Деформирование упругопластической круговой трехслойной пластины на основании Винклера при термосиловом нагружении
Рассмотрен термосиловой изгиб упругопластической круговой трехслойной пластины с легким заполнителем, находящейся на упругом основании. Для описания кинематики несимметричного по толщине пакета пластины приняты гипотезы ломаной нормали. Реакция основания описывается моделью Винклера. Нагрузка - л...
Saved in:
| Published in: | Проблемы прочности |
|---|---|
| Date: | 2007 |
| Main Authors: | , , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України
2007
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/48101 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Деформирование упругопластической круговой трехслойной пластины на основании Винклера при термосиловом нагружении / Э.И. Старовойтов, А.В. Яровая, Д.В. Леоненко // Проблемы прочности. — 2007. — № 5. — С. 68-80. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-48101 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Старовойтов, Э.И. Яровая, А.В. Леоненко, Д.В. 2013-08-15T08:29:58Z 2013-08-15T08:29:58Z 2007 Деформирование упругопластической круговой трехслойной пластины на основании Винклера при термосиловом нагружении / Э.И. Старовойтов, А.В. Яровая, Д.В. Леоненко // Проблемы прочности. — 2007. — № 5. — С. 68-80. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. 0556-171X https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/48101 539.3 Рассмотрен термосиловой изгиб упругопластической круговой трехслойной пластины с легким заполнителем, находящейся на упругом основании. Для описания кинематики несимметричного по толщине пакета пластины приняты гипотезы ломаной нормали. Реакция основания описывается моделью Винклера. Нагрузка - локальная, симметричная. Получены система уравнений равновесия и ее точное решение в перемещениях. Приведены численные результаты для трехслойной металлополимерной пластины. Розглянуто термосиловий згин непорушної пружно-пластичної круглої тришарової пластини з легким заповнювачем на пружній основі. Для опису кінематики несиметричного по товщині пакета пластини прийнято гіпотези ломаної нормалі. Реакція основи описується моделлю Вінклера. Навантаження - локальне, симетричне. Отримано систему рівнянь рівноваги та її точний розв’язок у переміщеннях. Приведено числові результати для тришарової металополімерної пластини. We consider the case o f thermomecanical bending loading of an elastoplastic circular three-ply plate containing a light filler, laying on elastic foundation. In order to describe the kinematics o f the plate package, which is nonsymmetrical by the thickness, we use the broken-line normal hypotheses. The foundation reaction is described by the Winkler model. The load is assumed to be local and symmetrical. We derived the system of the plate balance equations and its exact solution in displacements. The numerical results for a three-ply metal-polymeric plate are presented. ru Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України Проблемы прочности Научно-технический раздел Деформирование упругопластической круговой трехслойной пластины на основании Винклера при термосиловом нагружении Deformation of three-ply elastoplastic plate on winkler foundation under thermomechanical loading Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Деформирование упругопластической круговой трехслойной пластины на основании Винклера при термосиловом нагружении |
| spellingShingle |
Деформирование упругопластической круговой трехслойной пластины на основании Винклера при термосиловом нагружении Старовойтов, Э.И. Яровая, А.В. Леоненко, Д.В. Научно-технический раздел |
| title_short |
Деформирование упругопластической круговой трехслойной пластины на основании Винклера при термосиловом нагружении |
| title_full |
Деформирование упругопластической круговой трехслойной пластины на основании Винклера при термосиловом нагружении |
| title_fullStr |
Деформирование упругопластической круговой трехслойной пластины на основании Винклера при термосиловом нагружении |
| title_full_unstemmed |
Деформирование упругопластической круговой трехслойной пластины на основании Винклера при термосиловом нагружении |
| title_sort |
деформирование упругопластической круговой трехслойной пластины на основании винклера при термосиловом нагружении |
| author |
Старовойтов, Э.И. Яровая, А.В. Леоненко, Д.В. |
| author_facet |
Старовойтов, Э.И. Яровая, А.В. Леоненко, Д.В. |
| topic |
Научно-технический раздел |
| topic_facet |
Научно-технический раздел |
| publishDate |
2007 |
| language |
Russian |
| container_title |
Проблемы прочности |
| publisher |
Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Deformation of three-ply elastoplastic plate on winkler foundation under thermomechanical loading |
| description |
Рассмотрен термосиловой изгиб упругопластической круговой трехслойной пластины с
легким заполнителем, находящейся на упругом основании. Для описания кинематики несимметричного
по толщине пакета пластины приняты гипотезы ломаной нормали. Реакция
основания описывается моделью Винклера. Нагрузка - локальная, симметричная. Получены
система уравнений равновесия и ее точное решение в перемещениях. Приведены численные
результаты для трехслойной металлополимерной пластины.
