Применение метода Чжена и Финни для расчета коэффициентов интенсивности напряжений в тонкостенных трубах с длинными осевыми трещинами с учетом геометрической нелинейности
Для расчета коэффициентов интенсивности напряжений в упругих трубах с длинными дефектами используется известный метод Чжена и Финни. Предложено универсальное описание характера поведения балки, для которой получены и используются уравнения метода начальных параметров с учетом геометрической нелин...
Saved in:
| Published in: | Проблемы прочности |
|---|---|
| Date: | 2007 |
| Main Authors: | , , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України
2007
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/48106 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Применение метода Чжена и Финни для расчета коэффициентов интенсивности напряжений в тонкостенных трубах с длинными осевыми трещинами с учетом геометрической нелинейности / И.В. Орыняк, Е.С. Яковлева, В.В. Розгонюк // Проблемы прочности. — 2007. — № 5. — С. 5-18. — Бібліогр.: 20 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859742719668125696 |
|---|---|
| author | Орыняк, И.В. Яковлева, Е.С. Розгонюк, В.В. |
| author_facet | Орыняк, И.В. Яковлева, Е.С. Розгонюк, В.В. |
| citation_txt | Применение метода Чжена и Финни для расчета коэффициентов интенсивности напряжений в тонкостенных трубах с длинными осевыми трещинами с учетом геометрической нелинейности / И.В. Орыняк, Е.С. Яковлева, В.В. Розгонюк // Проблемы прочности. — 2007. — № 5. — С. 5-18. — Бібліогр.: 20 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Проблемы прочности |
| description | Для расчета коэффициентов интенсивности напряжений в упругих трубах с длинными
дефектами используется известный метод Чжена и Финни. Предложено универсальное
описание характера поведения балки, для которой получены и используются уравнения
метода начальных параметров с учетом геометрической нелинейности (влияние осевой
силы на поперечное деформирование). Это позволило, по-видимому, впервые определить
значения коэффициентов интенсивности напряжений в тонкостенной трубе в геометрически
нелинейной постановке, когда повышение давления приводит к несколько "замедленному”
их увеличению. Результаты обобщены для более сложного дефекта - трещины,
выходящей из вершины вмятины.
Для розрахунку коефіцієнтів інтенсивності напружень у пружних трубах із
довгими дефектами застосовується відомий метод Чжена та Фінні. Запропоновано
універсальний опис характера поведінки балки, для якої отримано
та використовуються рівняння методу початкових параметрів з урахуванням
геометричної нелінійності (вплив осьової сили на поперечне деформування).
Це дозволило, можливо, вперше отримати значення коефіцієнтів інтенсивності
напружень для тонкостінної труби в геометрично нелінійній постановці,
коли збільшення тиску призводить до деякого “уповільненого” їх
росту. Результати узагальнено для більш складного дефекту - тріщини, що
виходить із вершини вм’ятини.
We use the well-known Chen-Finney method
for calculation o f stress intensity factors in elastic
pipes with long defects. We propose a unified
description of the beam behavior, for
which we construct and apply the equations of
the method o f initial parameters with the account
taken of the geometrical nonlinearity
(due to the axial force effect on the transverse
deformation). This description provides the
first successful calculation of the stress intensity
factors in a thin-walled pipe in the geometrically
nonlinear formulation, for which
increase of the internal pressure leads to somewhat
“retarded” increase o f the stress intensity
factors. The results obtained are generalized for
a more complex defect - a crack growing from
a dent root.
|
| first_indexed | 2025-12-01T18:55:43Z |
| format | Article |
| fulltext |
НАУЧНО-ТЕХНИЧЕСКИЙ
РАЗДЕЛ
УДК 539.4
Применение метода Чжена и Финни для расчета коэффициентов
интенсивности напряжений в тонкостенных трубах с длинными
осевыми трещинами с учетом геометрической нелинейности
И. В. О рыняка, Е. С. Яковлеваа, В. В. Розгонюк6
а Институт проблем прочности им. Г. С. Писаренко НАН Украины, Киев, Украина
6 ДК “Укртрансгаз”, Киев, Украина
Для расчета коэффициентов интенсивности напряжений в упругих трубах с длинными
дефектами используется известный метод Чжена и Финни. Предложено универсальное
описание характера поведения балки, для которой получены и используются уравнения
метода начальных параметров с учетом геометрической нелинейности (влияние осевой
силы на поперечное деформирование). Это позволило, по-видимому, впервые определить
значения коэффициентов интенсивности напряжений в тонкостенной трубе в геометри
чески нелинейной постановке, когда повышение давления приводит к несколько "замедлен
ному” их увеличению. Результаты обобщены для более сложного дефекта - трещины,
выходящей из вершины вмятины.
Ключевые слова: трещина, вмятина, коэффициент интенсивности напряже
ний, метод начальных параметров.
Введение. В линейной механике разрушения для нахождения коэффи
циентов интенсивности напряжений (КИН) в тонкостенных элементах широ
кое распространение получил технический прием исследования трещины
как сосредоточенной податливости, где скачки перемещений и углов пово
рота линейно связаны со значениями силы и момента в рассматриваемом
сечении с трещиной. Впервые этот прием, названный методом линейных
пружин, был предложен в [1] для анализа эллиптической трещины в плас
тине с использованием классической теории пластин Кирхгоффа. Дальней
шее развитие метод получил, в частности, при анализе оболочек [2], где в
качестве постановочных использовали уравнения типа Рейсснера. В Украине
метод получил развитие в работах Института прикладных проблем меха
ники и математики НАН Украины [3].
