О напряженном состоянии трансверсально-изотропного пьезокерамического материала с произвольно ориентированной сфероидальной неоднородностью
Рассмотрена задача о напряженном состоянии пьезоэлектрической среды, содержащей произвольно ориентированное сфероидальное включение, при однородных силовых и электрических нагрузках. Решение задачи получено с помощью использования обобщенного метода эквивалентного включения Эшелби на случай пьезокер...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Проблемы прочности |
|---|---|
| Datum: | 2008 |
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України
2008
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/48246 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | О напряженном состоянии трансверсально-изотропного пьезокерамического материала с произвольно ориентированной сфероидальной неоднородностью / В.С. Кирилюк, О.И. Левчук // Проблемы прочности. — 2008. — № 2. — С. 112-120. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-48246 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Кирилюк, В.С. Левчук, О.И. 2013-08-17T11:50:33Z 2013-08-17T11:50:33Z 2008 О напряженном состоянии трансверсально-изотропного пьезокерамического материала с произвольно ориентированной сфероидальной неоднородностью / В.С. Кирилюк, О.И. Левчук // Проблемы прочности. — 2008. — № 2. — С. 112-120. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. 0556-171X https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/48246 539.3 Рассмотрена задача о напряженном состоянии пьезоэлектрической среды, содержащей произвольно ориентированное сфероидальное включение, при однородных силовых и электрических нагрузках. Решение задачи получено с помощью использования обобщенного метода эквивалентного включения Эшелби на случай пьезокерамического материала. Тестирование подхода на случае сфероидальной полости (при совпадении оси вращения полости с осью поляризации материала), для которой существует точное решение задачи, подтверждает высокую его эффективность. Проведены числовые исследования и изучено распределение напряжений вдоль поверхности произвольно ориентированной сфероидальной полости. Розглянуто задачу про напружений стан п’єзоелектричного середовища, що містить довільно орієнтоване сфероїдальне включення, при однорідних силових і електричних навантаженнях. Розв’язок задачі отримано за допомогою використання узагальненого методу еквівалентного включення Ешелбі на випадок п’єзоелектричного середовища. Тестування підходу для сфероїдальної порожнини (при збігу осі обертання з віссю поляризації матеріалу), для якої існує точний розв’язок задачі, свідчить про високу його ефективність. Виконано числові дослідження і вивчено розподіл напружень вздовж поверхні довільно орієнтованої сфероїдальної порожнини. We discuss the problem of stressed state of a piezoelectric environment containing arbitrarily oriented spheroidal inclusion under uniform mechanical and electrical loads. The problem solution is obtained using the generalized Eshelby method of equivalent inclusion in a piezoelectric material. Approbation of the approach for the case of a spheroidal cavity (whereas cavity rotation axis coincides with the material polarization axis), for which an exact problem solution is available, confirms its high efficiency. Numerical studies and stress distribution analysis along the surface of arbitrarily oriented spheroidal cavity are provided. ru Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України Проблемы прочности Научно-технический раздел О напряженном состоянии трансверсально-изотропного пьезокерамического материала с произвольно ориентированной сфероидальной неоднородностью On stressed state of a transverse-isotropic piezoceramic material with arbitrarily oriented spheroidal heterogeneity Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
О напряженном состоянии трансверсально-изотропного пьезокерамического материала с произвольно ориентированной сфероидальной неоднородностью |
| spellingShingle |
О напряженном состоянии трансверсально-изотропного пьезокерамического материала с произвольно ориентированной сфероидальной неоднородностью Кирилюк, В.С. Левчук, О.И. Научно-технический раздел |
| title_short |
О напряженном состоянии трансверсально-изотропного пьезокерамического материала с произвольно ориентированной сфероидальной неоднородностью |
| title_full |
О напряженном состоянии трансверсально-изотропного пьезокерамического материала с произвольно ориентированной сфероидальной неоднородностью |
| title_fullStr |
О напряженном состоянии трансверсально-изотропного пьезокерамического материала с произвольно ориентированной сфероидальной неоднородностью |
| title_full_unstemmed |
О напряженном состоянии трансверсально-изотропного пьезокерамического материала с произвольно ориентированной сфероидальной неоднородностью |
| title_sort |
о напряженном состоянии трансверсально-изотропного пьезокерамического материала с произвольно ориентированной сфероидальной неоднородностью |
| author |
Кирилюк, В.С. Левчук, О.И. |
| author_facet |
Кирилюк, В.С. Левчук, О.И. |
| topic |
Научно-технический раздел |
| topic_facet |
Научно-технический раздел |
| publishDate |
2008 |
| language |
Russian |
| container_title |
Проблемы прочности |
| publisher |
Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
On stressed state of a transverse-isotropic piezoceramic material with arbitrarily oriented spheroidal heterogeneity |
| description |
Рассмотрена задача о напряженном состоянии пьезоэлектрической среды, содержащей произвольно ориентированное сфероидальное включение, при однородных силовых и электрических нагрузках. Решение задачи получено с помощью использования обобщенного метода эквивалентного включения Эшелби на случай пьезокерамического материала. Тестирование подхода на случае сфероидальной полости (при совпадении оси вращения полости с осью поляризации материала), для которой существует точное решение задачи, подтверждает высокую его эффективность. Проведены числовые исследования и изучено распределение напряжений вдоль поверхности произвольно ориентированной сфероидальной полости.
