Динамическая устойчивость вязкоупругой цилиндрической панели с сосредоточенными массами
Рассматривается задача о динамической устойчивости вязкоупругой цилиндрической панели с сосредоточенными массами, основанная на гипотезе Кирхгоффа-Лява в геометрически нелинейной постановке. В уравнение движения цилиндрической панели эффект действия сосредоточенных масс вводится с использованием δ-...
Saved in:
| Published in: | Проблемы прочности |
|---|---|
| Date: | 2008 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України
2008
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/48266 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Динамическая устойчивость вязкоупругой цилиндрической панели с сосредоточенными массами / Б.X. Эшматова, Д.А. Ходжаев // Проблемы прочности. — 2008. — № 4. — С. 132-147. — Бібліогр.: 28 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859836180473839616 |
|---|---|
| author | Эшматова, Б.Х. Ходжаев, Д.А. |
| author_facet | Эшматова, Б.Х. Ходжаев, Д.А. |
| citation_txt | Динамическая устойчивость вязкоупругой цилиндрической панели с сосредоточенными массами / Б.X. Эшматова, Д.А. Ходжаев // Проблемы прочности. — 2008. — № 4. — С. 132-147. — Бібліогр.: 28 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Проблемы прочности |
| description | Рассматривается задача о динамической устойчивости вязкоупругой цилиндрической панели с сосредоточенными массами, основанная на гипотезе Кирхгоффа-Лява в геометрически нелинейной постановке. В уравнение движения цилиндрической панели эффект действия сосредоточенных масс вводится с использованием δ-функции Дирака. Задача решается с помощью метода Бубнова-Галеркина, основанного на многочленной аппроксимации прогибов, в сочетании с численным методом, базирующимся на использовании квадратурных формул. Обоснован выбор сингулярного ядра Колтунова-Ржаницына. Приведены сравнения результатов, полученных по различным теориям. Во всех задачах исследована сходимость метода Бубнова-Галеркина. Показано влияние вязкоупругих свойств материала и сосредоточенных масс на процесс динамической устойчивости цилиндрической панели.
Розглядається задача про динамічну стійкість в’язкопружної циліндричної панелі зі зосередженими масами, що базується на гіпотезі Кірхгоффа-Лява в геометрично нелінійній постановці. У рівнянні руху циліндричної панелі ефект дії зосереджених мас враховується шляхом використання δ-функції Дірака. Задача розв’язується за допомогою методу Бубнова-Гальоркіна на основі багаточленної апроксимації прогинів у поєднанні з числовим методом. Обгрунтовано вибір сингулярного ядра Колтунова-Ржаніцина. Наведено порівняння результатів, що отримані за різними теоріями. У всіх задачах досліджено збіжність методу Бубнова-Гальоркіна. Показано вплив в’язкопружних властивостей матеріалу і зосереджених мас на процес динамічної стійкості циліндричної панелі.
We discuss the problem of dynamic stability of viscoelastic cylindrical panel with lumped masses, based on the Kirchhoff-Love assumption in geometrically nonlinear formulation. The effect of lumped masses is introduced into the equation of motion of the cylindrical panel by using the Dirac δ-function. The problem is solved by the Bubnov-Galerkin method, which is based on polynomial approximation of deflections, in a combination with the numerical method based on use of quadrature formulas. The choice of singular Koltunov-Rzhanitsyn kernel is substantiated. We compare results obtained using different theories. For all problems under study we analyze convergence of the Bubnov-Galerkin method. The effect of the viscoelastic properties of the material and of lumped masses on the dynamic stability process of the cylindrical panel is shown.
|
| first_indexed | 2025-12-07T15:35:09Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 539.1
Динамическая устойчивость вязкоупругой цилиндрической
панели с сосредоточенными массами
Б. X. Эш матова, Д. А. Ходжаев6
а Политехнический институт и государственный университет штата Вирджиния,
Блэксбург, США
6 Ташкентский институт ирригации и мелиорации, Ташкент, Узбекистан
Рассматривается задача о динамической устойчивости вязкоупругой цилиндрической пане
ли с сосредоточенными массами, основанная на гипотезе Кирхгоффа-Лява в геометрически
нелинейной постановке. В уравнение движения цилиндрической панели эффект действия
сосредоточенных масс вводится с использованием д-функции Дирака. Задача решается с
помощью метода Бубнова-Галеркина, основанного на многочленной аппроксимации про
гибов, в сочетании с численным методом, базирующимся на использовании квадратурных
формул. Обоснован выбор сингулярного ядра Колтунова-Ржаницына. Приведены сравнения
результатов, полученных по различным теориям. Во всех задачах исследована сходимость
метода Бубнова-Галеркина. Показано влияние вязкоупругих свойств материала и сосредо
точенных масс на процесс динамической устойчивости цилиндрической панели.
К л ю ч е в ы е с л о в а : вязкоупругая цилиндрическая панель, гипотеза Кирхгоф
фа-Лява, геометрическая нелинейность, сосредоточенные массы, д-функция
Дирака, динамическая устойчивость.
Введение. В период интенсивного развития современной промышлен
ности одной из важных задач в машиностроении и строительстве является
снижение материалоемкости конструкций машин. С целью экономии мате
риала возникает необходимость в производстве тонкостенных конструкций.
