Конечноэлементная модель для исследования колебаний стержня с закрывающейся трещиной
Представлена конечноэлементная модель вынужденных колебаний стержня с закрывающейся трещиной. Рассмотрены особенности численного решения и методы его ускоренной реализации. Приведены результаты экспериментальной оценки достоверности модели. Представлено скінченноелементну модель вимушених коливань...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Проблемы прочности |
|---|---|
| Дата: | 2008 |
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України
2008
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/48348 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Конечноэлементная модель для исследования колебаний стержня с закрывающейся трещиной / О.А. Бовсуновский // Проблемы прочности. — 2008. — № 5. — С. 114-120. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859837391773106176 |
|---|---|
| author | Бовсуновский, О.А. |
| author_facet | Бовсуновский, О.А. |
| citation_txt | Конечноэлементная модель для исследования колебаний стержня с закрывающейся трещиной / О.А. Бовсуновский // Проблемы прочности. — 2008. — № 5. — С. 114-120. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Проблемы прочности |
| description | Представлена конечноэлементная модель вынужденных колебаний стержня с закрывающейся
трещиной. Рассмотрены особенности численного решения и методы его ускоренной
реализации. Приведены результаты экспериментальной оценки достоверности модели.
Представлено скінченноелементну модель вимушених коливань стрижня з
тріщиною, що закривається. Розглянуто особливості числового розв’язку і
методи прискорення його реалізації. Наведено результати експериментальної
оцінки достовірності моделі.
A finite element model of a beam with a closing
crack is proposed, which is used for the solution
of forced vibration problem. The features
of the numerical solution and the methods of
computational speedup are discussed. The results
of the experimental validation of the presented
model are presented.
|
| first_indexed | 2025-12-07T15:35:30Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 620.178; 620.179
Конечноэлементная модель для исследования колебаний стержня
с закрывающейся трещиной
О. А. Бовсуновский
Институт проблем прочности им. Г. С. Писаренко НАН Украины, Киев, Украина
Представлена конечноэлементная модель вынужденных колебаний стержня с закрыва
ющейся трещиной. Рассмотрены особенности численного решения и методы его ускоренной
реализации. Приведены результаты экспериментальной оценки достоверности модели.
К лю ч е в ы е с л о в а : закрывающаяся трещина, нелинейные резонансы, диагнос
тика повреждений.
Введение. Наиболее распространенным видом повреждения конструк
ций, подверженных динамическому нагружению, является трещина уста
лости. При циклическом деформировании упругого тела такая трещина
имеет свойство открываться на полуцикле растяжения и закрываться на
полуцикле сжатия, изменяя тем самым его жесткость в процессе цикли
ческого деформирования. Обычно изменение жесткости моделируется не
симметричной кусочно-линейной характеристикой восстанавливающей силы
[1, 2] или характерным изменением вынуждающей силы [3].
Закрывающаяся трещина, обусловливая существенную нелинейность
колебательной системы, создает ряд трудностей при аналитическом реше
нии задачи о вынужденных колебаниях такой системы. Сложность анали
тического решения задачи о колебаниях тел с трещиной, а также наличие
проблем при оценке и прогнозировании изменения их вибрационных харак
теристик приводят к необходимости использования численных методов ре
шения указанных задач. При решении задач подобного класса широко
применяется метод конечных элементов.
В настоящей работе предлагается конечноэлементная (КЭ) модель
стержня с закрывающейся трещиной, используемая для решения задачи о
его вынужденных колебаниях. Рассматривается метод решения дифферен
циальных уравнений движения и на основании сопоставления результатов
расчетов с данными экспериментов оценивается достоверность модели.
Конечноэлементная модель стержня с закрывающейся трещиной.
Данная конечноэлементная модель стержня с краевой поперечной закры
вающейся трещиной (рис. 1) основана на КЭ-модели, рассмотренной в
работе [4]. Предполагается, что трещина влияет только на жесткость стерж
ня и не влияет на его массу и демпфирующую способность. Влияние
трещины на механические свойства упругого тела учитывается путем экви
валентного изменения жесткости одного из элементов КЭ-модели, который
условно называется поврежденным. Трещина моделируется модификацией
матрицы жесткости этого элемента.
