Смешанно-гибридная схема метода конечных элементов для решения задач об изгибе, собственных колебаниях и устойчивости пластин
Для решения задач об изгибе, колебаниях и устойчивости пластин построен гибридный конечный элемент на основе треугольника Зенкевича. Применяется смешанная аппроксимация для прогиба и углов поворотов пластины. Показано, что с уменьшением размеров треугольников смешанный метод обеспечивает сходимость...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Проблемы прочности |
|---|---|
| Дата: | 2008 |
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України
2008
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/48268 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Смешанно-гибридная схема метода конечных элементов для решения задач об изгибе, собственных колебаниях и устойчивости пластин / А.Ю. Чирков // Проблемы прочности. — 2008. — № 4. — С. 108-122. — Бібліогр.:11 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860260473657622528 |
|---|---|
| author | Чирков, А.Ю. |
| author_facet | Чирков, А.Ю. |
| citation_txt | Смешанно-гибридная схема метода конечных элементов для решения задач об изгибе, собственных колебаниях и устойчивости пластин / А.Ю. Чирков // Проблемы прочности. — 2008. — № 4. — С. 108-122. — Бібліогр.:11 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Проблемы прочности |
| description | Для решения задач об изгибе, колебаниях и устойчивости пластин построен гибридный конечный элемент на основе треугольника Зенкевича. Применяется смешанная аппроксимация для прогиба и углов поворотов пластины. Показано, что с уменьшением размеров треугольников смешанный метод обеспечивает сходимость как для прогиба пластины, так и изгибающих моментов, которая практически не зависит от способа разбиения пластины на треугольные элементы. В задачах о собственных колебаниях и устойчивости пластин смешанный метод дает более точные значения собственных частот и уровней критической нагрузки по сравнению с классическим треугольником Зенкевича. Представлены результаты численного анализа сходимости и точности решения модельных задач об изгибе, собственных колебаниях и устойчивости квадратной пластины.
Для розв’язку задач про згин, коливання та стійкість пластин побудовано гібридний скінченний елемент на основі трикутника Зенкевича. Використовується змішана апроксимація для прогину та кутів поворотів пластини. Показано, що зі зменшенням розмірів трикутників змішаний метод забезпечує збіжність як для прогину пластини, так і згинальних моментів, яка практично не залежить від способу розбиття пластини на трикутні елементи. У задачах про власні коливання і стійкість пластин змішаний метод дає більш точні значення власних частот та рівнів критичного навантаження порівняно з класичним трикутником Зенкевича. Наведено результати числового аналізу збіжності і точності розв’язку модельних задач про згин, власні коливання та стійкість квадратної пластини.
In order to solve problems of bending, vibrations and stability of plates, we have constructed a hybrid finite element based on the Zienkiewicz triangle. Mixed approximation is used for plate deflections and angular deflections. It is shown that with reduction of triangle dimensions the mixed method ensures convergence of both plate deflections and bending moments, which convergence is practically independent on the plate’s particular mesh of triangular elements. In problems of free vibra tions and stability of plates, the mixed method provides more precise values of natural frequen cies and the ultimate load values, as compared to the classical Zienkiewicz triangle. We present results of a numerical analysis of convergence and adequacy of solution of model problems of bending, vibrations and stability of square plates.
|
| first_indexed | 2025-12-07T18:54:36Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 539.3
Смешанно-гибридная схема метода конечных элементов для
решения задач об изгибе, собственных колебаниях и устойчивости
пластин
А. Ю . Ч ирков
Институт проблем прочности им. Г. С. Писаренко НАН Украины, Киев, Украина
Для решения задач об изгибе, колебаниях и устойчивости пластин построен гибридный
конечный элемент на основе треугольника Зенкевича. Применяется смешанная аппрокси
мация для прогиба и углов поворотов пластины. Показано, что с уменьшением размеров
треугольников смешанный метод обеспечивает сходимость как для прогиба пластины, так
и изгибающих моментов, которая практически не зависит от способа разбиения пластины
на треугольные элементы. В задачах о собственных колебаниях и устойчивости пластин
смешанный метод дает более точные значения собственных частот и уровней критической
нагрузки по сравнению с классическим треугольником Зенкевича. Представлены результаты
численного анализа сходимости и точности решения модельных задач об изгибе, собст
венных колебаниях и устойчивости квадратной пластины.
К л ю ч е в ы е с л о в а : изгиб, свободные колебания и устойчивость пластин, сме
шанная аппроксимация, метод конечных элементов, сходимость, точность.
Введение. В настоящей работе рассматривается применение смешанно
гибридной схемы метода конечных элементов (МКЭ) для решения задач об
изгибе, собственных колебаниях и устойчивости пластин. Используются
результаты, полученные в [1, 2], применительно к задаче об изгибе тонкой
пластины. Напомним их.
Согласно классическим положениям теории изгиба тонких пластин [3],
состояние пластины полностью описывается прогибом срединной поверх
ности w. При построении схем МКЭ аппроксимация в пределах конечного
элемента должна удовлетворять критерию “постоянства деформаций” и
обеспечивать непрерывность прогиба и нормальной производной на сторо
нах элементов [1]. Наиболее удобным на практике представляется исполь
зование простых трехузловых треугольных конечных элементов. Однако
построение аппроксимирующих функций в этом случае приводит к серьез
ным трудностям математического и вычислительного характера [1], посколь
ку размерность “локальных” пространств конечных элементов достаточно
велика и их структура существенно усложняется [1]. Обзор существующих
реализаций МКЭ для решения задачи об изгибе пластины приведен в [1, 4].
Отметим наиболее важные из них: треугольник Аргириса; треугольник Сие-
Клафа-Точера; сингулярный треугольник Зенкевича; прямоугольник Богнера-
Фокса-Шмита; треугольник Белла; треугольник Биркгофа-Мэнсвилда; тре
угольник Морли; треугольник Фрайш де Вебеке и др.
