Аналитическое решение задачи Бразье для тонкостенных труб с начальным несовершенством формы поперечного сечения при действии давления
Предложен аналитический метод решения геометрически нелинейной задачи Бразье для тонкостенных труб с начальным несовершенством формы поперечного сечения при действии давления. Получены геометрические уравнения, связывающие компоненты перемещений с деформациями, и уравнения равновесия, учитывающие...
Saved in:
| Published in: | Проблемы прочности |
|---|---|
| Date: | 2008 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України
2008
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/48256 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Аналитическое решение задачи Бразье для тонкостенных труб с начальным несовершенством формы поперечного сечения при действии давления / И.В. Орыняк, С.А. Радченко // Проблемы прочности. — 2008. — № 3. — С. 100-123. — Бібліогр.: 35 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859805514937925632 |
|---|---|
| author | Орыняк, И.В. Радченко, С.А. |
| author_facet | Орыняк, И.В. Радченко, С.А. |
| citation_txt | Аналитическое решение задачи Бразье для тонкостенных труб с начальным несовершенством формы поперечного сечения при действии давления / И.В. Орыняк, С.А. Радченко // Проблемы прочности. — 2008. — № 3. — С. 100-123. — Бібліогр.: 35 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Проблемы прочности |
| description | Предложен аналитический метод решения геометрически нелинейной задачи Бразье для
тонкостенных труб с начальным несовершенством формы поперечного сечения при действии
давления. Получены геометрические уравнения, связывающие компоненты перемещений
с деформациями, и уравнения равновесия, учитывающие изменение кривизны сечения трубы
и ее оси. Приведено решение в первом приближении по безразмерному параметру гибкости,
точность которого проиллюстрирована на многочисленных примерах. Для случая совместного
действия внешнего изгибающего момента и давления получена предельная кривая
критического значения момента в зависимости от величины давления.
Запропоновано аналітичний метод розв’язку геометрично нелінійної задачі
Бразьє для тонкостінних труб із початковою недосконалістю форми поперечного
перерізу за дії тиску. Отримано геометричні рівняння, що зв’язують
компоненти переміщень із деформаціями, та рівняння рівноваги, які враховують
зміну кривизни перерізу труби й її осі. Наведено розв’язок у першому
наближенні за безрозмірним параметром гнучкості, точність якого проілюстровано
на великій кількості прикладів. Для випадку спільної дії зовнішнього
згинального моменту й тиску отримано граничну криву критичного значення
моменту в залежності від величини тиску.
We propose an analytical method for solution
of geometrically non-linear Brazier problem for
thin-walled pipes with an initial cross-sectional
malconformation subjected to pressure load.
We have obtained geometrical equations linking
the components of displacements with
strains, as well as balance equations, which
take into account variation of the pipe cross-sectional
curvature and position of its axis. We provide
a solution in the first approximation by the
non-dimensional flexibility parameter and illustrate
its adequacy by numerous examples. For
the case of joint action of the external bending
moment and pressure, we have obtained a
limiting curve of critical moment versus
pressure values.
|
| first_indexed | 2025-12-07T15:15:44Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 539.4
Аналитическое решение задачи Бразье для тонкостенных труб с
начальным несовершенством формы поперечного сечения при
действии давления
И. В. О ры няк, С. А. Радченко
Институт проблем прочности им. Г. С. Писаренко НАН Украины, Киев, Украина
Предложен аналитический метод решения геометрически нелинейной задачи Бразье для
тонкостенных труб с начальным несовершенством формы поперечного сечения при дейст
вии давления. Получены геометрические уравнения, связывающие компоненты перемещений
с деформациями, и уравнения равновесия, учитывающие изменение кривизны сечения трубы
и ее оси. Приведено решение в первом приближении по безразмерному параметру гибкости,
точность которого проиллюстрирована на многочисленных примерах. Для случая совмест
ного действия внешнего изгибающего момента и давления получена предельная кривая
критического значения момента в зависимости от величины давления.
К л ю ч е в ы е с л о в а : тонкостенная труба, эффект Бразье, начальное несовер
шенство сечения, давление, кривизна, аналитическое решение.
Введение. Магистральные трубопроводы и трубопроводы предприятий
энергетической, нефтехимической и других отраслей промышленности
составляют достаточно большую часть их материальных активов. Как пра
вило, трубопроводы представляют собой очень высоконагруженные конст
рукции, поскольку еще при их проектировании с целью экономии металла
закладываются фактически самые низкие коэффициенты запаса прочности.
Это требует очень точного обоснования прочности и ресурса при всех
возможных видах нагружения. Проведение такого анализа невозможно без
применения современных вычислительных комплексов.
Вместе с тем расчетчику необходимо заранее понимать характер реше
ния, а численные результаты должны лишь уточнять некоторые коэффи
циенты. Важно знать особенности деформирования конструкции при ее
геометрически нелинейном поведении, учитывая, что даже для идеально
упругого материала незначительное увеличение нагрузки может приводить к
неконтролируемому росту деформаций и напряжений. Кроме того, совре
менные нормы проектирования оборудования атомных станций [1, 2] и
нормы оценки эксплуатируемых конструкций с обнаруженными несовер
шенствами [3] предусматривают разделение расчетных напряжений на раз
ные категории, к которым применяются различные коэффициенты запаса
прочности [4]. Без понимания особенностей деформирования различных
элементов, достигаемого путем аналитического моделирования, использо
вать положения указанных стандартов невозможно.
Трудности расчета напряженного состояния трубопроводных систем во
многом зависят от моделирования деформирования гиба трубы. Расчетным
эквивалентом гиба трубы служит тороидальная оболочка, при исследовании
которой обнаруживаются важные эффекты деформирования. Их понимание
является необходимым условием корректного расчета трубопроводов вообще.
© И. В. О РЫ Н Я К, С. А. РА Д Ч ЕН К О , 2008
100 Й'ОТ 0556-171Х. Проблемы прочности, 2008, № 3
Аналитическое решение задачи Бразъе
К сожалению, в учебниках по сопротивлению материалов и в общедоступ
ных курсах теории оболочек использованию тороидальных оболочек уделя
ется недостаточно внимания. В гибах труб по сравнению с прямой трубой
при приложении внешних изгибающих моментов наблюдается эффект ова-
лизации поперечного сечения, что приводит как к увеличенной податли
вости, так и интенсификации напряжений (появлению локальных изгиба
ющих моментов). Различие в характере деформирования прямой трубы и
гиба описывается с помощью двух безразмерных параметров: кривизны
а = R /B и гибкости Я = R 2/ в к , где R - средний радиус сечения трубы; В -
радиус оси гиба; h - толщина стенки трубы. Чем больше эти параметры, тем
значительнее проявляются различия в податливостях и распределении на
пряжений в прямой трубе и гибе.
Впервые аналитическое объяснение эффекта овализации поперечного
сечения гиба трубы в случае изгиба в плоскости при малых а было пред
ложено Карманом, который рассматривал задачу нагружения гиба постоян
ным вдоль оси изгибающим моментом с краевыми условиями по Сен-
Венану [5]. При этом распределение усилий на краях гиба совпадает с
соответствующим распределением напряжений в каждом сечении гиба. В
реальном случае сопряжения гиба с другими конструктивными элементами
это достигается только для достаточно длинных гибов, в средней части
которых можно не учитывать влияние граничных условий.