Розглянуто задачу про напружений стан п’єзоелектричного середовища, що містить довільно орієнтоване сфероїдальне включення, при однорідних силових і електричних навантаженнях. Розв’язок задачі отримано за допомогою використання узагальненого методу еквівалентного включення Ешелбі на випадок п’єзоелектричного середовища. Тестування підходу для сфероїдальної порожнини (при збігу осі обертання з віссю поляризації матеріалу), для якої існує точний розв’язок задачі, свідчить про високу його ефективність. Виконано числові дослідження і вивчено розподіл напружень вздовж поверхні довільно орієнтованої сфероїдальної порожнини.
We discuss the problem of stressed state of a piezoelectric environment containing arbitrarily oriented spheroidal inclusion under uniform mechanical and electrical loads. The problem solution is obtained using the generalized Eshelby method of equivalent inclusion in a piezoelectric material. Approbation of the approach for the case of a spheroidal cavity (whereas cavity rotation axis coincides with the material polarization axis), for which an exact problem solution is available, confirms its high efficiency. Numerical studies and stress distribution analysis along the surface of arbitrarily oriented spheroidal cavity are provided.
|
| issn |
0556-171X |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/48246 |
| citation_txt |
О напряженном состоянии трансверсально-изотропного пьезокерамического материала с произвольно ориентированной сфероидальной неоднородностью / В.С. Кирилюк, О.И. Левчук // Проблемы прочности. — 2008. — № 2. — С. 112-120. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT kirilûkvs onaprâžennomsostoâniitransversalʹnoizotropnogopʹezokeramičeskogomaterialasproizvolʹnoorientirovannoisferoidalʹnoineodnorodnostʹû AT levčukoi onaprâžennomsostoâniitransversalʹnoizotropnogopʹezokeramičeskogomaterialasproizvolʹnoorientirovannoisferoidalʹnoineodnorodnostʹû AT kirilûkvs onstressedstateofatransverseisotropicpiezoceramicmaterialwitharbitrarilyorientedspheroidalheterogeneity AT levčukoi onstressedstateofatransverseisotropicpiezoceramicmaterialwitharbitrarilyorientedspheroidalheterogeneity |
| first_indexed |
2025-11-25T20:39:14Z |
| last_indexed |
2025-11-25T20:39:14Z |
| _version_ |
1850527802320748544 |
| fulltext |
УДК 539.3
О напряженном состоянии трансверсально-изотропного
пьезокерамического материала с произвольно ориентированной
сфероидальной неоднородностью
В. С. Кирилюк, О. И. Левчук
Институт механики им. С. П. Тимошенко НАН Украины, Киев, Украина
Рассмотрена задача о напряженном состоянии пьезоэлектрической среды, содержащей
произвольно ориентированное сфероидальное включение, при однородных силовых и электри
ческих нагрузках. Решение задачи получено с помощью использования обобщенного метода
эквивалентного включения Эшелби на случай пьезокерамического материала. Тестирование
подхода на случае сфероидальной полости (при совпадении оси вращения полости с осью
поляризации материала), для которой существует точное решение задачи, подтверждает
высокую его эффективность. Проведены числовые исследования и изучено распределение
напряжений вдоль поверхности произвольно ориентированной сфероидальной полости.
