Вплив пластичних властивостей матеріалу на граничний стан нитки скінченної жорсткості
Розглянуто роботу поперечного перетину ниток скінченної жорсткості за поперечного згину. Матеріал приймається жорстко- і пружно-пластичним. Виведено рівняння граничних кривих. Наведено результати разрахунків. Рассмотрена работа поперечного сечения нитей конечной жесткости при поперечном изгибе. М...
Saved in:
| Published in: | Проблемы прочности |
|---|---|
| Date: | 2007 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України
2007
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/48095 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Вплив пластичних властивостей матеріалу на граничний стан нитки скінченної жорсткості / О.В. Шимановський, Н.О. Чабан // Проблемы прочности. — 2007. — № 5. — С. 132-140. — Бібліогр.: 9 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859951002844659712 |
|---|---|
| author | Шимановський, О.В. Чабан, Н.О. |
| author_facet | Шимановський, О.В. Чабан, Н.О. |
| citation_txt | Вплив пластичних властивостей матеріалу на граничний стан нитки скінченної жорсткості / О.В. Шимановський, Н.О. Чабан // Проблемы прочности. — 2007. — № 5. — С. 132-140. — Бібліогр.: 9 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Проблемы прочности |
| description | Розглянуто роботу поперечного перетину ниток скінченної жорсткості за поперечного
згину. Матеріал приймається жорстко- і пружно-пластичним. Виведено рівняння граничних
кривих. Наведено результати разрахунків.
Рассмотрена работа поперечного сечения нитей конечной жесткости при
поперечном изгибе. Материал принимается жесткопластическим и упругопластическим.
Выведены уравнения граничных кривых. Приведены результаты
расчетов.
We analyze work o f the transverse crossover of
finite-rigidity strings under transverse bending
conditions. The material is assumed to be rigid
and elastoplastic. The equations o f boundary
curves are derived. The respective calculation
results are presented.
|
| first_indexed | 2025-12-07T16:17:04Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 539.3
Вплив пластичних властивостей матеріалу на граничний стан
нитки скінченної жорсткості
О. В. Шимановський, Н. О. Чабан
ВАТ Український науково-дослідний та проектний інститут сталевих конструкцій
ім. В. М. Шимановського, Київ, Україна
Розглянуто роботу поперечного перетину ниток скінченної жорсткості за поперечного
згину. Матеріал приймається жорстко- і пружно-пластичним. Виведено рівняння граничних
кривих. Наведено результати разрахунків.
К лю чові слова : нитка скінченної жорсткості, пластична робота, жорстко-
пластичний матеріал.
У сучасному будівництві велику увагу приділяють збільшенню прольо
тів будівель і споруд [1, 2]. Тому особливий інтерес представляють висячі
системи [3]. У порівнянні з традиційними конструкціями ці системи мають
ряд переваг: раціональне використання міцнісних властивостей матеріалу;
відносна простота виготовлення і мала трудоємність; індустріальність мон
тажу; можливість створення легких і виразних з естетичної точки зору
архітектурних форм; мала чутливість до різноманітних специфічних впливів
(сейсмічні навантаження, нерівномірний зсув опор, тощо). Але поряд із
перевагами висячі системи мають і недоліки, основні з яких: велика дефор-
мативність при дії зосередженого та асиметричного навантаження; наявність
великих зусиль розпору, для погашення яких необхідно використовувати
відповідні опорні конструкції і анкерні пристрої. Існуючі методи розрахунку
ниток скінченної жорсткості в основному розроблено для пружної стадії
роботи матеріалу. У багатьох випадках використання методів розрахунку
при роботі матеріалу в межах пружності не дозволяє визначити дійсний
запас міцності конструкцій.
Із розвитком технологій отримання високоякісних конструктивних ста
лей і створення матеріалів із нелінійною залежністю напруження - дефор
мація урахування можливості їхньої пластичної роботи набуває актуаль
ності. Особливе значення має розрахунок за межею пружності при перевірці
аварійної міцності, коли до конструкції ставиться єдина вимога - забез
печення можливості експлуатації всієї споруди після припинення дії аварій
ного навантаження.
