Решение пространственной задачи теории упругости в перемещениях для изотропного упругого слоя
Предлагается новый метод решения пространственной задачи теории упругости для слоя в
 перемещениях. В рамках данного подхода удовлетворять граничные условия на поверхностях
 слоя гораздо проще, чем при использовании известных способов. Рассмотрен пример, который
 доведен до ч...
Saved in:
| Published in: | Проблемы прочности |
|---|---|
| Date: | 2008 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України
2008
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/48262 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Решение пространственной задачи теории упругости в
 перемещениях для изотропного упругого слоя / Н.М. Бородачев, В.В. Астанин // Проблемы прочности. — 2008. — № 3. — С. 38-46. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860241575709245440 |
|---|---|
| author | Бородачев, Н.М. Астанин, В.В. |
| author_facet | Бородачев, Н.М. Астанин, В.В. |
| citation_txt | Решение пространственной задачи теории упругости в
 перемещениях для изотропного упругого слоя / Н.М. Бородачев, В.В. Астанин // Проблемы прочности. — 2008. — № 3. — С. 38-46. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Проблемы прочности |
| description | Предлагается новый метод решения пространственной задачи теории упругости для слоя в
перемещениях. В рамках данного подхода удовлетворять граничные условия на поверхностях
слоя гораздо проще, чем при использовании известных способов. Рассмотрен пример, который
доведен до численных результатов.
Запропоновано новий метод розв’язку просторової задачі теорії пружності
для шару в переміщеннях. У рамках даного підходу задовольнити граничні
умови на поверхнях шару набагато простіше, ніж при використанні відомих
способів. Розглянуто доведений до числових результатів приклад.
We propose a new method of solving the elastic
theory spatial problem for a layer in displacements.
Within framework of this approach it is
much easier to satisfy the boundary conditions
on the layer surfaces, as compared to other
known techniques. We discuss an example, for
which we provide numeric results.
|
| first_indexed | 2025-12-07T18:30:08Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 539.3
Реш ение пространственной задачи теории упругости в
перемещениях для изотропного упругого слоя
Н. М. Бородачев, В. В. Астанин
Национальный авиационный университет, Киев, Украина
Предлагается новый метод решения пространственной задачи теории упругости для слоя в
перемещениях. В рамках данного подхода удовлетворять граничные условия на поверхностях
слоя гораздо проще, чем при использовании известных способов. Рассмотрен пример, кото
рый доведен до численных результатов.
К л ю ч е в ы е с л о в а : теория упругости в перемещениях, упругий слой, вектор
перемещений, гармонический вектор, гармонический скаляр, преобразова
ние Фурье.
Введение. В настоящее время для решения пространственных задач
теории упругости в перемещениях широко используется представление Пап-
ковича-Нейбера. Однако при этом возникают серьезные трудности в случае
удовлетворения граничным условиям, если они являются сложными. На это
обстоятельство указывал Папкович в работе [1].
Предлагаемое решение позволяет сравнительно просто удовлетворять
граничные условия для упругого полупространства и упругого слоя конеч
ной толщины. Обзор работ, посвященных исследованию упругого слоя,
содержится в [2 - 6 ].
Рассматривается изотропный упругий слой [0< х з < И]. Воспользуемся
прямоугольной системой координат х 1, х 2 , х з, ось х з которой перпенди
кулярна к граничным поверхностям тела. Для задачи в перемещениях имеем
такие граничные условия:
при X3 = 0 а 3 .■ = / . . ( X 1 , X2 ), у = 1,2,3;
при = к
'3 у
а 3 у = / к (Х ь Х 2 X
и 3 = 8 3 (Х Ь Х 2 X
у = 1, 2,
(1)
где а .у - компоненты тензора напряжений; и 3 - проекция вектора пере
мещений на ось х 3 . Полагаем, функции / ® и / ^ таковыми, что удовле
творяются все шесть уравнений статики.
Для обеспечения затухания компонент вектора перемещений и тензора
напряжений на бесконечности необходимо, чтобы функции / ° имели не
нулевое значение в конечных областях ^ 0 плоскости х 3 = 0 , а функции / к
и 8 3 - в конечных областях ^ к плоскости х 3 = к.
