О статическом равновесии упругой ортотропной среды с произвольно ориентированной эллиптической трещиной
Рассмотрена задача о распределении напряжений в упругой ортотропной среде с произвольно ориентованной эллиптической трещиной. Для построения решения задачи применен подход Виллиса, основанный на тройном преобразовании Фурье по пространственным переменными Фурье-образе функции Грина для бесконечного...
Saved in:
| Published in: | Проблемы прочности |
|---|---|
| Date: | 2007 |
| Main Authors: | , , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України
2007
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/48079 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | О статическом равновесии упругой ортотропной среды с произвольно ориентированной эллиптической трещиной / В.С. Кирилюк, О.И. Левчук, В.Ф. Ткаченко // Проблемы прочности. — 2007. — № 4. — С. 146-159. — Бібліогр.: 24 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860242923644256256 |
|---|---|
| author | Кирилюк, В.С. Левчук, О.И. Ткаченко, В.Ф. |
| author_facet | Кирилюк, В.С. Левчук, О.И. Ткаченко, В.Ф. |
| citation_txt | О статическом равновесии упругой ортотропной среды с произвольно ориентированной эллиптической трещиной / В.С. Кирилюк, О.И. Левчук, В.Ф. Ткаченко // Проблемы прочности. — 2007. — № 4. — С. 146-159. — Бібліогр.: 24 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Проблемы прочности |
| description | Рассмотрена задача о распределении напряжений в упругой ортотропной среде с произвольно ориентованной эллиптической трещиной. Для построения решения задачи применен подход Виллиса, основанный на тройном преобразовании Фурье по пространственным переменными Фурье-образе функции Грина для бесконечного анизотропного пространства. Проведено сравнение результатов исследований в частных случаях с данным и других авторов . Изучено влияние ориентации эллиптической трещины в ортотропном пространстве коэффициентов интенсивности напряжений вдоль ее контура.
Розглянуто задачу про розподіл напружень у пружному ортотропному середовищі з довільно орієнтованою еліптичною тріщиною. Для побудови розв’язку задачі використано підхід Вілліса, що базується на потрійному перетворенні Фур’є за просторовими змінними та Фур’є-образі функції Гріна для нескінченного анізотропного простору. Проведено порівняння результатів досліджень у частинних випадках із даними інших авторів. Вивчено вплив орієнтації еліптичної тріщини в ортотропному просторі на розподіл коефіцієнтів інтенсивності напружень вздовж її контуру.
We analyze the problem of stress distribution in the elastic orthotropic environm ent w ith an arbi trarily oriented elliptical crack. For construc tion of the problem solution the Willis approach is applicable, which is based on the on the Fourier image of the Green function for the infinite anisotropic space. The results of this study obtained for particular cases are com pared to those of other researchers. The effect of the elliptical crack orientation in the orthotropic space on the distribution of stress in tensity factors along the crack contour is studied.
|
| first_indexed | 2025-12-07T18:32:15Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 539.3
О статическом равновесии упругой ортотропной среды с
произвольно ориентированной эллиптической трещиной
В . С . К и р и л ю к , О . И . Л е в ч у к , В . Ф . Т к а ч е н к о
Институт механики им. С. П. Тимошенко НАН Украины, Киев, Украина
Р а с с м о т р е н а з а д а ч а о р а с п р е д е л е н и и н а п р я ж е н и й в у п р у г о й о р т о т р о п н о й с р е д е с п р о и з
вольно о р и е н т и р о в а н н о й э л л и п т и ч е ск о й т рещ ин ой . Д л я п о ст р о е н и я р е ш е н и я з а д а ч и п р и м е
н ен п о д х о д Ви л л и са , о с н о в а н н ы й н а т р о й н о м п р е о б р а з о в а н и и Ф у р ь е п о п р о ст р а н ст в е н н ы м
п е р е м е н н ы м и Ф у р ь е -о б р а з е ф у н к ц и и Г р и н а для б е с к о н е ч н о го а н и зо т р о п н о го п р о ст р а н ст в а .
П р о в е д е н о ср а в н е н и е р е зу л ь т а т о в и ссл е д о в а н и й в ч а с т н ы х с л у ч а я х с д а н н ы м и д р у ги х а в т о
ро в . И з у ч е н о вли ян ие о р и е н т а ц и и э л л и п т и ч е ск о й т р е щ и н ы в о р т о т р о п н о м п р о ст р а н ст в е на
р а с п р е д е л е н и е к о э ф ф и ц и е н т о в и н т е н с и в н о с т и н а п р я ж е н и й вдоль ее конт ура.
К л ю ч е в ы е с л о в а : н а п р я ж е н н о е с о с т о я н и е , у п р у г а я о р т о т р о п н а я с р е д а ,
э л л и п т и ч е с к а я т р е щ и н а , п р о и з в о л ь н а я о р и е н т а ц и я , п р е о б р а з о в а н и е Ф у р ь е ,
ф у н к ц и я Г р и н а , к о э ф ф и ц и е н т ы и н т е н с и в н о с т и н а п р я ж е н и й .
В в е д е н и е . И с с л е д о в а н и е н а п р я ж е н н о г о с о с т о я н и я и к о э ф ф и ц и е н т о в
и н т е н с и в н о с т и н а п р я ж е н и й ( К И Н ) в у п р у г о й и з о т р о п н о й с р е д е с д и с к о
о б р а з н ы м и и л и э л л и п т и ч е с к и м и т р е щ и н а м и , а т а к ж е с и с т е м о й т а к и х т р е
щ и н п р о в о д и л о с ь в р а б о т а х [ 1 - 1 2 ] и д р . И з у ч е н и ю р а с п р е д е л е н и я н а п р я
ж е н и й в т р а н с в е р с а л ь н о - и з о т р о п н о м м а т е р и а л е , с о д е р ж а щ е м д и с к о о б р а з н ы е
и л и э л л и п т и ч е с к и е т р е щ и н ы , п о с в я щ е н о з н а ч и т е л ь н о м е н ь ш е р а б о т [ 7 , 9 ,
1 3 - 1 6 ] и д р . С у щ е с т в е н н ы м о г р а н и ч е н и е м в э т о м с л у ч а е я в л я л о с ь п р е д
п о л о ж е н и е о т о м , ч т о п л о с к и е т р е щ и н ы р а с п о л о ж е н ы в п л о с к о с т я х и з о
т р о п и и т р а н с в е р с а л ь н о - и з о т р о п н о г о м а т е р и а л а , т .е . о с ь т р а н с т р о п и и м а
т е р и а л а п е р п е н д и к у л я р н а п л о с к о с т и т р е щ и н ы . И с к л ю ч е н и е с о с т а в и л а р а б о
т а [ 1 7 ] , в к о т о р о й р а с с м а т р и в а л а с ь э л л и п т и ч е с к а я т р е щ и н а , р а с п о л о ж е н н а я в
т а к о й с р е д е н е т о л ь к о в п л о с к о с т и и з о т р о п и и , н о и п е р п е н д и к у л я р н о к н е й .
О д н а к о п о л у ч е н н о е р е ш е н и е я в л я е т с я н е к о р р е к т н ы м , ч т о п о к а з а н о в [ 1 8 , 1 9 ] .
О т м е т и м , ч т о н а х о ж д е н и е з а м к н у т ы х р е ш е н и й у к а з а н н ы х з а д а ч о с н о
в а н о н а и з в е с т н ы х п р е д с т а в л е н и я х о б щ и х р е ш е н и й п р о с т р а н с т в е н н ы х с т а
т и ч е с к и х з а д а ч д л я и з о т р о п н ы х и т р а н с в е р с а л ь н о - и з о т р о п н ы х м а т е р и а л о в .