Для практических приложений одним из возможных и широко рас
пространенных решений этой задачи является несогласованный треуголь
ный элемент, предложенный О. Зенкевичем [1]. Пусть г, ] , к - нумерация
вершин треугольника, образованная против часовой стрелки. Тогда прогиб
w h в пределах каждого треугольника задается в виде
© А. Ю. Ч И РК О В , 2008
108 ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2008, № 4
Смешанно-гибридная схема метода конечных элементов
Wfo — Я і + $ 2 Я , + $ з Я к Ь $ 4 Я і Я , + $ 5 Я,- Я £ + $ 6 Як Я і Ь
+ $ 7 Я^ Я £ + $ 8 я2_- я і + $ 9 Я£ Я , + 2 $ 10 Я іЯ ,Я £, (1)
где я г, я у, я к - линейные интерполяционные функции треугольника [2 ];
коэффициенты й !, й 9 определяются по соотношениям
?1 — ^ ; $2 — ^ ; $ з — ^ ; $ 7 — ^ - Ъ] V і - С] V і ;
/4 — Wі - + ЬкV і + СкУ і ; $ 8 — ^ - ^ - ЬкV ] - СкУ ] ;
/ 5 — ^ - wk + ^ V у + с іV у; $ 9 — wk - - Ъ V к - СіV к ;
/ 6 — wk - ^ + Ъ] V к + С] V к; $10 — ($ 4 + $ 5 + $ 6 + $ 7 + $ 8 + $ 9 V 4
(2)
(р I = _ (д^/ду) I , ^ I = (д^/дх) I - углы поворотов срединной поверхности
пластины соответственно вокруг осей х и у в узле г). Поскольку в задании
прогиба w h используется девять независимых коэффициентов й 1, . . . , й 9 ,
аппроксимация ( 1) представляет собой неполный кубический полином.
Обозначим через р А = — д w h/ ду и \р к = Э^А/Эх углы поворотов плас
тины в пределах каждого треугольника. Тогда на основании соотношений
(1), (2 ) получим
У к — е1 + е 2 Я і Я і + е 3 Я і Я к + е 4 Я к Я і + е 5 Я̂ + е 6 Я2/ + е 7 Як ;
2 2 2 (з)
~<Р к — / 1 + / 2ЯіЯ і + / з Я і Як + / 4 ЯкЯі + / 5 Яі + / 6Я і + / 7 Як
где
1
Є1 — 2Д (Ьі$1 + Ъ] $ 2 + Ък $ 3 ) ;
1
е 2 — Д (М 4 + Ъ] $ 8 + Ък$10);
1
Є з — Д (Ъ] $ 5 + Ък $ 9 +
1
Є 4 — Д (Ък $ 6 + М 7 + Ъ]$10);
1
е 5 — 2Д (Ъ] $ 4 + Ък $ 7);
1
^6 — 2Д (Ък $ 5 + М 8 );
1
е 7 — 2 Д (Ъ 6 + Ъу $ 9) ;
1
/ 1 — 2 Д (Сі$ 1 + С] $ 2 + Ск $ з ) ;
1
У 2 — Д (Сі$ 4 + С] $ 8 + Ск$10);
1
Уз — Д (С] $ 5 + Ск $ 9 + Сі$ 10) ;
1
Л — д (Ск $ 6 + Сі$ 7 + С] $ 10) ; (4)
1
/ 5 — 2Д ( ] 4 + Ск $ 7) ;
1
/ 6 — 2Д (Ск $ 5 + Сі$ 8 ) ;
1
/ 7 — 2Д ( ^ 6 + Сі $ 9 ) '
Согласно выражениям (3), (4), функции р А и ^ А в вершинах тре
угольника принимают значения р г = р А (х г, у г) и \р г = \р к (х г, у г), причем
на сторонах треугольника имеет место параболический закон их изменения.
Таким образом, аппроксимация (1)-(4) обеспечивает непрерывность прогиба
ISSN 0556-171Х. Проблемыг прочности, 2008, № 4 109
А. Ю. Чирков
для всей пластины и непрерывность углов поворотов только в узлах сетки.
На сторонах треугольников функции р н и ^ н изменяются по квадратич
ному закону, и, значит, нарушаются условия непрерывности угла наклона.
Теоретические оценки и опыт решения практических задач свидетельст
вуют, что если сетка треугольников образована системой трех эквидистант
ных параллельных прямых, то с уменьшением размеров треугольников
численное решение сходится к точному [1, 4].
В общем случае аппроксимация (1) позволяет получить решение, сходя
щееся не к точному, а к отличающемуся от него в пределах некоторой
ошибки [1, 4]. Величина ошибки зависит от способа разбиения пластины на
треугольные элементы и при использовании разбиения типа “крест” и не
равномерных сеток существенно влияет на вычисление кривизны пластины
и изгибающих моментов.
В работах [5-8] предложена модификация треугольника Зенкевича,
согласно которой в формуле ( 1) вместо последнего слагаемого 2^ шЯ{Я ̂ Як
добавляются три члена четвертого порядка Я2 Я j• Я к , Я; Я2 Я к , Я; Я j• Як с
различными коэффициентами. В результате обеспечивается выполнение “ку
сочного” тестирования [1, 8] и, следовательно, удовлетворяется критерий
“постоянства деформаций”.
Однако более простое решение получено при использовании смешан
ной аппроксимации для прогиба и углов поворотов пластины [2]. С этой
целью модифицируем соотношения (3), полагая
^ н — е 1 + е 2 ЯIЯ j + е 3 Я j Я к + е 4 Я к ЯI + е 5 Я2 + еб Я / + е 7 Я ! +
+ е 8 (ЯIЯу + Я2Я j ) + е9 (Я j Я2к + Я] Як ) + е10(ЯкЯ2 + ^ ЯI );
2 2 2 (5)
_ р н — / 1 + / 2 ЯIЯ j + / з Я j Як + / 4 ЯкЯI + / 5 Я 1 + / бЯ j + / 7 Я к +
+ / 8 (Я IЯ/ + Я2Я j ) + / 9 (Я j Я к + Я/ Як ) + / 10(ЯкЯ̂ + Я к ЯI X
где коэффициенты е1, ..., е 7 , / 1, . . . , / 7 определяются по выражениям (4), а
е 8 , е 9 , е10, / 8 , / 9 , / 10 выбираются таким образом, чтобы обеспечить
линейный закон изменения функций р н и ^ н на сторонах треугольника:
е 8 - _ е 2 + е 5 + еб; / 8 — _ / 2 + / 5 + / б ;
' е 9 - _ е 3 + еб + е7; / 9 — ~ / 3 + / б + / 7 ; (б)
е 10 —_ е 4 + е7 + е 5 ; / 10 — _ / 4 + / 7 + / 5 .
