Термоупругая контактная задача для слоя, взаимодействующего с жестким основанием при нестационарном фрикционном тепловыделении
Решена термоупругая задача взаимодействия упругого слоя с жестким основанием, от которого тело может отделиться под действием локализованной прижимающей нагрузки. Исследовано влияние нестационарного фрикционного тепловыделения, сопровождающего перемещение слоя по поверхности теплоизолированного о...
Saved in:
| Published in: | Проблемы прочности |
|---|---|
| Date: | 2008 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України
2008
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/48254 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Термоупругая контактная задача для слоя, взаимодействующего с жестким основанием при нестационарном фрикционном тепловыделении / П.П. Краснюк // Проблемы прочности. — 2008. — № 3. — С. 132-151. — Бібліогр.: 19 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859821387813748736 |
|---|---|
| author | Краснюк, П.П. |
| author_facet | Краснюк, П.П. |
| citation_txt | Термоупругая контактная задача для слоя, взаимодействующего с жестким основанием при нестационарном фрикционном тепловыделении / П.П. Краснюк // Проблемы прочности. — 2008. — № 3. — С. 132-151. — Бібліогр.: 19 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Проблемы прочности |
| description | Решена термоупругая задача взаимодействия упругого слоя с жестким основанием, от
которого тело может отделиться под действием локализованной прижимающей нагрузки.
Исследовано влияние нестационарного фрикционного тепловыделения, сопровождающего
перемещение слоя по поверхности теплоизолированного основания, и функциональной
зависимости прижимающей нагрузки на этот процесс. Показано, что увеличение интенсивности
тепловыделения приводит к уменьшению области контакта, где изменение со временем
последнего определяется выбором функции изменения нагрузки и скорости движения:
если от времени зависит нагрузка, то область контакта не изменяется, если изменяется
скорость движения, то наблюдается монотонное ее уменьшение.
Розв’язано термопружну задачу взаємодії пружного шару з жорсткою основою,
від якої тіло може відділятися під дією локалізованого притискного
навантаження. Досліджено вплив нестаціонарного фрикційного тепловиділення,
що супроводжує переміщення шару по поверхні теплоізольованої
основи, та функціональної залежності притискного навантаження на цей
процес. Показано, що збільшення інтенсивності тепловиділення призводить
до зменшення області контакту, де зміна з часом останнього визначається
вибором функції зміни навантаження та швидкості руху: якщо від часу
залежить навантаження, то область контакту є незмінною, якщо змінюється
швидкість руху, то спостерігається монотонне її зменшення.
We provide solution to a thermoelastic problem
of an elastic layer interaction with a rigid foundation,
from which a contacting body can be
separated due to a localized hold-down load.
We study the effect of nonstationary frictional
heat generation, which accompanies the layer
displacement along the surface of heat-isolated
foundation, as well as the functional relation of
the hold-down load in this process. It is shown
that increase in the heat generation intensity results
in a reduction of the contact zone area,
whereas its variation in time is controlled by
the load variation function and the motion rate:
if the load is time-dependent, then the contact
area remains constant; is the motion rate varies,
then the contact area diminishes monotonically.
|
| first_indexed | 2025-12-07T15:25:48Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 539.3
Термоупругая контактная задача для слоя, взаимодействующего
с жестким основанием при нестационарном фрикционном
тепловыделении
П. П. Красню к
Львовский банковский институт НБУ, Львов, Украина
Решена термоупругая задача взаимодействия упругого слоя с жестким основанием, от
которого тело может отделиться под действием локализованной прижимающей нагруз
ки. Исследовано влияние нестационарного фрикционного тепловыделения, сопровождающе
го перемещение слоя по поверхности теплоизолированного основания, и функциональной
зависимости прижимающей нагрузки на этот процесс. Показано, что увеличение интенсив
ности тепловыделения приводит к уменьшению области контакта, где изменение со вре
менем последнего определяется выбором функции изменения нагрузки и скорости движения:
если от времени зависит нагрузка, то область контакта не изменяется, если изменяется
скорость движения, то наблюдается монотонное ее уменьшение.
К л ю ч е в ы е с л о в а : контактное взаимодействие, слой, фрикционное тепло
выделение, нестационарная температура, отрыв контактирующих поверх
ностей.
О б о з н а ч е н и я
X, у, г
г
к
А
декартовы координаты
время
толщина слоя
оператор Лапласа в декартовой системе координат
2 2(двухмерный случай), А = д х +д у
Ч(х, г )
ь ( г )
Ч* (х, Бо), V* (Бо)
р(х, г )
Т
их , иу
° х , ° у , г ху
прижимающая нагрузка
скорость перемещения
безразмерные функции прижимающей нагрузки и скорости
движения
контактное давление
температура
компоненты вектора перемещений
компоненты тензора напряжений
X - параметр, определяющий интенсивность тепловыделения
Е - модуль Юнга
V, X, к, а, а, / - соответственно коэффициенты Пуассона, теплопроводности,
температуропроводности, линейного теплового расширения,
теплообмена и трения
изменяемая со временем полуширина участка контакта
критерии Фурье и Био
функция ошибок
а(Бо)
Бо, Б1
ег&( г )
© П. П. К РА С Н Ю К , 2008
132 ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2008, № 3
Термоупругая контактная задача для слоя
№ т - положительные корни трансцендентного уравнения задачи
Штурма-Лиувилля
Сі( 2 ) - интегральный косинус
Е1( 2 ) - интегральная показательная функция
І - мнимая единица, І2 = — 1
Б ( 2 ) - функция Хевисайда
д (х ) - д-функция Дирака
Тп ( г ) - полином Чебышева первого рода порядка п
и п ( г ) - полином Чебышева второго рода порядка п
У - константа Эйлера
Введение. Контактное взаимодействие тел с поверхностными слоями,
упругие характеристики которых отличаются от свойств основания, часто
встречается на практике (например, валки, покрытые резиной, широко
использующиеся в перерабатывающей промышленности). Если толщина
слоя больше характерных размеров области контакта, то основное тело не
влияет на контактные напряжения, определяемые теорией Герца, если тол
щина слоя соизмерима с размером области контакта или меньше ее, то
контактное взаимодействие зависит от способа крепления слоя к основанию.
При этом возможны следующие варианты:
слой может постоянно находиться в контакте с основанием во всех
точках, но свободно проскальзывать по нему;
слой может быть полностью сцеплен с основанием;
если касательные напряжения на поверхности раздела превышают гра
ничные напряжения трения, то может иметь место проскальзывание;
слой, находящийся изначально в полном контакте с основанием, может
частично отделяться от него под воздействием нагрузки.
В частности, в [1, 2] в осесимметричной и плоской постановке рас
смотрены упругие контактные задачи для многослойных систем. В пред
положении полного контакта слоев исследованы случаи гладкого взаимо
действия (отсутствие касательных напряжений на границе раздела) и про
скальзывания. Гладкий контакт многослойных систем также рассматривался
в [3].