Розглянуто термосиловий згин непорушної пружно-пластичної круглої тришарової
пластини з легким заповнювачем на пружній основі. Для опису
кінематики несиметричного по товщині пакета пластини прийнято гіпотези
ломаної нормалі. Реакція основи описується моделлю Вінклера. Навантаження
- локальне, симетричне. Отримано систему рівнянь рівноваги та її
точний розв’язок у переміщеннях. Приведено числові результати для тришарової
металополімерної пластини.
We consider the case o f thermomecanical bending
loading of an elastoplastic circular
three-ply plate containing a light filler, laying
on elastic foundation. In order to describe the
kinematics o f the plate package, which is
nonsymmetrical by the thickness, we use the
broken-line normal hypotheses. The foundation
reaction is described by the Winkler model.
The load is assumed to be local and symmetrical.
We derived the system of the plate balance
equations and its exact solution in displacements.
The numerical results for a three-ply
metal-polymeric plate are presented.
|
| issn |
0556-171X |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/48101 |
| citation_txt |
Деформирование упругопластической круговой трехслойной пластины на основании Винклера при термосиловом нагружении / Э.И. Старовойтов, А.В. Яровая, Д.В. Леоненко // Проблемы прочности. — 2007. — № 5. — С. 68-80. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT starovoitovéi deformirovanieuprugoplastičeskoikrugovoitrehsloinoiplastinynaosnovaniivinklerapritermosilovomnagruženii AT ârovaâav deformirovanieuprugoplastičeskoikrugovoitrehsloinoiplastinynaosnovaniivinklerapritermosilovomnagruženii AT leonenkodv deformirovanieuprugoplastičeskoikrugovoitrehsloinoiplastinynaosnovaniivinklerapritermosilovomnagruženii AT starovoitovéi deformationofthreeplyelastoplasticplateonwinklerfoundationunderthermomechanicalloading AT ârovaâav deformationofthreeplyelastoplasticplateonwinklerfoundationunderthermomechanicalloading AT leonenkodv deformationofthreeplyelastoplasticplateonwinklerfoundationunderthermomechanicalloading |
| first_indexed |
2025-11-25T21:05:29Z |
| last_indexed |
2025-11-25T21:05:29Z |
| _version_ |
1850548166063030272 |
| fulltext |
УДК 539.3
Деформирование упругопластической круговой трехслойной
пластины на основании Винклера при термосиловом нагружении
Э. И. Старовойтов, А. В. Яровая, Д. В. Леоненко
Белорусский государственный университет транспорта, Гомель, Беларусь
Рассмотрен термосиловой изгиб упругопластической круговой трехслойной пластины с
легким заполнителем, находящейся на упругом основании. Для описания кинематики несим
метричного по толщине пакета пластины приняты гипотезы ломаной нормали. Реакция
основания описывается моделью Винклера. Нагрузка - локальная, симметричная. Получены
система уравнений равновесия и ее точное решение в перемещениях. Приведены численные
результаты для трехслойной металлополимерной пластины.
Клю чевые слова : термоупругость, пластичность, трехслойная пластина,
легкий заполнитель, упругое основание.
О б о з н а ч е н и я
'м(г )
и (г )
гр(г)
К
г1
а, Ь
(г )
'У
и (к)
у ,
дЛ е
дЛ г-
Ч(г)
Чк
К о
о к , К к
Ьег г, Ьеі г,
Ьег„г, Ьеі п
Н о
- прогиб пластины
- продольное перемещение срединной поверхности
заполнителя
- относительный сдвиг в заполнителе
- толщина к-го слоя, Из = 2с (к = 1, 2, 3 - номер слоя)
- радиус пластины
- внутренний и внешний радиусы кольцевой нагрузки,
0 < а < Ь < г1
- продольное перемещение в слоях стержня
- компоненты тензора напряжений и деформаций
- вариация работы внешних сил
- вариация работы внутренних сил упругости
- внешняя распределенная нагрузка
- реакция основания
- коэффициент жесткости основания
- модули сдвига и объемной деформации
кег г, ке1 г - функции Кельвина нулевого порядка
г, кегп г, ке1 пг - функции Кельвина п-го порядка
- функция Хевисайда
Деформирование трехслойных стержней и пластин в терморадиацион
ных полях при статических и динамических нагрузках исследовалось в
работах [1-4], трехслойных оболочек - в [5, 6]. Изотермический изгиб трех
слойной круговой пластины изучался ранее [7]. В настоящей работе рас
смотрен термосиловой изгиб поперечно нагруженной упругопластической
круговой трехслойной пластины с легким заполнителем, находящейся на
упругом основании.
© Э. И. СТАРОВОЙТОВ, А. В. ЯРОВАЯ, Д. В. ЛЕОНЕНКО, 2007
68 0556-171Х. Проблемы прочности, 2007, № 5
Деформирование упругопластической круговой трехслойной пластины
Постановка задачи и ее решение проводятся в цилиндрической систе
ме координат г , р , г (рис. 1). Для изотропных несущих слоев толщиной й15
^2 приняты гипотезы Кирхгоффа. Несжимаемый по толщине заполнитель
(Нъ = 2с) легкий, т.е. в нем пренебрегается работа касательных напряжений
о гг в тангенциальном направлении. Деформированная нормаль заполнителя
остается прямолинейной, но поворачивается на некоторый дополнительный
угол ф. На границах слоев перемещения непрерывны. На контуре пластины
предполагается наличие жесткой диафрагмы, препятствующей относитель
ному сдвигу слоев.
