Компьютерное моделирование на основе уравнений типа Гамильтона нелинейных колебаний жидкости в цилиндрическом баке
Предложенная автором ранее модель 2-мерных колебаний жидкости в прямоугольном баке развивается на случай 3-мерных колебаний в цилиндрическом баке. Модель основана на точных интегро-дифференциальных уравнениях типа Гамильтона, в отличие от различных моделей, основанных на оценках порядка малости иско...
Saved in:
| Date: | 2003 |
|---|---|
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут гідромеханіки НАН України
2003
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/4879 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Компьютерное моделирование на основе уравнений типа Гамильтона нелинейных колебаний жидкости в цилиндрическом баке / Г.Ф. Золотенко // Прикладна гідромеханіка. — 2003. — Т. 5, № 3. — С. 9-40. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859640275972915200 |
|---|---|
| author | Золотенко, Г.Ф. |
| author_facet | Золотенко, Г.Ф. |
| citation_txt | Компьютерное моделирование на основе уравнений типа Гамильтона нелинейных колебаний жидкости в цилиндрическом баке / Г.Ф. Золотенко // Прикладна гідромеханіка. — 2003. — Т. 5, № 3. — С. 9-40. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| description | Предложенная автором ранее модель 2-мерных колебаний жидкости в прямоугольном баке развивается на случай 3-мерных колебаний в цилиндрическом баке. Модель основана на точных интегро-дифференциальных уравнениях типа Гамильтона, в отличие от различных моделей, основанных на оценках порядка малости искомых величин. Точные уравнения представлены в матричной форме, установлена блочная структура их матричных коэффициентов, особое внимание уделено связи одинарных и двойных индексов в представлениях потенциала скоростей и свободной поверхности через простые и двойные суммы. Разработан алгоритм численного решения этих уравнений, который тестируется на задаче о нелинейных колебаниях жидкости в вертикальном цилиндрическом баке во время его разгона по горизонтали.
Запропоновану автором ранiше 2-вимiрну модель коливань рiдини у прямокутному резервуарi розвинуто на випадок 3-вимiрних коливань у цилiндричному резервуарi. Модель базується на точних iнтегро-диференцiйних рiвняннях типу Гамiльтона, на вiдмiну вiд моделей, що використовують оцiнки порядку малостi шуканих величин. Точнi рiвняння подано у матричному виглядi, встановлено блочну структуру їхнiх матричних коефiцiєнтiв, особливу увагу придiлено зв'язку одинарних та подвiйних iндексiв у представленнях потенцiалу швидкостей та вiльної поверхнi через простi та подвiйнi суми. Розроблено алгоритм чисельного розв'язування цих рiвнянь, котрий тестується на задачi про нелiнiйнi коливання рiдини у вертикальному цилiндричному резервуарi пiд час його прискорення у горизонтальному напрямi.
The earlier offered by author model of two-dimensional sloshing in a rectangular tank is extended on the case of three-dimensional sloshing in a cylinder tank. This model is based on the exact integro-differential equations of Hamilton's type in contrast to the simplified equations of a different smallness order. This exact equations is represented in the matrix form, the block structure of their matrix coefficients is showed, particular attention has been given to the relation between single and double indices in the representation of a velocity potential and free sarface in the form of the single and double sums. The algorithm of a numerical integration of this equations has been worked out and tested in the case of nonlinear sloshing in the vertical cylinder tank which is accelerated in the horizontal direction.
|
| first_indexed | 2025-12-07T13:20:48Z |
| format | Article |
| fulltext |
ISSN 1561 -9087 �ਪ« ¤ £÷¤à®¬¥å ÷ª . 2003. �®¬ 5 (77), N 3. �. 19 { 40��� 532.5������������ ������������� �� ��������������� ���� ���������� ��������������������������� � �������������� �����. �. ����������áâ¨âãâ ¬ ⥬ ⨪¨ ��� �ªà ¨ë, �¨¥¢�®«ã祮 14.03.2003�।«®¦¥ ï ¢â®à®¬ à ¥¥ ¬®¤¥«ì 2-¬¥àëå ª®«¥¡ ¨© ¦¨¤ª®á⨠¢ ¯àאַ㣮«ì®¬ ¡ ª¥ à §¢¨¢ ¥âáï á«ãç ©3-¬¥àëå ª®«¥¡ ¨© ¢ 樫¨¤à¨ç¥áª®¬ ¡ ª¥. �®¤¥«ì ®á®¢ â®çëå ¨â¥£à®-¤¨ää¥à¥æ¨ «ìëå ãà ¢¥¨ïå⨯ � ¬¨«ìâ® , ¢ ®â«¨ç¨¥ ®â à §«¨çëå ¬®¤¥«¥©, ®á®¢ ëå ®æ¥ª å ¯®à浪 ¬ «®á⨠¨áª®¬ëå ¢¥«¨ç¨. �®ç-ë¥ ãà ¢¥¨ï ¯à¥¤áâ ¢«¥ë ¢ ¬ âà¨ç®© ä®à¬¥, ãáâ ®¢«¥ ¡«®ç ï áâàãªâãà ¨å ¬ âà¨çëå ª®íää¨æ¨¥â®¢,®á®¡®¥ ¢¨¬ ¨¥ 㤥«¥® á¢ï§¨ ®¤¨ àëå ¨ ¤¢®©ëå ¨¤¥ªá®¢ ¢ ¯à¥¤áâ ¢«¥¨ïå ¯®â¥æ¨ « ᪮à®á⥩ ¨ ᢮¡®¤®©¯®¢¥àå®á⨠ç¥à¥§ ¯à®áâë¥ ¨ ¤¢®©ë¥ á㬬ë. � §à ¡®â «£®à¨â¬ ç¨á«¥®£® à¥è¥¨ï íâ¨å ãà ¢¥¨©, ª®â®-àë© â¥áâ¨àã¥âáï § ¤ ç¥ ® ¥«¨¥©ëå ª®«¥¡ ¨ïå ¦¨¤ª®á⨠¢ ¢¥à⨪ «ì®¬ 樫¨¤à¨ç¥áª®¬ ¡ ª¥ ¢® ¢à¥¬ï ¥£®à §£® ¯® £®à¨§®â «¨.� ¯à®¯®®¢ ã ¢â®à®¬ à iè¥ 2-¢¨¬iàã ¬®¤¥«ì ª®«¨¢ ì ài¤¨¨ ã ¯àאַªã⮬ã १¥à¢ã ài ஧¢¨ãâ® ¢¨¯ ¤®ª3-¢¨¬ià¨å ª®«¨¢ ì ã 樫i¤à¨ç®¬ã १¥à¢ã ài. �®¤¥«ì ¡ §ãõâìáï â®ç¨å i⥣à®-¤¨ä¥à¥æi©¨å ài¢ïïå⨯ã � ¬i«ìâ® , ¢i¤¬iã ¢i¤ ¬®¤¥«¥©, é® ¢¨ª®à¨á⮢ãîâì ®æiª¨ ¯®à浪㠬 «®áâi è㪠¨å ¢¥«¨ç¨. �®çiài¢ïï ¯®¤ ® ã ¬ âà¨ç®¬ã ¢¨£«ï¤i, ¢áâ ®¢«¥® ¡«®çã áâàãªâãàã ùå÷å ¬ âà¨ç¨å ª®¥äiæiõâi¢, ®á®¡«¨¢ã 㢠£ã¯à¨¤i«¥® §¢'離㠮¤¨ à¨å â ¯®¤¢i©¨å i¤¥ªái¢ 㠯।áâ ¢«¥ïå ¯®â¥æi «ã 袨¤ª®á⥩ â ¢i«ì®ù ¯®¢¥àåiç¥à¥§ ¯à®áâi â ¯®¤¢i©i á㬨. �®§à®¡«¥® «£®à¨â¬ ç¨á¥«ì®£® ஧¢'ï§ã¢ ï æ¨å ài¢ïì, ª®â਩ â¥áâãõâìáï § ¤ çi ¯à® ¥«ii©i ª®«¨¢ ï ài¤¨¨ ã ¢¥à⨪ «ì®¬ã 樫i¤à¨ç®¬ã १¥à¢ã ài ¯i¤ ç á ©®£® ¯à¨áª®à¥ï 㣮ਧ®â «ì®¬ã ¯àï¬i.The earlier o�ered by author model of two-dimensional sloshing in a rectangular tank is extended on the case of three-dimensional sloshing in a cylinder tank. This model is based on the exact integro-di�erential equations of Hamilton's typein contrast to the simpli�ed equations of a di�erent smallness order. This exact equations is represented in the matrixform, the block structure of their matrix coe�cients is showed, particular attention has been given to the relation betweensingle and double indices in the representation of a velocity potential and free sarface in the form of the single and doublesums. The algorithm of a numerical integration of this equations has been worked out and tested in the case of nonlinearsloshing in the vertical cylinder tank which is accelerated in the horizontal direction.���������¥«ì áâ®ï饩 à ¡®âë { ¯®áâ஥¨¥ ®á®¢¥¢ ਠ樮®£® ¯à¨æ¨¯ �¥©â¬¥ {�îª {�̈ §¥¬ ¨ ®æ¥ª ¢ëç¨á«¨â¥«ìëå ¢®§¬®¦®á⥩ ª®¬¯ìî-â¥à®© ¬®¤¥«¨ ¥«¨¥©ëå ª®«¥¡ ¨© ¦¨¤ª®á⨢ ¯®¤¢¨¦®¬ ¢¥à⨪ «ì®¬ 樫¨¤à¨ç¥áª®¬ ¡ -ª¥. �®®â¢¥âáâ¢ãîé ï ¬ ⥬ â¨ç¥áª ï ¬®¤¥«ì¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© á¨á⥬㠥«¨¥©ëå ¨â¥£à®-¤¨ää¥à¥æ¨ «ìëå ãà ¢¥¨© ⨯ � ¬¨«ìâ® ¨â¥áâ¨àã¥âáï § ¤ ç¥ ® ¥«¨¥©ëå ª®«¥¡ ¨ï妨¤ª®á⨠¢ ¢¥à⨪ «ì®¬ ¡ ª¥, à §£®ï¥¬®¬ ¯®£®à¨§®â «¨ á ¯®áâ®ïë¬ ã᪮२¥¬ ¨§ ¯®«®-¦¥¨ï à ¢®¢¥á¨ï. � ¡®â ¯à®¤®«¦ ¥â ¨áá«¥¤®-¢ ¨ï, ç âë¥ ¢ [1] ¤«ï á«ãç ï ¯àאַ㣮«ì®£®¡ ª .�¨ ¬¨ª ¦¨¤ª®á⨠¢ 樫¨¤à¨ç¥áª¨å ¡ ª åï¥âáï ®¤¨¬ ¨§ ¨¡®«¥¥ à §à ¡®â ëå à §¤¥-«®¢ ⥮ਨ ®â®á¨â¥«ì®£® ¤¢¨¦¥¨ï ¦¨¤ª®á⨠[2]{ [6]. (�¡è¨à ï ¡¨¡«¨®£à ä¨ï ¢¯«®âì ¤® 1996 £®-¤ ¨¬¥¥âáï ¢ [7]). �â® ª á ¥âáï ¯à¨«®¦¥¨©, ⮨§¢¥á⥠¡®«ì让 àï¤ ¯à¨¡«¨¦¥ëå ¬¥â®¤®¢ à¥-
è¥¨ï ¯à ªâ¨ç¥áª¨å § ¤ ç (¬¥â®¤ ⥮ਨ ¢®§¬ã-饨©, ¢ à¨ æ¨®ë© ¬¥â®¤, ¬¥â®¤ ª®¥çëå í«¥-¬¥â®¢ ¨ â.¤.), ª ¦¤ë© ¨§ ª®â®àëå ¨¬¥¥â ᢮« áâì ¯à¨¬¥¥¨ï, ® ¨ ®¤¨ ¥ ï¥âáï ã¨-¢¥àá «ìë¬ ¨ ¨§ãç¥ë¬ ¤® ª®æ . � ¤ ®© áâ -âì¥ à §¢¨¢ ¥âáï ¢ à¨ æ¨®ë© ¬¥â®¤, ®á®¢ -ë© äãªæ¨® «¥ ¤ ¢«¥¨ï ¨ ¢®á室ï騩 (¢¯à¨¬¥¥¨¨ ª § ¤ ç ¬ ¤¨ ¬¨ª¨ ®£à ¨ç¥®£®®¡ê¥¬ ¦¨¤ª®áâ¨) ª à ¡®â ¬ [2,3].�ᮢ®© ®¡é¨© ¢®¯à®á, à¥è¥¨î ª®â®à®£® ¯®-á¢ïé¥ áâ®ïé ï áâ âìï (ª ª ¨ ¯à¥¤ë¤ãé ï [1]),{ ᪮«ìª® íä䥪⨢ ¬®¤¥«ì, ¯®áâ஥ ï ®á®¢¥ â®çëå ãà ¢¥¨© ⨯ � ¬¨«ìâ® . �à®-¡«¥¬ ¥¯®á।á⢥®£® ¨á¯®«ì§®¢ ¨¨ ¨¬¥®â®çëå ãà ¢¥¨© ¢®§¨ª ¥â ¢ á¢ï§¨ á ⥬, çâ®®¡ëç® ¯à ªâ¨ªã¥¬®¥ à §«®¦¥¨¥ ¢ àï¤ë �¥©«®à ª®íää¨æ¨¥â®¢ â®çëå ãà ¢¥¨© á ¯®á«¥¤ãî騬㤥ঠ¨¥¬ ¢ ãà ¢¥¨ïå ⮫쪮 á« £ ¥¬ëå ®¯à¥-¤¥«¥®£® ¯®à浪 ¬ «®á⨠(á¬., ¯à¨¬¥à, [2, 3]),®ª §ë¢ ¥âáï íää¥ªâ¨¢ë¬ «¨èì ¤® ®¯à¥¤¥«¥®£®¬®¬¥â , â ª ª ª ¯à¨ 㢥«¨ç¥¨¨ ç¨á« 㤥ন¢ -¥¬ëå á« £ ¥¬ëå á«®¦®áâì ¬®¤¥«¨ ¢®§à á⠥⠨áâ ®¢¨âáï ᮨ§¬¥à¨¬®© á® á«®¦®áâìî ¨á室®©c
�. �. �®«®â¥ª®, 2003 19