Чем тоньше элемент, тем он гибче и тем в большей мере проявляется его
склонность к выпучиванию и потере устойчивости. Последняя сопровож
дается катастрофическим развитием деформаций и, как правило, разру
шением конструкций. С этой точки зрения при производстве конструкций,
обладающих легкостью, прочностью и надежностью, наиболее приемлемо
применять материалы, позволяющие не только существенно улучшать их
эксплуатационные характеристики, но и в ряде случаев создавать конст
рукции, нереализуемые на основе традиционных материалов. При этом
достаточно сложными являются процедура расчета и проектирование конст
рукций, требующих учета их реальных свойств. В настоящее время разра
ботка эффективных алгоритмов решения нелинейных задач о динамической
устойчивости оболочек, панелей и пластин - наиболее актуальная проблема.
Пластины, панели и оболочки, на которых укреплены объекты в виде
дополнительных масс, нашли широкое применение благодаря высоким вязко
упругим и прочностным свойствам. При проектировании элементов конст
рукций актуальным является прогнозирование их динамических характе
ристик в зависимости от конфигурации, распределения масс, вязкоупругих
свойств материала и т.п.
В основном роль дополнительных масс выполняют продольные и попе
речные ребра, накладки, крепления, узлы приборов и машин [1, 2]. При тео
© Б. X. Э Ш М А ТО В , Д. А. Х О Д Ж А ЕВ , 2008
132 Й'ОТ 0556-171Х. Проблемы прочности, 2008, № 4
Динамическая устойчивость вязкоупругой цилиндрической панели
ретическом рассмотрении подобного рода задач иногда удобно интерпрети
ровать присоединенные элементы как дополнительные массы, жестко соеди
ненные с системами и сосредоточенные в точках. Известны работы [3-8], в
которых рассматривались колебания и динамическая устойчивость упругих
систем с сосредоточенными массами и задачи решались в линейной поста
новке. Исследованиям нелинейных колебаний и динамической устойчивости
упругих цилиндрических панелей, несущих сосредоточенные массы, посвя
щена, например, работа [9]. Подобные задачи о колебаниях и динамической
устойчивости упругих и вязкоупругих пластин, цилиндрических панелей и
оболочек в различных постановках без учета сосредоточенных масс рас
сматривались в [1-16].
Как известно, большинство материалов обладают ярко выраженными
вязкоупругими свойствами [17-20]. Анализ динамического поведения широ
ко применяемых в промышленности новых материалов с вязкоупругими
свойствами свидетельствует о существенном влиянии на их прочность не
однородностей типа присоединенных масс. Несмотря на имеющиеся в этой
области исследования, значительно меньше внимания уделяется особеннос
тям поведения неоднородных в инерционном отношении вязкоупругих сис
тем. В [17-20] задачи рассматривались либо с помощью дифференциальной
модели Фойгта [21, 22], либо интегральной модели Больцмана-Вольтерра,
где при расчетах в качестве ядер релаксации принимались экспоненциаль
ные ядра, которые не могут описать реальные процессы, происходящие в
оболочках, панелях и пластинах в начальные моменты времени [18, 20].
Выбор экспоненциального ядра при расчетах не случаен. Полученные при
расчетах системы интегро-дифференциальных уравнений путем дифферен
цирования сводились к обыкновенным дифференциальным уравнениям,
которые в основном решались численным методом Рунге-Кутта [19, 21].
Известные до настоящего времени методы не позволяли решать такие задачи
с сингулярными ядрами типа Колтунова, Ржаницына, Абеля, Работнова и
т.д. [18, 20].
Одна из особенностей задачи заключается в том, что после применения
метода Бубнова-Галеркина задача как в линейной, так и в нелинейной
постановке сводится к решению не распадающихся систем интегро-диффе-
ренциальных уравнений с сингулярными ядрами, исследование которых
вызывало дополнительные трудности. Благодаря разработанному числен
ному методу [23, 24], основанному на использовании квадратурных формул,
стало возможным решение этих систем. Данный метод обеспечивает доста
точно высокую точность полученных результатов, он универсален, позволя
ет решать широкий класс динамических задач теории вязкоупругости и
экономичен с точки зрения компьютерного времени [24, 25]. На его основе
было получено большое количество численных результатов [24-28], хорошо
соответствующих теоретическим и экспериментальным данным [10].
Цель работы - исследование нелинейной задачи о динамической устой
чивости вязкоупругой цилиндрической панели с сосредоточенными массами.
М атематическая модель задачи. Рассмотрим вязкоупругую пологую
круговую цилиндрическую панель из однородного изотропного материала
со сторонами а и Ь постоянной толщины И и радиусом срединной
ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2008, № 4 133
Б. Х. Эшматов, Д. Л. Ходжаев
поверхности Я с сосредоточенными массами М р в точках (х р , у р ), р = 1,
2, I (рис. 1). Пусть цилиндрическая панель подвергается динамическому
нагружению Р ( г) вдоль стороны Ь.
Рис. 1. Вязкоупругая цилиндрическая панель.
Физическую зависимость между напряжениями о х , о у , г и деформа
циями е х, е у , у в срединной поверхности, согласно модели Больцмана-
Вольтерра, примем в виде [17]
Е
= ( 1 - Г )(£х + Ц£ у ), (X ^ У),
Е
г = ; ( 1 - Г )У, (1)1 - ^ ' . у ........................ 2(1 + ^ )
% *
где Г - интегральный оператор с ядром релаксации Г(г), Г <р =
г
= / г ( ( - г )<р(г)^г; ц - коэффициент Пуассона; Е - модуль упругости;
о
здесь и далее символ (х ^ у ) обозначает, что остальные соотношения полу
чены круговой перестановкой индексов.