В [4] предложен метод для определения остаточных напряжений в
цилиндрах, основанный на экспериментальном замере деформаций на сво
бодной поверхности при пошаговом увеличении длины искусственной тре
щины. Теоретическую основу метода составляет оригинальный подход по
определению коэффициента интенсивности напряжений для трещины в
цилиндре [5, 6]. Метод получил название метода податливости трещины
(crack compliance method). Его суть заключается в применении вышеизло
женного подхода к двухмерным задачам. Преимущества метода податли
© И. В. ОРЫ1НЯК, Е. С. ЯКОВЛЕВА, В. В. РОЗГОНЮК, 2007
ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2007, № 5 5
И. В. Орыняк, Е. С. Яковлева, В. В. Розгонюк
вости трещин состоят в возможности свести сложную задачу к нескольким
простым.
Суть метода состоит в следующем [5].
1. Кольцо рассматривается как балка с поперечной трещиной, в сечении
которой в случае отсутствия трещины действует некоторая система напря
жений как остаточных, так и вызванных произвольным внешним нагруже
нием.
2. Трещина представляет собой некоторую сосредоточенную податли
вость с двумя степенями свободы (в сечении с трещиной происходят скачки
перемещений Дм и углов поворота Дб, зависящие от системы действующих
напряжений в сечении).
3. Наличие скачков приводит к тому, что формально нарушается усло
вие неразрывности кольца-балки, поэтому в сечении с трещиной возникают
дополнительные изгибающий момент М и продольная сила Ы, которые
наряду с основной системой сил, действующей в кольце без трещины,
дополнительно учитываются при расчете перемещений и КИН. В работе [5]
отмечалось, что этот приближенный подход приемлем для тонкостенных
цилиндров. Однако в ней отсутствует четкое ограничение пределов его
применимости и оценки точности. Этот момент учли авторы работы [7], в
которой на основе подхода Чжена и Финни с использованием метода началь
ных параметров решены задачи определения КИН для толстостенного ци
линдра с трещиной и для случая симметрично расположенных нескольких
трещин на внутренней поверхности кольца.
Возникает естественный вопрос о целесообразности развития прибли
женных методов. Конечно, в современных научных и справочных литератур
ных источниках приведено большое число рассчитанных значений КИН для
всех возможных практически значимых случаев наличия трещины в конст
руктивных элементах. Существуют многочисленные программные комплек
сы, позволяющие решить любую интересующую задачу расчета КИН. Тем
не менее инженерные методы не только дают качественное понимание
влияния того или иного параметра на конечный результат, но и с доста
точной точностью позволяют решить много важных задач, отыскание кото
рых в специальной литературе часто требует больших затрат времени, чем
их самостоятельное решение.
Цель настоящей работы заключалась в развитии метода Чжена и Финни
для ряда, на наш взгляд, интересных и практически важных задач расчета
КИН. К ним относятся:
влияние начальной неправильности формы трубы;
влияние геометрической нелинейности при нагружении давлением;
разработка простых инженерных формул для расчета КИН в трубах.
Такие задачи имеют большое значение при анализе прочности цилинд
рических тел (обсадные колонны, глубоководные трубопроводы, низко
напорные трубопроводы, тоннели), подверженных в первую очередь внеш
нему давлению [8, 9]. При нагружении внутренним давлением этот анализ
необходим для очень тонкостенных конструкций, например резервуаров, в
процессе эксплуатации которых возникают различные выпуклости. Что каса
ется магистральных трубопроводов, то практические проблемы вызывает
6 0556-171Х. Проблемы прочности, 2007, N 5
Применение метода Чжена и Финни для расчета
оценка искусственно нанесенных вмятин, например ковшом экскаватора. В
литературных источниках приведено много методик расчета вмятин [10, 11],
в частности допустимый расчет вмятин можно проводить в соответствии с
документом АР1 579 [12], который разработан для оценки состояния объек
тов нефтехимической отрасли, содержащих дефекты различной природы.
Что касается более сложных дефектов, таких, как трещина, выходящая
из вмятины, то формально эксплуатация трубопроводов с ними не допуска
ется [13]. Тем не менее в последнее время разрабатываются методики
оценки, позволяющие разделять их на допустимые и недопустимые [14, 15].
Эти методики, в частности, предусматривают расчет КИН. Их недостаток
состоит в том, что рассчитывается уровень напряжений от вмятины, а затем
КИН определяется как для полосы с краевой трещиной, т.е. не учитывается,
как в методе Чжена и Финни, возникновение дополнительного изгибающего
момента, продольных и поперечных сил.
Поставленные задачи рассчитываются по одной схеме, суть которой
заключается в том, что каждая задача состоит из двух. Для решения первой
используются результаты механики разрушения, определяются КИН и коэф
фициенты податливости. Все результаты в соответствии с идеей метода
Чжена и Финни определяются для бесконечной полосы с трещиной. Вторая
задача более нетривиальна, при ее решении находятся перемещения и пово
роты криволинейной балки с помощью методов строительной механики
(авторы являются сторонниками использования метода начальных пара
метров (МНП)). Собственно, именно получение и применение МНП с уче
том геометрически нелинейного деформирования балки и предопределяет
возможность решения указанных выше задач.
1. Уравнения метода податливости трещин.