ISSN 1561 -9087 �ਪ« ¤ £÷¤à®¬¥å ÷ª . 2003. �®¬ 5 (77), N 3. �. 19 { 40â®ç®© § ¤ ç¨. � â® ¦¥ ¢à¥¬ï, á®áâ®ï¨¥ ⥮ਨ⠪®¢®, çâ® ¤«ï ¬®£¨å § ¤ ç ¥¢®§¬®¦® ¯¥à¥¤ãª § âì ¥®¡å®¤¨¬®¥ ç¨á«® ¯®¤«¥¦ é¨å 㤥ঠ-¨î á« £ ¥¬ëå ¨ ¯à¥¤áª § âì ¯®á«¥¤áâ¢¨ï ®â¡à -áë¢ ¨ï â¥å ¨«¨ ¨ëå ¥«¨¥©ëå ç«¥®¢ ãà ¢-¥¨©. �ᥠíâ® ¤¨ªâã¥â ¥®¡å®¤¨¬®áâì ¨§ã票ïâ®çëå ãà ¢¥¨© ¨, ¥áâ¥á⢥®, ®á®¢ ëå ¨å à áç¥âëå ¬®¤¥«¥©.�ä®à¬ã«¨à®¢ ë© ®á®¢®© ¢®¯à®á «¨§¨-àã¥âáï ¯à¨¬¥à¥ 樫¨¤à¨ç¥áª®£® á®á㤠, ᮢ¥à-è î饣® ¯®áâ㯠⥫ìë¥ ¤¢¨¦¥¨ï. � áᬠâà¨-¢ ¥âáï § ¤ ç ® ¥«¨¥©ëå ª®«¥¡ ¨ïå â殮«®©¨¤¥ «ì®© ®¤®à®¤®© ¥á¦¨¬ ¥¬®© ¦¨¤ª®á⨠¢ã᪮à塞®¬ ¯® £®à¨§®â «¨ ¢¥à⨪ «ì®¬ 樫¨-¤à¨ç¥áª®¬ ¡ ª¥, ª®â®àë© ¯¥à¢® ç «ì® ¤¢¨£ «-áï á ¯®áâ®ï®© ᪮à®áâìî ¨«¨ ¯®ª®¨«áï. �ᮢ- ï ®á®¡¥®áâì í⮩ § ¤ ç¨ { à §à뢮¥ ¤¢¨-¦¥¨¥ ¡ ª , ¯à¨ ª®â®à®¬ ¥£® ᪮à®áâì ¥¯à¥àë¢- , ã᪮२¥ â¥à¯¨â à §àë¢ 1-£® த . � ¤ ç á«®¦ ¤«ï «¨â¨ç¥áª®£® à¥è¥¨ï ¨ ®¤®¢à¥¬¥-® ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ®¯à¥¤¥«¥ë© ¯à ªâ¨ç¥áª¨© ¨-â¥à¥á. � ç áâ®áâ¨, ® ¨¬¥¥â ¯àאַ¥ ®â®è¥¨¥ª «¨§ã ¨¬¯ã«ìáëå ¤¢¨¦¥¨© ¦¨¤ª®áâ¨, ¢®§-¨ª îé¨å, ¯à¨¬¥à, ¢ åà ¨«¨é å ¥ä⥯தãª-⮢ ¯à¨ ¯®¤§¥¬ëå â®«çª å ¢® ¢à¥¬ï §¥¬«¥âàïá¥-¨©.� áâ®ï饥 ¨áá«¥¤®¢ ¨¥ ¢ë¯®«¥® ¯® ¯« ã à -¡®âë [1], ® á ãç¥â®¬ ᯥæ¨ä¨ª¨ ä®à¬ë ¡ ª .�᫨ ¢ á«ãç ¥ ¯àאַ㣮«ì®£® ¡ ª ¢®§¬®¦ë 2-¬¥àë¥ â¥ç¥¨ï, â® ¢ 樫¨¤à¨ç¥áª®© ¯®«®á⨤¢¨¦¥¨ï ¦¨¤ª®á⨠⮫쪮 3-¬¥àë¥. �â® ¯®-¢«¥ª«® ¥áâ¥áâ¢¥ë¥ ¤®à ¡®âª¨ ¬®¤¥«¨, ç¨ ïá ¯¥à¥å®¤ ¢ ¨á室ëå ç «ì®-ªà ¥¢®© ¨ ¢ à¨- 樮®© § ¤ ç å ®â ¤¥ª à⮢ëå ª®®à¤¨ â ª æ¨-«¨¤à¨ç¥áª¨¬ ¨ ª®ç ï ¯¥à¥¤¥«ª®© ᮮ⢥áâ¢ãî-é¨å äà £¬¥â®¢ ª®¬¯ìîâ¥à®© ¯à®£à ¬¬ë. �®ç-ë¥ ¨â¥£à®-¤¨ää¥à¥æ¨ «ìë¥ ãà ¢¥¨ï ⨯ � ¬¨«ìâ® ¯à¥¤áâ ¢«¥ë ¢ ¬ âà¨ç®© ä®à¬¥, ¨á-á«¥¤®¢ áâàãªâãà ¬ âà¨çëå ª®íää¨æ¨¥â®¢íâ¨å ãà ¢¥¨©, ®á®¡®¥ ¢¨¬ ¨¥ 㤥«¥® á¢ï§¨®¤¨ àëå ¨ ¤¢®©ëå ¨¤¥ªá®¢ ¢ ä®à¬ã« å ¤«ï ¯-¯à®ªá¨¬¨àãîé¨å ¢ëà ¦¥¨© ᢮¡®¤®© ¯®¢¥àå®-á⨠¨ ¯®â¥æ¨ « ᪮à®á⥩. �«ï ª®ªà¥â®© á¨-áâ¥¬ë ®á®¢¥ ¯à¥¤« £ ¥¬®£® «£®à¨â¬ ¢ë¯®«-¥ ç¨á«¥ë© «¨§ ¯®¢¥¤¥¨ï ¦¨¤ª®á⨠¢ ¬£®-¢¥® ã᪮à塞®¬ 樫¨¤à¨ç¥áª®¬ ¡ ª¥.1. ����������������� ������� áᬠâਢ ¥âáï ªàã£«ë© æ¨«¨¤à¨ç¥áª¨© ¥-¤¥ä®à¬¨àã¥¬ë© ¡ ª à ¤¨ãᮬ R, ¢ëá®â®© l, ᯫ®áª¨¬ ¤®¬, ª®â®àë© à ᯮ«®¦¥ ¢¥à⨪ «ì® ¨ç áâ¨ç® § ¯®«¥ ¨¤¥ «ì®© ®¤®à®¤®© ¥á¦¨-¬ ¥¬®© ¦¨¤ª®áâìî ¯«®â®á⨠� (ã஢¥ì § ¯®«¥-
¨ï H). � ¡ ª®¬ ¦¥á⪮ á¢ï§ ¯à ¢ ï ¤¥ª à-⮢ á¨á⥬ ª®®à¤¨ â Oxyz, ç «® O ª®â®à®©à §¬¥é¥® ¢ ¥£® æ¥âà¥, ®áì Oz ¯à ¢«¥ ¢¤®«ì¯à®¤®«ì®© ®á¨ ᨬ¬¥âਨ ¡ ª ¢¢¥àå, ®á¨ Ox,Oy à ᯮ«®¦¥ë ¢ ¯«®áª®á⨠¯®¯¥à¥ç®£® á¥ç¥¨ï.�áï á¨á⥬ "¡ ª{¦¨¤ª®áâì" 室¨âáï ¢ ¯®«¥ á¨-«ë â殮á⨠¨ ¤¢¨¦¥âáï ®â®á¨â¥«ì® ¥ª®â®à®©¨¥àæ¨ «ì®© á¨áâ¥¬ë ª®®à¤¨ â O�������, ®áìO��� ª®â®à®© ¯à ¢«¥ ¯® ¢¥ªâ®àã g0 ã᪮२ïᨫë â殮á⨠¢ ¯à®â¨¢®¯®«®¦®¬ ¥¬ã ¯à ¢«¥-¨¨. �ᨠá¨á⥬ ª®®à¤¨ â O������� ¨ Oxyz ¢á¥-£¤ ¯ à ««¥«ìë, ç « O� ¨ O, ¥áâ¥á⢥®,¬®£ãâ ¥ ᮢ¯ ¤ âì.� ª ᮢ¥àè ¥â ¯®áâ㯠⥫쮥 ¤¢¨¦¥¨¥, ª®â®-஥ á®á⮨⠨§ ¤¢ãå íâ ¯®¢. � ¯¥à¢®¬ íâ ¯¥® ¤¢¨¦¥âáï à ¢®¬¥à® (¢ ç áâ®áâ¨, ¯®ª®¨âáï),¯à¨ç¥¬ ¢¥ªâ®à ᪮à®á⨠v0 ¢ ¯à®¥ªæ¨ïå ®á¨O������� ¨¬¥¥â ¢¨¤v0 = (0; v; 0) (v = const):� ¢â®à®¬ íâ ¯¥ ¡ ª ᮢ¥àè ¥â à ¢®ã᪮८¥¤¢¨¦¥¨¥ á ¢¥ªâ®à®¬ ã᪮२ï (¢ ¯à®¥ªæ¨ïå ®á¨ O�������)w0 = (0; w; 0) (w = const):�᪮८¥ ¤¢¨¦¥¨¥ ¡ ª ¯à®â¥ª ¥â ª®¥ç®¬®â१ª¥ ¢à¥¬¥¨ [0; t1], ¤«¨â¥«ì®áâì ª®â®à®£®, ¢®-®¡é¥ £®¢®àï, ¯à®¨§¢®«ì , ® ¯à¨ ¬ «ëå ¥ñ § ç¥-¨ïå ¬®¦® £®¢®à¨âì ® â ª §ë¢ ¥¬®¬ ¨¬¯ã«ìá-®¬ ०¨¬¥ ¤¢¨¦¥¨ï ¡ ª .�।¯®« £ ¥âáï, çâ®:1) ¤¢¨¦¥¨¥ ᢮¡®¤®© ¯®¢¥àå®á⨠¦¨¤ª®á⨮â®á¨â¥«ì® ¡ ª ï¥âáï 3-¬¥àë¬,2) ¯®«¥ ¡á®«î⮩ ᪮à®á⨠¦¨¤ª®á⨠¤®¯ãá-ª ¥â ¯®â¥æ¨ «,3) á®á㤠®âªàëâë©,4) ᢮¡®¤ ï ¯®¢¥àå®áâì �(t) ¬®¦¥â ¡ëâì¯à¥¤áâ ¢«¥ ï¢ë¬ ãà ¢¥¨¥¬z = �(x; y; t); (1)5) ¢ ç «ìë© ¬®¬¥â ¢à¥¬¥¨ t = 0 ¦¨¤ª®áâ쯮ª®¨âáï ®â®á¨â¥«ì® á®á㤠, ¥ñ ᢮¡®¤ ï ¯®-¢¥àå®áâì § ¤ ãà ¢¥¨¥¬z = h0; h0 = H � l2 ;6) ¤® á®á㤠¨ ¯à¨ ª ª¨å t ¥ ®¡ ¦ ¥âáï,7) äãªæ¨ï �(x; y; t) ¬®¦¥â ¯à¨¨¬ âì § ç¥-¨ï, ᮨ§¬¥à¨¬ë¥ á £«ã¡¨®© § ¯®«¥¨ï á®á㤠H.�ॡã¥âáï à ááç¨â âì ¢®«®¢ë¥ ¤¢¨¦¥¨ï ¦¨¤-ª®á⨠íâ ¯¥ ã᪮८£® ¤¢¨¦¥¨ï ¡ ª , ¨¬¥-®: ¤«ï «î¡®£® ¬®¬¥â ¢à¥¬¥¨ t 2 [0; t1] ©â¨20 �. �. �®«®â¥ª®
ISSN 1561 -9087 �ਪ« ¤ £÷¤à®¬¥å ÷ª . 2003. �®¬ 5 (77), N 3. �. 19 { 40ä®à¬ã ᢮¡®¤®© ¯®¢¥àå®á⨠�(t), â.¥. äãªæ¨î�(x; y; t) ¨§ ãà ¢¥¨ï (1).�® 室ã à¥è¥¨ï í⮩ § ¤ ç¨ ¬®¦® ®¯à¥¤¥«¨âì¨ ®â®á¨â¥«ìãî ᪮à®áâì u(x; y; z; t) ¦¨¤ª®áâ¨, ¨¯®«¥ ¤ ¢«¥¨© P (x; y; z; t) ¢ ¦¨¤ª®á⨠¢¯«®âì ¤®£à ¨æë S(t) ¦¨¤ª®© ®¡« á⨠(S(t) { á¬®ç¥ ïç áâì ¢ãâ॥© ¯®¢¥àå®á⨠¡ ª ), ® ¢ ¤ -®© à ¡®â¥ ®á®¢®¥ ¢¨¬ ¨¥ 㤥«ï¥âáï ᢮¡®¤-®© ¯®¢¥àå®áâ¨.2. �������� ��������{������������� � ��������������������������á室 ï ç «ì®{ªà ¥¢ ï § ¤ ç ¤«ï à áᬠ-âਢ ¥¬®© £¨¤à®¤¨ ¬¨ç¥áª®© § ¤ ç¨ ¢ ¤¥ª àâ®-¢ëå ª®®à¤¨ â å x; y; z ¨¬¥¥â ¢¨¤ (á«ãç © ¯®áâã-¯ ⥫쮣® ¤¢¨¦¥¨ï ¡ ª , [10, áâà.73{74]4'(r; t) = 0; r 2
(t); t 2 (t0; t1]; (2)@'@� = 0; r 2 S(t); (3)@'@� = � �tq1 + �2x + �2y ; r 2 �(t); (4)'t + 12(r')2 � (g0 �w0) � r = C(t)� p0� ; r 2 �(t);(5)'(r; t0) = '0(r); (4'0(r) = 0; r 2
(t0));�(x; y; t0) = �0(x; y); (6)Z
(t) d
(t) = V = const: (7)�¤¥áì '(r; t) { ¯®â¥æ¨ « ®â®á¨â¥«ì®© ᪮à®áâ¨u(r; t) ¦¨¤ª®áâ¨, â ª çâ® u = r' (®¯¥à â®à r¤¥©áâ¢ã¥â ¯® ¯¥à¥¬¥ë¬ x; y; z); r = (x; y; z) {à ¤¨ãá-¢¥ªâ®à ¯à®¨§¢®«ì®© ¦¨¤ª®© ç áâ¨æë ¢á¨á⥬¥ ª®®à¤¨ â Oxyz;
(t) { § ïâ ï ¦¨¤ª®-áâìî ¢ ¬®¬¥â t ¯à®áâà á⢥ ï ®¡« áâì á £à -¨æ¥© S(t) + �(t); �(r; t) { ®àâ ¢¥è¥© ®à¬ «¨ ª£à ¨æ¥ ®¡« áâ¨
(t); p0 = const { ¯®áâ®ï®¥ ¤ -¢«¥¨¥ ᢮¡®¤®© ¯®¢¥àå®á⨠¦¨¤ª®áâ¨; '0(r),�0(x; y) { § ç¥¨ï ¨áª®¬ëå äãªæ¨© ¢ ç «ì멬®¬¥â t = t0; V = const { ®¡ê¥¬ ¦¨¤ª®áâ¨. �¨¦-¨¥ ¨¤¥ªáë ®¡®§ ç îâ ¤¨ää¥à¥æ¨à®¢ ¨¥ ¯®á®®â¢¥âáâ¢ãî騬 ¯¥à¥¬¥ë¬, ®¯¥à â®à 4 ¤¥©-áâ¢ã¥â ¯® x; y; z, â®çª "�" ®¡®§ ç ¥â ᪠«ï஥¯à®¨§¢¥¤¥¨¥ ¢¥ªâ®à®¢.�¥¨§¢¥áâ묨 ïîâáï äãªæ¨¨ '(r; t),�(x; y; t). �áâ «ìë¥ ¯ à ¬¥âàë p0, C(t), �, g0,w0, V , t1, t0, â ª¦¥ ¯®¢¥àå®áâì ¯®«®á⨠S(t)áç¨â îâáï § ¤ 묨.
� á«ãç ¥ 樫¨¤à¨ç¥áª®£® ¡ ª ¥áâ¥á⢥® ¯¥-३⨠ª 樫¨¤à¨ç¥áª¨¬ ª®®à¤¨ â ¬, ¯®í⮬㠢¤ «ì¥©è¥¬ ¯®« £ ¥¬x = � cos �; y = � sin �; z = z;0 � � � R; 0 � � < 2�; (8)£¤¥ �, � { ¯®«ïàë¥ à ¤¨ãá ¨ 㣮« ᮮ⢥âá⢥®.� 樫¨¤à¨ç¥áª¨å ª®®à¤¨ â å ®¡« áâì
(t)(¡¥§ £à ¨æ 樫¨¤à¨ç¥áª®© ¯®¢¥àå®áâ¨) ¯à¥¤-áâ ¢«ï¥â ᮡ®© ᮢ®ªã¯®áâì â®ç¥ª (�; �; z), 㤮-¢«¥â¢®àïîé¨å á®®â®è¥¨î
(t) = f(�; �; z) :0 � � < R; 0 � � < 2�; � l2 < z � �(�; �; t)g:(9)(�¤¥áì ¨ ¢ ¤ «ì¥©è¥¬ § ᢮¡®¤®© ¯®¢¥àå®áâìî�(�; �; t) ¨ ¤à㣨¬¨ äãªæ¨ï¬¨ à£ã¬¥â®¢ �, �, zá®åà ïîâáï ⥠¦¥ ®¡®§ 票ï, çâ® ¨ § á®®â-¢¥âáâ¢ãî騬¨ äãªæ¨ï¬¨ à£ã¬¥â®¢ x, y, z, å®-âï á ¬¨ äãªæ¨® «ìë¥ § ¢¨á¨¬®á⨠¡ã¤ãâ 㦥¤à㣨¬¨).�¨¤ ãà ¢¥¨ï � ¯« á ¢ 樫¨¤à¨ç¥áª¨å ª®®à-¤¨ â å (8) ¨§¢¥áâ¥. � á¢®î ®ç¥à¥¤ì, ¤«ï ¯à¥¤-áâ ¢«¥¨ï ¢ 樫¨¤à¨ç¥áª¨å ª®®à¤¨ â å ªà ¥¢ëåãá«®¢¨© ¡¥àãâáï ¯à®¥ªæ¨¨ ®á¨ x; y; z 䨣ãà¨àã-îé¨å ¢ ¨å ¢¥ªâ®à®¢, ® í⨠¯à®¥ªæ¨¨ ¢ëà ¦ îâ-áï ç¥à¥§ �; �; z. � ç áâ®áâ¨, ¨á¯®«ì§ãîâáï á«¥¤ã-î騥 á®®â®è¥¨ï:¤«ï £à ¤¨¥â r' ¢ ®¡« áâ¨
(t) {r' = ('x; 'y; 'z) == ('� cos � � '� sin �� ; '� sin � + '� cos �� ; 'z);(10)¤«ï ®àâ � ¡®ª®¢®© ¯®¢¥àå®á⨠¡ ª {� = (�x; �y; �z) = (cos �; sin �; 0);£¤¥ � = R; 0 � � < 2�; � l2 < z < l2 ; (11)¤«ï ®àâ � ¤¥ ¡ ª {� = (�x; �y; �z) = (0; 0;�1);£¤¥ 0 � � < R; 0 � � < 2�; z = � l2 ; (12)¤«ï ®àâ � ᢮¡®¤®© ¯®¢¥àå®á⨠{� = (�x; �y; �z) = � �q�2(1 + �2� ) + �2� ��. �. �®«®â¥ª® 21
ISSN 1561 -9087 �ਪ« ¤ £÷¤à®¬¥å ÷ª . 2003. �®¬ 5 (77), N 3. �. 19 { 40�(�� cos � � �� sin �� ; �� sin � + �� cos �� ; �1);£¤¥ 0 � � < R; 0 � � < 0; z = �(�; �; t); (13)¤«ï à ¤¨ãá-¢¥ªâ®à r «î¡®© â®çª¨ ¦¨¤ª®© ®¡« á⨨«¨ ¥ñ £à ¨æë {r = (x; y; z) = (� cos �; � sin �; z): (14)� ãç¥â®¬ ä®à¬ã« (10) { (14) ¨á室 ï ç «ì®-ªà ¥¢ ï § ¤ ç ¢ ¤¥ª à⮢ëå ª®®à¤¨ â å (2) {(7) ¯à¨¨¬ ¥â ¢ 樫¨¤à¨ç¥áª¨å ª®®à¤¨ â å, ¯®-á«¥ ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å ¯à¥®¡à §®¢ ¨©, á«¥¤ãî騩¢¨¤:ãà ¢¥¨¥ � ¯« á {1� @@� (� @'@� ) + 1�2 @2'@�2 + @2'@z2 = 0;(�; �; z) 2
(t); t 2 (t0; t1]; (15)ãá«®¢¨¥ ¡®ª®¢®© ¯®¢¥àå®á⨠¡ ª {@'@� = 0; � = R; 0 � � < 2�; � l2 < z < l2 ;ãá«®¢¨¥ ¤¥ ¡ ª {@'@z = 0; 0 � � < R; 0 � � < 2�; z = � l2 ;(16)ª¨¥¬ â¨ç¥áª®¥ ãá«®¢¨¥ ᢮¡®¤®© ¯®¢¥àå®á⨦¨¤ª®á⨠{@�@t + @'@� @�@� + 1�2 @'@� @�@� � @'@z = 0;0 � � < R; 0 � � < 2�; z = �(�; �; t); (17)¤¨ ¬¨ç¥áª®¥ ãá«®¢¨¥ ᢮¡®¤®© ¯®¢¥àå®á⨦¨¤ª®á⨠{@'@t + 12[(@'@� )2 + 1�2 (@'@� )2 + (@'@z )2]��[(g0�w0)x� cos �+(g0�w0)y� sin �+(g0�w0)zz] == C(t)� p0� ;0 � � < R; 0 � � < 2�; z = �(�; �; t); (18) ç «ìë¥ ãá«®¢¨ï {'(�; �; z; t0) = '0(�; �; z);(4'0(�; �; z) = 0; (�; �; z) 2
(t0));�(�; �; t0) = �0(�; �); (19)
ãá«®¢¨¥ ¯®áâ®ïá⢠®¡êñ¬ ¦¨¤ª®á⨠{Z R0 Z 2�0 Z �(�;�;t)�l=2 �d�d�dz = V = const: (20)� ¤¨ ¬¨ç¥áª®¬ ãá«®¢¨¨ (18) ç¥à¥§ (g0�w0)x, (g0�w0)y , (g0�w0)z ®¡®§ ç¥ë ¯à®¥ªæ¨¨ ¢¥ªâ®à (g0�w0) ª ¦ã饣®áï ã᪮२ï ᨫë â殮á⨠®á¨x; y; z ᮮ⢥âá⢥®.� ç «ì®{ªà ¥¢ ï § ¤ ç (15) { (20) ª« áá¨ä¨-æ¨àã¥âáï ª ª § ¤ ç ¤«ï ãà ¢¥¨ï � ¯« á ¢ æ¨-«¨¤à¨ç¥áª¨å ª®®à¤¨ â å, ¢ ¨§¬¥ïî饩áï ᮢ६¥¥¬ (¥¨§¢¥á⮩) ®¡« áâ¨, á ¥«¨¥©®áâï-¬¨ ¢ ª¨¥¬ â¨ç¥áª®¬ ¨ ¤¨ ¬¨ç¥áª®¬ £à ¨çëåãá«®¢¨ïå ¨ á ¤®¯®«¨â¥«ìë¬ ¨â¥£à «ìë¬ ãá«®-¢¨¥¬. � «ì¥©è¥¥ ¥ñ ¨áá«¥¤®¢ ¨¥ ¢ë¯®«ï¥âáï ᯮ¬®éìî ¢ ਠ樮®£® ¬¥â®¤ ¢ ä®à¬¥ �¥©â¬¥- { �îª { �̈ §¥¬ [2,3].3. ������������� ������������������ � �������������������������� ç «ì®-ªà ¥¢®© § ¤ ç¥ ¢ ¤¥ª à⮢ëå ª®®à¤¨- â å (2) { (7) íª¢¨¢ «¥â (¢ ¨§¢¥á⮬ á¬ëá«¥)á«¥¤ãîé ï ¢ ਠ樮 ï § ¤ ç :J ['; �]! extr; Z
