Моделирование затухающей памяти формы траектории в теории простых материалов с упругопластическим поведением и начальной поверхностью нагружения
Предложена математическая теория строгого построения и специализации определяющих соотношений простых по Ноллу упрочняющихся упругопластических материалов с начальной поверхностью нагружения и затухающей памятью формы траектории на активном участке деформирования. Деформации и тип симметрии матер...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Проблемы прочности |
|---|---|
| Дата: | 2007 |
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України
2007
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/48078 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Моделирование затухающей памяти формы траектории в теории простых материалов с упругопластическим поведением и начальной поверхностью нагружения / П.П. Лепихин // Проблемы прочности. — 2007. — № 4. — С. 5-18. — Бібліогр.: 18 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859766286388559872 |
|---|---|
| author | Лепихин, П.П. |
| author_facet | Лепихин, П.П. |
| citation_txt | Моделирование затухающей памяти формы траектории в теории простых материалов с упругопластическим поведением и начальной поверхностью нагружения / П.П. Лепихин // Проблемы прочности. — 2007. — № 4. — С. 5-18. — Бібліогр.: 18 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Проблемы прочности |
| description | Предложена математическая теория строгого построения и специализации определяющих
соотношений простых по Ноллу упрочняющихся упругопластических материалов с начальной
поверхностью нагружения и затухающей памятью формы траектории на активном участке
деформирования. Деформации и тип симметрии материала - произвольные. Построены
физические уравнения материалов, не обладающих памятью формы траектории, со слабой
затухающей памятью, с затухающей памятью п-го порядка. На основе разработанных
определяющих соотношений получены физические уравнения для изотропных материалов. С
позиций затухающей памяти формы траектории дано определение упруго-идеально-пластического
материала. Посредством принятия условия малости мер деформации в течение
всего "прошлого”разработана теория строгого построения и специализации определяющих
соотношений материалов с затухающей памятью формы траектории первого порядка для
бесконечно малых деформаций. Особое внимание уделено изотропным материалам.
Запропоновано математичну теорію строгої побудови і спеціалізації визначальних співвідношень простих по Ноллу зміцнюваних пружно-пластичних матеріалів із початковою поверхнею навантаження та згасаючою пам’яттю форми траєкторії на активній ділянці деформування. Деформації і тип симетрії матеріалу - довільні. Побудовано фізичні співвідношення матеріалів, які не мають пам’яті форми траєкторії, зі слабкою згасаючою пам’яттю та зі згасаючою пам’яттю n-го порядку. На основі розроблених визначальних співвідношень отримано фізичні рівняння для ізотропних матеріалів. Із позицій згасаючої пам’яті форми траєкторії дано визначення пружно-ідеально-пластичного матеріалу. Завдяки прийняттю умови малості мір деформації впродовж усього “минулого” розроблено теорію строгої побудови і спеціалізації визначальних співвідношень матеріалів із згасаючою пам’яттю форми траєкторії першого порядку для нескінченно малих деформацій. Особливу увагу приділено ізотропним матеріалам.
We propose a mathem atical theory of rigorous formulation and specialization o f governing equations for hardening elastoplastic materials, simple in Noll’s sense with fading memory of form of the trajectory within the active deformation portion. Deformations and the type of symmetry of the material are arbitrary. We deduce physical equations for the materials without memory of form of the trajectory, with weakly fading memory, as well as with fading memory of the nth order. Based on these governing relations, we deduce physical equations for orthotropic materials. From the standpoint of fading memory of form of the trajectory, we provide definition o f the elastic-ideal plastic material. By postulating the condition of small-scale strains to be valid for the total
“past” loading history, we developed a theory of rigorous formulation and specialization of governing equations for the materials with fad ing memory of the first order of form of the tra jectory for infinitely small strains. A special attention is given to orthotropic materials.
|
| first_indexed | 2025-12-02T06:04:32Z |
| format | Article |
| fulltext |
НАУЧНО-ТЕХНИЧЕСКИЙ
РАЗДЕЛ
УДК 539.37
Моделирование затухающей памяти формы траектории в теории
простых материалов с упругопластическим поведением и
начальной поверхностью нагружения
П . П . Л еп и х и н
Институт проблем прочности им. Г. С. Писаренко НАН Украины, Киев, Украина
Предложена математическая теория строгого построения и специализации определяющих
соотношений простых по Ноллу упрочняющихся упругопластических материалов с начальной
поверхностью нагружения и затухающей памятью формы траектории на активном участ
ке деформирования. Деформации и тип симметрии материала - произвольные. Построены
физические уравнения материалов, не обладающих памятью формы траектории, со слабой
затухающей памятью, с затухающей памятью п-го порядка. На основе разработанных
определяющих соотношений получены физические уравнения для изотропных материалов. С
позиций затухающей памяти формы траектории дано определение упруго-идеально-пласти
ческого материала. Посредством принятия условия малости мер деформации в течение
всего "прошлого”разработана теория строгого построения и специализации определяющих
соотношений материалов с затухающей памятью формы траектории первого порядка для
бесконечно малых деформаций. Особое внимание уделено изотропным материалам.
Ключевые слова: рац и он альн ая м еханика, оп ределяю щ ее соотнош ение,
активное деф орм ирование, затухаю щ ая пам ять ф орм ы траектории, простой
упругопластический материал с начальной поверхностью напряж ения, анизо
тропия.
Ранее [1 -4 ] с использованием подходов раци ональной м еханики конти
нуум а разработана м атем атическая теория строгого п остроения и специ али
заци и определяю щ и х соотн ош ен и й п росты х по Н оллу упрочняю щ ихся
упругопластических м атериалов (тел) с затухаю щ ей пам ятью (забы ванием)
форм ы траектории, в которы х пластические деф орм ации возникаю т после
прилож ения нагрузки и увеличиваю тся в процессе деф орм ирования. Д еф ор
м ации и тип сим м етрии м атериала - произвольны е. Д ля процессов деф орм и
рования, близких к проп орцион альн ы м и м ало отличаю щ ихся от нен ап ря
ж енной и недеф орм ируем ой конфигурации, построены ф изические уравн е
ния тел, которы е не обладаю т пам ятью ф орм ы траектории, со слабой зату
хаю щ ей пам ятью и с затухаю щ ей пам ятью п-го порядка. Н а основе п о стр о
енны х определяю щ их соотнош ений получены зависи м ости для изотропны х
материалов.
В работах [2, 4] на основе ф изических уравнени й линей ной теории
упругопластичности при конечных деф орм ациях [1] посредством принятия
условия м алости мер деф орм ации в течение всего “прош лого” для двух
© П. П. ЛЕПИХИН, 2007
ТХОТ 0556-171Х. Проблемы прочности, 2007, № 4 5
П. П. Лепихин
вы ш еуказанны х классов процессов деф орм ирования разработана математи
ческая теория строгого построения и специализации определяю щ их соотно
ш ений упрочняю щ ихся упругопластических тел с затухаю щ ей пам ятью
форм ы траектории первого порядка для бесконечно м алы х деф орм аций. Тип
сим м етрии м атериала - произвольны й. О собое вним ание уделено изотроп
ны м материалам . О пределены условия приведения построенны х соотно
ш ений к эндохронной теории пластичности .
К ак известно [5, 6], целы й ряд ш ироко при м ен яем ы х в технике конст
рукц ионн ы х упрочняю щ ихся упругопластических м атериалов с затухаю щ ей
пам ятью ф орм ы траектории обладает начальной поверхностью нагруж ения.