Вообще говоря, контакт слоев - это взаимодействие тел хорошо сопря
женной формы, которые изначально вступают в контакт по некоторой облас
ти, которая после приложения нагрузки может уменьшаться. Поэтому, напри
мер, для слоя и основания характерным является контакт с отделением, если
слой может свободно отделиться от основания под действием нагрузки.
В [4] при исследовании в осесимметричной постановке контактной
задачи о вжатии слоя в упругое полупространство сосредоточенной силой
показано, что контакт тела с основанием имеет место только по круговой
области. В плоской постановке эта задача рассматривалась в [5]. В [6]
получено решение указанных задач с несколько других позиций. А именно:
как в осесимметричной, так и в плоской постановке эта задача приведена к
однородному интегральному уравнению Фредгольма второго рода относи
тельно некоторой вспомогательной функции - собственной функции инте-
ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2008, № 3 133
П. П. Краснюк
трального оператора. При этом приемлемой собственной функцией является
та, что обеспечивает только сжимающие напряжения в зоне контакта.
Ранее [7] исследовано квазистатическое контактное взаимодействие двух
слоев, обжатых нагрузкой, изменяющейся вдоль оси, перпендикулярной к
направлению движения одного из составляющих трибосистему слоев по
поверхности другого. При этом учитывается тепловыделение от действия
сил трения. Показано, что в случае взаимодействия тел с одинаковыми
геометрическими, механическими и теплофизическими характеристиками и
определении обжимающих нагрузок идентичными математическими функ
циями, задача эквивалентна вжатию слоя в жесткое теплоизолированное
основание. В этом случае исследуемая проблема приведена к одному инте
гральному уравнению типа Вольтерра второго рода относительно функции,
пропорциональной трансформанте Фурье [8] теплового потока на поверх
ности взаимодействия. На основании аналитико-численных исследований
установлено, что даже непрерывная, но локализованная на небольшом
участке нагрузка является причиной образования зон положительных кон
тактных напряжений - зон отрыва, имеющих тенденцию к росту с увели
чением интенсивности тепловыделения. При этом односвязность области
приложения прижимающей нагрузки обеспечивает односвязность зоны на
груженного контакта, а тепловыделение не нарушает сплошности контакта,
что характерно при чисто силовом взаимодействии.
Условие существования зон отрыва требует уточнить постановку задачи
[7]. Ниже рассматривается контактная задача о слое, изначально находящем
ся в полном контакте с основанием, который может отделяться от него под
воздействием нагрузки. Исследуется влияние нестационарного процесса
тепловыделения от действия сил трения, возникающих при перемещении
упругого слоя по поверхности жесткого теплоизолированного основания, на
механизм отрыва.
М атематическая постановка задачи и построение решения. Рассмот
рим упругий теплопроводный слой толщиной И, прижатый к жесткому
теплонепроницаемому основанию нагрузкой д(х , г ), являющейся функцией
координаты х и времени г (рис. 1). В предположении локализованной
нагрузки имеют место отделение слоя от основания и одна область контакта
при односвязной области приложения нагрузки [7].
Слой в направлении оси 2 перемещается по поверхности основания с
изменяющейся со временем малой скоростью ь ( г ). В результате действия
сил трения г у2, возникающих на контактирующей поверхности и подчинен
ных закону Амонтона (г у2 = / а у), в плоскости контакта происходит тепло
выделение. При этом все тепло, сгенерированное на контакте, вследствие
теплоизоляции основания распространяется внутрь слоя, вызывая тем самым
выпучивание контактной поверхности и изменение со временем границ
участка взаимодействия. Теплоотдачей с поверхности у = 0 в зоне отрыва
пренебрегаем, а между верхней плоскостью слоя и окружающей средой с
нулевой температурой предполагаем теплообмен по закону Ньютона.
Поведение такой трибосистемы исследуем в квазистатической поста
новке, т.е. пренебрегаем динамическими эффектами, которые могут возник
нуть при действии нагрузки.
134 ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2008, № 3
Термоупругая контактная задача для слоя
При этих предположениях слой находится в условиях плоской и анти-
плоской деформации. Влиянием антиплоской деформации на вертикальные
перемещения контактирующей поверхности слоя и наличием касательных
напряжений г ух на поверхности у = 0 пренебрегаем. Отметим, что это не
является ограничением, поскольку в классической теории упругости плоская
деформация рассматривается отдельно от антиплоской.
В математическом плане задача приводится к построению решения
системы дифференциальных уравнений теплопроводности
АТ = к ~ 1д г Т (1)
и термоупругости
(1 - 2у) А ых + дх (дхих + д у и у ) = 2«(1 + V)дХТ ;
(1 - 2v)Ди^ + д у (дхих + д у и у) = 2«(1 + V)д у Т
граничных и контактных условиях:
у = 0: д у Т = - / и ( г )Я 1 р (х , г ), и у = 0, х Є ^ ( г ),
(2)
при начальном
Т (х , у ,0 ) = 0, (3)
(4)
д у Т = 0, о у = 0, х £ й ( г ) , г = 0, |х |< » ;
у = к: д у Т = - у Т , о у = - ? ( х , г), г уХ = 0, |х |< » , (5)
где напряжения определяются по формулам:
£ ( 1 - V) / V 1 + 7
о х = (Г+ТТо— 7) 1д >“ * + 1— 7 д ' “ у - “ 1—7 Т
Е ( 1 — V) / V 1 + 7
о у = ( 1 + 7 ) ( 1 —2 7 ) 1д у “ у + 1 — 7 д х “ х — “ 1 — 7 Т
ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2008, N 3 135
П. П. Краснюк
E
Г п/ = ^ 7 (д vUr + д r U v )■ ту 2(1 + VI v т т
Кроме того, в каждый момент времени должны выполняться условия
равновесия:
л лМ
q (т) Р(т ,гМт = J м ^ (т ,г)йГ; J q (^)тр (т ,г )dx = J мт ^ (т ,г )dx (6)
- равенство нулю главного вектора и главного момента всех внешних
усилий, приложенных к слою, при выходе трибосистемы на установив
шийся режим - условия теплового баланса:
lim J д vT ( т , 0, г )dx = —у lim J — T ( т , h, г )dx.
Г^М q (г) г^м — м
2 2Здесь и ниже: х , у , z - декартовы координаты; г - время; Д = дт + д -
оператор Лапласа в декартовой системе координат (двухмерный случай);
р (т, г ) - контактное давление; Т - температура; ит , и у - компоненты
вектора перемещений; о т , о у , г ту - компоненты тензора напряжений; Е -
модуль Юнга; V, Я, &, а - соответственно коэффициенты Пуассона, тепло
проводности, температуропроводности и линейного теплового расширения;
у = а/Я; а - коэффициент теплообмена; f - коэффициент трения; Q (г ) -
неизвестная изменяемая со временем односвязная область контакта.