(t) d
(t) = V: (21)�¤¥áì J ['; �] ï¥âáï ¨â¥£à «ìë¬ äãªæ¨® -«®¬ ¢¨¤ J ['; �] = Z t1t0 L(t; 't;r'; �)dt (22)á ¨â¥£à ⮬L(t; 't;r'; �) = Z
(t)(P (r; t; 't;r')� p0)d
(t);(23)£¤¥P (r; t; 't;r') = �[C(t)�'t� 12(r')2+(g0�w0) �r]:(24)� ¯¨áì (21) ®§ ç ¥â, çâ® ¥®¡å®¤¨¬® ©â¨ ¯ àãäãªæ¨© ('; �), ¤®áâ ¢«ïîé¨å íªáâ६㬠(¬¨¨-¬ã¬ ¨«¨ ¬ ªá¨¬ã¬) äãªæ¨® «ã (22) á ®¤®¢à¥-¬¥ë¬ ¢ë¯®«¥¨¥¬ ¨â¥£à «ì®£® ãá«®¢¨ï ¯®-áâ®ïá⢠®¡ê¥¬ ¦¨¤ª®áâ¨.�®ª § ⥫ìá⢮ íª¢¨¢ «¥â®á⨠¢ ਠ樮®©§ ¤ ç¨ (21) { (24) ¨ ç «ì®{ªà ¥¢®© § ¤ ç¨ (2) {(7) (¤ ¦¥ ¤«ï ¡®«¥¥ ®¡é¥£® á«ãç ï ¯®áâ㯠⥫ìëå¨ ã£«®¢ëå ¤¢¨¦¥¨© ¡ ª ) ¤ ® �.�.�㪮¢áª¨¬ [2,áâà. 68] � á¢ï§¨ á í⨬ ¢®§¨ª ¥â ¢®¯à®á: ¡ã¤¥â22 �. �. �®«®â¥ª®
ISSN 1561 -9087 �ਪ« ¤ £÷¤à®¬¥å ÷ª . 2003. �®¬ 5 (77), N 3. �. 19 { 40«¨ ¢ ਠ樮 ï § ¤ ç ¤«ï ¨â¥£à «ì®£® äãª-樮 « (22) íª¢¨¢ «¥â ç «ì®{ªà ¥¢®© § ¤ -ç¥ (15) { (20), ¥á«¨ ¢ í⮬ äãªæ¨® «¥ ¯à®¨§¢¥-á⨠§ ¬¥ã ¯à®áâà á⢥ëå ¯¥à¥¬¥ëå x; y; z �; �; z? �â®â ¢®¯à®á ¨¬¥¥â ¯®«®¦¨â¥«ìë© ®â-¢¥â ¢ ᨫã á«¥¤ãîé¨å ®¡é¨å á®®¡à ¦¥¨©.� ¬¥ ¯¥à¥¬¥ëå ¢ ¨â¥£à «¥ ¥ ¨§¬¥ï¥â ¢¥-«¨ç¨ë á ¬®£® ¨â¥£à « , ⮫쪮 ¨§¬¥ï¥â ¯à¥-¤¥«ë ¨â¥£à¨à®¢ ¨ï ¨ ¯®¤ëâ¥£à «ì®¥ ¢ëà ¦¥-¨¥ (ª ª § áç¥â ¢¨¤®¨§¬¥¥¨ï ¯®¤ëâ¥£à «ì®©äãªæ¨¨, â ª ¨ § áç¥â ¯®ï¢«¥¨ï 类¡¨ ¢ ¢ë-à ¦¥¨¨ ¤«ï í«¥¬¥â ண® ®¡êñ¬ ). �᫨ ¥ª®-â®à ï äãªæ¨ï ¤®áâ ¢«ï¥â íªáâ६㬠¥ª®â®à®¬ã¨â¥£à «ã, â® íâ® íªáâ६ «ì®¥ § 票¥ á®åà -¨âáï ¨ ¯à¨ § ¬¥¥ ¯¥à¥¬¥ëå ¯®¤ ¨â¥£à «®¬,¯®áª®«ìªã ¤«ï äãªæ¨© áà ¢¥¨ï § ç¥¨ï ¨â¥-£à «®¢ â ª¦¥ á®åà ïîâáï ¯à¨ â ª®© ¦¥ § ¬¥¥¯¥à¥¬¥ëå. � ª®¥æ, ¥á«¨ ¥ª®â®à ï äãªæ¨ïï¥âáï à¥è¥¨¥¬ ¨á室®© ç «ì®{ªà ¥¢®© § -¤ ç¨ ¢ ¤¥ª à⮢ëå ª®®à¤¨ â å, â® ® ®áâ ¥â-áï à¥è¥¨¥¬ ¨ § ¤ ç¨, ¯®«ãç î饩áï ¯®á«¥ ¯¥à¥-室 ¢ ¨á室®© § ¤ ç¥ ª 樫¨¤à¨ç¥áª¨¬ ª®®à-¤¨ â ¬. �«¥¤®¢ ⥫ì®, äãªæ¨ï{à¥è¥¨¥ § ¤ -ç¨ ¢ 樫¨¤à¨ç¥áª¨å ª®®à¤¨ â å ¡ã¤¥â íªáâ६ -«ìî ¨â¥£à «ì®£® äãªæ¨® « , ¯®«ãç î饣®á﨧 äãªæ¨® « ¤«ï ¨á室®© § ¤ ç¨ ¯ã⥬ § ¬¥-ë ¢ ¥¬ ¤¥ª à⮢ëå ª®®à¤¨ â 樫¨¤à¨ç¥-᪨¥. � ®âáî¤ , ¢ á¢®î ®ç¥à¥¤ì, á«¥¤ã¥â, çâ® § -¤ ç¥ ¢ 樫¨¤à¨ç¥áª¨å ª®®à¤¨ â å ¬®¦® ¯®áâ -¢¨âì ¢ ᮮ⢥âá⢨¥ ¢ ਠ樮ãî § ¤ çã á ¨-â¥£à «ìë¬ äãªæ¨® «®¬ ¢ 樫¨¤à¨ç¥áª¨å ª®-®à¤¨ â å, çâ® ¨ à¥è ¥â ¯®áâ ¢«¥ë© ¢®¯à®á.� ®á®¢ ¨¨ ¨§«®¦¥®£® ¢ ¤ «ì¥©è¥¬ à¥è -¥âáï ¢ ਠ樮 ï § ¤ ç ¤«ï äãªæ¨® « (22) á¨â¥£à ⮬ (23) { (24), ¢ ª®â®à®¬ ¢¥ªâ®àë r' ¨r ®¯à¥¤¥«ïîâáï ¢ 樫¨¤à¨ç¥áª¨å ª®®à¤¨ â å ᯮ¬®éìî ä®à¬ã« (10), (14), ®¡« áâì ¨â¥£à¨à®-¢ ¨ï
(t) ®¯à¥¤¥«ï¥âáï á®®â®è¥¨¥¬ (9) (¢¥ªâ®à(g0�w0) ¯®-¯à¥¦¥¬ã ¡¥àñâáï ¢ ¯à®¥ªæ¨ïå ®á¨x; y; z).�ਬ¥ïï ¤«ï à¥è¥¨ï ¢ ਠ樮®© § ¤ ç¨(21) { (24) ¯àאַ© ¬¥â®¤, ¢¢¥¤¥¬ á«¥¤ãî騥 ¯-¯à®ªá¨¬ 樨 ¨áª®¬ëå äãªæ¨©:�(�; �; t) ' �N (�; �; t) = NXn=0�n(t)fn(�; �); (25)'(�; �; z; t) ' 'M (�; �; z; t) = MXm=0Rm(t)'m(�; �; z);(26)£¤¥ ffn(�; �)gNn=0; f'm(�; �; z)gMm=0
{ á¨áâ¥¬ë ª®®à¤¨ âëå äãªæ¨©, ª®â®àë¥ ¡ã-¤ãâ ¢ë¡à ë ¨¦¥; �n(t) { ®¡®¡é¥ë¥ ª®®à¤¨- âë ᢮¡®¤®© ¯®¢¥àå®áâ¨; Rm(t) { ®¡®¡é¥-ë¥ ª¢ §¨áª®à®á⨠¦¨¤ª®á⨠(â¥à¬¨ "ª¢ §¨áª®-à®áâ¨" ®¯à ¢¤ ⥬, çâ® ¢¥«¨ç¨ë Rm ïîâá﫨¥©ë¬¨ ª®¬¡¨ æ¨ï¬¨ ®¡®¡é¥ëå ᪮à®á⥩_�n); N;M { æ¥«ë¥ ¯®«®¦¨â¥«ìë¥ ç¨á« . � ¤ ç § ª«îç ¥âáï ¢ 宦¤¥¨¨ äãªæ¨© �n(t), Rm(t).�®áâந¬ á¨á⥬ã á®®â®è¥¨©, ®¯à¥¤¥«ïîé¨åí⨠äãªæ¨¨. �®¤áâ ®¢ª ¢ëà ¦¥¨© (25), (26)¢ (23) á ãç¥â®¬ (24) ¤ ñâ á«¥¤ãî饥 ¢ëà ¦¥¨¥¤«ï ¨â¥£à â :L(t; 't;r'; �) ' L1(t; �; �R); (27)£¤¥ ¢¢¥¤¥ë ®¡®§ 票ï� = (�0; : : : ; �N ); �R = (R0; : : : ; RM);L1(t; �; �R) = � Z
(t)[C(t)� p0� � MXm=0 dRmdt 'm��12( MXm=0Rmr'm)2 + (g0 � w0) � r]d
(t): (28)�§¢¥áâ®, ¤ «¥¥, çâ® á¨á⥬ ãà ¢¥¨© �©«¥à ¢ ਠ樮®© § ¤ ç¨ (21) á ¨â¥£à ⮬ L ¬®-¦¥â ¡ëâì ¯à¥¤áâ ¢«¥ ¢ ¢¨¤¥ ãà ¢¥¨© � £à -¦ ¢â®à®£® த ®â®á¨â¥«ì® äãªæ¨¨ L. �ç¨-âë¢ ï ä®à¬ã«ã (27), § ¯¨è¥¬ í⨠ãà ¢¥¨ï � -£à ¦ ª ª @L1@�i = 0; i = 0; 1; : : : ; N; (29)ddt @L1@ _Rk � @L1@Rk = 0; k = 0; 1; : : :;M: (30)�८¡à §ã¥¬ í⨠ãà ¢¥¨ï. �«ï í⮣® ¯à¥¤áâ -¢¨¬ ¢ ¢ëà ¦¥¨¨ (28) ®¡êñ¬ë© ¨â¥£à « ç¥à¥§¯®¢â®àë©, ¨á¯®«ì§ãï 樫¨¤à¨ç¥áª¨¥ ª®®à¤¨ -âë. �®£¤ ¯®«ã稬 ¢ëà ¦¥¨¥L1(t; �; �R) = [C(t)� p0� ]V (�)� L1( _Rm; �)��L1(Rm; �) + (g0 �w0) � l(�); (31)£¤¥ ¢¢¥¤¥ë ®¡®§ 票ïV (�) = � Z R0 Z 2�0 Z �(�;�;t)�l=2 �dzd�d�; (32)L1( _Rm; �) =�. �. �®«®â¥ª® 23
ISSN 1561 -9087 �ਪ« ¤ £÷¤à®¬¥å ÷ª . 2003. �®¬ 5 (77), N 3. �. 19 { 40= � Z R0 Z 2�0 Z �(�;�;t)�l=2 MXm=0 _Rm'm(�; �; z)�dzd�d�;(33)L1(Rm; �) = 12� Z R0 Z 2�0 Z �(�;�;t)�l=2 [( MXm=0Rm @'m@� )2++ 1�2 ( MXm=0Rm @'m@� )2 + ( MXm=0Rm @'m@z )2]�dzd�d�;(34)l(�) = (lx(�); ly(�); lz(�));lx(�) = � Z R0 Z 2�0 Z �(�;�;t)�l=2 �2 cos �dzd�d�;ly(�) = � Z R0 Z 2�0 Z �(�;�;t)�l=2 �2 sin �dzd�d�;lz(�) = � Z R0 Z 2�0 Z �(�;�;t)�l=2 �zdzd�d�: (35)�§ íâ¨å ä®à¬ã« ¢¨¤¥ å à ªâ¥à § ¢¨á¨¬®áâ¨äãªæ¨¨ L1(t; �; �R) ®â ¯¥à¥¬¥ëå �i, Rm, _Rm,¯® ª®â®àë¬ ¯à®¨§¢®¤¨âáï ¤¨ää¥à¥æ¨à®¢ ¨¥ ¢ãà ¢¥¨ïå � £à ¦ (29), (30). �¬¥®, äãªæ¨ïL1(t; �;R) «¨¥© ¯® _Rm, ï¥âáï ª¢ ¤à â¨ç®©ä®à¬®© ¯® Rm ¨ ¤®¢®«ì® á«®¦ë¬ ®¡à §®¬ § ¢¨-á¨â ®â �i, ª®â®àë¥ ¢å®¤ïâ ¢ ¯à¥¤¥«ë ¨â¥£à¨à®¢ -¨ï ¢á¥å ¨â¥£à «®¢ ¢ ᨫã à ¢¥á⢠�(�; �; z) = NXn=0 �n(t)fn(�; �):�¥¯¥àì, ¢ë¯®«ïï ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 ¤¨ää¥à¥æ¨-஢ ¨ï ¢ á®®â®è¥¨ïå (32){(35) ¨ ¨á¯®«ì§ãïä®à¬ã«ã ¤¨ää¥à¥æ¨à®¢ ¨ï ¨â¥£à « ¯® ¯ à -¬¥âàã ¢ ¢¨¤¥ (äãªæ¨ï s(�; �; z) { ¯à®¨§¢®«ì )dd�i Z ��l=2 s(�; �; z)dz = fi(�; �)s(�; �; �); 室¨¬, çâ® (i = 0; 1; : : : ; N , k = 0; 1; : : : ;M )@V (�)@�i = � Z R0 Z 2�0 fi(�; �)�d�d�;@V (�)@ _Rk � 0; ddt @V (�)@ _Rk � 0; @V (�)@Rk � 0; (36)@L1( _Rm; �)@�i = MXm=0 @Am(�)@�i _Rm;@L1( _Rm; �)@ _Rk = Ak(�); @L1( _Rm; �)@Rk � 0;
ddt @L1( _Rm; �)@ _Rk = NXj=0 @Ak(�)@�j _�j ; (37)@L1(Rm; �)@�i = 12 MXm;j=0 @Am;j@�i RmRj;@L1(Rm; �)@ _Rk � 0; ddt @L1(Rm; �)@ _Rk � 0;@L1(Rm; �)@Rk = MXm=0RmAmk(�); (38)@lx(�)@�i = � Z R0 Z 2�0 fi(�; �)�2 cos �d�d�;@ly(�)@�i = � Z R0 Z 2�0 fi(�; �)�2 sin �d�d�;@lz(�)@�i = � NXn=0 �n Z R0 Z 2�0 fi(�; �)fn(�; �)�d�d�;@lx(�)@ _Rk = ddt @lx(�)@ _Rk = @lx(�)@Rk � 0;@ly(�)@ _Rk = ddt @ly(�)@ _Rk = @ly(�)@Rk � 0;@lz(�)@ _Rk = ddt @lz(�)@ _Rk = @lz(�)@Rk � 0; (39)�¤¥áì ¨á¯®«ì§®¢ ë ®¡®§ 票ïAm(�) = � Z R0 Z 2�0 Z �(�;�;t)�l=2 'm(�; �; z)�dzd�d�;@Am(�)@�i = � Z R0 Z 2�0 fi(�; �)'m(�; �; �)�d�d�; (40)Amk(�) = � Z R0 Z 2�0 Z �(�;�;t)�l=2 r'm � r'k�dzd�d�;@Amk(�)@�i = � Z R0 Z 2�0 fi(�; �)[r'm � r'k]z=��d�d�;r'm � r'k == @'m@� @'k@� + 1�2 @'m@� @'k@� + @'m@z @'k@z (41)�®¤áâ ¢¨¬ ¢ ãà ¢¥¨ï (29), (30) ¢ëà ¦¥¨¥(31) ¨ ¢ë¯®«¨¬ ¥®¡å®¤¨¬ë¥ ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï áãç¥â®¬ á®®â®è¥¨© (32) { (39). �®£¤ ¯®«ã稬᫥¤ãîéãî á¨á⥬㠨⥣à®-¤¨ää¥à¥æ¨ «ìëåãà ¢¥¨© ®â®á¨â¥«ì® ¥¨§¢¥áâëå äãªæ¨©Rm(t), �n(t) ¨§ ¯¯à®ªá¨¬ 権 (25), (26):MXm=0 @Am(�)@�i dRmdt + 12 MXm;j=0 @Amj(�)@�i RmRj =24 �. �. �®«®â¥ª®
ISSN 1561 -9087 �ਪ« ¤ £÷¤à®¬¥å ÷ª . 2003. �®¬ 5 (77), N 3. �. 19 { 40= (g0 �w0)x @lx(�)@�i + (g0 � w0)y @ly(�)@�i ++(g0 � w0)z @lz(�)@�i + [C(t)� p0� ]Fi;i = 0; 1; : : :; N; (42)NXi=0 @Ak(�)@�i d�idt � MXj=0Akj(�)Rj = 0;k = 0; 1; : : : ;M: (43)�¤¥áì, ¢ ¤®¯®«¥¨¥ ª (40) { (41), ®¡®§ 祮Fi = � Z R0 Z 2�0 fi(�; �)�d�d�; i = 0; 1; : : :N: (44)� ç «ìë¥ ãá«®¢¨ï ®¡é¥© ç «ì®-ªà ¥¢®©§ ¤ ç¨ (15) { (20) ¢ 樫¨¤à¨ç¥áª¨å ª®®à-¤¨ â å ¥áâ¥áâ¢¥ë¬ ®¡à §®¬ ¯à¥®¡à §ãîâ-áï ¢ ç «ìë¥ ãá«®¢¨ï ¤«ï á¨á⥬ ¨â¥£à®-¤¨ää¥à¥æ¨ «ìëå ãà ¢¥¨© (42), (43). � ᨫããá«®¢¨© (19) ¢ ç «ìë© ¬®¬¥â ¨¬¥¥¬'(�; �; z; t0) = '0(�; �; z):�।áâ ¢«ïï ¯à ¢ãî ç áâì í⮣® à ¢¥á⢠¢ ¢¨-¤¥ ª®¥ç®© á㬬ë àï¤ �ãàì¥ ¯® ª®®à¤¨ âë¬äãªæ¨ï¬ f'm(�; �; z)g, â.¥.'0(�; �; z) = MXm=0 am'm(�; �; z);¨ ¯à¨à ¢¨¢ ï ª®íää¨æ¨¥âë ¯à¨ ®¤¨ ª®¢ëåä®à¬ å 'm ¢ á㬬 å (26) ¨ '0(�; �; z), ¯à¨å®¤¨¬ª â ª¨¬ ç «ìë¬ ãá«®¢¨ï¬:Rm(t0) = am; m = 0; 1; : : : ;M: (45)� «®£¨ç®,�n(t0) = bn; n = 0; 1; : : :; N; (46)£¤¥ bn { ª®íää¨æ¨¥âë à §«®¦¥¨ï ¢ àï¤ �ãà쥯® ª®®à¤¨ âë¬ äãªæ¨ï¬ ffn(�; �)g § ¤ ®©äãªæ¨¨ �0, â.¥.�0(�; �) = NXn=0 bnfn(�; �):�â ª, ¨á室 ï ç «ì®-ªà ¥¢ ï § ¤ ç ¤«ïãà ¢¥¨ï ¢ ç áâëå ¯à®¨§¢®¤ëå (15){(20) ᢥ-¤¥ ª § ¤ ç¥ �®è¨ ¤«ï á¨áâ¥¬ë ®¡ëª®¢¥ëå¨â¥£à®-¤¨ää¥à¥æ¨ «ìëå ãà ¢¥¨© (42), (43).�â á¨á⥬ ãà ¢¥¨© ®â®á¨âáï ª ª« ááã ¥«¨-¥©ëå á¨á⥬ ¨â¥£à®-¤¨ää¥à¥æ¨ «ìëå ãà ¢-¥¨© ¯¥à¢®£® ¯®à浪 , ¥ à §à¥è¥ëå ®â®á¨-â¥«ì® ¯à®¨§¢®¤ëå. � ¡ã¤¥â ¥ ¢â®®¬®©,