В м есте с тем м атем атическая теория построения ф изических уравнений
таких тел, в первую очередь для произвольны х деф орм аций и типов сим
м етрии свойств м атериалов, м ало разработана. В этой связи представляется
целесообразны м с научной и прикладной точки зрения разработать м ето
дику построения и специализации определяю щ их соотнош ений, м оделиру
ю щ их поведение отм еченны х тел.
Н астоящ ая работа посвящ ена разработке м атем атической теории стро
гого построения и специализации определяю щ их соотнош ений п росты х по
Н оллу упрочняю щ ихся упругопластических м атериалов с начальной поверх
ностью нагруж ения и затухаю щ ей пам ятью ф орм ы траектории на активном
участке деф орм ирования. Д еф орм аци и и ти п сим м етрии м атериала - п ро
извольны е. П остроен ы ф изические уравнени я тел, не обладаю щ их пам ятью
ф орм ы траектории, со слабой затухаю щ ей пам ятью и с затухаю щ ей пам ятью
п-го порядка. Н а основе разработанны х определяю щ их соотнош ений полу
чены ф изические уравнени я для изотропны х м атериалов. С позиций затуха
ю щ ей пам яти ф орм ы траектории дано определение упруго-идеально-пласти
ческого тела. П осредством принятия условия м алости мер деф орм ации в
течение всего “прош лого” разработана теория строгого п остроения и специ
ализации определяю щ их соотнош ений м атериалов с затухаю щ ей пам ятью
ф орм ы траектории первого порядка для бесконечно м алы х деф ормаций.
О собое вним ание уделено изотропны м телам.
П олагаем , что все п роц ессы деф орм ирования начинаю тся в некоторы й
м ом ент врем ени г о из ненапряж енного и недеф орм ированного начального
состояния к о и что при г < г о м атериал находился в таком же начальном
состоянии. Такое предполож ение позволяет исклю чить в рассм атриваем ы х
телах, которые проявляю т не зависящ ую от врем ени пам ять о “прош лом ”,
влияние предш ествую щ его начальном у состоянию деф орм ирования (в боль
ш инстве случаев неизвестного) на напряж ения в м атериале в конце процесса
деф орм ирования.
Следуя [1], приведенное (не зависящ ее от систем ы отсчета) определя
ю щ ее соотнош ение, м оделирую щ ее реакц ию произвольного простого тела с
не зависящ им от врем енной истории поведением , м ож но записать так:
т (* ) = Я (* )С (С * )Я т (* ) , (1)
где Т (* ) - тензор нап ряж ений К ош и в конце процесса деф орм ирования;
С * = С * ( ^ ) = С ( * — ^ ) (* ф иксировано, ^ = * — * '> 0) - история правого
6 ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2007, № 4
Моделирование затухающей памяти формы траектории
тензора К о ш и -Г р и н а вплоть до £; С (£ ) = и ( £ ) 2 ; Я ( £ ) - ортогональны й
тензор поворота в п олярн ом разлож ен и и гради ен та д еф орм ац и и Р ( £ ) =
= Я ( £ ) и ( £ ); и ( £ ) - правы й тензор растяж ения; О - отображ ение истории
С £ на сим м етричны е тензоры ; £ и £ ' - длины дуг траектории тензора
деф орм аци й Грина второго типа Е = 0 ,5 (С - 1) в конце процесса деф ор
м ирования и в “прош лом ” соответственно. Здесь и далее верхний индекс “т ”
обозначает транспони рованны й тензор.
В соответствии с [1] рассм отрим п роц ессы чистого растяж ения без
вращ ения (Я £ = 1) с учетом особен ностей м еханической реакц ии простого
м атериала с не зависящ им от врем енной истории поведением . Здесь Я £ -
история изм енения тензора Я вплоть до £. Д ля таких процессов из (1)
получим
Т ( £ ) = О (С £ ). (2)
В силу (1) Т (£ ) известно для лю бы х историй деф орм аций. Это свой
ство м атериала будем использовать в дальнейш ем при п остроении теории
упругопластических тел с затухаю щ ей пам ятью ф орм ы траектории и началь
ной п оверхн остью нагруж ения, что позволит в принципе уп ростить исп ы та
ния и ум еньш ить их число для эксперим ентального определения реакц ии О
[1, 7].
В рам ках подчиняю щ ихся приведенны м вы ш е уравнени ям м атериалов с
не зависящ им от врем ени поведением вы делим класс упругопластических
тел, которые кром е не зависящ его от врем ени поведения обладаю т другим и
дополнительны м и (определяю щ им и) свойствам и [1, 8]: деф орм ацию тем
или ины м способом м ож но разделить на упругую и пластическую состав
ляю щ ие, справедлив некоторы й критерий текучести , вы полняется какой-
либо закон течения.
П ервое дополнительное определяю щ ее свойство позволяет вы делить
как активны е (изм еняю тся упругие и пластические деф орм ации), так и
пассивны е (изм еняю тся только упругие деф орм ации) п роц ессы деф орм иро
вания.
В соответствии с [1 -4 ] предполож им , что в классе упругопластических
м атериалов мож но вы делить такие, которы е в произвольны х процессах
активного деф орм ирования проявляю т затухаю щ ую пам ять ф орм ы тр аек
тории. П ри этом отм еченная затухаю щ ая пам ять представляет собой свой
ство, которое м ож но вы разить м атем атически с пом ощ ью ф ункции реакции
простого м атериала с упругопластическим поведением . Д ля определения
такой затухаю щ ей пам яти ограничим ся активны м и п роц ессам и чистого р ас
тяж ения без вращ ения и, следуя [7], введем понятие постоянной истории.
П одобно том у как / £ обозначает историю вплоть до “м ом ента” £ прои з
вольной ф ункции / , определенной на ( - » , + м ) , историю постоянной
ф ункции / , значение которой всегда равно а, обозначим через а с : а с( ^ ) =
= а, 0 < ^ < ^ .
Таким образом, ( С £ (^))с = С (£)с представляет собой постоянную исто
рию (или историю -константу), соответствую щ ую значению С (£ ) в месте,
ISSN 0556-171Х. Проблемыг прочности, 2007, № 4 7
П. П. Лепихин
заним аем ом телом -точкой X в отсчетной конф игурации к 0 . Д ля рассм от
рения такого случая предполож им , что если С £ - история, принадлеж ащ ая
области определения В реакц и и О, то для каж дого ц из [0, °°) постоянная
история (С £ (ц ))с такж е при надлеж ит В . Значение О (С (£ ) с ) реакц ии О -
это напряж ение, которое соответствует пребы ванию в состоянии покоя в
конфигурации, полученной из к 0 при деф орм аци и С (£ ). Тогда С (£ т)с -
постоянная история, соответствую щ ая деф орм ации, при которой в истории
С £ достигается предел текучести м атериала О (С (£ т ) с ). П оскольку для всех
С £ из В вплоть до С (£ т ) упругопластический м атериал при деф орм иро
вани и п роявляет уп руги е свойства, то в лю бой п о стоян н ой и стории С (£ т ) с
им еем
О (С ( £ ) с ) = g (С ( £ )), (3)
где g (С (£ )) - произвольная, в общ ем случае анизотропная, тензорная ф унк
ция.