1.1. Геометрия и обозначения. Рассмотрим бесконечный цилиндр (коль
цо) с толщиной стенки г, радиус-вектор Я (р ) (годограф) описывает контур
кольца в полярных координатах. Пусть в цилиндре имеется бесконечная
осевая трещина глубиной а, расположенная на внутренней или внешней
поверхности, т.е. радиальная трещина в кольце (рис. 1). Здесь и ниже свяжем
координату р = 0 с сечением, содержащим трещину. Введем локальные
единичные орты: п - нормальный вектор, направленный к мгновенному
центру кривизны исследуемого элементарного участка; г - вектор касатель
ной, направленный по часовой стрелке. Двумя близкими сечениями, парал
лельными вектору п, выделим элемент длины кольца (рис. 2). Рассматривая
кольцо как криволинейную балку, введем шесть основных параметров, ха
рактеризующих ее напряженно-деформированное состояние: радиальное пе
ремещение №; окружное перемещение и; угол поворота сечения в, направ
ленный по часовой стрелке; поперечная Q и продольная N силы и изги
бающий момент М , направленные как показано на рис. 2. Полагаем, что в
теле при отсутствии трещины существует некоторая система уравновешен
ных, в том числе и внешним нагружением, напряжений, пропорциональных
некоторому параметру д. В частности, в сечении с трещиной (в случае
отсутствия трещины) окружные напряжения о в д представляются в виде
о в ,д = до д (х), где о д (х ) - некоторый единичный закон распределения на
пряжений; число д характеризует интенсивность этих напряжений.
ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2007, № 5 7
И. В. Орыняк, Е. С. Яковлева, В. В. Розгонюк
Рис. 1. Некруглое кольцо с трещиной.
м ' М+ЛМ '
Рис. 2. Направление векторов усилий и перемещений.
1.2. Скачки перемещений и углов возле вершины трещины. В соответст
вии с методом податливости трещины скачки перемещений и углов поворота
определяются по формулам (например, [7]):
л
(1)
(2)
Здесь а м = 6М / г 2 , а N = N/7 (как для прямой балки) - напряжения, свя
занные с возникающими дополнительными продольной силой и моментом в
сечении трещины; у i и 3 i - коэффициенты податливости, которые для
каждой нагрузки I определяются следующим образом:
а а
У i (а) = f а Y N (а)У1 (а)^а; 3 i (а) = / а У М (а)У1 (а ^ а , (3)
где Yi (а ) - безразмерные КИН, рассчитанные с использованием весовых
функций, например [16, 17], или взятые из справочников, связь которых с
КИН для рассматриваемых случаев нагружения описывается формулами:
К ̂ = —л[ла qYq (а); К щ = ~л1ла а N YN (а); К 1М = —^ л а а м Yм (а ) - (4)
о о
8 ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2007, № 5
Применение метода Чжена и Финни для расчета
Тогда с учетом суперпозиции получим результирующий КИН:
К I = К Ш + К 1М + К 1д ■ (5)
Заметим, что формулы (1), (2) дают половину соответствующих скачков
и являются ключевыми для последующего анализа, с их помощью можно
определить скачки углов и перемещений при действии любой системы
нагрузок на берега трещины.
2. Метод начальных параметров в геометрически нелинейной
постановке.
2.1. Постановочные уравнения для кольца с незначительным искривле
нием■ Полагаем, что форма кольца несколько отличается от идеально круго
вой ввиду изначального отклонения от правильной формы и изменения
кривизны его точек вследствие действия изгибающих моментов.
Пусть толщина стенки кольца есть константа t, а радиус-вектор его
срединной поверхности описывается в полярных координатах зависимостью
Я(р ), которую разложим в гармонический ряд:
I
1 + ^ ап С08 пр + ^ Ьп 8ш тр
п=1 п=1
(6а)
где принимаем, что форма сечения незначительно отличается от круговой:
ь2, аП < < 1- (66)
Из дифференциальной геометрии известно, что для заданной в поляр
ных координатах кривой уравнение кривизны в точке К имеет вид
1 Я 2 + 2К 2 - ЯЯ" 1 ( Я"
К р (к 2 + к ' 2)3/2 я Г я '■ (7)
С учетом условия (6б) легко показать, что дифференциал длины дуги Л
приблизительно равен
й$ = VК 2 + Я '2 йр ~ Я(р )й р ■ (8)
Запишем шесть дифференциальных уравнений, описывающих дефор
мирование кольца:
й б N = _ . йш _ б = . йМ = .
Я( р )йр р ’ Я( р )йр р ’ Я( р )йр б ’ (9)
йв М йи + ™ о й ^ + и д
Я(р )йр Е 'У ’ Я(р )йр р ’ Яйр р (10)
ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2007, № 5 9
И. В. Орыняк, Е. С. Яковлева, В. В. Розгонюк
При их решении будем учитывать изменение кривизны точек кольца
вследствие действия изгибающих моментов, т.е. задача деформирования
рассматривается в геометрически нелинейной постановке. Тогда общее вы
ражение для кривизны имеет вид
1 1 ( К ") М
~р~ К"(1_ ~Я ] + ~Ё\1' (11)
Искомое значение продольной силы N отыскиваем в виде суммы
номинальной силы от внутреннего давления N 0 = — pR 0 = const и некото
рой дополнительной силы N 1, которая значительно меньше основной (номи
нальной), т.е. N о > > N i . Принимая во внимание это условие малости,
можно показать, что учет изменения кривизны в точках кольца в соответст
вии с выражением (11) является существенным только в первом уравнении
равновесия. Такой подход характерен для анализа условий потери устойчи
вости и описания докритического состояния [18]. Таким образом, в геомет
рически нелинейной постановке вместо (9) и (10) имеем следующую при
ближенную систему уравнений:
dQ + N 1 PR 2 M
R 0 dp R 0 E J
= PR ^ (n 2 — 1)an cos np + ^ ( n 2 — 1)bn sin np
n=1 n=1
(12)
dN i Q
1 — — = 0;
R 0 dp R 0
dM
R 0 dp = Q;
dQ M du dw
„ , = ^T 7; —^ ~ + w = 0; — + u = QR 0. R 0 dp E J dp dp (13)
Подставляя два последних уравнения (12) в первое, получаем
Q" + X 2Q = PR ( — ^ n(n 2 — 1)an sin np + ^ n(n 2 — 1)bn cos np
n=1 n=1
; (14a)
2 _ 1 — P R i = 1—-
X e 'j p, (14б)
где для удобства введены параметр % и безразмерное давление р.