Связь между деформациями е х, е у , у и перемещениями и, V, w в
срединной поверхности с учетом начальной неправильности Wо = Wо(х , у )
запишем следующим образом [10]:
ди 1
£ х ~ х дх 2
і д * \2 / д*0^
2 "
_\дх ) V дх )
ду 1
£ у = д у - 1 ( * - №»)+
і д *
2
^д*0^
1
2
" V дУ У
(2)
ди ду д* д* д * 0 д * 0
7 ду дх дх ду дх ду
Изгибающие и крутящие моменты элемента цилиндрической панели с
учетом деформаций изгиба [10] и изгибных напряжений имеют вид
134 ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2008, № 4
Динамическая устойчивость вязкоупругой цилиндрической панели
М х = - Я ( 1 - Г )
д 2(ш — w 0 ) д 2(ш — ж0 )
---------2------+ л -----------------
д х ‘ ду 2
Н = —В(1 —л )(1 —Г )
д ( ш — ш0)
дхду
(3)
где В - цилиндрическая жесткость панели.
Влияние сосредоточенных масс на вязкоупругую панель носит инер
ционный характер. Учитываем эффект их действия в уравнении движения с
помощью д-функции Дирака [3]:
т = т х , у ) = р к М р д (х — х р )д(у — у р ),
р = 1
где р - плотность материала панели.
При выводе уравнений движения элемента вязкоупругой цилиндричес
кой панели с сосредоточенными массами исходим из уравнений [10]
Н\ — + —
дх ду
2д и
— т — = 0; к
( дт д о
дг
-----Ь ■
дх ду
2д V
— т — ;г = 0;
д г2
у о у д ( дш дш
- I ^ I - + к + к \ о х Ь т +
дх дхду ду К д х \ дх ду
д ( дш дш
+ к \ о у + т
ду \ у ду дх
т = 0,
(4)
где ц - сумма внешних нагрузок.
Подставляя (1) и (3) в (4), получаем
(
(1—Г )
\
д£ х _ д£ у , 1 — ^ д у
+ /Л +
дх дх 2 ду
т(1 —Л 2) д2и
Е к д 2
т(1 —/л 2) д 2V
Е к д 2
(1—Г )
у , д£ х , 1 — л ду
+ л ь
ду ду 2 дх
= 0;
= 0;
(1—Г )
1 — Л дш
к 1
12 V ( ш — ш0) — К (£ у + Л £ х )
_д_
дх
дм>
— (1—Г )(£ х + л е у) + (5)
дх
(1—Г )у
д_
ду2 ду
1 — Л 2 т (1 —л z ) д^ш
2 дх
Е к
' +
Е к д г2
дш * 1 — л дш „ *
— (1 —Г )(£ у + л £ х ) — (1—Г )у
= 0,
где £х, £ у, у имеют вид (2).
ТХОТ 0556-171Х. Проблемы прочности, 2008, N 4 135
Б. Х. Эшматов, Д. Л. Ходжаев
Если динамический процесс рассматривается без учета распростране
ния упругих волн, то в первых двух уравнениях системы (5) можно отбро
сить инерционные члены относительно и и V [10]. Введем функции напря
жения Г в виде [10] в систему (5):
д 2 Г
ду 2
д 2 Г
г = ■
д 2 Г
дхду
Тогда относительно прогиба w и функции напряжения Г получим следую
щую систему нелинейных интегро-дифференциальных уравнений типа Кар
мана [10]:
1 д 2 ГВ * 4
- ( 1 - г )У V - ^ о ) = Ц у ,, Г ) + р 2
Ь Я дх 2
Р=1
д 2 w
(™ - ^ о ) \
(6)
где
Ц V , V) = 2
2д V д 2 V 2д V
1
2
2хд ду 2 дхду )
Ц V, Г ) =
д 2 V д 2 Г д 2 Г д 2 V
-------------- Ь --------------- 2-п 2 п 2 _г 2 2 2 дх ду дх ду
д 2 V д 2 Г
дхду дхду
Выбор ядра релаксации. Практическое использование нелинейной
теории вязкоупругих систем возможно только при конкретном задании весо
вых функций, что соответствует выбору ядра релаксации при наилучшем
согласовании с экспериментом, накладывающем существенные ограничения
на аналитические выражения ядер, которые должны иметь удобную для
анализа математическую форму
Простейшее экспоненциальное ядро в большинстве случаев лишь ка
чественно объясняет реальную картину [18, 20]. Как показывают иссле
дования, интегральные соотношения наследственной теории вязкоупругости
эквивалентны линейным дифференциальным соотношениям с постоянными
коэффициентами, если ядро представляет собой сумму экспоненциальных
функций. В то же время при обработке опытных данных оказывается, что
ядра, содержащие один или несколько экспоненциальных членов, плохо
подходят для описания свойств реальных материалов. Конечно, вводя спект
ры ползучести и релаксации, можно аппроксимировать опытную кривую с
любой степенью точности, однако набор упругих и вязких элементов не
является подходящей моделью для тел с несовершенной упругостью, и для
описания их поведения следует выбирать другие функции. Поэтому прихо-
136 ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2008, № 4
Динамическая устойчивость вязкоупругой цилиндрической панели
дится делать необходимые обобщения, вводя более сложные зависимости.
Часто такое обобщение рассматривается на основе слабосингулярных функ
ций, введение которых связано со следующими обстоятельствами.
Статические исследования вязкоупругих материалов на ползучесть и
релаксацию свидетельствуют об очень большой интенсивности релаксаци
онных процессов на начальной стадии испытаний. Скорости процессов
оказываются настолько большими, что их непосредственное измерение в
начальный момент оказывается невозможным. Поэтому сами процессы при
ходится рассматривать как динамические и условно считать их скорости
равными бесконечности [18, 20].