Полагаем также, что жесткость упругого тела в моменты открытия и
закрытия трещины изменяется мгновенно. Таким образом, в процессе коле
баний стержень может находиться либо в условно неповрежденном состоя
© О. А. БОВСУНОВСКИЙ, 2008
114 ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2008, № 5
Конечноэлементная модель для исследования колебаний
нии (трещина закрыта), либо в поврежденном состоянии (трещина открыта).
Для каждого состояния стержня составляется своя матрица жесткости. Когда
трещина закрыта, ее влияние на жесткость стержня не учитывается, в этом
случае матрица жесткости вычисляется так же, как и для стержня без
трещины. Когда трещина открыта, в матрицу жесткости включается элемент
с модифицированной жесткостью, моделирующий трещину.
Рис. 1. Модель стержня с закрывающейся трещиной.
Эквивалентная жесткость элемента, моделирующего трещину, опреде
ляется методом, основанным на балансе энергий деформации. С одной
стороны, изменение потенциальной энергии в сечении с трещиной опре
деляется с помощью подходов механики разрушения через коэффициенты
интенсивности напряжений, с другой - методом классической механики
через податливость упругого элемента.
Элементы матрицы податливости элемента без трещины [Се ] вычис
ляются по формуле
I
' е ][ С ^ ] =
2 /2 3/
3/
где I - длина элемента; Е - модуль упругости; I р - полярный момент
инерции.
Элементы матрицы податливости элемента с трещиной [Се ] определя
ются следующим образом:
с = с (0) , с (1) (1)
с 1к с 1к + с 1к ■ (1)
Здесь 4 0) - элементы матрицы податливости неповрежденного элемента
[Се0)]; с к - элементы матрицы дополнительной податливости [Се^], кото
рые при наличии трещины находятся так:
(1) д и (1) (1) • , 0 с к = --------- = с у , I, к = 1, 2;
1к дР1 дРк к1
ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2008, № 5
Рі = Р; Р2 = м , (2)
115
О. А. Бовсуновский
где Р , М - поперечная сила и изгибающий момент, действующие на
элемент; д и (1) - дополнительная энергия деформации, обусловленная нали
чием трещины, при изгибе стержня она имеет вид
а ЪГ 2 Лтд и (і) = ъ \ — Ш Ла ,
■' Е (3)
где К ш - коэффициент интенсивности напряжений при растяжении; а -
глубина трещины; Ъ - ширина поперечного сечения.
В выражении (3) коэффициент интенсивности напряжений вычислялся
по формуле Черепанова [5]:
К ш =
4,2 Ш
ън 3/2 7(1 - у ) - 3 - (1 -У )3 (4)
где у = а/Н; Н - высота поперечного сечения.
В результате матрица жесткости элемента с трещиной принимает вид
[ К те ]= [Т ][Се ]- 1 [Т ]т , (5)
где [Т] - матрица преобразования системы зависимых узловых сил в систе
му независимых,
" - 1 - I 1 0'
0 - 1 0 1[Т ] =
0
Уравнение движения. Наличие трещины усталости приводит к перио
дическому изменению жесткости тела в процессе колебаний, которое харак
теризуется несимметричной кусочно-линейной восстанавливающей силой.
Уравнение движения для тела с такой характеристикой восстанавливающей
силы задается двумя системами дифференциальных уравнений, одна из них
описывает колебания тела с закрытой трещиной, другая - с открытой:
Г[М ]{*} + [Б]{Х} + [ К и ] {х} = {Р}Б( г), 6 = 0;
{[М ]{*} + [Б ]{Х} + [К* ]{х } = {Р}Б( г), 6 = 1, (6)
где параметр 6 определяет состояние трещины, 6 = 1 , если трещина откры
та, 6 = 0, если закрыта; {х} - вектор обобщенных узловых перемещений;
[М ] - глобальная матрица масс; [Б ] - глобальная матрица демпфирования;
[Ки ], [К* ] - глобальные матрицы жесткости тела с закрытой и открытой
трещиной соответственно; {Р} - вектор узловых нагрузок; Б ( г) - функция
вынуждающей силы. Здесь и далее матрицы, соответствующие неповреж
денному состоянию стержня, приведены с индексом и, матрицы, соответст
вующие поврежденному состоянию стержня, - с индексом *.