О сновную идею затухаю щ ей пам яти ф орм ы траектории прим ем в сле
дую щ ем виде: когда история С £ близка к постоянной истории С (£ т ) с, то
напряж ения О (С £ ) близки к напряж ениям О (С (£ т ) с ). Д ругим и словами,
м алое отклонение от постоянной истории С (£ т ) с вы зы вает напряж ения,
л и т ь незначительно отличаю щ иеся от предела текучести , которы й соответ
ствует С (£ т ) с. П онятия “м алости ” и “близости” уточняю тся с помощ ью
топологий. Е сли введены топологии, м ож но в точном см ы сле говорить о
непреры вности , и в качестве необходимого условия для затухаю щ ей пам яти
получить точную и общ ую аксиому непреры вности : реакц ия О непреры вна
в каж дой постоянной истории С (£ т)с из В . К ак необходимо ин терп ретиро
вать “н еп реры вн ость” ф изически, зависит от топологий , исходя из которых
она определена.
С ледуя [1, 7], введем забы ваю щ ую меру, запом инание истории и сле
дую щ ее определение. У пругопластический м атериал при активном деф ор
м ировании и м еет слабо затухаю щ ую пам ять, если он удовлетворяет аксиоме
неп реры вн ости с непреры вностью , определенной с пом ощ ью забы ваю щ ей
меры:
Т (£ ) = О (С £ ) = g (C (£ т ) ) + о(1) при || С £ (ц ) - С ( £ т ) с | | - 0, (4)
где g (С (£ т ) ) = О (С (£ т ) с ).
Т аким образом, при условии, что запом инание разности историй С £ и
С (£ т ) с достаточно м ало, напряж ения представляю т собой приблизительно
напряж ения, соответствую щ ие С (£ т ).
В частности , в упруго-идеально-пластическом м атериале остаточны й
член в (4) тож дественно равен нулю . П ри этом забы ваю щ ая м ера долж на
бы ть такой, что | |С £ (ц ) — С (£ т ) с 11 = 0. О братно, если при таком определении
8 ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2007, № 4
Моделирование затухающей памяти формы траектории
з а п о м и н а н и я в ы р а ж е н и е ( 4 ) с п р а в е д л и в о с о с т а т о ч н ы м ч л е н о м , р а в н ы м
н у л ю , т о м а т е р и а л я в л я е т с я у п р у г о - и д е а л ь н о - п л а с т и ч е с к и м .
Д л я о п и с а н и я б о л е е в ы с о к и х , ч е м ( 4 ) , п р и б л и ж е н и й з а т у х а ю щ е й п а м я т и
ф о р м ы т р а е к т о р и и п р и м е м з а п о м и н а н и е в в и д е [7 ]
| | С £ || 2 = А | С ( £ ) | 2 + / к ( ц ) | С £ ( ц ) | 2 й ц , ( 5)
о
г д е А - п о л о ж и т е л ь н а я п о с т о я н н а я ; ф у н к ц и я к ( ц ) н а з ы в а е т с я з а б ы в а т е л е м ,
и л и ф у н к ц и е й в л и я н и я .
З а п о м и н а н и е в ф о р м е ( 5 ) в в е д е н о в к а ч е с т в е п о с т у л а т а в р а б о т е [ 9 ] , г д е
д а н а п е р в а я м а т е м а т и ч е с к а я т р а к т о в к а о б щ е г о п о н я т и я з а т у х а ю щ е й п а м я т и ,
н а к о т о р о й б а з и р о в а л и с ь м н о г и е б о л е е п о з д н и е р а б о т ы .
Д а л е е п о л а г а е м с п р а в е д л и в ы м п р и н ц и п з а т у х а ю щ е й п а м я т и ф о р м ы
т р а е к т о р и и п - г о п о р я д к а , з а к л ю ч а ю щ и й с я в п р е д п о л о ж е н и и , ч т о п р и п о с т о
я н н о й и с т о р и и С ( £ т ) с р е а к ц и я в д и ф ф е р е н ц и р у е м а п р а з п о Ф р е ш е .
Т о г д а
Т ( £ ) = С ( С £ ) = g ( С ( £ т ) ) +
п
.• ( С £ ( ц ) - С ( £ т ) с ) + о ( | | С £ ( ц ) - С ( £ т ) с | | п ) , ( 6)
/=1
г д е в г - о г р а н и ч е н н ы е о д н о р о д н ы е п о л и н о м и а л ь н ы е о т о б р а ж е н и я с т е п е н и
г, з а в и с я щ и е о т С ( £ т ) [ 7 ] .
К а к с л е д у е т и з д а н н ы х [ 7 ] , р а з л о ж е н и е ( 6) з а м е н я е т д а н н о е о т о б р а
ж е н и е в с у м м о й б о л е е п р о с т ы х о т о б р а ж е н и й с о ш и б к о й , к о т о р а я с т р е м и т с я
к н у л ю б ы с т р е е , ч е м п - я с т е п е н ь з а п о м и н а н и я | | С £ ( ц ) - С ( £ т ) с || р а з н о с т и
м е ж д у и с т и н н о й и с т о р и е й С £ и и с т о р и е й С ( £ т ) с . И з р а з л о ж е н и я Ф р е ш е ( 6)
н е л ь з я п о л у ч и т ь к а к и е - л и б о с в е д е н и я о з н а ч е н и и в ( С £ ) д л я к о н к р е т н ы х
и с т о р и й С £ . О н о п о к а з ы в а е т , ч т о е с л и с т р о и т ь п о с л е д о в а т е л ь н о с т ь и л и
с е м е й с т в о и с т о р и й С £ , з а п о м и н а н и е р а з н о с т е й м е ж д у к о т о р ы м и и и с т о р и е й
С ( £ т ) с с т р е м и т с я к н у л ю , т о м о ж н о о п р е д е л и т ь н е к о т о р у ю с у м м у о д н о р о д
н ы х п о л и н о м и а л ь н ы х о т о б р а ж е н и й с т е п е н и п , к о т о р а я о т л и ч а е т с я о т в ( С £ )
н а в е л и ч и н у , с т р е м я щ у ю с я к н у л ю б ы с т р е е , ч е м п - я с т е п е н ь э т о г о з а п о м и
н а н и я .
С в о й с т в о з а т у х а ю щ е й п а м я т и б о л е е в ы с о к о г о п о р я д к а н и ч е г о н е г о в о
р и т о в л и я н и и н а н а п р я ж е н и я т о л ь к о д е ф о р м и р о в а н и я и л и т о л ь к о м а т е р и а л а .
О н о п о к а з ы в а е т , к а к п о с т р о и т ь б о л е е п р о с т ы е о п р е д е л я ю щ и е у р а в н е н и я ,
к о т о р ы е б у д у т п р и г о д н ы а с и м п т о т и ч е с к и д л я о п р е д е л е н н ы х к л а с с о в м а т е
р и а л о в п р и о п р е д е л е н н ы х с е м е й с т в а х и с т о р и й д е ф о р м а ц и й .