Рис. 1. Расчетная схема.
Пусть в начальный момент времени на трехслойную круговую пласти
ну, находящуюся на упругом основании, начинают действовать симметрич
ная вертикальная нагрузка д0(г ) и тепловой поток интенсивности д , на
правленный перпендикулярно несущему слою I. На границе заданы усилия
Тг°, И ° , М °, Q 0. Задача определения соответствующего температурного
поля рассматривалась ранее [2], поэтому полагаем температуру Т(г , ї)
известной.
Ввиду симметрии нагрузки тангенциальные перемещения в слоях отсут
ствуют: и р ) = 0 (к - номер слоя), а прогиб пластины и(г ), относительный
сдвиг в заполнителе ф(г ) и радиальное перемещение координатной плос
кости г ) не зависят от координаты р . Далее эти функции считаются
искомыми. Все перемещения и линейные размеры пластины отнесены к ее
радиусу г0.
С использованием гипотезы прямолинейности нормали заполнителя
2е Г? = и(3] + w г = ф после интегрирования получим выражения для ради
альных перемещений в слоях игк) через искомые функции:
и г 1 = и + сф — zw г ( с < г < с + Ні);
и(3) = и + гф — zw,г (—с < г < с); (1)
иг2 = и — сф — г (—с — Н2 < г < —с),
где г - координата рассматриваемого волокна (расстояние до срединной
плоскости заполнителя); и + сф - смещение внешнего несущего слоя вслед
ствие деформации заполнителя; и — сф - смещение второго несущего слоя;
ЙЗЖ 0556-171Х. Проблемы прочности, 2007, № 5 69
Э. И. Старовойтов, Л. В. Яровая, Д. В. Леоненко
запятая в нижнем индексе обозначает операцию дифференцирования по
следующей за ней координате.
Малые деформации в слоях следуют из (1) и соотношений Коши.
Предположим, что материалы несущих слоев рассматриваемой круговой
трехслойной пластины в процессе деформирования в температурном поле
могут проявлять упругопластические свойства. Напряжения и деформации в
них связаны неизотермическими соотношениями теории малых упругоплас
тических деформаций [8]. В физически нелинейном заполнителе дополни
тельно учитывается влияние вида напряженного состояния. В девиаторно-
шаровой форме это будут соотношения:
а = г , р;4 * ) = 20* (Т* )(1 -ю к ( ̂ \ Т* ))еО*\
а (к) = 3К* (Т* ) (е(к)- а о*Т*), к = 1,2;
р і(а (3), Тз = 2 0 з (Тз )(1 - ю 3 (е ̂ 3), Тз ))е$ , а , уЗ = г , р;
4 3) = 2 0 з ( Т з ) / (3)(е (3), Тз)е(3 ;̂
р 2 ( а (3)) а (3) = 3Кз(Тз)(е(3) - а 03Т3),
(2)
где зО*) , еО* ) - девиаторы; а (к), е (к) - шаровые части тензоров напряжений
и деформаций; 0 * (Тк), К* (Тк) - температурно-зависимые модули упру
гости материалов слоев; а о* - коэффициенты линейного температурного
удлинения; ю к (е и*) , Т*) - функции пластичности материалов несущих сло
ев и физической нелинейности заполнителя, зависящие от интенсивности
деформаций е и*) и температуры Тк; в заполнителе функции нелинейности
р і(а (3), Т з), р 2( а (3)) дополнительно учитывают влияние гидростатичес
кого напряжения а (3); к - номер слоя.
С помощью соотношения (2) выделим линейную и температурно-нели
нейную составляющие в нормальных компонентах тензора напряжений а (к).
а (к) = а (к)^ а °ае а (к) а а е = 20*е а*) + з к * е (к);
а (к = 20*ю(к)е а ) + 3Ккао*Т*, к = 1, 2;
(3) = а (3) - а £ , ) ; аО3? = 2 0 зє03) + 3Кзе (3);а а а ае аО г3 е о
ю(3) = р у (а (3)) - 1, у = 1, 2;
а О3Ю = 20 з ю(3) е(3)
а ^ = а % - а ™;
е 'а' + 3К 3 а 03Т + ю1(3) 5 О3) + ю 23) а (3),
г(3)
а Гж = 20 3 е3 е (3)- з'-' Г2 ■> а (3) _ ^ (3) (3) , (3) (3)Г̂ю = 2 0 3ю еГV + ю., зг? .
