Приближенное аналитическое определение вибродиагностических параметров упругого тела с трещиной при субгармоническом резонансе. Сообщение 1. Слабый резонанс
Рассматривается приближенный аналитический метод расчета вибродиагностических параметров колебательного процесса упругого тела с закрывающейся трещиной, моделируемого упругой системой с одной степенью свободы при билинейной асимметричной характеристике восстанавливающей силы, в области слабого субга...
Saved in:
| Published in: | Проблемы прочности |
|---|---|
| Date: | 2008 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України
2008
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/48252 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Приближенное аналитическое определение вибродиагностических параметров упругого тела с трещиной при субгармоническом резонансе. Сообщение 1. Слабый резонанс / В.В. Матвеев, О.А. Бовсуновский // Проблемы прочности. — 2008. — № 2. — С. 26-40. — Бібліогр.: 25 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-48252 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Матвеев, В.В. Бовсуновский, О.А. 2013-08-17T12:09:59Z 2013-08-17T12:09:59Z 2008 Приближенное аналитическое определение вибродиагностических параметров упругого тела с трещиной при субгармоническом резонансе. Сообщение 1. Слабый резонанс / В.В. Матвеев, О.А. Бовсуновский // Проблемы прочности. — 2008. — № 2. — С. 26-40. — Бібліогр.: 25 назв. — рос. 0556-171X https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/48252 534.08;620.175.5 Рассматривается приближенный аналитический метод расчета вибродиагностических параметров колебательного процесса упругого тела с закрывающейся трещиной, моделируемого упругой системой с одной степенью свободы при билинейной асимметричной характеристике восстанавливающей силы, в области слабого субгармонического резонанса порядка 1/2. Розглядається наближений аналітичний метод розрахунку вібродіагностичних параметрів коливального процесу пружного тіла з тріщиною, що закривається, який моделюється пружною системою з одним ступенем вільності при білінійній асиметричній характеристиці відновлювальної сили, в області слабкого субгармонічного резонансу порядка 1/2. We present the approximated analytical method of calculation of vibrodiagnostic parameters of oscillatory process of an elastic body with a closed crack, modeled by an elastic system with one degree of freedom, in case of bilinear asymmetric characteristic of the restoring force, in the field of a weak subharmonic resonance of 1/2th order. ru Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України Проблемы прочности Научно-технический раздел Приближенное аналитическое определение вибродиагностических параметров упругого тела с трещиной при субгармоническом резонансе. Сообщение 1. Слабый резонанс Approximated analytical determination of vibrodiagnostic parameters of a cracked elastic body under subharmonic resonance conditions. Part 1. A weak resonance Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Приближенное аналитическое определение вибродиагностических параметров упругого тела с трещиной при субгармоническом резонансе. Сообщение 1. Слабый резонанс |
| spellingShingle |
Приближенное аналитическое определение вибродиагностических параметров упругого тела с трещиной при субгармоническом резонансе. Сообщение 1. Слабый резонанс Матвеев, В.В. Бовсуновский, О.А. Научно-технический раздел |
| title_short |
Приближенное аналитическое определение вибродиагностических параметров упругого тела с трещиной при субгармоническом резонансе. Сообщение 1. Слабый резонанс |
| title_full |
Приближенное аналитическое определение вибродиагностических параметров упругого тела с трещиной при субгармоническом резонансе. Сообщение 1. Слабый резонанс |
| title_fullStr |
Приближенное аналитическое определение вибродиагностических параметров упругого тела с трещиной при субгармоническом резонансе. Сообщение 1. Слабый резонанс |
| title_full_unstemmed |
Приближенное аналитическое определение вибродиагностических параметров упругого тела с трещиной при субгармоническом резонансе. Сообщение 1. Слабый резонанс |
| title_sort |
приближенное аналитическое определение вибродиагностических параметров упругого тела с трещиной при субгармоническом резонансе. сообщение 1. слабый резонанс |
| author |
Матвеев, В.В. Бовсуновский, О.А. |
| author_facet |
Матвеев, В.В. Бовсуновский, О.А. |
| topic |
Научно-технический раздел |
| topic_facet |
Научно-технический раздел |
| publishDate |
2008 |
| language |
Russian |
| container_title |
Проблемы прочности |
| publisher |
Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Approximated analytical determination of vibrodiagnostic parameters of a cracked elastic body under subharmonic resonance conditions. Part 1. A weak resonance |
| description |
Рассматривается приближенный аналитический метод расчета вибродиагностических параметров колебательного процесса упругого тела с закрывающейся трещиной, моделируемого упругой системой с одной степенью свободы при билинейной асимметричной характеристике восстанавливающей силы, в области слабого субгармонического резонанса порядка 1/2.
Розглядається наближений аналітичний метод розрахунку вібродіагностичних параметрів коливального процесу пружного тіла з тріщиною, що закривається, який моделюється пружною системою з одним ступенем вільності при білінійній асиметричній характеристиці відновлювальної сили, в області слабкого субгармонічного резонансу порядка 1/2.