¥á«¨ ã᪮२¥ w0 ¨ äãªæ¨ï C(t) ¯¥à¥¬¥ë, ¨ ¢â®®¬®©, ¥á«¨ w0 ¨ C ¯®áâ®ïë (çâ® ¢®§¬®¦-® ¯à¨ ¯®ª®ï饬áï, à ¢®¬¥à® ¨«¨ à ¢®ã᪮-८ ¤¢¨¦ã饬áï ¡ ª¥). �®à冷ª á¨á⥬ë à ¢¥N +M + 2.�¥¯¥àì ¤«ï «¨§ ¤¨ ¬¨ª¨ ¦¨¤ª®á⨠¬®¦-® ¯à¨¬¥¨âì ®¤¨ ¨§ ç¨á«¥ëå ¬¥â®¤®¢ ⥮ਨ®¡ëª®¢¥ëå ¤¨ää¥à¥æ¨ «ìëå ãà ¢¥¨©, ç⮢® ¬®£¨å ®â®è¥¨ïå ¢ë£®¤¥© ç¨á«¥®£® à¥è¥-¨ï ãà ¢¥¨© ¢ ç áâëå ¯à®¨§¢®¤ëå.�§ ä®à¬ã« (35), (40), (41) ¢¨¤®, çâ® ¢¥«¨ç¨ëlx, ly, lz, Ak, Akj ïîâáï äãªæ¨ï¬¨ ¯¥à¥¬¥ëå�0, . . . , �N ¨ ¥ § ¢¨áïâ ®â R0, . . . , RM . �«¥¤®-¢ ⥫ì®, ª®íää¨æ¨¥âë ¯à¨ ¯à®¨§¢®¤ëå _Rk, _�iâ ª¦¥ § ¢¨áïâ ⮫쪮 ®â ¥¨§¢¥áâëå �i.�¨á⥬ ãà ¢¥¨© (42), (43) ᮢ¯ ¤ ¥â á â®ç-®áâìî ¤® ®¡®§ 票© ¨ á« £ ¥¬®£®[C(t)� p0� ]Fiá á¨á⥬®© ãà ¢¥¨© (11.25), (11.26) à ¡®âë [2,áâà. 78], ¥á«¨ ¢ ¯®á«¥¤¥© ¯®«®¦¨âì 㣫®¢ë¥ ᪮-à®á⨠¡ ª !i à ¢ë¬¨ ã«î ¨ ãç¥áâì, çâ® ¤«ï樫¨¤à¨ç¥áª®£® ¡ ª ddtAk = NXi=0 @Ak@�i d�idt :� ¬¥â¨¬, çâ® ä®à¬ã«ë áâ®ï饩 à ¡®âë (35),(40), (41) ¤«ï ª®ää¨æ¨¥â®¢ lx, ly, lz, Ak, Akj ï-îâáï «®£ ¬¨ ä®à¬ã« (11.19) ¨§ [2, áâà.75{76],§ ¯¨á ëå ¢ ¤¥ª à⮢ëå ª®®à¤¨ â å. � æ¨â¨-à㥬®© à ¡®â¥ ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 á®®â®è¥¨ï ¢æ¨«¨¤à¨ç¥áª¨å ª®®à¤¨ â å ¥ ¯à¨¢¥¤¥ë.�à ¢¥¨ï (42), (43) ¤®¢®«ì® á«®¦ë. �¤¨ ¨§¬¥â®¤®¢ ¨å ¯à¨¡«¨¦¥®£® à¥è¥¨ï § ª«îç ¥âáï¢ § ¬¥¥ á ¯®¬®éìî ãà ¢¥¨© (42) ¯ à ¬¥â஢Rk «¨¥©ë¬¨ ä®à¬ ¬¨ ®â d�i=dt ¨ ¯®á«¥¤ãîé¥-£® ᢥ¤¥¨ï ¢á¥© á¨áâ¥¬ë ª á¨á⥬¥ ãà ¢¥¨© 2-£® ¯®à浪 ®â®á¨â¥«ì® äãªæ¨© �i [2, áâà. 58].�¤ ª®, ª ª ¯®ª §ë¢ îâ ¨áá«¥¤®¢ ¨ï, íâ®â ¬¥-⮤ ᮯà殮 á £à®¬®§¤ª¨¬¨ ¢ëª« ¤ª ¬¨ ¯à¨ ¯®-«ã票¨ ª®ªà¥âëå ¢ëà ¦¥¨© 㯮¬ïãâëå «¨-¥©ëå ä®à¬ ¤«ï Rk ¨ 宦¤¥¨¨ ¨å ¯à®¨§¢®¤-ëå dRk=dt ¤«ï ¯¥à¥å®¤ ®â (43) ª ãà ¢¥¨ï¬ 2-£®¯®à浪 ®â®á¨â¥«ì® �i. � å à ªâ¥à¥ ¢®§¨ª î-é¨å ¯à¨ í⮬ âà㤮á⥩ ¬®¦® á㤨âì ¯® १ã«ì-â â ¬ à¥è¥¨ï § ¤ ç¨ ¤«ï ª®«ì楢®£® 樫¨¤à ,ª®£¤ ¢ ¯¯à®ªá¨¬ æ¨ïå ᢮¡®¤®© ¯®¢¥àå®á⨠�¨ ¯®â¥æ¨ « ' 㤥ন¢ «®áì ¯® ¯ïâì á« £ ¥¬ëå[2, áâà. 104]. �«ìâ¥à â¨¢ë© ¬¥â®¤ § ª«îç ¥â-áï ¢ ç¨á«¥®¬ ¨â¥£à¨à®¢ ¨¨ á¨á⥬ë ãà ¢¥-¨© (42), (43) ¡¥§ ¯à¥¤¢ à¨â¥«ì®£® ᢥ¤¥¨ï ¥¥ ª�. �. �®«®â¥ª® 25
ISSN 1561 -9087 �ਪ« ¤ £÷¤à®¬¥å ÷ª . 2003. �®¬ 5 (77), N 3. �. 19 { 40á¨á⥬¥ ãà ¢¥¨© 2-£® ¯®à浪 . � §à ¡®âª íâ®-£® ¬¥â®¤ ¨ «£®à¨â¬ ¥£® ç¨á«¥®© ॠ«¨§ 樨 ª®¬¯ìîâ¥à å (¢ á«ãç ¥ 樫¨¤à¨ç¥áª®è® ¡ ª )®áãé¥á⢫ï¥âáï ¨¦¥.4. ������������ ��������¯à¥¤¥«¨¬áï á ª®®à¤¨ â묨 äãªæ¨ï¬¨fi(�; �) ¨ 'm(�; �; z) ¢ ¯¯à®ªá¨¬ æ¨ïå (25), (26).� ª ç¥á⢥ â ª®¢ëå ¢ë¡¥à¥¬ à¥è¥¨ï ¨§¢¥á⮩§ ¤ ç¨ ® ᢮¡®¤ëå ª®«¥¡ ¨ïå ¦¨¤ª®á⨠¢ ¯®ª®ï-饬áï 樫¨¤à¨ç¥áª®¬ ¡ ª¥, â. ¥. á«¥¤ãî饩 ᯥª-âà «ì®© § ¤ ç¨ á ¯ à ¬¥â஬ ¢ £à ¨ç®¬ ãá«®-¢¨¨:ãà ¢¥¨¥ � ¯« á {1� @@� (� @ ~'@� ) + 1�2 @2 ~'@�2 + @2 ~'@z2 = 0;0 � � < R; 0 � � < 2�; � l2 < z < h0; (47)ãá«®¢¨¥ ¡®ª®¢®© ¯®¢¥àå®á⨠¡ ª {@ ~'@� = 0; � = R; 0 � � < 2�; � l2 < z < l2 ;ãá«®¢¨¥ ¤¥ ¡ ª {@ ~'@z = 0; 0 � � < R; 0 � � < 2�; z = � l2 ;(48)ª¨¥¬ â¨ç¥áª®¥ ãá«®¢¨¥ ᢮¡®¤®© ¯®¢¥àå®á⨦¨¤ª®á⨠(«¨¥ ਧ®¢ ®¥) {@ ~'@z = � (�; �);0 � � < R; 0 � � < 2�; z = h0; (49)¤¨ ¬¨ç¥áª®¥ ãá«®¢¨¥ ᢮¡®¤®© ¯®¢¥àå®á⨦¨¤ª®á⨠(«¨¥ ਧ®¢ ®¥) {@ ~'@z = �~'; (� = �2g );0 � � < R; 0 � � < 2�; z = h0; (50)ãá«®¢¨¥ ®£à ¨ç¥®á⨠à¥è¥¨ï ®á¨ æ¨-«¨¤à { j ~'(0; �; z)j <1; (51)ãá«®¢¨¥ ¯¥à¨®¤¨ç®á⨠à¥è¥¨ï ¯® ¯®«ï஬ã㣫ã � { ~'(�; � + 2�; z) = ~'(�; �; z): (52)�¤¥áì �, (�; �) { ç áâ®â ¨ ä®à¬ ᢮¡®¤ëå ª®-«¥¡ ¨© ¦¨¤ª®áâ¨, ®¯à¥¤¥«ï¥¬ëå á®®â®é¥¨ï¬¨'(�; �; z; t) = cos(�t) ~'(�; �; z);
�(�; �; t) = sin(�t) (�; �);� { ᯥªâà «ìë© ¯ à ¬¥âà. �ãªæ¨ï (�; �) ¢å®-¤¨â ⮫쪮 ¢ ª¨¥¬ â¨ç¥áª®¥ ãá«®¢¨¥ (49) ¨ ¢ëà -¦ ¥âáï ç¥à¥§ äãªæ¨î ~'(�; �; z). � ¤ «ì¥©è¥¬,®¤ ª®, äãªæ¨ï (�; �) ¥ ¨á¯®«ì§ã¥âáï.�à ¥¢ ï § ¤ ç (47) { (52) à¥è ¥âáï ¬¥â®¤®¬à §¤¥«¥¨ï ¯¥à¥¬¥ëå. �â®áï騥áï áî¤ à¥-§ã«ìâ âë ïîâáï ª« áá¨ç¥áª¨¬¨, ¯®í⮬㠮⬥-⨬ «¨èì ⥠¨§ ¨å, ª®â®àë¥ ¯à®ïáïîâ £¨¤à®¤¨- ¬¨ç¥áª®¥ ᮤ¥à¦ ¨¥ § ¤ ç¨ ¨ ¢ ¦ë ¤«ï ¤ «ì-¥©è¥£®.� à §«®¦¥¨¨ à¥è¥¨ï ¬®¦¨â¥«¨~'(�; �; z) = Y (�)f(�)Z(z)äãªæ¨¨ Z(z), f(�), Y (�) ïîâáï à¥è¥¨ï¬¨ á«¥-¤ãîé¨å ªà ¥¢ëå § ¤ ç:d2Zdz2 � k2Z = 0;Z 0(�l=2) = 0; Z 0(h0) = �Z(h0); (53)(£à ¨çë¥ ãá«®¢¨ï ¤¥ ¡ ª ¨ ¥¢®§¬ãé¥-®© ᢮¡®¤®© ¯®¢¥àå®áâ¨),d2fd�2 +m2f = 0; f(� + 2�) = f(�); (54)(ãá«®¢¨¥ ¯¥à¨®¤¨ç®á⨠¯® �),d2Yd�2 + 1� dYd� + (k2 � m2�2 )Y = 0:Y 0(R) = 0; jY (0)j <1 (55)(£à ¨ç®¥ ãá«®¢¨¥ ¡®ª®¢®© ¯®¢¥àå®á⨠¡ ª ¨ãá«®¢¨¥ ®£à ¨ç¥®á⨠à¥è¥¨ï ®á¨). �âà¨å¨¢ ªà ¥¢ëå ãá«®¢¨ïå (53), (55) ®¡®§ ç î⠯ந§-¢®¤ë¥ ¯® ᮮ⢥âáâ¢ãî騬 ¯¥à¥¬¥ë¬.�à ¢¥¨ï ¯¥à¥ç¨á«¥ëå ªà ¥¢ëå § ¤ ç ¢ë¢®-¤ïâáï ¨§ ãà ¢¥¨ï � ¯« á , ¯®í⮬㠯ந§¢¥¤¥-¨¥ Y (�)f(�)Z(z) ¡ã¤¥â £ ମ¨ç¥áª®© äãªæ¨¥©.� à ¬¥âàë k, m ïîâáï ª®áâ â ¬¨ à §¤¥«¥-¨ï ¨ ®¯à¥¤¥«ïîâáï ¨§ ¤®¯®«¨â¥«ìëå ãá«®¢¨©.� ¨¡®«¥¥ á« ¡ë¥ ®£à ¨ç¥¨ï « £ îâáï à¥-襨ï f(�), ª®â®àë¥ ¯®í⮬㠨¬¥îâ ¨¡®«¥¥ ®¡-騩 ¢¨¤f(�) = B1 cos(�m�) +B2 sin(�m�); (56)§ ¢¨áï騩 ®â ¤¢ãå (¬ ªá¨¬ «ì® ¢®§¬®¦®¥ ç¨-á«®) ¯à®¨§¢®«ìëå ª®áâ â B1, B2. �§ ãá«®¢¨ï¯¥à¨®¤¨ç®á⨠¯®«ãç ¥âáï, çâ®m = 0; 1; 2; : : : :26 �. �. �®«®â¥ª®
ISSN 1561 -9087 �ਪ« ¤ £÷¤à®¬¥å ÷ª . 2003. �®¬ 5 (77), N 3. �. 19 { 40�®«¥¥ ¦¥á⪨¥ ãá«®¢¨ï « £ îâáï à¥è¥¨¥Z(z), ª®â®à®¥ ¯à¥¤áâ ¢«ï¥âáï ª ªZ(z) = Ach (k l2 )ch [k(z + l2)] (57)¨ § ¢¨á¨â «¨èì ®â ®¤®£® ¯à®¨§¢®«ì®£® ¯ à ¬¥-âà A. � ¤ «ì¥©è¥¬ ¯à¨¨¬ ¥âáïA = ch (k l2)ch (kH) ;çâ® ¯à¨¢®¤¨â ª ®à¬¨à®¢ª¥ äãªæ¨¨ Z(z), ¨á¯®«ì-§®¢ ®© ¢ [2, áâà. 101]. �à ¥¢ ï § ¤ ç ¤«ï Z(z)¤ ¥â â ª¦¥ ¢ëà ¦¥¨¥ ¤«ï ᯥªâà «ì®£® ¯ à ¬¥-âà � ¢ § ¢¨á¨¬®á⨠®â k, ¨¬¥®:� = kth (kH):�âáî¤ á«¥¤ã¥â ä®à¬ã« ¤«ï ᮡá⢥®© ç áâ®-âë ª®«¥¡ ¨© ¦¨¤ª®áâ¨:� =pkgth (kH): (58)� ª®¥æ, à¥è¥¨¥ ªà ¥¢®© § ¤ ç¨ (55) ¤«ï ãà ¢¥-¨ï �¥áá¥«ï ¬®¦¥â, ¢ ᨫã ãá«®¢¨ï ¥£® ®£à ¨ç¥-®á⨠®á¨ 樫¨¤à , ¢ª«îç âì ⮫쪮 äãªæ¨¨�¥áᥫï 1-£® த J�m(k�). �¤¥ªá m íâ¨å äãª-権 �¥áᥫï ï¥âáï æ¥«ë¬ ¨ ᮢ¯ ¤ ¥â á ¯ à -¬¥â஬ m ¢ à¥è¥¨¨ ¤«ï f(�).� ¬¥ç ¨¥. � ¤ «ì¥©è¥¬, ¥ àãè ï ®¡é-®áâ¨, à áᬠâਢ ¥¬ «¨èì ¥®âà¨æ ⥫ìë¥ ¯®-à浪¨ äãªæ¨© �¥áᥫï, ¯®áª®«ìªã, ª ª ¨§¢¥áâ®,¯à¨ 楫ëå m äãªæ¨¨ J+m(k�) ¨ J�m(k�) «¨¥©-® § ¢¨á¨¬ë [5] (áâà. 180). �á®, çâ® «¨¥©®§ ¢¨á¨¬ë¬¨ ïîâáï â ª¦¥ äãªæ¨¨ cos(+m�)¨ cos(�m�), sin(+m�) ¨ sin(�m�). �«¥¤®¢ ⥫ì-®, «î¡®¥ à §«®¦¥¨¥ ¥ª®â®à®© äãªæ¨¨ '(�; �; z)¯® á¨á⥬¥ äãªæ¨©, ᮤ¥à¦ é¨å ¬®¦¨â¥«ï¬¨äãªæ¨¨ J�m(k�), cos(�m�), sin(�m�), ¬®¦¥â¡ëâì ᢥ¤¥® ª à §«®¦¥¨î ¯® á¨á⥬¥ äãªæ¨©,ᮦ¥à¦ é¨å «¨èì J+m(k�), cos(+m�), sin(+m�).� à ¬¥âà k, ¢ ᮮ⢥âá⢨¨ á ¯¥à¢ë¬ ¨§ ãá«®-¢¨© ¢ (55), ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ª ª ª®à¥ì ãà ¢¥¨ïdJm(k�)d� �����=R = 0:�¡®§ ç ï ç¥à¥§ j0m;n n-© ã«ì (n = 1; 2; : : :) ¯à®-¨§¢®¤®© J 0m ®â äãªæ¨¨ Jm (m = 0; 1; : : :), ¯®«ã-ç ¥¬ á«¥¤ãîéãî ä®à¬ã«ã ¤«ï ®¯à¥¤¥«¥¨ï ¯ à -¬¥âà k: k = k(n)m = j0m;nR ; (59)£¤¥ ¢¥«¨ç¨ë j0m;n ïîâáï ¨§¢¥áâ묨. �«¥¤®¢ -⥫ì®, à¥è¥¨ï ªà ¥¢®© § ¤ ç¨ (55) ¬®£ãâ ¡ëâì
¯à¥¤áâ ¢«¥ë ª ªY (�) = CJm(k(n)m �); m = 0; 1; : : : ; n = 1; 2; : : : ;(60)£¤¥ C { ¯à®¨§¢®«ìë© ¬®¦¨â¥«ì. � ¤ «ì¥©è¥¬® ¨á¯®«ì§ã¥âáï ¤«ï ®à¬¨à®¢ª¨, ¯à¨ç¥¬ ¯®« £ -¥âáï C = 1Jm(k(n)m R) :�⠮ନ஢ª ¢ë¡¨à ¥âáï, ª ª ¢ à ¡®â¥ [2].�㬬¨àãï ᪠§ ®¥, ¯à¨å®¤¨¬ ª ¢ë¢®¤ã, çâ®á¯¥ªâà «ì ï £¨¤à®¤¨ ¬¨ç¥áª ï § ¤ ç (47) {(52) ¨¬¥¥â áç¥â®¥ ¤¢ã¯ à ¬¥âà¨ç¥áª®¥ ¬®¦¥-á⢮ à¥è¥¨© ¢¨¤ f'mn(�; �; z)g == fcos(m�) mn(�; z); sin(m�) mn(�; z)g; (61)£¤¥ mn(�; z) = Jm(k(n)m �)Jm(k(n)m R) ch [k(n)m (z + l2 )]ch [k(n)m H] :�ᯮ«ì§ãï äãªæ¨¨ 'mn ¢ ª ç¥á⢥ ª®®à¤¨ â-ëå ¢ ¯¯à®ªá¨¬ 樨 (26), ¡ã¤¥¬ ¨áª âì ¢®«®-¢®© ¯®â¥æ¨ « ¨á室®© ¥«¨¥©®© £¨¤à®¤¨ ¬¨-ç¥áª®© § ¤ ç¨ ¢ ¢¨¤¥ á«¥¤ãî饣® à §«®¦¥¨ï:'(�; �; z; t) = MXm=0Rm(t)'m(�; �; z) == IXi=0 JXj=1[Pij(t) cos(i�) +Rij(t) sin(i�)] ij(�; z):(62)�¤¥áì ¨áª®¬ë¬¨ ïîâáï äãªæ¨¨ ¢à¥¬¥¨ Pij(t),Rij(t). � ¬¥â¨¬, çâ® ¢¥à娥 ¯à¥¤¥«ë I, J ¤¢®©-®© áã¬¬ë ¨ äãªæ¨¨ Pij(t), Rij(t) á ¤¢®©ë¬¨ ¨-¤¥ªá ¬¨ ¢ (62) ¤®«¦ë ¡ëâì ᮣ« ᮢ ë á ç¨á«®¬M ¨ äãªæ¨ï¬¨ Rm(t) ¢ ®¤¨ ன á㬬¥.�祢¨¤®, çâ® § áç¥â ¢ë¡®à ª®®à¤¨ âëåäãªæ¨© ¢ ¯¯à®ªá¨¬ 樨 (62) ¯®â¥æ¨ « ' ®ª -§ë¢ îâáï 㤮¢«¥â¢®à¥ë¬¨ ãà ¢¥¨¥ � ¯« á ,ª¨¥¬ â¨ç¥áª¨¥ ãá«®¢¨ï ⢥à¤ëå á⥪ å S(t)¯®«®á⨠¨ ãá«®¢¨¥ £ ମ¨ç®áâ¨ ç «ì®£® ¯®-â¥æ¨ « . �áâ «ìë¥ á®®â®è¥¨ï (ª¨¥¬ â¨-ç¥áª®¥ ¨ ¤¨ ¬¨ç¥áª®¥ ãá«®¢¨ï ᢮¡®¤®© ¯®-¢¥àå®áâ¨, ãá«®¢¨¥ ¯®áâ®ïá⢠®¡ê¥¬ ) ¤®«¦ë¡ëâì 㤮¢«¥â¢®à¥ë § áç¥â äãªæ¨© Pij(t), Rij(t)¨ �(�; �; t) (¯®á«¥¤ïï ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¢ë¡®à®¬ �i(t),fi(�; �)).�¡à ⨬áï ª ª®®à¤¨ âë¬ äãªæ¨ï¬ fi(�; �).�롥६ ¨å á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬:ffk(�; �)gNk=0 = f'mn(�; �; z)jz=h0g: (63)�. �. �®«®â¥ª® 27
ISSN 1561 -9087 �ਪ« ¤ £÷¤à®¬¥å ÷ª . 2003. �®¬ 5 (77), N 3. �. 19 { 40�®£¤ , ¢ ᨫã ãà ¢¥¨ï (25), ᢮¡®¤ ï ¯®¢¥àå-®áâì �(t) ¯à¥¤áâ ¢¨âáï ¢ ¢¨¤¥�(�; �; t) = NXn=0�n(t)fn(�; �) == IXi=0 JXj=1[pij(t) cos(i�) + rij(t) sin(i�)] ij(�; h0):(64)�¤¥áì ¥¨§¢¥áâ묨 ïîâáï äãªæ¨¨ pij(t),rij(t), ª®â®àë¥ ¤®«¦ë ¡ëâì ᮣ« ᮢ ë á äãª-æ¨ï¬¨ �n(t) ¢ ®¤¨ ன á㬬¥.5. ������� ����������� ���������������¯¯à®ªá¨¬ æ¨ï ᢮¡®¤®© ¯®¢¥àå®á⨠¢ëà -¦¥¨¥¬ (64) ®¡¥á¯¥ç¨¢ ¥â ¢ë¯®«¥¨¥ ãá«®¢¨ï ¯®-áâ®ïá⢠®¡ê¥¬ ¦¨¤ª®áâ¨. �¥©á⢨⥫ì®, ¨§ãá«®¢¨ï (20) 室¨¬, çâ®Z R0 Z 2�0 Z �(�;�;t)�l=2 �dzd�d� == Z R0 Z 2�0 ��(�; �; t) + l2��d�d�:� â® ¦¥ ¢à¥¬ï, ®¡êñ¬ ¦¨¤ª®áâ¨, ®ç¥¢¨¤®, ¡ã¤¥âV = �R2� l2 + h0�:� ãç¥â®¬ íâ¨å ¢ëà ¦¥¨© ãá«®¢¨¥ (20) ¨¬¥¥â ¢¨¤Z R0 Z 2�0 ��(�; �; t) + l2��dzd�d� = �R2� l2 + h0�:(65)� áᬮâਬ «¥¢ãî ç áâì í⮣® à ¢¥á⢠¨ ¯®¤-áâ ¢¨¬ ¢ ¥¥ ¢ëà ¦¥¨¥ (64). �®£¤ ¯®«ã稬 á®-®â®è¥¨¥Z R0 Z 2�0 ��(�; �; t) + l2��d�d� == IXi=0 JXj=1�pij(t)Cij + rij(t)Dij�+ �R2 l2 ; (66)£¤¥ Cij = Z R0 Z 2�0 cos(i�) Ji(k(j)i �)Ji(k(j)i R)�d�d�;Dij = Z R0 Z 2�0 sin(i�) Ji(k(j)i �)Ji(k(j)i R)�d�d�:
�ëç¨á«¨¬ ¢¥«¨ç¨ë Cij, Dij , § ¬¥â¨¢, çâ® ¢® ¢á¥åá«ãç ïå ¤¢®©ë¥ ¨â¥£à «ë ᢮¤ïâáï ª ¯®¢â®à-ë¬. �믮«¨¢ ¨â¥£à¨à®¢ ¨¥, 室¨¬, çâ®Cij = 0; i = 1; : : : ; I; j = 1; : : : ; J:�ਠi = 0 ¯®«ãç ¥¬ (k(1)0 = 0, J0(k(1)0 �) � 1)C01 = �R2;C0j = 2� Z R0 J0(k(j)0 �)J0(k(j)0 R)�d�d�; j = 1; : : : ; J:�®«ì§ãïáì ¨§¢¥á⮩ ä®à¬ã«®© ¤«ï äãªæ¨© �¥á-ᥫï Z xnJ0(x)dx = xnJ1(x);(x { ¥ª®â®àë© à£ã¬¥â), ¯®«ãç ¥¬ á®®â®è¥¨¥C0j = 2� RJ1(k(j)0 R)k(j)0 J0(k(j)0 R) ; j = 1; : : : ; J:�®, ª ª ¨§¢¥áâ®,J 00(x) = �J1(x):�«¥¤®¢ ⥫ì®, ¯à¨ «î¡®¬ jJ1(k(j)0 R) = �J 00(k(j)0 R) = 0:�ç¨âë¢ ï íâ®, 室¨¬ ®ª®ç ⥫ì®, çâ®C0j = 0; j = 1; : : : ; J:� «¥¥, ¨â¥£à «ë á sin(i�) ¢ ä®à¬ã« å ¤«ïDij à ¢-ë ã«î ¤«ï ¢á¥å i. �®í⮬ãDij = 0; i = 0; 1; : : : ; I; j = 1; : : : ; J:� ª¨¬ ®¡à §®¬, ¨§ á®®â®è¥¨ï (66), á ãç¥â®¬ ©¤¥ëå § 票© ª®íää¨æ¨¥â®¢ Cij, Dij, ¯®-«ãç ¥¬ ¢ëà ¦¥¨¥Z R0 Z 2�0 ��(�; �; t) + l2��d�d� = �R2�p01(t) + l2�:�®¤áâ ¢«ïï ¥£® ¢ ãá«®¢¨¥ (65), 室¨¬, çâ® ãá«®-¢¨¥ ¯®áâ®ïá⢠®¡ê¥¬ ¦¨¤ª®á⨠¡ã¤¥â ¢ë¯®«¥-®, ¥á«¨ p01(t) � h0; (67) ®áâ «ìë¥ äãªæ¨¨ pij(t), rij(t) ¯à®¨§¢®«ìë.�â ª, ¢ ¤ «ì¥©è¥¬ ¯®« £ ¥¬�0(t) = p01(t) � h0; (68)çâ®, ª ª ¡ã¤¥â ¢¨¤® ¨§ ¤ «ì¥©è¥£®, ¥ ¯à®â¨-¢®à¥ç¨â à áᬠâਢ ¥¬ë¬ ãà ¢¥¨ï¬ (42), (43).� ¬¥â¨¬, çâ® ¯à¨�0(t) = h0; �1(t) = : : : = �N (t) = 0ãà ¢¥¨¥ z = �(�; �; t) ®¯¨áë¢ ¥â £®à¨§®â «ì-ãî ¯«®áª®áâì, ¯à®å®¤ïéãî ç¥à¥§ â®çªã � = 0,� = 0, z = h0.28 �. �. �®«®â¥ª®
ISSN 1561 -9087 �ਪ« ¤ £÷¤à®¬¥å ÷ª . 2003. �®¬ 5 (77), N 3. �. 19 { 406. ��������� ����� ��������������� ���� �����������®çë¥ ãà ¢¥¨ï ⨯ � ¬¨«ìâ® (42), (43)¢ á«ãç ¥ 樫¨¤à¨ç¥áª®£® ¡ ª ¨¬¥îâ â ªãî ¦¥¯à®áâãî ¤«ï ¯à®£à ¬¬¨à®¢ ¨ï áâàãªâãàã, ª ª ¨¢ á«ãç ¥ ¯àאַ㣮«ì®£® ¡ ª [1]. �®ª ¦¥¬ íâ®,ãç¨âë¢ ï ᯥæ¨ä¨ªã § ¤ ç¨ ¢ 樫¨¤à¨ç¥áª¨å ª®-®à¤¨ â å.�।áâ ¢¨¬ ãà ¢¥¨ï (42), (43) ¢ ¬ âà¨ç®¬¢¨¤¥:AT (�)d �Rdt = K(�) � [g0 � w0(t)] + [C(t)� p0� ]F��12r�[ �RT �B(�) � �R]; (69)A(�)d�dt = B(�) � �R: (70)�¤¥áì ¢¢¥¤¥ë á«¥¤ãî騥 ¬ âà¨æë (¢¥à娩 ¨-¤¥ªá T ®¡®§ ç ¥â âà ᯮ¨à®¢ ¨¥ ¬ âà¨æë):A(�) { (M + 1)� (N + 1)-¬ âà¨æ á í«¥¬¥â ¬¨aki(�) = @Ak(�)@�i ; k = 0; : : : ;M; i = 0; : : : ; N ;(71)B(�) { (M + 1)� (M + 1)-¬ âà¨æ á í«¥¬¥â ¬¨bki(�) = Aki(�); k; i = 0; : : : ;M ; (72)r� { ®¯¥à â®à £à ¤¨¥â ¯® ¯¥à¥¬¥ë¬ �0,�1; : : : ; �N ; K(�) { âà ᯮ¨à®¢ ï 3� (N +1)-¬ âà¨æ �ª®¡¨ ®â®¡à ¦¥¨ï l(�), â.¥.K((N+1)�3)(�) = h @(l1; l2; l3)@(�0; �1; : : : ; �N )iT ; (73)F = [F0; F1; : : : ; FN ]T{ ¢¥ªâ®à-á⮫¡¥æ á ª®¬¯®¥â ¬¨ Fi, ®¯à¥¤¥«ï-¥¬ë¬¨ ¯® ä®à¬ã« ¬ (44); r�(RT � B(�) � R) {£à ¤¨¥â ª¢ ¤à â¨ç®© ä®à¬ë ®â ¯¥à¥¬¥ëåR0; R1; : : : ; RM á ¬ âà¨æ¥© B(�).�à ¢¥¨ï (69), (70) áà ¢¨â¥«ì® ¯à®áâ® § ¢¨-áï⠮⠨᪮¬ëå äãªæ¨© Rk(t), ® á«®¦ë¬ ®¡à -§®¬ ¢ª«îç î⠨᪮¬ë¥ äãªæ¨¨ �i(t), ª®â®à륢室ïâ ¨ ¢ ¯®¤ëâ¥£à «ìë¥ äãªæ¨¨, ¨ ¢ ¯à¥¤¥«ë¨â¥£à¨à®¢ ¨ï. �믮«ïï ¤ «ì¥©è¨¥ ¯à¥®¡à -§®¢ ¨ï á¨á⥬ë (69), (70), ¯®¬¥ï¥¬ ¬¥áâ ¬¨ á®-áâ ¢«ïî騥 ¥¥ ¬ âà¨çë¥ ãà ¢¥¨ï ¨ ¯à¥¤áâ -¢¨¬ ¬ âà¨ç®¥ ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥ K(�) � [g0 � w0(t)] ¢¢¨¤¥ á㬬ë:K(�)�[g0�w0(t)] = K1[g0�w0(t)]x+K2[g0�w0(t)]y++K0[g0 �w0(t)]z � �; (74)
£¤¥ K1, K2 { ¢¥ªâ®à-á⮫¡æë à §¬¥à (N+1), K0{ ª¢ ¤à â ï ¬ âà¨æ à §¬¥à (N+1)�(N+1), ª®-â®àë¥ ¡ã¤ãâ ®¯¨á ë ¨¦¥. � १ã«ìâ ⥠á¨á⥬ ãà ¢¥¨© (69), (70) ¯à¥®¡à §ã¥âáï ª á«¥¤ãî饬㤮áâ â®ç® 㤮¡®¬ã ¤«ï ¯à®£à ¬¬¨à®¢ ¨ï ¢¨¤ã:� 0 A(�)AT (�) 0 � ddt � �R� � == � B(�) 00 [g0 � w0(t)]zK0 �� �R� ���12 � 0S(�; �R) �+ [g0 �w0(t)]x � 0K1 �++[g0 � w0(t)]y � 0K2 �+ �C(t) � p0� �� 0F � : (75)�¤¥áì ¤«ï ª®¬¯ ªâ®á⨠§ ¯¨á¨ ¢¢¥¤¥ ¢¥ªâ®à ª¢ -¤à â¨çëå ä®à¬ ¯® ¯¥à¥¬¥ë¬ Rk, ®¯à¥¤¥«ï¥-¬ë© ä®à¬ã«®©S(�; �R) = r�( �RT �B(�) � �R):�â®â ¢¥ªâ®à ¨¬¥¥â à §¬¥à®áâì N + 1, ª ¦¤ 北® ª®¬¯®¥â ï¥âáï ª¢ ¤à â¨ç®© ä®à¬®© ¯®Rk á ¬ âà¨æ¥©, ®¡®§ ç ¥¬®© ¢ ¤ «ì¥©è¥¬ ç¥à¥§S(i), i = 0; 1; : : : ; N .�®ª ¦¥¬ à ¢¥á⢮ (74) ¨ § ®¤® ¢ë¢¥¤¥¬ ä®à-¬ã«ë ¤«ï í«¥¬¥â®¢ ¢¥ªâ®à®¢ K1, K2 ¨ ¬ âà¨æëK0. � á¯¨á ¢ ¬ âà¨æã �ª®¡¨ (73) ¨ ¢®á¯®«ì§®¢ ¢-è¨áì ä®à¬ã« ¬¨ (39), ¯à¨å®¤¨¬ ª á®®â®è¥¨ï¬1�K(�) = 1� 2666666664 @lx(�)@�0 @ly(�)@�0 @lz(�)@�0@lx(�)@�1 @ly(�)@�1 @lz(�)@�1... ... ...@lx(�)@�N @ly(�)@�N @lz(�)@�N 3777777775 == RZ0 2�Z0 26666666664 f0� cos � f0� sin � NPn=0 �nf0fnf1� cos � f1� sin � NPn=0 �nf1fn... ... ...fN � cos � fN � sin� NPn=0 �nfNfn 37777777775 �d�d�:�¤¥áì áç¨â ¥âáï, çâ® ¨â¥£à « ®â ¬ âà¨æë à ¢¥¬ âà¨æ¥ ¨§ ¨â¥£à «®¢ ®â ¥¥ í«¥¬¥â®¢. � «¥¥,âà¥â¨© á⮫¡¥æ ¢ ¬ âà¨æ¥ á¯à ¢ ¬®¦®, ®ç¥¢¨¤-®, ¯à¥¤áâ ¢¨âì ¢ ¢¨¤¥ ¯à®¨§¢¥¤¥¨ï ¥ª®â®à®©¬ âà¨æë K0 ¢¥ªâ®à �. �®£¤ , à áᬠâਢ ï¬ âà¨æã ª ª ᮢ®ªã¯®áâì á⮫¡æ®¢, ¯®«ã稬 ä®à-¬ã«ã K(�) = [K1;K2;K0 � �];�. �. �®«®â¥ª® 29
ISSN 1561 -9087 �ਪ« ¤ £÷¤à®¬¥å ÷ª . 2003. �®¬ 5 (77), N 3. �. 19 { 40£¤¥ K1 = � RZ0 2�Z0 26664 f0(�; �)f1(�; �)...fN (�; �) 37775 �2 cos(�)d�d�;K2 = � RZ0 2�Z0 26664 f0(�; �)f1(�; �)...fN (�; �) 37775 �2 sin(�)d�d�;K0 = �kij� = �� RZ0 2�Z0 fi(�; �)fj(�; �)�d�d��;i; j = 0; 1; : : : ; N: (76)�âáî¤ á«¥¤ã¥â, çâ® à ¢¥á⢮ (74) ¢¥à®, í«¥-¬¥âë ¢¥ªâ®à®¢ K1, K2 ¨ ¬ âà¨æë K0 ¢ëç¨á«ï-îâáï ¯® ä®à¬ã« ¬ (76).�áâ «ìë¥ ª®íää¨æ¨¥âë ®¯à¥¤¥«ïîâáï á«¥¤ã-î騬¨ ä®à¬ã« ¬¨, ¢ë⥪ î騬¨ ¨§ (40), (41):¬ âà¨æ A = (aki) {aki = � RZ0 2�Z0 fi(�; �)'kh�; �; NXn=0�nfn(�; �)i�d�d�;k = 0; 1; : : : ;M; i = 0; 1; : : : ; N ; (77)¬ âà¨æ B = (bkj) {bkj = � RZ0 2�Z0 �(�;�;�)Z�l=2 r'k � r'j�dzd�d�;k; j = 0; 1; : : :;M ; (78)¬ âà¨æë S(i) = (s(i)kj ) ¢¥ªâ®à ª¢ ¤à â¨çëå ä®à¬S(�;R) {s(i)kj = � RZ0 2�Z0 fi(�; �)�r'k � r'j�z=�(�;�;�)�d�d�;k; j = 0; 1; : : : ;M; i = 0; 1; : : : ; N ; (79)¢¥ªâ®à F = (Fi) {Fi = � RZ0 2�Z0 fi(�; �)�d�d�;i = 0; 1; : : : ; N: (80)
� á®®â®è¥¨ïå (76) { (80) ª®®à¤¨ âë¥ äãªæ¨¨'k(�; �; z), fi(�; �) ®¯à¥¤¥«ïîâáï ä®à¬ã« ¬¨ (62),(64).�¥¯¥àì á¨á⥬ã ãà ¢¥¨© (75) ¬®¦® ª« áá¨-ä¨æ¨à®¢ âì ª ª ª¢ §¨«¨¥©ãî á¨á⥬㠨⥣à®-¤¨ää¥à¥æ¨ «ìëå ãà ¢¥¨© ¯¥à¢®£® ¯®à浪 , ¢®¡é¥¬ á«ãç ¥ ¥ ¢â®®¬ëå, á ᨬ¬¥âà¨ç¥áª®©¬ âà¨æ¥© ¯à¨ ¯à®¨§¢®¤ëå� 0 A(�)AT (�) 0 � :�¨¬¬¥âà¨ç®áâì í⮩ ¬ âà¨æë á®åà ï¥âáï ¤ ¦¥¯à¨ N 6= M . �«¥¬¥âë ¬ âà¨æë A § ¢¨áïâ ⮫ì-ª® ®â ç á⨠¥¨§¢¥áâëå ¢¥«¨ç¨, ¨¬¥®, ®â �i.�à㣨¥ ç«¥ë ãà ¢¥¨©, ᮤ¥à¦ 騥 ¥¨§¢¥áâ-ë¥ äãªæ¨¨ ¢ ¨â¥£à « å, â ª¦¥ § ¢¨áïâ ⮫ì-ª® ®â �i, ¯à¨ç¥¬ í⨠¢¥«¨ç¨ë ¢áâà¥ç îâáï ¨ ¢¯®¤ëâ¥£à «ìëå äãªæ¨ïå ( ¯à¨¬¥à, ¢ í«¥¬¥-â å aij), ¨ ¢ ¯à¥¤¥« å ¨â¥£à¨à®¢ ¨ï ( ¯à¨¬¥à,¢ í«¥¬¥â å bij). �à ¢ ï ç áâì á¨á⥬ë ᮤ¥à¦¨â᢮¡®¤ë¥, «¨¥©ë¥ ¨ ª¢ ¤à â¨çë¥ ç«¥ë ®â®-á¨â¥«ì® ¥¨§¢¥áâëå ¢¥«¨ç¨ Rk, �i. �§ ä®à¬ã«(78), (76) ¤«ï í«¥¬¥â®¢ ¬ âà¨æ B(�), K0 ¢ë⥪ -¥â, çâ® í⨠¬ âà¨æë, á«¥¤®¢ ⥫ì®, ¨ ¬ âà¨æ � B(�) 00 [g0 � w0(t)]zK0 �ïîâáï ᨬ¬¥âà¨ç¥áª¨¬¨.�áâ ®¢«¥ ï ᨬ¬¥âà¨ï ãà ¢¥¨© ¥«¨¥©-ëå ª®«¥¡ ¨© ¦¨¤ª®á⨠«®£¨ç ¨§¢¥á⮩ᨬ¬¥âਨ ãà ¢¥¨© «¨¥©ëå ª®«¥¡ ¨© "⢥à-¤ëå" ¬¥å ¨ç¥áª¨å á¨á⥬ á ª®¥çë¬ ç¨á«®¬ áâ¥-¯¥¥© ᢮¡®¤ë. �¤ ª® ¢ á«ãç ¥ "¦¨¤ª®©" ª®-«¥¡ ⥫쮩 á¨áâ¥¬ë ¯à®ï¢«ï¥âáï ¥¥ ᯥæ¨ä¨ª ,á¢ï§ ï á § ¢¨á¨¬®áâìî ®â ᢮¡®¤®© ¯®¢¥àå-®á⨠�(�; �; �) í«¥¬¥â®¢ 㪠§ ëå ᨬ¬¥âà¨ç¥-áª¨å ¬ âà¨æ ¨ á «¨ç¨¥¬ ª¢ ¤à â¨ç®© ä®à¬ëS(�; �R). �à ¢¥¨ï (75) ª« ¤ãâáï ¢ ®á®¢ã ¯à¥¤-« £ ¥¬®£® ¬¥â®¤ ç¨á«¥®£® «¨§ ¥«¨¥©ë媮«¥¡ ¨© ¦¨¤ª®á⨠¢ 樫¨¤à¨ç¥áª®¬ á®á㤥.7. ������� ��������� �����������������������뤥«¨¬ ¢ ¬ âà¨çëå ª®íää¨æ¨¥â å à áᬠ-âਢ ¥¬ëå ãà ¢¥¨© ⨯ � ¬¨«ìâ® ¡«®çë¥áâàãªâãàë, ª®â®àë¥ § ⥬ ¡ã¤ã⠨ᯮ«ì§®¢ ë¤«ï ¯®áâ஥¨ï «£®à¨â¬®¢ ¢ëç¨á«¥¨ï íâ¨å ¬ -âà¨æ.�áå®¤ë¥ ãà ¢¥¨ï ⨯ � ¬¨«ìâ® (75) ¯®-«ãç¥ë ¢ १ã«ìâ ⥠¯à¥¤áâ ¢«¥¨ï ¯®â¥æ¨ « ¨30 �. �. �®«®â¥ª®
ISSN 1561 -9087 �ਪ« ¤ £÷¤à®¬¥å ÷ª . 2003. �®¬ 5 (77), N 3. �. 19 { 40᢮¡®¤®© ¯®¢¥àå®á⨠¢ ¢¨¤¥ ¯à®áâëå (®¤®ªà â-ëå) á㬬, ¨¬¥®:'(�; �; z; t) = MXm=0Rm(t)'m(�; �; z);�(�; �; t) = NXn=0�n(t)fn(�; �):� ¤à㣮© áâ®à®ë, ¢¢¥¤¥¨¥ á¨áâ¥¬ë ª®®à¤¨ â-ëå äãªæ¨© ¤«ï ¯®â¥æ¨ « ¢ ¢¨¤¥ ¤¢®©®© ¯®-á«¥¤®¢ ⥫ì®áâ¨f'ij(�; �; z)g = fcos(i�) ij(�; z); sin(i�) ij(�; z)g;¯à¨¢®¤¨â ª ¯à¥¤áâ ¢«¥¨î ¯®â¥æ¨ « ç¥à¥§ ¤¢®©-ãî á㬬ã, ¨¬¥®:' = IXi=0 JXj=1[Pij(t) cos(i�) +Rij(t) sin(i�)] ij(�; z):� «®£¨ç®¥ ¯à¥¤áâ ¢«¥¨¥ ¯®«ãç ¥âáï ¨ ¤«ï ᢮-¡®¤®© ¯®¢¥àå®áâ¨:� = IXi=0 JXj=1[pij(t) cos(i�) + rij(t) sin(i�)] ij(�; h0):(81)�ਠ®¡à 饨¨ ª ä®à¬ã« ¬ (76) { (80) ¤«ï ¢ëç¨-á«¥¨ï ¬ âà¨çëå ª®íää¨æ¨¥â®¢ A, B, S(i), K0,K1, K2, F ¢®§¨ª ¥â ¢®¯à®á ® á¢ï§¨ í«¥¬¥â®¢¯à®áâëå ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®á⥩ f'mg, ffng ¨ ¤¢®©-ëå ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®á⥩ f'ijg. (� á«ãç ¥ ¯®á«¥-¤®¢ ⥫ì®á⨠ffng ¢ ä㪨æïå 'ij 㦮 ¯®« -£ âì z = h0.) �â®â ¢®¯à®á, ®ç¥¢¨¤®, à ¢®á¨«¥¢®¯à®áã ® ᯮᮡ¥ 㬥à 樨 í«¥¬¥â®¢ â ¡«¨æëá ¤¢ã¬ï ¢å®¤ ¬¨2666664 01 02 : : : 11 cos � 11 sin � 12 cos � 12 sin � 21 cos 2� 21 sin 2� 22 cos 2� 22 sin 2� 31 cos 3� 31 sin 3� 32 cos 3� 32 sin 3�... 3777775 ;(82)ª®â®à ï ¯®à®¦¤ ¥â ¤¢®©ë¥ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâ¨f'ijg. � ¤ «ì¥©è¥¬ íâ â ¡«¨æ (® ¥ ï¥âáï¬ âà¨æ¥©, â ª ª ª ç¨á«® í«¥¬¥â®¢ ¢ ¥¥ ã«¥¢®©áâப¥ ®â«¨ç® ®â ç¨á« í«¥¬¥â®¢ ¢ ®áâ «ìëåáâப å) §ë¢ ¥âáï â ¡«¨æ¥© £ ମ¨ª. �ਡ¥áª®¥ç®¬ ç¨á«¥ ç«¥®¢ ¢ ¯¯à®ªá¨¬¨àãîé¨åá㬬 å â ¡«¨æ £ ମ¨ª áâ ®¢¨âáï ¡¥áª®¥ç-®©.�«¥¬¥âë â ¡«¨æë £ ମ¨ª ¬®¦® ¯¥à¥ã¬¥-஢ âì ¬®£¨¬¨ ᯮᮡ ¬¨. � ¤ «ì¥©è¥¬ ¨á¯®«ì-§ã¥âáï ᯮᮡ 㬥à 樨 "¯® áâப ¬", ª®â®àë©