К л ю ч е в ы е с л о в а : пьезокерамический материал, сфероидальное включение,
произвольная ориентация, обобщенный метод эквивалентного включения,
распределение напряжений, электрические перемещения.
Введение. Напряженное состояние двухмерных и трехмерных анизо
тропных упругих тел с полостями и включениями рассматривалось в рабо
тах [1-6]. В последнее время интерес к исследованиям связанных полей в
пьезоэлектрических телах значительно возрос. Определению электрического
и напряженного состояния электроупругих тел с концентраторами напряже
ний посвящены работы [7-14]. Для сфероидальной полости или включения,
расположенных в пьезоэлектрической среде, точное решение задачи полу
чено только для случая, когда ось вращения неоднородности ориентирована
вдоль оси поляризации материала [8 , 12-14].
В данной работе рассмотрен случай трансверсально-изотропной пьезо
электрической среды, содержащей произвольно ориентированное сферо
идальное включение. Задача решается с помощью подхода, основанного на
применении обобщенного метода эквивалентного включения Эшелби. Вы
числение контурных интегралов, полученных при решении задачи, прово
дится по квадратурным формулам Гаусса. В частных случаях (при совпа
дении направлений оси поляризации и оси вращения полости) результаты
числовых исследований соответствовали данным других авторов. Изучено
распределение напряжений вдоль поверхности сфероидальной полости при
различных ее ориентациях.
Основные уравнения и постановка задачи. Пусть электроупругая
трансверсально-изотропная среда с осью транстропии, совпадающей с осью
0 2 , содержит сфероидальное включение с полуосями а 1 = а 2 , а 3 . При этом
ось вращения включения образует угол поворота а с осью 0 2 . Полагаем,
что среда находится под действием однородных полей напряжений и электри
ческой индукции. Наличие включения в среде как концентратора приводит к
возникновению возмущения электрического и напряженного состояния.
© В. С. К И РИ Л Ю К , О. И. Л ЕВ Ч У К , 2008
112 ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2008, № 2
О напряженном состоянии трансверсально-изотропного
Полная система уравнений принимает следующий вид:
уравнения равновесия при отсутствии объемных сил:
(1)
уравнения вынужденной электростатики:
(2)
соотношения Коши:
1
£ ij = 2 ( u i , j + u j , i ) ;
уравнения состояния:
(3)
где о j , е j , u i , D i , E t , W - компоненты напряжений, деформаций, пере
мещений, электрических перемещений (индукции), электрического поля и
электрический потенциал соответственно. Введем обозначения тензоров:
C j mn, e imn, k j - упругие модули, пьезомодули, диэлектрические прони
цаемости соответственно. Первый из тензоров измеряется при постоянном
электрическом поле, два последних - при постоянной деформации. Для
пьезокерамических тел, которые являются трансверсально-изотропными по
упругим и электрическим свойствам, упругие свойства описываются пятью
независимыми постоянными: сп , С12, С13, с 33 , С44; пьезомодули - тремя
величиными: е 31, е ^ , езз; диэлектрические проницаемости - двумя неза
висимыми постоянными: kn , к 33 . Компоненты записанных тензоров связа
ны с соответствующими независимыми постоянными следующим образом:
C 1111 = c11; C 2222 = c11; C 3333 = с33;
C 1122 = C 2211 = с12; C 1133 = C 3311 = C 2233 = C 3322 = c13;
C 2323 = C 2332 = C 3232 = C 3223 = c 44;
' C 1313 = C 1331 = C 3131 = C 3113 = c 44 ; (4)
C 1212 = C 1221 = C 2121 = C 2112 = 0 ,5 ( c 11 _ c 12 );
e113 = e131 = e 223 = e232 = e15; e311 = e322 = e31; e333 = e33 ;
k 22 = k11; k 33-
Не приведенные компоненты трех тензоров равны нулю.
