Про остаточність деяких оцінок щодо збіжності ортогональних рядів

Про остаточність деяких оцінок щодо збіжності ортогональних рядів

Одержано дві теореми щодо остаточності деяких коефіцієнтних оцінок для рядів за загальними ортонормованими системами.

Saved in:
Bibliographic Details
Date:2010
Main Author: Кирилов, С.О.
Format: Article
Language:Ukrainian
Published: Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2010
Series:Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки
Online Access:https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/48774
Tags: Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Cite this:Про остаточність деяких оцінок щодо збіжності ортогональних рядів / С.О. Кирилов // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2010. — Вип. 4. — С. 93-99. — Бібліогр.: 11 назв. — укр.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-48774
record_format dspace
spelling nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-487742025-02-09T14:25:14Z Про остаточність деяких оцінок щодо збіжності ортогональних рядів A finality on some estimates on the convergence of orthogonal series Кирилов, С.О. Одержано дві теореми щодо остаточності деяких коефіцієнтних оцінок для рядів за загальними ортонормованими системами. Two theorems are obtained about conclusiveness of some coefficient estimates for series by general orthonormal systems. 2010 Article Про остаточність деяких оцінок щодо збіжності ортогональних рядів / С.О. Кирилов // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2010. — Вип. 4. — С. 93-99. — Бібліогр.: 11 назв. — укр. XXXX-0059 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/48774 517.518 uk Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки application/pdf Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
language Ukrainian
description Одержано дві теореми щодо остаточності деяких коефіцієнтних оцінок для рядів за загальними ортонормованими системами.
format Article
author Кирилов, С.О.
spellingShingle Кирилов, С.О.
Про остаточність деяких оцінок щодо збіжності ортогональних рядів
Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки
author_facet Кирилов, С.О.
author_sort Кирилов, С.О.
title Про остаточність деяких оцінок щодо збіжності ортогональних рядів
title_short Про остаточність деяких оцінок щодо збіжності ортогональних рядів
title_full Про остаточність деяких оцінок щодо збіжності ортогональних рядів
title_fullStr Про остаточність деяких оцінок щодо збіжності ортогональних рядів
title_full_unstemmed Про остаточність деяких оцінок щодо збіжності ортогональних рядів
title_sort про остаточність деяких оцінок щодо збіжності ортогональних рядів
publisher Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate 2010
url https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/48774
citation_txt Про остаточність деяких оцінок щодо збіжності ортогональних рядів / С.О. Кирилов // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2010. — Вип. 4. — С. 93-99. — Бібліогр.: 11 назв. — укр.
series Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки
work_keys_str_mv AT kirilovso proostatočnístʹdeâkihocínokŝodozbížnostíortogonalʹnihrâdív
AT kirilovso afinalityonsomeestimatesontheconvergenceoforthogonalseries
first_indexed 2025-11-26T19:58:54Z
last_indexed 2025-11-26T19:58:54Z
_version_ 1849884290372861952