Этот факт можно описать с помощью функций, обладающих интегри
руемой особенностью абелевого типа. Такие функции, называемые слабо
сингулярными, обеспечивают конечные деформации и напряжения в отли
чие от сильносингулярных функций, которые приводят к бесконечно боль
шим значениям. Слабосингулярные функции хорошо описывают скорости
релаксационных процессов, если содержат достаточное число параметров. К
таким ядрам относятся ядра, предложенные Работновым [20], Ржаницыным,
Колтуновым [18] и др.
Далее при расчете динамических задач воспользуемся самым простым
и в то же время достаточно общим сингулярным ядром Колтунова-Ржани-
цына с тремя реологическими параметрами (А, $ и а) вида [18] Г ( г) =
= Ав~Р*га_1 (0 < а < 1 ) .
Динамическая устойчивость вязкоупругой цилиндрической панели
с сосредоточенными массами. Допустим, что панель подвергается динами
ческому сжатию вдоль стороны Ь силой Р ( г) = ь г (V - скорость нагруже
ния) - рис. 1. Полагая, что панель шарнирно закреплена по краям, решение
системы уравнений (6), удовлетворяющее граничным условиям задачи, бу
дем искать на основе многочленной аппроксимации прогибов:
N M
п л х т л у
w ( x , у , 0 = > У w nm ( t )sin----- Sin— — ;
n = m=i a b
N M (7)
п л х т л у
w 0 ( x , у ) = 2 2 w0nm Sin----- Sm~ •
1 1 a b n=1 m =1
Подставляя (7) во второе уравнение системы (6) и приравнивая в обеих
частях коэффициенты при одинаковых гармониках тригонометрических
функций, аналогично [10] находим функцию усилий:
N M
F (x , у , 0 = Е 2 2 (1 - Г *)(w irw js - w 0irw 0j s ) x
i ,j =1 r ,s = 1
w ^ ( i + j )лх ( r + s)лУ ^ ( i + j )л х ( r - ф у ,x C irs cos------------ cos------ ------- + A iris cos------------- cos------ -------+
rs a b a b
ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2008, № 4 137
Б. Х. Эшматов, Д. Л. Ходжаев
, „ ( і - ф )лх ( г + 5)лу ( і - ф ) ш ( г - в )л у
+ П сов------------ сов------ -------+ Б іф сов------------- 008------ -------
7 а Ь 7 а Ь
+
N М . 0 , .л 2* т х г л у Р ( ї ) у
+ В Ш 2 2 Е іг (1- Г )(w iг - ^оіг) 8 т _ 0 “81̂ “ Ь----------2— ’ (8)
І=1г=1
где
А =Щ Б
Я2 і г ( і г + у5)
4[(і + у )2 + Я2(г - 5)2 ]2
Б =іф
Я2 іг( іг - 75)
4[( і - 7 )2 + Я2( г - 5)2 ]2
с = я2 іг( іг - ф5)
7 4[( і + у )2 + Я2( г + 5)2 ]2
і2 Я2
Е =іг „ 2 ( -2 . 2 52л2 л' ( і + г Я )
п = я2 іг( іг + ф5)
фг5 4[( і - у )2 + Я2( г + 5 )2 ]2
я = а .
я = Ь ’
Ь 1
Як
Затем, подставив (7) и (8) в первое уравнение системы (6) и выполнив
процедуру Бубнова-Галеркина с введением безразмерных величин
™кі
к
™оы М ,
М о
* т і
‘ = 7 ? = Е
х^ у ^
а Ь
Р ь і Р *
кр кр 1 кр
* Р ( Ь
Р = Е ( к
— Г( і )т
_ і( Ь
Е \ к
и сохранением прежних обозначений относительно неизвестных ( ї ),
получим
Б п=1 т =1
+
л
( 1 - Г ) ( ™кі - ™окі ) +
+
12л2(1 - ^ 2) N М
п ,і =1 т ,г=1
N М40
л 2 Я2 ^ ,п,і =1 т ,г=1
К кіптіг (1 Г )(^п т ^ іг ^Опт^Оіг ) +
2 4
к
2
22
138 ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2008, № 4
Динамическая устойчивость вязкоупругой цилиндрической панели
N M
+ a klnmirjsw nm (1 ^ )(w irw js w0irw0 j s )
n ,i, j =1 m ,r ,s=1
192« kl ( 1 - а 2)
л 2 y k l h (9)
k , l = 1, 2,
где M о - масса всей панели, M 0 = a b p h ; Ркр - эйлерова статическая
л 2
+критическая нагрузка, Ркр =
тона колебаний, т =
3(1- а 2 ) 4л 2
h 2
E1 ~ I ; т - частота основного
Л
E h 2у 4 2 2
; у = 4л + 39 (1 - а ); S - безразмер-
12 p b 4( 1 - а 2 )
*3ный параметр скорости нагружения, S = Р кр
3 2
л с E h
v b 4
; с - скорость звука в
параметр критической нагрузки, Р = ----- 1 — 1 = ------2---------— ; коэффици-
р Е \ п ) 12л2( 1 - а
ент а м равен единице, если к и I нечетные, если хотя бы один из них
I
материале панели, определяемая по формуле с = ^ Е / р ; Рк* - безразмерный
_ у —
Е \ h ) 12л2( 1 - а 2) :
гчетные, если хотя бы о,
I
четный, то а ы = 0, если к й n и l й т ,т о B klnm = 4 ^ M р sin к л х р sin п л х р х
р=1
I
Xsin 1лур sin m л y р , если к = n и l = m, то В ш = 1+ 4 ^ M p sin2 к л х р X
р =1
Xsin Ы у р ; остальные коэффициенты, входящие в это уравнение, опреде
ляются из [24].