Дифференциальное уравнение пространственной задачи теории упру
гости в перемещениях при отсутствии объемных сил имеет вид [7]
© Н. М. БО РО Д А Ч ЕВ , В. В. А С ТА Н И Н , 2008
38 0556-171Х. Проблемы прочности, 2008, № 3
Решение пространственной задачи теории упругости
Ди +
1
1 - 2г
У( V • и ) = 0, (2)
где и - вектор перемещений; V - коэффициент Пуассона; Д - оператор
3 3Лапласа в К ; V - набла-оператор в К .
Требуется построить решение уравнения (2), удовлетворяющее гранич
ным условиям (1).
Решение для упругого слоя. В [8] показано, что уравнение (2) будет
удовлетворено, если для вектора перемещений и принять следующее пред
ставление:
1
и = в " 2 ( 1 ^ х з ̂ ■ (3)
где
ДВ = 0; Др = 0;
др 2 (1- 2у )
3 -
^ В . (4)
Таким образом, формула (3) определяет вектор перемещений и через
гармонический вектор В и гармонический скаляр р , связанные между
собой третьим соотношением (4).
В компонентах декартовой системы координат выражение (3) имеет вид
иі = В і — ал з
и 2 = В 2 — ал з
др
дл і ;
др
дл 2 ;
др
дл 3
(5)
1
а =
2(1 — 2у ) '
С помощью формулы (5) и известных соотношений между компонен
тами тензора напряжений и вектора перемещений находим
а 11 = 2л
1 — 2v дл 3 дл дл
/
а 22 = 2л
а 33 = 2л
/
а 12 = Л
V др дВ 2 д2 р^
Н---------- ал
1 — 2v дл 3 дл 2 "3 д 2 дл 2 /
/ 1 др дВ 3 д2 р
+ -— — ал
2 дл 3 дл 3 "3 д 2 дл23 /
дл 2 дл1
2
д 2 р
дл 1дл 2
(6а)
ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2008, № 3 39
Н. М. Бородачев, В. В. Астанин
/
0 23 - Л
дБ 2 дБ з
2 +■ 3
\ дх 3
а -
/
О 31 — Л
дБ 3 , дБ1н----------а
\ дх1 дх 3
др
дх 2
др
дх 1
■ 2ах 3
— 2ах 3
2
д 2 р
дх 2дх 3
2
д 2 р
дх 1дх 3 у
(66)
где О у - компоненты тензора напряжении; л - модуль сдвига.
Ниже будет использоваться двухмерное интегральное преобразование
Фурье. Двухмерная трансформанта Фурье некоторой функции / (х 1, х 2 , х 3)
имеет вид [9]
1 СО м
/ ( £ 1, £ 2 , х 3 ) - 2 ^ / / / (х 1’ х 2 ’ х 3)е ' ^ ̂ 2х2) ̂ 1 ̂ 2-
— О —О
Применим к выражениям (5) и (6) двухмерное преобразование Фурье и
с учетом затухания перемещении и напряжении на бесконечности получим
Ы1 — Б 1 + г£ 1ах 3 р;
й 2 — Б 2 + г'£ 2 ах 3 р ;
_ — др
и 3 — Б 3 — ах 3 ^— ;
дх 3
(7)
_ I V др — 2 _
0 11 — 2л\Т—2у — 1Б 1 + £ 1 а х 3р
- I V др , — , 2 _
° 2 2 — 2 |Л|Т—2у дх 2 2Б 2 Н £ 2а х 3 р
_ 1 др дБ 3 д2 р
о 33 — 2 л — т~— + 1— — ах
\ 2 дх 3 дх 3 3 2дх 3 У
0 12 — л ( г£ 2Б 1 г£ 1Б 2 Н 2£ 1£ 2а х 3р);
_ I дБ 2 — _ др
О 23 — Л| “— — £ 2 Б 3 + 2'£ 2 а р + 2г£ 2 ах 3 — \ дх 3 дх
— \
3 У
/
0 31 — Л
— дБ— дБ 1 _
1£ ТБ 3 н---------н 1£ та р + 2 г'£ тах 3
др
дх дх 3 У
(8)
Каждая компонента Б у гармонического вектора В удовлетворяет урав
нению Лапласа
ДБ у — 0, у — 1,2,3. (9)
ГармоническиИ скаляр р также удовлетворяет уравнению Лапласа
Др — 0. (10)
40 ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2008, № 3
3
Решение пространственной задачи теории упругости
Применяя к уравнениям (9) и (10) двухмерное преобразование Фурье и
решая полученные обыкновенные дифференциальные уравнения, находим
В у (£ 1 , £ 2 , х з ) = А у (£ 1 , £ 2 Ж кк з ) + С у ( £ 1, £ 2 )сИ кх з ); (11)
Р (£ 1, £ 2 , х 3 ) = А0 (£ 1 , £ 2 Ж кх3 ) + С 0 (£ 1, £ 2 )сН кх3 ), (12)
где к 2 = £ 2 + £2 , У = 1,2, 3.