Не ограничивая общность постановки задачи, предположим, что на
грузка на поверхности y = h слоя распределена симметрично относительно
оси х = 0. Тогда справедливо соотношение р ( т , г ) = р (—т , г ), и в качестве
области контакта Q (г ) можно взять отрезок [— а (г ), а (г )], где а (г ) - не
известная изменяемая со временем полуширина участка взаимодействия.
Второе условие равновесия из (6) автоматически выполняется, поскольку
момент такой нагрузки равен нулю. Кроме того, поведение на бесконечности
функции q (т) предполагаем таким, что допускает применение интеграль
ного преобразования Фурье.
Используя при решении задачи теплопроводности уравнения (1), (3),
(51) и
д y T (т , 0, г ) = —f j ( г )Я 1 р ( т , г )S(Q (г )),
где S (Q(г )) - функция Хевисайда [9], равная единице при х Е Q (г ) и нулю
при х ^ Q (г ), а также решения соответствующей ей задачи термоупругости
(2), (52), (5з) и
у = 0: о у = — р (т , г )S(Q (г)); г ут = °; Iт < м
интегральное cos-преобразование Фурье по координате х и Лапласа по
времени г [8], можно записать интегральные изображения для температу
ры, перемещений и напряжений в слое через неизвестную функцию р (т, г )
(детальные выкладки приведены ранее [7]), для определения которой исполь
зуется последнее граничное условие - кинематическое условие контакта (42):
136 ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2008, № 3
Термоупругая контактная задача для слоя
равенство нулю нормальных перемещений поверхности у = 0 в зоне кон
такта. Удовлетворив это условие, получим интегральное уравнение, которое
приведем в безразмерном виде. А именно: отнесем линейные размеры тела к
толщине слоя И, напряжения - к величине интенсивности нагрузки д о,
температуру - к комбинации параметров а£ (2д о (1 — V))- 1 :
1 ла(Ро)
— ] — о(Ро) Р ( *, Бо)А0( * — * № —
У гБо Га(л)
— — д Бо / V *( ̂ / — о(^) Р ( *, Г])Н( * — * ,Б о —^>*й^ = 1(Х , Б о ) (7)
| х |< а(Бо).
Уравнение (7) с условием равновесия
/
а(Бо) рю
-а(ро) р ( *, Б о )Л = / —0 4 *( *, Бо)Л (8)
и с соотношениями ограниченности контактных напряжений
р(±а(Бо), Бо) = 0, (9)
используемых для определения неизвестной границы участка контакта, дают
полную систему уравнений поставленной задачи. Для температуры слоя
имеем интегральное выражение
Т = (х , у , Бо) = — д ро ГР° V *(^ ) р ( *, ^ )Ф (* — х , у , Бо — ц )й гй ц .
— 0 <а\Л)
При этом
/ 00_ /»ГО _
0 А 1(£ )сов(£х)ё£ ; Н ( Х ,Бо) = / о Н (£ ,Бо)сов(£х )Л£;
2 /»ГО-- /*Ю>
1(х, Бо) = — / А 2(£ ) / д*( *,Бо)со8( *£ )Л со8(£х )^£;
_ у Ъ 0 а Е ^ ч 1 сЬ(£ Ж £) + £ - ^ 1 £сИ(£) + аЬ(£)
У 2Я(1 — у ) ; А1(£) £ 8И2(£) — £ 2 ; А 2(£) £ 8И2(£) — £ 2 ;
Н (£ Бо) = ± —4£ 8Ь( £ )сь( £ ) + £ 0 ______ ехр(—(£ 2 + ^ т )Ьо)______ +
£ 2 ^ 2(£) — £ 2 ° 1 ( £ 2 + ^ т ) 2(1 + В1(^т + В12)—1)
8Й( £ )(1+ В1) +£сИ( £ ) ^ сов( Ц т )ехр(—(£ 2 + А 2т )Бо)
8ь/ ( £ ) - £ 2 5 2 т )2( і + в і ( ^ т + в і 2 ) !)
ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2008, № 3 137
П. П. Краснюк
Ф (х, у , г) = Ф ^ ( х , у ) - П 2
со§( и ту )
2 ^=1 и- т (1 + В ( и т + Б 12) !)
X
Х2 еХР((- 1)кИ тх)ег& |и т + ( - 1)к 2хрО
2
/ то —
0 Ф * (Ё, у )со8(& )
-=- Л_ 1 ЁсК £ (1 - у )) + Ш8Ь(^(1 - у ))
^ ( 1 ’ у ) I £& (I ) + Б1сЬ(I )
где V о - масштаб изменения скорости; ч *(х , Бо), V *(Бо) - безразмерные
функции прижимающей силы и скорости движения; Б о = г к к - 2 , Б1 = у к -
критерии Фурье и Био [10]; ег&( г ) - функция ошибок [9]; и т - положи
тельные корни трансцендентного уравнения задачи Ш турма-Лиувилля [8],
И з т ( и ) - В1соэ(и) = 0 ( 0 ) .
Координата у изменяется в пределах 0 < у < 1. В приведенных выше фор
мулах не вводились новые переменные для отнесенных к толщине слоя к
координат х , у и полуширины участка взаимодействия а(Бо), а также для
функций контактного давления р (х , Бо) и температуры Т, отнесенных
соответственно к интенсивности нагрузки ч 0 и комбинации параметров
аЕ (2Ч0( 1 - V))-1 -
Определение и построение численного алгоритма. На основе метода
трапеций [9] и с использованием результатов работы [11] проведем дискре
тизацию по времени интегрального уравнения (7) при условиях (8), (9) в
часовом промежутке [0, Бо* ], на котором исследуется поведение трибосисте-
мы (этот интервал разбиваем на N отрезков времени Бок = кБо1 (к = 0,...,
N ), где БоN = Бо*). Тогда в каждый момент времени Бок получим инте
гральное уравнение
П Р ( t ,Б о к )(А 0( t - х) - 0,5XV*(Бок ) Н ( t - х ,Б о 1 М =
= 1 (х ,Б о к ) + х к ( х ,Б о к ); I х |< а(Бок )
при условиях
/ аСБо^)
_а(Бок) Р (х , Бок ¥ х = ] -ю Ч * ( , Бок )^ ,
где
Я (х ,0 ) = 0; Я ( х , Бо1) = 0,25 в 1( х , Бо0,2);
138 ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2008, № 3
Термоупругая контактная задача для слоя
R ( x , F0 2 ) = 0,5G2 (x , Fü! 2 ) + 0,25(G 2 ( x , Füq 3 ) - G 2 (x , Füq 1));
n—2
R(x, Fon ) = 0,5G n(x, Fon—1,2 ) + 0,5 S (G n(x, Fok,n+1—k ) ■
k=1
_ G n ( x , Fofc n_!_k )) + 0,25(Gn( x , Foo^+O - G n( x , F o o ^ -i^ ( n > 3);
1 ra(FOj )
G m (x, Foi,j ) = * (Foi )J -a(Fo.) P (*, Foi )H ( * _ x , Fo j )dt, Ix I ^ a(Fom )-
Исследуем свойства ядер Д 0 (x ), H ( x , Fo), Ф(x , y , Fo) и функции
I ( x , Fo). Поскольку
Ф(0, y , Fo) = 1 — y + Bi 1 — 2 ^ c0s( M тУ )exP(—M m Fo)
=1 m m( i + Bi( m m + Bi2) !)