Д л я э т и х т и п о в м а т е р и а л о в ф у н д а м е н т а л ь н о е р е ш е н и е ( ф у н к ц и я Г р и н а д л я
б е с к о н е ч н о й с р е д ы ) в ы р а ж а е т с я в я в н о м в и д е ч е р е з э л е м е н т а р н ы е ф у н к ц и и ,
ч т о п р и н ц и п и а л ь н о о т л и ч а е т и х о т с л у ч а я о р т о т р о п н ы х м а т е р и а л о в . Д л я
п о с л е д н и х т а к ж е н е и з в е с т н ы о б щ и е п р е д с т а в л е н и я р е ш е н и й т р е х м е р н ы х
у р а в н е н и й т е о р и и у п р у г о с т и , п о д о б н ы е , н а п р и м е р , п р е д с т а в л е н и ю П а п к о -
в и ч а - Н е й б е р а д л я и з о т р о п н о г о м а т е р и а л а и л и Э л л и о т а д л я т р а н с в е р с а л ь н о -
и з о т р о п н о г о . О б у с л о в л е н н ы е э т и м д о п о л н и т е л ь н ы е м а т е м а т и ч е с к и е т р у д
н о с т и н е п о з в о л я ю т п р и р а с с м о т р е н и и т р е х м е р н ы х з а д а ч т е о р и и у п р у г о с т и
д л я о р т о т р о п н ы х м а т е р и а л о в и с п о л ь з о в а т ь м е т о д ы и п о д х о д ы , к о т о р ы е
у с п е ш н о п р и м е н я ю т с я п р и и с с л е д о в а н и и з а д а ч д л я и з о т р о п н ы х и т р а н с -
в е р с а л ь н о - и з о т р о п н ы х м а т е р и а л о в .
© В. С. КИРИЛЮК, О. И. ЛЕВЧУК, В. Ф. ТКАЧЕНКО, 2007
146 Й'ОТ 0556-171Х. Проблемы прочности, 2007, № 4
О статическом равновесии упругой ортотропной среды
Р а б о т ы [ 1 8 - 2 1 ] п о с в я щ е н ы и з у ч е н и ю з а д а ч о р а с п р е д е л е н и и н а п р я
ж е н и й в о р т о т р о п н ы х м а т е р и а л а х в б л и з и с ф е р о и д а л ь н ы х п о л о с т е й , в к л ю
ч е н и й , а т а к ж е в о з л е к р у г о в ы х и л и э л л и п т и ч е с к и х т р е щ и н , р а с п о л о ж е н н ы х
в г л а в н ы х п л о с к о с т я х о р т о т р о п и и м а т е р и а л а . Н а с т о я щ а я р а б о т а я в л я е т с я
п р о д о л ж е н и е м э т и х и с с л е д о в а н и й . З д е с ь и с п о л ь з у е т с я п о д х о д [ 2 2 ] , о с н о в а н
н ы й н а п р и м е н е н и и т р о й н о г о п р е о б р а з о в а н и я Ф у р ь е , Ф у р ь е - о б р а з а ф у н к ц и и
Г р и н а д л я о р т о т р о п н о й с р е д ы , а т а к ж е т е о р е м ы о в ы ч е т а х . В о з н и к а ю щ и е
к о н т у р н ы е и н т е г р а л ы в ы ч и с л я ю т с я ч и с л е н н о п о к в а д р а т у р н ы м ф о р м у л а м
Г а у с с а .
П о с т а н о в к а з а д а ч и . П р е д п о л о ж и м , ч т о б е с к о н е ч н а я о р т о т р о п н а я у п р у
г а я с р е д а ( с г л а в н ы м и о с я м и о р т о т р о п и и О х , О у , О г ) с о д е р ж и т н е к о т о р у ю
п р о и з в о л ь н о о р и е н т и р о в а н н у ю э л л и п т и ч е с к у ю т р е щ и н у . П у с т ь с р е д а н а х о
д и т с я п о д в о з д е й с т в и е м о д н о р о д н о г о п о л я н а п р я ж е н и й ( о с н о в н о е н а п р я ж е н
н о е с о с т о я н и е ) . Н а л и ч и е т р е щ и н ы в н о с и т в о з м у щ е н и е в о с н о в н о е н а п р я
ж е н н о е с о с т о я н и е . В ц е л о м н а п р я ж е н н о е с о с т о я н и е у п р у г о й с р е д ы с т р е щ и
н о й м о ж н о п р е д с т а в и т ь к а к с у м м у о с н о в н о г о и в о з м у щ е н н о г о н а п р я ж е н н о г о
с о с т о я н и я , в ы з в а н н о г о н а л и ч и е м т р е щ и н ы . У п р у г и е с в о й с т в а о р т о т р о п н о г о
м а т е р и а л а х а р а к т е р и з у ю т с я д е в я т ь ю н е з а в и с и м ы м и п о с т о я н н ы м и в е л и ч и
н а м и : С11, С22, с 33, С12, С13, С23, С44, с 55, с 6 6 . У п р у г и е п о с т о я н н ы е С щ
с в я з а н ы с в е л и ч и н а м и с тп з а в и с и м о с т я м и :
С 1111 = с 11 ; С 2222 = с 2 2 ; С 3333 = с 33 ;
С 1122 = С 2211 = с 1 2 ; С 1133 = С 3311 = с 13 ; С 2233 = С 3322 = с 23 ;
С 2323 = С 2332 = С 3232 = С 3223 = с 4 4 ;
С 3131 = С 3113 = С 1331 = С 1313 = с 5 5 ; С 1212 = С 1221 = С 2121 = С 2112 = с 66-
В с е о с т а л ь н ы е к о м п о н е н т ы т е н з о р а С щ р а в н ы н у л ю .
Р а с с м о т р и м д в е с и с т е м ы к о о р д и н а т , о д н а и з к о т о р ы х ( х , у , г ) с в я з а н а с
г л а в н ы м и о с я м и о р т о т р о п и и у п р у г о й с р е д ы О х , О у , О г , а д р у г а я ( л о к а л ь н а я )
с и с т е м а ( х 1, у 1, 2 1) - с о р и е н т а ц и е й т р е щ и н ы . О с ь О г 1 э т о й с и с т е м ы
к о о р д и н а т о р и е н т и р о в а н а п е р п е н д и к у л я р н о п л о с к о с т и р а с п о л о ж е н и я т р е щ и
н ы . О с и О х и О у н а п р а в л е н ы в д о л ь п о л у о с е й э л л и п т и ч е с к о й т р е щ и н ы .
П р о и з в о л ь н у ю о р и е н т а ц и ю т р е щ и н ы м о ж н о о п и с а т ь с п о м о щ ь ю с в я з и с и с
т е м к о о р д и н а т ( х , у , г ) и ( х 1, у 1, 2 1) . П р и э т о м с и з м е н е н и е м н а п р а в л е н и й
л о к а л ь н о й с и с т е м ы к о о р д и н а т и з м е н я ю т с я и у п р у г и е с в о й с т в а м а т е р и а л а .
Т а к , н а п р и м е р , е с л и и з и с х о д н о й с и с т е м ы к о о р д и н а т ( х , у , г ) п о в о р о т о м
в п р а в о в о к р у г о с и О х н а у г о л а п о л у ч а е м л о к а л ь н у ю с и с т е м у ( х 1, у 1, г 1) , т о
т е н з о р у п р у г и х м о д у л е й С Он в н о в о й ( л о к а л ь н о й ) с и с т е м е к о о р д и н а т н а х о
д и м с п о м о щ ь ю о б ы ч н о г о п р е о б р а з о в а н и я т е н з о р а ч е т в е р т о г о п о р я д к а [ 2 3 ] :
С у Ы ~ С т прд а т а ] п а кр а 1д ,
г д е а ̂ - м а т р и ц а п р е о б р а з о в а н и я к о о р д и н а т ,
ISSN 0556-171Х. Проблемыг прочности, 2007, № 4 147
В. С. Кирилюк, О. И. Левчук, В. Ф. Ткаченко
а і
1 0 0
0 со8 а — 8ш а
0 8ш а со8 а
Закон Гука для ортотропного м атериала в новой систем е координат
при ним ает вид
_ /1 X
° у - С ]к1 £ к1 >
где, как и при вы чи слен ии ком понентов тензора Суц , сум м ирование прово
дится по повторяю щ им ся индексам.