Удовлетворение граничны м условиям. Преобразованные по Фурье
граничные условия (1) принимают следующий вид:
при х 3 = 0 о 3 у = /у 0 (£ь £ 2 ), у = 1 ,2 ,3 ;
при х 3 = к - о 3У = (£ 1, £ 2 ), у = 1 2 (13)
и3 = ё 3 (£ 1, £ 2 ),
С помощью формул (7), (8), (11), (12) при удовлетворении условиям
(13) получим систему уравнений:
/ °
кА1 — 1£ 1С 3 + 1£ 1а С 0 = ;
М
. . / 2
кА2 — г£ 2С 3 + г£ 2а С 0 = ;
/ 30
2кА 3 — кА0 = ---- ;
к[А1сИ( к к ) + С ̂ И( к к )]— 1£ 1[А38И( к к ) + С 3сИ( к к )] +
/ к
+ 1£ 1«{А0 ^ ( к к ) + 2кк сИ( к к )] + С 0 [сИ( к к ) + 2кк 8И( к к )]} = - 1—;
к[( А2сИ( к к ) + С ̂ И( к к ))] — 1£ 2 [А^И( к к ) + С 3сИ( к к )] +
/ к
+ г£ 2 «{А0 ^ ( к к ) + 2кк сИ( к к )] + С 0 [сИ( к к ) + 2кк 8И( к к )]} = ;
А38И( к к) + С 3сИ( кк) — акк[А0сИ( к к ) + С ̂ И( кк )]= ё 3 ;
к С 0
1£ 1А 1 + 1£ 2 А 2 — к С 3 + _ = 0;
кА 0
1£ ХС 1 + г'£ 2С 2 — кА 3 + “ ^ = 0 ,
где
= 1 Л = 2(1 — 2у )
“ 2(1 — 2у ) ; Р 3 — 4у ;
в е л и ч и н ы / 10 , / 2 , / 30 , / 1к , / 2 , ё з п о л а г а е м и з в е с т н ы м и .
/ХОТ 0556-171Х. Проблемы прочности, 2008, № 3 41
Н. М. Бородачев, В. В. Астанин
При получении двух последних уравнений (14) использовали третье
соотношение из (4), преобразованное по Фурье. Решая систему уравнений
(14), находим величины А0, С 0, А1, С 1, А2, С 2 , А3 , С 3 . (Выражения для
этих величин в общем виде не приведены из-за громоздкости. Более де
тально их определение бедет рассмотрено на примере.) Затем по формулам
(11), (12) восстанавливаем трансформанты Фурье гармонических функций
В ] (£ 1, £ 2 , *3 ), ] = 1, 2, 3 и р (£ 1 , £ 2 , *3 ). И наконец, по формулам (7), (8)
определяем трансформанты Фурье компонент вектора перемещений и тен
зора напряжений. Чтобы получить окончательные формулы для перемеще
ний и напряжений, следует применить теорему обращения для двухмерного
преобразования Фурье. В некоторых случаях оказывается полезной также
теорема о свертках для этого преобразования.
Систему уравнений (14) можно решить в символьном виде на ЭВМ с
использованием правила Крамера.