116 ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2008, № 5
Конечноэлементная модель для исследования колебаний
При численном решении системы дифференциальных уравнений (6) на
каждом временном шаге определяли состояние трещины, т.е. параметр д. В
случае изгибных колебаний этот параметр оценивали по относительной
величине углов поворотов сечений слева (р л) и справа (р п) от элемента с
трещиной. Если р л < р п, трещина закрыта (д = 0), если р л > р п, трещина
открыта (д = 1).
Численное решение уравнений движения (6) требует больших вычисли
тельных ресурсов. Существенная экономия времени вычисления достига
ется за счет их решения в главных или нормальных координатах. Получен
ное решение преобразуется в исходные узловые координаты.
В нормальных координатах система уравнений движения (6) принимает
вид
{[/„ ] {?} + [Л „ ]{д} + [ю 2 ] {д} = { Яи ( г), д = 0;
[[1< ]{д} + [Л< ]{д} + [ю 2 ]{д} = {*< }Р ( г), д = 1,
где {д} - главная координата; [Іи ], [Іа ] - матрицы масс в главных коор
динатах; [ю и ], [ю а ] - матрицы собственных частот в главных координатах;
[Л и ], [Л а ] - матрицы демпфирования в главных координатах; {Я и}, {Я й} -
векторы вынуждающих сил.
Уравнение движения (6) преобразуется к виду (7) с помощью следу
ющих соотношений:
[Іи ]= [Ф и Г [М ] [ф и ]; [Іа ] = [Фа ] [м ] [ф а ];
[ю 2 ]= [ф и ]Т [К ][ф и ]; [ю а ]= [Ф а ]Т [Ка ][Ф а ];
[Л и ]= [ф и ]Т [О ][ф и ]; [Л а ]= [Ф а ]Т № а ][Ф а ];
{^и} = [ф и]Т {Р}; {Яа }= [Ф а ]Т {Р},
где [Ф и ] - матрица форм колебаний стержня с закрытой трещиной; [Ф < ] -
матрица форм колебаний стержня с открытой трещиной.
Матрицы форм колебаний находятся из решения задачи на собственные
значения для стержня с закрытой и открытой трещиной для всех собст
венных значений Яг. При этом собственный вектор {Ф}, соответствующий
собственному значению Я г, будет представлять г-й столбец матрицы форм
колебаний. Для стержня с закрытой трещиной матрицы форм колебаний
получают из равенства
К и {Ф иг } = Яг М и {Ф иг},
для стержня с открытой трещиной -
{Ф <г } = Я<гМ {Ф <г }•
Преимуществом такого преобразования является диагональный вид
матриц [I], [Л ] и [ю ], что дает ощутимое ускорение решения уравнения
движения.
ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2008, № 5 117
О. А. Бовсуновский
Главные координаты {д} выражают количество каждой из форм коле
баний в колебательном процессе, а сами формы колебаний для повреж
денного и неповрежденного состояний стержня отличаются. Следовательно,
две системы дифференциальных уравнений, входящие в уравнение движе
ния (7), решаются в разных координатах. Поэтому на каждом временном
шаге, на котором происходит изменение состояния трещины, необходимо
вычислять начальные условия. Если на г-м временном шаге состояние тре
щины изменилось, то начальные условия для следующего г + 1-го шага
рассчитываются по формулам
{ д }а = [Ф а ]_1[ф и ] { д }и; (8)
{ д }и = [ф и ]_1[ф а ]{дг } а . (9)
Формула (8) используется при открытой трещине, формула (9) - при закры
той.
Оценка достоверности КЭ-модели. На результат расчетов колебаний
тел с закрытой трещиной существенное влияние оказывает разбиение тела
на элементы. Поэтому для оценки достоверности использовали две модели,
различающиеся КЭ-сетками. Первая модель имела сетку с уменьшенной
длиной элемента, моделирующего трещину, вторая - равномерную сетку.
Преимуществом первой модели является возможность более точного зада
ния местоположения трещины.
Достоверность КЭ-модели оценивали при сопоставлении результатов
расчета относительного изменения собственных частот колебаний консоль
ного стержня с краевой трещиной по первой форме изгибных колебаний с
данными экспериментов (таблица).
Обе модели удовлетворительно работают в диапазоне относительной
глубины трещины у < 0,5. Однако первая модель более точно описывает
изменение первой собственной частоты колебаний.