и при £^<»; Ф (£, у , Б о )~ Ф ^ (£, у )~ £ ехр(— у ) (Fo> 0), на основании
результатов работы [12] можна утверждать, что при условии у > 0 ядро
Ф(х , у ,Бо) является регулярным, при у = 0 оно имеет логарифмическую
особенность. Тогда получим
/ 00-- /»Яі --
0 Ф s t(I , У)cos(Ix)dI = J 0 Ф st(I , У)cos(Ix)dI +
+
. . | ( ln(^ 1) + У), x = 0; y = 0;
n x {(Ci(Я і|x |) — ln |x |), x * 0, y = 0;
0,5[ÆKЯі(y — i x )) + E i ( Яі(y + i x ))], y * 0 ,
где Сі(2 ), Е і ( 2 ) - интегральный косинус и интегральная показательная
функция; і (і = — 1) - мнимая единица; у - константа Эйлера [9].
Несколько сложнее ситуация с другими ядрами. В частности, при 0
имеем
-—4.Д і( I ) ~ Д 2 ( I ) ~ 6 |—4;
H (I ,Fo)- 1 — 24 2
ЄХР(—М m Fo)
=1 m m (i+ B i( m m + Bi2) ! )
+
+ c0s(M m )exP(—M mFo) x
=1 m m ( i + Bi( m m + Bi2) ! ) ,
при I ^ o ; Д і( I ) ~ I ! ; Д 2 (I )~ 2 e x p (—I ); H (I , Fo)~ I 2 (Fo> 0)—2
ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2008, № 3 139
m
1
2
m
m
П. П. Краснюк
Поскольку на бесконечности функция A j(£) убывает как 1/£, ядро
А 0(х ) обладает логарифмической особенностью [12]:
* / \ , | и , п ! , Г [£А 1( £) "" 1]C0S( £ x ) + еХР(_£ VА 0(х) = - ln |x |+A *(x) = - ln |x |+ J0 --------------------£--------------------d£.
Ядра A *(x ), H (x , Fo) и функция I ( x , Fo) выражаются расходящимися
в x = 0 интегралами. В классе обобщенных функций эти интегралы допус
кают регуляризацию [5, 13].
Пусть функция р ( £) в нуле ведет себя как £ - 4 , а на бесконечности
убывает не медленнее £ - 1 - , где ^ > 0. Представим подынтегральное выра
жение так:
J 0 £ )cos(£x)d£ = J 0 £ -4 V(£, x)d£ ,
где V(£, x ) принадлежит пространству неограниченно дифференцируемых
функций, которые при £ ^ те убывают быстрее любой степени 1/£ вместе
со своими производными.
Обобщенная функция £ -4 действует на V(£, x ) согласно формуле [13]
/ 00 л /»X
0 £ V £. x )«? = / „ £
-4 V(£, x ) - V(0, x ) - xV',£ (0, x ) -
x 2 x 3
V£ (0, x ) - — V',,£ (0, x )S (1 - £)2! d£,
где Б ( г ) - функция Хевисайда [9].
Таким образом, ядрам А *(х ) и Н (х , Fo) поставим в соответствие
непрерывные функции:
/ О
0
^[£А1(£) - 1]cos(£x) + ex p (-£ ) 6 3x2 -1 ,2 N
V £ - £ ^ + ^ "
d£;
л» 24
H (x , Fo) = - 0 ,5 ^ |x |+ J 0 - y 2 exP( - V mFo)
£ 2 m=1 v m (1+ Bi( v m + Bi2) -1 )
12(2 + Bi) ^ cos(V m )exP( - VvFo)
2£ 2 v m ( 1 + B i ( v m + Bi2) - 1 )
+
+
4£ sh(£ )(1 + Bi) + £ ch (£) cos(Vm )exP( - ( £ 2 + V m)Fo)
sh (£) - £ ' = 1(£ 2 + v m )2(1+ Bi( v m + Bi2) 1)
2 \ - b
m
140 ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2008, № 3
Термоупругая контактная задача для слоя
ехр(- ( 1 + и т )Бо)
8ь/ ( ^ ) - | 2 т^1(^ 2 + и т )2(1+ в і(и т + в і 2 ) х)>;2ч-Ь со§( , х ) в ,.
Регуляризация функции I (х , Бо) зависит от вида прижимающей нагруз
ки. Если ц(х, Бо) = Б (Ь—|х|)ц*(Бо), то имеем
_ 8т( £Ь) 1
Ч(£, Бо) = ц *(Бо)— -— ; 1(х , Бо) = — ц *(Бо)(I о(Ь + х ) + I о(Ь — х ));
с Л
/ з \
г ; _ 8Іп(, х ) 6х х - 1 ,2 х
1 о ( х ,р о ) = / 0 д 2(5) - ^ - , т + в , ,
если ч ( х , Бо) = д(х ) ч *(Бо) (д(х) - д-функция Дирака [13], рассматривается
случай действия сосредоточенной силы), то
_ ь 2
ч( с ,Бо) = Ч *(Бо); I( х ,Бо) = — Ч *(БоУ о( х );Л
1 о( х ) = / ;
/
Д 2(, )С08(,х) - - 4 +
6 3х 2 - 1,2^
в ,.
На основании этого подхода перемещениям формально придается неко
торое значение, зависящее от способа регуляризации ядер. Однако при
вычислении относительных перемещений и при выполнении условий равно
весия слоя в целом
I *(р0к ) \2 Ь д *(Б0к), д ( х , Бо) = Б ( Ь - \ х \ ) д *(Бо);
-а(р0к) р Х ,Б0к )вх \ д *(Бок ), д (х ,Бо) = д(х )д *(Бо)
по этим регуляризованным формулам получены вполне определенные зна
чения, не зависящие от способа регуляризации.