Е с л и п р и н я т ь , ч т о м а т е р и а л и м е е т з а т у х а ю щ у ю п а м я т ь п е р в о г о п о р я д
к а , т о ( 6) а п п р о к с и м и р у е т о т к л о н е н и е о т н а п р я ж е н и й g ( C ( £ т ) ) с п о м о щ ь ю
ISSN 0556-171Х. Проблемыг прочности, 2007, № 4 9
П. П. Лепихин
о г р а н и ч е н н о г о л и н е й н о г о ф у н к ц и о н а л а . С о в о к у п н о с т ь в с е х и с т о р и й д е ф о р
м а ц и й с к о н е ч н ы м з а п о м и н а н и е м о б р а з у е т г и л ь б е р т о в о п р о с т р а н с т в о и ,
с о г л а с н о т е о р е м е Ф р е ш е - Р и с с а [ 7 ] , к а ж д ы й о г р а н и ч е н н ы й л и н е й н ы й ф у н к
ц и о н а л в н е м д о п у с к а е т п р е д с т а в л е н и е в в и д е с к а л я р н о г о п р о и з в е д е н и я .
Ч т о б ы п р и м е н и т ь э т у т е о р е м у в н а ш е м с л у ч а е , п р е д п о л о ж и м , ч т о р а с с м а т
р и в а е т с я з а т у х а ю щ а я п а м я т ь т и п а К о л е м а н а - Н о л л а ( 5 ) . Т о г д а п о л у ч и м
т
Т ( I ) = g ( С ( I т ) ) + / К(п)К ( С ( I т ) , п ) [ С ? ( п ) - С ( I т ) с ] ^ +
- 0
+ 0(11 С ? ( п ) - С ( ? т ) с | | ) , ( 7 )
г д е я д р о К - т е н з о р ч е т в е р т о г о р а н г а т а к о й , ч т о
/ 1 К ( С ( £ т ) , п )| 2 Лп< ™. ( 8)
- о
Е с л и п р е н е б р е ч ь п о п р а в о ч н ы м ч л е н о м в ( 7 ) , т о п о л у ч и м с о о т н о ш е н и е ,
н е з а в и с я щ е е о т с и с т е м ы о т с ч е т а , к о т о р о е м о ж н о и с п о л ь з о в а т ь д л я з а д а н и я
с п е ц и а л ь н о г о в о о б р а ж а е м о г о м а т е р и а л а . Т а к о е о п р е д е л я ю щ е е с о о т н о ш е н и е
н а з о в е м п о д о б н о т о м у , к а к э т о с д е л а л и К о л е м а н и Н о л л в т е о р и и в я з к о у п р у
г о с т и [ 7 ] , л и н е й н о й т е о р и е й у п р у г о п л а с т и ч н о с т и п р и к о н е ч н ы х д е ф о р м а ц и
я х . П о с л е д н я я о т с о о т в е т с т в у ю щ е й т е о р и и в я з к о у п р у г о с т и о т л и ч а е т с я т е м ,
ч т о о н а с п р а в е д л и в а т о л ь к о д л я а к т и в н ы х п р о ц е с с о в ч и с т о г о р а с т я ж е н и я б е з
в р а щ е н и я у п р у г о п л а с т и ч е с к и х м а т е р и а л о в , п о в е д е н и е к о т о р ы х н е з а в и с и т о т
в р е м е н и и в к о т о р ы х п о с л е д о с т и ж е н и я н а ч а л ь н о й п о в е р х н о с т и н а г р у ж е н и я
и м е ю т м е с т о п л а с т и ч е с к и е д е ф о р м а ц и и и з а т у х а ю щ а я п а м я т ь ф о р м ы т р а е к
т о р и и .
В о т л и ч и е о т з а т у х а ю щ е й п о в р е м е н и п а м я т и в в я з к о у п р у г о с т и , к о г д а
з а б ы в а н и е н а б л ю д а е т с я и п о с л е п р е к р а щ е н и я п р о ц е с с а д е ф о р м и р о в а н и я , в
м о д е л и р у е м ы х з д е с ь у п р у г о п л а с т и ч е с к и х м а т е р и а л а х з а т у х а ю щ а я п а м я т ь
п р о я в л я е т с я т о л ь к о п р и а к т и в н о м д е ф о р м и р о в а н и и , п о с л е е г о п р е к р а щ е н и я
н е т и з а б ы в а н и я ф о р м ы т р а е к т о р и и .
П о с т р о е н н ы е о п р е д е л я ю щ и е с о о т н о ш е н и я с п р а в е д л и в ы д л я п р о и з в о л ь
н ы х а к т и в н ы х п р о ц е с с о в ч и с т о г о р а с т я ж е н и я б е з в р а щ е н и я м а т е р и а л о в с
л ю б ы м т и п о м с и м м е т р и и с в о й с т в п р и б о л ь ш и х д е ф о р м а ц и я х .
С и с п о л ь з о в а н и е м ( 1 ) , з н а я д л я к о н к р е т н о г о п р о ц е с с а и с т о р и ю и з м е
н е н и я т е н з о р а Я , д л я п р о и з в о л ь н ы х а к т и в н ы х п р о ц е с с о в д е ф о р м и р о в а н и я
п р о с т ы х у п р у г о п л а с т и ч е с к и х м а т е р и а л о в с з а т у х а ю щ е й п а м я т ь ю ф о р м ы
т р а е к т о р и и , н а ч а л ь н о й п о в е р х н о с т ь ю н а г р у ж е н и я и л ю б ы м т и п о м с и м м е т
р и и с в о й с т в , к а к с л е д у е т и з в ы ш е и з л о ж е н н о г о и д а н н ы х [ 1 , 7 ] , т е н з о р
н а п р я ж е н и й К о ш и н а о с н о в е ( 7 ) м о ж е т б ы т ь о п р е д е л е н с л е д у ю щ и м о б р а з о м :
Г т
Т ( ? ) = я ( ? ^ ( С ( ? т ) ) + / К п) К ( С ( ? т ) , п ) [ С ? ( п ) - С ( ? т ) с ] ^ +
10 ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2007, № 4
Моделирование затухающей памяти формы траектории
+ 0(11 С ^ ( п ) - С ( £ т ) с | | ) | Я т ( £ ) . ( 9 )
Д л я и з о т р о п н о г о м а т е р и а л а , с л е д у я д а н н ы м [ 1 0 ] , с о о т н о ш е н и е ( 7 ) м о ж е т
б ы т ь п р и в е д е н о к т а к о м у в ы р а ж е н и ю :
£ - £ т
Т ( £ ) = Г ( В ( £ т ) ) + / Н(п ) К ( Б ( £ т ) , п ) [ С £ ( п ) - С ( £ т ) с ] ( 1 0 )
- о
О т м е т и м , ч т о у р а в н е н и е ( 1 0 ) п о л у ч е н о д л я а к т и в н ы х п р о ц е с с о в ч и с т о г о
р а с т я ж е н и я б е з в р а щ е н и я , в к о т о р ы х Я £ = 1 и В = С .
П р и з а п и с и ( 1 0 ) о п у щ е н п о п р а в о ч н ы й ч л е н .
Т е н з о р н а я ф у н к ц и я Г ( ) и л и н е й н ы й ф у н к ц и о н а л , з а д а н н ы й и н т е г р а л о м
в у р а в н е н и и ( 10) , и з о т р о п н ы е в т о м с м ы с л е , ч т о п о д ч и н я ю т с я т о ж д е с т в а м
[ 10]:
£ т ) ) 0 т = ^ Б ( £ т ) 0 т ) ; ( 11)
£
о / Н(п)к ( Б ( £ т ) , П ) [ С £ ( п) - С ( £ т ) с О О т =
- 0
£
= / К п )К ( О Б ( £ т ) О т , П ) О [ С £ ( П ) - С ( £ т ) с ] О т О ( 12)
- 0
д л я в с е х о р т о г о н а л ь н ы х т е н з о р о в О .
