 29823 2094 238 3,76
80 X 80 38883 2683 271 4 ,00
90 X 90 49143 3367 305 4 ,40
100Х 100 60603 41 4 9 339 4 ,50
1^ 110 73263 49 9 0 373 4 ,66
120X 120 87123 5910 406 4 ,92
130X 130 102183 6937 440 5,10
140X 140 118443 8036 473 5,22
Т а б л и ц а 4
Сравнение эффективности КМСГ и ММСГ при решении задачи о консольной
квадратной пластине под воздействием равномерно распределенной нагрузки
С е тк а К о л и ч ество
у р ав н ен и й
К о л и ч еств о
и тер ац и й К М С Г
К о л и ч еств о
и тер ац и й М М С Г
К о эф ф и ц и ен т
у ск о р ен и я
40 X 40 9843 25 1 8 252 4 ,00
50 X 50 15303 3849 315 5,00
60X 60 21963 5448 376 6,50
70 X 70 29823 73 2 0 438 7 ,00
80 X 80 38883 9498 501 7 ,50
90 X 90 49143 11976 561 8,44
100X 100 60603 14732 620 9,07
1^ 110 73263 17868 683 9,33
120X 120 87123 2 1 217 743 9,96
130X 130 102183 24864 805 10,26
140X 140 118443 28913 864 10,42
З а к л ю ч е н и е . П р и в е д е н н ы е в ы ш е т е с т о в ы е п р и м е р ы и о п ы т р е ш е н и я
п р а к т и ч е с к и х з а д а ч о б и з г и б е п л а с т и н ы с в и д е т е л ь с т в у ю т о б э ф ф е к т и в н о с т и
п р и м е н е н и я м о д и ф и ц и р о в а н н о г о а л г о р и т м а с о п р я ж е н н ы х г р а д и е н т о в ( 10)
п о с р а в н е н и ю с к л а с с и ч е с к и м м е т о д о м с о п р я ж е н н ы х г р а д и е н т о в . С у щ е с т
в е н н а я э ф ф е к т и в н о с т ь и т е р а ц и о н н о г о п р о ц е с с а о б ы ч н о п р о я в л я е т с я п р и
р е ш е н и и з а д а ч о б и з г и б е п л а с т и н , и м е ю щ и х в ы т я н у т у ю к о н ф и г у р а ц и ю , а
т а к ж е п р и с г у щ е н и и с е т к и к о н е ч н ы х э л е м е н т о в . Е с л и х а р а к т е р н ы й р а з м е р
142 ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2007, № 4
Метод окаймления для решения систем линейных уравнений
Т а б л и ц а 5
Сравнение эффективности КМСГ и ММСГ при решении задачи
о консольной прямоугольной пластине с отношением сторон 1/2
под воздействием равномерно распределенной нагрузки
С етка К ол и ч ество
у р ав н ен и й
К о л и ч еств о
и тер ац и й К М С Г
К о л и ч еств о
и тер ац и й М М С Г
К о эф ф и ц и ен т
у ск о р ен и я
40 X 20 4893 1393 202 3,00
60Х 30 11073 29 6 4 305 3,91
80 X 40 19563 5185 407 5,50
100Х 50 30453 8095 508 7 ,50
120Х 60 43743 11683 610 9,28
140Х 70 59433 15885 711 9,38
160Х 80 77523 20656 812 9,54
180Х 90 98013 26676 913 10,29
200Х 100 120903 32499 1014 10,36
220Х 110 146193 39245 1115 10,84
2 4 0 Х 120 173883 4 6 802 1216 11,20
Т а б л и ц а 6
Сравнение эффективности КМСГ и ММСГ при решении задачи
о консольной прямоугольной пластине с отношением сторон 1/4
под воздействием равномерно распределенной нагрузки
С етка К о л и ч ество
у р ав н ен и й
К о л и ч еств о
и тер ац и й К М С Г
К о л и ч еств о
и тер ац и й М М С Г