Метою роботи є вивчення та аналіз роботи перерізів ниток скінченної
жорсткості в пружній і пластичній стадіях роботи матеріалу.
Розглянемо роботу довільного поперечного перерізу жорстко-пластич
ної нитки скінченної жорсткості (рис. 1) [4, 5]. Для такої нитки відповідно
до прийнятої моделі матеріалу [6] кривина осі та вигин залишаються незмін
ними в будь-якому перерізі, доки згинальний момент не досягне граничного
значення М У граничному стані кривина може приймати будь-яку ве
личину, а нейтральна вісь п — п зміщується від осі т — т на відстань с
(рис. 1).
© О. В. ШИМАНОВСЬКИЙ, Н. О. ЧАБАН, 2007
132 0556-171Х. Проблемы прочности, 2007, № 5
Вплив пластичних властивостей матеріалу ...
а б в
Рис. 1. Довільний поперечний переріз нитки (а), епюра напружень у граничному стані (б) та
деформований елемент нитки скінченної жорсткості (в): п — п - нейтральна вісь; г — г - вісь,
що проходить через центр ваги перерізу; т — т - вісь, що ділить площу перерізу навпіл.
Робота поперечного перерізу нитки скінченної жорсткості характери
зується залежністю між розпором, згинальним моментом і кривиною. Для
отримання цієї залежності спроектуємо елементарні сили, які діють у пере
різі, на вісь 2 — і і складемо суму моментів цих сил відносно осі п — п
(рис. 1) [5, 7]:
(1)/ оС¥ = Н ; / оуС¥ = М + Ид,
де о - нормальне напруження; М , Н - відповідно згинальний момент та
розпір у нитці; б - відстань між осями п — п та і — і (рис. 1); йГ - площа
елемента перерізу, яку представимо у вигляді добутку = Ь(у )йу (Ь (у ) -
ширина перерізу на відстані у від нейтральної осі).
Залежність між кривиною, згинальним моментом і розпором має вигляд
Ог / Ь( у )Су + / Ь( у )Су
-(Н—в) 0
= Н ;
О / УЬ( у )СУ + / УЬ( у )СУ
-(Н—в) 0
= М + Н д ,
де О т - границя текучості.
Якщо перенести початок системи координат із осі п — п на вісь т — т і
зберегти вид функції Ь(у), то останні вирази у новій системі координат
можна записати так:
О / Ь( у )Су + / Ь( у )Су
-(Н—в+с) —с
= Н ;
ШБЫ 0556-171Х. Проблемы прочности, 2007, № 5 133
О. В. Шимановсъкий, Н. О. Чабан
Оп - / (У + с )Ь( у Му + / (у + с)Ь{ у )фу
—(Н—е+с) —с
= М + Нд.
Після деяких перетворень остаточно представимо їх у вигляді
- / Ь( У ̂ У + / Ь( у )іїу
—(Н—е+с) 0
0
+ 2 ̂ Ь(у )йу
—с
о - / уЬ(у Му + / уЬ(у Му
—(Н—е+с) 0
+ с - / Ь(у Му + / Ь(у Му
—(Н—е+с) 0
+
+ 2 ̂ (у + с)Ь(у )0у 1 = М + Нд.
Із урахуванням, що
0 е— с
/ Ь( у Му = / Ь(у )0у та у Ь( у )іїу + / уЬ( у Му = ^гр >
—(Н—е+с) 0 —(Н—е+с)
отримаємо
Н 2 0
Н Гр = Г -1 Ь( у )ау;АР — с
М 2 0
= (у + с — д)Ь(уМ у, (2)М гр У,гр —с
де М гр, Н гр, Угр - відповідно граничні згинальний момент, розпір та
момент опору перерізу нитки, М гр = о тУгр; Н гр = о тГ .
За допомогою рівнянь (2) можна встановити у параметричній формі
залежність між згинальним моментом та розпором, сумісна дія яких дозво
ляє реалізувати граничний стан у перерізі.
Після інтегрування (2) і виключення параметра с остаточно отримаємо
співвідношення
М
= ІМ гр Н
\ Н гр )
—с
0
0
яке визначає криву граничного стану перерізу нитки.