В общ ем случае произвольную ориентацию трещ ин ы м ож но получить,
проводя последовательно вращ ение старой систем ы координат вокруг осей
Ох, Оу, Ог на углы а , 3 , у соответственно. Тогда тензор упругих модулей
^ (а, 3,у)С , которы й зависи т от трех углов поворотов, в новой систем е коор
динат получим с пом ощ ью преобразования тензора четвертого порядка и
м атрицы преобразования более слож ного вида:
С
С
(а ,3,у) _
ЦкІ С т т т ттпрдтіт1 іпт крт , ( 1)
где Ту - м атри ца преобразования координат,
т .. =
С08 3 С08 у — С08 3 8ІП у 8ІП /3
8Ш а 8Ш 3 С08 у + С08 а 8Ш у —8ІП а 8Ш 3 8Ш у + С08 а С08 у — 8Ш а С08 3
— С08 а 8Ш 3 С08 у + 8Ш а 8Ш у С08 а 8ІП 3 8ІП у + 8Ш а С08 у С08 а С08 3
М атрица т у является результатом последовательного перем нож ения
трех м атриц, отраж аю щ их правы е вращ ения вокруг каж дой из осей коорди
нат:
1 0 0 С08 3 0 8ІП 3 С08 у — 8ІП у 0’
а і і = 0 С08 а — 8ш а ; 3 і = 0 1 0 ; у і = 8Ш у С08 у 0
0 8ш а С08 а — 8ІП 3 0 С08 3 0 0 1
Закон Гука для упругого ортотропного м атериала в новы х координатах,
связанны х с вращ ением вокруг трех осей старой систем ы координат, полу
чим в виде
(а 3 л/)
(2)
= С (а ,3,у) Р° и = С укІ г к1 >
где сум м ирование проводится по повторяю щ им ся индексам .
Д алее все построения будем проводить в новой систем е координат. (Во
избеж ание гром оздкости вы раж ений верхние индексы “ 1” будем опускать.)
И спользуем такж е тензорную запись, в которой будем подразум евать, что
148 ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2007, № 4
О статическом равновесии упругой ортотропной среды
сум м ирование проводится по повторяю щ им ся индексам в рассм атриваем ы х
вы раж ениях. О тм етим , что вм есто преобразования Ту, связанного с п осле
довательны м вращ ением вокруг осей координат Ох, Оу, Ог, м ож но бы ло бы
ввести другое преобразование, наприм ер, отвечаю щ ее поворотам с углами
Э йлера. Однако для простоты излож ения вы берем преобразование, состоя
щ ее из п оследовательн ы х вращ ен и й вокруг трех разли чн ы х осей коорди
нат.
Зам етим , что при наличии плоской трещ ин ы в изотропн ой среде или
при располож ении ее в плоскости изотропии в трансверсально-изотропном
м атериале задача общ его вида распадается на две независим ы е задачи:
сим м етричную и антисим м етричную . В случае более низкой сим м етрии
свойств упругого м атериала граничную задачу согласно [22] следует р ас
сматривать в общ ем виде. Так, для однородного поля напряж ений в среде с
трещ иной, воспользовавш ись суперпозицией состояний основного поля и
возм ущ ения, вы званного наличием трещ ины , для нахож дения возмущ енного
состояния получаем следую щ ие граничны е условия:
М етод р е ш е н и я . Д ля определения поля напряж ений используем и н те
гральное представление ф ункции Грина для бесконечной анизотропной сре
ды (ф ундам ентальное реш ение). Э та ф ункция удовлетворяет следую щ им
уравнени ям равновесия анизотропного тела:
где д (х - х ') - д-ф ункция Д ирака; д т - сим вол К ронекера.
В оспользуем ся согласно [24] следую щ им ин тегральны м вы раж ением
ф ундам ентального реш ен ия для анизотропной среды:
где N у (£ ) - соответствую щ ие алгебраические дополнения элем ентов м ат
риц ы вида
Б (£ ) - ее определитель, представляю щ ий собой м ногочлен ш естого порядка
относительно перем енны х £ і , £ 2, £ 3; используем ы й трехкратны й интеграл
( 3 )
с ( « , ) г К )
с у Н С к т , А + <5 т <5(X - X') = 0,
X X X
} ( х - X ' ) = — 3 / / / Н у ( £ ) Б - 1( £ у ^ - ^ й £ хй £ 2й £ 3 , ( 4 )
{ К * (£ )} = { С § / ’7} £ у £ 1 } = { С ^ ’7} £! £ у } = { С А / ’7} £ і £ у } = { К * (£ )} ; (5)
X
далее будем обозначать
— X
ISSN 0556-171Х. Проблемыг прочности, 2007, № 4 149
В. С. Кирилюк, О. И. Левчук, В. Ф. Ткаченко
Д ля эллиптической трещ ин ы согласно [22] возм ущ енное состояние
мож но представить с пом ощ ью скачков перем ещ ений через поверхность
трещ ин ы следую щ им образом:
00
и і (Х) = 7 7 ^ 3 / / С £ з ’7 ) Ь т (* ')£ 1 Ы ] ( I ) П _1( ! )е1̂ '(Х~Х) д%йх\йх'2, (6)
( 2 ^ ) _ о ^
где ф ункции N у ( | ), П ( | ) для эллиптической трещ ины определяю тся с
пом ощ ью ф орм ул (5), а неизвестны й вектор Ь(Х) при ним ает вид
b( x ) = b
2 \ 12
x 2
/ 2
1 - — - —2 2
V a1 a 2 У
( 7 )
С использованием теорем ы Кош и о вы четах поле перем ещ ений, вы зван
ное н еи звестн ы м и скачкам и п ерем ещ ен и й через п оверхн ость трещ ин ы ,
м ож но записать как
-, 3 00 О (-1 ( >̂̂ ,7 ̂ М ДГ Ґ Ь М \
1 ^ Г Г Г СС ]Іт 3 1 1 Ы і] ( 1 )
и і ( х ) = 4„ 2 ^ / / И д п ( I М ) / д ! Х
м =1 _ о _ о ^ V а1 з
Х Ь т (Х ')е і! (х х )d | 1 ^ !2 dx'ldx'2, (8)
где суммирование проводится для ! 3м - корней уравнения П ( | ) = 0 с отрица
тельной м нимой частью , вектор I М им еет вид I М = ( ! 1, ! 2 , I М ( I 1, I 2 ))-
С оответственно поле нап ряж ений представим так:
3 со о с (^, )С ^ ) I М I М ы ( | М \
^ _ і г г г г С уЫ С рдт 3 £ д £ І ( Ь )
°и (х ) = 4 _ 2 ^ J J J J д п ( I М ) Х
4 ^ м =1 _ о _ о ^ У 3'?з
Х Ьт (х ') е ^ (х х )d | 1й§ 2йх1йх2-
Рассм отрим ком поненты напряж ений на поверхн ости трещ ин ы и п рове
дем некоторы е упрощ ения. В результате согласно [22] получим
. 2я 3 /
° У (Х) = " 4 f S Є ’ ^ 3- (W a 1> 9 2 І a 2 ) b m d P , (9)
0 U=1 a a "
j ' 4 J - Ут I a ’ a
4 0 U=1 V a 1 a 2
г д е ^ = c o s <p; ^ 2 = s in ф у н к ц и я F jm и м е е т в и д
150 TSSW 0556-171X. Проблемы прочности, 2007, N 4
О статическом равновесии упругой ортотропной среды
У ̂ ’( і „ г 2 , і з ) =
с (.