При рассмотрении поставленной задачи удобно ввести новую систему
координат, одна из осей которой (ось O z 1) совпадает с осью вращения
сфероида. Предположим, что исходная система координат O xyz связана с
новой (локальной) системой O x 1 y 1 z 1 таким образом, что получается из
исходной системы поворотом вокруг оси О х на угол поворота а. Тогда
тензоры упругих модулей, пьезомодулей и диэлектрических постоянных
ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2008, N2 2 113
В. С. Кирилюк, О. И. Левчук
С у л , в у ї \ к ^ в новой системе координат получим с помощью преобра
зований тензоров соответствующих порядков следующим образом:
С (а) — с (а) —
С І]к1 — С тпрда іта ]па кра 1д , в ук — в тпра іта ]па кр , к (а) — к а - а ■,утп^іт^]п^
где а у - матрица преобразования вида
а і
1 0 0
0 со8 а 8ш а
0 — 8Іп а со8 а
(5)
Отметим, что далее используем обычную тензорную запись выражений,
т.е. подразумеваем, что по повторяющимся индексам в выражениях прово
дится суммирование.
Для описания электронапряженного состояния введем более унифици
рованные обозначения.
Упругие перемещения и электрический потенциал:
и м —
Ы т , М — 1,2,3;
М — 4; (6)
упругие деформации или электрическое поле:
%Мп —
М — 1, 2, 3;
М — 4; (7)
напряжения и электрические перемещения:
[о , І — 1,2,3;Ч '
\ П ; , и — 4; (8)
электроупругие модули:
77(а) _
Е іІМп
С (а) І М — 1 2 3-^ іітп ’ и
в (а)^піі 5
в (а>^ітп 5
(а)
іп
и — 1 ,2 , 3; М — 4;
І — 4; М — 1 ,2 , 3;
к Г , и , М — 4.
(9)
С помощью этих обозначений уравнения состояния (3) можно записать
в виде
^ и = Е щ н ^ И н ■ (10)
114 ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2008, № 2
тп
О напряженном состоянии трансверсально-изотропного
Метод решения. Электрическое и напряженное состояние в среде
представим суперпозицией основного поля и возмущения, вызванного нали
чием полости. Для нахождения возмущенного состояния используем схему
метода эквивалентного включения, обобщенную на случай электроупругос
ти [11]. Уравнения эквивалентности в области включения (неоднородности)
принимают вид
Е \ т ( + 2 к ) = Е ик1(2 КI + 2 т ~ 2 т ), х е ^ , (11)
г1 г (а )где Е ц т , Щ т - электроупругие модели неоднородности и матрицы соот-
1 * ветственно (далее для случая полости Е у л устремим к нулю); 2 Мп -
фиктивные значения “свободных” деформаций и значений электрического
гуОполя, которые определяются из условий эквивалентности включения; 2 к 1
получаем по значениям напряжений, заданных в среде напряжений и элект
рической индукции (электрических перемещений), с помощью соотношений
V10 _ Т7(а) 7 0
^ и ~ Е 1Ж12 К ■
Аналогично упругому случаю имеем
2 Мп = £ МпАЪ^АЬ , (12)
где £ Мпль - пьезоэлектрический аналог “тензора” Эшелби, который зависит
от геометрической формы включения и электроупругих свойств матрицы.
Воспользовавшись Фурье-образом функции Грина для бесконечной
электроупругой среды, на основе преобразований [12] получаем тензор
Эшелби в виде
E(а) _ E iJAb
S MnAb - 4ж
1 1 2я
2 I f [ I mJin ( z ) + InJim ( z )]dQdf] 3 , m - M - 1, 2, 3;
1—*° (13)
f f [14Jin ( Z )]dddn 3 , M - 4
-1 0
где z t ; ц 1 — ^ 1 — ц 2 cos в; ц 2 - ^ 1 — ц 2 sin в, Кроме того, имеем
I MJin - z i z nK M j ( z ), где K MJ - обратная к матрице К m j - t^ n ^ M a n ■
*
Для определения неизвестных значений ZH с помощью соотношений
(11)-(13) имеем систему линейных алгебраических уравнений, Коэффициен
ты этой системы зависят от двойных интегралов типа (13) без каких-либо
особенностей в области интегрирования,
Чтобы найти распределение напряжений в электроупругой среде с
эллипсоидальным включением, необходимо вначале по формулам (13) вычис
лить аналог тензора Эшелби S MnAb, затем из уравнений эквивалентности
(11) - значения Z k i ■ В данной работе вычисление компонент S MnAb про-
ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2008, N 2 115
В. С. Кирилюк, О. И. Левчук
водилось по формулам квадратур Гаусса. После установления неизвестных
значении определялось электрическое и напряженное состояние внутри
включения. Для вычисления значении напряжении и характеристик электри
ческого поля в точках среды, примыкающих к эллипсоидальной границе
включения, использовались формулы скачка напряжении при переходе через
границу включения [11]:
Р и ]= ^°и ~ '̂Иг = Е \ т { ~ Е рдм нХ м пп р п 1К д к (п) + ХК1}, (14)
где п 3 - компоненты нормали поверхности.