Позже появились работы, обобщающие результаты Кармана для учета
больших значений Я [6, 7] и а [8]. Задача Кармана изучалась также для
труб некругового сечения. Такая работа была проведена Тимошенко в 1923 г.,
где он рассматривал сечение прямоугольной формы [9]. Были также полу
чены решения для гиба трубы с эллиптической формой сечения [10, 11].
Методы анализа труб с исходной неправильностью формы сечения и разно-
толщинностью разработаны в [12-15].
Более сложным является частный случай задачи Кармана - так назы
ваемый эффект Бразье, связаннный с потерей устойчивости прямой трубы
или гиба при упругом изгибе [16]. Он заключается в том, что с увеличением
внешнего изгибающего момента K z растет кривизна исходной трубы
(уменьшается радиус гиба В), что приводит к увеличению ее гибкости Я в
процессе деформирования и, как следствие, к все более нелинейно увели
чивающейся овализации поперечного сечения. Начиная с некоторого значе
ния изгибающего момента, овализация нарастает катастрофически даже при
постепенно уменьшающейся нагрузке.
Целью решения задачи Бразье является определение зависимости K z (Я)
и величины Яmax, при которой достигается экстремальное значение этого
момента K z max( Я max). Классическая задача Бразье и в настоящее время
вызывает большой интерес; обзоры решений приведены в работах [17, 18].
Это связано с тем, что в теоретическом подходе Бразье [16] имеются
существенные недостатки, но тем не менее результат, полученный на его
основе, достаточно точно совпадает с более строгими современными подхо
дами [19]. Парадоксально, но первоначальное уточнение результатов Бразье
приводило к ухудшению оценок K z max и Яmax [20, 21]. Таким образом,
можно заключить, что вопрос о минимально необходимом уровне слож
ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2008, № 3 101
И. В. Орыняк, С. А. Радченко
ности, позволяющем получить достаточно точное решение, по-прежнему
остается актуальным.
Другой геометрически нелинейный эффект связан с действием внутрен
него и внешнего давления на тонкостенную оболочку (кольцо). Известно,
что внутреннее давление оказывает подкрепляющее действие при неосе
симметричном деформировании кольца, в том числе при отклонении исход
ной формы сечения от идеально круговой [22]. Некорректность применения
принципа суперпозиции (суммирование упругих напряжений) при нагруже
нии внешним изгибающим моментом, приводящим к овализации, и внут
ренним давлением для гибов труб была признана еще в 50-х годах прошлого
столетия [23, 24]. Тем не менее нелинейный характер деформирования гибов
труб в таких задачах по-прежнему вызывает интерес исследователей. И как
отмечалось в [25], “эффект подкрепляющего действия внутреннего давления
является хорошо известным, но слабо понимаемым”.
В настоящей работе поставлена более сложная задача: аналитическое
описание эффекта Бразье с учетом внутреннего давления и исходного не
совершенства формы сечения для упругой трубы. При этом используются
результаты решения задачи Сен-Венана для гибов труб [26-28], и разрабо
танный аналитический метод решения является альтернативой оригиналь
ной численной процедуре, основанной на итерационном использовании
метода начальных параметров [29]. В процессе решения определим мини
мально необходимый уровень сложности, сохраняющий его точность.
Заметим, что использование для этих целей коммерческих вычисли
тельных программ является достаточно неэффективным. Геометрическая
нелинейность и формулировка граничных условий по Сен-Венану все еще
представляют для них значительные сложности. Так, при рассмотрении за
дачи Сен-Венана выбираются гибы конечной длины. Если гиб недостаточно
длинный, то даже в его средней части проявляется влияние краевых эффек
тов [30]. Если гиб очень длинный, то увеличивается не только время вычис
лений, но и ошибки, которые экспоненциально зависят от длины гиба [31].
1. Основные уравнения. Гиб трубы, геометрические размеры и обозна
чения которого приведены на рис. 1, рассматривается как тонкостенная
оболочка. Здесь г, р - локальная система полярных координат, связанная с
каждым поперечным сечением; х, у , 2 - локальная система декартовых
координат, причем у - координата исследуемой точки, направленная по
лучу, соединяющему центр гиба (точка О) с центром рассматриваемого
сечения (точка О 1), отсчитываемая от точки О 1; г - координата, связанная с
направлением р = 0; Я - средний радиус поперечного сечения; И - толщина
стенки трубы; В - радиус кривизны; в = х / В - угловая координата попереч
ного сечения гиба. С координатами у и г связаны соответствующие орты
(единичные векторы) у и к . Направления локальных перемещений точек
срединной поверхности гиба трубы ц>, V, и совпадают с направлениями
координат г, р , х соответственно; направление угла р указано на рис. 1.
1.1. Г еом ет ри чески е соот нош ения в плоскост и ги ба . Рассмотрим сече
ние трубы (рис. 2). Отметим два момента, касающиеся кривизны кольца:
кольцо изначально кривое (на рис. 2 тонкая сплошная линия); кольцо
дополнительно искривляется в процессе деформирования (пунктирная ли-
10 2 ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2008, № 3
Аналитическое решение задачи Бразъе
Рис. 1. Общий вид гиба трубы.
У
}
Рис. 2. Сечение трубы.
ния). Для упрощения постановки и решения задачи введем понятие идеаль
ного кольца (на рис. 2 жирная сплошная линия), незначительное искрив
ление которого и привело к рассматриваемому начально искривленному
кольцу. Всю геометрическую систему отсчета устанавливаем относительно
идеального кольца с начальным радиусом Я 0. К ней прежде всего относится
координата каждой точки, характеризуемая углом р. Тогда элементарная
длина каждого малого участка кольца равна
d s = Я о d р . (1)
ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2008, № 3 103
И. В. Орыняк, С. А. Радченко
Каждый элементарный участок идеального кольца дополнительно харак
теризуется направлением касательной 10 и нормали n 0, которые выража
ются через орты j и к в виде
In 0 = —к cos р — j sin р;
\ - 7 7 ■ (2)[ 10 = — j cos р + к sin р.