Интегрирование системы (9) проводилось с помощью численного ме
тода, основанного на использовании квадратурных формул [23, 24].
При расчетах в качестве ядер релаксации использовались сингулярные
ядра Колтунова-Ржаницына с тремя реологическими параметрами. Здесь,
аналогично [10], в качестве критерия, определяющего критическое время, а
следовательно, и критическую нагрузку, принимаем условие, что стрела
прогиба не должна превышать величину, равную толщине цилиндрической
панели. Для определения динамической критической нагрузки используем
понятие динамического коэффициента K равного отношению динами
ческой “критической” нагрузки к верхней статической.
Обсуждение результатов. На рис. 2-9 приведены результаты вычис
лений, выполненные с помощью ПЭВМ на алгоритмическом языке Delphi.
Далее, если не оговариваются другие данные, в качестве исходных прини
маются: w 0ы = 10- 3 ; w 0kl = 0; A = 0,05; а = 0,25; 8 = 0,05; q = 0; X = 1; S = 1;
9 = 6; а = 0,32; M 1 = 0,1.
Во всех рассмотренных случаях исследовалась численная сходимость
метода Бубнова-Галеркина. При этом в (7) находятся те значения N и M ,
при которых раньше всего начинается максимальный рост прогибов.
ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2008, № 4 139
Б. Х. Эшматов, Д. Л. Ходжаев
На рис. 2 приведены результаты расчета влияния вязкоупругих свойств
материала на поведение цилиндрической панели, когда сосредоточенная
масса приложена к ее центру (0,5; 0,5). По оси абсцисс отложен безразмер-
„ * ̂ ^ V,ный параметр г , равный отношению переменной величины сжимающей
силы к эйлеровой статической нагрузке, по оси ординат - безразмерная
стрела прогиба . Коэффициент динамичности К д оказывается в упру
гом (Л = 0) и вязкоупругом (Л = 0,05; 0,1) случаях соответственно равным
4,01; 3,89 и 3,79. Как видно, учет вязкоупругих свойств материала панели
приводит к уменьшению критической нагрузки. Отметим, что в частном
случае при Л = 0, Б = 0,1 и М 1 = 0 можно получить результаты для упругой
цилиндрической панели, коэффициент динамичности которой равен 6,7 [10].
1 2 3 4 5 6 7 /
Рис. 2. Зависимость прогиба и>к 1 от времени г : 1 - А = 0; 2 - А = 0,05; 3 - А = 0,1.
Исследовали динамическое поведение вязкоупругой цилиндрической
панели при значениях реологического параметра а, равного 0,05; 0,075;
0,25 и 0,5 (рис. 3). В рассмотренных случаях коэффициент динамичности
К д = 2,38; 3,21; 3,89 и 3,96 соответственно. Из рис. 3 видно, что с увеличе
нием значений реологического параметра а возрастают критическая нагруз
ка и время. Полученные результаты показывают, что реологический пара
метр а по сравнению с параметрами Л и 3 играет существенную роль.
Так, при а = 0,05 и 0,5 различие между соответствующими значениями
критических нагрузок составляет не более 40%. Заметим, что в вязкоупру
гом случае при Б = 1 и а = 0,05 “критическое” число полуволн N = 4, в то
время как в упругом случае [10] N = 2.
Дальнейшие расчеты показали, что изменение реологического пара
метра вязкости 3 (0 < /3 < 1) не оказывает существенного влияния на изме
нение критического времени и критической нагрузки.
Для более подробного изучения поведения вязкоупругой цилиндричес
кой панели при различных ядрах релаксации рассмотрим расчет деформи
рования панели (рис. 4). Видно, что результаты решения вязкоупругой
140 ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2008, № 4
Динамическая устойчивость вязкоупругой цилиндрической панели
задачи, полученные при экспоненциальном ядре релаксации (на рис. 4
кривая 2), почти совпадают с результатами решения упругой задачи (А = 0,
кривая 1), при ядре Колтунова-Ржаницына (А = 0,05, 0 = 0,05, а = 0,25, кри
вая 4) эти результаты отличаются весьма существенно (более 40%). Прове
денные исследования показывают, что результаты решения вязкоупругой зада
чи при экспоненциальных ядрах не являются новыми, так как они совпадают
с решениями упругой задачи. Следовательно, при рассмотрении динамичес
ких задач вязкоупругости в качестве ядер релаксации необходимо выбирать
ядра типа Колтунова-Ржаницына, хорошо описывающие процессы, происхо
дящие в вязкоупругих конструкциях не только на начальных стадиях, но и в
последующие моменты времени.
Рис. 3. Зависимость прогиба м>ы от времени t : 1 - а = 0,05; 2 - а = 0,075; 3 - а = 0,25; 4 ■
а = 0,5.
Рис. 4. Зависимость прогиба от времени t : 1 - А = 0; 2 - А = 0,05, 0 = 0,05, а = 0,05; 3 -
А = 0,05, 0 = 0,05, а = 0,075; 4 - А = 0,05, 0 = 0,05, а = 0,25.