We present the approximated analytical method of calculation of vibrodiagnostic parameters of oscillatory process of an elastic body with a closed crack, modeled by an elastic system with one degree of freedom, in case of bilinear asymmetric characteristic of the restoring force, in the field of a weak subharmonic resonance of 1/2th order.
|
| issn |
0556-171X |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/48252 |
| citation_txt |
Приближенное аналитическое определение вибродиагностических параметров упругого тела с трещиной при субгармоническом резонансе. Сообщение 1. Слабый резонанс / В.В. Матвеев, О.А. Бовсуновский // Проблемы прочности. — 2008. — № 2. — С. 26-40. — Бібліогр.: 25 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT matveevvv približennoeanalitičeskoeopredelenievibrodiagnostičeskihparametrovuprugogotelastreŝinoiprisubgarmoničeskomrezonansesoobŝenie1slabyirezonans AT bovsunovskiioa približennoeanalitičeskoeopredelenievibrodiagnostičeskihparametrovuprugogotelastreŝinoiprisubgarmoničeskomrezonansesoobŝenie1slabyirezonans AT matveevvv approximatedanalyticaldeterminationofvibrodiagnosticparametersofacrackedelasticbodyundersubharmonicresonanceconditionspart1aweakresonance AT bovsunovskiioa approximatedanalyticaldeterminationofvibrodiagnosticparametersofacrackedelasticbodyundersubharmonicresonanceconditionspart1aweakresonance |
| first_indexed |
2025-11-25T21:05:29Z |
| last_indexed |
2025-11-25T21:05:29Z |
| _version_ |
1850548173215367168 |
| fulltext |
УДК 534.08;620.175.5
Приближенное аналитическое определение вибродиагностических
параметров упругого тела с трещиной при субгармоническом
резонансе. Сообщение 1. Слабый резонанс
В. В. Матвеев, О. А. Бовсуновский
Институт проблем прочности им. Г. С. Писаренко НАН Украины, Киев, Украина
Рассматривается приближенный аналитический метод расчета вибродиагностических
параметров колебательного процесса упругого тела с закрывающейся трещиной, модели
руемого упругой системой с одной степенью свободы при билинейной асимметричной
характеристике восстанавливающей силы, в области слабого субгармонического резонанса
порядка 1/2.
К л ю ч е в ы е с л о в а : вынужденные колебания, нелинейные колебания, основ
ной и субгармонический резонансы, билинейная асимметричная характерис
тика восстанавливающей силы, закрывающаяся трещина усталости, вибро
диагностика усталостного повреждения.
Введение. Повышенный интерес к изучению колебаний упругих тел
при наличии повреждений типа усталостных трещин обусловлен как необ
ходимостью оценки возможного изменения вибрационного состояния эле
ментов конструкций в процессе их длительной эксплуатации, так и разра
ботки эффективных методов вибродиагностики наличия таких поврежде
ний. При этом исследования продолжают проводить по трем основным
направлениям: традиционное, т.е. определение изменения собственных час
тот колебаний конструктивных элементов при наличии трещин [1-7] и
отслеживание изменения форм колебаний [8 , 9]; определение параметров
нелинейных эффектов колебательных процессов, обусловленных наличием
закрывающейся или “дышащей” трещины [10-14]; оценка влияния трещины
на характеристики демпфирования колебаний упругих тел [15-18].
Одним из менее исследованных направлений является установление
зависимостей между параметрами закрывающейся трещины и параметрами
колебательного процесса упругого тела при нелинейных резонансах, обуслов
ленных наличием такой трещины. Это связано со сложностью аналити
ческого решения задачи и постановки корректного эксперимента.
Проведенный ранее [19] анализ методов расчета вынужденных коле
баний упругого тела с закрывающейся трещиной свидетельствует о значи
тельных трудностях в нахождении удобных для использования решений.
Получаемые системы сложных определяющих уравнений требовали в конеч
ном итоге численного решения. Имеющиеся замкнутые решения не описы
вали или искажали поведение системы в области резонансов на обертоне
собственной или внешней частоты, а иногда и в области основного резонанса.
Предложенный приближенный аналитический метод нахождения реше
ния для области слабого супергармонического резонанса 2 -го порядка пока
зывает удовлетворительное соответствие между результатами расчета и дан
ными численных решений [19]. Ниже рассматривается возможность прибли
© В. В. М А ТВ ЕЕВ , О. А. БО В С У Н О В С К И Й , 2008
26 ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2008, № 2
Приближенное аналитическое определение вибродиагностических параметров
женного расчета параметров стационарного колебательного процесса для
случая субгармонического резонанса порядка 1/2 , базирующегося на основ
ных положениях, используемых для супергармонического резонанса.