Следовательно, имеет место непрерывность углов поворота р н и ^ н
для всей пластины. Заметим, однако, что аппроксимация (5), (б) накладывает
чрезмерные требования непрерывности на функции р н и ^ н - В действи
тельности, согласно классической теории изгиба тонких пластин [3], доста
точно потребовать непрерывность нормальной производной д w н /дп на гра
ницах между треугольниками [1, 4].
110 ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2008, № 4
Смешанно-гибридная схема метода конечных элементов
Пусть т у , т к , т и - соответственно углы между векторами единич
ной нормали п у , п к , п ^ к рассматриваемой стороне треугольника и осью х.
С учетом того что
д п ч
д ы и
дп ]к
д ы и
(Фи ) ]к СОв( (О к ) - (р и )д 5Ш( (О к ) ; (7)
д п кі (Фи ) кі С08(Ок і) - (Р и) кі ^ п (О кі X
коэффициенты е 8 , е9 , е10 и / 8 , / 9 , / 10 определяются таким образом,
чтобы обеспечить линейный закон изменения нормальной производной
д ы ^ /д п на сторонах каждого треугольника.
На основании формул (5) и (7) получим
е 8 = £ 1 с° §(т у ) + £ 4 §1П( т у ); / 8 = £ т у ) - £4 с°^( т у );
е 9 = £ 2 С08(т ] к ) + £ 5 §1п( т ] к ); / 9 = £ 2 §1п( т ] к ) - £ 5 сое ( т к ) ; (8)
е 10 = £ з с° э ( т и ) + £ б а п ( т и ) ; / 10 = £ з » п ( т и ) - £ б с° э ( т и X
причем £ 4 , £ 5 , £ 6 - произвольные вещественные константы; коэффици
енты £ 1, £ 2 , £ з задаются с помощью следующих соотношений:
£ 1 = с°Э( т у ) ( - е 2 + е 5 + е 6 ) + » п( т у ) ( - / 2 + / 5 + / вУ;
£ 2 = с°Э( т ук ) ( - е з + е 6 + е 7 )+ §1П( т ]к ) ( - / 3 + / 6 + / 7) ; (9)
£ 3 = с°в (т и ) ( - е 4 + е7 + е 5 ) + » п ( т и ) ( - / 4 + / 7 + / 5 ) .
Следовательно, аппроксимация углов поворотов пластины (5) с учетом
соотношений (7)-(9) допускает непрерывность нормальной производной на
границах между треугольниками. Тем не менее аппроксимация (1), (5),
(7)-(9) не является согласованной, поскольку соотношения р ь = — д ы к / ду и
ф ь = д ^ ь ! д х выполняются только в узлах сетки. Таким образом, приходим к
смешанной аппроксимации для прогиба и углов поворотов пластины.
С физической точки зрения ошибка согласования эквивалентна дейст
вию в пределах треугольника фиктивных поперечных деформаций сдвига,
определяемых в соответствии с выражениями (9) и законом Гука по форму
лам
ь _ _
У ;с2 д Ф Ь дх
= —е 8(Я;Яу + Я2 Я у ) — е 9 ( Я у Х2к + Х2у Я к ) — ею ( Я к Я2 + Я1 Я{); (10а)
ISSN 0556-171Х. Проблемыг прочности, 2008, № 4 111
А. Ю. Чирков
у уа
д щ
ду '+ Н -
— - / 8 (Лі Лу + ЛІЛу ) - / 9 (ЛуЛк + ЛУЛк ) - / і о ( ЛкЛІ + ЛкЛі )• (106)
Заметим, что в узлах сетки функции у п2, у П̂ равны нулю, а коэффи
циенты е8 , е9 , е10, / 8 , / 9 , / іо определяются по формулам (8), (9).
Пусть у \2 , У Н - компоненты поперечного сдвига на сторонах треуголь
ника, соответствующие векторам нормали и касательной:
’ (у хг ) іі С°^(® іі ) (у уг ) іі ®Іп (® іі ) ;(У Пг )іі
(у пг ) ук (у хг ) ук с°^(® ук ) (у уг ) ук ®Іп (® ук X
(у пг ) кі (у хг ) кі с°^(® кі ) ^ (у уг ) кі ®Іп (® кі );
(у ж ) ї (у хг )у ®Іп (® у ) (у уг ) ї с°® (® у ) ;
(у Н )ук - - (у Нхг ) ук (® ук ) + (у у ) ук ^ (® ук X
(у ) кі — - (у Хг ) кі (® кі ) + (у Нуг ) кі ^ (® кі ).
(11)
Соотношения (10) с учетом (11) принимают вид
( у Пг ) у - - ( е 8 С° 8 ( ) + / 8 ^ п ( ®,у )) Л і Л у;
(у Пг )ук - - (е9 с° 8 (® ук ) + / 9 8Іп(® ук )) Л у Лк ';
( у Пг) в — - (ею с° 8( ® в ) + У108ІП (® в )) л к л і ;
( у Н )у - (е 8 ^ п( ® ї ) - Л с° 8( т ч )) М у;
(у І ) ук - (е9 ^ п ( ® ук) - / 9 с° 8 (® ук)) л у л к ;
(у Н )кі — (е10 « п (® кі ) - У10 с° 8 (® кі ))ЛкЛі.
( 1і )
На основании (8) и (12) находим
(у « ) у — - § 1М у ; ( у Н ) у - г 4М у ;
(у пг ) ук — § і Л у Л к ; (у ) ук — 5" 5 Л у Л к ;
( у яг ) кі § 3 Л к Лі; ( у ) кі § 6 Л к Лі.
Выбирая коэффициенты § 4 , § 5 , § 6 из условия
(у і ) у — (у і ) ук — (у пг ) ы — 0 ,
получаем § 4 — § 5 — § 6 — 0 .