ЙХ1# 0556-171Х. Проблемы прочности, 2008, № 4 141
Б. Х. Эшматов, Д. Л. Ходжаев
На рис. 5 приведены результаты, свидетельствующие о влиянии сосре
доточенных масс на поведение вязкоупругой панели. Полагаем, что сосредо
точенная масса приложена к центру панели, при этом параметр скорости
нагружения Б = 0,2. При сосредоточенной массе М 1 = 0; 0,1; 0,3 и 0,5
значения К д = 5,35; 5,66; 5,87 и 5,95 соответственно. Видно, что по мере
увеличения параметров сосредоточенных масс кривая перемещается вправо
%
в сторону больших значений г . Отметим, что влияние сосредоточенных
масс существенно проявляется при малых значениях параметров скоростей
нагружения Б .
Рис. 5. Зависимость прогиба от времени г : 1 - М1 = 0; 2 - М1 = 0,1; 3 - М1 = 0,3; 4 -
М1 = 0,5.
Исследовали также влияние на поведение вязкоупругой панели коли
чества сосредоточенных масс (рис. 6), приложенных в одной (0,5; 0,5) -
кривая 1, двух (0,5; 0,5), (0,3; 0,5) - кривая 2 и трех точках (0,5; 0,5), (0,3;
0,5), (0,1; 0,5) - кривая 3. При параметрах сосредоточенных масс М 1 =
= М 2 = М 3 = 0,1 соответствующие значения К д составляют 3,89; 4,19;
4,29. Следовательно, увеличение количества сосредоточенных масс приво
дит к росту критического времени и соответственно критической нагрузки.
Рис. 7 иллюстрирует зависимость между стрелой прогиба w kl и време-
%
нем г при различных значениях параметра скорости нагружения Б . При
значениях Б = 0,1; 1 и 10 коэффициенты К = 6,58; 3,89 и 2,39 соответст
венно. Заметим, что параметр Б обратно пропорционален V . Как и ожида
лось, в вязкоупругом случае аналогично упругому случаю [10] с увели
чением значения скорости нагружения V возрастают коэффициенты крити
ческой нагрузки и времени. Отметим, что в вязкоупругом случае макси
мальный рост прогибов происходит раньше, чем в упругом.
На рис. 8 показано влияние геометрического параметра в на поведение
цилиндрической панели. При значениях в = 6; 12; 18 и 24 коэффициенты
К д = 3,89; 3,47; 2,96 и 2,59 соответственно. Как видно из полученных
142 1ББМ 0556-171Х. Проблемы прочности, 2008, № 4
Динамическая устойчивость вязкоупругой цилиндрической панели
1 2 3 4 5 6 /
Рис. 6. Зависимость прогиба wH от времени t .
Рис. 7. Зависимость прогиба wH от времени t : 1 - «S' = 0,1; 2 - «S' = 1; 3 - S = 10.
результатов, увеличение безразмерного геометрического параметра в при
водит к уменьшению критической нагрузки и времени.
Проводили сравнение результатов, полученных по линейной и нелиней
ной теориям. Установлено, что они в основном зависят от трех параметров
(начальной неправильности, скорости нагружения и дополнительной стати
ческой нагрузки). Как показывают исследования, в диапазоне изменения_4 _2
параметров начальных неправильностей (10 < wo^/ ^ 10 ), в пределах
изменения параметров S и q результаты, полученные по этим теориям,
почти совпадают. Однако по мере увеличения параметров начальных непра
вильностей (w 0 u —10_1) результаты уже отличаются друг от друга. Это
особенно заметно при комплексном росте наряду с параметрами начальных
неправильностей значений скоростей нагружения и внешней нагрузки.
ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2008, № 4 143
Б. Х. Эшматов, Д. Л. Ходжаев
Рис. 9. Зависимости прогиба от времени г , полученные по линейной (1) и нелинейной (2)
теориям Кирхгоффа-Лява.
На рис. 9 приведены результаты, полученные по линейной и нелиней
ной теориям Кирхгоффа-Лява для 5 = 0,05, и 0 = 1 0 -1 , д = 10. Как видно,
различие между результатами составляет более 20%. Коэффициенты дина
мичности К д соответственно равны 4,06 и 5,08. Заметим, что кривая,
построенная по линейной теории Кирхгоффа-Лява, имеет монотонно воз
растающий характер, тогда как кривая, соответствующая нелинейной тео
рии Кирхгоффа-Лява, увеличивается скачкообразно.
В ы в о д ы
1. Установлено, что учет вязкоупругих свойств материала приводит к
уменьшению значений критической нагрузки и времени, учет сосредоточен
ных масс как в упругом, так в вязкоупругом случае - к увеличению крити
ческой нагрузки.
144 0556-171Х. Проблемы прочности, 2008, N 4
Динамическая устойчивость вязкоупругой цилиндрической панели
2. Результаты, полученные при экспоненциальных ядрах, совпадают с
данными решения упругой задачи и, следовательно, не могут быть исполь
зованы в качестве ядер релаксации, описывающих реальные вязкоупругие
свойства материала цилиндрической панели.
3. В качестве ядер релаксации необходимо выбирать сингулярные ядра
типа Колтунова-Ржаницына, содержащие достаточное количество реологи
ческих параметров для описания реальных процессов, происходящих в
конструкциях и хорошо согласующихся с экспериментами.
4. В зависимости от различных геометрических и физических пара
метров цилиндрической панели необходимо выбирать соответствующие тео
рии (линейная и нелинейная теории Кирхгоффа-Лява).