М етодика приближенного расчета. Поставленная задача решается с
учетом следующих исходных положений:
1) упругое тело при относительно малых размерах трещины нормаль
ного отрыва, что позволяет пренебречь некоторым различием в формах
колебаний на полуциклах деформирования разного знака, представляется
для заданной формы колебаний моделью системы с одной степенью свободы
с асимметричной билинейной характеристикой восстанавливающей силы.
Вынужденные колебания рассматриваемой системы описываются диффе
ренциальным уравнением вида
2
2 + 2h — + т [1 - 0,5а(1 + sign u )]u = q 0 sinvt. (1)
d t d t
Здесь rn - собственная частота колебаний неповрежденного тела; а - пара
метр, характеризующий относительное изменение жесткости тела,
K — K т
а = ^ • (2)
где K - жесткость тела с закрытой трещиной, которая принимается равной
жесткости неповрежденного тела; K т - жесткость при наличии открытой
трещины, K т < K .
Примеры определения параметра а для стержневых элементов с тре
щинами нормального отрыва при продольных и изгибных колебаниях рас
смотрены в [2 0 ], для прямоугольных пластин - в [2 1 ];
2 ) полагаем, что при субгармоническом резонансе кроме основной
гармоники колебаний, соответствующей частоте вынуждающей силы, возни
кают колебания со спектром гармонических составляющих основного резо
нанса, т.е. соответствующих спектру свободных колебаний;
3) для области основного резонанса (v = а>) используется решение, полу
ченное с помощью асимптотического метода нелинейной механики [2 2 ]:
u = A sin( v t — у ) + A 0 + ^ A n cos n( v t — y ),
n=2,4,...
где Ao - постоянная составляющая; A n - амплитуды высших гармоник,
n
а -+1 2а
Ao = - A; An = (—1)2 , 2 n 2 A.
^ - ( n 2 — 1)2
Резонансная частота rn o принимается равной частоте свободных коле
баний упругой системы с асимметричной билинейной характеристикой вос
станавливающей силы, определяемой параметром а [19],
ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2008, N2 2 27
В. В. Матвеев, О. А. Бовсуновский
Ш,
2л/Г—
1 + л/ l “
а
Ш л/Т— а ш.
а
(3)
С учетом отмеченного решение уравнения (1) для области субгармо
нического резонанса порядка 1/2 отыскиваем в виде
и = A q + Ai/2 sin̂ 2̂ г — У 1/2 ) + A1 sin(^ — у i ) + ^ А п cos - у 1/2 ), (4 )
' ' п=2,4,... ' '
где
п
а -+1 2а
А 0 = Ж А1/2 ; Ап = ( -1 )ж
-А,w 2 2 А1/2 ' ж( п — 1)
(5)
При этом для случая слабого резонанса (А у 2 < А1) с учетом малости
/ 2 2ж(п — 1) гармоническими составляющими с амплиту
дами А п можно пренебречь. Тогда основные гармоники колебательного
процесса при субгармоническом резонансе порядка 1/2 можно представить в
виде схемы, изображенной на рис. 1.
Рис. 1. Основные гармоники колебательного процесса.
Неизвестные параметры ^ 1/2 , ^ 1, у 1/2 , У1 определяем с помощью
подхода [19], суть которого состоит в удовлетворении уравнения (1) в
моменты известного значения билинейной характеристики восстанавлива
ющей силы.
В качестве основных моментов времени при и > 0 и значении частоты
свободных колебаний (1 — а )т примем
28 ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2008, № 2
Приближенное аналитическое определение вибродиагностических параметров
Г' — Г1 —
t” ~ t ' —
З я - (/3- у 1) (6)
при u < 0 и значении частоты свободных колебаний m -
,, я + (З + У 1) 2я - ( З - У 1) ,, Зя + (З + У 1)
— v ; t2 — v ; t4 — V ;
1И 4 я - ( З - У 1)
*4 — ■
Этим моментам времени на первой гармонике ^ sin( v t - у 1) соответст
вуют точки 1', 1", 3', 3" и 2', 2 ", 4 ', 4" (рис. 1). При этом значение ß должно
удовлетворять условию
A sin ß > A1/2 (8)
и выбираться в интервале ß 0 < ß < я / 2, где ß 0 — arcsin A ^ /A ^ Однако
следует заметить, что в случае известных значений у 1 и у 1/2 величина ß 0
может быть и значительно меньше.