Після диференціювання (2) по д та деяких перетворень отримаємо
а м
а н '
Із подібності заштрихованих трикутників (рис. 1,в) випливає, що є /к = д,
є аМ
звідки маємо — = — —— .
к аН
134 0556-171Х. Проблемы прочности, 2007, N 5
Вплив пластичних властивостей матеріалу
Для ілюстрації отриманого рішення розглянемо граничний стан попереч
них перерізів ідеального і прямокутного профілів. При цьому враховуємо,
що с = д, оскільки центр ваги будь-якого симетричного перерізу збігається з
віссю т — т (рис. 1).
Із урахуванням того, що для ідеального профілю [8]
b( у ) = 0
F 1
b(у ) = У Т у
при —(h — e) < у < e ,
при у = —(h — e ), у = e , (3)
після інтегрування (2) отримаємо рівняння граничної кривої:
M H
------ + ------ — 1 = 0.
M гр H гр
Для прямокутного перерізу, в свою чергу, b(y ) = b = const, а рівняння
(2) після інтегрування набудуть наступного вигляду:
H = д ;
H гр = 2 h ;
— = 1— 4(д
Mrp I h
або після деяких перетворень їх можно представити так:
M
M
■ +
/ \2
н
гр \ Н гр У
1 = 0.
2
Відзначимо, що залежність згинальний момент - розпір у граничному
стані перерізу нитки скінченної жорсткості збігається з результатами, отри
маними при роботі балок [5, 6]. Таким чином, задача розрахунку жорстко-
пластичних балок - це окремий випадок задачі розрахунку жорстко-пластич
них ниток скінченної жорсткості. Для розглянутих і деяких інших попереч
них перерізів, які широко застосовуються в будівництві, граничні криві
наведено у таблиці, а відповідні їм графіки - на рис. 2.
Криві граничного стану для деяких поперечних перерізів
ниток скінченної жорсткості
Вид
профілю
Залежність М — Н Вид
у граничному стані перерізу профілю
Залежність М — Н
у граничному стані перерізу
М
М гр
М
/ \2
н
ZJ
\ п гр
— 1 = 0
н
- + ---------1 = 0
М гр Н гр
н
\Н гр
— 1
/ ,--------- \
3 — 2 ' —1Н гр
= 0
М я Н
---------cos----------= 0
М гр 2 Н ггр гр
ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2007, № 5 135
О. В. Шимановський, Н. О. Чабан
Рис. 2. Граничні криві для симетричних (а) та несиметричних (б) поперечних перерізів: 1 -
ідеальний двотавровий; 2 - двотавровий; 3 - прямокутний; 4 - кільцевий; 5 - тавровий (в
дужках наведено відношення площі поясу до площі тавра); 6 - несиметричний двотавровий
(в дужках наведено відношення площі верхнього поясу до площі нижнього поясу).
Зауважимо, що граничні криві можна продовжити в область від’ємних
значень згинального моменту та розпору, в результаті чого отримаємо повні
замкнуті криві. Усі граничні криві мають властивість центральної симетрії.
Криві симетричних профілів окрім того симетричні відносно координатних
осей.
Область, яка обмежена граничними кривими, визначає можливі сполу
чення згинального моменту і розпору, за яких поперечний переріз нитки не
може бути приведений до граничного стану. Гранична ж крива визначає
значення моменту і розпору, за спільної дії яких пластичні деформації
розповсюджуються по всьому перерізу. У більшості випадків збільшення
розпору призводить до зменшення величини згинального моменту, який
зумовлює в перерізі граничний стан (рис. 2,а). Коли розглядається несимет
ричний переріз, збільшення розпору може призвести не тільки до змен
шення, але й до збільшення згинального моменту, який дозволяє реалізувати
граничний стан у перерізі (рис. 2,б).
Отримані рівняння використовуються для визначення напружено-дефор-
мованого стану нитки скінченної жорсткості при жорстко-пластичній роботі
матеріалу і, як наслідок, дозволяють знайти тільки граничне навантаження
нитки. Окрім того, відомо, що дана схематизація діаграми наближено відобра
жає властивості реальних матеріалів [6, 7]. Тому при розрахунку нитки в
області малих деформацій необхідно використовувати пружно-пластичну
діаграму роботи матеріалу, що дозволяє простежити поведінку нитки у
діапазоні зміни навантаження.