С о г л а с н о ф у н д а м е н т а л ь н о й т е о р е м е т е о р и и и з о т р о п н ы х т е н з о р н ы х
ф у н к ц и й [ 7 ] Г ( Б ( £ т ) ) п р е д с т а в л я е т с я с л е д у ю щ и м о б р а з о м :
Г ( Б ( £ т ) ) = к 1 + М ( £ т ) + Н 2Б ( £ т ) 2 , ( 1 3 )
г д е Н0, Н1, Н2 - ф у н к ц и и т а к и х с к а л я р н ы х и н в а р и а н т о в :
гтБ ( £ т ) , гтБ ( £ т ) 2 , гтБ ( £ т ) 3 . ( 1 4 )
К а к с л е д у е т и з д а н н ы х [ 1 0 ] , Н(п ) К в с о о т н о ш е н и и ( 1 2 ) м о ж е т б ы т ь
з а п и с а н о т а к :
Н(п ) К ( Б ( £ т ) , п ) [ С £ ( п ) - С ( £ т ) с ] = Г1( Б ( £ т ) , п ) [ С £ ( п ) - С ( £ т ) с ] +
+ [ С £ ( п ) - С ( £ т ) с ] ^ 1( Б ( £ т ) , п ) + гт { [ С £ ( п ) - С ( £ т ) с ] Г2( Б ( £ т ) , п ) } 1 +
+ гт { [ С £ ( п ) - С ( £ т ) с ] Гз ( Б ( £ т ) , п ) } Б ( £ ) +
ТЯОТ 0556-171Х. Проблемы прочности, 2007, N 4 11
П. П. Лепихин
+ * { [ С £ ( п ) - С ( £ т ) с ] Г 4 ( В ( £ т ) , п ) } В 2 ( £ ) , ( 1 5 )
г д е д л я к а ж д о г о п т е н з о р н ы е ф у н к ц и и f i ( В ( £ т ) , п ) и з о т р о п н ы в с м ы с л е
у р а в н е н и я ( 1 1 ) и , с л е д о в а т е л ь н о , и м е ю т п р е д с т а в л е н и е в ф о р м е ( 1 3 ) . С п е ц и
а л ь н ы й с л у ч а й К = 0 в у р а в н е н и и ( 1 0 ) с о о т в е т с т в у е т т е о р и и у п р у г о - и д е
а л ь н о - п л а с т и ч е с к о г о и з о т р о п н о г о м а т е р и а л а п р и к о н е ч н ы х д е ф о р м а ц и я х .
П р и р а з р а б о т к е т е о р и и б е с к о н е ч н о м а л ы х д е ф о р м а ц и й у п р у г о п л а с т и
ч е с к и х м а т е р и а л о в с з а т у х а ю щ е й п а м я т ь ю ф о р м ы т р а е к т о р и и п е р в о г о п о
р я д к а и н а ч а л ь н о й п о в е р х н о с т ь ю н а г р у ж е н и я н а о с н о в е у р а в н е н и я ( 7 ) ,
п о д о б н о т о м у , к а к э т о с д е л а н о в [ 7 ] д л я в я з к о у п р у г и х м а т е р и а л о в , б у д е м
с т р о и т ь с е м е й с т в а с м е щ е н и й , к о т о р ы е с о о т в е т с т в у ю т м а л ы м м е р а м д е ф о р
м а ц и и в т е ч е н и е в с е г о “ п р о ш л о г о ” , п о л а г а я
Н = Д и = Г - 1 , Е = 2 ( Н + Н т ) , Я = ^ ( Н - Н т ) , ( 1 6 )
г д е и - в е к т о р п е р е м е щ е н и я ; Е и Я - т е н з о р ы б е с к о н е ч н о м а л ы х д е ф о р
м а ц и и и п о в о р о т а .
Ч е р е з £ о б о з н а ч и м н а и м е н ь ш у ю в е р х н ю ю г р а н ь н о р м г р а д и е н т а с м е
щ е н и я Н , с о о т в е т с т в у ю щ и х в с е м д е ф о р м а ц и я м , к о т о р ы м п о д в е р г а л с я м а т е
р и а л :
£ = э и р | Н £ ( п ) | , П - 0- ( 1 7 )
Р а с с м о т р и м с е м е й с т в а и с т о р и й г р а д и е н т а т а к и е , ч т о £ ^ 0.
С и с п о л ь з о в а н и е м д а н н ы х [ 7 ] м о ж н о п о к а з а т ь , ч т о
С £ ( п ) - С ( £ т ) с = 2 [ Е ( £ - п ) - Е с ( £ - п ) ] + 0( £ 2 ) = 0( £ ) ; ( 1 8 )
Я ( £ ) = 1 + Я ( £ ) + 0 ( £ 2 ) = 1 + 0 ( £ ) . ( 1 9 )
Т о г д а , п о д с т а в и в ( 1 8 ) в ( 7 ) , п о л у ч и м
£ - £ т
Т ( £ ) = g ( С ( £ т ) ) + 2 / Н ( п ) К ( С ( £ т ) , п ) [ Е ( £ - п ) - Е с ( £ - п ) ] ^ п + о ( £ ) . ( 20)
-0
В с л у ч а е б е с к о н е ч н о м а л ы х д е ф о р м а ц и й м о ж н о п о к а з а т ь , ч т о з а м е н а
С ( £ т ) н а 1 в К ( С ( £ т ) , п ) п р и в о д и т к о ш и б к е п о р я д к а о ( £ ) [ 1 1 ] . С у ч е т о м
э т о г о , а т а к ж е с в я з и п р а в о г о т е н з о р а К о ш и - Г р и н а с т е н з о р о м б е с к о н е ч н о
м а л о й д е ф о р м а ц и и в в и д е
С ( £ ) = 1 + 2 Е ( £ ) + 0 ( £ 2 ) = 1 + 0 ( £ ) ( 2 1 )
с о о т н о ш е н и е ( 20) м о ж н о п р е о б р а з о в а т ь с л е д у ю щ и м о б р а з о м :
12 0556-171Х. Проблемы прочности, 2007, № 4
Моделирование затухающей памяти формы траектории
£ - £ т
Т (£) = g (Е (£ т ) ) + 2 / Ы] ) К ( 1 , ] ) [ Е ( £ - ] ) - Е с ( £ - ] ) ] —] + о (£). (22)
- о
А налогично [7] для бесконечно м алы х деф орм аций прим еним ли н еари
зацию первого слагаемого g (С (£ т )), описы ваю щ его упругую деф орм ацию ,
и обозначим ф ункцию забы вания М ( ] ) через [1]:
00 —
М ( ] ) = - 2/ Н(2) К ( 1 , 2 — , М (] ) = — М (] ) = 2Н(] ) К ( 1, ] ) , (23)
] /
где М ( ] ) - ф ункция забы вания.
С учетом разры вности тензорной ф ункции М (£) при £ = 0 и данны х
[12] м ож но записать
—М (] ) = М ( ] ) —] + М ( ] ) д ( ] - 0)—] , (24)
где д ( ] - 0) - ^-ф ункция Дирака.