Подставляя решение (5) для выбранных моментов времени (6 ), (7) в
уравнение (1), получаем следующие пары исходных уравнений:
(1 - a )A 0 ± . ß fy 1
SinI C0S| y - У1/2
+
+ ß • f y 1+ c o s ~ sin^ - 2 - у 1/2
• ß • f y 1 s
- Я П - ^ М у - у 1/2
vh
A1/2 ± ~
m
ß f у 1
C0 s 2 C0sl y - у 1/2
vh
A1/2 + 2 —2 A1 cos ß + A 1
m
( 1 - a ) -
q 0 (sin ß cos у 1 + cos ß sin у 1);
sin ß —
(1',3')
(1 - a ) A 0 ±
1 / v
( 1 - a ) -
ß fy 1cos~ cosl y - у 1/2
(9a)
+
A1/2 ± 2
vh ̂ ß ̂ | у 1 '+ sm - s m fy у 1/2
ß ̂ f у 1
- у 1/2
— q r (sin ß cos у 1 - cos ß sin у 1);
m
- ß fУ 1 sin~ cos^ ^ - у 1/2
vh / v \ 2
A1/2 - 2 —2 A1 cos ß + A1 (1 - a ) - l - l
m V—/
sin ß —
(Г' ,3 '')
2
2
2
ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2008, № 2 29
В. В. Матвеев, О. А. Бовсуновский
А о ± 1 -
4\ш
3 | У1
СОЯ 2 С08| у — У1/2
• 3 • (У18111-81п1 у —У1/2 А1/2 +
+ ■
уЬ
—
• 3 (у 1
8т - С° 81Т — У1/2
+ 3 • (У 1
+ с° я 2 я1п[ ~ 2 — у 1/2 А 1/2 2 2 А 1
1 —| -
Ч оя1п 3 = ——2 (я1п 3 с°я у 1 — соя 3 яш у 1);
уЬ
2 —2 А1 соя 3 —
(2', 4')
Ао ± 1 — 1 [ ^
4\ш
̂ 3 (у 1
я1п 2 С° я[ ~2 ~—у 1/2
3 ̂ (у 1
— у 1/2
(96)
А1/2 +
+
уЬ
А 1
3 (У 1
С0я_2 С0я[~2 — У1/2
. - 3 - (у 1
+ 81п_2 81111 ~2 "— у 1/2
уЬ
А1/2 + 2 — 2 А1 соя 3 ■
1 — | -
Ч о
я1п 3 = ——2 (я1п 3 соя У1 — соя 3 я1п у 1).
ш
(2", 4")
2
2
2
2
Для удобства дальнейшего анализа приведенные уравнения (9) пронуме
рованы в соответствии с обозначением точек на рис. 1. При этом верхние
знаки относятся к уравнениям (1'), (1"), (2') и (2"), нижние - к уравнениям (3'),
(3"), (4') и (4'').
С целью усреднения значений тригонометрических функций угла 3 в
интервале его возможного изменения (3 о---л/2) заменим их средними зна
чениями:
^ 2 я1п Щ ф С0я Н I — С0я М3 о^ „ Г я1п я р а р „
(я1п" 3 ) СР = 2 { = — М ( л — 2 3 о)
Л ^ 2 с°я М 3а3 я1п — я1п ж 3°
(С0я" 3 ) СР = 2 / 7 —2 3 7 = 2 N л — 23о)
( 1о)
Из рассмотрения алгебраических сумм приведенных исходных уравне
ний, которые включают параметры колебательного процесса двух периодов
гармоники возбуждения, принимая, согласно (5), Ао = А1/2а /л , находим
выражения для соотношения амплитуд А = А1/2 /А 1 и сдвига фаз Ду =
= у 1 / 2 — у 1/2 -
Суммы [(1') + (4 ')]— [(1") + (4")]= [(2') + (3 ')]— [(2") + (3")] определяют
21 I У
(2 —“ ) — I
Ду 1 = ------------------У ^ - , ( 11)
а — 2 Ь —2
30 /ЗЗЖ 0556-171Х. Проблемы прочности, 2008, № 2
Приближенное аналитическое определение вибродиагностических параметров
суммы [(!') + (4 ')]+ [(1*) + (4")] и [(2') + (3 ')]+ [(2") + (3 " )]-
7 ± а Р ( Р 0 • Р 0 ̂л 1(±) = ± 4 а л С08 р 014л1со8 —— 8 т _ 2"
1 ( V
<2- “ >- г ! ; ;
8Ш Ду 1
а - 2
-1
С08 Ду 1 г ± 2а(2 - а ) ( л - 2Р 0)! ( 12)
где знаки “+ ” относятся к первой сумме, “- ” - ко второй.
Другие варианты алгебраических сумм, исключающие необходимость
нахождения абсолютных значений амплитуды А и сдвига фаз у 1 и у ̂ 2 ,
определяют следующие выражения для А и Ду:
суммы [(1') + (2 ') ] - [(1") + (2")]= [(3') + ( 4 ') ] - [(3") + (4")] -
а + 2Н_
^§Ду 2 = - ‘
(2 - а ) ■
1 (V
2 \ш
(13)
суммы [(1') + (2 ')]+ [(1") + (2" ) ]и [(3') + (4 ')]+ [(3") + (4 " ) ] -
7 ± Р \ а ( Р 0 • р 0 Ха 2(±) = ± 4 ал С08 р 01 4л1 С08 —— 8Ш “2"
1 ( V
( 2 - а ) - г Ь
С08 Ду 2 -
hv
а + 2 2
; )
-1
в т Д у 2 г ± 2 а (2 - а ) ( л - 2Р 0)|- , (14)
2
2
2
где знаки “+ ” относятся к первой сумме, “- ” - ко второй. Следует заметить,
что выражения (13) и (14) легко преобразуются к виду (11) и (12) при
условии Ду 2 = л / 2 - Ду. Различаться они будут только одним сомножите-
Ьу ^
лем: вместо а - 2 —2 будет а + 2 —2 .