fulltext Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 4 93 УДК 517.518. С. О. Кирилов, канд. фіз.-мат. наук Одеський національний морський університет, м. Одеса ПРО ОСТАТОЧНІСТЬ ДЕЯКИХ ОЦІНОК ЩОДО ЗБІЖНОСТІ ОРТОГОНАЛЬНИХ РЯДІВ Одержано дві теореми щодо остаточності деяких коефіцієнт- них оцінок для рядів за загальними ортонормованими системами. Ключові слова: ортогональна система, коефіцієнти Фур’є, простір Лоренца. Поняття Sp-системи було введено С. Б. Стєчкіним і виникло як узагальнення того факту, що аналогічними властивостями володіють лакунарні підсистеми тригонометричної системи функцій. Саме С. Б. Стєчкіним були одержані необхідні і достатні коефіцієнтні умо- ви для збіжності майже всюди рядів за такими системами. Подаль- шому розвитку цих результатів присвячені роботи [1; 2]. Поняття S(p, )-систем виникло як природне узагальнення поняття Sp- системи. У роботі [3] наведені коефіцієнтні умови, які зумовлюють збіжність майже всюди рядів за S(p, )-системами, проте питання про остаточність цього результату залишилось відкритим. Перший параг- раф статті містить теорему, яка розв’язує питання про остаточність зазначених коефіцієнтних умов. Перші оцінки норм функцій, які є сумою деякого ряду за загаль- ними ортонормованими системами були одержані Пелі. Пізніше такі оцінки в різних функціональних просторах і для різних ортогональних систем досліджували різні автори, наприклад, див. [4—7]. Так оцінку норм функцій через їх коефіцієнти Фур’є, у випадку ортонормованої системи, норми якої у просторах Лебега не є обмеженими у сукупності було одержано у роботі [8], проте питання про остаточність такої оцін- ки не досліджувалось. У другому параграфі статті доведено теорему, що, в деякому сенсі, свідчить про остаточність такої оцінки. Перейдемо до викладення основних результатів статті. 1. Остаточність коефіцієнтних оцінок для S(p, )-систем Нехай  k  — неспадаюча послідовність додатних чисел. Означення. Послідовність  називається опуклою догори , як- що при всіх n=1,2,... 2 2 12 0n n n n         . Остання нерівність означає, що ламана з вершинами в точках (k, k), k = 1, 2, ... являє собою графік опуклої догори функції. © С. О. Кирилов, 2010 Математичне та комп’ютерне моделювання 94 Легко бачити, що в цьому випадку при всіх k = 1, 2, ... 1 2 1k k C        , а значить, k = O(k). (1) Головним результатом параграфу є така теорема. Теорема 1. Нехай  k  — неспадаюча, опукла догори пос- лідовність додатних чисел. Існує така ортонормована система на від- різку [0,1]  ( )n x , яка є S(p, )-системою (2 < p < ), і при будь-якій послідовності  n з   2logn no e   , (2) знайдеться така послідовність  na , що 2 1 n n n a      , але ряд 1 ( )n n n a x    є розбіжним на множині додатної міри. Доведення. Визначимо послідовність  k так. Нехай  2min :k nn k    . При цьому  2 2 2 2 1 1 . k k k k k C            Не обмежуючи загальності, будемо вважати, що 1 1  і при всіх k: 2 1 k k   . Визначимо тепер нашу систему  ( )n x так. Покладемо     12 (2 ), 0, ,2 ( ) 10, ,1 ,2 k k x x x x         та якщо nk при всіх k=1,2,... ,то     10, 0, ,2 ( ) 12 (2 1), ,1 ,2 n n x x r x x        де ( ) sign sin 2n nr x x — функції Радемахера, а послідовність  ( )n x побудована в [9, c. 299]. Очевидно, що  ( )n x є ортогональною системою. Але, крім цього, Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 4 95 1 1 122 2 2 0 0 0 ( ) 2 (2 ) ( ) 1 k k kx dx x dx x dx       , і при nk , при всіх k = 1, 2, ... . 