Тогда с учетом (24) и возм ож ности линеари зации ф ункции g (С (£ т ))
соотнош ение (22) прим ет вид
£ - £ т
Т ( £ ) = Ь [Е( £ т ) ] + / — М ( ] ) [Е ( £ - ] ) - Е с ( £ - ] ) ] + о( £). (25)
-0
П ринимая во внимание данны е [12] и используя интегрирование д-функ-
ции Д ирака, входящ ей в диф ф еренц иал ф ункции забы вания —М ( ] ) , можно,
пренебрегая поправочны м членом, переписать (25) в виде
£ - £ т
Т (£ ) = ( Ь - М ( £ - £ т ) ) [Е (£ т )] + М (0 )[Е (£ )]+ / — М ( п ) [ Е ( £ - ] ) ] . (26)
0
И ны е способы перехода от (25) к (26) отм ечены в [12].
Д ругую ф орм у соотнош ений, определяю щ их напряж ения, мож но полу
чить из (25) зам еной перем енной г = £ - ] и интегрированием по частям:
Т (£ ) = Ь [Е (£ т ) ] + / М ( £ - г )
—Е( г )
—г
—г (27)
т
В случае М = 0 (26), (27) сводятся к реакц ии упруго-идеально-пластичес
кого материала.
Больш ой практи чески й интерес представляю т изотропны е ф орм ы уп ру
гопластических соотнош ений м еж ду напряж ениям и и деф орм ациям и. В
этом случае линейны е тензорны е ф ункции Ь [] и М ( ) [ ] - изотропны е.
ТХОТ 0556-171Х. Проблемы прочности, 2007, N2 4 13
П. П. Лепихин
К а ж д а я л и н е й н а я и з о т р о п н а я т е н з о р н а я ф у н к ц и я Ь [ А ] и м е е т , с о г л а с н о
[ 11] , т а к о е п р е д с т а в л е н и е
Ь [ А ] = с 0 ( їт А )1 + С і А , ( 2 8 )
г д е с о и С і - к о н с т а н т ы .
С и с п о л ь з о в а н и е м ( 2 8 ) и з ( 2 7 ) п о л у ч и м
Т ( £ ) = Я їт Е ( £ т ) + / Я ( £ - г ) — їт Е ( г ) - г 1 +
+ 2 / л Е ( £ т ) + 2 / ^ ( £ - г ) — [ Е ( г ) ] —г , ( 2 9 )
г д е Я и л - к о э ф ф и ц и е н т ы Л а м е м а т е р и а л а ; Я ( £ — г ) , л ( £ — г ) - с к а л я р н ы е
ф у н к ц и и м а т е р и а л а .
Р а з л о ж и в т е н з о р ы н а п р я ж е н и й и б е с к о н е ч н о м а л ы х д е ф о р м а ц и й в с о о т
н о ш е н и и ( 2 9 ) н а ш а р о в у ю и д е в и а т о р н у ю с о с т а в л я ю щ и е и п р и р а в н я в с о о т
в е т с т в у ю щ и е с о с т а в л я ю щ и е в п р а в о й и л е в о й ч а с т я х п о л у ч е н н о г о с о о т н о
ш е н и я , з а п и ш е м
8( £ ) = 2^ е ( £ т ) + 2/ л ( £ - г ) - — ^ —г ; ( з о )
— г
£ _ - Е ( г )
Т о ( £ ) = ї т Т ( £ ) = З К е о ( £ т ) + з / К ( £ - г ) - - ^ - г , ( з і )
~ 1
г д е е ( ) = Е ( ) — з е о 1 - д е в и а т о р т е н з о р а б е с к о н е ч н о м а л ы х д е ф о р м а ц и й
1
( д а л е е д е в и а т о р д е ф о р м а ц и й ) ; т е н з о р 3 Е о 1 п р е д с т а в л я е т с о б о й ш а р о в у ю
1
с о с т а в л я ю щ у ю т е н з о р а д е ф о р м а ц и и , с к а л я р 3 е о - с р е д н ю ю д е ф о р м а ц и ю ;
3К = 3Я + 2 ц , з К ( ) = 3 Я ( ) + 2Д ( ) ; ( 32)
1 1
8( ) = Т ( ) - з Т о ( ) 1 - д е в и а т о р н а п р я ж е н и й ; т е н з о р 3 Т о ( ) 1 п р е д с т а в л я е т
1
с о б о й ш а р о в у ю с о с т а в л я ю щ у ю т е н з о р а н а п р я ж е н и й , с к а л я р 3 Т о ( ) - с р е д
н е е н а п р я ж е н и е ; К - м о д у л ь о б ъ е м н о г о с ж а т и я .
П р и в ы п о л н е н и и у с л о в и я ( 1 7 ) н е р а з л и ч а ю т о т с ч е т н у ю , р а з г р у ж е н н у ю
и а к т у а л ь н у ю к о н ф и г у р а ц и и и , к а к с л е д у е т , н а п р и м е р , и з [ 1 3 ] , с т о ч н о с т ь ю
14 0556-171Х. Проблемы прочности, 2007, N 4
т
т
1
Моделирование затухающей памяти формы траектории
до бесконечно м алы х второго порядка м алости в упругопластическим м ате
риале м ож но разделить полны е деф орм аци и так:
м аций соответственно; здесь и далее верхние индексы е и р при соответ
ствую щ ем м атем атическом объекте обозначаю т его упругие и пластические
составляю щ ие.
П рим енив разлож ение тензоров в уравнении (33) на девиаторны е и
ш аровы е составляю щ ие и приравняв такие составляю щ ие правой и левой
частям , получим
В общ ем случае при деф орм ирован ии реальны х м атериалов с упруго
пластическим поведением , как отм ечалось в [14], имеем
Д ля несж им аем ого в разгруж енном состоянии (пластически н есж и м а
емого) упругопластического м атериала запиш ем
С огласно (40) тензор пластических деф орм аци й является девиатором .
С учетом данны х [7] при достаточно м алы х деформациях лю бы х упруго
пластических м атериалов мож но принять, что упругая составляю щ ая тен
зора полны х деф орм аци й связана с тензором напряж ений законом Гука.
Тогда получим
Е = Е е + Е р , (33)
где Е е и Е р - тензоры бесконечно м алы х упругих и пластических деф ор-
(34)
(35)
(36)
(37)
(38)
и, как следует из соотнош ения (35),
(39)
П ри этом
(40)
(41)
( 4 2 )
ISSN 0556-171Х. Проблемыг прочности, 2007, № 4 15
П. П. Лепихин
г д е G и K - з а в и с я щ и е о т п л а с т и ч е с к о й д е ф о р м а ц и и м о д у л и с д в и г а и
о б ъ е м н о г о с ж а т и я . П р и ч е м п р и н у л е в о м з н а ч е н и и т е н з о р а у п р у г и х д е ф о р
м а ц и й т е н з о р н а п р я ж е н и й т а к ж е н у л е в о й . Э т о с л е д у е т и з о п р е д е л е н и й
р а з г р у ж е н н о й к о н ф и г у р а ц и и и т е н з о р а у п р у г и х д е ф о р м а ц и й .