Анализ результатов численных исследований. В качестве тестовой
задачи рассмотрим случаи сфероидальной полости, содержащейся в пьезо
электрической среде. Полагаем, что ось вращения сфероида совпадает с
осью поляризации пьезокерамического материала. Пусть основное электри
ческое и напряженное состояния в среде имеют вид [13]
а х = а х ; а у = а 2 = 7 ху = 7 XI = 7 у2 = Х;
Ш(х) = X; В Х0) = В У0) = X; В 20) = й з Ха х ,
где й 31 - пьезоэлектрическая постоянная.
Рассмотрим пьезокерамические материалы РХЕ-5 и ЦТС-19, своиства
которых приведены в [7]. Сравним результаты вычислении для сжатых
сфероидальных полостеи с данными работы [13]. Для диапазона отношений
полуосеи сфероида с /а = Х,2...Х,9 использовались квадратурные формулы
Гаусса по 48 узлам (по каждои из переменных) при отношениях с /а = 0,1...
...0,2 - по 96 узлам. Значения напряжении полностью совпали с данными
[13]. Так, например, для пьезокерамики ЦТС-19 на поверхности полости при
заданном электроупругом поле (15) и отношении с /а = 0,5 концентрация
напряжении а х / а ° достигает 1,418 (1,42) в вершине на оси О у и 1,887
(1,89) в вершине на оси 0 2 (в скобках приведены соответствующие значе
ния из [13]). Следовательно, апробация подхода на тестовои задаче для
трансверсально-изотропнои пьезоэлектрическои среды со сфероидальнои
полостью, имеющеи точное решение, показала его высокую эффективность.
Изучим напряженное состояние в среде со сфероидальнои полостью
при одноосном растяжении вдоль оси вращения (при отсутствии электри
ческого потенциала), т.е. для основного состояния вида
а 2 = а 2 ; а X = а У = ^ Ху = ^ Х2 = ^ у 2 = Х;
ш (х) = х- В (х) = й (а) а X- В (х) = й ̂ а) а X- В (х) = й (а) а X (16)ш х; В х а 133а г '; В у а 233 о г ,; В 2, а 333 и ^ ,
А а )где й ук - пьезоэлектрические постоянные в системе координат, связаннои
со сфероидом, вычисляемые по правилам преобразования тензора третьего
порядка й ^ ) = й тпр а т а уп а р . Компоненты й тпр находим с помощью
116 ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2008, № 2
О напряженном состоянии трансверсально-изотропного
величин $ 31, ^ 15, $ 33 . Так, имеем $113 — $ 223 — $ 131 — $ 232 — $ 15/ 2 ; $ 333 —
= $ 33; $ 322 — $ 311 — $ 31. Не приведенные значения компонент тензора
равны нулю.
Пусть в электроупругой среде со сфероидальной полостью имеет место
одноосное растяжение пространства (вдоль оси вращения сфероида). В
качестве материала среды используем PZT-4, свойства которого приведены в
[7]. Полуоси сфероида положим такими: а 1 — а 2 — 1; а 3 — 0,5. На рис. 1,а
показано распределение напряжений вдоль поверхности полости в сечении
Х 'У ' (от вершины сфероида на оси Ох' до его вершины на оси О у '). Рис. 1,6
иллюстрирует изменение напряжений вдоль поверхности полости в сечении
Z 'F ' (от вершины сфероида на оси 0 2 ' до его вершины на оси О у'). Видно,
что при а — 90° (ось вращения перпендикулярна к оси поляризации) кон
центрация напряжений превышает соответствующее значение при а — 0
(ось вращения совпадает с осью поляризации) примерно на 29,26%. Срав
ним концентрацию напряжений в пьезокерамическом материале и упругом
материале с теми же упругими свойствами, но при отсутствии электричес
ких свойств при а 1 — а 2 — 1; а 3 — 0,5 и одинаковых углах поворота а. В
результате получим, что при а — 0 в пьезокерамическом материале концент
рация напряжений меньше, чем в упругом, примерно на 4,66%. Заметим, что
эффект уменьшения концентрации напряжений при растяжении вдоль оси
поляризации за счет связанности силового и электрического полей в плоской
задаче отмечен в работе [10]. В то же время при а —30; 60 и 90° макси
мальные значения напряжений в пьезокерамическом материале выше соот
ветствующих величин в упругой среде примерно на 1,9; 12,13 и 14,85%.