Учитывая, что в отличие от супергармонического резонанса [19] на
периоде низшей гармоники колебаний имеются четыре экстремальных зна
чения второй гармоники, соответствующие известному значению жесткости
системы, рассмотрим наиболее простой способ определения приближенного
значения относительной амплитуды А. Принимая в уравнениях (9) значение
Р = л / 2, что соответствует точкам 1, 2 , 3, 4 на рис. 1, получаем четыре
исходных уравнения (1), (2), (3), (4). Алгебраические суммы этих уравнений
[(1) + (4)] и [(1) + (2 )] - [(3) + (4)] определяют следующее выражение для
нахождения приближенного значения искомой относительной амплитуды
низшей гармоники:
0556-171Х. Проблемы прочности, 2008, № 2 31
В. В. Матвеев, О. А. Бовсуновский
А 3 —
а
л/2
(2 — а ) ■
2 \ш
vh ) I а
э т Ду з — 1а — 2 —/ со8 Ду 3 ? + — (2 — а)
т / "
(15)
л
где
(2 —а ) —
Ду з - агС^ -
2 \ш
а + 2 -
vh
(16)
т
Результаты расчета. Анализ полученных выражений показывает, что
зависимости Ац+) — / 1(а ) и ^ 2(—) — / 2 (а ) при заданной величине Щт и
V — 2 т о практически совпадают, а значения Ац—) и А2(+) - взаимоисклю
чающие и далее не используются.
Поскольку в выражениях (12) и (14) неизвестно значение 3 о, рассмот
рим вначале решение при 3 о — 0 :
А1(+) —
2а
а (2 — а ) + 2" (2 —а ) —
2 \ш
эш Ду 1 —1а — 2h —2 соэ Ду2т /
2а
(2 —а)-
1 / V
2 \ш
+ а (2 — а)
2а
2 / hv
а (2 — а ) -------- -— 1а — 2 —г-
соэ Ду Д т 2
(17)
А2(—) —
2а
а (2 — а ) — 2" (2 — а)-
2 \ т
hv
соэ Ду 2 — | а + 2 —2 э т Ду 2
т /
2а
а (2 — а ) ■
соэ Д у;
(2 —а)-
1 /V
2 \ т
2а
а + 2 -
hv
т /
+ а (2 — а)
(18)
2
2
2
1
22
2
22
2
32 ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2008, № 2
Определив для заданных значений а и h относительную амплитуду
низшей гармоники А , неизвестное значение 3 0 найдем из условия sin /30 =
= A , затем, используя формулы (12) и (14) - уточненное значение А .
Определяя новое значение 3 о из условия, что sin 3 о равен найденному
уточненному значению, возможно дальнейшее уточнение А. Заметим, что
использование более простого способа (см. формулу (15)) не требует пред
варительного определения величины 3 0 '
На рис. 2 в качестве примера представлены расчетные зависимости
А (а ), полученные для случая субгармонического резонанса при h/w — 0,0016
и 0,0032, что примерно соответствует значению логарифмического декре
мента свободных колебаний д — 0,01 и 0,02 (h/w — д/2я). Видно, что опре
деляемые по формуле (15) значения А завышены, по формулам (17) и (18)
они занижены по сравнению с исходными, вычисляемыми по зависимостям
(12) и (14). Результаты расчета по формулам (17) и (18) полностью совпа
дают между собой во всем рассматриваемом диапазоне значений а . По-
видимому, для практической приближенной оценки относительной ампли
туды низшей гармоники целесообразно использовать формулы (17) или (18),
что значительно упрощает расчет
Приближенное аналитическое определение вибродиагностических параметров ...
О 0,002 0,004 0,006 0,008 0,010 0,012 ос
Рис. 2. Зависимость относительной амплитуды низшей гармоники А от параметра а при
субгармоническом резонансе (v — 2«0) для значений логарифмического декремента коле
баний д — 0,01 и 0,02. (Сплошные линии - по формулам (17) и (18), штриховые и штрих-
пунктирные - по формулам (12) и (14) соответственно при выборе значения 3 0 из условия
sin 3 0 ~ A , штриховые с двумя пунктирами - по (15).)