Р е з ю м е
Розглядається задача про динамічну стійкість в ’язкопружної циліндричної
панелі зі зосередженими масами, що базується на гіпотезі Кірхгоффа-Лява в
геометрично нелінійній постановці. У рівнянні руху циліндричної панелі
ефект дії зосереджених мас враховується шляхом використання ^-функції
Дірака. Задача розв’язується за допомогою методу Бубнова-Гальоркіна на
основі багаточленної апроксимації прогинів у поєднанні з числовим мето
дом. Обгрунтовано вибір сингулярного ядра Колтунова-Ржаніцина. Наведе
но порівняння результатів, що отримані за різними теоріями. У всіх задачах
досліджено збіжність методу Бубнова-Гальоркіна. Показано вплив в ’язко-
пружних властивостей матеріалу і зосереджених мас на процес динамічної
стійкості циліндричної панелі.
1. А н дри ан ов И. В ., Л есн и ч ая В. А ., М ан евич Л . И . Метод усреднения в
статике и динамике ребристых оболочек. - М.: Наука, 1985. - 221 с.
2. А м и ро И. Я . и др . Колебания ребристых оболочек вращения. - Киев:
Наук. думка, 1988. - 172 с.
3. A m b a -R a o C. L. On the vibration o f a rectangular plate carrying a
concentrated mass // J. Appl. Mech. - 1964. - 31. - P. 550 - 551.
4. C hen R. Vibration of cylindrical panels carrying a concentrated mass // Ibid.
- 1979. - 37. - No. 3. - P. 874 - 875.
5. А н д р еев Л . В ., Д ы ш к о А. Л ., П авленко И. Д . Динамика пластин и
оболочек с сосредоточенными массами. - М.: Машиностроение, 1988. -
195 с.
6. D o w e ll E. a n d D o h e r ty S. M . Experimental study of asymptotic modal
analysis applied to a rectangular plate with concentrated masses // J. Sound
Vibration. - 1994. - 170. - P. 671 - 681.
7. Cha P. D . Free vibration of a rectangular plate carrying a concentrated mass
// Ibid. - 1997. - 207. - P. 593 - 596.
8. Wu J. S. a n d L uo S. S. Use of the analytical-and-numerical-conbined method
in the free vibration analysis of a rectangular plate with any number of point
masses and translational springs // Ibid. - 1997. - 200. - P. 179 - 194.
ISSN 0556-171X. Проблемыг прочности, 2008, № 4 145
Б. Х. Эшматов, Д. Л. Ходжаев
9. Б о н д а р ев П. Л . Колебания пластинки с сосредоточенными массами,
лежащей на нелинейном упругом основании // Укр. мат. журн. - 1974. -
№ 1. - С. 61 - 66.
10. В олъм ир Л. С. Нелинейная динамика пластинок и оболочек. - М.:
Наука, 1972. - 432 с.
11. Sheeinm an I. a n d R eichm an Y. A study of buckling and vibration of
laminated shallow curved panels // Int. J. Solids Struct. - 1992. - 29, No. 11.
- P. 1329 - 1338.
12. T ouati D . a n d C ederbau m G. Dynamic stability of nonlinear viscoelastic
plates // Ibid. - 1994. - 31, No. 17. - P. 2367 - 2376.
13. C h en g C hang-jun a n d Z h an g N eng-hui. Dynamical behavior of viscoelastic
cylindrical shells under axial pressures // Appl. Math. Mech. - 2001. - 22,
No. 1. - P. 1 - 9.
14. Sun Y. X . a n d Z h an g S. Y. Chaotic dynamic analysis of viscoelastic plates //
Int. J. Mech. Sci. - 2001. - 43. - P. 1195 - 1208.
15. A w re jc e w ic z J. a n d K ry s 'k o V. A . Nonclassical thermoelastic problems in
nonlinear dynamics of shells // Applications of the Bubnov-Galerkin and
Finite Difference Numerical Methods. - Springer-Verlag, 2003.
16. Sahu S. K . a n d D a tta P. K . Dynamic stability of laminated composite curved
panels with cutouts // J. Eng. Mech. - 2003. - 129, No. 11. - P. 1245 - 1253.
17. Илъюш ин Л. Л ., П о б ед р я Б. E . Основы математической теории термо
вязкоупругости. - М.: Наука, 1970. - 280 с.
18. К олт унов М . Л . Ползучесть и релаксация. - М.: Высш. шк., 1976. - 276 с.
19. Б огдан ови ч Л. E. Нелинейные задачи динамики цилиндрических компо
зитных оболочек. - Рига: Зинатне, 1987. - 296 с.
20. Р а б о т н о в Ю . Н . Ползучесть элементов конструкций. - М.: Наука, 1966.
- 752 с.
21. K o c a tu rk T., S e ze r S., a n d D e m ir C. Determination of the steady state
response of viscoelastically point-supported rectangular specially orthotropic
plates with added concentrated masses // J. Sound Vibration. - 2004. - 278.
- P. 789 - 806.
22. C a b a n sk a -P la czk iew icz K . Vibrations of a complex system with damping
under dynamic loading // Strength Mater. - 2002. - 34, No. 2. - P. 165 -
180.
23. Б ад а л о в Ф. Б ., Э ш м ат ов Х ., Ю суп о в М . О некоторых методах решения
систем интегро-дифференциальных уравнений, встречающихся в зада
чах вязкоупругости // Прикл. математика и механика. - 1987. - 51, № 5.
- С. 867 - 871.
24. Э ш м ат ов Х . Интегральный метод математического моделирования за
дач динамики вязкоупругих систем: Автореф. дисс. ... д-ра техн. наук. -
Киев, 1991. - 32 с.
25. Verlan A. F. a n d E sh m a to v B. K h . Mathematical simulation of oscillations of
orthotropic viscoelastic plates with regards to geometric nonlinearity // Int. J.