3,8
3,4
3,0
,
4
/ /
/
' 4 2
7 1
1,0
- 1,0
4
3 Г
2 Ж~
I / 1
0,1л 0,2 К 0,371 0,471 о „ одд 02п 03ж 04л
Рис. 1. Распределение напряжений вдоль поверхности полости в сечении Х ’У' (а) и ZУ’ (6):
1 - а — 0; 2 - а — 30°; 3 - а — 60°; 4 - а — 90°.
Рис. 2 иллюстрирует влияние связанности электрического и силового
полей на напряженное состояние при состоянии (16) в пьезокерамическом
материале (сплошные линии) и упругом с теми же упругими свойствами
(штриховые линии). На рис. 2,а приведены данные при а = 0 (ось вращения
совпадает с осью поляризации), напряжения изменяются вдоль поверхности
0556-171Х. Проблемы прочности, 2008, N 2 117
В. С. Кирилюк, О. И. Левчук
ç v
2,0
1,0
0,0
- 1,0
^ \ 2
ъ Д
\V
3,0
2,6
2,2
0,171 0,2 Я
a
0,3 к 0,4 л
. х Г
_
4 2
: )
'Х
A
w
1 1111t«
0Д7Е 0,2 К 0 ,3 1 0,4Я
2,8
2,6
2,4
2,2
/ 2
— -
^ 3 _
ОД Я 0,2 ТС 0,371 0,471
Рис. 2. Изменение напряжений в упругом и пьезокерамическом материале при а = 0 (а),
30 (б), 60 (в) и 90° (г): 1, 2 - геометрические параметры сфероидальной полости аг = а2 = 1,
а3 = 0,6; 3, 4 - ai = а2 = 1, аз = 0,8.
полости в сечении Х 'Я (от вершины сфероида на оси О х' до его вершины
на оси О г'). Изменение напряжений вдоль поверхности полости в сечении
Х 'У ' (между вершинами на этих осях) при а = 30; 60 и 90° приведено на
рис. 2 ,б - г . Для исследуемых случаев геометрии полости характерно следу
ющее: 1) при а = 0 имело место уменьшение напряжений в электроупругом
материале по сравнению с упругим; 2) при а = 30; 60 и 90° максимальные
напряжения в пьезокерамическом материале выше соответствующих значе
ний в упругом, особенно при а = 90°; 3) наблюдалось изменение точки
максимальных напряжений в пьезокерамическом и упругом материалах
(вершина А в пьезокерамическом материале и вершина В в упругом) при
а = 30; 60 и 90°; 4) наибольшая концентрация напряжений в пьезокерами
ческом материале достигалась при а = 90° (ось вращения перпендикулярна
к оси поляризации), при а = 0 ее значение выше на 29,26; 28,47; 27,72 и
27,03% для а 3 / а 1 = 0,5; 0,6; 0,7 и 0,8 соответственно. Заметим, что оценки
118 ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2008, № 2
О напряженном состоянии трансверсально-изотропного
только случая при а = 0 [10, 13] явно недостаточно для анализа напряжен
ного состояния, поскольку эта ориентация наименее опасна. Как и в упругом
случае, увеличение кривизны поверхности (уменьшение значения меньшей
полуоси сфероида) приводит к росту концентрации напряжений.
Отметим также, что основное электронапряженное состояние (16) не
сколько отличалось от исследуемого в работе [10] (вместо равенства нулю
электрического потенциала при одноосном растяжении рассматривалось
равенство нулю вектора электрической индукции). При условиях [10] с
использованием данного подхода получим, что для случая а = 0 имеет
место несколько большая разница в значениях напряжений для пьезоупру
гого и упругого материалов, чем для состояния (16).