На рис. 3. показаны расчетные зависимости А (а ) для субгармони
ческого резонанса при различных значениях логарифмического декремента
свободных колебаний, на рис. 4 - зависимости А (д) при различных зна
чениях параметра а . Как видно, при любой постоянной величине логариф
мического декремента свободных колебаний значение относительной ампли
туды А практически прямо пропорционально параметру а , при постоянной
величине параметра а - обратно пропорционально декременту д.
ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2008, № 2 з з
В. В. Матвеев, О. А. Бовсуновский
Рис. 3. Зависимость относительной амплитуды низшей гармоники А от параметра а при
субгармоническом резонансе (V = 2«0) для различных значений логарифмического декре
мента колебаний б. (Здесь и на рис. 4: сплошные линии - по формулам (17), (18), штриховые
- по (15).)
Рис. 4. Зависимость относительной амплитуды низшей гармоники А от логарифмического
декремента колебаний б для различных значений параметра а.
Анализ полученных результатов показывает, что выражения (17) и (18)
определяют единую линейную зависимость относительной амплитуды А от
параметра а:
— ж а
А = 7 д ’
(19)
а выражение (15) - зависимость
— 3ж а
А ~ ~А~д ’
(2 0 )
34 0556-171Х. Проблемы прочности, 2008, № 2
Приближенное аналитическое определение вибродиагностических параметров
которая определяет значение А , в 1,5 раза большее, чем по (19). Таким
образом, при слабом резонансе относительная амплитуда А для любых
значений а и д прямо пропорциональна их отношению при коэффициенте
пропорциональности 1,47...2,3.
Рис. 5 иллюстрирует амплитудно-частотные зависимости, полученные с
использованием формул (15), (17) и (18) для значения д = 0,02011 при
а = 0,01. Там же в качестве сравнения пунктирной линией показана ампли
тудно-частотная зависимость для области основного резонанса. Для субгар
монического резонанса зависимости построены в относительных коорди
натах А = А (V) / А( V = 2 ы 0 ) и у = у / 2 ы 0 , для основного резонанса - А 0 =
= А ^ ) / А ^ = ы 0) и V = v | ю 0.
Рис. 5. Амплитудно-частотная зависимость в области субгармонического резонанса, опре
деленная по формулам (17) - кривая 1, (18) - кривая 2 и (15) - кривая 3 для случая
д = 0,02011 при значении параметра а = 0,01.
Как видно, наблюдается заметное расхождение в результатах при дан
ном значении а. Формулы (15) и (17) определяют более узкие резонансные
пики по сравнению с основным резонансом, а амплитудно-частотная зависи
мость, полученная по формуле (18), при г < 1 характеризуется наиболь
шими значениями относительной амплитуды А при одной и той же вели
чине V, при г > 1 - существенным срывом резонансной амплитуды и наи
меньшими значениями А . Очевидно, можно предположить, что более досто
верный результат дает формула (17), которая, как и (18), получена из
рассмотрения полного периода свободных колебаний системы, амплитуда
которых и представляет интерес. Отметим, что с уменьшением величины
параметра а (рис. 6) резонансные пики, определенные по формулам (15) и
(17), практически совпадают с основным резонансом, при определении по
формуле (18) наблюдается некоторое отличие при значительном уменьше
нии величины срыва резонансной амплитуды.
ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2008, № 2 35
В. В. Матвеев, О. А. Бовсуновский
Рис. 6. Амплитудно-частотная зависимость в области субгармонического и основного резо
нансов.
Определение абсолютных значений амплитуды и сдвига фазы основ
ной гармоники вынужденных колебаний. Как и ранее [19], полагаем, что
амплитуда гармоники А в т (VI — у 1) соответствует решению вынужденных
колебаний линейной системы с собственной частотой тела с закрывающейся
трещиной (3):
A 1
q 0 Ш0
\ 2
1 -
ш0 /
I v + 4 |
0 /
\ 2I h \ 2
ш0 /
- 1/2
(2 1 )
сдвиг фазы у i определяется из баланса подводимой энергии AWq и энер
гии A W h , поглощаемой за цикл колебаний с периодом 2я /ш 0 -
В случае моногармонического возбуждения и вязкого трения имеем
A W q = 2 n q 0 A1 sin у 1;
AWh = 4 n h v [1 + 0,25A 2 ]Af.
Из условия AWq — A W h находим
sin у 1 — 2hv[1 + 0,25A 2 ] A j/q 0 , (2 2 )
где q о определяется формулой (21). Учитывая, что рассматривается
область частот возбуждения V > ю 0, в расчете следует принимать значение
ж/ 2 < у 1 < ж .
По полученным значениям у 1 и Ду (см. (13) или (11)) находим
У1 Л У12 — у - АУ1- (23)
2
36 ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2008, № 2
Приближенное аналитическое определение вибродиагностических параметров
По вычисленным значениям А (15), (17) и (18), А \ / д 0 (21), у 1 и у ^
(22), (23) находим искомое решение (4).