(3)
а = г , р;
Введем внутренние усилия и моменты в слоях пластины, также выделяя
в них линейные и нелинейные части:
70 ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2007, № 5
Деформирование упругопластической круговой трехслойной пластины
т — т - т = У т к - У т (к) = У [ о {к)сІ2 - У [ о {к)сІ2 -та тае так / . т ае / . т ак / . J ^ ае и 2 / . J и ак М2 ■
к— 1 к— 1 к— 1 Нк
3 3 3
к—1 Нк
М а = М ае - М ак = У М (к ^ М (к — У / о ^ ̂ 2 - У / о к ̂ 2 ; (4)
к—1 к—1 к—1 Нк к— 1 Нк
н = М (3 ) + с (Т (-1) - Т (2))-
1 1 ае ±у± ае 1 ^У^ае ±ае Ь
н — М (3) + с(т(к - Т (2)) а — Г фак ак ак ак
Уравнения равновесия пластины выводятся из вариационного принципа
Лагранжа:
дЛ - д Ж = 0, (5)
где дА = дА 1 + дАг - вариация суммарной работы внешних нагрузок до(г ),
реакции основания дК и контурных усилий Гг°, И ° , М ° , Q 0;
2 я
дА 1 — / / (д о - дк )днгйгйф; дА 2 — / (тг0ды + н Г д у + м Г д ^ ,г + Q 0дн’)сіф;
б о
дЖ - вариация работы внутренних сил упругости,
3
Б
У/ (о Гк > де Гк > + о ф > де ф >)*
к—1 Нк
ЫЫф, (6)
Интеграл распространен по всей срединной поверхности заполнителя Б ,
Подставим выражения (3) в соотношения (6), (5) и проведем соответст
вующие преобразования. В результате получим систему уравнений равно
весия в усилиях, описывающую термоупругопластическое деформирование
круговой трехслойной пластины с легким заполнителем, находящейся на
упругом основании (нижний индекс е опускаем):
1
тгг + г (тг - тф ) — р к ;
н г,г + г ( н г - н ф ) — Нк ■
М г гг + (2 М гг - М ф г) —
г -д о + дк + д к
(7)
Соответствующие граничные условия в усилиях имеют вид (г — 1)
т — т + т ■л. г ■* г ' к ’
1
н г — н о + н к ■ м г — м г + м к ■
1
М гг + „ ( М г - М Ф ) — Q + М гкГ + .. ( М гк - М фк ).Гк ,г фк .
(8)
ІББМ 0556-171Х. Проблемы прочности, 2007, № 5 71
3
Э. И. Старовойтов, Л. В. Яровая, Д. В. Леоненко
Предполагается, что связь между реакцией основания и прогибом плас
тины описывается моделью Винклера, согласно которой
Чя = к 0 Щ (9)
где к о - коэффициент жесткости упругого основания (коэффициент постели).
Линейные обобщенные внутренние усилия в уравнениях (7) и гранич
ных условиях (8) можно выразить через искомые перемещения с помощью
закона Гука и соотношений (4). В результате система нелинейных дифферен
циальных уравнений равновесия (7) с учетом (9) в перемещениях принимает
вид
^ 2(а 1 и + а2ф - а3ы,г ) = р а ;
Ь2( а 2 и + а 4ф - а 5 ы Т) = Но ; (10)
Ь з( а 3и + а 5 ф - а 6 ы,г) - к о ы = - Ч о + Чю ,
где Ь2 , Ь3 - дифференциальные операторы второго и третьего порядка,
Ь2 ( § ) = ( 1 ( Т§ ) ,г| = § ,тт + — - ^ ;V Т / ,Т Т Т2
1 2§ ,ТТ § ,Т §
^3 (§ ) ( Т - ^ 2 (§ )) ,т § ,ттт + 2 + 3 'Т Т Т 2 Т
Коэффициенты а 1 в (10) определяются интегральными соотношения
ми, полученными из зависимостей внутренних усилий от перемещений, так
как модули упругости материалов в слоях изменяются по толщине вместе с
температурой:
3
а 1
к= 1 к= 1
г1 = 2 К к0; а2 = с(К 10 К 20 ); а 3 = 2 К к1;
а 4 = К 32 + с2(К 10 + К 20 ); а 5 = К 32 + с(К 11 К 21); (11)
3 4
= 2 К к2; К кш = / [Кк(Тк) + 3 Ок(Тк)]2 тй2 , т = 0,1, 2.а 6 ~~ к 2 ̂ ~ ~ кт J • 3
к=1 Ч 3
Нелинейные добавки в правых частях уравнений следующие:
= 1
р о Тто,т + т (Тто Тро );
= 1
^ о Н то,т + т (Н то Н (рш ); (12)
Чо М ТО,ТТ + Т (2М то ,Т М р(ОуТ )'
72 0556-171Х. Проблемы прочности, 2007, N 5
Деформирование упругопластической круговой трехслойной пластины
Задача отыскания функций и(г), у (г ), г) замыкается присоедине
нием к (10) силовых (8) или кинематических граничных условий. При
жесткой заделке контура пластины должны выполняться требования
и = у = ю = w ,г = 0, (13)
при шарнирном опирании -
и = у = ю = М г = 0. (14)
Сформулированная краевая задача является существенно нелинейной,
поэтому говорить о ее точном решении не приходится. Рассмотрим проце
дуру применения метода упругих решений Ильюшина [8] к данной задаче.