К о эф ф и ц и ен т
у ск о р ен и я
4 0 Х 10 851 812 162 3,00
80Х 20 9903 3081 326 7,91
120Х 30 22053 6917 488 9,00
160Х 40 39003 12380 648 9,50
20 0 Х 50 60753 19519 806 10,86
24 0 Х 60 87303 2 8 367 964 12,03
28 0 Х 70 118653 39296 1121 13,86
32 0 Х 80 154803 51215 1279 14,13
36 0 Х 90 195753 67065 1436 15,31
4 0 0 Х 100 2 4 1503 80987 1593 15,54
сетки обозначить через Н < 1, то согласно полученны м вы ш е результатам
количество требуемы х итераций при использовании классического и моди
фицированного методов сопряж енны х градиентов им еет величину порядка
_2 _1О (Н ) и О (Н ) соответственно. Д ругим и словами, при сгущ ении сетки в
два раза количество итераций для классического метода сопряженны х гради
ентов увеличивается в четы ре раза, в то время как применение м одифициро
ISSN 0556-171Х. Проблемыг прочности, 2007, № 4 143
А. Ю. Чирков
в а н н о г о а л г о р и т м а с о п р я ж е н н ы х г р а д и е н т о в ( 10) п р и в о д и т к р о с т у к о л и ч е с т в а
т р е б у е м ы х и т е р а ц и й т о л ь к о в д в а р а з а . Р а с ч е т ы п о к а з а л и , ч т о о ц е н к и п о д о б
н о г о т и п а и м е ю т м е с т о и п р и р е ш е н и и п р а к т и ч е с к и х з а д а ч о б и з г и б е т о н к о й
п л а с т и н ы м е т о д о м к о н е ч н ы х э л е м е н т о в .
Р е з ю м е
Д л я р о з в ’я з к у с и с т е м л і н і й н и х а л г е б р а ї ч н и х р і в н я н ь , п о р о д ж у в а н и х м е т о
д о м с к і н ч е н н и х е л е м е н т і в у з а д а ч і п р о з г и н п л а с т и н и , з а п р о п о н о в а н о к о м б і
н о в а н и й і т е р а ц і й н и й а л г о р и т м н а о с н о в і м е т о д і в о б л я м у в а н н я т а с п р я ж е н и х
г р а д і є н т і в . П р е д с т а в л е н о ч и с л о в і р е з у л ь т а т и а н а л і з у ш в и д к о с т і з б і ж н о с т і
і т е р а ц і й н о г о п р о ц е с у п р и р о з в ’я з а н н і м о д е л ь н и х з а д а ч і з в и к о р и с т а н н я м
к л а с и ч н о г о і м о д и ф і к о в а н о г о а л г о р и т м і в м е т о д у с п р я ж е н и х г р а д і є н т і в . П о
к а з а н о м о ж л и в і с т ь п р и с к о р е н н я і т е р а ц і й н о г о а л г о р и т м у .
1 . M e u r a n t G . C o m p u t e r s o l u t i o n o f l a r g e l i n e a r s y s t e m s / / S t u d i e s i n
M a t h e m a t i c s a n d I t s A p p l i c a t i o n s . - A m s t e r d a m ; L a u s a n n e ; N e w Y o r k ;
O x f o r d ; S h a n n o n ; S i n g a p o r e ; T o k y o , 1 9 9 9 . - 7 5 3 p .
2 . Д ж о р д ж А . , Л ю Д ж . Ч и с л е н н о е р е ш е н и е б о л ь ш и х р а з р е ж е н н ы х с и с т е м
у р а в н е н и й . - М . : М и р , 1 9 8 4 . - 3 3 3 с .
3 . П и с с а н е ц к и С . Т е х н о л о г и я р а з р е ж е н н ы х м а т р и ц . - М . : М и р , 1 9 8 8 . -
4 1 1 с .