Кроме того, они связаны между собой следующими дифференциальными
зависимостями:
dn 0 7 dt0 7
i p = Л р = - '’ ». (3)
Рассмотрим реальную форму кольца. Для каждой точки идеального
кольца, характеризуемой координатой р (на рис. 2 точка 1), ставим в
соответствие точку Г начально искривленного кольца, а затем и точку Г , в
которую переместится точка Г после деформирования некоторой системой
нагрузок. Для описания начальной неправильности формы введем понятие
начальных радиальных wH и тангенциальных v н перемещений, направле
ние которых совпадает с ортами n 0 и *0 соответственно. Деформирован
ное состояние от внешних нагрузок дополнительно описывается перемеще
ниями w R и v д. Таким образом, полный радиус-вектор срединной поверх
ности трубы после деформирования описывается следующим выражением:
R1(Р ) = R 0 n 0 + WH n 0 + v н *0 + wд n 0 + v д ?0. (4)
В геометрически нелинейной постановке необходимо записывать урав
нения в проекциях на нормаль и касательную к реальной (деформирован
ной) геометрии. Определим выражения для текущих нормали П(р) и каса
тельной t (р ) к контуру в деформированном состоянии (рис. 2). По опре
делению выражение для t может быть записано как отношение производ
ной текущего радиуса-вектора R i(р ) к ее модулю:
7 R i ^ )t = 7 ^ / . (5)
I R1( р )1 ( )
В соответствии с (4) производная от радиуса-вектора имеет вид
R 1(р ) = (R 0 + m1) t 0 + m 2 n 0 , (6)
где
mi = wH + w R + < + v^; m 2 = < + w'R — v H — v д. (7)
Здесь уместно дать более четкое определение терминам “слегка искривлен
ный” и “слегка деформированный” контур в геометрически нелинейной
постановке. Полагаем
104 ISSN 0556-171X. Проблемыг прочности, 2008, № 3
Аналитическое решение задачи Бразье
(« i ) 2; ( m i ) 2 < < ( R о )2. (8)
Это условие малости является основным в настоящем анализе. Поэтому
выражение |R 'i(р)| приближенно определяется следующим образом:
I R 1( р ( R о + m1)2 + ( m2 )2 ~ R 0 + m1. (9)
Следовательно, длина элемента деформированного кольца d si равна
d s i = |R i(р )| d p ~ (R о + m i)dp. (10)
Сделаем еще одно важное допущение, касающееся характера дефор
мирования кольца: тонкостенное кольцо претерпевает в основном изгибные
деформации, и удлинением-сжатием можно пренебречь. Это означает, что
длина элемента не изменилась, т.е. dsi = ds. Из сравнения уравнений (1) и
(10) следует, что mi = 0. С учетом этого из (7) получим так называемое
условие Кармана о нерастяжимости средней поверхности:
+ < = 0; + v 'R = 0 (11)
На основании вышеизложенного выражение для касательного вектора t
может быть приближенно записано так:
1 = (?0 + У П0)/> /1 + У2 ~ *0 + УП0. (12)
2 2 Здесь у - малая величина по сравнению с единицей (у = 0(1)), представ
ляющая собой угол поворота текущей системы координат относительно
начальной системы координат (рис. 2) и определяемая как сумма двух
углов, образованных начальным несовершенством у н и деформированием
у д контура сечения:
У = У Н +У Д, (13а)
где
У HR 0 = < - v н ; У z R 0 = w'x - v д. (Ш )
С учетом (11) выражения (13б) можно записать в более удобном виде:
у нR 0 = - < - v н ; у дR 0 = - v l - v д. (13в)
Из условия перпендикулярности ортов t • n = 0 несложно получить
n = n0 - У?0. (14)
ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2008, № 3 105
И. В. Орыняк, С. А. Радченко
Важной геометрической характеристикой сечения является ее кривизна.
По определению из выражения (12) можно в первом приближении найти
текущую кривизну контура сечения к = 1/Я 1:
к =
d t
ds
t 0 _ По_ [1_
R 0 ^ R 0 V d p ,
1_ у'
R о
(15a)
После деформирования сечения его длина не изменяется, поэтому
d р l
d s = Я о d р = Я ^ р 1 = ----- . (156)
Здесь введены обозначения: d p 1, R 1 - текущие значения прироста угла и
радиуса кривизны соответственно.
1.2. Г еом ет ри я ги б а и деф орм аци и в осевом направлении . Выделим
элемент недеформированного гиба в осевом направлении двумя близкими
сечениями в 01 = const и в 02 = const. Тогда в зависимости от угла p перво
начальная ширина (по координате в) каждого отрезка равна
5 н( p ) = (B 0 + YH(p ))de 0 , (16a)
первоначальные радиус кривизны и элемен-где В о и d в о = в 02 - в 01
тарный угол гиба; В о представляет собой расстояние между точкой О
(центр гиба) и условной точкой центра сечения гиба О 1 (рис. 1); Ун( р ) -
расстояние по оси у между рассматриваемой точкой сечения гиба и точкой
О 1. Для удобства введем понятие ширины элемента 5 ̂ , соединяющего
условные центры сечения гиба. Величина 5 ° находится из (16а) при У = о:
0 ии 0- (166)
Величина YH( p ) вычисляется таким образом:
YH = R 0 sin p + w н n 0 • j + v H t 0 ■ j = R 0 sin p + wH sin p + v H cos p. (17)
Для задачи Сен-Венана можно применить гипотезу плоских сечений.
При нагружении гиба в его плоскости направление локальной оси у не
изменяется. Тогда ширина каждого элементарного отрезка в деформирован
ном состоянии 5 к( р ) равна
5 к( р ) = (В 1 + Ук( р ) ^ д 1. (18)
Здесь введены две искомые неизвестные, характеризующие ширину элемен
тов гиба после деформации, а именно: В 1 и d в 1 - радиус кривизны и
элементарный угол гиба. Величина расстояния по оси у в деформирован
ном состоянии Ук определяется так:
106 ISSN 0556-171X. Проблемыг прочности, 2008, № 3
Аналитическое решение задачи Бразъе
Ук = Ун + А У , (19а)
где
АУ = Wa 8Шр + Vд 008 р. (196)
Введем понятие прироста угла ф, которое характеризует изменение
угла в, т.е. угловая координата центров сечений в процессе деформирования
в ! представляется в виде в ! = в + ф. Тогда для прироста угла можно
записать следующее выражение:
ёх
(20)
Аналогично можно представить выражение для изменившейся длины осе-
О Овой линии о к :
5 0 = В ^ в 1 = о 0(1+ о '), (21)
где Б ' = ё и /ё х - деформация осевой линии гиба; ёи - прирост длины
осевой линии гиба.
Из (21) с учетом (18) и (20) несложно получить выражение для изме
нившегося радиуса кривизны гиба:
1
о ёх
(22)
Из уравнений (20) и (22) неизвестные ^ и ёв 1 выражаются через линей
ную Б ' и угловую ёф / ё х деформации линии центров гиба.
Перейдем к нахождению осевой деформации е в ( р ) каждой точки
сечения гиба. По определению она представляет собой изменение ширины в
осевом направлении:
£ в (Р ) = (23)
Подставляя (16)-(22) в (23), окончательно записываем
£ д =
1+ У * / В 0
Уя - АУ АУ -
О ' + - ^ 0 +
Я (
(24)
1
Здесь для удобства введем обозначение для прироста угла 0 = —Ф Я 0 ; под
ах
черкнутый один раз член предопределяет отличие гиба от прямой трубы (в
прямой трубе он равен нулю), подчеркнутый два раза член - геометри
чески линейную постановку от нелинейной.
ТООТ 0556-171Х. Проблемы прочности, 2008, N 3 107
И. В. Орыняк, С. А. Радченко
Заметим, что при анализе деформации в осевом направлении факти
чески введены две дополнительные неизвестные: S ' и в. Прирост пере
мещений A Y условно находится из рассмотрения задачи деформирования в
плоскости сечения. Для этих двух неизвестных записываются два уравнения
равновесия сил и моментов в осевом направлении.
1.3. Условия нагруж ения, уравн ен и я р а вн о веси я и ф изически е уравн ен ия .
Полагаем, что оболочка нагружена внутренним давлением Р и глобальным
изгибающим моментом, действующим в плоскости кривизны K z . Перпен
дикулярно каждому сечению в = const действует внутреннее распределен
ное усилие N x (рр ) - рис. 3, которое уравновешивает глобальную осевую
силу F z , вызванную давлением и изгибающим моментом. Таким образом,
имеем два указанных в п. 1.2 уравнения:
уравнение равенства осевых сил:
2л
P F 1 = F z = f N x (р )R 0 Ф , (25)
0
где Fi - площадь “в свету” деформированного сечения;
уравнение равенства моментов:
2л
K z = k z ° n R 0 h = f N xR 0Y кdp. (26)
0
Здесь для удобства введем обозначения: о - единичное напряжение; k z -
безразмерный коэффициент, характеризующий величину внешнего нагру
жения.
Элемент оболочки с возникающими внутренними силами и моментами
для деформированного состояния приведен на рис. 3,а, где N p и Q р -
внутренние продольная и поперечная силы в соответствующем направле
нии; M р - локальный изгибающий момент.