Electronic Modeling. - 2005. - 27, No. 4. - P. 3 - 17.
146 ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2008, № 4
Динамическая устойчивость вязкоупругой цилиндрической панели
26. Б ад а л о в Ф. Б ., Э ш м ат ов X ., А к б а р о в У. Й . Устойчивость вязкоупругих
пластин при динамических нагрузках // Прикл. механика. - 1991. - 27,
№ 9. - С. 892 - 899.
27. E sh m atov B. K h . Nonlinear vibrations of viscoelastic orthotropic plates from
composite materials // Third M.I.T. Conference on Computational Fluid and
Solid Mechanics, June 14-17, 2005, Boston (USA).
28. E sh m a to v B. K h . Dynamic stability o f viscoelastic plates at growing
compressing loadings // Int. J. Appl. Mech. Tech. Phys. - 2006. - 47, No. 2.
- P. 165 - 175.
Поступила 25. 09. 2006
ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2008, № 4 147
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-48266 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0556-171X |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T15:35:09Z |
| publishDate | 2008 |
| publisher | Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Эшматова, Б.Х. Ходжаев, Д.А. 2013-08-17T16:56:29Z 2013-08-17T16:56:29Z 2008 Динамическая устойчивость вязкоупругой цилиндрической панели с сосредоточенными массами / Б.X. Эшматова, Д.А. Ходжаев // Проблемы прочности. — 2008. — № 4. — С. 132-147. — Бібліогр.: 28 назв. — рос. 0556-171X https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/48266 539.1 Рассматривается задача о динамической устойчивости вязкоупругой цилиндрической панели с сосредоточенными массами, основанная на гипотезе Кирхгоффа-Лява в геометрически нелинейной постановке. В уравнение движения цилиндрической панели эффект действия сосредоточенных масс вводится с использованием δ-функции Дирака. Задача решается с помощью метода Бубнова-Галеркина, основанного на многочленной аппроксимации прогибов, в сочетании с численным методом, базирующимся на использовании квадратурных формул. Обоснован выбор сингулярного ядра Колтунова-Ржаницына. Приведены сравнения результатов, полученных по различным теориям. Во всех задачах исследована сходимость метода Бубнова-Галеркина. Показано влияние вязкоупругих свойств материала и сосредоточенных масс на процесс динамической устойчивости цилиндрической панели. Розглядається задача про динамічну стійкість в’язкопружної циліндричної панелі зі зосередженими масами, що базується на гіпотезі Кірхгоффа-Лява в геометрично нелінійній постановці. У рівнянні руху циліндричної панелі ефект дії зосереджених мас враховується шляхом використання δ-функції Дірака. Задача розв’язується за допомогою методу Бубнова-Гальоркіна на основі багаточленної апроксимації прогинів у поєднанні з числовим методом. Обгрунтовано вибір сингулярного ядра Колтунова-Ржаніцина. Наведено порівняння результатів, що отримані за різними теоріями. У всіх задачах досліджено збіжність методу Бубнова-Гальоркіна. Показано вплив в’язкопружних властивостей матеріалу і зосереджених мас на процес динамічної стійкості циліндричної панелі. We discuss the problem of dynamic stability of viscoelastic cylindrical panel with lumped masses, based on the Kirchhoff-Love assumption in geometrically nonlinear formulation. The effect of lumped masses is introduced into the equation of motion of the cylindrical panel by using the Dirac δ-function. The problem is solved by the Bubnov-Galerkin method, which is based on polynomial approximation of deflections, in a combination with the numerical method based on use of quadrature formulas. The choice of singular Koltunov-Rzhanitsyn kernel is substantiated. We compare results obtained using different theories. For all problems under study we analyze convergence of the Bubnov-Galerkin method. The effect of the viscoelastic properties of the material and of lumped masses on the dynamic stability process of the cylindrical panel is shown. ru Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України Проблемы прочности Научно-технический раздел Динамическая устойчивость вязкоупругой цилиндрической панели с сосредоточенными массами Dynamic stability of a viscoelastic cylindrical panel with lumped masses Article published earlier |
| spellingShingle | Динамическая устойчивость вязкоупругой цилиндрической панели с сосредоточенными массами Эшматова, Б.Х. Ходжаев, Д.А. Научно-технический раздел |
| title | Динамическая устойчивость вязкоупругой цилиндрической панели с сосредоточенными массами |
| title_alt | Dynamic stability of a viscoelastic cylindrical panel with lumped masses |
| title_full | Динамическая устойчивость вязкоупругой цилиндрической панели с сосредоточенными массами |
| title_fullStr | Динамическая устойчивость вязкоупругой цилиндрической панели с сосредоточенными массами |
| title_full_unstemmed | Динамическая устойчивость вязкоупругой цилиндрической панели с сосредоточенными массами |
| title_short | Динамическая устойчивость вязкоупругой цилиндрической панели с сосредоточенными массами |
| title_sort | динамическая устойчивость вязкоупругой цилиндрической панели с сосредоточенными массами |
| topic | Научно-технический раздел |
| topic_facet | Научно-технический раздел |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/48266 |
| work_keys_str_mv | AT éšmatovabh dinamičeskaâustoičivostʹvâzkouprugoicilindričeskoipanelissosredotočennymimassami AT hodžaevda dinamičeskaâustoičivostʹvâzkouprugoicilindričeskoipanelissosredotočennymimassami AT éšmatovabh dynamicstabilityofaviscoelasticcylindricalpanelwithlumpedmasses AT hodžaevda dynamicstabilityofaviscoelasticcylindricalpanelwithlumpedmasses |