П рим ер. Рассмотрим упругий изотропный слой толщиной к (0< х 3 < к),
расположенный на жестком недеформируемом основании. Полагаем, что
силы трения между слоем и основанием отсутствуют. Упругий слой сжи
мается нормальными усилиями, равномерно распределенными по квадрату,
расположенному в плоскости х 3 = 0 (рис. 1). Каждая сторона квадрата
равна 2 а.
р
Рис. 1. Схема нагружения упругого слоя: а - поперечное сечение; б - в плане.
В данном случае в граничных условиях (1) принимаем
/ 10 = / 20 = / 1к = / 2 = 8 к = 0;
о [1 при |х 1|< а , | х2 |< а ; (15)
(х ь х2) ^ | 0 при | х а , | х2 |> а.
42 0556-171Х. Проблемы прочности, 2008, N2 3
Решение пространственной задачи теории упругости
С учетом соотношений (15) получим
f 10 = f 2 = f Ih = f 2 = g 3 = 0;
TO TO
f 30 (£ 1, £ 2 ) = 2 ^ / / f 30(x Ь x 2 ) ̂ (£1 x1+£2%2)dx 1 d x 2 =
— TO —TO
a a
= — 2 Л ^ ^ ^ (£1 X1+£2X2)dx 1dx2
(16)
В результате вычисления этого интеграла находим
2p sin а£ 1 sin а£ 2
л £ 1£ 2
(17)
При решении системы уравнений (14) с учетом соотношений (16), (17)
имеем
A1 = — 8o(1 — 3v + 2v 2 )i£ 1k 5sh3( k h );
C 1 = 8o i£ 1k 5sh( kh )[—(1 — v )kh + (1 — 3v + 2v 2 )sh( kh )ch( kh )];
A 2 = — 8o(1 — 3v + 2v 2 )i£ 2 k 5sh3( kh);
C 2 = 8oi£ 2 k 5sh( k h )[—(1 — v )kh + (1 — 3v + 2v 2 )sh( kh )ch( k h )];
A3 = 8o(1 — v)k sh(kh )[kh + 2(1 — v)sh(kh )ch(kh )];
C 3 = —16o(1—v ) 2 k 6sh3( kh );
A0 = 16o(1 — v )(1 — 2v )k 6sh2( kh )ch( k h );
C 0 = — 16o(1 — v )k 7sh( kh )[kh + sh( kh )ch( kh )],
(18)
где
2 p sin a£ 1 sin a£ 2
£ 1£ 2
(19)
D = 16(1 — v)k sh(kh)[kh + sh(kh )ch(kh )]. (20)
Подставим соотношения (18) в выражения (11) и (12). В результате
получим формулы для определения трансформант Фурье гармонических
функций В у и <р. Затем с помощью соотношений (7) и (8) находим
трансформанты Фурье компонент вектора перемещений и тензора напря
жений. Для получения окончательных формул для перемещений и напря
жений необходимо воспользоваться теоремой обращений для двухмерного
преобразования Фурье.
Чтобы показать более детально ход дальнейших вычислений, рассмот
рим определение нормального напряжения о з(* 1, х 2 , х 3 ).
ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2008, № 3 43
—а —а
Н. М. Бородачев, В. В. Астанин
Подставим в третью формулу (8) выражения для В 3 и р из (11), (12):
а 33 — 2/лк сИ(к л 3)| — ^А 0 + А 3 — а к л 3С 0 | +
+ 8Ь(кл3 ) | — 2 С о + С 3 — а(кл 3 )Ао | ■ (21)
С учетом в (21) соотношений для Ао, С о, А3 , С 3 (18) находим
- _ / 30
33 (Ё ь Ё 2 , 3) кь + 8Ь(к к )сИ(к к )
х{кксИ( кл 3 ) + §1і( кк)[сЪк( к — л 3 ) + кл 38Ък( к — л 3 )]}, (2 2 )
где величина / 30 определяется по формуле (17).