Прежде чем составить уравнения равновесия в плоскости сечения, ука
жем, что вектор продольной силы N x имеет ненулевую проекцию в плос
кости сечения по оси у, которая может быть разложена по направлениям t
и п. Поскольку результирующий вектор от продольной силы N x для эле
мента длины d s и ширины S к(р ) (рис. 3,в) в направлении оси у записы
вается как N xd s d e i j , то его проекция в направлении п с учетом (14) и (2)
равна
N xd sd e 1 j п = - N xdsde1(sinр - у cosр ), (27а)
в направлении t с учетом (12) и (2) -
N xd sd e 1 j l = - N xd sd e 1(cos р + у sin р ). (27б)
Благодаря компонентам с множителем у различаются постановки задач
Бразье и Сен-Венана.
108 ISSN 0556-171X. Проблемыг прочности, 2008, № 3
Аналитическое решение задачи Бразъе
а в
Рис. 3. Элемент тороидальной оболочки: а - положительное направление параметров; б -
проекции сил и моментов на плоскость t X n; в - направление силы N x.
Таким образом, уравнения равновесия для каждого элемента (рис. 3) с
учетом (15б) и (27) имеют вид
d ( Q p B1 ) N ВЦ
— — — — + — — + N x (sin i p - у cos ip) = P; (28а)
R 0d p R i
Q p B 1 d ( N p B1)
— — — — + N x (cos p + у sin p ) = 0; (28б)
R 1 R od p
_ d ( M p B1)
Q PB 1 = R . (28в)p R 0d p
Здесь последовательно приведены уравнения: суммы проекций сил на теку
щие нормали n, t и сумма моментов относительно оси х, где B 1( p ) =
= B 1 + F1( p ) - радиус кривизны каждой точки поверхности в деформиро
ванном состоянии.
Внутренние силы и моменты связаны с деформациями с помощью
физических уравнений:
N p = H (£ p + ^ e ); (29а)
N x = H ( £e + ^ p );
ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2008, N2 3
(29б)
109
И. В. Орыгняк, С. А. Радченко
И д $
м р = т а 1 р ■ <29в)
где £ р - деформация срединной поверхности в окружном направлении;
ЕИ . И2
И = -------2 ; д = — ; Е - модуль Юнга; л - коэффициент Пуассона.
1 - Л 2 12
Из первых двух уравнений (29) удобно представить N x в виде
N x = ЕИе в + Л N р . (29г)
2. Идея реш ения задачи. Изложим некоторые упрощения, позволя
ющие получить замкнутые аналитические решения, сохраняющие все осо
бенности поведения упругого гиба трубы при нагружении большим изги
бающим моментом.
1. Условие малости начального и конечного а, т.е. предполагаем, что
Я о / В ^ 0. В частности, это позволяет использовать упрощенную запись
уравнения (24):
Ун - А У А У -
£ в = Я- в + В ~ + в (30)Я 0 В 0 Я 0
2. Опыт решения задачи Кармана показывает, что связанные с овали-
зацией (нагружение изгибающим моментом) значения N р имеют порядок
а к 2 оИ/ 2 [26, 27]. Поэтому они намного меньше, чем усилия N x, которые
согласно (26) сопоставимы с величиной к 2оИ. В случае действия внут
реннего давления Р значения N р ~ Р Я 0 . Поэтому физическое уравнение
взаимосвязи между осевыми усилиями и деформациями (29г) будет иметь
вид
N x = Е И е в + ц Р Я 0 . (31)
3. Поскольку перемещение гиба как балки не рассматривается, без
потери общности полагаем, что перемещение точки О1 равно нулю. С
учетом симметрии нагружения и деформирования оболочки, гипотезы о
малости а и условия Кармана (11) запишем общее выражение для исходных
и искомых касательных и радиальных перемещений точек сечения оболоч
ки:
пр; w R = - Я 0 2 п С д соэ пр;
п=2,4,6,... п=2,4,6,...
V д = Я 0 (32а)
v н = Я 0 2 с
п=2,4,6,
= - Я 0 2 п С % С08пр.
п = 2,4,6, (32б)
Основная идея решения данной задачи, как и задачи Кармана, заключа
ется в составлении и совместном решении двух уравнений. Первое уравне
ние устанавливает связь осевой силы N x с начальными и деформационны-
1 1 0 1££Ж 0556-171Х. Проблемы прочности, 2008, № 3
Аналитическое решение задачи Бразъе
ми перемещениями (32) при нагружении изгибающим моментом, второе -
составляется на основе анализа уравнений равновесия в плоскости сечения
гиба.
Рассмотрим п ервое уравнение. Выражения (17) и (19) для YK и A Y с
учетом разложений (32) подставляются в (30), а затем в (31):
N x = E h S ' + /лРЯ о + Eh в sin p +
+ Eh X {(n + 1)sin(n - 1)P - (n -1)sin(n + 1)p} +
n=2,4,6,... 2Bo
— C H + с д
+ в X — ^ n {(n + 1)sin(n - 1)p - (n -1 )s in (n + 1)p}
n=2,4,6,...
(33 а)
Выражение для Ых можно записать в более простом виде, который
следует из (33 а):
И х / (ЕН) = п 0 + п 1 sinр + п з sin3р + п 5 sin5р + ..., (33б)
где коэффициенты п являются безразмерными; свободный член легко
определяется из уравнения равенства осевых сил (25).
Можно показать, что площадь сечения ^ , которая находится как инте
грал от 0,5Я 1Яоd р , в результате деформирования изменяется незначитель
но. Это позволяет определить Б ', которое характеризует удлинение гиба как
стержня:
РЯ0 Р Я 0
Б ' = ^ (1- 2" ) ^ п0 = 2НЕТ- (34)
Отношение Р Я 0 / Н определяет уровень номинальных окружных напря
жений от внутреннего давления. Очевидно, что эти напряжения для сталей
намного меньше модуля Юнга Е . Поэтому, полагая в уравнении (22) Б ' = 0
и умножая его на Я 0 /Н, получаем выражение для текущего значения пара
метра гибкости Л1:
Я1 = А 0 + ДА, (35а)
где
А1 = Я Ц в хН; ДА =вЯ 0 / Н. (35б)
Таким образом, величина в определяет прирост параметра гибкости ДА.
Остальным коэффициентам п { путем сопоставления выражений (33а) и
(33б) ставятся в соответствие искомые значения коэффициентов разложения
перемещений С д , где I - целое число. В частности, запишем первые два
выражения, которые для удобства умножим на Я 0 / Н:
1ББМ 0556-171Х. Проблемы прочности, 2008, N 3 111
И. В. Орыняк, С. А. Радченко
Я о
— = ДА + 2 А о + ДА-
3С н2 3С ?
- + ДА— -
Я Г / С £А 0 5С д А4Л0 1 С | 5С | '
ДА — -Д А — 4
\
/ СД 5Сд '
ДА — - Д А — 4
\
(36а)
. (366)
Здесь и ниже подчеркнутые члены соответствуют геометрически нелиней
ной постановке.
Подставив выражения для N х (336) и перемещений (32) с учетом (19) в
условие глобального равновесия (26), получим важное для дальнейшего
анализа уравнение связи угловой деформации в с изгибающим моментом
К 2. Удерживая члены до второго порядка малости, имеем
М =
Яс
Б к
/ /
щ
\
1 +
3С 2 С 2Н2 3С д
- п 3 ~ Г + щ1 ^ "
С 2
где для удобства введено понятие безразмерного момента М =
(37)
К 2 Я о Я о
б ї 2 к ;
1 2 = лЯо к - момент инерции сечения тонкостенной трубы.