áà ¢¨â¥«ì® ¯à®áâ® «£®à¨â¬¨§ã¥âáï. � ¬¥â¨¬,çâ® ¢ í⮬ á«ãç ¥ ¯à¨ 㢥«¨ç¥¨¨ ç¨á« á⮫¡-殢 ¢ â ¡«¨æ¥ £ ମ¨ª (82), â. ¥. ¯à¨ ¨§¬¥¥¨¨¢¨¤ ¯¯à®ªá¨¬¨àãîé¨å ¢ëà ¦¥¨© ¯ã⥬ ¤®¡ -¢«¥¨ï á« £ ¥¬ëå á ¢®§à áâ î騬 ¨¤¥ªá®¬ j, ¥¥áâ àë¬ í«¥¬¥â ¬, ç¨ ï á ¯¥à¢®© áâப¨, ¥-®¡å®¤¨¬® ¯à¨á¢ ¨¢ âì ®¢ë¥ ®¬¥à (áâ àë¥ í«¥-¬¥âë ¢ ã«¥¢®© áâப¥ ᢮¨ ®¬¥à á®åà ïîâ).�®£¤ ¢ í⮩ â ¡«¨æ¥ 㢥«¨ç¨¢ ¥âáï ⮫쪮 ç¨á«®áâப ¯à¨ á®åà ¥¨¨ ç¨á« á⮫¡æ®¢, ®¬¥à áâ -àëå í«¥¬¥â®¢ ¥ ¨§¬¥ïîâáï.� ª ¢¨¤® ¨§ (82), ¢á¥ í«¥¬¥âë â ¡«¨æë £ ମ-¨ª à ᯠ¤ îâáï ¤¢¥ £à㯯ë, ¢ ®¤ã ¨§ ª®â®àëå¢å®¤ïâ í«¥¬¥âë, ¥ § ¢¨áï騥 ®â 㣫®¢®© ª®®à¤¨- âë �, ¢ ¤àã£ãî { í«¥¬¥âë á cos(i�) ¨ sin(i�).�®ç¥¥, ¯¥à¢ ï £à㯯 á®á⮨⠨§ í«¥¬¥â®¢ ã«¥-¢®© áâப¨, ª®â®àë¥ ¥ § ¢¨áïâ ®â �, ¢â®à ï {¨§ í«¥¬¥â®¢ áâப á ¯¥à¢®© ¯® ¯®á«¥¤îî, ã ª®-â®àëå ®¬¥à i = 1; : : : ; I. � ᮮ⢥âá⢨¨ á í⨬ª ¦¤ë© ¨§ ¬ âà¨çëå ª®íää¨æ¨¥â®¢ A, B, S(i),K0 à §¡¨¢ ¥âáï 4 ¡«®ª , ¤¢ ¤¨ £® «ìëå ¨ ¤¢ ¢¥¤¨ £® «ìëå. � ¢¥àå¨å ¤¨ £® «ìëå ¡«®-ª å ¯®¤ëâ¥£à «ìë¥ äãªæ¨¨ ¥ ᮤ¥à¦ â ª®®à-¤¨ âëå äãªæ¨© fk, 'k c ¬®¦¨â¥«ï¬¨ cos(i�),sin(i�), ¢ ¨¦¨å ¤¨ £® «ìëå ¡«®ª å ª ¦¤ ï ¨§ª®®à¤¨ âëå äãªæ¨© fk, 'k, áâ®ïé ï ¯®¤ á®®â-¢¥âáâ¢ãî騬 ¨â¥£à «®¬, ᮤ¥à¦¨â ¬®¦¨â¥«¥¬«¨¡® cos(i�), «¨¡® sin(i�), ¢® ¢¥¤¨ £® «ìëå¡«®ª å ⮫쪮 ®¤ ¨§ ª®®à¤¨ âëå äãªæ¨© fk,'k ¯®¤ ¨â¥£à « ¬¨ ᮤ¥à¦¨â ¬®¦¨â¥«¥¬ «¨¡®cos(i�), «¨¡® sin(i�). �à㣨¬¨ á«®¢ ¬¨, ¯®¤ëâ¥-£à «ìë¥ äãªæ¨¨ ¢ ¢¥àå¨å ¤¨ £® «ìëå ¡«®-ª å ᮤ¥à¦ â ¬®¦¨â¥«ï¬¨ ®¤®ç«¥ë ®â äãª-権 cos(i�), sin(i�) ã«¥¢®© á⥯¥¨, ¢ ¨¦¨å ¤¨ -£® «ìëå ¡«®ª å { ¢â®à®© á⥯¥¨, ¢® ¢¥¤¨ £®- «ìëå ¡«®ª å { ¯¥à¢®© á⥯¥¨.� ¬¥ç ¨¥. �®¤ëâ¥£à «ìë¥ äãªæ¨¨ ¬®£ãâᮤ¥à¦ âì cos(i�), sin(i�) ¢¥ 㪠§ ëå ®¤®ç«¥-®¢. �â® ¨¬¥¥â ¬¥áâ® ¢ á«ãç ïå, ª®£¤ ¯®¤ ¨-â¥£à «®¬ ¯à®¨§¢®¤¨âáï § ¬¥ z = �(�; �; t), ® ¢íâ¨å á«ãç ïå äãªæ¨¨ cos(i�), sin(i�) ¨§ �(�; �; t)¥ ¢«¨ïîâ ¡«®ç®¥ à §¡¨¥¨¥ ¬ âà¨æ. � ¯à¨-¬¥à, ¯à¨ M = N = 7 ¯®¤ëâ¥£à «ì ï äãªæ¨ï ¢í«¥¬¥â¥a22 = � Z R0 Z 2�0 f2(�; �)'2(�; �; NXn=0�nfn)�d�d�¨§ ¨¦¥£® ¤¨ £® «ì®£® ¡«®ª ¬ âà¨æë A á®-¤¥à¦¨â ®¤®ç«¥ë© ¬®¦¨â¥«ì cos2(�), ¯®áª®«ì-ªã ª®®à¤¨ âë¥ äãªæ¨¨ f2 ¨ '2 ¨¬¥îâ ¬®-¦¨â¥«ï¬¨ cos(�). �஬¥ ⮣®, ¯®¤ëâ¥£à «ì ïäãªæ¨ï § ¢¨á¨â â ª¦¥ ®â äãªæ¨© cos(i�), sin(i�)(i = 1; 2; 3), áâ®ïé¨å ¢ à£ã¬¥â¥ z äãªæ¨¨ '2 ¢�. �. �®«®â¥ª® 31
ISSN 1561 -9087 �ਪ« ¤ £÷¤à®¬¥å ÷ª . 2003. �®¬ 5 (77), N 3. �. 19 { 40ᨫ㠧 ¬¥ë z = �(�; �; t), ® ¡«®ç®¥ à §¡¨¥¨¥¬ âà¨æë A íâ® ¥ ¢«¨ï¥â.�¤¥« ®¥ § ¬¥ç ¨¥ ®â®á¨âáï ¨ ª ¬ âà¨æ ¬S(i). �®¤ëâ¥£à «ìë¥ ¦¥ äãªæ¨¨ ¬ âà¨æ B,K0,K1, K2, F ᮤ¥à¦ â cos(i�), sin(i�) ⮫쪮 ¢¢¨¤¥ ®¤®ç«¥®¢ ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å á⥯¥¥©, ¯®-᪮«ìªã § ¬¥ z = �(�; �; t) ¢ ¨å ¥ ¯à®¨§¢®¤¨â-áï.�⬥ç¥ë¥ ®á®¡¥®á⨠áâàãªâãàë ¬ âà¨ç-ëå ª®íää¨æ¨¥â®¢ ãçâ¥ë ¢ ¯®¤¯à®£à ¬¬ å-äãªæ¨ïå, ®¡¥á¯¥ç¨¢ îé¨å ¢ëç¨á«¥¨¥ í«¥¬¥â®¢íâ¨å ¬ âà¨çëå ª®íää¨æ¨¥â®¢.8. ����� ��������� � ����������������áâ ®¢¨¬ ¥®¡å®¤¨¬ë¥ ¤«ï ¤ «ì¥©è¥£® ä®à-¬ã«ë á¢ï§¨ ®¤¨ àëå ¨ ¤¢®©ëå ¨¤¥ªá®¢. �«ïí⮣® à áᬮâਬ á ç « â ¡«¨æã ã«¥© k(j)i ,®¯à¥¤¥«ï¥¬ëå ä®à¬ã«®© (59), á«¥¤ãî饣® ¢¨¤ :266664 k(1)0 k(2)0 : : : k(m0)0k(1)1 k(2)1 : : : k(m1)1... ... ...k(1)I k(2)I : : : k(mI )I 377775 : (83)�®¬¥à i áâப ¢ í⮩ â ¡«¨æ¥ ¨§¬¥ïîâáï ®â 0¤® I, ç¨á«® í«¥¬¥â®¢ ¢ ª ¦¤®© áâப¥ § ¤ ¥âáï ¡®à®¬ ç¨á¥« (m0;m1; : : : ;mI);£¤¥ mi { ç¨á«® í«¥¬¥â®¢ ¢ i-© áâப¥. � §¬¥àëâ ¡«¨æë ã«¥© (83) ®¤®§ ç® ®¯à¥¤¥«ïîâáï à §-¬¥à ¬¨ â ¡«¨æë £ ମ¨ª (82). �¥©á⢨⥫ì®,ç¨á«® í«¥¬¥â®¢ ¢ ¥¥ ã«¥¢®© áâப¥ à ¢® ç¨á«ãí«¥¬¥â®¢ ¢ ã«¥¢®© áâப¥ â ¡«¨æë £ ମ¨ª, ç¨á«®mi í«¥¬¥â®¢ ¢ ¥¥ i-®© áâப¥, ç¨ ï á ¯¥à-¢®©, ¢ ¤¢ à § ¬¥ìè¥ ç¨á« ni í«¥¬¥â®¢ ¢ i-®©áâப¥ â ¡«¨æë £ ମ¨ª, â.¥. ni = 2mi. �â® ®¡ã-á«®¢«¥® ⥬, çâ® ª ¦¤®¬ã í«¥¬¥âã k(j)i ¨§ â -¡«¨æë ã«¥© ᮮ⢥âáâ¢ã¥â, ª ª ¢¨¤® ¨§ (82), ¤¢¥£ ମ¨ª¨ cos(i�) ij , sin(i�) ij ¨§ i-®© ¦¥ áâப¨â ¡«¨æë £ ମ¨ª. � ¡«¨æë á ¯¥à¥¬¥ë¬ ç¨á«®¬í«¥¬¥â®¢ ¢ áâப å ᮮ⢥âáâ¢ãîâ, ¢ ®â«¨ç¨¥ ®â(81), ¯¯à®ªá¨¬ 樨 ᢮¡®¤®© ¯®¢¥àå®á⨠¤¢®©-®© á㬬®© ¢¨¤ � = IXi=0 miXj=1[pij(t) cos(i�) + rij(t) sin(i�)] ij(�; h0):(84)(� «®£¨ç®© á㬬®© § ¤ ¥âáï, ®ç¥¢¨¤®, ¨ ¯®-â¥æ¨ «.)
� ¬¥ç ¨¥. �¥à娥 ¯à¥¤¥«ë I, mi ¤«ï ¨¤¥ª-ᮢ i, j ¢ á㬬¥ (84) ¥§ ¢¨á¨¬ë. �¨á«® áâப ¢â ¡«¨æ¥ £ ମ¨ª ¨ ç¨á«® í«¥¬¥â®¢ ¢ ª ¦¤®© ¨§áâப ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ⮫쪮 ¢ë¡®à®¬ ¯¯à®ªá¨¬¨-àãî饣® ¢ëà ¦¥¨ï, ¤¨ªâ㥬®£® ª®ªà¥â®© ¢ë-ç¨á«¨â¥«ì®© § ¤ 祩.� ¯ ॠ¨¤¥ªá®¢ (i; j) ¯¥à¢ë© ï¥âáï ®¬¥à®¬áâப¨, ¢â®à®© { ®¬¥à®¬ í«¥¬¥â ¢ i-®© áâப¥â ¡«¨æë ª®à¥©. �® ®â®è¥¨î ¦¥ ª â ¡«¨æ¥ £ à-¬®¨ª ¨¤¥ªá i ¢ ¯ ॠ(i; j) ¯®-¯à¥¦¥¬ã ®¡®§ ç -¥â ®¬¥à áâப¨, ¨¤¥ªá j { ®¬¥à ¯ àë í«¥¬¥-⮢, ᮤ¥à¦ é¨å ®¤¨ ª®¢ë¥ ç¨á« k(j)i . � ¤ ç § ª«îç ¥âáï ¢ ⮬, çâ®¡ë ®¤¨ ஬㠨¤¥ªáã kí«¥¬¥â fk ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®á⨠ffkg ¯®áâ ¢¨âì ¢á®®â¢¥âá⢨¥ ¯ àã ¨¤¥ªá®¢ (i; j) ®¤®£® ¨§ í«¥-¬¥â®¢ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®á⨠f ijg. �à㣨¬¨ á«®¢ -¬¨, 㦮 ©â¨ 楫®ç¨á«¥ë¥ äãªæ¨¨ i(k), j(k)楫®£® à£ã¬¥â k.�«ï à¥è¥¨ï í⮩ § ¤ ç¨ ¢¢¥¤¥¬ ¤®¯®«¨â¥«ì-ë© ¨¤¥ªá l, ®¡®§ ç î騩 ®¬¥à í«¥¬¥â ¢ i-®© áâப¥ â ¡«¨æë £ ମ¨ª. � ¯ ॠ¨¤¥ªá®¢ (i; l)¯¥à¢ë©, ª ª ¨ à ìè¥, ®¡®§ ç ¥â ®¬¥à áâப¨, ¢â®à®© { ®¬¥à í«¥¬¥â ( ¥ ¯ àë í«¥¬¥â®¢,ª ª ¢ á«ãç ¥ (i; j)) ¢ i-© áâப¥. �ç¨â ¥¬, çâ® ¢ i-©áâப¥ ¨¤¥ªá l ¨§¬¥ï¥âáï ®â 0 ¤® ni�1, çâ® ¡ã¤¥â¨¬¥âì § 票¥ ¢ ¤ «ì¥©è¥¬. �祢¨¤®, l = l(k),â.¥. ¨¤¥ªá l ï¥âáï äãªæ¨¥© ¨¤¥ªá k. �-¤¥ªá æ¨ï (i; l) ᮮ⢥âá⢮¢ « ¡ë ¯à¥¤áâ ¢«¥¨î᢮¡®¤®© ¯®¢¥àå®á⨠¢ ¢¨¤¥� = IXi=0 ni�1Xl=0 p�il(t)fil(�; �);£¤¥ äãªæ¨¨ p�il ¨ fil ïîâáï ¯¥à¥ã¬¥à®¢ ë-¬¨ á ¯®¬®éìî ¨¤¥ªá®¢ (i; l) äãªæ¨ï¬¨ pij, rij ¨cos(i�) ij , sin(i�) ij ¨§ ¯¯à®ªá¨¬ 樨 (84) á®®â-¢¥âá⢥®.�®áâ ¢«¥ãî § ¤ çã ®¡ ¨¤¥ªá å à¥è îâá«¥¤ãî騥 ã⢥ত¥¨ï (¯à®¢¥àïîâáï ¥¯®á।-á⢥®):1) �®¬¥à M ¯®á«¥¤¥£® ç«¥ ®¤¨ ன ¯®á«¥¤®-¢ ⥫ì®á⨠ffkgMk=0 á¢ï§ á ¢¥à娬 ¯à¥¤¥«®¬I ¨ ç¨á« ¬¨ mi ¢ ¤¢®©®© á㬬¥ (84) á®®â®è¥-¨¥¬ M + 1 = m0 + 2 IXi=1mi:2) �¤¨ àë© ®¬¥à k «¥¦¨â ¢ ¯à¥¤¥« å0 � k � m0 � 1¤«ï í«¥¬¥â®¢ ã«¥¢®© áâப¨ ¨§ â ¡«¨æë £ ମ-¨ª, ¤«ï í«¥¬¥â®¢ i-© áâப¨ ® 㤮¢«¥â¢®àï¥â¥à ¢¥á⢠¬ ai � k � bi;32 �. �. �®«®â¥ª®
ISSN 1561 -9087 �ਪ« ¤ £÷¤à®¬¥å ÷ª . 2003. �®¬ 5 (77), N 3. �. 19 { 40£¤¥ai = m0 + 2 i�1Xn=1mn; bi = m0 + 2 iXn=1mn � 1:3) �᫨ ®¤¨ àë© ¨¤¥ªá k 㤮¢«¥â¢®àï¥â ¥-à ¢¥áâ¢ã 0 � k � m0 � 1, ⮠ᮮ⢥âáâ¢ãî騥¥¬ã ¤¢®©ë¥ ¨¤¥ªáë (i; j) § ¤ îâáï ä®à¬ã« ¬¨i(k) = 0; j(k) = k + 1:�᫨ ¦¥ ®¤¨ àë© ¨¤¥ªá k 㤮¢«¥â¢®àï¥â ¥-à ¢¥áâ¢ã ai � k � bi, ⮠ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 ¥¬ã¤¢®©ë¥ ¨¤¥ªáë (i; j) ¯¥à¥áç¨âë¢ îâáï ¯® ä®à-¬ã« ¬ i(k) = i; j(k) = E� l(k) + 22 �; (85)£¤¥ E(x) ®¡®§ ç ¥â äãªæ¨î, à ¢ãî ¨¡®«ì-襬ã 楫®¬ã ç¨á«ã, ¥ ¯à¥¢®á室ï饬ã x, l(k)®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¯® ä®à¬ã«¥l(k) = k � ai:� ª¨¬ ®¡à §®¬, ¢ëç¨á«¥¨¥ ¤¢®©ëå ¨¤¥ªá®¢(i; j) ¯® § ¤ ®¬ã ®¤¨ ஬㠨¤¥ªáã k, á®®â-¢¥âáâ¢ãî饬㠢ë¡à ®© ¯¯à®ªá¨¬ 樨 á ¯ à -¬¥âà ¬¨ I, mi, ᢮¤¨âáï ª ¢ëç¨á«¥¨î ¤¨ ¯ §® ¨§¬¥¥¨ï ¨¤¥ªá k, ®¯à¥¤¥«¥¨î £à ¨æ (ai; bi)¨§¬¥¥¨ï ¨¤¥ªá k ¢ ¯à¥¤¥« å ª ¦¤®© áâப¨â ¡«¨æë £ ମ¨ª ¨ ¯®á«¥¤ãî饬㠯ਬ¥¥¨îä®à¬ã« (85).�ਬ¥à. �ãáâì ¢ë¡à ï ¯¯à®ªá¨¬ æ¨ï ᢮-¡®¤®© ¯®¢¥àå®á⨠å à ªâ¥à¨§ã¥âáï â ¡«¨æ¥©£ ମ¨ª ¢¨¤ 2664 01 02 11 cos � 11 sin � 21 cos 2� 21 sin 2� 31 cos 3� 31 sin 3� 3775 :�© ᮮ⢥âáâ¢ã¥â â ¡«¨æ ã«¥©26664 k(1)0 k(2)0k(1)1k(1)2k(1)3 37775 :�âáî¤ á«¥¤ã¥â, çâ® â ¡«¨æ £ ମ¨ª ¨¬¥¥â ¯ -à ¬¥âàëI = 3; (m0;m1;m2;m3) = (2; 1; 1; 1):�§ á®®â®è¥¨ï ¤«ï M 室¨¬, çâ® ®¤¨ à멨¤¥ªá k ¨§¬¥ï¥âáï ¢ ¯à¥¤¥« å ®â 0 ¤® 7. � ª¨¬