При численных расчетах регуляризованных ядер используются следу
ющие формулы:
Д 0( х ) = - 1п\ х |+
/ х 4 Зх 2 32 '
+
4 5 175
+ I 2 Д 1( , )со8 (,х )в , ■
р2
2 Зх2 - 1,2 Г(1п(Я2 ) + у ), х =0;
2 + Р 2 1(СІ(Я2\х \) - 1п\х \), х ^ 0;Р 2
Н (х , Бо) = - 0 ,5 л \х \ + Р з
со (̂И т )еХР( - И тБо)
=1 и т (1 + в і(и т + ві2) 1)
2 х
т
ІББМ 0556-171Х. Проблемы прочности, 2008, № 3 141
П. П. Краснюк
X (0,4(12 + Ы) - 12(2 + Б1)(Бо + 0,5х 2 + 2л т 2 )) + ... ] +
+ 4 / Яз £ 8К £)(1+ Б 1) + £сЬ(£) у
/ р з «и 2(£) - £ 2 т ^ + л т ) " а + Б 1 ( л т + б ^ г 1)
со (̂л т )ехр( - ( £ + Л т )Бо)
2 . 2 2 , о - 2 \ - К С08(£х)^£
12(2 + Б1) ^ С08( л т ) е х р ( - л тр о)
2
р з т = 1 л т (1+ Б 1(л т + б 2̂) 1)
24р з 2
ехр( - Л тБо) ,л „ ^ _ 2 . -2ч .2 ( 0 ,2 - Б о - 0,5х - 2Цт ) + ■■■
Г1( 1 + Б 1( л т + Б12 ) 1)т
■4/Р3 £
Я з ^ Н £ )сЬ( £) + £
2
ехр( - ( £ 2 + л т )Бо)
р^ 8и 2( £ ) - £ 2 т^1(£ 2 + л т )2( 1 + Б 1 ( л т + Б12 ) - 1 )
2 - 1 со8(£х )ё £ +
+
24
2
ехр( - л т Р о)
р з т = л т (1+ Б 1(л т + б 12) 1)
1 0(х) =
V _47 '
р 4 20 5 700х
+ ...
, ГЯ4 ^ ^ > п( £х)
+ “ Р4 А 2( £ Г “ ‘1£ +
ИЛИ
+ - ( Е 1( Я4(1 - 1х)) - Е 1( Я4(1+ 1х) ) ) ----- з + -------- ,—
1 р 4 р 4
Р 41 0(х) =
2ехр(-Я 4)
/ 4 1 лп^
х _ - з 2 - _47_
4 5 х 700
+ ... + / р 4 А 2( £ )со8( £х) й£ +р4
+
1 + х ‘
(сов(Я 4х ) - х 8ш(Я 4х ) ) ----- з +
2 зх 2 -1 ,2
р 4 р 4
з
где тремя точками в квадратных скобках обозначены члены порядка р к и
выше.
Границы интегрирования р к и Я к выбирали такими, чтобы в регу-
ляризованных соотношениях на интервалах [0, р к ) и (Я к , °°) подынте
гральные функции А 1(£) и А 2 (£) можно было заменить их асимптотичес
кими выражениями. Подынтегральные функции в формулах для Н (х , Бо)
также заменили асимптотическими выражениями на промежутке [0, р з), а
интегралами на (Яз, о ) пренебрегали. Значения интегралов на интервале
[р к , Я к ] получали путем численного интегрирования с использованием
квадратурных формул метода Филона [14].
142 ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2008, № 3
Термоупругая контактная задача для слоя
Переход к симметричному промежутку [— 1,1] позволяет представить
контактное давление задачи
“ а(Рок ) / —1 Р ( {, Рок )( А о (а(Рок )(* — х ) ) —
— 0,5 ̂ *(РОк ) Н (а (¥ О к ) ( Ї — х ), Р о ^ )Л =
= 1(а(¥О к )х,БОк) + х я (а(¥О к )х,РОк) ( |х |< 1) (10)
при условиях
р (± 1, рок ) = 0;
Г1 \1Ь ц *(БОк ), ц( х ,ро) = 5 (Ь- |х| )^ *(Бо); (П )
а к )J —, Р<<, рок ¥ < Н * (РОк), ? (х , Ро) = й(х)„ , (Ро)
В виде
/ г ,Б о к )
р ( г^ ) = ' (12)
Здесь ^ ( г , Бок) - непрерывно-дифференцируемая и ограниченная функция,
для которой выбирается представление в виде парного интерполяционного
полинома Лагранжа степени 2п +1 [15] по полиномам Чебышева первого
рода Тт ( г) [9]:
/ ' 1 «+1 П
t , Fofc ) = t j , Fo* )<5 j 1 + 2 S T2m ( t j )T2m ( t )n + 0,5 x , j =1 \ m =1
(13)
где t j = cos((л(2 j - 1))/(2(2n + 1))), j = 1,..., n + 1 - нули полинома Чебышева
первого рода порядка 2n + 1 [9]; д j равно единице при j Ф n + 1 и 0,5 при
j = n + 1-
Подставив в интегральное уравнение (10) выражение для контактного
давления (12) через интерполяционный полином Лагранжа (13), интегралы с
логарифмами вычислим точно по известным формулам [16], а значения
регулярных интегралов определим приближенно с использованием квадра
турных формул Гаусса [9]. Полагая x = t j , j = 1,..., n + 1, уравнение (10)
приведем в каждый момент времени Fo^ к системе линейных алгебраичес
ких уравнений относительно коэффициентов разложения в интерполяцион
ном полиноме ^ ( t j ,F o ^ ), которые полностью определяют изменение кон
тактного давления в этот момент времени.
Условие ограниченности контактных напряжений из (111), используемое
для определения полуширины промежутка контакта, эквивалентно выполне
нию соотношения ^ (± 1 , Fo^) = 0 [17]. Путем подбора значения a(Fo^)
приходим к выполнению приближенного условия, обусловленного числен
ным подходом к решению системы уравнений |^(1, Fok ) |< £, где £ - некото-
ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2008, № 3 143
П. П. Краснюк
рое число, определяющее погрешность вычислений, как правило, £ ~ 1 0 5.
Выполнение этого условия позволяет выбрать функцию контактного давле
ния в виде [17]
Здесь ф 1( t ,Бок) - непрерывно-дифференцируемая и ограниченная функция,
для которой аналогично (13) строится парный интерполяционный полином
Лагранжа степени 2п + 1 [15] по полиномам Чебышева второго рода V т ( t )
где t j = со§((лу)/(2(п + 1))), у = 1,..., п + 1 - нули полинома Чебышева вто
рого рода порядка 2п + 1 [9].
Использование формулы (14) через интерполяционный полином Ла
гранжа (15) позволяет после применения описанной выше процедуры опре
делить реальное распределение контактного давления при найденном значе
нии а(Бок). При расчетах достаточно взять шаг разбиения по времени
Бо1 = 0,05, степень интерполяционного полинома Лагранжа - п = 10. Тогда
относительная погрешность вычислений не превышает 5%.