2.2. Общее решение для тонкостенного кольца. Решение системы (12),
(13) отыскиваем как сумму частного решения неоднородного уравнения и
общего решения однородного уравнения, приведенных в виде
10 ISSN 0556-171X. Проблемыг прочности, 2007, № 5
Применение метода Чжена и Финни для расчета
Q = РЯо 2 ( пАп э т пр - пВп соэ п р );
1=2
N = - Р Я о 2 ( А п соэ пр + В п эш п р );
1=2
М = -Р Я 0 2 ( а п соэ пр + В п э т п р );
I
2
1=2
РЯ о3
Е У
РЯ о4
Е У
1=2
А п • В п■ — э т пр + — соэ пр
п п
(15а)
А п В пэ т пр
п( п — 1)
соэ пр
w =
РЯ0 А п ^ | А п соэ пр В п э т пр
■ 2 +
Е У :=2 \ (п -1 ) (п -1 )
где
А п =
(п - 1)ап
2 „,2
п - х
Вп =
(п 2 - 1)Ьп
2 2 п - %
(156)
Заметим, что полученное решение, во-первых, не содержит членов при
п = 1, поскольку они определяют смещение кольца как целого, во-вторых,
имеет смысл только при р > - 3. При значении р = - 3 знаменатель в
выражениях (15а) равен нулю, и происходит потеря устойчивости кольца,
нагруженного внешним давлением, что совпадает с известным решением
Грасгофа-Бресса (например, [19]). Чтобы получить выражение для КИН,
необходимо иметь общее решение системы уравнений (12), (13). Отметим,
что изгибные напряжения в кольце, пропорциональные изгибающему мо
менту, полностью совпадают с решениями, приведенными в [12].
В зависимости от значения %2 имеем три разных случая, для которых
представим общие решения однородной системы в виде, удобном для
использования в методе начальных параметров (табл. 1). В табл. 1 N о =
М
= ^ - Я ■Яо
В данной постановке геометрическая нелинейность проявляется во
влиянии продольной силы N о = - рЯ о на значения перерезывающей силы.
Поскольку в сечении трещины происходит скачок угла Д0, дополнительно
необходимо учитывать скачок перерезывающей силы ДQо. Он возникает в
результате того, что сила N о при скачкообразном измерении нормали к
контуру дает проекцию на нормаль:
ДQо = - N о яп(Д в ) - РЯо(Д в ). (16)
Приведенные выше формулы позволяют решать произвольные задачи для
вмятин и трещин.
ТХОТ 0556-171Х. Проблемы прочности, 2007, N2 5 11
и
И. В. Орыняк, Е. С. Яковлева, В. В. Розгонюк
Т а б л и ц а 1
Решения с использованием МНП системы уравнений (12), (13)
Параметр
Q
N
М
X > О, М = %
N 0Q0 008 МЛ------- 81П МЛ
М
N о + 81п м л '0 °
М
( \
1 — 008 МЛ
%2 = О
°о N 0Л
N 0 + 0 °Л — N О
X2 < О, М = У— 2
N 0
Оо оИ м л ------- 8И МЛ
М
Л N 0 +
\
М2
81п мл
—N
0 ° 8И мл —
М
/ \
ои м л — 1
2
\ М У
М 0 + * 0 ° „
М
̂ \
1 — 008 МЛ
2
\ М У
ЕУ Л +
М 0 + *0 0 0Л N 0*0 Л,
| М 0^0 + 0 0^0 л2
?0 1----------Л +---------------0 ЕУ г ЕУ 2
8Ь МЛ
М о + *0 Оо м
М
/ \
ои м л — 1
2
\ М У
ЕУ Л +
* о2Оо
_ ЕУ
^ о
‘ ЕУ
1 — 008 МЛ
м2
N о*о2 Л !
ЕУ 6
Л 81П мл
М
* о2Оо 7
‘ ЕУ
^ о
ЕУ
оИ мл — 1
м2
Л8И мл
3 2
V М М У
щ 008 л + ^ о 81п Л +
+ 0 0Я0(1 — 008 л) +
я 2 м о
1—ЕУ~ (л —Я1П л )+
* о3Оо
ЕУ
[ 008 МЛ
2 2/1 2 \
Vм М (1 — М )
| |
И° 008 Л + ^0 81П Л +
+ 0 0Я0(1 — 0 0 8 л ) +
я 2м 0
+ Е У (Л — я п л ) +
Я оОо
ЕУ
Щ 008 Л + ^0 81п Л +
+ 0 0Я0(1 — 008 Л) +
я 2м 0
+— Е 'У ^(л —яп л ) +
008 Л — 1+ ■ — |
ЕУ
оИ мл
1м2(1+ м2)
008 Л
1—М2
R3N о
ЕУ
3^ 7л 3
М ЕУ
" Л + 81п Л
81П МЛ 81П Л
М3(1—м2) 1 — м2
И»0 008 Л — Щ 81п Л +
+ 0 0 *0 81п Л +
я 2м 0
+----(1 — 008 Л) +
— ~̂ 2 + М
О7
1 008 Л
ЕУ
1+ М
8И мл
1м3(1+ м2)
Л 81П Л
М2 1+ м2
ЕУ
* о3Оо
■ ЕУ
81П МЛ
м(1—м2)
\
81П Л
1 — М
008 Л — 81П Л +
+ 0 0*0 81П Л +
я 2м 0
+ ̂ У (1 — 008 Л) +
+ ^ еУ (Л — 81П Л) —
008 Л — 81п Л +
+ 0 0*0 81п Л +
я 2м 0
+----(1 — 008 Л) +ЕУ
*о3Оо 7
ЕУ
Ro3N о
ЕУ
Л
2
— 1+ 008 л )
8И мл
м(1+ м2)
\
81п Л
У (1+М2)
ЕУ
008 МЛ
оИ мл
008 л
2 /1 2 \ 1 2
М (1 — м ) 1 — М
ЕУ
— ^Л +
1+ м2)
008 Л
1+ М°
2
2
6
2
1
1
12 0556-171Х. Проблемыг прочности, 2007, № 5
Применение метода Чжена и Финни для расчета
3. Трещины в тонкостенном кольце под действием давления.