П р и з а п и с и ( 4 1 ) и ( 4 2 ) п о л а г а л и , ч т о в п р о ц е с с е д е ф о р м и р о в а н и я
у п р у г о п л а с т и ч е с к и х м а т е р и а л о в с о х р а н я е т с я и з о т р о п и я у п р у г и х с в о й с т в с
и з м е н е н и е м п о с л е д н и х в п р о ц е с с е а к т и в н о г о д е ф о р м и р о в а н и я . З а в и с и м о с т ь
у п р у г и х с в о й с т в р я д а м а т е р и а л о в с у п р у г о п л а с т и ч е с к и м п о в е д е н и е м о т
п л а с т и ч е с к о й д е ф о р м а ц и и о б н а р у ж е н а э к с п е р и м е н т а л ь н о [ 1 5 - 1 7 ] . С и с т е
м а т и ч е с к и е и с с л е д о в а н и я т а к о й з а в и с и м о с т и в н а с т о я щ е е в р е м я о т с у т с т
в у ю т .
Е с л и п р е н е б р е ч ь з а в и с и м о с т ь ю у п р у г и х с в о й с т в о т п л а с т и ч е с к о й д е
ф о р м а ц и и , т о и з ( 4 1 ) , ( 4 2 ) п о л у ч и м
s = 2 G e е ; ( 4 3 )
T o = 3 K 0 , ( 4 4 )
г д е G и K - н е з а в и с я щ и е о т п л а с т и ч е с к о й д е ф о р м а ц и и м о д у л и с д в и г а и
о б ъ е м н о г о с ж а т и я .
Д л я п л а с т и ч е с к и н е с ж и м а е м о г о м а т е р и а л а , к о г д а с о г л а с н о [ 1 8 ] K ( ) =
= c o n s t = K , с о о т н о ш е н и е ( 3 1 ) п р и м е т в и д
T o ( £ ) = 3 K o ( £ ) . ( 4 5 )
П р и э т о м з а в и с и м о с т ь ( 3 0 ) о с т а е т с я б е з и з м е н е н и я .
П р и н я в R £ Ф 1 , с у ч е т о м ( 9 ) и ( 1 9 ) м о ж н о з а к л ю ч и т ь , ч т о с т о ч н о с т ь ю
д о б е с к о н е ч н о м а л ы х в т о р о г о п о р я д к а м а л о с т и п о л у ч е н н ы е д л я а к т и в н ы х
п р о ц е с с о в ч и с т о г о р а с т я ж е н и я б е з в р а щ е н и я в с л у ч а е б е с к о н е ч н о м а л ы х
д е ф о р м а ц и й в ы р а ж е н и я д л я н а п р я ж е н и й н е и з м е н я т с я и , с л е д о в а т е л ь н о ,
п р и м е н и м ы д л я м о д е л и р о в а н и я о б щ е г о с л у ч а я д е ф о р м и р о в а н и я у п р о ч н я
ю щ и х с я у п р у г о п л а с т и ч е с к и х м а т е р и а л о в с з а т у х а ю щ е й п а м я т ь ю ф о р м ы
т р а е к т о р и и и н а ч а л ь н о й п о в е р х н о с т ь ю н а г р у ж е н и я .
Р е з ю м е
З а п р о п о н о в а н о м а т е м а т и ч н у т е о р і ю с т р о г о ї п о б у д о в и і с п е ц і а л і з а ц і ї в и з н а
ч а л ь н и х с п і в в і д н о ш е н ь п р о с т и х п о Н о л л у з м і ц н ю в а н и х п р у ж н о - п л а с т и ч н и х
м а т е р і а л і в і з п о ч а т к о в о ю п о в е р х н е ю н а в а н т а ж е н н я т а з г а с а ю ч о ю п а м ’я т т ю
ф о р м и т р а є к т о р і ї н а а к т и в н і й д і л я н ц і д е ф о р м у в а н н я . Д е ф о р м а ц і ї і т и п
с и м е т р і ї м а т е р і а л у - д о в і л ь н і . П о б у д о в а н о ф і з и ч н і с п і в в і д н о ш е н н я м а т е
р і а л і в , я к і н е м а ю т ь п а м ’я т і ф о р м и т р а є к т о р і ї , з і с л а б к о ю з г а с а ю ч о ю п а м ’я т
т ю т а з і з г а с а ю ч о ю п а м ’я т т ю n - г о п о р я д к у . Н а о с н о в і р о з р о б л е н и х в и з н а
ч а л ь н и х с п і в в і д н о ш е н ь о т р и м а н о ф і з и ч н і р і в н я н н я д л я і з о т р о п н и х м а т е
р і а л і в . І з п о з и ц і й з г а с а ю ч о ї п а м ’я т і ф о р м и т р а є к т о р і ї д а н о в и з н а ч е н н я
16 ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2007, № 4
Моделирование затухающей памяти формы траектории
пруж но-ідеально-пластичного матеріалу. Завдяки прийняттю ум ови малості
м ір деф орм ації впродовж усього “м ин улого” розроблено теорію строгої
побудови і спеціал ізац ії визначальних сп іввіднош ень м атеріал ів із згасаю
чою п ам ’яттю ф орм и траєктор ії перш ого порядку для нескінченно м алих
деф орм ацій . О собливу увагу приділено ізотропним м атеріалам .
1. Лепихин П. П. М одели рован и е затухаю щ ей п ам яти ф орм ы траектори и
в тео р и и п р о сты х м атер и ало в с у п р у го п л асти ч еск и м п о веден и ем .
С ообщ . 1. К онечны е деф орм ации // П робл. прочности. - 2004. - № 5. -
С. 63 - 77.
2. Lepikhin P. P. Sim ulation o f fading path shape m em ory in theo ry o f sim ple
e la s to p la s tic a lly d efo rm in g m ate ria ls : A b strac ts E u ro m ech (E u ro p ean
M echanics Society) C olloquium 458 “A dvanced M ethods in V alidation and
Identification o f N on linear C onstitu tive E quations in Solid M echanics” . -
M oscow : M oscow U niversity Press, 2004. - 115 p.
3. Лепихин П. П. М оделирование затухаю щ ей пам яти в теории просты х по
Н оллу м атериалов с упругопластическим поведением // П рогрессивная
техника и технология м аш иностроения, приборостроения и сварочного
производства: Тр. М еж дунар. науч.-техн. конф., посвящ енной 100-летию
м еханико-м аш иностроительного и 50-летию сварочного факультетов
(2 5 -2 8 м ая 1998 г.). - К иев: Н ац. техн . у н -т У к р аи н ы “К П И ”, 1998. -
Т. 3. - С. 105 - 109.
4. Лепихин П. П. М одели рован и е затухаю щ ей п ам яти ф орм ы траектори и
в тео р и и п р о сты х м атер и ало в с у п р у го п л асти ч еск и м п оведен и ем .
С ообщ . 2. Бесконечно м алы е деф орм ации // П робл. почности. - 2004. -
№ 6. - С. 87 - 98.
5. Трощенко В. Т., Красовский А. Я., Покровский В. В. и др. С опротивле
ние м атериалов деф орм ированию и разруш ению . С правочное пособие.
- К иев: Н аук. думка. - 1993. - Т. 1. - 286 с.
6. Трощенко В. Т., Красовский А. Я., Покровский В. В. и др. С опротивле
ние м атериалов деф орм ированию и разруш ению . С правочное пособие.
- К иев: Н аук. думка. - 1994. - Т. 2. - 701 с.
7. Truesdell C. A F irst C ourse in R ational C ontinuum M echanics. - Baltim ore:
T he Johns H opkins U niversity , 1972.