На рис. 7 в качестве иллюстрации графиков функции (4) показаны
расчетные зависимости относительной величины перемещения и(ш 0 ̂ ) =
= и(ш о ̂ ) /А1 в диапазоне значений аргумента 0 < ш 01 < 2 л для случая суб
гармонического резонанса (у = 2ш о) при а = 0,007 и Л/ш = 0,0032. Заметим,
что полученные решения (4) строго соответствуют исходному уравнению (1).
й
1,5
1,0
0,5
0,0
-0,5
- 1,0
-1,5
0 1 2 3 4 5 6 ф
Рис. 7. Графики функции (4), полученные по выражениям (15) - кривая 1, (17) - кривая 2 и
(18) - кривая 3.
Оценка достоверности результатов. Достоверность определения основ
ного вибродиагностического параметра наличия трещины (относительной
амплитуды А) оценим путем сравнения результатов расчета с данными чис
ленного решения, полученного методом усреднения по ускорению [23-25].
На рис. 8 ,а приведены зависимости, полученные по формулам (19) и
(2 0 ) для настроенного субгармонического резонанса при д = 0 ,00101 , и
данные численного решения. Как видно, численное решение при малых
значениях параметра а и логарифмического декремента колебаний д не
дает стабильного результата, что, видимо, обусловлено узкой областью
начальных условий, обеспечивающих выход на устойчивый стационарный
режим колебаний. Результаты расчета сравнивались также с численным
решением при более высоком значении логарифмического декремента коле
баний (д = 0,0201) - рис. 8 ,б. Видно, что данные численного решения в
данном случае также не стабильны, плохо согласуются с расчетом. Оче
видно, достоверность предлагаемой методики расчета необходимо прове
рить еще при ярко выраженном субгармоническом резонансе, где числен
ное решение дает достаточно стабильные результаты.
Однако отметим, что максимальные значения данных численного реше
ния, которые с большей вероятностью могут соответствовать установив
шимся колебаниям, лучше согласуются с результатами расчета по формуле
(19).
ШБИ 0556-171Х. Проблемы прочности, 2008, № 2 37
В. В. Матвеев, О. А. Бовсуновский
А
4
2
О 0,0005 0,0010 0,0015 0,0020 0,0025 0,0030 а
а
А і--------------------------------------------------------------------------------- --------
2,8 - . • '
2,4 - . • '
2,0
О 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 ОС
б
Рис. 8. Расчетная зависимость относительной амплитуды низшей гармоники при субгармо
ническом резонансе от параметра а, определенная по формулам (19) (сплошные линии) и
(20) (штриховые линии), а также данные численного решения (точки) для случаев д =
= 0,00101 (а) и 0,0201 (б).
Заключение. На основе ранее предложенного подхода к решению зада
чи о вынужденных колебаниях одномассовой упругой системы с билиней
ной характеристикой восстанавливающей силы в области супергармони-
ческого резонанса рассмотрен приближенный метод расчета параметров
устойчивого колебательного процесса в области слабого субгармонического
резонанса порядка 1/2. Получены аналитические выражения различных
приближений для определения основного вибродиагностического параметра
колебаний упругого тела с закрывающейся трещиной, моделируемого одно
массовой системой.
38 0556-171Х. Проблемы прочности, 2008, № 2
Приближенное аналитическое определение вибродиагностических параметров
Исходя из анализа зависимостей вибродиагностического параметра
(относительной амплитуды низшей гармоники А) от величины параметра
нелинейности а и логарифмического декремента колебаний д установлена
практически единая прямо пропорциональная зависимость величины А от
отношения а / д . Сравнение значения вибродиагностического параметра при
супергармоническом и субгармоническом резонансах для одинаковых значе
ний параметра нелинейности а и логарифмического декремента колебаний
д показывает, что во втором случае оно больше примерно на два порядка.
Р е з ю м е
Розглядається наближений аналітичний метод розрахунку вібродіагностичних
параметрів коливального процесу пружного тіла з тріщиною, що закрива
ється, який моделюється пружною системою з одним ступенем вільності
при білінійній асиметричній характеристиці відновлювальної сили, в області
слабкого субгармонічного резонансу порядка 1/2 .
1. K im J. T. a n d S tu bbs N . Crack detection in beam-type structures using
frequency data // J. Sound Vibration. - 2003. - 259, No. 1. - P. 1 4 5 - 160.
2. X ia Y. a n d H o o H . Statistical damage identification of structures with
frequency changes // Ibid. - 2003. - 263, No. 4. - P. 853 - 870.
3. K h iem N. T. a n d L ien T. V. Multi-crack detection for beam by the natural
frequencies // Ibid. - 2004. - 273, No. 1-2. - P. 175 - 184.
4. H w a n g H. Y. a n d K im C. Damage detection in structures using a few
grequency responce measurements // Ibid. - 270, No. 1-2. - P. 1 - 1 4 .
5. P a til D . P . a n d M a iti. Experimental verification of a method of detection of
multiple cracks in beams based on frequency measurements // Ibid. - 2005. -
281, No. 1-2. - P. 439 - 451.