4 . Х е й г е м а н Л . , Я н г Д . П р и к л а д н ы е и т е р а ц и о н н ы е м е т о д ы . - М . : М и р ,
1 9 8 6 . - 4 4 6 с .
5 . H e s t e n s M . a n d S t i e f e l E . M e t h o d s o f c o n j u g a t e g r a d i e n t s f o r s o l v i n g l i n e a r
s y s t e m / / N a t . B u r . S td . J . R e s . - 1 9 5 2 . - 4 9 . - P . 4 0 9 - 4 3 6 .
6 . R e i d J . K . O n t h e m e t h o d o f c o n j u g a t e g r a d i e n t s f o r t h e s o l u t i o n o f l a r g e
s p a r s e s y s t e m s o f l i n e a r e q u a t i o n s / / L a r g e S p a r s e S e t s L i n e a r E q u a t i o n s . -
L o n d o n ; N e w Y o r k : A c a d e m i c P r e s s , 1 9 7 1 . - P . 2 3 1 - 2 5 2 .
7 . Д ь я к о н о в E . Г . О н е к о т о р ы х п р я м ы х и и т е р а ц и о н н ы х м е т о д а х , о с н о
в а н н ы х н а о к а й м л е н и и м а т р и ц ы / / Ч и с л е н н ы е м е т о д ы в м а т е м а т и ч е с к о й
ф и з и к е / П о д р е д . Г . И . М а р ч у к а . - Н о в о с и б и р с к : С О А Н С С С Р , 1 9 7 9 . -
С . 4 5 - 68 .
8. М а ц о к и н А . М . , Н е п о м н я щ и х С . В . П р и м е н е н и е о к а й м л е н и я п р и р е ш е н и и
с е т о ч н ы х с и с т е м у р а в н е н и й / / В ы ч и с л и т е л ь н ы е а л г о р и т м ы в з а д а ч а х
м а т е м а т и ч е с к о й ф и з и к и . - Н о в о с и б и р с к : С О А Н С С С Р , 1 9 8 3 . - С . 9 9 -
1 0 9 .
9 . Т и м о ш е н к о С . П . , В о й н о в с к и й - К р и г е р С . П л а с т и н к и и о б о л о ч к и . - М . :
Н а у к а , 1 9 6 6 . - 6 3 5 с .
1 0 . Ч и р к о в А . Ю . П о с т р о е н и е с м е ш а н н о й а п п р о к с и м а ц и и М К Э д л я р е ш е
н и я з а д а ч и о б и з г и б е п л а с т и н ы н а о с н о в е т р е у г о л ь н и к а З е н к е в и ч а / /
П р о б л . п р о ч н о с т и . - 2 0 0 4 . - № 4 . - С . 1 2 5 - 1 4 4 .
1 1 . J e n n i n g s A . A c o m p a c t s t o r a g e s c h e m e f o r t h e s o l u t i o n o f s y m m e t r i c l i n e a r
s i m u l t a n e o u s e q u a t i o n s / / C o m p u t . J . - 1 9 6 6 . - 9 . - P . 2 8 1 - 2 8 5 .
144 ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2007, № 4
Метод окаймления для решения систем линейных уравнений
1 2 . C u t h i l l E . a n d M c K e e J . R e d u c i n g t h e b a n d w i d t h o f s p a r s e s y m m e t r i c
m a t r i c e s / / P r o c . 2 4 t h N a t . C o n f . A s s o c . C o m p u t . M a c h . - A C M P u b l . -
1 9 6 9 . - P . 1 5 7 - 1 7 2 .
1 3 . C h a n g A . A p p l i c a t i o n o f s p a r s e m a t r i x m e t h o d s i n e l e c t r i c p o w e r s y s t e m
a n a l y s i s / / W i l l o u g h b y . - 1 9 6 9 . - P . 1 1 3 - 1 2 2 .
П о с т у п и л а 26 . 12. 2005
ISSN 0556-171X. Проблемыг прочности, 2007, № 4 145
|