Отметим, что процедура регуляризации неявно обеспечивает выполне
ние условий равновесия из (112). Это наиболее точно можно проследить в
случае вжатия слоя в основание сосредоточенной силой. Погрешность вы
полнения этого условия не превышает 0,05%. Вообще говоря, решение
регуляризованного интегрального уравнения является задачей на собствен
ные значения, поскольку, опираясь на результаты работы [6], интегральное
уравнение (7) при условии равновесия (8) можно привести к однородному
интегральному уравнению Вольтерра-Фредгольма второго рода относитель
но некоторой вспомогательной функции - собственной функции этого инте
грального оператора. Контактное давление представляется квадратурой от
соответствующей собственной функции. Соотношение ф(±1, Бок) = 0 экви
валентно ёе1;|А - и11 = 0 - условию поиска собственных значений оператора
А [9], из которых приемлемым является то, что обеспечивает только сжи
мающие напряжения в зоне контакта.
А нализ результатов. При численных расчетах нагрузка и скорость
перемещения изменялись по законам:
где уЗ = 1; Ч* 1 (х ) выбиралось таким: 5 (Ь - |х |) (равномерно распределенная
на промежутке [ - Ь, Ь] нагрузка) или д(х ) (сосредоточенная сила).
Некоторые результаты численного анализа этой задачи показаны на
рис. 2-6. На рис. 2 приведено распределение стационарного контактного
давления для случая изменения нагрузки соответственно по законам ч^ (х ) =
= 5 ( 5 - |х |) или ч ^ (х ) = б(х). Кривые 1 - 3 получены соответственно при
(14)
[9]:
7=1 \ т =1
1) д*(х, Бо) = (х )(1 - ехр(-;№ о)); V*(Бо) = 1;
2) д *(х , Бо) = д ^ (х ); V *(Бо) = 1 - ехр(-уЗБо),
144 ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2008, № 3
Термоупругая контактная задача для слоя
значениях % = 0,5, 1,0 и 1,5, определяющих интенсивность тепловыделения.
Видно, что повышение интенсивности тепловыделения приводит к умень
шению участка контакта, однако при этом увеличивается максимальное
значение контактного давления и несколько изменяется его распределение
по отношению к распределению контактных напряжений в упругой задаче.
Диапазон изменения параметра 0<% ограничивается величиной %^ ~ 3,26
[7, 11], позволяющей получить решение задачи при стационарном тепло
выделении в условиях полного контакта слоя и основания.
Рис. 2. Распределение стационарного контактного давления при изменении нагрузки по
законам д51 (х) = 5(5—| х|) - а и д51 (х) = д(х) - б: 1 - % = 0,5; 2 - % = 1,0; 3 - % = 1,5. (Штрих-
пунктирная линия и кривые 0 определяют контактное давление для упругой задачи; штри
ховые линии - контактное давление, полученное в предположении полного контакта слоя и
основания [7].)
Распределение стационарной температуры на поверхности у = 0 при
условии стационарного тепловыделения, вызванного прижимающей нагруз
кой (х ) = 5(5—|х |), приведено на рис. 3.
Исследования решения квазистатической задачи показывают, что при
выполнении условия % < % контактные напряжения монотонно приближа
ются к соответствующему стационарному значению, поскольку при указан
ном выше выборе прижимающей нагрузки и скорости движения сущест
вуют стационарные значения, а характер их изменения определяется выбо
ром зависимостей изменения со временем нагрузки и скорости перемеще
ния. В частности, при выборе первой закономерности (изменение со вре
менем нагрузки) величина области контакта за время переходного процесса
не изменяется, что согласуется с общими свойствами “гладкого уменьша
ющегося контакта” [6, 18]:
область контакта изменяется скачкообразно от начальной формы и
размера при приложении первого прироста нагрузки;
0556-171Х. Проблемы прочности, 2008, № 3 145
П. П. Краснюк
если величина нагрузки увеличивается, а ее геометрия не изменяется, то
форма или размеры области контакта не изменяются;
перемещения, деформации и напряжения увеличиваются прямо пропор
ционально нагрузке.
На рис. 4 показано распределение квазистационарного контактного
давления, вызванного нагрузкой д(х , Бо) = Б (5—| х| )(1 — ехр(—Бо)) (Ві = 2,0,
% = 1,0) для значений Б о= 1, 2 и 4.
О 2 4 X 0 2 4 X
Рис. 3 Рис. 4
Рис. 3. Распределение стационарной температуры на поверхности у = 0 при прижимающей
нагрузке (х) = 5(5—|х|), Ы = 2,0. (Обозначения те же, что и на рис. 2.)
Рис. 4. Распределение квазистационарного контактного давления, вызванного нагрузкой
д(х,Бо) = 5(5—|х|)(1 — ехр(—Бо)) (Ы = 2,0, % = 1,0) для разных значений Бо: 1 - Бо = 1; 2 -
Бо = 2; 3 - Бо = 4. (Штриховая линия соответствует давлению для стационарной задачи.)
При выборе второй закономерности изменения со временем нагрузки и
скорости перемещения наблюдается монотонное уменьшение участка кон
такта (рис. 5). Кроме того, определенные выше нагрузка и скорость пере
мещения, принимающие стационарные значения при 4,5 Бо, определяют про
должительность переходных процессов для контактных напряжений в гра
нице 6Бо.
Температура на поверхности контакта, распределение которой приве
дено на рис. 6, несколько медленнее выходит на стационарное значение
(Бо ~ 7,5), а некоторое различие в характере распределения и значениях
температуры, полученных при первой и второй закономерностях изменения
нагрузки и скорости перемещения, обусловлено влиянием величины участка
контакта.
Методы, используемые при исследовании задачи с отрывом, позволяют
рассмотреть взаимодействие упругого слоя с жестким основанием, когда
начальный контакт происходит по ограниченной поверхности или по линии.
Это возможно, если, согласно теории Герца [19], вертикальные перемещения
поверхности у = 0 тела от силовых и тепловых факторов с достаточной
146 ІББМ 0556-171Х. Проблемы прочности, 2008, № 3
Термоупругая контактная задача для слоя
точностью можно аппроксимировать вертикальными перемещениями от этих
же факторов поверхности у = 0 плоскопараллельного слоя. В первом случае
получим задачу с фиксированным участком контактного взаимодействия
(граничное условие (42) оставляем без изменения), во втором - с неизвестной
(и у (х , 0, Бо) = 0 ^ и у (х , 0, Бо) + А х 2п = 0), определяемой из условия ограни
ченности контактных напряжений (параметром п задаем плотность контак
та [19], коэффициентом А - кривизну поверхности тела в области взаимо
действия). В обоих случаях перейдем к аналогичному (7) интегральному
уравнению с заменой во втором случае І ( х , Бо) на І ( х , Бо) — А х 2п.
4 .
А А - Й -----&----А—
3
2
1
\
2 4 Ро о 2 4 X
Рис. 5 Рис. 6
Рис. 5. Кинетика изменения полуширины участка контакта а(Ро), Ы = 2,0. (Обозначения те
же, что и на рис. 2,6.)
Рис. 6. Распределение температуры на поверхности контакта: 1-4 построены при % = 1,0,
Ы = 2,0 и соответствуют значениям Бо = 1,0, 2,0, 4,0 и 6,0; точками обозначена стаци
онарная температура. (Сплошные линии - изменение со временем г>*, штриховые - д*).