112 ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2008, № 4
Смешанно-гибридная схема метода конечных элементов
Таким образом, коэффициенты е 8 , е 9 , е10 и / 8 , / 9 , / 10 определяют
ся по соотношениям
е 8 = § і сое (Шц);
е 9 = § 2 сов ( Ш ] к ) ;
е іо = § з со§ (Ш и ) ;
/8 = § 1»п( Шц );
/ 9 = § 2 » п (Ш цк ) ;
/ 10 = § з 8Іп(Шк і) .
Кроме того, использование неравенства треугольника
|у 11 ||<I / xz П~
|у И | |<\г у г і ї -
дw
дх
д^
ду + И
и результатов об интерполяции [4, 9] приводит к тому, что при к ^ 0 имеем
у к2 ^ 0, у ку2 ^ 0. Другими словами, при уменьшении размеров треугольни
ков ошибка согласования стремится к нулю.
Что касается разрешимости дискретной задачи, которая получается на
основании смешанной аппроксимации (1) и (5), то можно ожидать, что ее
собственные значения не меньше таковых для задачи, построенной с помо
щью классического треугольника Зенкевича. Действительно, с физической
точки зрения аппроксимация (5) приводит к более жесткой механической
системе, чем аппроксимация (3), поскольку выполняется непрерывность
нормальной производной на сторонах треугольников, и, следовательно, обес
печивает однозначную разрешимость дискретной задачи.
Кривизны и кручение срединной поверхности пластины определяются
в пределах каждого треугольника по соотношениям
Кх = _ 2Д (А ̂ і + А 2^Ц + А 3 ̂ к + А4^2 + А5 + А 6Л-І +
^хУ = 2Д (С 1 ̂ і + С 2 ̂ Ц + С 3 ̂ к + С 4 ̂ 2 + С 5 + С 6 +
+ С 7 ̂ г ̂ у + С 8 ̂ у ̂ к + С 9 ̂ к ̂ г X
где
0556-171Х. Проблемы прочности, 2008, № 4 113
А. Ю. Чирков
A i = b j e 2 + b k e 4 + 2 b ie 5 ; By = с j f 2 + c k f 4 + 2Cif 5 ;
A 2 = b k e 3 + b i e 2 + 2 b j e 6 ; B 2 = c kf 3 + c if 2 + 2cj f 6 ;
A3 = b i e 4 + bj e 3 + 2bke 7 ; B 3 = c if 4 + c j f 3 + 2ckf 7;
A4 = bj e 8 + bke10; B 4 = c j f 8 + ckf io;
A 5 = b k e 9 + b i e 8 ; B 5 = c kf 9 + c if 8l
A 6 = b i e 1 0 + b j e 9 ; B 6 = c if 10 + c j f 9 ;
A 7 = - 2 b k e 8 ; B 7 = - 2 c kf 8 ;
A 8 = - 2 b i e 9 ; B 8 = —2c if 9;
A 9 = ~ 2 b j e io ; B 9 = 2c j f 10;
С i = cj e 2 + c k e 4 + b j f 2 + bkf 4 + 2(c ie 5 + b if 5 );
С 2 = cke 3 + c ie 2 + b kf 3 + b if 2 + 2 cj e 6 + bj f 6 ) ;
С 3 = c i e 4 + cj e 3 + b if 4 + b j f 3 + 2 c ke 7 + bkf 7 ) ;
С 4 = c j e 8 + cke 10 + bj f 8 + b kf 10;
С 5 = c k e 9 + c i e 8 + b kf 9 + b if 8 ;
С 6 = c ie10 + c j e 9 + b if 10 + b j f 9 ;
С 7 = _2( c k e 8 + b kf 8);
С 8 = _2( c ie 9 + bif 9 ) ;
С 9 = - 2 (c j e10 + b j f 10).
Для вычисления коэффициентов матриц жесткости и податливости вве
дем в рассмотрение вектор, который включает все узловые неизвестные
треугольника:
{<5}Г = { Wi <Р i Ц i W j <р j хр j Wk <рk У k }T ■
Тогда коэффициенты матрицы жесткости k a^ можно определить по
соотношениям
2 k a ^ a < * p = —— 3 2 M xnA n + M ynB n + M xynC n ■
1<a, в<9 16^ 1<n<9
Здесь
M xn У nm (D 11A m + D 12B m ) ;
1<m <9
M yn = 2 у nm (D 12 A m + D 22B m );
1<m <9
M xyn = y nmD 33C m ,
1<m <9
114 ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2008, № 4
Смешанно-гибридная схема метода конечных элементов
где В п , В 12, В 22, В 33 - коэффициенты жесткости пластины; коэффици
енты у пт (1< п , т < 9) определяются в результате точного интегрирования
по треугольнику и задаются с помощью выражений:
1 1
у 11 _ у 22 _ у 33 _ 6 ; у 44 _ у 55 _ у 66 _ 15 ;
у 77 _ у 88 _ у 99 _ у 45 _ у 46 _ у 56 _ 90 ;
у 12 _ у 13 _ у 23 _ 12 ; у 14 _ у 25 _ у 36 _ 10 ;
1
у 15 ~ У 16 _ у 17 _ у 19 ~ У 24 _ у 26 30
у 27 _ у 28 _ у 34 _ у 35 _ у 38 _ у 39 _ 30 ;
1
у 18 _ у 29 _ у 37 _ у 47 _ у 49 _ у 57 _ у 58 _ у 68 _ у 69 6 0
У 48 = у 59 = у 67 = у 78 = у 79 = у 89 = ^ У пт =У тп , П ’ т < 9
Коэффициенты матрицы податливости упругого основания т а/д опре
деляются на основании формулы
2 т а/3 ^ а^ /3 = А 2 *п^п, (13)
1<а, /3<9 1<п<10
где о г - жесткость упругого основания, или коэффициент постели; коэффи
циенты z n вычисляются по соотношениям
1<т <10
ю пт - коэффициенты,
1 1
ю11 _ ю22 _ ю33 _ 6 ; ю44 _ ю 55 _ ю 66 _ ю77 _ ю 88 _ ю99 _ ^ 2 0 ’
ю10,10 _ 630 ; ю12 _ ю13 _ ю 23 _ 1 2 ;
ю 14 _ ю 17 _ ю 25 _ ю 28 _ ю 36 _ ю 39 _ ^ 0 ;
ТХОТ 0556-171Х. Проблемыг прочности, 2008, N 4 115
1
1 1
1
1 1
1
А. Ю. Чирков
Ш16 — Ш18 — Ш1,10 — Ш24 — Ш29 — Ш2,10 — Ш35 — Ш37 — Ш3,10 —90'
1
Ш15 — Ш19 — Ш 26 — Ш 27 — Ш 34 — Ш 38 180’
Ш 48 — Ш 59 — Ш59 ~ Ш61 ~ 560 ’
1
Ш 47 — Ш 4,10 — Ш 58 — Ш 5,10 — Ш 69 — Ш 6,10 — Ш 7,10 — Ш 8,10 — Ш 9,10 —
Ш 45 — Ш 46 — Ш 56 — Ш 78 — Ш 79 — Ш 8 1680
’ Ш 49 — Ш 57 — Ш 6
840’
1
2520’
Ш пт — Ш тп , 1^ п, т < 1 0
В задачах о свободных колебаниях пластины коэффициенты матрицы
инерции вычисляются на основании формулы (13). При этом коэффициент
постели о г следует заменить произведением р г , где р - плотность; г -
толщина пластины.