(а Д у )с (а Д у ) г г А ( г ,
і]кї с рдт 3 1 д1 1^ кр ( 1 )
дБ( і ) / д | 3
( 10)
Д алее для нахож дения контурны х интегралов используем метод квад
ратур Гаусса, и, удовлетворяя граничны м условиям на поверхн ости тр ещ и
ны, определяем неизвестны е значения скачков перем ещ ений.
Д ополнительны й анализ асим птотических вы раж ений напряж ений в
плоскости трещ ин ы позволил получить следую щ ие вы раж ения К И Н для
эллиптической трещ ины :
к у — і \ л
I 2 2
х ± _ , - г_
4 + 4
\ а 1 а 2 /
-1/4 /
2 Р у т ’13’̂ - у , - у , 1 3м ( х 1 І а 2 , х 2 І а 2 )
М —1 \ а 1 а 2 ( 11)
К II — к31п1 + к32п 2 ; К III — к31( п 2 ) + к32п 1,
где ком поненты норм али в плоскости (х , у ) к границе эллиптической
трещ ин ы им ею т вид
П1 — ( - 1/ а 2 ) / ( - 12 / а 4 + х 2 / а 4 ) 1/2; п 2 — (х 2/ а | ) / ( - ? / а 4 + х | / а 2 ) 1/2.
3
П ри исследован и ях исп ользовали следую щ и й алгоритм . Разбиени е
интервала интегрирования проводили с пом ощ ью узлов Гаусса, в которых
вы числяли значения £ 1, £ 2. В результате реш ения уравнени я Д ( £ ) = 0
определяли величины £ 3м. Затем из них вы бирали корни с отрицательной
м ним ой частью и использовали вы раж ение неизвестного скачка п ерем ещ е
ния (7). В ы числяя интегралы с пом ощ ью квадратурны х ф ормул Гаусса, из
ф ормул (9) и граничны х условий на поверхн ости получаем систем у ли н ей
ны х алгебраических уравнений для нахож дения неи звестны х компонентов
вектора Ь, которы е входят в вы раж ение (7) и в общ ем случае являю тся
ком плексны м и числам и. П осле реш ения систем ы линей ны х алгебраических
уравнени й значения К И Н вдоль контура эллиптической трещ ин ы вы числяли
по вы раж ениям (11).
А п р о б а ц и я подхода и а н а л и з ч и с л е н н ы х р е зу л ьтато в . Рассм отрим за
дачу об эллиптической трещ ине, располож енной в трансверсально-изотроп-
ной среде в плоскости изотропии. В этом случае вы раж ения К И Н запи сы
ваю тся в явном виде с пом ощ ью полны х эллиптических ин тегралов первого
и второго рода. Так, согласно результатам работы [9], значение К И Н К 1 при
таком располож ении трещ ин ы и сим м етричны х нагрузках не зависит от
упругих постоянны х среды и совпадает с таковы м для изотропного м ате
риала. П ри антисим м етричны х нагрузках величины К п , К ш зависят от
упругих свойств трансверсально-изотропного материала. В работах [9, 16]
показано, что достаточно взять их вы раж ения для изотропного м атериала и
коэф ф ициент П уассона V зам енить значением , которое для трансверсально-
изотропной среды вы числяется специальны м образом.
ISSN 0556-171Х. Проблемыг прочности, 2007, № 4 151
В. С. Кирилюк, О. И. Левчук, В. Ф. Ткаченко
Согласно подходу [9] рассм отрим квадратное уравнение относительно п,
которое зависит от упругих постоянны х с^ трансверсально-изотропного
материала:
с 11с 44п 2 — [с44 + с 33 с11 — ( с 13 + с 44 )2 ] п + с 33 с 44 = 0
П усть п 1, п 2 - корни этого уравнения, значение п 3 = 2 с44/ ( с 11 - с 12).
В ведем такж е обозначения
с 11п 1 — с 44 п 1( с 13 + с 44 ) с 11п 2 — с 44 п2 ( с 13 + с 44 )т = ------- ----------= ----------------------; т2 = -------- ----------= ---------------------- . ( 12)
с 13 + с 44 с 33 п 1с 44 с 13 + с 44 с 33 п 2с 44
Т о г д а з н а ч е н и е , к о т о р ы м с л е д у е т з а м е н и т ь к о э ф ф и ц и е н т П у а с с о н а V в
с о о т в е т с т в у ю щ и х в ы р а ж е н и я х д л я К И Н К П , К ш д л я и з о т р о п н о г о м а т е
р и а л а , н а х о д и м с о г л а с н о [ 9 ] с л е д у ю щ и м о б р а з о м :
п 3 1 / 2( т 2 — т 1 )
V * 1 п \ п \ г —12 —1^ ' ( 1 3 )
( 1 + т 1) ( 1 + т 2 )(п1 — п2 )
В р а б о т е [ 1 6 ] т а к ж е у с т а н о в л е н а в з а и м о с в я з ь м е ж д у з н а ч е н и я м и К И Н
д л я и з о т р о п н о й и т р а н с в е р с а л ь н о - и з о т р о п н о й с р е д п р и р а с п о л о ж е н и и т р е
щ и н ы в п л о с к о с т и и з о т р о п и и м а т е р и а л а . С о о т в е т с т в у ю щ е е з н а ч е н и е , к о т о
р о е н е о б х о д и м о п о д с т а в л я т ь в в ы р а ж е н и я К И Н К п , К ш д л я и з о т р о п н о г о
м а т е р и а л а в м е с т о к о э ф ф и ц и е н т а П у а с с о н а V, т а к о в о :
V ** — 1■
0 ,5 ( с п с 12)с 33 (2 с44 + V с 11с 33 + с 13)
( с 11с 33 с 123 ) (л/ с 11с 33 + с 13)
( 1 4 )
П р и э т о м и з в ы р а ж е н и й ( 1 3 ) , ( 1 4 ) п р е д е л ь н ы м п е р е х о д о м о т т р а н с в е р -
с а л ь н о - и з о т р о п н о г о м а т е р и а л а к и з о т р о п н о м у п о л у ч а е м з н а ч е н и е V. В р а б о
т а х [ 1 8 , 1 9 ] о т м е ч а л о с ь , ч т о ч и с л е н н ы е з н а ч е н и я , в ы ч и с л е н н ы е п о ф о р м у л а м
( 1 3 ) , ( 1 4 ) д л я к о н к р е т н ы х п а р а м е т р о в т р а н с в е р с а л ь н о - и з о т р о п н ы х м а т е р и
а л о в , с о в п а д а ю т с б о л ь ш о й т о ч н о с т ь ю . Н и ж е п о к а ж е м , ч т о в д е й с т в и т е л ь
н о с т и н е т н е о б х о д и м о с т и в п р о в е д е н и и т а к и х ч и с л е н н ы х с р а в н е н и й , п о
с к о л ь к у э т и ф о р м у л ы э к в и в а л е н т н ы , х о т я б о л е е у д о б н о й , н а н а ш в з г л я д ,
я в л я е т с я ф о р м у л а ( 1 4 ) , н е т р е б у ю щ а я п р о в е д е н и я д о п о л н и т е л ь н ы х п р о м е
ж у т о ч н ы х в ы ч и с л е н и й .