Для этого перепишем систему (10) в итерационном виде:
^ 2(а 1 иП + а2у п - а зы ” ) = Р Г 1;
- Ь2(а2и п + а4у п - а 5 ) = Н"-1; (15)
Ь3(а3и п + а 5у п - а6ю” ) - к 0ю п = - д 0 + д"-1,
где п - номер приближения; величины р " - 1 , Н" - 1 , д" - 1 называют “допол
нительными” внешними нагрузками и на первом шаге полагают равными
нулю, в дальнейшем их вычисляют по результатам предыдущего прибли
жения. При этом используют формулы типа (12), в которых все слагаемые
имеют верхний индекс п — 1:
р п—1 _ тп—1 + 1 ( т п—1 _ тп—1).
р т = Тгт,г + г ' Тгю Трт );
7 п—1 _ гг п—1 | 1 / гг п—1 гг п—1 \
НЮ = Н гт,г + г (Н гсо Н рт ); (16)
п—1 _ мм п—1 + 1 (2 ММ п—1 ММ п—1 )дт М гт,гг + \2М гт,г М ют,г ), г
где
3 3
Та— ° 2 " 4 * = 2 / 2 Ск ю к ( в « >"—1 )4 ‘>"-1 А;
к= 1 кк к= 1 кк
м а- = 2 / ° аюп—1 = 2 / 2° к ю к (в ак) п—1 )4 к) п—1 ̂ ( 7 )
к=1 Нк к=1 Нк
Н п—1 = М (3)п—1 + с(Т (1)п—1 — Т (2)п-1) а = г раю аю аю аю
Таким образом , на каждом шаге приближения имеем линейную задачу
теории упругости с известными дополнительными “внешними” нагрузками,
которые вычисляются по формулам (16), (17). В третьем уравнении системы
(15) с помощью первых двух обнуляем коэффициенты перед искомыми
ISSN 0556-171Х. Проблемыг прочности, 2007, № 5 73
Э. И. Старовойтов, Л. В. Яровая, Д. В. Леоненко
функциями и п и ^ п. После двукратного интегрирования этих уравнений
система преобразуется к виду
С пп 1 п 1 1 С Г / 1 п— 1 п—К у у , ,-^п , С 2 ,и п = Ь ^ " г —------------/ г / ( а 2 1 — а 4 р " 1л)йгйг + С 1 г +
^1^4 ~ га 1а 4 — а 2 г г
1 1 С
= Ь 2 ™*г + ------------2 _ / Г/ (а1АГ '1 — а2Р ш~1) ^ г + Спг + — 5 (18)а 1а 4 — а 2 г г
^3( ™г) + к 4 = Ч + ЛШ ^
С И /~1 Н / т Ц И1 , С2 , С з , С 4 - константы интегрирования на п-м шаге;т п П П — константы!
4 а з а 4 а 2 а 5 а 1а 5 а 2 а 3
к = к 0 Д; Ч = Ч 0 Д ; Ь = --------------2“ ; Ъ 2 =2 ; и 2 2 а 1а 4 а 2 а 1а 4 а 2
/ Ш 1 = — Д ЧШ 1 + Д 1^ (гР Ш 1),г + Д 2 г (гНШ 1),
д = а 1( а 1а 4 — а | )
2 2 2 (а 1а 6 — а 3 )(а 1а 4 — а 2 ) — (а ^ 5 — а2а 3 )
а 1( а 3 а 4 — а 2 а 5)
1 = 2 2 2 (а 1а 6 — а 3 )(а ^ 4 — а 2 ) — (а ^ 5 — а2а 3 )
а 1( а 1а 5 — а 2 а 3)
2 = 2 2 2 (а 1а 6 — а3 )(а ^ 4 — а2 ) — (а ^ 5 — а2а3 )
Третье уравнение в (18) в развернутом виде запишем так:
2 1 1 4 —1w гггг + — w ггг — ~ г w гг + —г w г + к ^ = ч + / ш . (19)
г ’ г ’ г
Общее решение (19) можно представить в виде
w m = С т Ьег(к г ) + С т Ъе1(к г ) + Ст кег(к г ) + С 8т ке1(к г ) + ^ ( г ), (20)
где Ъег(к г ) , Ъе1(к г ), кег(к г ), ке1(к г ) — функции Кельвина нулевого порядка;
< ( г ) — частное решение уравнения (19).