1 1 1 2 2 2 10 0 2 ( ) 2 (2 1) ( ) 1n n nx dx r x dx r x       , тобто система  ( )n x ортонормована на [0, 1]. Покажемо тепер, що  ( )n x — S(p, )-система. Для цього роз- глянемо поліном за цією системою 1 ( ) ( ). N N n n n P x a x    Mаємо: (1) (2) : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) k k k k N n n N N k N n n N P x a x a x P x P x              . Далі, 1 1 (2) 0 ( ) ( ) k k p p n n n nN p n n n N n Np P a x a x dx                         1 1 1 2 (2 1) k p p n n n n N a r x dx                  1 1 2 1 2 0 ( ) , k k p p p n n p n n n n N n N c a r x dx c a                          тому, що система Радемахера є Sp-системою [10, c. 153]. Далі, 1 1 (1) :0 ( ) k k k p p N p k N P a x dx               Математичне та комп’ютерне моделювання 96 1 1 1 12 : :0 0 (2 ) ( ) k k k k p p p p k p k k N k N a x dx c a x dx                             (3) 1 1 1 2 2 2 21 22 2 : : : :0 ( ) 1 . k k k k k k p p p p k p k N k N k N k N c a x c a                                                     Із означення  k легко зрозуміти , що 2 : 1 k N k N    , значить 1 2 (1) 2 : . k k p NN p k N P c a             (4) Об’єднуючи оцінки (3) і (4), одержуємо (1) (2) 2 1 N N p N nN Np p p n P P P c a            . Отже, показано, що  ( )n x — S(p, )-система. Нехай тепер  n задовольняє умову (2). Покладемо:  2 2 2log ( ) (log ). n nn o e o n       Тоді, спираючись на теорему Б. С. Кашина [9, c. 299], можна стверджувати, що знайдеться послідовність  na така, що 2 1 ,n n n a      (5) але ряд 1 ( )n n n a x    (6) розбігається на множині додатної міри. Нарешті, нехай k ka a  і an=0 при nk , k = 1, 2, ... . Тоді ряд 1 ( )n n n a x    розбігається на множині додатної міри вна- слідок розбіжності ряду (6) , хоча і 2 1 n n n a      згідно з (5). Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 4 97 2. Оцінка норми функцій у просторі Лоренца У цьому параграфі ми покажемо, що оцінка норми функцій у про- сторі Лоренца, що міститься у роботі [8, c. 193] точна у загальному випадку (для систем із L не обмежених в сукупності) в тому розумін- ні, що степінь величини Вn, яка міститься в оцінці, не можна замінити ніяким меншим степенем. А саме, справедлива така теорема. Теорема 2. Нехай  nM — деяка послідовність дійсних чисел, Mn  1, 2 1 n n k k B M    (n = 1, 2, ...), q > 2, r  2 і 2 1 .n nM cB  (7) Знайдеться ортонормована на [0,1] система  ( )n x і послідов- ність   2nc l , такі, що n nM   і при будь-якому 1rr q    2 1 r n n r nn Bc M      , але ряд 1 ( )n n n c x    збігається майже всюди до функції f0 і f0Lq,r. Доведення. Ми будемо використовувати конструкцію, аналогічну застосованої Масловим в [11]. Вважаємо, що M1 = 1 і 2 nM — цілі числа при всіх nN. Покладемо l1 = h0 = m0 = 0 = 0, h1 = m1 = 1 = 1 = 1 і далі, якщо lj-1, hj-1, mj-1, j-1, j-1 визначені, то покладемо 1 1 12 1 1 min : 2 ,j j h l j j k k h h h m M                 1 2 1 1 max : 2 ; 2 ; j j j h ll j j k j k h l l m M m                  1 1 2 1 1 , j j h j j j k k h m m M                та k kM M при k = hj-1, ..., hj-1 і 1 1 21 2 1 . j j j h h j j k k h M m m M               Тоді Математичне та комп’ютерне моделювання 98      1 1 2 1 1 1 1 11 22 4 j j h j j j k j j k h m m M m m                    (8) i 12 .j j jm m cm  (9) Ліва нерівність в (9) очевидна i , використовуючи (7) , маємо 1 1 1 1 1 1 2 2 2 1 1 1 0 2 2 j i j j j i h hj j j k h j h j k k h i k h m m M M m cB m c M                         1 1 1 2 1 1 1 1 0 2 j j h j k j i i i j k h i M m c m m m                   1 1 0 2 4 (3 4 ) . j j i i j j i m c m m m c m          Тепер покладемо sn-1=mn, 2 1 n n k k B M    і 1 1( ) ( ), n n B n n i i B x M x       де ( )i x — відома система Уолша. При hn < k  hn+1 покладемо 1 1 , q k n n nc p p s    і нехай 1 1 , , 1, 2,... n n k k k k k k s p p p p n         . Використовуючи властивості функцій Уолша, одержимо, що ряд 1 1 1 ( ) n n h n k n k h p x       збігається майже всюди до деякої функції f0 ,такої, що  1 1 1 0 , , , 1, 2,...; 1( ) 1, 0,1, ;2 0, при інших . n n nx s s n f x x x              Ясно, що f0  Lq,r. Дійсно, на підставі (9) 0 , 1 1 1 . p p pn pq pq q k k n n nq p n k