Заключение. Исследовано влияние ориентации включения в пьезоупру
гом пространстве на напряженное состояние. Обнаружено, что ориентация
сфероидальной полости в пьезокерамическом материале наряду с его свойст
вами, геометрическими параметрами полости и характером нагрузок сущест
венно влияет на концентрацию напряжений. Благодаря связанности силово
го и электрического полей может иметь место как уменьшение концентра
ции напряжений, так и ее увеличение по сравнению с упругим материалом.
Р е з ю м е
Розглянуто задачу про напружений стан п ’єзоелектричного середовища, що
містить довільно орієнтоване сфероїдальне включення, при однорідних сило
вих і електричних навантаженнях. Розв’язок задачі отримано за допомогою
використання узагальненого методу еквівалентного включення Ешелбі на
випадок п’єзоелектричного середовища. Тестування підходу для сфероїдаль
ної порожнини (при збігу осі обертання з віссю поляризації матеріалу), для
якої існує точний розв’язок задачі, свідчить про високу його ефективність.
Виконано числові дослідження і вивчено розподіл напружень вздовж по
верхні довільно орієнтованої сфероїдальної порожнини.
1. Л ехницкий С. Г . Теория упругости анизотропного тела. - М.: Наука,
1977. - 415 с.
2. K a lo e ro v S. A. a n d A n ton ov Yu. S. Thermostressed state of an anisotropic
plate with holes and cracks // Int. Appl. Mech. - 2005. - 41, No. 9. - P. 1066
- 1075.
3. K ir ily u k V. S. a n d L evch u k O. I. Stress state of a transversely isotropic
medium with arbitrarily orientated spheroidal inclusion // Ibid. - No. 2. -
P. 137 - 143.
4. K ir ily u k V. S. The stress state of an elastic orthotropic medium with an
ellipsoidal cavity // Ibid. - No. 3. - P. 302 - 308.
5. К ирилю к В. С ., Л евч ук О. И . О напряженном состоянии трансвер-
сально-изотропной среды с произвольно ориентированной сфероидаль
ной полостью или дискообразной трещиной под внутренним давлением
// Пробл. прочности. - 2005. - № 5. - С. 58 - 70.
ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2008, № 2 119
6 . К ирилю к В. С. О влиянии ориентации сфероидальных полостей или
жестких включений в ортотропной среде на концентрацию напряжений
// Там же. - 2006. - № 1. - С. 58 - 6 8 .
7. М ехани ка связанных полей в элементах конструкций. В 6 т.; Т. 1.
Гринченко В. Т., Улитко А. Ф., Шульга Н. А. Электроупругость. -
Киев: Наук. думка, 1989. - 279 с.
8 . P o d il'ch u k Yu. N. Exact analytical solutions of static electroelastic and
thermoelectroelastic problems for a transversely isotropic body in curvilinear
coordinate systems // Int. Appl. Mech. - 2003. - 39, No. 2. - P. 132 - 170.
9. K a lo e ro v S. A ., B a eva A. I., a n d G lushchenko Yu. A . Two-dimensional
electroelastic problem for a multiply connected piezoelectric body // Ibid. -
No. 1. - P. 77 - 84.
10. D a i L ., G uo W., a n d W ang X . Stress concentration at an elliptic hole in
transversely isotropic piezoelectric solids // Int. J. Solids Struct. - 2006. -
43, No. 6 . - P. 1818 - 1831.
11. D unn M . L. a n d Taya M . Electroelastic field concentrations in and around
inhomogeneities in piezoelectric solids // J. Appl. Mech. - 1994. - 61, No. 4.
- p. 4 7 4 - 4 7 5 .
12. M ik a ta Y. Explicit determination of piezoelectric Eshelby tensors for a
spheroidal inclusion // Int. J. Solids Struct. - 2001. - 38, No. 40-41. - P. 7045
- 7063.
13. P o d il'ch u k Yu. N. a n d M y a so e d o v a I. G. Stress state of a transversely
isotropic piezoceramic body with spheroidal cavity // Int. Appl. Mech. -
2004. - 40, No. 11. - P. 1269 - 1280.
14. C h ian g C. R. a n d W eng G. J. The nature of stress and electric-displacement
concentrations around a strongly oblate cavity in a transversely isotropic
piezoelectric material // Int. J. Fract. - 2005. - 134, No. 3-4. - P. 319 - 337.
Поступила 14. 06. 2006
В. С. Кирилюк, О. И. Левчук
120 ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2008, № 2
|