З огляду на вищезазначене розглянемо роботу поперечного перерізу
нитки з врахуванням обох (пружної та пластичної) складових деформації.
Отримати залежність згинальний момент-розпір-кривина в загальному ви
гляді, подібно тому, як це було зроблено у випадку жорстко-пластичної
роботи матеріалу, можливо, але кінцеві вирази не вдається звести до компакт
ного, зручного для практичного використання виду. Тому дану залежність
краще отримувати спеціально у кожному окремому випадку.
136 ШЗИ 0556-171Х. Проблеми прочности, 2007, № 5
Вплив пластичних властивостей матеріалу
Рис. 3. Ідеальний поперечний переріз нитки (а) та епюри напружень для пружної (б) і
пружно-пластичної (в) стадій роботи.
Розглянемо роботу ідеального перерізу пружно-пластичної нитки скін
ченної жорсткості (рис. 3) [7], для якого виконуються умови (3).
Підставимо умови (3) в (1) і отримаємо
{о [ -к (h — e) ] +o[ ke]}F = H ;
F (4)
{—(h — e )o [-k (h — e)] + eo[ke ]} — = M + Hd.
Залежність для нормального напруження о у випадку ідеального пружно-
пластичного матеріалу можна записати у вигляді
о т
о = Eky при I у |< — ; (5)
о т
о = о т sign У при 1У ^ — , (6)
де к - кривина осі нитки; sign у = 1 при у > 0; sign у = — 1 при у < 0.
Нитка працює в пружній стадії (рис. 3,б), коли діючі зусилля не викли
кають у жодному волокні поперечного перерізу напружень текучості. Під
ставимо (5) і (6) в (1) і отримаємо
F F
[—Ek( h — e) + Eke]— = H ; [Ek( h — e)2 + Eke 2 ]— = M + Hd.
Враховуючи, що параметр е можна записати у вигляді e = h/2 + d, де
d = є /k , після деяких перетворень отримаємо наступні рівняння, що визна
чають кривину і відносне подовження осі нитки:
EIk M
M = M ’ (7)гр гр
ISSN 0556-171X. Проблеми прочности, 2007, № 5 137
О. В. Шимановський, Н. О. Чабан
Ee 0 Н
^ 7 = Н р ’ (8)
де I = F h2/4; M гр = о тFh/2; Н гр = о тF - відповідно момент інерції, гра
ничні згинальний момент і розпір нитки з ідеальним поперечним перерізом.
Коли напруження в нижньому (найбільш віддаленому від нейтральної
осі) волокні досягнуть границі текучості, робота профілю в пружній стадії
закінчиться. Після цього відповідно до прийнятої моделі матеріалу їхня
величина зростати не буде. Тому при подальшому збільшенні зусиль у нитці
має місце друга пружно-пластична стадія деформування, коли на нижній
поверхні профілю з’являється так зване пластичне волокно, з ростом зги
нальних моментів і розпору це волокно перетворюється у пластичний шар.
Умову появи перших пластичних деформацій можна визначити за допо
могою (5), якщо прийняти y = е; о = о т ; Eke = о т. Виключимо е та k і за
допомогою (8) отримаємо
M Н
------ + ------ -- 1 = 0. (9)
M Н (9)±у± гр 1 1 гр
Отже, при досягненні зовнішнім навантаженням величини, за якої почи
нає виконуватися останнє рівняння, настає друга пружно-пластична стадія
деформування, коли в перерізі розвивається ділянка, охоплена пластичними
деформаціями (рис. 3,в). Підставимо формулу (6) у рівняння рівноваги (4) і
отримаємо
Р Р
[—Ек( Н — є) + о т ]— = Н ; [Ек( Н — є ) 2 + о т е]— = М + Ид.