8. Lucchesi M., Owen D. R., and Podio-Guidugli P. M aterials w ith elastic
range: A theory w ith a v iew tow ard applications. Pt. 3: A pproxim ate
constitu tive relations // A rch. Rat. M ech. A nalysis. - 1992. - 117. - P. 53 -
96.
9. Coleman B. D. and Noll W. A n approxim ation theorem for functionals, w ith
applications in continuum m echanics // Ibid. - 1960. - 6. - P. 355 - 370.
10. Coleman B. D. and Noll W. Foundations o f linear v iscoelastic ity // R eview s
M odern Phys. - 1961. - 33. - P. 239 - 249.
11. Truesdell C. and Noll W. The N on-L inear F ie ld T heories o f M echanics. -
N ew Y ork: Springer, 1992.
ISSN 0556-171X. Проблемыг прочности, 2007, № 4 17
П. П. Лепихин
12. Christensen R. M. T heory o f V iscoelasticity . A n Introduction . - N ew Y ork;
London: A cadem ic Press, 1971.
13. Casey J. A pproxim ate k inem atical re la tion in p lastic ity // Int. J. Solids
Struct. - 1985. - 21, N o. 7. - P. 671 - 682.
14. Коларов Д., Балтов А., Бончева H. М еханика на пластичните среди. -
София: И зд-во на българската академ ия на науките, 1975.
15. Жуков А. М. Н екоторы е особенности поведения м еталлов при уп руго
п ластическом деф орм ирован ии // В опросы теории пластичности . - М.:
И зд-во А Н СС С Р, 1961. - С. 30 - 57.
16. Ленский В. С. Э кспериментальная проверка основных постулатов общ ей
теории упругопластических деф орм аций // В опросы теории п ластич
ности. - М .: И зд-во А Н СС С Р, 1961. - С. 58 - 82.
17. Шишмарев О. А., Кузьмин Е. Я. О зависим ости упругих постоянны х
м еталла от пластической деф орм ации // Изв. А Н СССР. М еханика и
м аш иностроение. - 1961. - № 3. - С. 167 - 169.
18. Valanis K. C. A theory o f v iscop lastic ity w ithou t a y ie ld surface. Pt. 1.
G eneral theory // A rch. M ech. - 1971. - 23. - N o. 4. - P. 517 - 533.
Поступила 18. 04. 2006
18 ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2007, N2 4
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-48078 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0556-171X |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-02T06:04:32Z |
| publishDate | 2007 |
| publisher | Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Лепихин, П.П. 2013-08-14T13:02:01Z 2013-08-14T13:02:01Z 2007 Моделирование затухающей памяти формы траектории в теории простых материалов с упругопластическим поведением и начальной поверхностью нагружения / П.П. Лепихин // Проблемы прочности. — 2007. — № 4. — С. 5-18. — Бібліогр.: 18 назв. — рос. 0556-171X https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/48078 539.37 Предложена математическая теория строгого построения и специализации определяющих соотношений простых по Ноллу упрочняющихся упругопластических материалов с начальной поверхностью нагружения и затухающей памятью формы траектории на активном участке деформирования. Деформации и тип симметрии материала - произвольные. Построены физические уравнения материалов, не обладающих памятью формы траектории, со слабой затухающей памятью, с затухающей памятью п-го порядка. На основе разработанных определяющих соотношений получены физические уравнения для изотропных материалов. С позиций затухающей памяти формы траектории дано определение упруго-идеально-пластического материала. Посредством принятия условия малости мер деформации в течение всего "прошлого”разработана теория строгого построения и специализации определяющих соотношений материалов с затухающей памятью формы траектории первого порядка для бесконечно малых деформаций. Особое внимание уделено изотропным материалам. Запропоновано математичну теорію строгої побудови і спеціалізації визначальних співвідношень простих по Ноллу зміцнюваних пружно-пластичних матеріалів із початковою поверхнею навантаження та згасаючою пам’яттю форми траєкторії на активній ділянці деформування. Деформації і тип симетрії матеріалу - довільні. Побудовано фізичні співвідношення матеріалів, які не мають пам’яті форми траєкторії, зі слабкою згасаючою пам’яттю та зі згасаючою пам’яттю n-го порядку. На основі розроблених визначальних співвідношень отримано фізичні рівняння для ізотропних матеріалів. Із позицій згасаючої пам’яті форми траєкторії дано визначення пружно-ідеально-пластичного матеріалу. Завдяки прийняттю умови малості мір деформації впродовж усього “минулого” розроблено теорію строгої побудови і спеціалізації визначальних співвідношень матеріалів із згасаючою пам’яттю форми траєкторії першого порядку для нескінченно малих деформацій. Особливу увагу приділено ізотропним матеріалам. We propose a mathem atical theory of rigorous formulation and specialization o f governing equations for hardening elastoplastic materials, simple in Noll’s sense with fading memory of form of the trajectory within the active deformation portion. Deformations and the type of symmetry of the material are arbitrary. We deduce physical equations for the materials without memory of form of the trajectory, with weakly fading memory, as well as with fading memory of the nth order. Based on these governing relations, we deduce physical equations for orthotropic materials. From the standpoint of fading memory of form of the trajectory, we provide definition o f the elastic-ideal plastic material. By postulating the condition of small-scale strains to be valid for the total “past” loading history, we developed a theory of rigorous formulation and specialization of governing equations for the materials with fad ing memory of the first order of form of the tra jectory for infinitely small strains. A special attention is given to orthotropic materials. ru Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України Проблемы прочности Научно-технический раздел Моделирование затухающей памяти формы траектории в теории простых материалов с упругопластическим поведением и начальной поверхностью нагружения Simulation of fading memory of form of the trajectory in theory of simple materials with elastoplastic behavior and the initial loading surface Article published earlier |
| spellingShingle | Моделирование затухающей памяти формы траектории в теории простых материалов с упругопластическим поведением и начальной поверхностью нагружения Лепихин, П.П. Научно-технический раздел |
| title | Моделирование затухающей памяти формы траектории в теории простых материалов с упругопластическим поведением и начальной поверхностью нагружения |
| title_alt | Simulation of fading memory of form of the trajectory in theory of simple materials with elastoplastic behavior and the initial loading surface |
| title_full | Моделирование затухающей памяти формы траектории в теории простых материалов с упругопластическим поведением и начальной поверхностью нагружения |
| title_fullStr | Моделирование затухающей памяти формы траектории в теории простых материалов с упругопластическим поведением и начальной поверхностью нагружения |
| title_full_unstemmed | Моделирование затухающей памяти формы траектории в теории простых материалов с упругопластическим поведением и начальной поверхностью нагружения |
| title_short | Моделирование затухающей памяти формы траектории в теории простых материалов с упругопластическим поведением и начальной поверхностью нагружения |
| title_sort | моделирование затухающей памяти формы траектории в теории простых материалов с упругопластическим поведением и начальной поверхностью нагружения |
| topic | Научно-технический раздел |
| topic_facet | Научно-технический раздел |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/48078 |
| work_keys_str_mv | AT lepihinpp modelirovaniezatuhaûŝeipamâtiformytraektoriivteoriiprostyhmaterialovsuprugoplastičeskimpovedenieminačalʹnoipoverhnostʹûnagruženiâ AT lepihinpp simulationoffadingmemoryofformofthetrajectoryintheoryofsimplematerialswithelastoplasticbehaviorandtheinitialloadingsurface |