3.1. Трещина в тонкостенном кольце правильной (круговой) формы.
Основными формулами анализа являются выражения МНП для и и 0 из
табл. 1. Полагаем, что трещина расположена в сечении р = о. Строго говоря,
перемещения и углы поворота в точке р = 0 с учетом симметрии тож
дественно равны нулю. Однако на некотором, очень малом расстоянии они
равны половине скачка соответствующих величин Ди и ДО, которые опре
деляются по формулам (1) и (2) и принимаются как начальные значения и о
и 0 о, в качестве внешнего усилия д используется внутреннее давление р.
Для тонкостенного кольца можно использовать упрощающее допуще
ние и0 = 0. Обоснуем его. Поскольку Ум = 0 (У N ), из уравнений (3) сле
дует, что у I(а) = 0 ( 0 1 (а)). Тогда из (1) и (2) получим и0 = г • 0 ( 0 0) и
очевидно, что и о < < 0 о К. Поэтому в формулах для и( р ) (табл. 1) можно
положить и0 = 0.
Таким образом, неизвестные значения продольной силы N о и изгиба
ющего момента М о определяем с помощью метода начальных параметров
с учетом условия симметрии в точке р = л, а именно: и ( л ) = 0(л ) = о:
п о
0 о(1+ «1) - по ( 1 - а2) + то = о; 20о(1+ а3) _ "у (1 + а4) + то = о, (17)
2
лК о ЛТ лК о , ггде п о = N о; т о = М о; значения констант а 1 приведены в
Е У Е У
табл. 2. Заметим, что выражения а 1 и а3 зависят от наличия скачка
перерезывающей силы в сечении с трещиной (16). Значения 0 о определя
ются по формуле (2).
Т а б л и ц а 2
Значения констант аі для разных величин давления р
а 2
X > 0, ц = я х 2 = 0 х 2 < 0, ц = д / —х 2
а 1 — 008 ц я
Р 2
ц
я 2
2
оИ ц я — 1
Р 2
ц
02 1 з т ц я
1 2 + 3 ц ц я
я 2
1------
6
^ ц я 1
1 3 + 2 ц я ц
а 2
_ 1 — 0 0 Б ц я — 2 ц
Р 2п 2ч2 ц (1 — ц )
я 2
-------1
4
_ оИ ц я — 1 — 2 ц 2
Р 2 ц 2(1 + ц 2)
о4 2 2зіп ц я 1
ц 2 ц 3я (1—ц 2)
я 2
-------3
3
2зИ ц я 2 1
ц 3я (1 + ц 2) ц 2
Дальнейшие упрощения связаны с нахождением КИН. Уравнения (17)
позволяют найти по и то , причем очевидно, что п о = 0 (т о ) . Поэтому
имеем М о = К • 0 ( N о). Кроме того, поскольку о N = N о/ г, а м = 6М о / г2
и К > > г, то получим о м > > о N . Следовательно, в результирующем выра
жении для КИН (5) можно пренебречь вкладом продольной силы по сравне
ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2007, № 5 13
И. В. Орыняк, Е. С. Яковлева, В. В. Розгонюк
нию с изгибающим моментом. С учетом действия номинальной продольной
силы от внутреннего давления N 0 = — рЯ 0 безразмерный КИН принимает
вид
Здесь
I
У = Ус
Ум
9г Я( Р ) + / мм
= Уо(1— ю (а)).
Я( р ) =
3(1 — 2а 2 — а 4)
3 + 4а з — 4а 2 — 4а 2 а 3 — а 1 — а 4 — а ^ 4
(18)
(19)
где У м , Уо - безразмерные КИН для случая изгиба и растяжения на
бесконечности полосы с трещиной соответственно. Для удобства введено
понятие коэффициента уменьшения КИН ю, характеризующего влияние
замкнутости контура на расчетные КИН по сравнению с бесконечной поло
сой, подверженной тем же напряжениям в сечении с трещиной. Заметим,
что при р = 1 значение Я = 9/(3 + л 2). Выражение (19) при р = 0 равно
единице, и тогда формула (18) совпадает с упрощенным выражением для
КИН, полученным в [7], при р Ф 0 (18) отличается от него множителем Я
при Я 0/(9?). Поэтому для выяснения влияния р на безразмерные значения
КИН важно располагать зависимостью Я( р) - рис. 3. Анализ формулы (18)
и данных на рис. 3 показал, что с ростом давления жесткость кольца
увеличивается, и безразмерные КИН становятся меньше. Влияние р про
является в том, что с его увеличением отношение Я 0 / ? становится как бы
меньшим. По-видимому, данный факт уменьшения безразмерных КИН с
повышением давления для кольца с трещиной установлен впервые.