6 . D ile n a V. a n d M o ra ss i A. J. The use of antiresonanses for crack detection in
beams // Ibid. - 2004. - 276, No. 1-2. - P. 195 - 214.
7. D h a rm a ra ju N. a n d Sinha J. K . Some comments on use of antiresonance for
crack identification in beams // Ibid. - 2005. - 286, No. 3. - P. 669 - 671.
8 . V anlanduit S ., P a r lo o E , a n d G u illau m e P . One-line detection of fatigues
cracks using an automatic mode tracking technique // Ibid. - 2003. - 266,
No. 4. - P. 805 - 815.
9. L o u tr id is S ., D o u k a E., a n d T ro ch id is A . Crack identification in double
cracked beams using wavelet analysis // Ibid. - 2004. - 277, No. 4-5.
- P. 1025 - 1039.
10. М а т веев В. В ., Б овсун овски й А. П . К анализу эффективности метода
спектральной вибродиагностики усталостного повреждения элементов
конструкций. Сообщ. 4. Анализ искажения гармоничности цикла коле
баний стержневых элементов при наличии закрывающихся поперечных
трещин // Пробл. прочности. - 2000. - № 1. - С. 5 - 12.
11. П лахт иенко Н. П . Резонанс второго порядка пластины, содержащей про
тяженные дефекты целостности // Там же. - 2001. - № 1. - С. 105 - 116.
ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2008, № 2 39
В. В. Матвеев, О. А. Бовсуновский
12. M a tv e e v V. V. a n d B ovsu n ovsky A. P . Vibration-based diagnostics of fatigue
damage of beam-like structures // J. Sound Vibration. - 2002. - 249, No. 1. -
P. 23 - 40.
13. L u zza to E. Approximate computation of non-linear effects in a vibrating
cracked beam // Ibid. - 2003. - 265, No. 4. - P. 745 - 763.
14. J i J. C. a n d H an sen C. H . On the approximate solution of a piecwise
nonlinear oscillator under super-harmonic resonance // Ibid. - 2005. - 283,
No. 1-2. - P. 467 - 474.
15. Б овсун овски й А. П . Об эффективности использования характеристик
демпфирования колебаний элементов конструкций для диагностики
повреждения // Пробл. прочности. - 2002. - № 6 . - С. 48 - 60.
16. R adh akrish n an V. M . Structural damping an edge crack // J. Inst. End. Met.
Sci. Div. (India). - 2002. - 83, Apr. - P. 1 5 - 2 1 .
17. D ile n a M . a n d M o ra ss i A . Detecting cracks in a longitudinally vibrating
beam with dissipative boundary conditions // J. Sound Vibration. - 2003. -
267, No. 1. - P. 87 - 103.
18. B ovsu n ovsky A. P . The mechanisms of energy dissipation in the non
propagating fatigue cracks in metallic materials // Eng. Fract. Mech. - 2004.
- 71, No. 16-17. - P. 2271 - 2281.
19. М ат веев В. В . Приближенное аналитическое определение вибродиагнос-
тических параметров нелинейности упругих тел, обусловленной нали
чием закрывающейся трещины. Сообщ. 1. Существующие и предла
гаемый методы решения // Пробл. прочности. - 2004. - № 4. - С. 5 - 20.
20. М а т веев В. В., Б овсун овски й А. П . К анализу эффективности метода
спектральной вибродиагностики усталостного повреждения элементов
конструкций // Там же. - 1999. - № 4. - С. 1 9 - 3 1 .
21. М а т веев В. В., Б огинич О. Е . Вибродиагностические параметры уста
лостного повреждения прямоугольных пластин. Сообщ. 1. Методика опре
деления параметров повреждения // Там же. - 2004. - № 6 . - С. 5 - 16.
22. М а т веев В. В. К анализу эффективности метода спектральной вибро
диагностики усталостного повреждения элементов конструкций.
Сообщ. 1. Продольные колебания, аналитическое решение // Там же. -
1997. - № 6 . - С. 5 - 20.
23. Б овсун овски й А. П ., М а т веев В. В. Колебания тел с локальными повреж
дениями типа трещин усталости // Вкн. Дншропетр. ун-ту. М ехатка. -
2006. - 2, вип. 10. - С. 116 - 122.
24. Б овсун овски й А. П., М а т веев В. В . Особенности колебаний упругих тел,
обусловленные наличием локальных повреждений типа усталостных
трещин // Надежность и долговечность машин и сооружений. - 2006. -
Вып. 26. - С. 26 - 30.
25. Б о всун о вск и й А. П . Сравнительный анализ нелинейных резонансов
механической системы с несимметричной кусочно-линейной характе
ристикой восстанавливающей силы // Пробл. прочности. - 2007. - № 2.
- С. 72 - 87.
Поступила 24. 11. 2006
40 ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2008, № 2
|