Из (37) следует, что при геометрически линейной постановке для изна
чально круглого сечения имеем М = п хЯ о / к. Очевидно, что геометрическая
нелинейность начинает проявляться, когда С Д сопоставимо по величине с
единицей.
В т о р ы м ур а вн ен и ем , которое связывает две основные функции V и
Ых, т.е. безразмерные коэффициенты С д, и п 3, является уравнение равно
весия (28б), в котором выражение для N р уже определено из (28а). По
скольку в данном анализе принято, что 0, то второе уравнение имеет вид
/
др Я о др
Я о д
+ — в р +
1Я, ^ р др
Я1Я1 (ЯП р - у СОЭ р )
В 1
+
+ N х
Яо
В ,
(СОЭ р + у ЭШ р ) = Р
д Я 1
др (38)
где 2 р определяется из выражения (28в).
С учетом (15) для Я! уравнение (38) записывается так:
у 7 + у д - 3 ру'' + 12(1 - л 2)Аг
Я о / д N x
- э т р + 2N x соэ р +
Е к 2 I Зр
+ О(Я1 , п , , С д ,) = 0, (39а)
где О - компонента, отвечающая геометрически нелинейной постановке,
112 0556-171Х. Проблемыг прочности, 2008, N 3
п
п 3 к 2 2
к
Аналитическое решение задачи Бразъе
С ( Я!, п , , С 21.) = Уу - у ^ у ' - у'д[3у' - 3(у ')2 + (у ')3 ] +
2 Я 0 I дЖх
+ 12(1- ^ )Я! — - 2 ] у"(8Шр - у сое р ) - — [у сое р +
БН2 [ др
+ у '(зш р - у С0 8 р )]+ Жх( 2 - у')[у(1 - у '^ 1 п р - 2у'С0 8 р ] к (396)
р - безразмерный коэффициент давления,
_ 4 1 - .И 2)Р«о3
Р = БН 3 • <40)
Можно показать, что нелинейная компонента С представляется рядом
по четным гармоникам синуса:
С(Яь п , С 2 ,) = 2 8 2 1 ®1п2гр ̂ (41)
I =1,2,3
При дальнейшем анализе в (39) подставляем выражения для у (13) и
Ых (336) Путем сопоставления коэффициентов при одинаковых функциях
зт2гр получаем дополнительно к (36) еще одну систему уравнений, связы
вающую п { с коэффициентами С д • В частности, ограничиваясь значе
ниями I = 1, 2, получаем следующие два уравнения:
д - А Я 0 1
6 С 2 + 6_ С 2 _Н_ ( 3 п 1 - п 3 ) + 6 8 2 = 0 (42а)
д - А Я 0 1600С 4 + 120 р С 4 + 5 - — н ~ п 3 + 6 8 4 = 0, (426)
где коэффициенты С 21 = С д + С Ц ; выражения для коэффициентов 8 2 и
8 4 до третьего порядка малости имеют вид
8 2 = 324Сд(10С4 - С 2 ) - 2160(7С£С2 + 30С^С2) +
А Я 0
+ - ---- - ° ( -5 4 п 1С 2 - 117п3С 2 + 1485п1С 4 - 585п3С 4); (43а)
Я 1 Н
8 4 = 108С2С 2 - 12960С^(С2 + 5С2) +
А Я 0
+ Я— Н_ ( - 8 1 п 1 С 2 - 6 3 п 3 С 2 - 1350п 1С 4 ); (436)
ТХОТ 0556-171Х. Проблемы прочности, 2008, N 3 113
И. В. Орыняк, С. А. Радченко
А - безразмерный коэффициент,
А = Я 2 (1 -^ 2). (44)
Рассмотрим несколько вариантов решения данных задач в зависимости
от параметров нагружения и геометрии. Заметим, что порядок приближения
и его точность в основном определяются упрощениями, принимаемыми при
решении уравнения (39).
3. Решение.
3.1. З а д а ч а Б разъ е. Суть классической задачи Бразье состоит в уста
новлении связи между 0 (ДА) и изгибающим моментом К 2 (к 2о ). Основ
ные разрешающие уравнения (36) и (42) с учетом (43) образуют нелинейную
систему уравнений относительно коэффициентов С д . Структура этих урав
нений такова, что решение может быть легко получено итерационным путем
для любого приближения. Покажем это на примере первого приближения,
когда неизвестными являются коэффициенты П1 , П 3 и С д. Опыт решения
статической задачи Сен-Венана [26] показал, что первое приближение есть
достаточным при значениях А< 2 .
Пренебрегая в (36) и (42) коэффициентом С д, после подстановки (45) в
(42а) нетрудно получить выражение для коэффициента С д
Это выражение не является окончательным, поскольку в него входит
нелинейный коэффициент g 2 (43а), который не определен. Конечное значе
ние коэффициента С д может быть получено с помощью итерационной
процедуры, когда на первом шаге принимается g 2 = 0, а коэффициенты С 2
определяются по (45), П[ и п 3 - по (36). Далее рассчитывается значение
коэффициента g 2 по (43а) и уточняются коэффициенты С д, П1, п 3 .
Отметим, что если пренебречь коэффициентом g 2 в (45), то для
изначально прямой трубы с идеально круглым сечением (В о = ю ^ А о = 0,
А1 = ДА и С = 0, откуда следует, что С 21- = С д ) получим очень простые
выражения для трех неизвестных коэффициентов - С д, П1, п 3 :
ДА g^
А — (3 + 5С 2 ) + 6р С 2
А 1 6 (45)
6(1 + р ) + 5А
где А - безразмерный коэффициент,
(47)
114 0556-171Х. Проблемыг прочности, 2008, № 3
Аналитическое решение задачи Бразъе
Выражение для безразмерного изгибающего момента получаем из (37) в
виде
М = Л Х 1 —
9 А 45 А 2
-= + ■
6 + 5 А 2(6 + 5 А)2
(48)
Выражение (48) совпадает с так называемым модифицированным реше
нием Бразье, полученным для изначально прямой трубы (такое решение
приведено, например, в [18]), за исключением того, что в (48) в коэффициент
А входит множитель 1 — А .
Более точное аналитическое решение может быть получено с доста
точной инженерной точностью, если упростить выражение g 2 (43а). Его
анализ показывает, что наибольшее влияние на решение оказывает слага
емое п С 2 , которое имеет наименьший порядок малости. Учитывая в П1
(36а) только максимальный член, получаем
А
g 2 = 54 о А Л С 2. (49)
Тогда выражение для С д (45) можно записать в виде
АЛ „ „
А — (3 — 4С2 ) + 6р С 2
Л1
6(1+ р ) + 5А — 9А
АЛ • (50)
Выражение для изгибающего момента определяется согласно (37), и
при Л о = 0, С | = 0 получим
М = Л1 1—
9А
- ^ + ■
45А"
6 — 4А 2(6— 4А)2 (51)
Сопоставим результаты, полученные по выражениям (48) и (51), с при
веденными в литературных источниках. В представленных ниже примерах
положим, что давление р = 0.
На рис. 4 показано изменение значений безразмерного изгибающего мо
мента в зависимости от прироста параметра гибкости АЛ = Л 1 — Л 0 для
идеально круглой прямой трубы, т.е. при Л 0 = 0. Видно, что результаты, по
лученные на основе уточненного решения (51) в первом приближении, хоро
шо согласуются с известными данными [17]. Модифицированное решение
Бразье (48) дает завышенное значение критического изгибающего момента.