Рис. 3. Зависимость множителя Я от безразмерного давления р.
Представляет интерес выяснить, насколько существенно для практи
чески важных случаев такое уменьшение. Прежде всего заметим, что умень-
Умшение КИН в (18) связано с множителем а) = -----/ р м . Для построения
У0
функции ^1(а) использовали зависимость для Ум [20] (рис. 4). Поскольку
величина /р м для тонкостенных цилиндров при малых и средних а (при
14 ISSN 0556-171Х. Проблемыг прочности, 2007, № 5
Применение метода Чжена и Финни для расчета
а < 0,6 имеем / рМ < 1) мала по сравнению с 3 = Я о /9?, то, используя
значения ^ 1, можно легко оценивать величину поправки на КИН в кольце по
отношению к бесконечной полосе. Например, при а = 0,5 получим ^ = 0,2.
Тогда при Я о / г = 18 коэффициент уменьшения ш~0,1 для р < < 1. Если
значение р увеличивается и равно, например, единице, то ш также увели
чивается, как следует из рис. 4, примерно в (0,7)—1 раза.
0,8
0,4
0
0 0,3 0,6 а
Рис. 4. Зависимость множителя ^ в коэффициенте уменьшения КИН от относительной
глубины трещины а.
Анализ формулы (18) также показал, что коэффициент уменьшения ш
зависит от безразмерного давления р, которое не может варьироваться в
широких пределах. Значение р ограничено прочностью кольца (трубы).
Поэтому для некоторых конкретных практически возможных случаев рас
смотрим влияние кольцевых напряжений Од = рЯ 0 / г на коэффициент умень
шения ш. Выражая Од через р, получаем р = . Принимая
Е = 2-10 МПа, г = 0,3, построим графики влияния номинального напряже
ния Од на коэффициент уменьшения КИН (рис. 5). Как видно, для типич
ных труб с отношением радиуса к толщине стенки от 20 до 40 при типичном
уровне напряжений, равных, например, 200 МПа, наблюдается довольно
заметное уменьшение безразмерного КИН. Так, для трещины глубиной
а = 0,4 дополнительное уменьшение КИН, обусловленное действием внут
реннего давления, равно Аш = ш(200) — ш(0) = 0,06. Влияние давления для
более глубоких трещин, например Аш = ш(200) — ш(0) — 0,15 при а = 0,6,
проявляется значительнее, что достаточно существенно при оценке проч
ности трубы с трещиной.
Рис. 5. Влияние уровня окружных напряжений от внутреннего давления на коэффициент
снижения КИН для безразмерной трещины глубиной а = 0,4 (а) и 0,6 (б).
0556-171Х. Проблемы прочности, 2007, № 5 15
И. В. Орыняк, Е. С. Яковлева, В. В. Розгонюк
3.2. Расчет КИН в трещине, выходящей из вмятины■ Анализ показал,
что расчет трещины во вмятине является сложной, но вполне решаемой
задачей, если использовать метод Чжена и Финни и полученные выше реше
ния в рамках МНП. Расчет можно провести с учетом геометрической нели
нейности.
При расчете КИН можно использовать методику, описанную в п. 3.1, с
той лишь разницей, что в качестве внешнего нагружения в сечении с
трещиной, но в предположении ее отсутствия, выступает не только про
дольная сила, но и изгибающий момент, определенный по формуле (15а).
Обозначим его М п = о м э ( 2/б, где о мэ - уровень максимальных напря
жений изгиба, вызванных неправильностью формы сечения трубы.
Согласно формуле (15), максимальные изгибные напряжения в сечении
р = 0 определяются выражением
рК апЯ (п 2 _ 1)
о мэ = 6 ~ ^ ~ 2 !■ (20)
1 п=2 1 п _%
Очевидно, что при малых значениях р (% = 1) получим
рК 6 Ж
где Ж - максимальный прогиб вмятины, т.е. указанные напряжения не
зависят от формы вмятины, а зависят от отношения Ж/г.
С увеличением внутреннего давления р значение %2 уменьшается,
что приводит к снижению о мп ■ Однако коэффициент уменьшения ш зави
сит от формы вмятины, т.е. от значения параметров п и %■ Понятно, что эти
напряжения будут минимальными (при том же уровне максимального про
гиба Ж) для сечения трубы овальной формы (п = 2), а максимальными - в
случае локальной вмятины, форма которой описывается большими гармо
никами ряда Фурье (п > > 2). Для этой формы величина напряжений опреде
ляется по формуле (21а). Для сечения трубы овальной формы имеем
рК 6Ж
о мп = Т (1 + р / 3)( ■ (21б)
По-видимому, теперь для определения дополнительного изгибающего
момента в сечении с трещиной, возникшего из-за локальной сосредото
ченной податливости, необходимо воспользоваться уравнениями вида (17),
для получения которых в уравнении (2) следует учитывать изгибающий
момент от вмятины.
Повторяя выкладки, приведенные в п 3.1, и, полагая глубину вмятины
незначительной, что позволяет принять N = _ рК 0, а также рассматривая
задачу в геометрически нелинейной постановке, можно достаточно легко по
лучить приближенную формулу для дополнительного изгибающего момента,
возникающего из-за трещины:
16 ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2007, № 5
Применение метода Чжена и Финни для расчета
(p R 0/ t) f pM + а MD (p ) f ММ
R o /(9t) X( p ) + f мм
(22)
Тогда формулу для расчета КИН запишем в виде
K ! = ((pR о/ 1 )Yо + (а MD а м )Yм )'Т ла , (23)
что позволит легко рассчитывать КИН для трещин, выходящих из вмятин,
при любом уровне действующего внутреннего давления.