В результате применения к (22) теоремы обращения для двухмерного
преобразования Фурье получим
а 3( л l , л 2 , л 3) =
2Р Г Г — і0-1 л + Ё л ,) г п Ч Йп(аЁ 1)Йп(аЁ 2 ) ,, ,,
^ / . / . * 2 * ( к ’л 3) %1Ё 2 Р » + И Д О )] * ^ 2 - <23>
где
Р 1(к , л 3 ) = (кк)сИ(к л 3) + вЬ(к к )[сИ(к к — к л 3) + (к л 3 ^ ( к к — к л 3)].
Проведем замену переменных и введем обозначения:
л і
У і = — , і = 1 , 2 , 3 ; —г < у 1 , у 2 < г ; 0 < у 3 < £;
а
е = - ; у 1 = а% 1; у 2 = аЁ 2 ; У = (У2 + У 2)1/2.
а
Тогда формула (23) преобразуется следующим образом:
а 33 ( у 1, у 2, у 3) =
8 р ®Іп У У 2 сов( у 1У1) сов( у 2У 2 ) _ , ,
= —^ { { -------- У1У 2[*Г + * * у )]-------- Р<У’ у 3 > * 1‘* ” <24>
где
р ( У, у 3 ) = (£У)сК у у 3 ) + ^ £У)[сК £У — уу3 ) + (уу3 Ж £У — уу3 )].
44 1£ОТ 0556-171Х. Проблемы прочности, 2008, № 3
Решение пространственной задачи теории упругости
Двойной интеграл, входящий в (24), по-видимому, в общем случае
нельзя вычислить в конечном виде. Для этого необходимо применять чис
ленные методы. Можно показать [10], что формула (24) точно удовлетворяет
шестому граничному условию (15) на всей плоскости у 3 = 0.
В частном случае при у 1 = у 2 = у 3 = 0 имеем
р (У, 0 ) = ^ У + э ьр еу )],
и из формулы (24) следует
. 00 00
4 р г Г Б1П У 1 в1П У 2
а зз (0 , 0 , 0 ) = - - 2 Я У1 У 1 Оу 2 = - р.
_ 0 0 У 1у 2— '
Вычислим напряжение а 33 в ряде точек, расположенных на оси О у 3
В этом случае у 1 = у 2 = 0, и формула (24) принимает вид
а 33(0 , 0 , у 3 ) = - - 2 / /
Ж 0 0
8 р 0 0 б1п у 1 б1п у 2 Р (у , у 3 )
У1У 2 [2^У + sh(2£у)]
ОУ1ОУ 2 . (25)
Двойной интеграл, входящий в (25), вычисляли численно на ЭВМ с
помощью квадратурных формул. Верхние пределы вместо оо принимали
равными 50, при этом точными оказались первые пять значащих цифр.
Вычисления проводили при £ = 2 и 3. Тогда
а 33(0, 0 У3) = - РФ(У3) .
Графики функции ф ( у 3 ) представлены на рис. 2.
Рис. 2. Зависимость функции ф от у3: 1 - к/а = 2; 2 - к/а = 3.
ТББЫ 0556-171Х. Проблемы прочности, 2008, № 3 45
H. M. Бородачев, В. В. Астанин
Заключение. Предложен новый метод решения задачи о равновесии
упругого слоя, который позволяет более просто удовлетворять граничным
условиям. Рассмотрен пример, доведенный до числовых результатов.
Р е з ю м е
Запропоновано новий метод розв’язку просторової задачі теорії пружності
для шару в переміщеннях. У рамках даного підходу задовольнити граничні
умови на поверхнях шару набагато простіше, ніж при використанні відомих
способів. Розглянуто доведений до числових результатів приклад.
1. П апкович П. Ф. Теория упругости. - Л.; М.: Оборонгиз, 1939. - 640 с.
2. В орови ч И. И ., А л ек сан дров В. M ., Б абеш ко В. А . Неклассические
смешанные задачи теории упругости. - М.: Наука, 1974. - 455 с.
3. Грин чен ко В. Т., Улитко А. Ф. Равновесие упругих тел канонической
формы. - Киев: Наук. думка, 1985. - 280 с.
4. Л у р ь е А. И. Пространственные задачи теории упругости. - М.: Гос.