®¡à §®¬, à áᬠâਢ ¥¬ ï ¯¯à®ªá¨¬ æ¨ï, ¢ëà -¦¥ ï ç¥à¥§ ®¤¨ àãî ¨ ¤¢®©ãî á㬬ë, ¨¬¥¥â¢¨¤ � = h0 + 7Xk=1�k(t)fk(�; �) == h0 + p02(t) 02(�; h0)++ 3Xi=1 1Xj=1[pij(t) cos(i�) + rij(t) sin(i�)] ij(�; h0):(86)(�¤¥áì ¯®«®¦¥® f0(�; �) = 1, çâ® á«¥¤ã¥â ¨§ ¢ë-à ¦¥¨ï (84) ¨ (61), â ª ª ª k10 = 0. �஬¥ ⮣®,�0(t) = h0 ¢ ᨫã (68).) �â® â ª §ë¢ ¥¬ ï "ᥬ¨-¬®¤®¢ ï" ¯¯à®ªá¨¬ æ¨ï ᢮¡®¤®© ¯®¢¥àå®áâ¨.�ᯮ«ì§ãï ä®à¬ã«ë ¤«ï ai, bi, 室¨¬, çâ® ®¤¨- àë© ¨¤¥ªá k à á¯à¥¤¥«¥ ¯® áâப ¬ á«¥¤ãî-騬 ®¡à §®¬:a0 = 0 � k � b0 = 1; a1 = 2 � k � b1 = 3;a2 = 4 � k � b2 = 5; a3 = 6 � k � b3 = 7:� ª®¥æ, ¯® ä®à¬ã« ¬ (85) ¯®«ãç ¥¬â ªãî ª®ªà¥âãî ॠ«¨§ æ¨î äãªæ¨¨ fkg �!f�i(k); j(k)�g, § ¤ î饩 ᮮ⢥âá⢨¥ ®¤¨ àëå¨ ¤¢®©ëå ¨¤¥ªá®¢:f0; 1; 2; 3;4;5; 6; 7g!! f(0; 1); (0; 2); (1;1); (1;2); (2; 1); (2;2); (3;1); (3; 2)g:� ¤ «ì¥©è¥¬ «¨ç¨¥ í⮩ äãªæ¨¨ ¤ ¥â ¢®§¬®¦-®áâì ¯à¨ ¢ëç¨á«¥¨¨ ¨â¥£à «®¢ ¢â®¬ â¨ç¥áª¨á®¯®áâ ¢«ïâì £ ମ¨ª ¬ fk(�; �), 'k(�; �; z) ¥®¡-室¨¬ë¥ ª®¬¡¨ 樨 âਣ®®¬¥âà¨ç¥áª¨å äãª-権 á¨ãá , ª®á¨ãá , ª®á¨ãá £¨¯¥à¡®«¨ç¥áª®£®,äãªæ¨© �¥áá¥«ï ¨ ç¨á¥« k(j)i .9. ������� K0 � ������� K1, K2, F�«¥¬¥âë ¬ âà¨æëK0 ¨ ¢¥ªâ®à®¢K1,K2, F ¬®-£ãâ ¡ëâì ¯à¥¤áâ ¢«¥ë ¯à®áâ묨 â®ç묨 ä®à-¬ã« ¬¨ (¡¥§ ¨â¥£à¨à®¢ ¨©), ç⮠㤮¡® ¤«ï ¢ë-ç¨á«¥¨©. �뢥¤¥¬ í⨠ä®à¬ã«ë.�à® «¨§¨à㥬 á ç « ¬ âà¨æã K0, ¨á¯®«ì-§ãï ¥¥ ¡«®çãî áâàãªâãàã ¨ ᨬ¬¥âà¨î. �¢¨¤ãᨬ¬¥âà¨ç®á⨠®£à ¨ç¨¬áï ¥¥ ¤¤¨ £® «ì®©ç áâìî, ¢ ª®â®àãî ¢ª«î稬 ¨ ¤¨ £® «ì. �«®ç- ï áâàãªâãà ¢«¥ç¥â à §¡¨¥¨¥ ¤¤¨ £® «ì®©ç á⨠3 ¡«®ª , ¤¢ ¨§ ª®â®àëå á®áâ®ïâ ¨§ ¤-¤¨ £® «ìëå í«¥¬¥â®¢ ¢¥à奣® ¨ ¨¦¥£® ¤¨ -£® «ìëå ¡«®ª®¢ ¬ âà¨æë K0, âà¥â¨© ᮢ¯ ¤ -¥â á ¥¥ ¢¥à娬 ¢¥¤¨ £® «ìë¬ ¡«®ª®¬. � ª¨¬�. �. �®«®â¥ª® 33
ISSN 1561 -9087 �ਪ« ¤ £÷¤à®¬¥å ÷ª . 2003. �®¬ 5 (77), N 3. �. 19 { 40®¡à §®¬, ¤¥«® ᢮¤¨âáï ª à áᬮâà¥¨î ¢¥à奩âà¥ã£®«ì®© ¬ âà¨æë� C11 C12C22 � : (87)�«®ª C12 = 0. �¥©á⢨⥫ì®, í«¥¬¥âë í⮣®¡«®ª ᮤ¥à¦ â ¯®¤ ¨â¥£à « ¬¨ ®¤®ç«¥ë ®âcos(i�), sin(i�) ¯¥à¢®© á⥯¥¨, , ª ª ¢¨¤® ¨§ä®à¬ã« (76), ¨â¥£à¨à®¢ ¨¥ ¯® à£ã¬¥âã � ¢ë-¯®«ï¥âáï ®â१ª¥ (0; 2�). �«¥¤®¢ ⥫ì®, íâ¨í«¥¬¥âë à ¢ë ã«î.�«®ª C11 ï¥âáï ¤¨ £® «ìë¬. �¥©á⢨⥫ì-®, í«¥¬¥âë í⮣® ¡«®ª ᮤ¥à¦ â ¯®¤ ¨â¥£à « -¬¨ ®¤®ç«¥ë ®â cos(i�), sin(i�) ¢ ã«¥¢®© á⥯¥¨,â ª ª ª á®áâ ¢«ïîâáï ¨§ í«¥¬¥â®¢ ⮫쪮 ã«¥¢®©áâப¨ ¬ âà¨æë £ ମ¨ª. �«¥¤®¢ ⥫ì®, í«¥-¬¥âë «î¡®© i-®© áâப¨ í⮣® ¡«®ª ¥ § ¢¨áïâ®â � ¨, ª ª ¢¨¤® ¨§ ä®à¬ã« (76), ¡ã¤ãâ ᮤ¥à¦ âìᮬ®¦¨â¥«ï¬¨ ¨â¥£à «ë ®â äãªæ¨© �¥áᥫï J0¢¨¤ Z R0 J0(k(i)0 �)J0(k(j)0 �)�d�; j � i: (88)�® ¨§ ⥮ਨ äãªæ¨© �¥áá¥«ï ¢ë⥪ ¥â, çâ®äãªæ¨¨ J0(k(i)0 �) ¨ J0(k(j)0 �) ®à⮣® «ìë á ¢¥á®¬� ¨â¥à¢ «¥ (0; 2�) ¯à¨ i 6= j. �«¥¤®¢ ⥫ì®,¢¥¤¨ £® «ìë¥ í«¥¬¥âë ¡«®ª C11 à ¢ë ã«î.�«ï ¤¨ £® «ìëå ¦¥ í«¥¬¥â®¢ í⮣® ¡«®ª ¯®«ã-ç îâáï ä®à¬ã«ëkmm = ��R2; m = 0; : : : ;m0 � 1: (89)�ਠ¢ë¢®¤¥ í⮣® á®®â®è¥¨ï ¨á¯®«ì§®¢ ¨§-¢¥áâ ï ä®à¬ã« ¤«ï ª¢ ¤à â ®à¬ë äãªæ¨©�¥áᥫï [13, áâà. 645]:Z R0 J2n(k(j)n �)�d� = R22 h1� n2(k(j)n R)2 iJ2n(k(j)n R);(90)¢ ª®â®à®© ¯®«®¦¥® n = 0, j = m+ 1.� áᬮâਬ, ª®¥æ, ¡«®ª C22 ¢ ¬ âà¨æ¥ (87).�«¥¬¥âë í⮣® ¡«®ª ᮤ¥à¦ â ¯®¤ ¨â¥£à « -¬¨ ®¤®ç«¥ë ¢â®à®© á⥯¥¨ ®â cos(i�), sin(i�),â.¥. § ¢¨áï⠮⠢ᥢ®§¬®¦ëå ¯®¯ àëå ¯à®¨§¢¥-¤¥¨© íâ¨å âਣ®®¬¥âà¨ç¥áª¨å äãªæ¨©. �®ç¥¥,ª ª ¢¨¤® ¨§ ä®à¬ã« (76), ¯®¤ëâ¥£à «ì ï äãª-æ¨ï í«¥¬¥â kmn ¨§ m-®© áâப¨ ¨¦¥£® ¤¨ £®- «ì®£® ¡«®ª (m � m0) ¯®«ãç ¥âáï 㬮¦¥¨¥¬äãªæ¨¨ fm ª ¦¤ãî ¨§ äãªæ¨© fn (n � m)¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâ¨ffngMn=m0 = ffm0 ; fm0+1; : : : ; fMg:
�«¥¤®¢ ⥫ì®, ¯®¤ëâ¥£à «ì ï äãªæ¨ï â ª®£®í«¥¬¥â kmn ¡ã¤¥â ¨¬¥âì ®¤¨ ¨§ á«¥¤ãîé¨å ç¥-âëà¥å ¢¨¤®¢ (á â®ç®áâìî ¤® ®à¬¨àãî饣® ¬®-¦¨â¥«ï):cos�i(m)�� cos�i(n)��Ji(m)�k(j(m))i(m) ��Ji(n)�k(j(n))i(n) ���;sin�i(m)�� cos�i(n)��Ji(m)�k(j(m))i(m) ��Ji(n)�k(j(n))i(n) ���;cos�i(m)�� sin�i(n)��Ji(m)�k(j(m))i(m) ��Ji(n)�k(j(n))i(n) ���;sin�i(m)�� sin�i(n)��Ji(m)�k(j(m))i(m) ��Ji(n)�k(j(n))i(n) ���;(91)£¤¥ �i(m); j(m)�, �i(n); j(n)� { ¯ àë ¤¢®©ëå ¨-¤¥ªá®¢, ®â¢¥ç î騥 ®¤¨ àë¬ ¨¤¥ªá ¬ m, n(m0 � m � n � M ), ¯à¨ç¥¬1 � i(m); i(n) � I;1 � j(m) � mi(m); 1 � j(n) � mi(n):�¤¥áì ¢®§¬®¦ë à §«¨çë¥ á«ãç ¨. �᫨ m =n, â® ¨¬¥¥¬ ¤¨ £® «ìë¥ í«¥¬¥âë kmm (m =m0; : : : ;M ) ¨ i(m) = i(n), j(m) = j(n). �®áª®«ì-ªã ¢â®à®¬ã ¨§ ¤¢®©ëå ¨¤¥ªá®¢ j(m) ¬®£ã⠮⢥-ç âì ¤¢¥ £ ମ¨ª¨, ®¤ ¨§ ª®â®àëå ᮤ¥à¦¨âcos(i(m)�), ¤à㣠ï sin(i(m)�), á®á¥¤¨¥ ¤¨ £®- «ìë¥ í«¥¬¥âë ¡«®ª C22, ç¨ ï á m = m0,¡ã¤ãâ ®¯à¥¤¥«ïâìáï ¯® ä®à¬ã« ¬kmm = � RZ0 2�Z0 cos2�i(m)�� J2i(m)�k(j(m))i(m) ��J2i(m)�k(j(m))i(m) R��2d�d� == � RZ0 2�Z0 sin2�i(m)�� J2i(m)�k(j(m))i(m) ��J2i(m)�k(j(m))i(m) R��d�d�:�®á«¥ ¨â¥£à¨à®¢ ¨ï, á ãç¥â®¬ á®®â®è¥¨ï (90)¤«ï äãªæ¨© �¥áᥫï, ¯®«ãç ¥¬ á«¥¤ãî騥 ä®à¬ã-«ë ¤«ï ¤¨ £® «ìëå í«¥¬¥â®¢ ¡«®ª C22:kmm = ��R22 "1� i(m)k(j(m))i(m) R!2#; m = m0; : : : ;M:(92)�¥¯¥àì à áᬮâਬ á«ãç © m < n. � ମ¨ª¨ fnà §®¡ì¥¬ ¤¢¥ £à㯯ë. � ¯¥à¢ãî £à㯯㠮â¥-ᥬ ⥠fn, ¤«ï ª®â®àëå ¨¤¥ªá i(n) = i(m) (â.¥. ª®-â®àë¥ «¥¦ â ¢ ®¤®© á fm áâப¥ â ¡«¨æë £ ମ-¨ª). �® ¢â®àãî £à㯯㠮â¥á¥¬ fn, ¤«ï ª®â®àëåi(n) < i(m), â.¥. «¥¦ 騥 ¢ à §ëå á fm câப å⮩ ¦¥ â ¡«¨æë. �᫨ fn ¢å®¤¨â ¢ ¯¥à¢ãî £àã¯-¯ã, â® ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥ fmfn, ª ª ¢¨¤® ¨§ (91), ¡ã¤¥â¨¬¥âì ®¤ã ¨§ ä®à¬cos�i(m)�� cos�i(m)��Ji(m)�k(j(m))i(m) ��Ji(m)�k(j(n))i(m) ��;34 �. �. �®«®â¥ª®
ISSN 1561 -9087 �ਪ« ¤ £÷¤à®¬¥å ÷ª . 2003. �®¬ 5 (77), N 3. �. 19 { 40sin�i(m)�� cos�i(m)��Ji(m)�k(j(m))i(m) ��Ji(m)�k(j(n))i(m) ��;cos�i(m)�� sin�i(m)��Ji(m)�k(j(m))i(m) ��Ji(m)�k(j(n))i(m) ��;sin�i(m)�� sin�i(m)��Ji(m)�k(j(m))i(m) ��Ji(m)�k(j(n))i(n) ��:�¤¥áì âਣ®®¬¥âà¨ç¥áª¨¥ äãªæ¨¨ ¨¬¥îâ ®¤¨ -ª®¢ë© à£ã¬¥â i(m)�, äãªæ¨¨ �¥áᥫï J ¨¬¥-îâ ®¤¨ ª®¢ë© ¯®à冷ª i(m). �«ï äãªæ¨© fn ¯¥à-¢®© £à㯯ë, «¥¦ é¨å ¢ ®¤®© á fm áâப¥ â ¡«¨-æë £ ମ¨ª, ¬®¦¥â ¡ëâì «¨¡® j(n) = j(m), «¨-¡® j(n) > j(m) (¯®á«¥¤¥¥ ¢ ᨫã n > m). �᫨j(n) = j(m), â® ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥ fmfn ¨¬¥¥â ¢â®-àãî ¨§ ¯à¨¢¥¤¥ëå ä®à¬, ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨©í«¥¬¥â kmn = 0 ¢ ᨫã à ¢¥á⢠ã«î ¨â¥£à « ¯® �. �᫨ ¦¥ j(n) > j(m), â® fmfn ¨¬¥¥â ¯¥à¢ãî,âà¥âìî ¨«¨ ç¥â¢¥àâãî ¨§ ¯à¨¢¥¤¥ëå ä®à¬. �®â®£¤ í«¥¬¥âë kmn, ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 ¯¥à¢®© ¨ç¥â¢¥à⮩ ä®à¬ ¬, à ¢ë ã«î ¢ ᨫ㠮à⮣®- «ì®á⨠(á ¢¥á®¬ �) äãªæ¨© �¥áᥫï Ji(m) ®âà §«¨çëå à£ã¬¥â®¢, ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 âà¥-â쥩 ä®à¬¥ à ¢ë ã«î ¢ ᨫ㠮à⮣® «ì®áâ¨á¨ãᮢ ¨ ª®á¨ãᮢ ®â à §«¨çëå à£ã¬¥â®¢.�ãáâì ⥯¥àì £ ମ¨ª¨ fn ¯à¨ ¤«¥¦ â ¢â®-ன £à㯯¥, â.¥. 室ïâáï ¢ áâப å ¬ âà¨æë£ à¬®¨ª, ®â«¨çëå ®â áâப¨ á fm. �® ⮣¤ ¢á¥¯à®¨§¢¥¤¥¨ï fmfn ᮤ¥à¦ â ¢§ ¨¬® ®à⮣® «ì-ë¥ á¨ãáë ¨ ª®á¨ãáë, çâ® ¯à¨¢®¤¨â ª à ¢¥áâ¢ãã«î ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å í«¥¬¥â®¢ kmn. �âáî¤ á«¥¤ã¥â, çâ® ¡«®ª C22 â ª¦¥ ï¥âáï ¤¨ £® «ì-ë¬.� ª¨¬ ®¡à §®¬, ¢ á ¬®¬ ®¡é¥¬ á«ãç ¥ ¬ âà¨-æ K0 ¨¬¥¥â ®ç¥ì ¯à®áâãî áâàãªâãàã, ¨¬¥®:® ï¥âáï ¤¨ £® «ì®©, ¯à¨ç¥¬ ¥¥ í«¥¬¥âë¢ ¯¥à¢ëå m0 áâப å ®¯à¥¤¥«ïîâáï ¯® ä®à¬ã« ¬(89), ¢ ®áâ «ìëå áâப å ¯®¯ à® à ¢ë ¬¥¦¤ãᮡ®© ¨ § ¤ îâáï ä®à¬ã« ¬¨ (92).� áᬮâਬ ⥯¥àì ¢¥ªâ®àë K1, K2 ¨ F , ®¯à¥-¤¥«ïî騥 ᢮¡®¤ë¥ ç«¥ë ¢ ¯à ¢®© ç á⨠ãà ¢-¥¨© (75). � ç « ¯®¤áâ ¢¨¬ ¢ ä®à¬ã«ë (76)¢ëà ¦¥¨ï ª®®à¤¨ âëå äãªæ¨© fn ¨§ (64). �®-£¤ ¤«ï ¯¥à¢ëå m0 ª®¬¯®¥â ¢¥ªâ®à®¢ K1 ¨ K2,ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å äãªæ¨ï¬ fn ¨§ ã«¥¢®© áâப¨â ¡«¨æë £ ମ¨ª, ¯®«ãç îâáï ¢ëà ¦¥¨ïK(k)1 = � Z R0 Z 2�0 �2 cos(�) J0(k(k+1)0 �)J0(k(k+1)0 R)d�d�;K(k)2 = � Z R0 Z 2�0 �2 sin(�) J0(k(k+1)0 �)J0(k(k+1)0 R)d�d�:�âáî¤ ¢¨¤®, çâ®K(k)1 = 0; K(k)2 = 0; k = 0; 1; : : : ;m0 � 1: (93)
�®¬¯®¥âë ¢¥ªâ®à®¢ K1 ¨ K2, ᮮ⢥âáâ¢ãî騥äãªæ¨ï¬ fn ¨§ 2-© ¨ ¯®á«¥¤ãîé¨å áâப â ¡«¨-æë £ ମ¨ª, ®¯à¥¤¥«ïîâáï ®¤®© ¨§ á«¥¤ãîé¨åä®à¬ã«:K(k)1 = � RZ0 2�Z0 �2 cos(�) cos[i(k)�] Ji(k)(k(j(k))i(k) �)Ji(k)(k(j(k))i(k) R)d�d�;K(k)1 = � RZ0 2�Z0 �2 cos(�) sin[i(k)�] Ji(k)(k(j(k))i(k) �)Ji(k)(k(j(k))i(k) R)d�d�;K(k)2 = � RZ0 2�Z0 �2 sin(�) cos[i(k)�] Ji(k)(k(j(k))i(k) �)Ji(k)(k(j(k))i(k) R)d�d�;K(k)2 = � RZ0 2�Z0 �2 sin(�) sin[i(k)�] Ji(k)(k(j(k))i(k) �)Ji(k)(k(j(k))i(k) R)d�d�:�®áª®«ìªã ¤«ï 2-© ¨ ¯®á«¥¤ãîé¨å áâப ¯¥à¢ë© ¨§¤¢®©ëå ¨¤¥ªá®¢ i(k) > 1, ¨§ íâ¨å ä®à¬ã« á«¥¤ã-¥â, çâ®K(k)1 = 0; K(k)2 = 0; k = m0+2m1; : : : ;M: (94)� ª®¥æ, à áᬮâਬ ª®¬¯®¥âë ¢¥ªâ®à®¢ K1,K2, ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 äãªæ¨ï¬ fk ¨§ ¯¥à¢®©áâப¨ â ¡«¨æë £ ମ¨ª. �¨, ®ç¥¢¨¤®, ®¯à¥-¤¥«ïîâáï ®¤®© ¨§ á«¥¤ãîé¨å ä®à¬ã«:K(k)1 = � RZ0 2�Z0 �2 cos2(�) J1(k(j(k))1 �)J1(k(j(k))1 R)d�d�;K(k)1 = � RZ0 2�Z0 �2 cos(�) sin(�) J1(k(j(k))1 �)J1(k(j(k))1 R)d�d�;K(k)2 = � RZ0 2�Z0 �2 sin(�) cos(�) J1(k(j(k))1 �)J1(k(j(k))1 R)d�d�;K(k)2 = � RZ0 2�Z0 �2 sin2(�) J1(k(j(k))1 �)J1(k(j(k))1 R)d�d�:k = m0; : : : ;m0 + 2m1 � 1; j(k) = 1; : : : ;m1:�®¬¯®¥âë, ᮤ¥à¦ 騥 ¯®¤ ¨â¥£à « ¬¨ äãª-æ¨î sin(�) cos(�), à ¢ë, ®ç¥¢¨¤®, ã«î. �«ï ®â-«¨çëå ®â ã«ï ª®¬¯®¥â ¯®á«¥ ¨â¥£à¨à®¢ ¨ï¯®«ãç îâáï á«¥¤ãî騥 ä®à¬ã«ë:K(k)1 = cj ; K(k+1)2 = cj;k = m0;m0+2;m0+4; : : : ;m0+2m1�2; j = j(k);�. �. �®«®â¥ª® 35