Виконаємо з останніми співвідношеннями перетворення, аналогічні
вищенаведеним, і отримаємо наступні залежності, що характеризують кри
вину та відносне подовження осі нитки:
M H
M + Н ̂= °; (10)±у± гр 1 1 гр
Ee 0 EIk Н
— 0 = ------ + 2------ -- 1. (111о M Н ( )KJ т гр -t-t гр
Зауважимо, що умова (9), при виконанні якої з’являються перші плас
тичні деформації у поперечних перерізах, та залежність (10), яка характе
ризує кривину нитки на пружно-пластичній стадії деформування (вирод
жується в цьому випадку в залежність між згинальним моментом і розпо-
ром), тотожні. Це свідчить про те, що поява в перерізі нитки скінченної
жорсткості ідеального профілю перших пластичних деформацій дозволяє
реалізувати в ньому граничний стан. Отже, деформування нитки з ідеальним
поперечним перерізом супроводжується утворенням у її прольоті тільки
138 ISSN 0556-171X. Проблеми прочности, 2007, № 5
Вплив пластичних властивостей матеріалу
двох типів ділянок: пружних і пластичних. Цей факт полегшує подальший
розв’язок задачі, тому що дозволяє уникнути розгляду пружно-пластичних
ділянок без принципових змін у розрахункових залежностях.
Із використанням залежностей (10) і (11) побудовано графіки граничних
кривих для ідеального поперечного перерізу нитки скінченної жорсткості
(рис. 4). Зазначимо, що співвідношення (10) і (11) збігаються з резуль
татами, отриманими в [1-3, 8, 9]. Таким чином, задача розрахунку пружно-
пластичних, як і розглянутих вище жорстко-пластичних, балок - це окремий
випадок задачі розрахунку пружно-пластичних ниток скінченної жорсткості.
Рис. 4. Граничні криві для ідеального поперечного перерізу при різному відношенні Е Ї^ М гр.
На основі вищевикладеного зазначимо, що основна особливість враху
вання пластичних властивостей матеріалу при практичних розрахунках поля
гає у можливості достовірного обгрунтування дійсного запасу міцності
ниток скінченної жорсткості. Загальну картину їх поведінки в процесі
навантаження при малих деформаціях дає розрахунок за допомогою пруж
но-пластичної схематизації діаграми. Але при появі текучості і її зростанні
деформації та переміщення теоретично можуть бути нескінченно великими.
У цьому випадку можна знехтувати пружними складовими деформацій та
переміщень порівняно з пластичними, тобто використовувати схему роботи
жорстко-пластичної нитки скінченної жорсткості. Оскільки робота пружно-
пластичної нитки скінченної жорсткості в стані граничної рівноваги асимп
тотично наближається до роботи жорстко-пластичної нитки, в загальному
випадку в залежності від величини зовнішнього навантаження нитку скін
ченної жорсткості слід розраховувати з використанням двох моделей мате
ріалу: пружно-пластичної моделі - при 0 < q < 0,875^гр і жорстко-пластич
ної моделі - при 0,875qгр < q < qгр.
В и с н о в к и
1. На основі класичної теорії пластичності та аналізу відомих розв’язків
для ниток скінченної жорсткості, які працюють у межах та поза межами
пружності, побудовано граничні криві для різноманітних поперечних пере
Ї88М 0556-171Х. Проблеми прочности, 2007, № 5 139
О. В. Шимановсъкий, Н. О. Чабан
різів із застосуванням гіпотез пружно-пластичного і жорстко-пластичного
матеріалу.
2. Показано, що граничні криві дозволяють визначати значення згиналь
ного моменту та розпору, дія яких призводить до розповсюдження пластич
них деформацій по всьому перерізу
3. Виявлено взаємовплив силових чинників при симетричних і несимет
ричних типах поперечних перерізів.
Р е з ю м е
Рассмотрена работа поперечного сечения нитей конечной жесткости при
поперечном изгибе. Материал принимается жесткопластическим и упруго
пластическим. Выведены уравнения граничных кривых. Приведены резуль
таты расчетов.
1. International Symposium on Theory, Design and Realization Shell and
Spatial Structures. - Nagoya, 2001. - 444 p.