П р е д в а р и т е л ь н о п р е о б р а з у е м н е к о т о р ы е в ы р а ж е н и я , в х о д я щ и е в ф о р м у
л у ( 1 3 ) . Т а к , с о г л а с н о ( 1 2 ) и м е е м
( т 2 — т 1) :
, 1/2 1/ 2 . , 1/2 1/ 2 ,
с 11( п 2 + п1 ) ( п 2 — п1 ) 1 4 * 1 п 2
1 + т 1 =
с 11п 1 + с 13
13 + с
( с 13 + с 44)
; 1 + т 2 =
— 12 —12 12 1/2
44
с 11п 2 + с 13
с 13 + с .
( 1 5 а )
44
152 0556-171Х. Проблемы прочности, 2007, № 4
О статическом равновесии упругой ортотропной среды
(«2 2 + « 1/ 2 ) = V ( л / « 7 + л [ « 2 )2 = V («1 + « 2 ) + 2л /« 1«2 ■ ( 1 5 6 )
В с о о т в е т с т в и и с т е о р е м о й В и е т а , д л я к о р н е й к в а д р а т н о г о у р а в н е н и я « ^
И «2 п о л у ч и м
«1 + «2 =
с 44 + с 33с 11 ~ ( с 13 + с 44)2
с п с 44
« 1« 2 с 33
с 11
Д алее находим
V * = 1 —
(с11 с 12) С 11^
с33 С11 — С13 - 2С13 с44 + С33
с 11с 44 V с 11 \
33
( с 13 + с 44 )
11
44 I 2 0 N
с 33с 11 с 13 2 с13с 44 , 2
с 11с 33 + с 13 + с 13
44
- у/с44с 11
= 1 Л| 2 ( с 11 с 12)с 33
с 33с 11 с 13 2 с13с 44 + 2 с33
с 11с 44 с11
с 11с 33 с 13
1 л!(л1сПс33 ^ 1 3 ^ с 13 )с 44
= 1 і /2 ( с 11 с 1 2 ) с 33 I— , ----------------- , ------------------------------------—
\ (^ с11с33 — с 13 ) ^ л /с 11с 33 + с 1 3 ) ( с 11с 33 — с 1 3 )
= 1-
д/2 с 44 + у[с ц с 33 + с 13_1
- (с11 — с 1 2 ) с 33 I— , ------------------------------------—
д /( л /с П с 33 + с 1 3 ) ( с 11с 33 — с 1 3 )
= 1 —
1 ,----------
- ( с п — с 12)с 33(2 с44 + д/ с п с 33 + с 13)
^л/ с 11с 33 + с 13) ( с 11с 33 с 123 )
= V,
Т аким образом, с пом ощ ью элем ентарны х преобразований ф ормулу
(13) приведем к виду (14).
Д ля тестирован ия подхода приведем вы раж ения К И Н для эллип ти
ческой трещ ин ы в изотропном материале. Согласно [8] при действии растя
гиваю щ их о 03 Ф 0 или сдвигаю щ их о °3 Ф 0 усилий получим
О ( л Ь
Е ( к ) \ а
( а 2 8Іп2 ;3 + Ь2 со82 ;3)1 4 ; (16)
ISSN 0556-171Х. Проблемыг прочности, 2007, № 4 153
В. С. Кирилюк, О. И. Левчук, В. Ф. Ткаченко
у 2 к а 23 в іп Р
К п ( п а Ъ ) к 2 + , , к 2 \ Е ( к ) - л, к } К ( к ) ] ( а 2 « іп 2 Р + Ъ 2 с о «2 Р )1/4 ; ( 1 7 )
К ш =
‘ жЪ3
V а /
У 2
________________ ( 1 - у )к 2 а 03 сое Р ___________________ (18)
[(к 2 + v k 12 )E (к ) - у к у2К (к ) ] (а 2 віп2 Р + Ъ2 сов2 Р ) у4 ’ ( )
к = ( 1 - Ъ 2/ а 2 ) у 2 ; ку = Ъ / а ,
где К (к ) и Е ( к ) - полны е эллиптические интегралы первого и второго
рода. П ри зам ене коэф ф ициента П уассона V величиной V * или V ** н ахо
дим значения К И Н для трансверсальн о-изотропной среды при расп оло
ж ении эллиптической трещ ины в плоскости изтропи и м атериала.
В данном случае К И Н вы числяли по ф орм улам (11) и непосредственно
согласно вы раж ениям (1 6 )-(1 8 ) зам еной V величинам и V * или V **. П ри
этом для вы числения контурны х ин тегралов (9) использовали квадратурную
форм улу Гаусса по 24 узлам . Результаты сравнения вы числений К И Н для
а зз = 1 и а 0з = 1 по формулам (11) и (16)-(18) при замене V величинами V *
или V ** (значения в скобках) приведены в табл. 1-3 . П ри расчетах упругие
п остоян н ы е м атери ала п олагали следую щ им и: V1 = 0; V 2 = 0,4; Е 1 =
= 2 G l(1 + v 1); Е 2/ Е 1 = 2; Є 2 = Е 1, значение больш ей п олуоси эл л и п ти чес
кой трещ и н ы вы би рали равн ы м единице. В табл. 1, 2, 3 при ведено сравн е
ние дан н ы х по К И Н К К п , К ш , п олучен н ы х по двум подходам . К ак
видно из данны х таблиц, полученны е по двум подходам результаты , хорош о
согласую тся м еж ду собой.
Т а б л и ц а 1
Сравнение значений КИН К і при растяжении
а2 Р
0 ж /10 ж / 5 3 ж /10 2 ж / 5 ж/ 2
0,8 0 ,999774
(0 ,9 9 9 9 1 5 )
1 ,012973
(1 ,0 1 3 0 0 8 0 )
1 ,045277
(1 ,0 4 5 3 1 0 )
1 ,081470
(1 ,0 8 1 4 2 8 )
1 ,108299
(1 ,1 0 8 2 0 5 )
1 ,118051
(1 ,1 1 7 9 3 9 )
0,6 0 ,833077
(0 ,8 3 3 2 1 4 )
0 ,8 6 6 4 2 9
(0 ,8 6 6 5 2 4 )
0 ,93 9 1 5 6
(0 ,9 3 9 1 7 4 )
1 ,010568
(1 ,0 1 0 5 3 0 )
1 ,058920
(1 ,0 5 8 8 4 9 )
1 ,075756
(1 ,0 7 5 6 7 4 )
0,4 0 ,616025
(0 ,6 1 6 1 5 4 )
0 ,681961
(0 ,6 8 2 0 3 8 )
0 ,798001
(0 ,7 9 8 0 2 0 )
0 ,8 9 4 2 2 5
(0 ,8 9 4 2 1 4 )
0 ,9 5 4 0 9 9
(0 ,9 5 4 0 7 3 )
0 ,9 7 4 2 5 6
(0 ,9 7 4 2 2 6 )
0,2 0 ,337236
(0 ,3 3 7 4 4 9 )
0 ,4 5 4 3 2 7
(0 ,4 5 4 5 3 4 )
0 ,5 8 8 9 2 0
(0 ,5 8 9 1 5 9 )
0 ,6 8 1 9 7 6
(0 ,6 8 2 2 4 5 )
0 ,7 3 6 3 4 9
(0 ,7 3 6 6 3 7 )
0 ,7 5 4 2 6 4
(0 ,7 5 4 5 5 9 )
П рим ерно такое же совпадение результатов наблю далась для при ве
денны х соотнош ений полуосей эллиптической трещ ин ы на всем интервале
е [0 ,2 # ]. Д ля контроля вы числений интервал разбивался на 100 одина
ковы х поды нтервалов, в концах которы х проводилось сравнение значений.
Следовательно, полученны е с вы сокой точн остью значения К И Н К
К п , К ш для эллиптической трещ ин ы в трансверсальн о-изотропном мате-
154 ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2007, № 4
О статическом равновесии упругой ортотропной среды
риале, которая располож ена в плоскости его изотропии, совпали, что под
тверж дает эф ф ективность апробируем ого подхода.