Если участок контакта фиксирован, то контактные напряжения неогра
ниченно возрастают при приближении к границе (корневая особенность).
Однако очевидным является то, что сингулярность контактного давления
будет иметь место только при условии а < а ^ , где а ^ - полуширина
участка контакта, по которой слой взаимодействует с основанием при отры
ве, например, если (х ) = д ( х ) и % = 0, то а е̂ ~ 0,857. Как показывают
численные расчеты, для определенных нагрузок можно так подобрать пара
метры их распределения, что контакт тела с основанием будет происходить
на участке, меньшем начального. В частности, если при некотором значении
контактные напряжения, вызванные нагрузкой (х ) = 5 ( Ь0 —|х|), будут
сингулярными, то, уменьшая интервал приложения равномерно распреде
ленной нагрузки, получаем регулярное распределение контактных напряже
ний. Кроме того, тепловыделение, даже если нагрузка обеспечивает контакт
по фиксированной площадке, может быть причиной отрыва тела от осно
вания на краях участка контактного взаимодействия.
І&ОТ 0556-171Х. Проблемы прочности, 2008, N 3 147
П. П. Краснюк
Эти выводы иллюстрируют рис. 7 и 8, где приведено распределение
стационарного и квазистационарного контактного давления при прижатии
тела к основанию сосредоточенной силой. Увеличение интенсивности тепло
образования приводит к уменьшению коэффициента при сингулярности в
выражении для контактного давления, пока он не станет меньше нуля, что
свидетельствует об отрыве тела от основания на краю фиксированного
участка контакта. С дальнейшим ростом интенсивности теплообразования
площадка взаимодействия уменьшается.
11
/ 1
\
31
1у]
N3
\ V
4]
0,2 0,4 х 0 0,2 0,4 X
Рис. 7 Рис. 8
Рис. 7. Распределение стационарного контактного давления при вжатии тела в основание
сосредоточенной силой: 1 - х = 0,5; 2 - х = 1,0; 3 - х = 1,5. (Штриховая линия соответствует
давлению для упругой задачи.)
Рис. 8. Распределение квазистационарного контактного давления при прижатии тела к
основанию сосредоточенной силой с изменением скорости перемещения г>*(Ро) = 1 — ехр(—Бо):
0 - безразмерное время Бо = 0; 1 - Бо = 0,5; 2 - Бо = 1,0; 3 - Бо = 2,0; 4 - Бо = 4,0 (х = 1,5,
Ы = 2,0).
Результаты вычислений квазистатических контактных напряжений для
случая, когда ненагруженный контакт между телом и основанием происхо
дит вдоль прямой линии (точечный контакт), приведены на рис. 9. Видно,
что при первой закономерности изменения нагрузки и скорости перемеще
ния (рис. 1) основную роль играют упругие деформации, при второй -
закономерности тепловые (рис. 2). Отсюда следует, что со временем в
первом случае величина промежутка контакта увеличивается, во втором -
уменьшается.
На рис. 10 показано изменение со временем величины полуширины
участка контакта для различных значений параметра х (В = 2,0, А = 0,5 и
п = 1).
Кривые для нестационарной температуры на поверхности контакта
приведены на рис. 11. Как и следовало ожидать, величина участка контакта
существенно влияет на распределение температуры: в одинаковые моменты
времени максимальное значение температуры при большем участке контак-
148 ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2008, № 3
Термоупругая контактная задача для слоя
та является меньшим, при меньшем участке контакта температура снижается
быстрее.
Рост плотности контакта п = 2, 3,... приводит к увеличению полушири
ны участка контакта, что, в отличие от задачи Герца [19], ограничивается
величиной а е!.
\ \
1
0 02 04 0 6 X
а
Рис. 9. Распределение давления р(х, Ро) при изменении нагрузки (д*(х, Ро) = д(х)(1 — ехр(—Ро))
V* (Ро) = 1) - а и скорости движения (д* (х, Ро) = д(х), V* (Ро) = 1 — ехр(—Ро)) - б: 0 - Ро = 0; 1 -
Ро = 0,5; 2 - Ро = 1,0; 3 - Ро = 2,0; 4 - Ро = 4,0 (х = 1,0, Ы = 2,0, А = 0,5, п = 1). Штриховые
линии построены при давлении для стационарной задачи.
Т
а
0,5
-— 0
1
2
3
0,5
5
О 0,2 X 0,4
Рис. 10 Рис. 11
Рис. 10. Кинетика изменения полуширины участка контакта а(Ро) для различных значений
X: 0 - х = 0; 1 - х = 0,5; 2 - х = 1,0; 3 - х = 1,5. (Штриховые линии определяют полуширину
промежутка взаимодействия для стационарной (при х = 0 - для упругой) задачи.)
Рис. 11. Изменение температуры на поверхности контакта при Ы = 2,0, А = 0,5 и п = 1: 0 -
Ро = 0; 1 - Ро = 0,5; 2 - Ро = 1,0; 3 - Ро = 2,0; 4 - Ро = 4,0; 5 - Ро = 6,0. (Сплошные линии -
изменение скорости движения (при постоянной нагрузке), штриховые - изменение нагрузки
(при неизменной скорости); А - температура для стационарной задачи.)
ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2008, № 3 149
П. П. Краснюк
Р е з ю м е
Розв’язано термопружну задачу взаємодії пружного шару з жорсткою осно
вою, від якої тіло може відділятися під дією локалізованого притискного
навантаження. Досліджено вплив нестаціонарного фрикційного тепловиді
лення, що супроводжує переміщення шару по поверхні теплоізольованої
основи, та функціональної залежності притискного навантаження на цей
процес. Показано, що збільшення інтенсивності тепловиділення призводить
до зменшення області контакту, де зміна з часом останнього визначається
вибором функції зміни навантаження та швидкості руху: якщо від часу
залежить навантаження, то область контакту є незмінною, якщо змінюється
швидкість руху, то спостерігається монотонне її зменшення.
1. Н икиш ин В. С., Ш ап и ро Г . С. Пространственные задачи для много
слойных сред: Тр. вычислит. центра АН СССР. - М., 1970. - 260 с.
2. Н икиш ин В. С ., Ш ап и ро Г. С. Задачи теории упругости для много
слойных сред. - М.: Наука, 1973. - 132 с.
3. П ет руш ин В. И ., П ри варн и ков А. К ., Ш евляков Ю . А . К решению задач
для многослойного основания // Изв. АН СССР. Механика. - 1965. -
№ 2. - С. 138 - 143.
4. П ри варн и ков А. К . О контакте слоя с упругим полупространством //
Изв. АН СССР. Механика твердого тела. - 1972. - № 4. - С. 163 - 167.
5. Н а ум о в Ю . А ., Н и ки ф орова В. Д . Об отставании упругого слоя // Прикл.