В табл. 1 представлены значения критического изгибающего момента
М кр для труб с начальной кривизной оси. Между данными, приведенными
ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2008, № 3 115
И. В. Орыняк, С. А. Радченко
В [17, 32] И полученными С ПОМОЩЬЮ уточненного решения ДЛЯ С д (50),
наблюдается хорошее соответствие. Как и следовало ожидать, с увеличе
нием гибкости значения М кр уменьшаются.
Т а б л и ц а 1
Значения критического изгибающего момента М кр для трубы
с начальной кривизной оси
Х0 М кр
Полученные
результаты
Литературный источник
[32] [17]
0 0,322 - 0,321
0,1 0,282 0,281 0,285
0,2 0,247 0,254 0,254
0,5 0,167 0,191 0,190
Рис. 4. Изменение безразмерного изгибающего момента в зависимости от кривизны трубы
при 1о = 0: 1 - уточненное решение (51); 2 - данные [17]; 3 - модифицированное решение
Бразье (48).
Оценим влияние коэффициента С | на критический изгибающий мо
мент. Рис. 5 иллюстрирует зависимость нормированного критического изги
бающего момента т = М / М кр от С | при X 0 = 0, где М кр - значение
критического безразмерного изгибающего момента при С 2 = 0 и р = 0.
График получен на основе уточненного решения для С д (50), для которого
М кр = 0,322. Очевидно, что при положительных значениях С Д потеря устой
чивости происходит при больших величинах критического момента. Это
116 0556-171Х. Проблемыг прочности, 2008, N2 3
Аналитическое решение задачи Бразъе
связано с тем, что с увеличением С | растет момент инерции в направлении
действия изгибающего момента, что повышает жесткость сечения.
В табл. 2 представлены рассчитанные на основе уточненного решения
значения критического изгибающего момента М кр для труб с начальной
кривизной оси Я о при разных С | . Как следовало ожидать, с увеличением
начальной кривизны значения критического момента уменьшаются.
Т а б л и ц а 2
Значения критического изгибающего момента М кр для трубы
с начальной кривизной оси при разных значениях С2
Яо М кр при С2Н, равном
-0,2 -0,1 0 0,1 0,2
0 0,129 0,209 0,322 0,478 0,688
0,1 0,108 0,179 0,282 0,427 0,625
0,2 0,090 0,153 0,247 0,382 0,569
0,5 0,049 0,093 0,167 0,279 0,445
т
2 5 -
1 5 -
0,5 -
----------9 -
0,25 -0,2 -0,15 -0,1 -0,05 0 0,05 0,1 0,15 0,2 С "
Рис. 5. Приведенный момент т в зависимости от начальной кривизны С2 при Яо = 0.
3.2. А нализ пот ери уст ой чи вост и т рубы при внеш нем давлении. Вопро
су закритического поведения трубы посвящено недостаточно исследований.
В основном рассматриваются линеаризированные уравнения относительно
внешнего давления и определяется область существования решения (так
называемый бифуркационный подход). Полученные выше решения (см. напр.,
уравнения (46)-(48)) также имеют бифуркационный характер. Из них сле
дует известное решение Бертхофа-Грасса [33] о внешнем давлении, при
ISSN 0556-171Х. Проблемыг прочности, 2008, № 3 117
И. В. Орыгняк, С. А. Радченко
котором происходит потеря устойчивости трубы, т.е. при р = — 1. Недостат
ки бифуркационных решений известны: они дают некоторую условную
точку, но не описывают, что в ней происходит. Задача Бразье предусматри
вает описание решения для закритического поведения трубы, в то время как
бифуркационное решение - докритического ее поведения. Объединение
таких двух подходов в одном решении, как это обычно делается [13, 34],
по-видимому, неправомерно.
Полученные уравнения (42) позволяют проанализировать закритичес-
кое поведение оболочки при потере устойчивости от действия внешнего
давления. При этом следует принять, что коэффициенты п1, п 3 , отвеча
ющие за уравновешивание внешнего изгибающего момента, равны нулю.
Отметим, что для решения данной задачи недостаточно проанализировать
одно уравнение (42а). Необходимо учитывать также коэффициент С д . Для
изначально прямой трубы с идеально круглым сечением из (42) и (43)
получим
С 2(1 + р ) — 330С д с д — 9(С 2д ) 3 = 0; (52а)
С д = — с 4 =
3(С 2д ) 2
20(5+ р ).
(52б)
Тогда запишем
с д = 2(1 + р )(5 + р )
9(1 — 2 р )
С 4д =
1+ р
30(1 — 2 р ) '
(53)
Сопоставим полученное решение с приведенными в [29, 35]. На рис. 6
приведена зависимость радиального перемещения д от внешнего безраз
мерного давления д в зоне р < — 1. График построен в нормированных
координатах д/ я 0 и д = р / р кр ,гд е р кр = —1. Видно, что предложенное
аналитическое решение уже в первом приближении лучше согласуется с
численными результатами [29], чем решение [35].
3.3. С овм ест н ое н агруж ен и е внеш ним и згибаю щ им м ом ен т ом и д а вл е
нием. Объединим подходы, описанные в пп. 3.1 и 3.2, для анализа задачи
Бразье с учетом внешнего давления.
Полная процедура решения подобна описанной в п.3.1, за исключением
дополнительного учета коэффициента С д (52б), необходимого для описа
ния закритического поведения при внешнем давлении. С учетом коэффи
циента С д выражение для нелинейного члена g 2 (43а), входящего в (42а),
запишем в виде
g 2 = 324С 2д(10С 4 — С 2) — 15120С «С 2 — 54 А ДАС 2 . (54)
118 1ББМ 0556-171Х. Проблемыг прочности, 2008, N 3
Аналитическое решение задачи Бразъе
0,7
0,6
0,4
0,3
0,2
0,1
- — 1
"" 2
/ ̂
// у / /
/ / (/у
1,1 1.2 1,3 1,4 Я.
Рис. 6. Зависимость перемещения точек поперечного сечения от внешнего безразмерного
давления: 1 - наши результаты; 2 - данные [29]; 3 - данные [35].
Тогда из (42а) для С Д получим следующее выражение:
С д = -С 2
ДА „ „
А — ( 3 - 4С 2 ) + 6С 2Н р
А1___________________
_ ДА — ’
6(1 + р ) + 5А - 9^ — + Я 2
А1
(55а)
где
— 81Сд (С 2 + С2д ) + [54(5+ р ) - 378](С2Н + С2д )2 _
Я 2 = - ------------------------------Т Г = ------------------------------. (55б)5 + р
Для определения значения С 2 (55а) можно использовать итерационную
процедуру, как и для решения выражения (45).
Однако прежде, чем перейти к решению уравнений (55), рассмотрим,
насколько изменится решение задачи Бразье при отсутствии внутреннего
давления с использованием уточненного значения я 2 по уравнению (55).
Анализ уравнения (37) с учетом (55) показывает, что для идеально круглой
прямой трубы при расчете по (45) и (55а) значения С д = 0,322 и 0,324
соответственно. Разница между полученными значениями несущественна, и
та часть выражения (55б), которая ответственна за учет внешнего давления,
слабо влияет на критический момент в задаче Бразье.