Функция кег(х ) и ее первая производная в нуле не ограничены
(кег0 = оо, кег' 0= оо). Поскольку прогиб и его первая производная в центре
пластины должны быть конечными, в решении (20) для сплошной круговой
74 Й'ОТ 0556-171Х. Проблемы прочности, 2007, N 5
Деформирование упругопластической круговой трехслойной пластины
пластины следует положить С 7 = С 8 = 0. Частное решение в этом случае
можно принять с использованием ядра Коши:
* п (Г) = / к (Г, я)[?(я) + / I 1(я)¥ я, (21)
где
к ( Г, я) = С 1( я)р 1( Г ) + С 2( я)р 2( Г ) + С 3( я)р 3( Г ) + С 4 ( я)р 4( Г );
р 1( г ) = Ъег( к г ); р 2( г ) = Ьеі( к г ); р 3( г ) = кег( к г ); р 4( г ) = кеі( к г ).
Функции С п (х) определяются по соотношениям:
С 1(*) = Ж(я) ; С 2( *):
^ ( *) ;
Ж(я) ; С 3(*):
Жз(я)
Ж(я) ' С 4( *):
^ 4 ( Я)
Ж(я) :
где
Ж ( Г) =
р 1(г ) р 2 (г) р 3(г ) р 4(г)
р 1 (г ) р 2 (г) р 3 (г ) р 4 (г)
р'і(г ) р'2(г) р'3(г ) р 4 (г)
р'1'(г) р'2 (Г) р 3 (Г) р'4 (Г)
^ ( Г )=
Ж3(г)=
0 р 2 (г) р 3 (г ) р 4(г) р 1( Г )
0 р 2 (Г) р 3 (г ) р 4 (г) р 1 ( Г )
0 р'2(г) р'3(г ) р '4(г)
; Ж2(Г ) =
р 1 ( Г )
1 р'2 ( г) р'3 ( г) р'4 (Г) р'1' ( Г )
р 1(г ) р 2 (г ) 0 р 4(г) р 1 ( Г )
р 1 (г ) р 2 (г ) 0 р 4 (г) р 1 ( Г )
р1 (г ) р'2 (г ) 0 р 4 (г)
; Ж4(Г ) =
р'1( Г )
р1 ( г ) р'2 ( г ) 1 р'4 (Г) р'1' ( Г )
0 р 3(г ) р 4( Г )
0 р 3 ( Г ) р 4 ( Г )
0 р'3( Г ) р'.4( Г )
1 р 3 ( г) р'4 (Г)
р 2 (г ) р 3 (г) 0
р 2 (Г) р 3 ( Г) 0
р'2(Г) р'3(Г) 0
р'2( г ) р 3і'( г) 1
Частное решение (21) и ядро Коши удовлетворяют условиям [9]:
* 0(0) = * 0(0) = *0 (0) = *0 (0) = 0;
к (я, я) = к '(я, я) = К "(я, я) = 0, К"'(я, я) = 1,
(22)
штрихи обозначают производные по г .
В результате для сплошной круговой пластины искомое итерационное
решение принимает вид
пи = ^1*
1 2 С п
------------ 2 ~ / г / ( а2Л”-1 - а4р пп~1)йгйг + С ”г + — ; (23а)
а 1 а 4 — а 2 Г Г
ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2007, № 5 75
0
Э. И. Старовойтов, Л. В. Яровая, Д. В. Леоненко
1
У п = ь 2 -̂--- 2 ~ 5 г5(а 1̂ П 1 — а 2 Р П Х) ^ г + С 3г 4
«1«4 — а 2 г
w n = С п Ьег(к г ) + Сп Ъе1(к г ) + wп (г ),
(236)
С П /~1 п2 й С 4 определяются из условия непрерывности решения в центре
пластины,
с п = — 1— 2 5 г5 (а 2 нп—]1 — а 4 р г 1)^г^г1«1« 4 — а 2 г_0
/~1 72 _С 4 = —
1а 4
2
а 2
5 г5 (а 1̂
п—1
и а 2 Р и 1)^г^г г=0
Константы интегрирования С 1, С 3 , С 5, С 6 определяются из условий
закрепления контура рассматриваемой трехслойной пластины, находящейся
на упругом основании.
При жесткой заделке контура пластины решение (23) должно удовле
творять условиям (13). В результате получим
С 1п = 5 г 5 (а 2 Нп0— 1 — а 4 р п~1 ) ^ ё г \ — С 2п;ш/ ш/ I г=1
С п = —5 г 5 (а ^п — 1 — а 2 р п~1 ¥ ^ г \ = — С П ; (24)
с п = < (1)Ъе1 к — Ьп wn (1); С п = < (1)Ъег к — Ь з ̂ П (1)
5 Ъ4Ъег к — Ь3 Ъе1 к 6 Ь3 Ъе1 к — Ь4Ъег к
где
кл/2" кл/2
Ь3 = —— [Ъег1 к + Ъе11к]; Ь4 = —— [— Ъег1 к + Ъе11к].