2. International Symposium on Shell and Spatial Structures “Theory, Technique,
Valuation, and Maintenance”. - Bucharest, 2005. - 1. - 428 p.
3. IASS Symposium “New Olympics. New Shell and Spatial Structures”. -
Beijing; China, 2006. - 1. - 500 p.
4. Шимановский В. H., Соколов А. А. Расчет висячих конструкций за
пределом упругости. - Киев: Будівельник, 1975. - 104 с.
5. Шимановский В. Н., Смирнов Ю. В., Харченко Р. Б. Расчет висячих
конструкций (нитей конечной жесткости). - Киев: Будівельник, 1973. -
198 с.
6. Качанов Л. М. Основы теории пластичности. - М.: Гостехиздат, 1956. -
324 с.
7. Шимановский А. В., Оглобля А. И. Теория и расчет несущих элементов
большепролетных пространственных конструкций. - Киев: Сталь, 2002.
- 372 с.
8. Дикович И. Л. Статика упругопластических балок судовых конструк
ций. - Л.: Судостроение, 1967. - 264 с.
9. Беленъкий Л. М. Расчет судовых конструкций в пластической стадии. -
Л.: Судостроение, 1983. - 448 с.
Поступила 12. 07. 2005
140 ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2007, № 5
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-48095 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0556-171X |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T16:17:04Z |
| publishDate | 2007 |
| publisher | Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Шимановський, О.В. Чабан, Н.О. 2013-08-15T08:11:40Z 2013-08-15T08:11:40Z 2007 Вплив пластичних властивостей матеріалу на граничний стан нитки скінченної жорсткості / О.В. Шимановський, Н.О. Чабан // Проблемы прочности. — 2007. — № 5. — С. 132-140. — Бібліогр.: 9 назв. — укр. 0556-171X https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/48095 539.3 Розглянуто роботу поперечного перетину ниток скінченної жорсткості за поперечного згину. Матеріал приймається жорстко- і пружно-пластичним. Виведено рівняння граничних кривих. Наведено результати разрахунків. Рассмотрена работа поперечного сечения нитей конечной жесткости при поперечном изгибе. Материал принимается жесткопластическим и упругопластическим. Выведены уравнения граничных кривых. Приведены результаты расчетов. We analyze work o f the transverse crossover of finite-rigidity strings under transverse bending conditions. The material is assumed to be rigid and elastoplastic. The equations o f boundary curves are derived. The respective calculation results are presented. uk Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України Проблемы прочности Научно-технический раздел Вплив пластичних властивостей матеріалу на граничний стан нитки скінченної жорсткості Effect of the material plastic properties on the limiting state of a string of finite rigidit Article published earlier |
| spellingShingle | Вплив пластичних властивостей матеріалу на граничний стан нитки скінченної жорсткості Шимановський, О.В. Чабан, Н.О. Научно-технический раздел |
| title | Вплив пластичних властивостей матеріалу на граничний стан нитки скінченної жорсткості |
| title_alt | Effect of the material plastic properties on the limiting state of a string of finite rigidit |
| title_full | Вплив пластичних властивостей матеріалу на граничний стан нитки скінченної жорсткості |
| title_fullStr | Вплив пластичних властивостей матеріалу на граничний стан нитки скінченної жорсткості |
| title_full_unstemmed | Вплив пластичних властивостей матеріалу на граничний стан нитки скінченної жорсткості |
| title_short | Вплив пластичних властивостей матеріалу на граничний стан нитки скінченної жорсткості |
| title_sort | вплив пластичних властивостей матеріалу на граничний стан нитки скінченної жорсткості |
| topic | Научно-технический раздел |
| topic_facet | Научно-технический раздел |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/48095 |
| work_keys_str_mv | AT šimanovsʹkiiov vplivplastičnihvlastivosteimateríalunagraničniistannitkiskínčennoížorstkostí AT čabanno vplivplastičnihvlastivosteimateríalunagraničniistannitkiskínčennoížorstkostí AT šimanovsʹkiiov effectofthematerialplasticpropertiesonthelimitingstateofastringoffiniterigidit AT čabanno effectofthematerialplasticpropertiesonthelimitingstateofastringoffiniterigidit |