Следует отметить, что отличие расчетных данных от эксперименталь
ных прямо зависит не только от относительной глубины трещины у, но и от
отдаления трещины от заделки Ьс: чем больше отношение Ь с/ Ь , те м мень
ше значение £. Объяснить это можно уменьшением изменения жесткости
системы и, как следствие, уменьшением возмущений системы в моменты
открытия и закрытия трещины.
Расчетные результаты получены с использованием модели, состоящей
из 21 элемента. Дальнейшее увеличение элементов неоправданно, поскольку
существенного изменения результатов не наблюдается.
Оценка достоверности модели показывает ее способность выявлять
нелинейные резонансы, в частности супергармонический резонанс порядка
2/1 и субгармонический резонанс порядка 1/2 (расчеты проводили для
стержня со следующими параметрами: Ь = 0,23 м; Ь с/ Ь = 0,1; Н = 0,02 м;
Ь = 0,004 м; Е = 206 ГПа; р = 7850 кг/м 3; д = 0,01). Результаты этих расчетов
представлены на рис. 2. Как видно, амплитуды супергармонического и суб
гармонического резонансов соответственно в 144 и 299 раз меньше ампли-
118 0556-171Х. Проблемы прочности, 2008, № 5
Конечноэлементная модель для исследования колебаний
Экспериментальные и расчетные значения относительного изменения собственной
частоты колебаний моделей стержня с закрывающейся трещиной
Ьс/1 У Д/ехр
(эксп)
Л/І
(первая
модель)
Д/2
(вторая
модель)
е1, %
(первая
модель)
е2, %
(вторая
модель)
15Х2НМФА (220X 13,8Х 4 мм) [6]
0,077 0,101 0,999 0,998 0,996 -0,06% -0,28%
0,232 0,974 0,981 0,979 0,67% 0,52%
0,362 0,942 0,945 0,945 0,34% 0,32%
0,507 0,828 0,877 0,878 5,94% 6,15%
0,652 0,645 0,761 0,765 18,00% 18,62%
0,155 0,244 0,988 0,981 0,981 -0,70% -0,66%
0,347 0,969 0,957 0,959 - 1,16% -0,94%
0,486 0,882 0,904 0,910 2,59% 3,23%
0,277 0,101 0,997 1,000 0,997 0,33% 0,08%
0,217 0,991 0,991 0,988 0,03% -0,21%
0,312 0,983 0,977 0,975 -0,55% -0,75%
0,406 0,963 0,956 0,954 -0,67% -0,84%
0,500 0,933 0,924 0,954 -0,90% 2,35%
Сталь ЛТ8Т8-1018 (330Х 25Х 25 мм) [7]
0 0,250 0,924 0,973 0,975 5,30% 5,54%
0,500 0,871 0,884 0,894 1,53% 2,71%
0,750 0,725 0,723 0,741 -0,26% 2,29%
0,18 0,250 0,947 0,983 0,983 3,90% 3,83%
0,500 0,901 0,924 0,925 2,66% 2,74%
0,750 0,830 0,799 0,801 - 3,70% -3,38%
Примечание. Д/ехр, Д / и Д/2 - относительное изменение собственной частоты, обуслов
ленное наличием трещины; £ и £2 - относительное отличие экспериментальных данных от
расчетных для первой и второй моделей.
Рис. 2. Зависимость коэффициента динамичности от относительной частоты вынужда
ющей силы т при супергармоническом (а), основном (б) и субгармоническом (в) резо
нансах.
ЙХ# 0556-171Х. Проблемы прочности, 2008, № 5 119
О. А. Бовсуновский
туды основного резонанса. Различие между амплитудами основного и нели
нейных резонансов уменьшается с ростом трещины и уровня демпфиро
вания. В любом случае амплитуды нелинейных резонансов слишком малы
для использования их с целью диагностики повреждений.
В ы в о д ы
1. КЭ-модель стержня с краевой закрывающейся трещиной позволяет
исследовать его вынужденные колебания.
2. Предложен способ ускорения решения дифференциальных уравне
ний движения, заключающийся в приведении их к главным координатам с
учетом изменения последних в моменты открытия и закрытия трещины.
3. Оценка достоверности КЭ-модели показывает, что с ее помощью
можно с достаточной точностью прогнозировать изменение собственных
частот колебаний стержня с трещиной и описывать нелинейные резонансы.