Если контур пластины шарнирно оперт, то константы интегрирования
определяются из (14).
Таким образом, общее решение (23) с частным решением (21) и конс
тантами интегрирования (24) описывает термоупругопластическое деформи
рование круговой трехслойной пластины с легким заполнителем и жестко
заделанным контуром, находящейся на упругом основании.
Численный расчет проводили для защемленной по контуру круговой
трехслойной пластины с легким заполнителем, находящейся на упругом
основании. Слои пластины набраны из материалов Д16Т-фторопласт-Д16Т.
Интенсивность поверхностной нагрузки до = — 1 МПа, теплового потока
д{ = 5000 Дж/(м • с). Относительные толщины слоев Н1 = Н2 = 0,04, Н3 = 0,4.
Для рассматриваемой пластины теплотой, расходуемой на нагревание
внешнего металлического слоя, пренебрегаем (в силу малой теплоемкости).
Его температура принимается равной температуре заполнителя в месте
76 ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2007, № 5
Деформирование упругопластической круговой трехслойной пластины
склейки: Т (1) = Т (3)(с, г). Вся теплота, воспринимаемая пластиной за время
г, расходуется на нагревание полимерного заполнителя. Температура второго
несущего слоя также принимается равной температуре заполнителя в месте
склейки: Т (2) = т (3)( - с , г). Температурное поле в заполнителе определено в
[2]. При тепловом потоке = 5000 Дж/(м • с) температура во внешнем слое
достигает Т 1 = 597 К в момент времени г о = 60 мин, что соответствует
достаточному разогреву дюралюминия, но меньше температуры плавления
заполнителя - фторопласта. Во втором слое - температура постоянна.
Для описания зависимости модулей упругости материалов несущих
слоев (металлов) от температуры используется формула, предложенная Бел
лом [2]:
{О(Т), К (Т), Е(Т)} = {£(0), К (0), Е(0)}р(Т);
Г1, 0 < Т/Тш < 0,06; (25)
<Р(Т) = [1,03(1-Т/(2Тпл)), 0,06< Т/Тпл < 0,57,
где Тпл - температура плавления материала; £(0), К (0), Е(0) - значения
модулей при так называемой нулевой температуре. Например, зная вели
чину модуля сдвига О 0 при некоторой температуре Т 0, получаем 0(0) =
= О 0 / <КТ)). При более высоких температурах Т/Тпл > 0,57 возможно малое
отклонение поведения материала от линейного закона (25).
Зависимость параметров упругости полимерных материалов (заполни
теля) от температуры имеет вид
{0(Т), К (Т )} = {О0 , К 0 V<р 1 (Т); <р 1 (Т) = (1 + В (ДТ/ТШ)у ДТ),
где ДТ = Т — Т 0; Т 0 - начальная температура; О0 , К 0 - значения парамет
ров при температуре Т 0; В, у - параметры материала заполнителя, получа
емые экспериментально.
Функции пластичности материалов несущих слоев и физической не
линейности заполнителя, зависящие от интенсивности деформаций £ и ),
температуры Тк и гидростатического напряжения о (3), принимаются в виде
® к (£ и, Тк ) = '
0,
А 1к 1-
£к
£ т0
£к < £ к ' с и _ с т з
„к ^ Лк £ > £ ‘, ^ т ’
к , ^ _ о кт(Тк)
Ек(Тк) ; 0 к 0 к0бХР Г к[тк Тко/
£т(Т)=
<р 1( о (3), Т3 ) = (1 — А21 о Г 2 )(1 + В( ДТ3/Т3пл)у зеп ДТ3 );
, (3Ь I1, Р ^ Р 0;
<Р 2( о ( ) ) = Ь |Л |«зIА3 I о I , Р < Р 0 ,
(26)
ISSN 0556-171Х. Проблемыг прочности, 2007, № 5 77
Э. И. Старовойтов, Л. В. Яровая, Д. В. Леоненко
где А 1к, а 1к, Е к , к к , А2 , а 2 , А3, а 3 - константы материалов слоев,
получаемые экспериментально; £к - предел текучести материала по дефор-
гг (к)мациям при температуре 1 к ; £ т0' - предел текучести при начальной темпе
ратуре; р 0 - минимальное давление, при котором закрываются все внутрен
ние дефекты в материале заполнителя.
В качестве заполнителя часто используются полимерные материалы.
Механизм их объемного поведения при положительных средних напряже
ниях о качественно и количественно отличается от такового при всесто
роннем сжатии. Надежные соответствующие опытные данные в настоящее
время отсутствуют. Поэтому функция нелинейности р 2 определена только
в области о < 0. Все термомеханические характеристики используемых
материалов, входящие в (25), (26), приведены в [2].
Числовое исследование решения (18)-(24) для пластины с основанием
средней жесткости (к0 = 100 МПа/м) показало быструю сходимость метода
упругих решений (рис. 2). Максимальное отличие перемещений в четвер
том приближении, принятом за искомое решение, от предыдущих состав
ляет менее 1%. Интенсивность поверхностной нагрузки принималась д 0 =
= -2 0 МПа.