И сследуем коэф ф ициенты ин тен си вности напряж ений в ортотропной
среде с эллиптической трещ и н ой при различной ее ориентации. Упругие
свойства ортотропного м атериала прим ем согласно [23] таким и: Ех = 3,68;
Е2 = 2,68; Е 3 = 1,10; в 12 = 0,50; в 23 = 0,41; в 31 = 0,45; V12 = 0,105;
V 23 = 0,431; V 31 = 0 ,405 (модули Ю нга и м одули сдвига приведены в 10 5
кгс/см 2).
Т а б л и ц а 2
Сравнение значений КИН Кп при сдвиге
а2 Р
0 я / 10 я / 5 3 я / 10 2 я / 5 я / 2
0,8 0 0 ,38 2 9 6 0 0 ,705975 0 ,9 3 9 2 4 0 1,077465 1 ,123049
(0) (0 ,3 8 2 9 5 1 ) (0 ,7 0 5 9 5 4 ) (0 ,9 3 9 2 1 1 ) (1 ,0 7 7 4 3 1 ) (1 ,1 2 3 0 1 3 )
0,6 0 0 ,414063 0 ,72 6 6 7 2 0 ,9 2 9 5 5 4 1,042891 1 ,079409
(0) (0 ,4 1 4 0 5 4 ) (0 ,7 2 6 6 5 4 ) (0 ,9 2 9 5 3 0 ) (1 ,0 4 2 8 6 3 ) (1 ,0 7 9 3 8 1 )
0,4 0 0 ,43 0 9 6 2 0 ,7 0 0 5 9 9 0 ,8 6 0 5 5 9 0 ,9 4 8 1 7 4 0 ,9 7 6 3 4 7
(0) (0 ,4 3 0 9 5 8 ) (0 ,7 0 0 5 9 4 ) (0 ,8 6 0 5 5 3 ) (0 ,9 4 8 1 7 0 ) (0 ,9 7 6 3 4 2 )
0,2 0 0 ,38 7 2 4 9 0 ,5 6 8 2 7 7 0 ,6 7 5 4 4 7 0 ,7 3 5 5 0 6 0 ,7 5 4 8 8 6
(0) (0 ,3 8 7 4 0 8 ) (0 ,5 6 8 5 1 1 ) (0 ,6 7 5 7 2 5 ) (0 ,7 3 5 7 0 8 ) (0 ,7 5 5 1 9 6 )
Т а б л и ц а 3
Сравнение значений КИН Кш при сдвиге
аг Р
0 я / 10 Я 5 3 я / 10 2 я / 5 я / 2
0,8 0 ,99 3 5 7 9 0 ,9 3 2 6 4 7 0 ,768854 0 ,539921 0 ,2 7 6 9 8 6 0
(0 ,9 9 3 5 7 1 ) (0 ,9 3 2 6 6 3 ) (0 ,7 6 8 9 0 9 ) (0 ,5 3 9 9 8 7 ) (0 ,2 7 7 0 2 9 ) (0)
0,6 0 ,82 7 0 2 9 0 ,75 6 2 8 4 0,593541 0 ,4 0 0 7 5 8 0 ,2 0 1 0 8 2 0
(0 ,8 2 7 0 2 6 ) (0 ,7 5 6 3 1 2 ) (0 ,5 9 3 5 9 0 ) (0 ,4 0 0 8 1 6 ) (0 ,2 0 1 1 0 5 ) (0)
0 ,4 0 ,61 0 7 8 9 0 ,52 4 7 4 5 0 ,38 1 4 7 6 0 ,2 4 7 3 3 7 0 ,121873 0
(0 ,6 1 0 8 0 3 ) (0 ,5 2 4 7 9 3 ) (0 ,3 8 1 5 3 5 ) (0 ,2 4 7 3 8 2 ) (0 ,1 2 1 8 9 7 ) (0)
0,2 0 ,33 3 9 3 0 0 ,23 5 7 4 8 0 ,15 4 7 1 0 0 ,0 9 7 0 6 6 0 ,047263 0
(0 ,3 3 4 0 7 5 ) (0 ,2 3 5 8 8 1 ) (0 ,1 5 4 8 0 2 ) (0 ,0 9 7 1 2 5 ) (0 ,0 4 7 2 9 1 ) (0)
Н а рис. 1 -7 показано изм енение коэф ф ициентов ин тен си вности нап ря
ж ений вдоль ф ронта эллиптической трещ ин ы в зависи м ости от полярного
угла в при одноосном растяж ении о ^ й 0. Значения п олуосей эллип са при
расчетах полагали равны м и а 1 = 1; а2 = 0,5. Н а рис. 1, 2 приведено р ас
пределение К И Н КI при а й 0 и у й 0 соответственно, ш триховы м и л и
ниям и показан случай а = ;3 = у = 0. Н а рис. 3 представлено изм енение К И Н
К : для случаев а = ;3 = 90° и а = у = 90°. Рис. 4, 5 иллю стрирую т расп реде
ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2007, № 4 155
В. С. Кирилюк, О. И. Левчук, В. Ф. Ткаченко
ление К п и К ш при а Ф 0 , рис. 6, 7 - изм енение этих же коэфф ициентов
при уЗФ 0. И з рис. 4 -7 следует, что различие м еж ду величинам и К п и К ш
при одноосном растяж ении, перпендикулярном плоскости трещ ины , вы зва
но возникаю щ ей при поворотах систем ы координат анизотропией м атериала
более слож ного вида, чем ортотропия. М ожно заклю чить, что в ряде случаев
ориентация трещ ин ы сущ ественно влияет не только на значения К И Н , но и
на характер их распределения. Это хорош о видно из рис. 2, 3 для К И Н К 1 и
рис. 4 для К И Н К п .
Р и с. 1 Р и с. 2
Р и с . 1. Р а с п р е д е л е н и е К И Н К г в д о л ь к о н т у р а т р е щ и н ы п р и а Ф 0: 1 - а = 30°; 2 - а = 60°;
3 - а = 90°.
Р и с. 2. Р а с п р е д е л е н и е К И Н К г вд о л ь к о н т у р а тр е щ и н ы п р и у Ф 0: 1 - у = 30°; 2 - у = 60°; 3 -
у = 90°.
0 ,5 " 1,0 "
Р и с. 3 Р и с. 4
Р и с. 3. Р а с п р е д е л е н и е К И Н К г вд о л ь к о н т у р а т р е щ и н ы п р и а — З — 90° ( / ) и а — у — 90° (2).
Р и с . 4. Р а с п р е д е л е н и е К И Н К п в д о л ь к о н т у р а т р е щ и н ы п р и а Ф 0: 1 - а — 30°; 2 - а — 60°.
156 ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2007, № 4
О статическом равновесии упругой ортотропной среды
■| д ~ 1 с — а и и,о » 1,0 '
Ри с . 5 Р и с. 6
Ри с . 5. Р а с п р е д е л е н и е К И Н К ш в д о л ь к о н т у р а т р е щ и н ы п р и а Ф 0: 1 - а = 30°; 2 - а = 60°.
Р и с . 6. Р а с п р е д е л е н и е К И Н К п в д о л ь к о н т у р а т р е щ и н ы п р и 5 Ф 0: 1 - 5 = 30°; 2 - 5 = 60°.
0 ,0 5
- 0 ,0 5
- 0,10
1 х/
2
/
X /
у^7
0 0 ,5 " 1, 0 " 1,5 " 0
Р и с. 7. Р а с п р е д е л е н и е К И Н К ш вд о л ь к о н т у р а тр ещ и н ы п р и 5 Ф 0: 1 - 5 = 30°; 2 - 5 = 60°.