Построим зависимость критического изгибающего момента от давления
в нормированных координатах т и д (рис. 7). График представляет собой
предельную кривую 1, характеризующую комбинацию нагружения, при
водящего к потере устойчивости. Для точек, которые лежат в плоскости,
ограниченной этой кривой, уровень нагружения по моменту и давлению не
ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2008, № 3 119
И. В. Орыняк, С. А. Радченко
т
2
1
з \
О 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 С]
Рис. 7. Предельные кривые при совместном действии изгибающего момента и давления для
прямой трубы: 1 - наши результаты; 2 - данные [29]; 3 - данные [34].
т
----- !----- !----- ,----- !----- ,----- ,----- !----- ,----- !—е-1----- ,----- ,----- !----- !----- !----- !-----
-2 -1,8 -1,6 -1,4 -1,2 -1 -0,8 -0,6 -0,4 -0,2 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 д
Рис. 8. Предельные кривые при совместном действии изгибающего момента и давления для
прямой трубы при разных значен иях С2: 1 - С2 = 0; 2 - С2 = 0,05; 3 - С2 = 0,1; 4 -
С2Н = -0,05; 5 - С2 = -0,1.
соответствует потере устойчивости. Точкам ад кривой соответствует такая
комби ация агрузок, при которых потеря устойчивости трубы еизбеж а.
На рис. 7 показаны также зависимости, полученные численным реше-
ием [29] и по да ым, которые впервые приведе ы в [34], а затем в [13],
описываемым такой зависимостью:
т 2 + q = 1. (56)
12 0 1ББМ 0556-171Х. Проблемыг прочности, 2008, № 3
Аналитическое решение задачи Бразъе
В области q < 0 (внутреннее давление) все графики практически совпа
дают, поэтому на рис. 7 они приведены для области q > 0. Отметим, что
зависимость, тождественная (56), получена из решений, представленных в
п. 3.1. Из рис. 7 видно, что характер аналитического решения приближается
к численному [29]. Однако при p < — 1 точность решения ухудшается, хотя в
самой точке p = — 1 наблюдается хорошее соответствие между точным
численным и настоящим приближенным аналитическим решениями.
На рис. 8 приведены графики, полученные для разных значений С f .
При С 2 > 0, начиная с некоторого значения внешнего давления, наблюда
ется подкрепляющий эффект. Это связано с тем, что внешнее давление при
отсутствии изгибающего момента увеличивает суммарное значение С 2 =
= С 2 + С 2д.
Заключение. Получил развитие предложенный ранее авторами анали
тический подход к решению задачи Сен-Венана для кривой трубы и анали
зируются геометрически нелинейные эффекты, связанные с учетом увели
чения овализации сечения трубы при деформировании. Впервые в аналити
ческой постановке учитываются все возможные геометрические (начальная
кривизна оси и формы поперечного сечения) и силовые (внешний изгиба
ющий момент, внутреннее и внешнее давление) факторы. Кроме того, внеш
нее давление учитывается при описании закритического поведения, что
позволило увеличить область докритического состояния трубы.
В рамках последовательного усложнения задачи удалось определить
минимально необходимый уровень сложности, позволяющий адекватно опи
сать все известные явления и приближенные решения, связанные с задачей
Бразье. Эффективность метода проиллюстрирована на примерах. Получено
удовлетворительное согласование настоящих данных с приведенными в
литературных источниках.
Р е з ю м е
Запропоновано аналітичний метод розв’язку геометрично нелінійної задачі
Бразьє для тонкостінних труб із початковою недосконалістю форми попереч
ного перерізу за дії тиску. Отримано геометричні рівняння, що зв’язують
компоненти переміщень із деформаціями, та рівняння рівноваги, які врахову
ють зміну кривизни перерізу труби й її осі. Наведено розв’язок у першому
наближенні за безрозмірним параметром гнучкості, точність якого проілюст
ровано на великій кількості прикладів. Для випадку спільної дії зовнішнього
згинального моменту й тиску отримано граничну криву критичного значен
ня моменту в залежності від величини тиску.
1. П Н А Э Г -7 -0 0 2 -8 6 . Нормы расчета на прочность оборудования и трубо
проводов атомных энергетических установок. - М.: Энергоатомиздат,
1989. - 525 с.
2. A S M E Boiler and Pressure Vessel Code. - New York, 2004.
3. A P I 57 9 . Recommended Practice Fitness-for-Service, First Edition. -
American Petroleum Institute, January 2000.
ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2008, № 3 1 2 1
И. В. Орыняк, С. А. Радченко
4. О ры няк И. В ., Б о гд а н А. В ., Б ороди й М . В. и др . Использование
категоризации напряжений и деформационных критериев при оценке
прочности магистральных трубопроводов // Экотехнологии и ресурсо
сбережение. - 2007. - № 4. - С. 1 2 - 2 3 .
5. K a rm a n Th. Über die Formänderung dünnwandiger Röhre, insbesondere
federnder Ausgleichröhre // Z. Ver. Ing. - 1911. - 55. - P. 1889 - 1895.
6. B eskin L. Bending of curved thin tubes // J. Appl. Mech. - 1945. - 12, No. 1.
- P. 1 - 7.
7. C la rk R. A. a n d R e issn er E . Bending of curved tubes // Adv. Appl. Mech. -
1951. - 2. - P. 93 - 122.
8. C ro ss N. Experiments on short-radius pipe-bends: Proc. Inst. Mech. Eng. -
1952-1953. - 1B, No. 10. - P. 465 - 479.
9. T im oshenko S. P . Bending stresses in curved tubes of rectangular cross
section // Trans. ASME. - 1923. - 45. - P. 135 - 140.
10. Ф ео д о сьев В. И . Упругие элементы точного приборостроения. - М.:
Оборонгиз, 1949. - 341 с.
11. C la rk R ., G ilro y T., a n d R e issn er E . Stresses and deformations of toroidal
shells of elliptical cross sections // J. Appl. Mech. - 1952. - 19. - P. 37 - 48.
12. К ост овец ки й Д . Л . Прочность трубопроводных систем энергетических
установок. - Л.: Энергия, 1973. - 264 с.
13. А к сел ьр а д Э. Л . Гибкие оболочки. - М.: Наука, 1976. - 376 с.
14. А к сел ьр а д Э. Л ., И льин В. П . Расчет трубопроводов. - Л.: Машино
строение, 1972. - 240 с.
15. W hatham J. F. Analysis of pipe bends with symmetrical noncircular cross
sections // J. Appl. Mech. - 1987. - 54. - P. 604 - 610.
16. B ra z ie r L. G. On the flexure of thin cylindrical shells and other thin sections
// Proc. Roy. Soc. Ser. A. - 1927. - 116, No. 773. - P. 104 - 114.
17. K u zn e tso v V. V. a n d L evya k o v S. V. Nonlinear pure bending of toroidal shells
of arbitrary cross section // Int. J. Solids Struct. - 2001. - 38. - P. 7343 -
7354.
18. K a ra m a n o s S. A . Bending instabilities of elastic tubes // Ibid. - 2002. - 39. -
P. 2059 - 2085.
19. R e issn er E . On finite bending of pressurized tubes //J. Appl. Mech. - 1959. -
26. - P. 386 - 392.
20. C h w alla E. Reine Biegung schlanker, dünnwandiger Röhre mit gerader
Achse // ZAMM. - 1933. - 13. - P. 48 - 53.
21. K o n o v a lo v Yu. V. Bending of an infinite cylindrical shell // Prikl. Mat. Mekh.
- 1940. - 4. - P. 35 - 54.
22. П апкович П. Ф. Труды по строительной механике корабля. - Л.: Суд-
промгиз, 1962.