0 0,2 0,4 0,6 0,8 гЦ)
-0,03
-0,06
-0,09
- 0 ,12
-0,15
Рис. 2. Сходимость метода упругих решений для пластины с основанием средней жесткости:
а - прогиб; б - сдвиг (1 - изотермический изгиб упругой пластины; 2 - термоупругий изгиб;
3, 4 - номера кривых, соответствующие номеру итерации).
Сходимость метода для пластины с основанием малой жесткости в
подобных условиях осталась прежней. В случае основания большой жесткос
ти прогибы малы, поэтому уже второе приближение является достаточным.
На рис. 3 показаны перемещения в рассматриваемой пластине. Учет фи
зически нелинейного термосилового деформирования материалов слоев при
водит к увеличению упругого расчетного прогиба на 12,5%. Если принять
материалы несущих слоев более пластичными, то эта разница составит 17%.
Распределение областей физической нелинейности в вертикальном сече
нии трехслойной пластины иллюстрирует рис. 4 (темные зоны). Заполнитель
на 82% деформируется нелинейно. В несущих слоях зоны пластичности
занимают до 25% объема материала. Области физической нелинейности в
пластине, пределы текучести материалов которой уменьшены в два раза,
представлены на рис. 5. Их площадь несколько увеличилась по сравнению с
предыдущим случаем.
78 ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2007, № 5
Деформирование упругопластической круговой трехслойной пластины
О 0,2 0,4 0,6 0,8
-0,03
-0,06
-0,09
- 0,12
-0,15
тД
л
1 У
..... '-4
Рис. 3. Перемещения в пластине с основанием средней жесткости: а - прогиб; б - сдвиг (1 -
упругий изгиб; 2 - термоупругий; 3 - термоупругопластический; 4 - термоупругопласти
ческий, если пределы текучести материалов слоев уменьшены в два раза).
0,4 0,6
Рис. 4 Рис. 5
Рис. 4. Распределение областей физической нелинейности в поперечном сечении трехслой
ной пластины.
Рис. 5. Области физической нелинейности в поперечном сечении трехслойной пластины,
пределы текучести материалов слоев которой уменьшены в два раза.
Приведенное общее решение (21), (23) можно использовать для иссле
дования любого случая изгиба симметричной термосиловой нагрузкой трех
слойной круговой пластины с легким заполнителем на упругом основании.
Р е з ю м е
Розглянуто термосиловий згин непорушної пружно-пластичної круглої три
шарової пластини з легким заповнювачем на пружній основі. Для опису
кінематики несиметричного по товщині пакета пластини прийнято гіпотези
ломаної нормалі. Реакція основи описується моделлю Вінклера. Наванта
ження - локальне, симетричне. Отримано систему рівнянь рівноваги та її
точний розв’язок у переміщеннях. Приведено числові результати для три
шарової металополімерної пластини.
1. Старовойтов Э. И., Яровая А. В., Леоненко Д. В. Локальные и импульс
ные нагружения трехслойных элементов конструкций. - Гомель: Бел.
гос. ун-т транспорта, 2003. - 367 с.
0556-171Х. Проблемы прочности, 2007, № 5 79
Э. И. Старовойтов, Л. В. Яровая, Д. В. Леоненко
2. Горшков Л. Г., Старовойтов Э. И., Яровая Л. В. Механика слоистых
вязкоупругопластических элементов конструкций. - М.: Физматлит,
2005. - 576 с.
3. Старовойтов Э. И., Леоненко Д. В., Яровая Л. В. Колебания круговых
трехслойных пластин под действием распределенных локальных нагру
зок // Пробл. прочности. - 2002. - № 5. - С. 70 - 79.
4. Старовойтов Э. И., Леоненко Д. В., Яровая Л. В. Колебания круглых
трехслойных пластин под действием поверхностных нагрузок различ
ных форм // Там же. - 2003. - № 4. - С. 32 - 39.
5. Cheng Zhenqiang, Jemah A. K., and Williams F. W. Theory for multilayered
anisotropic plates with weakened interfaces // Trans. ASME. J. Appl. Mech.
- 1996. - 63, No. 4. - P. 1019 - 1026.
6. Ebsioglu J. K. On the theory on sandwich panels in the reference state // Int.
J. Eng. Sci. - 1966. - No. 6. - P. 166 - 194.
7. Яровая Л. В. Изгиб трехслойной круговой пластины на упругом основа
нии // Пробл. прочности. - 2005. - № 6. - С. 68 - 78.
8. Ильюшин Л. Л. Пластичность. Ч. 1. Упругопластические деформации. -
М.: Гостехиздат, 1948. - 376 с.
9. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравне
ниям. - М.: Наука, 1976. - 576 с.
Поступила 25. 04. 2006
80 ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2007, № 5
|