З а к л ю ч е н и е . П р о в е д е н н ы е и с с л е д о в а н и я п о к а з а л и , ч т о н а р я д у с о с в о й
с т в а м и у п р у г и х м а т е р и а л о в , г е о м е т р и е й т р е щ и н ы , т и п о м о с н о в н о г о н а п р я
ж е н н о г о с о с т о я н и я в с р е д е о р и е н т а ц и я т р е щ и н ы в о р т о т р о п н о м м а т е р и а л е
т а к ж е м о ж е т о к а з ы в а т ь с у щ е с т в е н н о е в л и я н и е н е т о л ь к о н а з н а ч е н и я к о э ф
ф и ц и е н т о в и н т е н с и в н о с т и н а п р я ж е н и й , н о и н а х а р а к т е р и х р а с п р е д е л е н и я
в д о л ь г р а н и ц ы т р е щ и н ы .
Р е з ю м е
Р о з г л я н у т о з а д а ч у п р о р о з п о д і л н а п р у ж е н ь у п р у ж н о м у о р т о т р о п н о м у с е р е
д о в и щ і з д о в і л ь н о о р і є н т о в а н о ю е л і п т и ч н о ю т р і щ и н о ю . Д л я п о б у д о в и р о
з в ’я з к у з а д а ч і в и к о р и с т а н о п і д х і д В і л л і с а , щ о б а з у є т ь с я н а п о т р і й н о м у
п е р е т в о р е н н і Ф у р ’ є з а п р о с т о р о в и м и з м і н н и м и т а Ф у р ’є - о б р а з і ф у н к ц і ї
Г р і н а д л я н е с к і н ч е н н о г о а н і з о т р о п н о г о п р о с т о р у . П р о в е д е н о п о р і в н я н н я
0556-171Х. Проблемыг прочности, 2007, № 4 157
В. С. Кирилюк, О. И. Левчук, В. Ф. Ткаченко
р е з у л ь т а т і в д о с л і д ж е н ь у ч а с т и н н и х в и п а д к а х і з д а н и м и і н ш и х а в т о р і в .
В и в ч е н о в п л и в о р і є н т а ц і ї е л і п т и ч н о ї т р і щ и н и в о р т о т р о п н о м у п р о с т о р і н а
р о з п о д і л к о е ф і ц і є н т і в і н т е н с и в н о с т і н а п р у ж е н ь в з д о в ж ї ї к о н т у р у .
1 . А н д р е й к и в А . Е . П р о с т р а н с т в е н н ы е з а д а ч и т е о р и и т р е щ и н . - К и е в :
Н а у к . д у м к а , 1 9 8 2 . - 3 5 4 с .
2 . Б о р о д а ч е в А . Н . П л о с к а я э л л и п т и ч е с к а я т р е щ и н а в п р о и з в о л ь н о м п о л е
н о р м а л ь н ы х н а п р я ж е н и й / / П р и к л . м е х а н и к а . - 1 9 8 0 . - 1 6 , № 1 2 . - С . 1 1 8
- 121.
3 . В ы ч и с л и т е л ь н ы е м е т о д ы в м е х а н и к е р а з р у ш е н и я / П о д р е д . С . А т л у р и .
- М . : М и р , 1 9 9 0 . - 3 9 1 с .
4 . М е х а н и к а р а з р у ш е н и я и п р о ч н о с т ь м а т е р и а л о в . С п р а в о ч н о е п о с о б и е :
В 4 т . / П о д о б щ . р е д . В . В . П а н а с ю к а . Т . 2 . К о э ф ф и ц и е н т ы и н т е н с и в
н о с т и н а п р я ж е н и й в т е л а х с т р е щ и н а м и / С а в р у к М . П . - К и е в : Н а у к .
д у м к а , 1 9 8 8 . - 6 2 0 с .
5 . О р ы н я к И . В . , Г и е н к о А . Ю . Э л л и п т и ч е с к а я т р е щ и н а н о р м а л ь н о г о
о т р ы в а в б е с к о н е ч н о м у п р у г о м т е л е . С о о б щ . 1 . П е р е м е щ е н и е б е р е г о в
т р е щ и н ы п р и п о л и н о м и а л ь н о м з а к о н е н а г р у ж е н и я / / П р о б л . п р о ч н о с т и .
- 2 0 0 2 . - № 1 . - С . 2 2 - 4 0 .
6 . О р ы н я к И . В . , Г и е н к о А . Ю . , К а м е н ч у к А . В . Э л л и п т и ч е с к а я т р е щ и н а
н о р м а л ь н о г о о т р ы в а в б е с к о н е ч н о м у п р у г о м т е л е . С о о б щ . 2 . К о н т а к т
б е р е г о в т р е щ и н ы / / Т а м ж е . - № 2 . - С . 4 1 - 5 2 .
7 . П о д и л ь ч у к Ю . Н . Г р а н и ч н ы е з а д а ч и с т а т и к и у п р у г и х т е л / / П р о с т р а н с т
в е н н ы е з а д а ч и т е о р и и у п р у г о с т и и п л а с т и ч н о с т и : В 6 т . / П о д о б щ . р е д .
А . Н . Г у з я . - К и е в : Н а у к . д у м к а , 1 9 8 4 . - 3 0 3 с .
8. С п р а в о ч н и к п о к о э ф ф и ц и е н т а м и н т е н с и в н о с т и н а п р я ж е н и й : В 2 т . / П о д
р е д . Ю . М у р а к а м и . - М . : М и р , 1 9 9 0 . - 1 0 1 6 с .
9 . K a s s i r U . K . a n d S i h G . T h r e e - D i m e n s i o n a l C r a c k P r o b l e m s . - L e y d e n :
N o r d h o f f I n t . P u b l . , 1 9 7 5 . - 4 2 5 p .
1 0 . S h a n R . C . a n d K o b a y a s h i A . S . S t r e s s i n t e n s i t y f a c t o r s f o r a n e l l i p t i c a l c r a c k
u n d e r a r b i t r a r y n o r m a l l o a d i n g / / E n g . F r a c t . M e c h . - 1 9 7 1 . - 3 , N o . 1. -
P . 7 1 - 9 6 .
1 1 . O ’D o n o g u e P . E . , N i s h i o k a T . , a n d A t l u r i S . N . M u l t i p l e c o p l a n a r e m b e d d e d
e l l i p t i c a l c r a c k u n d e r a r b i t r a r y n o r m a l l o a d i n g / / I n t J . N u m e r . M a t h . E n g . -
1 9 8 5 . - 2 1 , N o . 4 . - P . 4 3 7 - 4 4 9 .
1 2 . L i v i e r i P . , S e g a l a F . , a n d A s c e n z i O . A n a l y t i c e v a l u a t i o n o f t h e d i f f e r e n c e
b e t w e e n O o r e - B u r n s a n d I r w i n s t r e s s i n t e n s i t y f a c t o r f o r e l l i p t i c a l c r a c k s / /
A c t a M e c h . - 2 0 0 5 . - 1 7 6 , N o . 1 . - P . 9 5 - 1 0 5 .
1 3 . П о д и л ь ч у к Ю . H . Т о ч н ы е а н а л и т и ч е с к и е р е ш е н и я п р о с т р а н с т в е н н ы х
г р а н и ч н ы х з а д а ч с т а т и к и т р а н с в е р с а л ь н о - и з о т р о п н о г о т е л а к а н о н и ч е с
к о й ф о р м ы ( о б з о р ) / / П р и к л . м е х а н и к а . - 1 9 9 7 . - 3 3 , № 1 0 . - С . 3 - 3 0 .
1 4 . C h i a n g C . - R . S o m e c r a c k p r o b l e m s i n t r a n s v e r s e l y i s o t r o p i c s o l i d s / / A c t a
M e c h . - 2 0 0 4 . - 1 7 0 , N o . 1 . - P . 1 - 9 .