При решении задачи об устойчивости пластины коэффициенты матри
цы начальных напряжений к а/д определяются по соотношениям
X к«/зМ /3 =
1<а, /3<9
— д ^ X р пе п N У Ч п/п N ху ( Р п !п Чпе п )
\ 1<п<10 1<п<10 1<п<10
где N x , N у , N xy - мембранные усилия, действующие в плоскости плас
тины; р п, ч п - коэффициенты
Рп — X V пт е т ’ Чп
1<т <10 1<т <10
л пт - коэффициенты, определяемые по выражениям
1
— х л nmfm ’
л 11 — 1; л 22 — л 33 — л 44 90
л 55 — л 66 — л 77 — л 18 — л 19 — л 1,10 — 1 5 ’ л 88 — л 99 — л 10,10 — 1 2 0 ’
л 12 —л 13 —л 14 — 1 2 ’ л 15 —л 16 —л 17 — 6 ’
л 23 — л 24 — л 27 — л 34 — л 35 — л 46 —180’
1
1
1
1 1
1 1
1
116 ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2008, № 4
Смешанно-гибридная схема метода конечных элементов
И 25 — И 26 — И з6 — И з7 — И 45 — И 47 — 60 ; И 28 — И з9 — И 4,10 — ^ ;
_ _ _ _ _ _ 1
И 29 — И 2,10 — И з8 — И з,10 — И 48 — И 49 — 2^2 ; И 48 — И 49 — 2^2 ;
1 1
И 56 — И 57 — И 67 — 90 ; И 58 — И 5,10 — И 68 — И 69 — И 79 — И 7,10 — уд ;
И 59 — И 6,10 _ И 78 — з15 ; И 89 — И 8,10 — И 9,10 — з6 0 ;
И И 1< я , т < 10.
Численны й анализ. Результаты расчетов сопоставлялись с известными
аналитическими решениями, а также с полученными на основе классичес
кого треугольника Зенкевича (КМКЭ) и смешанного метода (СМКЭ). Все
результаты представлены для квадратной пластины постоянной толщины £
и длиной стороны а. Использовались два варианта разбиения пластины на
треугольники: первый - соответствует делению квадрата на два равных тре
угольника; второй - на четыре. Деление квадрата осуществлялось с по
мощью его диагоналей (рисунок). Результаты сравнения представлены в
табл. 1-6. Там же приведены разбиения вдоль стороны пластины а.
Два варианта разбиения квадратной пластины на треугольники (сетка 4 X 4): а - равномерная
треугольная сетка; б - сетка “крест”.
1 1
1 1
Ч ист ый и зги б пласт ины . В качестве примера рассматривался чистый
изгиб квадратной пластины: М х = М 1, М у = М 2 , М ху = 0, где М 1, М 2 -
изгибающие моменты на контуре пластины. Задача решалась для различных
комбинаций изгибающих моментов М 1 и М 2 . При любом виде разбиения
пластины на треугольники смешанный метод обеспечивает получение точ
ного решения задачи. Таким образом, смешанная аппроксимация удовле
творяет критерию “постоянства деформаций” и, следовательно, выдержи
вает “кусочное” тестирование.
ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2008, № 4 117
А. Ю. Чирков
С вободн о оп ерт ая квадрат н ая пласт ина. Оценивалась точность опре
деления изгибающих моментов и прогиба в центре пластины. Коэффициент
Пуассона принимался равным 0,3. Проводилось сравнение численных ре
зультатов с аналитическим решением [3] в соответствии с формулами
Результаты расчетов представлены в табл. 1, 2. Применение равно
мерной треугольной сетки позволяет получить близкие результаты по обоим
методам, хотя с использованием смешанной аппроксимации они несколько
более точные. Ситуация существенно изменяется для разбиений на тре
угольники типа “крест”. Из табл. 2 видно, что при использовании сетки типа
“крест” треугольник Зенкевича обеспечивает приемлемые данные только
для прогиба и не гарантирует получение изгибающих моментов при ее
сгущении. Решение для изгибающих моментов носит осциллирующий ха
рактер. Смешанный метод сходится и дает близкие к аналитическому реше
нию результаты.