механика. - 1971. - 7, вып. 11. - С. 33 - 40.
6. K e e r L ., D u n du rs J ., a n d T sai K . C. Problem involving receding contact
between a layer and a half-space // Trans ASME. Ser. E: J. Appl. Mech. -
1972. - 39, No. 6. - P. 1115 - 1121.
7. К расн ю к П. П . Квазистатическое контактное взаимодействие двух слоев
с фрикционным теплообразованием // Физ.-хим. механика материалов.
- 1999. - 35, № 2. - С. 33 - 43.
8. Галицы н А. С ., Ж ук о вск и й А. Н . Интегральные преобразования и спе
циальные функции в задачах теплопроводности. - Киев: Наук. думка,
1976. - 282 с.
9. К о р н Г ., К о р н Т. Справочник по математике для научных работников и
инженеров. - М.: Наука, 1977. - 831 с.
10. Л ы к о в А. В . Теория теплопроводности. - М.: Высш. шк., 1967. - 596 с.
11. К р а сн ю к П. П . Исследование отрыва контактирующих поверхностей
при термоупругом взаимодействии двух цилиндров с нестационарным
фрикционным тепловыделением // Прикл. механика и теорет. физика. -
2004. - 45, № 5. - С. 117 - 130.
12. А л ексан дров В. М ., К овален ко Е. В . Задачи механики сплошных сред со
смешанными граничными условиями. - М.: Наука, 1986. - 336 с.
13. Г елъф ан д И. М ., Ш илов Г. Е. Обобщенные функции и действия над
ними. - М.: Физматгиз, 1959. - 472 с.
150 ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2008, № 3
Термоупругая контактная задача для слоя
14. Т рант ер К. Д ж . Интегральные преобразования в математической физи
ке. - М.: Гостехтеоретиздат, 1956. - 204 с.
15. Н ат ан сон И. П . Конструктивная теория функций. - М.-Л.: Гостех
теоретиздат, 1949. - 688 с.
16. П оп ов Г. Я . Концентрация упругих напряжений возле штампов, разре
зов, тонких включений и подкреплений. - М.: Наука, 1982. - 344 с.
17. В орови ч И. И ., А л ек сан дров В. М ., Б абеш ко В. А . Неклассические
смешанные задачи теории упругости. - М.: Наука, 1974. - 456 с.
18. Д ж о н со н К . Механика контактного взаимодействия. - М.: Мир, 1989. -
512 с.
19. Ш т аерм ан И. Я . Контактная задача теории упругости. - М.: Гостех
теоретиздат, 1949. - 270 с.
Поступила 20. 03. 2006
ISSN 0556-171Х. Проблемыг прочности, 2008, № 3 151
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-48254 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0556-171X |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T15:25:48Z |
| publishDate | 2008 |
| publisher | Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Краснюк, П.П. 2013-08-17T12:57:23Z 2013-08-17T12:57:23Z 2008 Термоупругая контактная задача для слоя, взаимодействующего с жестким основанием при нестационарном фрикционном тепловыделении / П.П. Краснюк // Проблемы прочности. — 2008. — № 3. — С. 132-151. — Бібліогр.: 19 назв. — рос. 0556-171X https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/48254 539.3 Решена термоупругая задача взаимодействия упругого слоя с жестким основанием, от которого тело может отделиться под действием локализованной прижимающей нагрузки. Исследовано влияние нестационарного фрикционного тепловыделения, сопровождающего перемещение слоя по поверхности теплоизолированного основания, и функциональной зависимости прижимающей нагрузки на этот процесс. Показано, что увеличение интенсивности тепловыделения приводит к уменьшению области контакта, где изменение со временем последнего определяется выбором функции изменения нагрузки и скорости движения: если от времени зависит нагрузка, то область контакта не изменяется, если изменяется скорость движения, то наблюдается монотонное ее уменьшение. Розв’язано термопружну задачу взаємодії пружного шару з жорсткою основою, від якої тіло може відділятися під дією локалізованого притискного навантаження. Досліджено вплив нестаціонарного фрикційного тепловиділення, що супроводжує переміщення шару по поверхні теплоізольованої основи, та функціональної залежності притискного навантаження на цей процес. Показано, що збільшення інтенсивності тепловиділення призводить до зменшення області контакту, де зміна з часом останнього визначається вибором функції зміни навантаження та швидкості руху: якщо від часу залежить навантаження, то область контакту є незмінною, якщо змінюється швидкість руху, то спостерігається монотонне її зменшення. We provide solution to a thermoelastic problem of an elastic layer interaction with a rigid foundation, from which a contacting body can be separated due to a localized hold-down load. We study the effect of nonstationary frictional heat generation, which accompanies the layer displacement along the surface of heat-isolated foundation, as well as the functional relation of the hold-down load in this process. It is shown that increase in the heat generation intensity results in a reduction of the contact zone area, whereas its variation in time is controlled by the load variation function and the motion rate: if the load is time-dependent, then the contact area remains constant; is the motion rate varies, then the contact area diminishes monotonically. ru Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України Проблемы прочности Научно-технический раздел Термоупругая контактная задача для слоя, взаимодействующего с жестким основанием при нестационарном фрикционном тепловыделении Thermoelastic contact problem for a layer interacting with a rigid foundation for a case of nonstationary frictional heat generation Article published earlier |
| spellingShingle | Термоупругая контактная задача для слоя, взаимодействующего с жестким основанием при нестационарном фрикционном тепловыделении Краснюк, П.П. Научно-технический раздел |
| title | Термоупругая контактная задача для слоя, взаимодействующего с жестким основанием при нестационарном фрикционном тепловыделении |
| title_alt | Thermoelastic contact problem for a layer interacting with a rigid foundation for a case of nonstationary frictional heat generation |
| title_full | Термоупругая контактная задача для слоя, взаимодействующего с жестким основанием при нестационарном фрикционном тепловыделении |
| title_fullStr | Термоупругая контактная задача для слоя, взаимодействующего с жестким основанием при нестационарном фрикционном тепловыделении |
| title_full_unstemmed | Термоупругая контактная задача для слоя, взаимодействующего с жестким основанием при нестационарном фрикционном тепловыделении |
| title_short | Термоупругая контактная задача для слоя, взаимодействующего с жестким основанием при нестационарном фрикционном тепловыделении |
| title_sort | термоупругая контактная задача для слоя, взаимодействующего с жестким основанием при нестационарном фрикционном тепловыделении |
| topic | Научно-технический раздел |
| topic_facet | Научно-технический раздел |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/48254 |
| work_keys_str_mv | AT krasnûkpp termouprugaâkontaktnaâzadačadlâsloâvzaimodeistvuûŝegosžestkimosnovaniemprinestacionarnomfrikcionnomteplovydelenii AT krasnûkpp thermoelasticcontactproblemforalayerinteractingwitharigidfoundationforacaseofnonstationaryfrictionalheatgeneration |