Р е з ю м е
Представлено скінченноелементну модель вимушених коливань стрижня з
тріщиною, що закривається. Розглянуто особливості числового розв’язку і
методи прискорення його реалізації. Наведено результати експерименталь
ної оцінки достовірності моделі.
1. Zastrau B. Vibration of cracked structures // Arch. Mech. - 1985. - 37, No. 6.
- P. 731 - 743.
2. W ong C. W., Z hang W. S., and L au S. L . Periodic forced vibration of
unsymmetrical piecewise-linear systems by incremental harmonic balance
method // J. Sound Vibration. - 1991. - 149, No. 1. - P. 91 - 105.
3. M aezaw a S. a n d F urukaw a S. Superharmonic resonance in piecewise linear
system // Bull. JSME. - 1973. - 16, No. 96. - P. 931 - 941.
4. R uoto lo R ., Surace C., Crespo P ., a n d S torer D . Harmonic analysis of the
vibrations of a cantilevered beam with a closing crack // Comp. Struct. -
1996. - 61, No. 6. - P. 1057 - 1074.
5. Ч ерепанов Г. П. Механика хрупкого разрушения. - М.: Наука, 1974. -
640 с.
6. Б овсуновский А. П . К вопросу об определении собственной частоты
поперечных и продольных колебаний стержня с трещиной. Сообщ. 2.
Результаты эксперимента и расчета // Пробл. прочности. - 1999. - № 3.
- С. 45 - 54.
7. Ism a il F ., Ibrahim A ., a n d M artin H. R. Identification of fatigue cracks from
vibration testing // J. Sound Vibration. - 1990. - 140, No. 2. - P. 305 - 317.
Поступила 25. 10. 2007
120 ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2008, № 5
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-48348 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0556-171X |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T15:35:30Z |
| publishDate | 2008 |
| publisher | Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Бовсуновский, О.А. 2013-08-18T13:48:46Z 2013-08-18T13:48:46Z 2008 Конечноэлементная модель для исследования колебаний стержня с закрывающейся трещиной / О.А. Бовсуновский // Проблемы прочности. — 2008. — № 5. — С. 114-120. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. 0556-171X https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/48348 620.178; 620.179 Представлена конечноэлементная модель вынужденных колебаний стержня с закрывающейся трещиной. Рассмотрены особенности численного решения и методы его ускоренной реализации. Приведены результаты экспериментальной оценки достоверности модели. Представлено скінченноелементну модель вимушених коливань стрижня з тріщиною, що закривається. Розглянуто особливості числового розв’язку і методи прискорення його реалізації. Наведено результати експериментальної оцінки достовірності моделі. A finite element model of a beam with a closing crack is proposed, which is used for the solution of forced vibration problem. The features of the numerical solution and the methods of computational speedup are discussed. The results of the experimental validation of the presented model are presented. ru Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України Проблемы прочности Научно-технический раздел Конечноэлементная модель для исследования колебаний стержня с закрывающейся трещиной A finite element model for simulation of vibrations of a beam with a closing crack Article published earlier |
| spellingShingle | Конечноэлементная модель для исследования колебаний стержня с закрывающейся трещиной Бовсуновский, О.А. Научно-технический раздел |
| title | Конечноэлементная модель для исследования колебаний стержня с закрывающейся трещиной |
| title_alt | A finite element model for simulation of vibrations of a beam with a closing crack |
| title_full | Конечноэлементная модель для исследования колебаний стержня с закрывающейся трещиной |
| title_fullStr | Конечноэлементная модель для исследования колебаний стержня с закрывающейся трещиной |
| title_full_unstemmed | Конечноэлементная модель для исследования колебаний стержня с закрывающейся трещиной |
| title_short | Конечноэлементная модель для исследования колебаний стержня с закрывающейся трещиной |
| title_sort | конечноэлементная модель для исследования колебаний стержня с закрывающейся трещиной |
| topic | Научно-технический раздел |
| topic_facet | Научно-технический раздел |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/48348 |
| work_keys_str_mv | AT bovsunovskiioa konečnoélementnaâmodelʹdlâissledovaniâkolebaniisteržnâszakryvaûŝeisâtreŝinoi AT bovsunovskiioa afiniteelementmodelforsimulationofvibrationsofabeamwithaclosingcrack |