Т а б л и ц а 1
Результаты расчетов коэффициентов 8 и а свободно опертой квадратной пластины
под действием распределенной нагрузки при использовании равномерной
треугольной сетки
Сетка 8 Погрешность, % а Погрешность, %
КМКЭ СМКЭ КМКЭ СМКЭ КМКЭ СМКЭ КМКЭ СМКЭ
4 X 4 0,05378 0,05208 -12,27 8,72 0,004393 0,004197 -8,15 -3,32
6х 6 0,05040 0,04991 -5,22 -4,19 0,004217 0,004125 -3,81 -1,55
8х 8 0,04926 0,04895 -2,84 -2,19 0,004152 0,004099 -2,21 -0,91
10Х 10 0,04876 0,04856 -1,79 -1,38 0,004122 0,004086 -1,48 -0,59
20 X 20 0,04812 0,04805 -0,46 -0,31 0,004080 0,004068 -0,44 -0,15
40 X 40 0,04795 0,04793 -0,10 -0,06 0,004067 0,004064 -0,12 -0,05
60Х 60 0,04792 0,04790 -0,04 0 0,004065 0,004063 -0,07 -0,02
80 X 80 0,04790 0,04790 0 0 0,004064 0,004062 -0,05 0
[3] 0,0479 0,004062
С вобод н ы е колебания оп ерт ой квадрат н ой пласт ины . Определялись
первые четыре собственные частоты поперечных колебаний квадратной
пластины. Коэффициент Пуассона принимался равным 0,3. Полученные
результаты сопоставлялись с аналитическим решением [10]:
к = 1,2, 3, 4.
118 ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2008, № 4
Смешанно-гибридная схема метода конечных элементов
Т а б л и ц а 2
Результаты расчетов коэффициентов [) и а свободно опертой квадратной пластины
под действием распределенной нагрузки при использовании сетки типа “крест”
Сетка 8 Погрешность, % а Погрешность, %
км кэ Смкэ км кэ Смкэ км кэ Смкэ км кэ Смкэ
4 X 4 0,04016 0,05100 16,16 -6,47 0,004165 0,004079 -2,53 -0,42
6Х 6 0,03723 0,04915 22,27 -2,61 0,004176 0,004067 -2,80 -0,12
8Х 8 0,03632 0,04858 24,17 -1,42 0,004184 0,004065 -3,00 -0,07
10Х 10 0,03590 0,04833 25,05 -0,89 0,004187 0,004064 -3,08 -0,05
20 X 20 0,03533 0,04800 26,24 -0,21 0,004192 0,004063 -3,20 -0,02
40 X 40 0,03520 0,04791 26,51 -0,02 0,004193 0,004062 -3,22 0
60Х 60 0,03516 0,04790 26,59 0 0,004193 0,004062 -3,22 0
80 X 80 0,03516 0,04790 26,59 0 0,004193 0,004062 -3,22 0
[3] 0,0479 0,004062
Результаты расчетов представлены в табл. 3, 4 для двух вариантов
разбиения пластины на треугольные элементы. При использовании сетки
типа “крест” смешанный метод сходится и дает более точные значения
частот р к по сравнению с классическим треугольником Зенкевича.
Т а б л и ц а 3
Результаты расчетов собственных частот колебаний свободно опертой квадратной
пластины при использовании равномерной треугольной сетки
Сетка 1̂ <Н2 «3
км кэ Смкэ км кэ Смкэ км кэ Смкэ км кэ Смкэ
4 X 4 3,02927 3,09001 7,41289 7,62941 11,4469 11,9088 15,3072 15,4983
6Х 6 3,08477 3,11722 7,59887 7,74452 11,8838 12,2297 15,3842 15,6394
8X 8 3,10739 3,12755 7,69377 7,78918 12,1264 12,3611 15,4630 15,6566
10Х 10 3,11868 3,13250 7,74527 7,81134 12,2639 12,4294 15,5262 15,6687
20 X 20 3,13490 3,13929 7,82356 7,84287 12,4805 12,5300 15,6512 15,6953
40 X 40 3,13950 3,14101 7,84558 7,85117 12,5427 12,5571 15,6923 15,7046
60Х 60 3,14048 3,14133 7,84995 7,85273 12,5551 12,5623 15,7006 15,7064
80 X 80 3,14086 3,14145 7,85154 7,85328 12,5596 12,5641 15,7036 15,7071
100Х 100 3,14106 3,14150 7,85232 7,85353 12,5618 12,5649 15,7051 15,7074
120Х 120 3,14118 3,14152 7,85257 7,85367 12,5630 12,5653 15,7059 15,7076
140Х 140 3,14125 3,14154 7,85302 7,85375 12,5638 12,5656 15,7064 15,7077
160Х 160 3,14131 3,14155 7,85321 7,85380 12,5643 12,5658 15,7067 15,7078
[10] 3,141593 7,853982 12,56637 15,70796
ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2008, № 4 119
А. Ю. Чирков
Т а б л и ц а 4
Результаты расчетов собственных частот колебаний свободно опертой квадратной
пластины при использовании сетки типа “крест”
Сетка «3
КМКЭ СМКЭ КМКЭ СМКЭ КМКЭ СМКЭ КМКЭ СМКЭ
4 X 4 3,08683 3,13266 7,58134 7,76652 12,0137 12,2735 14,6718 15,3277
6Х 6 3,09172 3,13871 7,67562 7,82210 12,3306 12,5049 15,1178 15,5543
8Х 8 3,09211 3,14010 7,70029 7,83644 12,3636 12,5403 15,2605 15,6183
10Х 10 3,09213 3,14066 7,71010 7,84270 12,3685 12,5512 15,3283 15,6485
20 X 20 3,09207 3,14136 7,72521 7,85108 12,3687 12,5627 15,4252 15,6920
40Х 40 3,09205 3,14153 7,72886 7,85325 12,3683 12,5655 15,4513 15,7039
60Х 60 3,09204 3,14156 7,72955 7,85365 12,3682 12,5660 15,4562 15,7061
80 X 80 3,09204 3,14158 7,72979 7,85379 12,3682 12,5661 15,4580 15,7069
100Х 100 3,09204 3,14158 7,72990 7,85386 12,3682 12,5662 15,4588 15,7073
120Х 120 3,09204 3,14159 7,72997 7,85390 12,3682 12,5663 15,4592 15,7075
140Х 140 3,09204 3,14159 7,7300 7,85392 12,3682 12,5663 15,4595 15,7076
[10] 3,141593 7,853982 12,56637 15,70796
У ст ойчивост ь свобод н о оп ерт ой квадрат н ой пласт ины при одн оосн ом
сж ат ии. Определялись первые четыре значения критической нагрузки. Коэф
фициент Пуассона принимался равным 0,3. Численные результаты сопос
тавлялись с аналитическим решением [11]:
Р к = Хкп 2о / а 2 , к = 1, 2, 3, 4.