158 ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2007, № 4
О статическом равновесии упругой ортотропной среды
1 5 . F a b r i k a n t V. I . E l l i p t i c c r a c k i n a t r a n s v e r s e l y i s o t r o p i c b o d y r e v i s i t e d : N e w
s y m b o l i s m / / I b i d . - 2 0 0 4 . - 1 7 2 , N o . 3 - 4 . - P . 1 8 1 - 1 9 3 .
1 6 . W u K u a n g - C h o n g . O n a n e l l i p t i c c r a c k e m b e d d e d i n a n a n i s o t r o p i c m a t e r i a l s
/ / I n t . J . S o l i d s S t r u c t . - 2 0 0 0 . - 3 7 , N o . 3 5 . - P . 4 8 4 1 - 4 8 5 7 .
1 7 . H o e n i g A . T h e b e h a v i o r o f a f l a t e l l i p t i c a l c r a c k i n a n a n i s o t r o p i c e l a s t i c
b o d y / / I b i d . - 1 9 7 8 . - 1 4 , N o . 1 1 . - P . 9 2 5 - 9 3 4 .
1 8 . K i r i l y u k V. S . O n t h e s t r e s s s t a t e o f t h e o r t h o t r o p i c m e d i u m w i t h p e n n y - s h a p e
c r a c k / / I n t . A p p l . M e c h . - 2 0 0 4 . - 4 0 , N o . 1 2 . - P . 8 4 - 9 1 .
1 9 . K i r i l y u k V. S . T h e s t r e s s s t a t e o f a n e l a s t i c o r t h o t r o p i c m e d i u m w i t h e l l i p t i c
c r a c k u n d e r t e n s i o n a n d s h e a r / / I b i d . - 2 0 0 5 . - 4 1 , N o . 4 . - P . 3 5 8 - 3 6 6 .
2 0 . К и р и л ю к В . С . О в л и я н и и о р и е н т а ц и и с ф е р о и д а л ь н ы х п о л о с т е й и л и
ж е с т к и х в к л ю ч е н и й в о р т о т р о п н о й с р е д е н а к о н ц е н т р а ц и ю н а п р я ж е н и й
/ / П р о б л . п р о ч н о с т и . - 2 0 0 6 . - № 1 . - С . 5 8 - 68 .
2 1 . K i r i l y u k V. S . S t a t i c e q u i l i b r i u m o f a n e l a s t i c o r t h o t r o p i c m e d i u m w i t h
e l l i p t i c c r a c k u n d e r b e n d i n g / / I n t . A p p l . M e c h . - 2 0 0 5 . - 4 1 , N o . 8 . - P . 8 9 5
- 9 0 3 .
2 2 . W i l l i s L . J . T h e s t r e s s f i e l d a r o u n d a n e l l i p t i c a l c r a c k i n a n a n i s o t r o p i c
m e d i u m / / I n t . J . E n g . S c i . - 1 9 6 8 . - 6 , N o . 5 . - P . 2 5 3 - 2 6 3 .
2 3 . Л е х н и ц к и й С . Г . Т е о р и я у п р у г о с т и а н и з о т р о п н о г о т е л а . - М . : Н а у к а ,
1 9 7 7 . - 4 1 5 с .
2 4 . M u r a T . M i c r o m e c h a n i c s o f d e f e c t s i n s o l i d s . - B o s t o n ; L o n d o n : M a r t i n u s
N i j h o f f , 1 9 8 7 . - 5 8 7 p .
П о с т у п и л а 01 . 03. 2006
ISSN 0556-171X. Проблемыг прочности, 2007, № 4 159
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-48079 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0556-171X |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T18:32:15Z |
| publishDate | 2007 |
| publisher | Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Кирилюк, В.С. Левчук, О.И. Ткаченко, В.Ф. 2013-08-14T13:10:01Z 2013-08-14T13:10:01Z 2007 О статическом равновесии упругой ортотропной среды с произвольно ориентированной эллиптической трещиной / В.С. Кирилюк, О.И. Левчук, В.Ф. Ткаченко // Проблемы прочности. — 2007. — № 4. — С. 146-159. — Бібліогр.: 24 назв. — рос. 0556-171X https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/48079 539.3 Рассмотрена задача о распределении напряжений в упругой ортотропной среде с произвольно ориентованной эллиптической трещиной. Для построения решения задачи применен подход Виллиса, основанный на тройном преобразовании Фурье по пространственным переменными Фурье-образе функции Грина для бесконечного анизотропного пространства. Проведено сравнение результатов исследований в частных случаях с данным и других авторов . Изучено влияние ориентации эллиптической трещины в ортотропном пространстве коэффициентов интенсивности напряжений вдоль ее контура. Розглянуто задачу про розподіл напружень у пружному ортотропному середовищі з довільно орієнтованою еліптичною тріщиною. Для побудови розв’язку задачі використано підхід Вілліса, що базується на потрійному перетворенні Фур’є за просторовими змінними та Фур’є-образі функції Гріна для нескінченного анізотропного простору. Проведено порівняння результатів досліджень у частинних випадках із даними інших авторів. Вивчено вплив орієнтації еліптичної тріщини в ортотропному просторі на розподіл коефіцієнтів інтенсивності напружень вздовж її контуру. We analyze the problem of stress distribution in the elastic orthotropic environm ent w ith an arbi trarily oriented elliptical crack. For construc tion of the problem solution the Willis approach is applicable, which is based on the on the Fourier image of the Green function for the infinite anisotropic space. The results of this study obtained for particular cases are com pared to those of other researchers. The effect of the elliptical crack orientation in the orthotropic space on the distribution of stress in tensity factors along the crack contour is studied. ru Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України Проблемы прочности Научно-технический раздел О статическом равновесии упругой ортотропной среды с произвольно ориентированной эллиптической трещиной On the static balance of elastic orthotropic medium with an arbitrarily orientated elliptical crack Article published earlier |
| spellingShingle | О статическом равновесии упругой ортотропной среды с произвольно ориентированной эллиптической трещиной Кирилюк, В.С. Левчук, О.И. Ткаченко, В.Ф. Научно-технический раздел |
| title | О статическом равновесии упругой ортотропной среды с произвольно ориентированной эллиптической трещиной |
| title_alt | On the static balance of elastic orthotropic medium with an arbitrarily orientated elliptical crack |
| title_full | О статическом равновесии упругой ортотропной среды с произвольно ориентированной эллиптической трещиной |
| title_fullStr | О статическом равновесии упругой ортотропной среды с произвольно ориентированной эллиптической трещиной |
| title_full_unstemmed | О статическом равновесии упругой ортотропной среды с произвольно ориентированной эллиптической трещиной |
| title_short | О статическом равновесии упругой ортотропной среды с произвольно ориентированной эллиптической трещиной |
| title_sort | о статическом равновесии упругой ортотропной среды с произвольно ориентированной эллиптической трещиной |
| topic | Научно-технический раздел |
| topic_facet | Научно-технический раздел |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/48079 |
| work_keys_str_mv | AT kirilûkvs ostatičeskomravnovesiiuprugoiortotropnoisredysproizvolʹnoorientirovannoiélliptičeskoitreŝinoi AT levčukoi ostatičeskomravnovesiiuprugoiortotropnoisredysproizvolʹnoorientirovannoiélliptičeskoitreŝinoi AT tkačenkovf ostatičeskomravnovesiiuprugoiortotropnoisredysproizvolʹnoorientirovannoiélliptičeskoitreŝinoi AT kirilûkvs onthestaticbalanceofelasticorthotropicmediumwithanarbitrarilyorientatedellipticalcrack AT levčukoi onthestaticbalanceofelasticorthotropicmediumwithanarbitrarilyorientatedellipticalcrack AT tkačenkovf onthestaticbalanceofelasticorthotropicmediumwithanarbitrarilyorientatedellipticalcrack |