n f s p s p s                    Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 4 99 Але в той же час, використовуючи (8) і (9) 1 1 1 2 2 1 1 1 1 n n n h r r r rk k k n k nr r h k kk n k h n B Bc p M p B M M                           1 11 1 1 1 1 n n r r n h h n n n n n n c p B B c p s s                 11 1 1 1 1 1 1 4 , r rr r q n n n nn n n n c p s c p s s                       що і треба було довести. Список використаних джерел: 1. Гапошкин В. Ф. Лакунарные ряды и независимые функции / В. Ф. Га- пошкин // Усп. мат. наук. — 1966. — Т. 21, № 6. — C. 3—82. 2. Балыкбаев Т. О. Об одном классе систем сходимости / Т. О. Балыкбаев // Изв. АН КазССР. Сер.: Физ.-мат. — 1986. — № 3. — C.6—9. 3. Кириллов С. А. О множителях Вейля для некоторых классов ортонорми- рованных систем / С. А. Кириллов // Изв. вузов. матем. — 1994. — № 7. — C. 29—36. 4. Stein E. M. Interpolation of operators with change of measures / E. M. Stein, G. Weiss // Trans. Amer. Math. Soc. — 1958. — Vol. 87. — P. 159—172. 5. Bullen P. S. Some extensions of the Hausdorff-Young and Paley theorems / P. S. Bullen // Canad. Math. Bull. — 1961. — Vol. 4, № 2. — P. 123—138. 6. Montgomery H. L. A note on rearrangement of Fourier coefficients / H. L. Montgomery // Ann. Inst. Fourier (Grenoble). — 1976. — Vol. 26. — P. 29—34. 7. Коляда В. И. О некоторых обобщениях теоремы Харди-Литтлвуда-Пэли / В. И. Коляда // Матем. заметки. — 1992. — Т. 51. — Вып. 3. — С. 24—34. 8. Kirillov S. A. Norm estimates of functions in Lorentz spaces / S. A. Kirillov // Acta Sci. Math. (Szeged). — 1999. — Vol. 65. — P. 189—201. 9. Кашин Б. С. Ортогональные ряды / Б. С. Кашин, А. А. Саакян. — М. : Наука, 1984. — 495 с. 10. Качмаж С. Теория ортогональных рядов / С. Качмаж, Г. Штейнгауз. — М. : Физматгиз, 1958. — 507 с. 11. Маслов А. В. К вопросу об окончательности оценок для коэффициентов Фурье по общим ортонормированным системам / А. В. Маслов // Изв. ву- зов. матем. — 1985. — № 8. — C. 23—34. Two teorems are obtained about conclusiveness of some coefficient es- timates for series by general orthonormal systems. Key words: orthogonal system, Fourier coefficients, Lorentz space. Отримано 08.10.2010 << /ASCII85EncodePages false /AllowTransparency false /AutoPositionEPSFiles true /AutoRotatePages /All /Binding /Left /CalGrayProfile (Gray Gamma 2.2) /CalRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1) /CalCMYKProfile (Coated FOGRA27 \050ISO 12647-2:2004\051) /sRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1) /CannotEmbedFontPolicy /Warning /CompatibilityLevel 1.3 /CompressObjects /Tags /CompressPages true /ConvertImagesToIndexed true /PassThroughJPEGImages true /CreateJobTicket false /DefaultRenderingIntent /Default /DetectBlends true /DetectCurves 0.1000 /ColorConversionStrategy /sRGB /DoThumbnails false /EmbedAllFonts true /EmbedOpenType false /ParseICCProfilesInComments true /EmbedJobOptions true /DSCReportingLevel 0 /EmitDSCWarnings false /EndPage -1 /ImageMemory 1048576 /LockDistillerParams false /MaxSubsetPct 100 /Optimize true /OPM 1 /ParseDSCComments true /ParseDSCCommentsForDocInfo true /PreserveCopyPage true /PreserveDICMYKValues true /PreserveEPSInfo false /PreserveFlatness false /PreserveHalftoneInfo false /PreserveOPIComments false /PreserveOverprintSettings true /StartPage 1 /SubsetFonts true /TransferFunctionInfo /Apply /UCRandBGInfo /Remove /UsePrologue false /ColorSettingsFile () /AlwaysEmbed [ true ] /NeverEmbed [ true /Arial-Black /Arial-BlackItalic /Arial-BoldItalicMT /Arial-BoldMT /Arial-ItalicMT /ArialMT /ArialNarrow /ArialNarrow-Bold /ArialNarrow-BoldItalic /ArialNarrow-Italic /ArialUnicodeMS /CenturyGothic /CenturyGothic-Bold /CenturyGothic-BoldItalic /CenturyGothic-Italic /CourierNewPS-BoldItalicMT /CourierNewPS-BoldMT /CourierNewPS-ItalicMT /CourierNewPSMT /Georgia /Georgia-Bold /Georgia-BoldItalic /Georgia-Italic /Impact /LucidaConsole /Tahoma /Tahoma-Bold /TimesNewRomanMT-ExtraBold /TimesNewRomanPS-BoldItalicMT /TimesNewRomanPS-BoldMT /TimesNewRomanPS-ItalicMT /TimesNewRomanPSMT /Trebuchet-BoldItalic /TrebuchetMS /TrebuchetMS-Bold /TrebuchetMS-Italic /Verdana /Verdana-Bold /Verdana-BoldItalic /Verdana-Italic ] /AntiAliasColorImages false /CropColorImages false /ColorImageMinResolution 150 /ColorImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleColorImages true /ColorImageDownsampleType /Bicubic /ColorImageResolution 150 /ColorImageDepth -1 /ColorImageMinDownsampleDepth 1 /ColorImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeColorImages true /ColorImageFilter /DCTEncode /AutoFilterColorImages true /ColorImageAutoFilterStrategy /JPEG /ColorACSImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /ColorImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /JPEG2000ColorACSImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /JPEG2000ColorImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /AntiAliasGrayImages false /CropGrayImages false /GrayImageMinResolution 150 /GrayImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleGrayImages true /GrayImageDownsampleType /Bicubic /GrayImageResolution 150 /GrayImageDepth -1 /GrayImageMinDownsampleDepth 2 /GrayImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeGrayImages true /GrayImageFilter /DCTEncode /AutoFilterGrayImages true /GrayImageAutoFilterStrategy /JPEG /GrayACSImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /GrayImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /JPEG2000GrayACSImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /JPEG2000GrayImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /AntiAliasMonoImages false /CropMonoImages false /MonoImageMinResolution 1200 /MonoImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleMonoImages true /MonoImageDownsampleType /Bicubic /MonoImageResolution 1200 /MonoImageDepth -1 /MonoImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeMonoImages true /MonoImageFilter /CCITTFaxEncode /MonoImageDict << /K -1 >> /AllowPSXObjects true /CheckCompliance [ /PDFX1a:2001 ] /PDFX1aCheck false /PDFX3Check false /PDFXCompliantPDFOnly false /PDFXNoTrimBoxError true /PDFXTrimBoxToMediaBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXSetBleedBoxToMediaBox true /PDFXBleedBoxToTrimBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXOutputIntentProfile (None) /PDFXOutputConditionIdentifier () /PDFXOutputCondition () /PDFXRegistryName () /PDFXTrapped /False /CreateJDFFile false /Description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> /CHS <FEFF4f7f75288fd94e9b8bbe5b9a521b5efa7684002000410064006f006200650020005000440046002065876863900275284e8e55464e1a65876863768467e5770b548c62535370300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c676562535f00521b5efa768400200050004400460020658768633002> /CHT <FEFF4f7f752890194e9b8a2d7f6e5efa7acb7684002000410064006f006200650020005000440046002065874ef69069752865bc666e901a554652d965874ef6768467e5770b548c52175370300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c4f86958b555f5df25efa7acb76840020005000440046002065874ef63002> /CZE <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> /DAN <FEFF004200720075006700200069006e0064007300740069006c006c0069006e006700650072006e0065002000740069006c0020006100740020006f007000720065007400740065002000410064006f006200650020005000440046002d0064006f006b0075006d0065006e007400650072002c0020006400650072002000650067006e006500720020007300690067002000740069006c00200064006500740061006c006a006500720065007400200073006b00e60072006d007600690073006e0069006e00670020006f00670020007500640073006b007200690076006e0069006e006700200061006600200066006f0072007200650074006e0069006e006700730064006f006b0075006d0065006e007400650072002e0020004400650020006f007000720065007400740065006400650020005000440046002d0064006f006b0075006d0065006e0074006500720020006b0061006e002000e50062006e00650073002000690020004100630072006f00620061007400200065006c006c006500720020004100630072006f006200610074002000520065006100640065007200200035002e00300020006f00670020006e0079006500720065002e> /DEU <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> /ENU (Use these settings to create Adobe PDF documents suitable for reliable viewing and printing of business documents. Created PDF documents can be opened with Acrobat and Adobe Reader 5.0 and later.) /ESP <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> /ETI <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> /FRA <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> /GRE <FEFF03a703c103b703c303b903bc03bf03c003bf03b903ae03c303c403b5002003b103c503c403ad03c2002003c403b903c2002003c103c503b803bc03af03c303b503b903c2002003b303b903b1002003bd03b1002003b403b703bc03b903bf03c503c103b303ae03c303b503c403b5002003ad03b303b303c103b103c603b1002000410064006f006200650020005000440046002003ba03b103c403ac03bb03bb03b703bb03b1002003b303b903b1002003b103be03b903cc03c003b903c303c403b7002003c003c103bf03b203bf03bb03ae002003ba03b103b9002003b503ba03c403cd03c003c903c303b7002003b503c003b903c703b503b903c103b703bc03b103c403b903ba03ce03bd002003b503b303b303c103ac03c603c903bd002e0020002003a403b10020005000440046002003ad03b303b303c103b103c603b1002003c003bf03c5002003ad03c703b503c403b5002003b403b703bc03b903bf03c503c103b303ae03c303b503b9002003bc03c003bf03c103bf03cd03bd002003bd03b1002003b103bd03bf03b903c703c403bf03cd03bd002003bc03b5002003c403bf0020004100630072006f006200610074002c002003c403bf002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e0030002003ba03b103b9002003bc03b503c403b103b303b503bd03ad03c303c403b503c103b503c2002003b503ba03b403cc03c303b503b903c2002e> /HEB <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> /HRV (Za stvaranje Adobe PDF dokumenata pogodnih za pouzdani prikaz i ispis poslovnih dokumenata koristite ove postavke. Stvoreni PDF dokumenti mogu se otvoriti Acrobat i Adobe Reader 5.0 i kasnijim verzijama.) /HUN <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> /ITA (Utilizzare queste impostazioni per creare documenti Adobe PDF adatti per visualizzare e stampare documenti aziendali in modo affidabile. I documenti PDF creati possono essere aperti con Acrobat e Adobe Reader 5.0 e versioni successive.) /JPN <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> /KOR <FEFFc7740020c124c815c7440020c0acc6a9d558c5ec0020be44c988b2c8c2a40020bb38c11cb97c0020c548c815c801c73cb85c0020bcf4ace00020c778c1c4d558b2940020b3700020ac00c7a50020c801d569d55c002000410064006f0062006500200050004400460020bb38c11cb97c0020c791c131d569b2c8b2e4002e0020c774b807ac8c0020c791c131b41c00200050004400460020bb38c11cb2940020004100630072006f0062006100740020bc0f002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e00300020c774c0c1c5d0c11c0020c5f40020c2180020c788c2b5b2c8b2e4002e> /LTH <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> /LVI <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> /NLD (Gebruik deze instellingen om Adobe PDF-documenten te maken waarmee zakelijke documenten betrouwbaar