Результаты расчетов представлены в табл. 5, 6 для двух вариантов
разбиения пластины на треугольные элементы. Как и в задачах о свободных
колебаниях пластины, смешанный метод позволяет получить более точные
значения критической нагрузки по сравнению с классическим треуголь
ником Зенкевича.
Заключение. Приведенный вариант смешанной аппроксимации проги
ба и угла поворота нормали к срединной поверхности пластины удовлетво
ряет критерию “постоянства деформаций” и, следовательно, выдерживает
“кусочное” тестирование. При использовании равномерной треугольной сетки
смешанная аппроксимация и треугольник Зенкевича приводят к близким ре
зультатам, которые при сгущении сетки сходятся к точному решению зада
чи. Для неравномерных сеток и разбиений типа “крест” треугольник Зенке
вича дает приемлемые результаты только для прогиба и не гарантирует схо
димость численного решения для изгибающих моментов. Смешанный метод
обеспечивает сходимость при сгущении сетки как для прогиба пластины,
так и изгибающих моментов, точность вычисления которых практически не
зависит от способа разбиения пластины на треугольные элементы. В задачах
120 0556-171Х. Проблемы прочности, 2008, № 4
Смешанно-гибридная схема метода конечных элементов
Т а б л и ц а 5
Результаты расчетов критической нагрузки для квадратной свободно опертой
пластины при одноосном сжатии с использованием равномерной треугольной сетки
Сетка І1 ^2 І3 ^4
км кэ Смкэ км кэ Смкэ км кэ Смкэ км кэ Смкэ
4 X 4 3,7212 4,0217 5,6742 6,4564 10,2618 12,0740 12,9991 16,2376
6Х 6 3,8588 4,0095 5,9367 6,3549 10,6139 11,7301 14,2779 16,1775
8х 8 3,9147 4,0052 6,0534 6,3079 10,7556 11,4576 14,9018 16,0950
10Х 10 3,9426 4,0033 6,1160 6,2864 10,8514 11,3285 15,2451 16,0580
20 X 20 3,9831 4,0008 6,2118 6,2587 11,0309 11,1631 15,7835 16,0132
40 X 40 3,9947 4,0002 6,2392 6,2522 11,0890 11,1239 15,9401 16,0032
60Х 60 3,9972 4,0001 6,2447 6,2510 11,1007 11,1168 15,9714 16,0014
80 X 80 3,9981 4,0000 6,2468 6,2505 11,1050 11,1143 15,9828 16,0008
100Х 100 3,9986 4,0000 6,2478 6,2503 11,1070 11,1132 15,9883 16,0005
120Х 120 3,9989 4,0000 6,2483 6,2502 11,1081 11,1125 15,9914 16,0003
140Х 140 3,9991 4,0000 6,2487 6,2502 11,1089 11,1122 15,9933 16,0002
160Х 160 3,9993 4,0000 6,2489 6,2501 11,1093 11,1119 15,9947 16,0002
[11] 4,0 6,25 11,1111 16,0
Т а б л и ц а 6
Результаты расчетов критической нагрузки для квадратной свободно опертой
пластины при одноосном сжатии с использованием сетки типа “крест”
Сетка І1 ^2 І3 ^4
км кэ Смкэ км кэ Смкэ км кэ Смкэ км кэ Смкэ
4 Х 4 3,8608 4,0363 5,8436 6,3866 9,7475 11,4645 14,0131 16,1206
6Х 6 3,8718 4,0182 5,9694 6,3239 10,3040 11,3404 15,4008 16,2638
8Х 8 3,8735 4,0100 6,0057 6,2923 10,4847 11,2412 15,4723 16,1657
10Х 10 3,8740 4,0067 6,0226 6,2771 10,5763 11,1936 15,4863 16,1083
20Х 20 3,8746 4,0017 6,0461 6,2567 10,7128 11,1310 15,4963 16,0270
40Х 40 3,8748 4,0004 6,0523 6,2517 10,7504 11,1160 15,4985 16,0067
60Х 60 3,8748 4,0002 6,0535 6,2507 10,7576 11,1133 15,4989 16,0030
80Х 80 3,8748 4,0001 6,0539 6,2504 10,7601 11,1123 15,4990 16,0012
100Х 100 3,8748 4,0001 6,0541 6,2503 10,7613 11,1119 15,4991 16,0011
120Х 120 3,8748 4,0000 6,0542 6,2502 10,7619 11,1116 15,4992 16,0007
140Х 140 3,8748 4,0000 6,0542 6,2501 10,7623 11,1115 15,4992 16,0005
160Х 160 3,8748 4,0000 6,0543 6,2501 10,7626 11,1114 15,4992 16,0004
[11] 4,0 6,25 11,1111 16,0
о свободных колебаниях и устойчивости пластины смешанный метод позво
ляет получить более точные значения собственных частот и уровней крити
ческой нагрузки по сравнению с классическим треугольником Зенкевича.
ТХОТ 0556-171Х. Проблемы прочности, 2008, N 4 121
А. Ю. Чирков
Р е з ю м е
Для розв’язку задач про згин, коливання та стійкість пластин побудовано
гібридний скінченний елемент на основі трикутника Зенкевича. Використо
вується змішана апроксимація для прогину та кутів поворотів пластини.
Показано, що зі зменшенням розмірів трикутників змішаний метод забезпе
чує збіжність як для прогину пластини, так і згинальних моментів, яка прак
тично не залежить від способу розбиття пластини на трикутні елементи. У
задачах про власні коливання і стійкість пластин змішаний метод дає більш
точні значення власних частот та рівнів критичного навантаження порівняно
з класичним трикутником Зенкевича. Наведено результати числового аналі
зу збіжності і точності розв’язку модельних задач про згин, власні коли
вання та стійкість квадратної пластини.
1. Z ien k iew icz O. C. a n d T a ylo r R. L . The Finite Element Method. - Oxford;
Auckland; Boston; Johannesburg; Melbourne; New Delhi: Butterworth
Heinemann, 2000. - 1482 p.