В ы в о д ы
1. Для кругового кольца получены уравнения МНП с учетом геометри
ческой нелинейности, а именно: с учетом влияния значений изгибающего
момента на кривизну.
2. По-видимому, впервые для тонкостенной трубы получены формулы
для расчета КИН с учетом геометрической нелинейности. Показано, что в
рамках упругой постановки с ростом прикладываемых напряжений от внут
реннего давления безразмерный КИН не остается постоянным, а несколько
уменьшается.
3. Предложены упрощенные формулы для расчета КИН для трещин,
выходящих из самой глубокой точки вмятины.
Р е з ю м е
Для розрахунку коефіцієнтів інтенсивності напружень у пружних трубах із
довгими дефектами застосовується відомий метод Чжена та Фінні. Запро
поновано універсальний опис характера поведінки балки, для якої отримано
та використовуються рівняння методу початкових параметрів з урахуванням
геометричної нелінійності (вплив осьової сили на поперечне деформуван
ня). Це дозволило, можливо, вперше отримати значення коефіцієнтів інтен
сивності напружень для тонкостінної труби в геометрично нелінійній поста
новці, коли збільшення тиску призводить до деякого “уповільненого” їх
росту. Результати узагальнено для більш складного дефекту - тріщини, що
виходить із вершини вм’ятини.
1. Rice J. R. and Levy N. The part-through surface crack in a elastic plate // J.
Appl. Mech. - 1972. - 39. - P. 185 - 194.
2. Delale F. and Erdogan F. Application of the line-spring model to a
cylindrical shell containing a circumferential or axial part-through crack //
Trans. ASME. J. Appl. Mech. - 1982. - 49. - P. 97 - 102.
3. Кушнір P. М., Николишин М. М., Осадчук В. А. Пружний та пружно-
пластичний граничний стан оболонок з дефектами. - Львів: Сполом,
2003. - 320 с.
4. Чжен В., Финни Я. Метод измерения осесимметричных продольных
остаточных напряжений в тонкостенных цилиндрах, сваренных кольце
вым швом // Теорет. основы инж. расчетов. - 1985. - № 3. - С. 1 -10 .
ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2007, N 5 17
И. В. Орыняк, Е. С. Яковлева, В. В. Розгонюк
5. Чжен В., Финни Я. Расчет коэффициента интенсивности напряжений
для осесимметричных трещин в тонкостенных цилиндрах с использо
ванием решения задачи о плоской деформации // Там же. - С. 84 - 97.
6. Чжен В., Финни Я. Определение коэффициентов интенсивности напря
жений для несквозных продольных трещин в тонкостенных цилиндрах
// Там же. - 1986. - № 2. - С. 1 - 6.
7. Орыняк И. В., Розгонюк В. В., Яковлева Е. С. Обобщение метода Чжена
и Финни для расчета коэффициента интенсивности напряжений для
несквозных трещин в толстостенном кольце // Пробл. машиностроения
и надежности машин. - 2006. - № 2. - С. 37 - 46.
8. Вислобіцький П. А. Розрахунки граничних станів колон труб та трубо
проводів. - Київ: Логос, 1997. - 364 с.
9. Виноградов С. В. Расчет подземных трубопроводов на внешние нагруз
ки. - М.: Стройиздат, 1980. - 134 с.
10. Orynyak I. V., Bogdan A. V., and Rozgonyuk V. V. Ductile fracture model
for a pipe with a dent // Proc. 4th Int. Conf. on Pipeline Technology / Ed.
R. Denys (Ostend, Belgium, May, 2004). - Ostend, 2004. - 7. - P. 949 -
960.
11. Хажинский Г. М. Приближенная оценка напряжений на вмятинах ци
линдрических оболочек // Химическое и нефтегазовое машиностроение.
- 2005. - № 3. - С. 14 - 16.
12. API. Recommended Practice for Fitness-for-Service. APT 579. - Washington:
American Petroleum Institute, 2000.
13. ASME B31.8. Gas Transmission and Distribution Piping Systems. - New
York: ASME, 2003.
14. Bai Y. and Song R. Fracture assessment of dented pipes with cracks and
reliability-based calibration of safety factor // Int. J. Press. Vess. Piping. -
1997. - 74. - P. 221 - 229.
15. Coshan A. and Hopkins P. The pipeline defect assessment manual // Proc. of
IPC 2002: Int. Pipeline Conf. (Calgary, Alberta, Canada, Sep. - Oct., 2002).
- Calgary, Alberta, Canada, 2002.
16. Ориняк І. В., Бородій М. В. Використання наближеного фундаменталь
ного розв’язку для півплощини з крайовою тріщиною в комбінованому
методі вагових функций // Фіз.-хім. механіка матеріалів. - 1994. - № 4.
- С. 105 - 108.
17. Orynyak I. V. and Borodii M. V. The combined weight function method
application for a hole emanated crack // Eng. Fract. Mech. - 1994. - 48,
No. 6. - P. 891 - 894.
18. Новожилов В. В. Теория упругости. - Л.: Судпромгиз, 1958. - 370 с.
19. Григолюк Э. И., Кабанов В. В. Устойчивость оболочек. - М.: Наука,
1978. - 360 с.
20. Tada H., Paris P. C., and Irvin G. R. The Stress Analysis of Cracks:
Handbook. - Hellertown: Del Research Corp., 1973. - 385 p.