изд-во техн.-теорет. лит., 1955. - 491 с.
5. Уфлянд Я. С. Интегральные преобразования в задачах теории упру
гости. - Л.: Наука, 1967. - 402 с.
6. Ш ап и ро Г . С. О распределении напряжений в неограниченном слое //
Прикл. математика и механика. - 1944. - 8, вып. 2. - С. 167 - 168.
7. Л у р ь е А. И . Теория упругости. - М.: Наука, 1970. - 939 с.
8. Б о р о д а ч ев H. M ., А ст анин В. В . Об одном методе решения пространст
венной задачи теории упругости в перемещениях // Пробл. прочности. -
2003. - № 3. - С. 62 - 69.
9. D a v ie s B . Integral Transforms and Their Applications. - Berlin: Springer
Verlag, 1978. - 411 p.
10. Г радш т ей н И. С ., Р ы ж и к И. M . Таблицы интегралов, сумм, рядов и
произведений. - М.: Наука, 1971. - 1108 с.
Поступила 20. 12. 2006
46 ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2008, № 3
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-48262 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0556-171X |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T18:30:08Z |
| publishDate | 2008 |
| publisher | Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Бородачев, Н.М. Астанин, В.В. 2013-08-17T13:12:23Z 2013-08-17T13:12:23Z 2008 Решение пространственной задачи теории упругости в
 перемещениях для изотропного упругого слоя / Н.М. Бородачев, В.В. Астанин // Проблемы прочности. — 2008. — № 3. — С. 38-46. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. 0556-171X https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/48262 539.3 Предлагается новый метод решения пространственной задачи теории упругости для слоя в
 перемещениях. В рамках данного подхода удовлетворять граничные условия на поверхностях
 слоя гораздо проще, чем при использовании известных способов. Рассмотрен пример, который
 доведен до численных результатов. Запропоновано новий метод розв’язку просторової задачі теорії пружності
 для шару в переміщеннях. У рамках даного підходу задовольнити граничні
 умови на поверхнях шару набагато простіше, ніж при використанні відомих
 способів. Розглянуто доведений до числових результатів приклад. We propose a new method of solving the elastic
 theory spatial problem for a layer in displacements.
 Within framework of this approach it is
 much easier to satisfy the boundary conditions
 on the layer surfaces, as compared to other
 known techniques. We discuss an example, for
 which we provide numeric results. ru Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України Проблемы прочности Научно-технический раздел Решение пространственной задачи теории упругости в перемещениях для изотропного упругого слоя Solution of the elastic theory spatial problem in displacements for an isotropic elastic layer Article published earlier |
| spellingShingle | Решение пространственной задачи теории упругости в перемещениях для изотропного упругого слоя Бородачев, Н.М. Астанин, В.В. Научно-технический раздел |
| title | Решение пространственной задачи теории упругости в перемещениях для изотропного упругого слоя |
| title_alt | Solution of the elastic theory spatial problem in displacements for an isotropic elastic layer |
| title_full | Решение пространственной задачи теории упругости в перемещениях для изотропного упругого слоя |
| title_fullStr | Решение пространственной задачи теории упругости в перемещениях для изотропного упругого слоя |
| title_full_unstemmed | Решение пространственной задачи теории упругости в перемещениях для изотропного упругого слоя |
| title_short | Решение пространственной задачи теории упругости в перемещениях для изотропного упругого слоя |
| title_sort | решение пространственной задачи теории упругости в перемещениях для изотропного упругого слоя |
| topic | Научно-технический раздел |
| topic_facet | Научно-технический раздел |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/48262 |
| work_keys_str_mv | AT borodačevnm rešenieprostranstvennoizadačiteoriiuprugostivperemeŝeniâhdlâizotropnogouprugogosloâ AT astaninvv rešenieprostranstvennoizadačiteoriiuprugostivperemeŝeniâhdlâizotropnogouprugogosloâ AT borodačevnm solutionoftheelastictheoryspatialproblemindisplacementsforanisotropicelasticlayer AT astaninvv solutionoftheelastictheoryspatialproblemindisplacementsforanisotropicelasticlayer |