kunnen worden weergegeven en afgedrukt. De gemaakte PDF-documenten kunnen worden geopend met Acrobat en Adobe Reader 5.0 en hoger.) /NOR <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> /POL <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> /PTB <FEFF005500740069006c0069007a006500200065007300730061007300200063006f006e00660069006700750072006100e700f50065007300200064006500200066006f0072006d00610020006100200063007200690061007200200064006f00630075006d0065006e0074006f0073002000410064006f00620065002000500044004600200061006400650071007500610064006f00730020007000610072006100200061002000760069007300750061006c0069007a006100e700e3006f002000650020006100200069006d0070007200650073007300e3006f00200063006f006e0066006900e1007600650069007300200064006500200064006f00630075006d0065006e0074006f007300200063006f006d0065007200630069006100690073002e0020004f007300200064006f00630075006d0065006e0074006f00730020005000440046002000630072006900610064006f007300200070006f00640065006d0020007300650072002000610062006500720074006f007300200063006f006d0020006f0020004100630072006f006200610074002000650020006f002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e0030002000650020007600650072007300f50065007300200070006f00730074006500720069006f007200650073002e> /RUM <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> /SKY <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> /SLV <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> /SUO <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> /SVE <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> /TUR <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> /UKR <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> /RUS <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> >> /Namespace [ (Adobe) (Common) (1.0) ] /OtherNamespaces [ << /AsReaderSpreads false /CropImagesToFrames true /ErrorControl /WarnAndContinue /FlattenerIgnoreSpreadOverrides false /IncludeGuidesGrids false /IncludeNonPrinting false /IncludeSlug false /Namespace [ (Adobe) (InDesign) (4.0) ] /OmitPlacedBitmaps false /OmitPlacedEPS false /OmitPlacedPDF false /SimulateOverprint /Legacy >> << /AllowImageBreaks true /AllowTableBreaks true /ExpandPage false /HonorBaseURL true /HonorRolloverEffect false /IgnoreHTMLPageBreaks false /IncludeHeaderFooter false /MarginOffset [ 0 0 0 0 ] /MetadataAuthor () /MetadataKeywords () /MetadataSubject () /MetadataTitle () /MetricPageSize [ 0 0 ] /MetricUnit /inch /MobileCompatible 0 /Namespace [ (Adobe) (GoLive) (8.0) ] /OpenZoomToHTMLFontSize false /PageOrientation /Portrait /RemoveBackground false /ShrinkContent true /TreatColorsAs /MainMonitorColors /UseEmbeddedProfiles false /UseHTMLTitleAsMetadata true >> << /AddBleedMarks false /AddColorBars false /AddCropMarks false /AddPageInfo false /AddRegMarks false /BleedOffset [ 0 0 0 0 ] /ConvertColors /ConvertToRGB /DestinationProfileName (sRGB IEC61966-2.1) /DestinationProfileSelector /UseName /Downsample16BitImages true /FlattenerPreset << /PresetSelector /MediumResolution >> /FormElements true /GenerateStructure false /IncludeBookmarks false /IncludeHyperlinks false /IncludeInteractive false /IncludeLayers false /IncludeProfiles true /MarksOffset 6 /MarksWeight 0.250000 /MultimediaHandling /UseObjectSettings /Namespace [ (Adobe) (CreativeSuite) (2.0) ] /PDFXOutputIntentProfileSelector /DocumentCMYK /PageMarksFile /RomanDefault /PreserveEditing true /UntaggedCMYKHandling /UseDocumentProfile /UntaggedRGBHandling /LeaveUntagged /UseDocumentBleed false >> ] >> setdistillerparams << /HWResolution [600 600] /PageSize [419.528 595.276] >> setpagedevice

Similar Items