Поступила 21. 06. 2006
18 ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2007, № 5
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-48106 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0556-171X |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-01T18:55:43Z |
| publishDate | 2007 |
| publisher | Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Орыняк, И.В. Яковлева, Е.С. Розгонюк, В.В. 2013-08-15T08:39:21Z 2013-08-15T08:39:21Z 2007 Применение метода Чжена и Финни для расчета коэффициентов интенсивности напряжений в тонкостенных трубах с длинными осевыми трещинами с учетом геометрической нелинейности / И.В. Орыняк, Е.С. Яковлева, В.В. Розгонюк // Проблемы прочности. — 2007. — № 5. — С. 5-18. — Бібліогр.: 20 назв. — рос. 0556-171X https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/48106 539.4 Для расчета коэффициентов интенсивности напряжений в упругих трубах с длинными дефектами используется известный метод Чжена и Финни. Предложено универсальное описание характера поведения балки, для которой получены и используются уравнения метода начальных параметров с учетом геометрической нелинейности (влияние осевой силы на поперечное деформирование). Это позволило, по-видимому, впервые определить значения коэффициентов интенсивности напряжений в тонкостенной трубе в геометрически нелинейной постановке, когда повышение давления приводит к несколько "замедленному” их увеличению. Результаты обобщены для более сложного дефекта - трещины, выходящей из вершины вмятины. Для розрахунку коефіцієнтів інтенсивності напружень у пружних трубах із довгими дефектами застосовується відомий метод Чжена та Фінні. Запропоновано універсальний опис характера поведінки балки, для якої отримано та використовуються рівняння методу початкових параметрів з урахуванням геометричної нелінійності (вплив осьової сили на поперечне деформування). Це дозволило, можливо, вперше отримати значення коефіцієнтів інтенсивності напружень для тонкостінної труби в геометрично нелінійній постановці, коли збільшення тиску призводить до деякого “уповільненого” їх росту. Результати узагальнено для більш складного дефекту - тріщини, що виходить із вершини вм’ятини. We use the well-known Chen-Finney method for calculation o f stress intensity factors in elastic pipes with long defects. We propose a unified description of the beam behavior, for which we construct and apply the equations of the method o f initial parameters with the account taken of the geometrical nonlinearity (due to the axial force effect on the transverse deformation). This description provides the first successful calculation of the stress intensity factors in a thin-walled pipe in the geometrically nonlinear formulation, for which increase of the internal pressure leads to somewhat “retarded” increase o f the stress intensity factors. The results obtained are generalized for a more complex defect - a crack growing from a dent root. ru Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України Проблемы прочности Научно-технический раздел Применение метода Чжена и Финни для расчета коэффициентов интенсивности напряжений в тонкостенных трубах с длинными осевыми трещинами с учетом геометрической нелинейности Application of the chen-finney method for calculations of stress intensity factors in thin-walled pipes containing long axial cracks with account of the geometrical nonlinearity Article published earlier |
| spellingShingle | Применение метода Чжена и Финни для расчета коэффициентов интенсивности напряжений в тонкостенных трубах с длинными осевыми трещинами с учетом геометрической нелинейности Орыняк, И.В. Яковлева, Е.С. Розгонюк, В.В. Научно-технический раздел |
| title | Применение метода Чжена и Финни для расчета коэффициентов интенсивности напряжений в тонкостенных трубах с длинными осевыми трещинами с учетом геометрической нелинейности |
| title_alt | Application of the chen-finney method for calculations of stress intensity factors in thin-walled pipes containing long axial cracks with account of the geometrical nonlinearity |
| title_full | Применение метода Чжена и Финни для расчета коэффициентов интенсивности напряжений в тонкостенных трубах с длинными осевыми трещинами с учетом геометрической нелинейности |
| title_fullStr | Применение метода Чжена и Финни для расчета коэффициентов интенсивности напряжений в тонкостенных трубах с длинными осевыми трещинами с учетом геометрической нелинейности |
| title_full_unstemmed | Применение метода Чжена и Финни для расчета коэффициентов интенсивности напряжений в тонкостенных трубах с длинными осевыми трещинами с учетом геометрической нелинейности |
| title_short | Применение метода Чжена и Финни для расчета коэффициентов интенсивности напряжений в тонкостенных трубах с длинными осевыми трещинами с учетом геометрической нелинейности |
| title_sort | применение метода чжена и финни для расчета коэффициентов интенсивности напряжений в тонкостенных трубах с длинными осевыми трещинами с учетом геометрической нелинейности |
| topic | Научно-технический раздел |
| topic_facet | Научно-технический раздел |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/48106 |
| work_keys_str_mv | AT orynâkiv primeneniemetodačženaifinnidlârasčetakoéfficientovintensivnostinaprâženiivtonkostennyhtrubahsdlinnymiosevymitreŝinamisučetomgeometričeskoinelineinosti AT âkovlevaes primeneniemetodačženaifinnidlârasčetakoéfficientovintensivnostinaprâženiivtonkostennyhtrubahsdlinnymiosevymitreŝinamisučetomgeometričeskoinelineinosti AT rozgonûkvv primeneniemetodačženaifinnidlârasčetakoéfficientovintensivnostinaprâženiivtonkostennyhtrubahsdlinnymiosevymitreŝinamisučetomgeometričeskoinelineinosti AT orynâkiv applicationofthechenfinneymethodforcalculationsofstressintensityfactorsinthinwalledpipescontaininglongaxialcrackswithaccountofthegeometricalnonlinearity AT âkovlevaes applicationofthechenfinneymethodforcalculationsofstressintensityfactorsinthinwalledpipescontaininglongaxialcrackswithaccountofthegeometricalnonlinearity AT rozgonûkvv applicationofthechenfinneymethodforcalculationsofstressintensityfactorsinthinwalledpipescontaininglongaxialcrackswithaccountofthegeometricalnonlinearity |