23. K afka P. G. a n d D unn M . B. Stiffness of curved tubes with internal pressure
// J. Appl. Mech. - 1956. - 23, No. 2. - P. 247 - 254.
122 ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2008, № 3
Аналитическое решение задачи Бразъе
24. R odabau gh E. a n d G eo rg e H . Effect of internal pressure on flexibility and
stress-intensification factors of curved pipe or welding-elbows // Trans.
ASME. - 1957. - 79. - P. 939 - 948.
25. L u b is A. a n d B o y le J. T. The pressure reduction effect in smooth piping
elbows: revisited // Int. J. Press. Vess. Piping. - 2004. - 81, No. 2. - P. 119 -
125.
26. О рът як И. В ., Р адч ен к о С. А . Анализ деформаций гиба трубы на основе
смешанного подхода. Сообщ. 1. Пространственный изгиб по Сен-Вена-
ну // Пробл. прочности. - 2004. - № 3. - С. 23 - 51.
27. О ры няк И. В ., Р адч ен к о С. А . Анализ деформаций гиба трубы на основе
смешанного подхода. Сообщ. 2. Пространственный изгиб с учетом
внутреннего давления // Там же. - № 4. - С. 46 - 59.
28. О ры няк И. В ., Р адч ен к о С. А . Анализ деформаций гиба трубы на основе
смешанного подхода. Сообщ. 3. Расчет перемещений оси гиба методом
начальных параметров // Там же. - № 5. - С. 23 - 35.
29. О риняк I , Б о гд а н А . Числова процедура розрахунку геометрично не-
лшшно! задачi Сен-Венана для пружно! замкнуто! оболонки з круговою
вксю // Машинознавство. - 2006. - № 7. - С. 23 - 32.
30. G u arracin o F. On the analysis of cylindrical tubes under flexure: theoretical
formulations, experimental data and finite element analysis // Thin-Walled
Struct. - 2003. - 41. - P. 127 - 147.
31. O ryn yak I. V. a n d R adch en ko S. A . Analytical and numerical solution for a
elastic pipe bend at in-plane bending with consideration for the end effect //
Int. J. Solids Struct. - 2007. - 44. - P. 1488 - 1510.
32. B o y le J. T. The finite bending of curved tubes // Ibid. - 1981. - 17. - P. 515
- 529.
33. Г ри гол ю к Э. И ., К а б а н о в В. В. Устойчивость оболочек. - М.: Наука,
1978. - 360 с.
34. W ood J. D . The flexure of a uniformly pressurized, circular, cylindrical shell
// Trans. ASME. - 1958. - 25. - P. 453 - 458.
35. К и ри ак и дес К. П ., Б эб к о к Ч. Д . Явление распространения вмятин в
трубопроводах. Потеря устойчивости и выпучивание конструкций: тео
рия и практика / Под ред. Дж. Томпсона и Дж. Ханта: Пер. с англ. под
ред Э. И. Григолюка. - М.: Наука, 1991. - 424 с.
Поступила 15. 02. 2007
ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2008, № 3 123
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-48256 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0556-171X |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T15:15:44Z |
| publishDate | 2008 |
| publisher | Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Орыняк, И.В. Радченко, С.А. 2013-08-17T13:01:52Z 2013-08-17T13:01:52Z 2008 Аналитическое решение задачи Бразье для тонкостенных труб с начальным несовершенством формы поперечного сечения при действии давления / И.В. Орыняк, С.А. Радченко // Проблемы прочности. — 2008. — № 3. — С. 100-123. — Бібліогр.: 35 назв. — рос. 0556-171X https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/48256 539.4 Предложен аналитический метод решения геометрически нелинейной задачи Бразье для тонкостенных труб с начальным несовершенством формы поперечного сечения при действии давления. Получены геометрические уравнения, связывающие компоненты перемещений с деформациями, и уравнения равновесия, учитывающие изменение кривизны сечения трубы и ее оси. Приведено решение в первом приближении по безразмерному параметру гибкости, точность которого проиллюстрирована на многочисленных примерах. Для случая совместного действия внешнего изгибающего момента и давления получена предельная кривая критического значения момента в зависимости от величины давления. Запропоновано аналітичний метод розв’язку геометрично нелінійної задачі Бразьє для тонкостінних труб із початковою недосконалістю форми поперечного перерізу за дії тиску. Отримано геометричні рівняння, що зв’язують компоненти переміщень із деформаціями, та рівняння рівноваги, які враховують зміну кривизни перерізу труби й її осі. Наведено розв’язок у першому наближенні за безрозмірним параметром гнучкості, точність якого проілюстровано на великій кількості прикладів. Для випадку спільної дії зовнішнього згинального моменту й тиску отримано граничну криву критичного значення моменту в залежності від величини тиску. We propose an analytical method for solution of geometrically non-linear Brazier problem for thin-walled pipes with an initial cross-sectional malconformation subjected to pressure load. We have obtained geometrical equations linking the components of displacements with strains, as well as balance equations, which take into account variation of the pipe cross-sectional curvature and position of its axis. We provide a solution in the first approximation by the non-dimensional flexibility parameter and illustrate its adequacy by numerous examples. For the case of joint action of the external bending moment and pressure, we have obtained a limiting curve of critical moment versus pressure values. ru Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України Проблемы прочности Научно-технический раздел Аналитическое решение задачи Бразье для тонкостенных труб с начальным несовершенством формы поперечного сечения при действии давления Analytical solution of the brazier problem for thin-walled pipes with an initial cross-sectional malconformation subjected to pressure load Article published earlier |
| spellingShingle | Аналитическое решение задачи Бразье для тонкостенных труб с начальным несовершенством формы поперечного сечения при действии давления Орыняк, И.В. Радченко, С.А. Научно-технический раздел |
| title | Аналитическое решение задачи Бразье для тонкостенных труб с начальным несовершенством формы поперечного сечения при действии давления |
| title_alt | Analytical solution of the brazier problem for thin-walled pipes with an initial cross-sectional malconformation subjected to pressure load |
| title_full | Аналитическое решение задачи Бразье для тонкостенных труб с начальным несовершенством формы поперечного сечения при действии давления |
| title_fullStr | Аналитическое решение задачи Бразье для тонкостенных труб с начальным несовершенством формы поперечного сечения при действии давления |
| title_full_unstemmed | Аналитическое решение задачи Бразье для тонкостенных труб с начальным несовершенством формы поперечного сечения при действии давления |
| title_short | Аналитическое решение задачи Бразье для тонкостенных труб с начальным несовершенством формы поперечного сечения при действии давления |
| title_sort | аналитическое решение задачи бразье для тонкостенных труб с начальным несовершенством формы поперечного сечения при действии давления |
| topic | Научно-технический раздел |
| topic_facet | Научно-технический раздел |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/48256 |
| work_keys_str_mv | AT orynâkiv analitičeskoerešeniezadačibrazʹedlâtonkostennyhtrubsnačalʹnymnesoveršenstvomformypoperečnogosečeniâprideistviidavleniâ AT radčenkosa analitičeskoerešeniezadačibrazʹedlâtonkostennyhtrubsnačalʹnymnesoveršenstvomformypoperečnogosečeniâprideistviidavleniâ AT orynâkiv analyticalsolutionofthebrazierproblemforthinwalledpipeswithaninitialcrosssectionalmalconformationsubjectedtopressureload AT radčenkosa analyticalsolutionofthebrazierproblemforthinwalledpipeswithaninitialcrosssectionalmalconformationsubjectedtopressureload |