2. Ч ирков А. Ю . Смешанная схема метода конечных элементов для реше
ния краевых задач теории упругости и малых упругопластических
деформаций. - Киев: Ин-т пробл. прочности, 2003. - 250 с.
3. Тим ош енко С. П ., В ой н овски й -К ри гер С. Пластинки и оболочки. - М.:
Наука, 1966. - 635 с.
4. С ъярле Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач. - М.:
Мир, 1980. - 412 с.
5. B ergan P. G. a n d H an ssen L. A new approach for deriving “good” element
stiffness matrices // The Mathematics of Finite Elements and Applications /
Ed. J. R. Whiteman. - London: Academic Press, 1977. - P. 483 - 498.
6. B ergan P. G. a n d N y g a rd M . K . Finite elements with increased freedom in
choosing shape functions // Int. J. Num. Eng. - 1984. - 20. - P. 643 - 664.
7. F elip p a C. A. a n d B ergan P. G. A triangular plate bending element based on
energy orthogonal free formulation // Comp. Meth. Appl. Mech. Eng. -
1987. - 61. - P. 129 - 160.
8. S p ech t B. Modified shape functions for the three node plate bending element
passing the patch test // Int. J. Num. Mech. Eng. - 1988. - 26. - P. 705 -
715.
9. О ганесян Л . А ., Р ух о вец Л . А . Вариационно-разностные методы решения
эллиптических уравнений. - Ереван: Изд-во АН АрмССР, 1979. - 235 с.
10. Б а б а к о в И. М . Теория колебаний. - М.: Наука, 1968. - 559 с.
11. Б и р гер И. А., П ан овко Я. Г . Прочность, устойчивость, колебания. - М.:
Машиностроение, 1968. - Т. 3. - 567 с.
Поступила 14. 09. 2006
122 ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2008, № 4
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-48268 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0556-171X |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T18:54:36Z |
| publishDate | 2008 |
| publisher | Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Чирков, А.Ю. 2013-08-17T17:06:32Z 2013-08-17T17:06:32Z 2008 Смешанно-гибридная схема метода конечных элементов для решения задач об изгибе, собственных колебаниях и устойчивости пластин / А.Ю. Чирков // Проблемы прочности. — 2008. — № 4. — С. 108-122. — Бібліогр.:11 назв. — рос. 0556-171X https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/48268 539.3 Для решения задач об изгибе, колебаниях и устойчивости пластин построен гибридный конечный элемент на основе треугольника Зенкевича. Применяется смешанная аппроксимация для прогиба и углов поворотов пластины. Показано, что с уменьшением размеров треугольников смешанный метод обеспечивает сходимость как для прогиба пластины, так и изгибающих моментов, которая практически не зависит от способа разбиения пластины на треугольные элементы. В задачах о собственных колебаниях и устойчивости пластин смешанный метод дает более точные значения собственных частот и уровней критической нагрузки по сравнению с классическим треугольником Зенкевича. Представлены результаты численного анализа сходимости и точности решения модельных задач об изгибе, собственных колебаниях и устойчивости квадратной пластины. Для розв’язку задач про згин, коливання та стійкість пластин побудовано гібридний скінченний елемент на основі трикутника Зенкевича. Використовується змішана апроксимація для прогину та кутів поворотів пластини. Показано, що зі зменшенням розмірів трикутників змішаний метод забезпечує збіжність як для прогину пластини, так і згинальних моментів, яка практично не залежить від способу розбиття пластини на трикутні елементи. У задачах про власні коливання і стійкість пластин змішаний метод дає більш точні значення власних частот та рівнів критичного навантаження порівняно з класичним трикутником Зенкевича. Наведено результати числового аналізу збіжності і точності розв’язку модельних задач про згин, власні коливання та стійкість квадратної пластини. In order to solve problems of bending, vibrations and stability of plates, we have constructed a hybrid finite element based on the Zienkiewicz triangle. Mixed approximation is used for plate deflections and angular deflections. It is shown that with reduction of triangle dimensions the mixed method ensures convergence of both plate deflections and bending moments, which convergence is practically independent on the plate’s particular mesh of triangular elements. In problems of free vibra tions and stability of plates, the mixed method provides more precise values of natural frequen cies and the ultimate load values, as compared to the classical Zienkiewicz triangle. We present results of a numerical analysis of convergence and adequacy of solution of model problems of bending, vibrations and stability of square plates. ru Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України Проблемы прочности Научно-технический раздел Смешанно-гибридная схема метода конечных элементов для решения задач об изгибе, собственных колебаниях и устойчивости пластин Mixed-hybrid scheme of a finite element method for solution of problems of bending, free vibrations, and stability of plates Article published earlier |
| spellingShingle | Смешанно-гибридная схема метода конечных элементов для решения задач об изгибе, собственных колебаниях и устойчивости пластин Чирков, А.Ю. Научно-технический раздел |
| title | Смешанно-гибридная схема метода конечных элементов для решения задач об изгибе, собственных колебаниях и устойчивости пластин |
| title_alt | Mixed-hybrid scheme of a finite element method for solution of problems of bending, free vibrations, and stability of plates |
| title_full | Смешанно-гибридная схема метода конечных элементов для решения задач об изгибе, собственных колебаниях и устойчивости пластин |
| title_fullStr | Смешанно-гибридная схема метода конечных элементов для решения задач об изгибе, собственных колебаниях и устойчивости пластин |
| title_full_unstemmed | Смешанно-гибридная схема метода конечных элементов для решения задач об изгибе, собственных колебаниях и устойчивости пластин |
| title_short | Смешанно-гибридная схема метода конечных элементов для решения задач об изгибе, собственных колебаниях и устойчивости пластин |
| title_sort | смешанно-гибридная схема метода конечных элементов для решения задач об изгибе, собственных колебаниях и устойчивости пластин |
| topic | Научно-технический раздел |
| topic_facet | Научно-технический раздел |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/48268 |
| work_keys_str_mv | AT čirkovaû smešannogibridnaâshemametodakonečnyhélementovdlârešeniâzadačobizgibesobstvennyhkolebaniâhiustoičivostiplastin AT čirkovaû mixedhybridschemeofafiniteelementmethodforsolutionofproblemsofbendingfreevibrationsandstabilityofplates |