ISSN 1561 -9087 �ਪ« ¤ £÷¤à®¬¥å ÷ª . 2003. �®¬ 5 (77), N 3. �. 19 { 40£¤¥ cj = ��R2k(j)1 J2�k(j)1 R�J1�k(j))1 R� j = 1; 2; : : : ;m1: (95)� ª¨¬ ®¡à §®¬, ã ¢¥ªâ®à®¢ K1, K2 ¬®£ãâ ¡ëâì ®â-«¨çë ®â ã«ï ⮫쪮 ª®¬¯®¥âë, ᮮ⢥âáâ¢ãî-騥 ª®®à¤¨ âë¬ äãªæ¨ï¬ fk ¨§ ¯¥à¢®© áâப¨â ¡«¨æë £ ମ¨ª. �®«¨ç¥á⢮ â ª¨å ®â«¨çëå®â ã«ï ª®¬¯®¥â ¯®«®áâìî ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ç¨-á«®¬m1 í«¥¬¥â®¢ ¢ ¯¥à¢®© áâப¥ â ¡«¨æë ã«¥©.� ¢¥ªâ®à K1 ®â«¨çë ®â ã«ï ⮫쪮 ç¥âë¥ ¯®-á«¥ k = m0�1 ª®¬¯®¥âë, ã ¢¥ªâ®à K2 { ⮫쪮¥ç¥âë¥, ¯à¨ç¥¬ ¨å § 票ï ᮮ⢥âáâ¢ãî-é¨å ¬¥áâ å ᮢ¯ ¤ îâ, â.¥. K(k)1 = K(k+1)2 = cj(j = j(k)).� áᬮâਬ ⥯¥àì ¢¥ªâ®à F ¨ ¯®¤áâ ¢¨¬ ¢ (80)ª®®à¤¨ âë¥ äãªæ¨¨ fk ¨§ (64). �ਨ¬ ï ¢®¢¨¬ ¨¥, çâ® ª®à¥ì k(1)0 = 0 ¨ J0(0) = 1, ¯®«ãç -¥¬ ¯®á«¥ ¨â¥£à¨à®¢ ¨ï F0 = ��R2. �«ï ®áâ «ì-ëå í«¥¬¥â®¢ í⮣® ¢¥ªâ®à , ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨åäãªæ¨ï¬ fk ¨§ ã«¥¢®© áâப¨ â ¡«¨æë £ ମ-¨ª, ¯®«ãç îâáï á®®â®è¥¨ïFk = 2�� RZ0 � J0(k(k+1)0 �)J0(k(k+1)0 R)d�; k = 1; : : : ;m0 � 1:�® ¯à¨ 㪠§ ëå § 票ïå k äãªæ¨¨ �¥áᥫïJ0(k(k+1)0 �) ¨ J0(k(1)0 �) � 1 ®à⮣® «ìë á ¢¥á®¬ � ¨â¥à¢ «¥ (0; R) (íâ® á«¥¤ã¥â ¨§ ¨å ®à⮣® «ì-®á⨠¨â¥à¢ «¥ (0; 1)). �«¥¤®¢ ⥫ì®, Fk = 0(k = 1; : : : ;m0 � 1). �áâ «ìë¥ Fk à ¢ë ã«î¨§-§ «¨ç¨ï ã ª®®à¤¨ âëå äãªæ¨© fk ¬®-¦¨â¥«¥© sin(i(k)�), cos(i(k)�). � १ã«ìâ â¥, ¤«ï¢¥ªâ®à F ¯®«ãç ¥âáï ¯à¥¤áâ ¢«¥¨¥F = (��R2; 0; : : : ; 0)T : (96)�®«ãç¥ë¥ ¯à®áâë¥ ä®à¬ã«ë (89), (92) ¤«ï í«¥-¬¥â®¢ ¬ âà¨æë K0; (95) { ¤«ï ¢¥ªâ®à®¢ K1, K2¨ (96) { ¤«ï ¢¥ªâ®à F ¨á¯®«ì§®¢ ë ¢ «£®à¨â¬¥ç¨á«¥®£® à¥è¥¨ï ãà ¢¥¨© ⨯ � ¬¨«ìâ® ,¯à¥¤« £ ¥¬®£® ¢ áâ®ï饩 à ¡®â¥ ¨ ¯à¨¬¥¥®-£® ¨¦¥ ¤«ï ¨áá«¥¤®¢ ¨ï ª®ªà¥â®© £¨¤à®¤¨ -¬¨ç¥áª®© § ¤ ç¨.10. ��������� ������������� ����� ������� �����à ¢¥¨ï ⨯ � ¬¨«ìâ® (75) ¯®«®¦¥ë¢ ®á®¢ã «£®à¨â¬ à áç¥â ¢®«®¢ëå ¤¢¨¦¥¨©¦¨¤ª®á⨠¢ 樫¨¤à¨ç¥áª®¬ ¡ ª¥. �â®â «£®à¨â¬¢® ¬®£®¬ ᮢ¯ ¤ ¥â á ®¯¨á ë¬ ¢ à ¡®â¥ [1], ¯®-᪮«ìªã ¤«ï 樫¨¤à¨ç¥áª®£® ¡ ª ãà ¢¥¨ï â¨-¯ � ¬¨«ìâ® á®åà ¨«¨ ®á®¡¥®áâ¨, ¯à¨áã騥
á«ãç î ¯àאַ㣮«ì®£® ¡ ª . �®¯®«¨â¥«ì® «-£®à¨â¬ ¢ª«îç ¥â ®¯¥à 樨, á¢ï§ ë¥ á ®¡à ¡®â-ª®© ¡®«¥¥ á«®¦ëå ¢ëà ¦¥¨© ¤«ï ª®®à¤¨ âëåäãªæ¨© ¨ ¤«ï ¯¯à®ªá¨¬ 権 ¢ ¢¨¤¥ ¯à®áâëå ¨¤¢®©ëå á㬬. � ॠ«¨§®¢ ï§ëª¥ ä®àâà ¨ ¯à¨¬¥¥ ª áä®à¬ã«¨à®¢ ®© ¢ëè¥ ¥«¨¥©®©§ ¤ ç¥ ® ¢®«®¢ëå ¤¢¨¦¥¨ïå ¦¨¤ª®á⨠¢ à §£®ï-¥¬®¬ ¯® £®à¨§®â «¨ 樫¨¤à¨ç¥áª®¬ ¡ ª¥.� áç¥âë ¢ë¯®«¥ë ¤«ï á¨á⥬ë á® á«¥¤ãîé¨-¬¨ ¯ à ¬¥âà ¬¨:R = 1¬; l = 2¬; h0 = 0:5¬; g = 9:81¬ � á�2;� = 1000ª£ � ¬�3; p0 = 105� �¬�2:�¥à¢ë¥ âਠᮡáâ¢¥ë¥ ç áâ®âë ª®«¥¡ ¨© ¦¨¤-ª®á⨠¢ ¢¥à⨪ «ì®¬ ¥¯®¤¢¨¦®¬ ¡ ª¥, à ááç¨-â ë¥ ¯® «¨¥©®© ⥮ਨ (ä®à¬ã« (58)) ¯à¨ § -¤ ëå £ ¡ à¨â å ¡ ª ¨ ã஢¥ ¦¨¤ª®áâ¨, ¨¬¥îâá«¥¤ãî騥 § 票ï (¢ à ¤ � á�1):!1 = 4:2340; !2 = 5:4732; !3 = 6:6278:�®®â¢¥âáâ¢ãî騥 ¯¥à¨®¤ë (¢ ᥪ㤠å)T1 = 1:484; T2 = 1:148; T3 = 0:948:�ந§¢®«ì ï äãªæ¨ï C(t) ¨§ ¨â¥£à « � £à -¦ { �®è¨ ¡ë« ¢ë¡à ¯® ¬¥â®¤ã à ¡®âë [8] ¨§ãá«®¢¨ï ¯®áâ®ïá⢠®¡ê¥¬ ¦¨¤ª®á⨠¨ ¨¬¥« ¢¨¤C(t) = p0� + h0(g + w):� ç «ìë¥ ãá«®¢¨ï (45), (46) à áᬠâਢ «¨áì ¢¬®¬¥â t0 = 0, ᮮ⢥âá⢮¢ «¨ á®áâ®ï¨î ®â-®á¨â¥«ì®£® à ¢®¢¥á¨ï ¦¨¤ª®á⨠¤® ¯®ï¢«¥¨ïãáª®à¥¨ï ¡ ª ¨ ¢® ¢á¥å á«ãç ïå ¡ë«¨ á«¥¤ãîé¨-¬¨: Rm(0) = 0; m = 0; : : : ;M;�0(0) = h0; �i(0) = 0; i = 1; : : : ; N:� ¤ ç § ª«îç ¥âáï ¢ ãáâ ®¢«¥¨¨ § ¢¨á¨¬®á⨮¡®¡é¥ëå ª®®à¤¨ â �i(t) (i = 0; 1; : : :; N ) ᢮-¡®¤®© ¯®¢¥àå®á⨠¦¨¤ª®á⨠ª ª äãªæ¨© ¢à¥¬¥-¨ ®â ¢¥«¨ç¨ë ã᪮२ï w ¡ ª .10.1. �¨á«¥ë¥ íªá¯¥à¨¬¥âë á ¬®¤¥«ìî�«ï ¢ë¡®à ®¯â¨¬ «ìëå § 票© ¯ à ¬¥â஢¬®¤¥«¨ (¨â¥à¢ « [t0; t1], è £ áç¥â h, ç¨á¥« N ,M ) ¡ë«¨ ¢ë¯®«¥ë ç¨á«¥ë¥ íªá¯¥à¨¬¥âë, ª®-â®àë¥ á¢®¤¨«¨áì ª ¨á¯ëâ ¨ï¬ ¬®¤¥«¨ (ç¨á«¥®-¬ã ¨â¥£à¨à®¢ ¨î ¬¥â®¤®¬ �㣥 { �ãââë ãà ¢-¥¨© (75)) ¯à¨ à §«¨çëå § 票ïå ¥¥ ¯ à ¬¥-â஢, ¨¬¥®:N =M = 3; 5; 7; 9; 11; h = 0:01; 0:02; 0:1; 0:2c:36 �. �. �®«®â¥ª®
ISSN 1561 -9087 �ਪ« ¤ £÷¤à®¬¥å ÷ª . 2003. �®¬ 5 (77), N 3. �. 19 { 40� ¡«. 1. �¡®¡é¥ë¥ ª®®à¤¨ âë �i(t) ᢮¡®¤®© ¯®¢¥àå®áâ¨. �᪮२¥ ¡ ª w = 2:0 ¬ � á�2, ¯¯à®ªá¨¬ 樨 N=3, N=5t, á �0(t) �1(t) �2(t) �3(t) �0(t) �1(t) �2(t) �3(t) �4(t) �5(t)0.0 0.5 0 0 0 0.5 0 0 0 0 00.1 0.5 0 0 -0.015 0.5 0 0 -0.015 0 00.2 0.5 0.001 0 -0.058 0.5 0.001 0 -0.057 -0.001 00.3 0.5 0.003 0 -0.120 0.5 0.003 0 -0.119 -0.003 00.4 0.5 0.007 0 -0.191 0.5 0.007 0 -0.190 -0.008 00.5 0.5 0.010 0 -0.258 0.5 0.010 0 -0.255 -0.014 00.6 0.5 0.011 0 -0.310 0.5 0.011 0 -0.306 -0.019 00.7 0.5 0.008 0 -0.338 0.5 0.008 0 -0.335 -0.022 00.8 0.5 0.002 0 -0.336 0.5 0.003 0 -0.337 -0.023 00.9 0.5 -0.003 0 -0.304 0.5 -0.002 0 -0.312 -0.021 01.0 0.5 -0.005 0 -0.248 0.5 -0.003 0 -0.263 -0.017 01.1 0.5 -0.002 0 -0.178 0.5 -0.001 0 -0.198 -0.011 01.2 0.5 0.004 0 -0.107 0.5 0.004 0 -0.127 -0.006 01.3 0.5 0.010 0 -0.049 0.5 0.009 0 -0.065 -0.002 01.4 0.5 0.014 0 -0.013 0.5 0.012 0 -0.021 0.001 01.5 0.5 0.013 0 -0.003 0.5 0.012 0 -0.003 0.002 01.6 0.5 0.007 0 -0.023 0.5 0.007 0 -0.014 0.003 01.7 0.5 -0.001 0 -0.069 0.5 0 0 -0.052 0.002 01.8 0.5 -0.007 0 -0.133 0.5 -0.006 0 -0.112 -0.001 01.9 0.5 -0.007 0 -0.205 0.5 -0.007 0 -0.182 -0.006 02.0 0.5 -0.002 0 -0.271 0.5 -0.002 0 -0.249 -0.014 0� ¡«. 2. �¡®¡é¥ë¥ ª®®à¤¨ âë �i(t) ¯à¨ t = 0:8c ¢ § ¢¨á¨¬®á⨠®â N . �᪮२¥ ¡ ª w = 2:0 ¬ � á�2N �0(t) �1(t) �2(t) �3(t) �4(t) �5(t) �6(t) �7(t) �8(t) �9(t) �10(t) �11(t)3 0.5 0.002 0 -0.3365 0.5 0.003 0 -0.337 -0.023 07 0.5 0.003 0 -0.338 -0.023 0 0 0.0039 0.5 0.003 0 -0.338 -0.023 0 0 0.003 0 011 0.5 0.003 0 -0.338 -0.023 0 0 0.003 0 0 0 0�ᥠç¨á«¥ë¥ íªá¯¥à¨¬¥âë ¢ë¯®«ï«¨áì ¯à¨w = 2:0¬á�2 ¨â¥à¢ «¥ ¢à¥¬¥¨ [t0; t1] =[0; 5](¢ ᥪ㤠å). �® १ã«ìâ â ¬ íâ¨å íªá¯¥à¨¬¥â®¢¡ë«¨ ¢ë¡à ë ®â१®ª [t0; t1] = [0:0; 2:0], ¥áª®«ì-ª® ¯à¥¢ëè î騩 ¤«¨ã ¨¡®«ì襣® ¯¥à¨®¤ ᢮-¡®¤ëå ª®«¥¡ ¨© T1, ¨ è £ áç¥â h = 0:1á. �«ïà¥è¥¨ï á ¬®£® âà㤮£® ¢®¯à®á { ¢ë¡®à ¯ à -¬¥âà ¯¯à®ªá¨¬ 樨 N { áà ¢¨¢ «¨áì § 票ïäãªæ¨© �i(t) ¯à¨ à §«¨çëå t, ¯à¥¤áâ ¢«¥ë¥ ¢â ¡«. 1 ¨ 2.�§ â ¡«. 1, £¤¥ ¯à¨¢¥¤¥ë § 票ï äãªæ¨© �i
¢ § ¢¨á¨¬®á⨠®â t ¯à¨ N = 3 ¨ N = 5, ¢¨¤®, ç⮯ਠ¢á¥å t äãªæ¨ï �0(t) � h0, ç⮠ᮣ« áã¥âáï á¢ëà ¦¥¨¥¬ (68). �஬¥ ⮣®, ¢á¥ �i(t) ª®«¥¡«îâ-áï ¯® § ª®ã, ¡«¨§ª®¬ã ª £ ମ¨ç¥áª®¬ã, ¯à¨ç¥¬ ¨¡®«ì訥 ¬¯«¨âã¤ë ¨¬¥¥â äãªæ¨ï �3(t), á®-®â¢¥âáâ¢ãîé ï ¯¥à¢®© ä®à¬¥ ª®«¥¡ ¨© ᢮¡®¤-®© ¯®¢¥àå®áâ¨. � ®¡®¨å á«ãç ïå ¬ ªá¨¬ «ì륧 票ï äãªæ¨ï �3(t) ¤®á⨣ ¥â ¯à¨ t = 0:8 c,çâ® ¡«¨§ª® ª ¯®«®¢¨¥ ¯¥à¨®¤ T1 ª®«¥¡ ¨© ®á®¢®© ç áâ®â¥. �ਠ¯¥à¥å®¤¥ ®â á«ãç ï N = 3ª N = 5 § ç¥¨ï ¯¥à¢ëå âà¥å äãªæ¨© �1(t),�2(t), �3(t) ¯à ªâ¨ç¥áª¨ ¥ ¨§¬¥ïîâáï, «¨èì ¬-�. �. �®«®â¥ª® 37
ISSN 1561 -9087 �ਪ« ¤ £÷¤à®¬¥å ÷ª . 2003. �®¬ 5 (77), N 3. �. 19 { 40¯«¨â㤮¥ § 票¥ ®á®¢®© äãªæ¨¨ �3(t) 㢥«¨-稢 ¥âáï ¥¤¨¨æã ¢ âà¥â쥬 § ª¥ ¯®á«¥ § ¯ï-⮩. � â ¡«. 2 ¯à¥¤áâ ¢«¥ë ¢á¥ äãªæ¨¨ �i(t) ¯à¨N = 3; 5; 7; 9; 11 ¢ ¬®¬¥â t = 0:8 c, ª®£¤ ®á®¢ ïäãªæ¨ï �3(t) ¯à¨¨¬ ¥â ¬¯«¨â㤮¥ § 票¥.� ª ¢¨¤® ¨§ í⮩ â ¡«¨æë, ç¨ ï á N = 7 § -ç¥¨ï ¢á¥å äãªæ¨© �i(t) áâ ¡¨«¨§¨àãîâáï. � ®á®¢ ¨¨ ¯à¨¢¥¤¥ëå ¤ ëå ¤«ï ¤ «ì¥©è¨åà áç¥â®¢ ¡ë«® ¢ë¡à ® § 票¥ ¯ à ¬¥âà ¯-¯à®ªá¨¬ 樨 N = 7, ®¡¥á¯¥ç¨¢ î饥 âॡ㥬ãîâ®ç®áâì à áç¥â®¢ ¢ ¤ ®© § ¤ ç¥ ¨ ¯à¨¥¬«¥¬®¥¢ ®â®è¥¨¨ § âà â ¬ 訮£® ¢à¥¬¥¨. � ¬¥-⨬, çâ® ¯à¨ N = 7 âॡãîâáï í«¥¬¥âë â ¡«¨æëã«¥© (á¬. ¯à¨¬¥à ¢ ¯.8), ¨¬¥î騥, ¢ ᮮ⢥â-á⢨¨ á ä®à¬ã«®© (59) ¨ [5], á«¥¤ãî騥 § 票ï:k(1)0 = 0:000, k(2)0 = 3:8317059702, k(1)1 = 1:841118,k(1)2 = 3:05424, k(1)3 = 4:201119. � 票¥ k(2)0 ¡¥-à¥âáï á 10-î § ª ¬¨ ¯®á«¥ § ¯ï⮩, çâ®¡ë ®¡¥á-¯¥ç¨âì ã¦ãî â®ç®áâì ¯à¨ ¨á¯®«ì§®¢ ¨¨ à¥-ªãàà¥âëå ä®à¬ã« ¤«ï äãªæ¨© �¥áᥫï. �â-¬¥â¨¬ â ª¦¥, çâ® ¢á¥ ¢ëç¨á«¥¨ï ¢ë¯®«ï«¨áì ᤢ®©®© â®ç®áâìî. �६ï áç¥â { 1 ¬¨ãâ ®¤®¬ è £¥ h = 0:1 c ¯à¨ N = 7 (¯¥àá® «ì멪®¬¯ìîâ¥à á ⠪⮢®© ç áâ®â®© ¯à®æ¥áá®à 1100��æ ¨ ®¯¥à ⨢®© ¯ ¬ïâìî 120 �� ©â).10.2. �¨á«¥®¥ à¥è¥¨¥ § ¤ ç¨�§¢¥áâ®, çâ® ¯à¨ à ¢®ã᪮८¬ ¤¢¨¦¥¨¨¡ ª "§¥àª «®" ¦¨¤ª®á⨠®âª«®ï¥âáï ®â ¯«®áª®-á⨠£®à¨§®â 㣮«, ®¯à¥¤¥«ï¥¬ë© ¯® ä®à¬ã«¥(á¬., ¯à¨¬¥à, [10, áâà.76, ä®à¬ã« (3.6)]tg# = �wg ;£¤¥ # { 㣮« ®âª«®¥¨ï ®â ®á¨ Oz ¢¥ªâ®à �(g0�w0) ¢¥è¥© ®à¬ «¨ ª "§¥àª «ã" ¦¨¤ª®áâ¨, ¯à¨-祬 # > 0, ¥á«¨ ®âª«®¥¨¥ ¯à®¨á室¨â ¯® 室ãç ᮢ®© áâ५ª¨. � â ¡«. 3 ¯à¨¢¥¤¥ë § 票ï㣫 # ¢ § ¢¨á¨¬®á⨠®â ¢¥«¨ç¨ë ã᪮२ï w. �¥© ãáª®à¥¨ï¬ w = 4:9, w = 14:7 ᮮ⢥âáâ¢ãîâ㣫ë #, ¯à¨ ª®â®àëå "§¥àª «®" ª á ¥âáï ªàë誨¨ ¤ ¡ ª ᮮ⢥âá⢥®.�¥å ¨§¬ ®¡à §®¢ ¨ï ¢®« ¬®¦® ¯à¥¤áâ ¢¨âìá«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬. �ਠ¢®§¨ª®¢¥¨¨ ã᪮à¥-¨ï ¯¥à¢® ç «ì® ¯®ª®ïé ïáï ¦¨¤ª®áâì ®¡« ¤ -¥â ¥ª®â®à®© ¯®â¥æ¨ «ì®© í¥à£¨¥© ¯® ®â®è¥-¨î ª ®¢®¬ã ¯®«®¦¥¨î à ¢®¢¥á¨ï. �¨¤ª®áâìãáâ६«ï¥âáï ª í⮬㠯®«®¦¥¨î à ¢®¢¥á¨ï, ¯®-â¥æ¨ «ì ï í¥à£¨ï ¯à¥¢à é ¥âáï ¢ ª¨¥â¨ç¥-áªãî, ¨ ¢ ¤ «ì¥©è¥¬ ¦¨¤ª®áâì ᮢ¥àè ¥â ª®«¥¡ -¨ï ®ª®«® ®¢®£® ¯®«®¦¥¨ï à ¢®¢¥á¨ï ¢ ᮮ⢥â-á⢨¨ á § ª®®¬ á®åà ¥¨ï í¥à£¨¨. � ª ¢¨¤® ¨§
� ¡«. 3. �£®« #(¢ £à ¤) ®âª«®¥¨ï "§¥àª « " ¢§ ¢¨á¨¬®á⨠®â ã᪮२ï w(¢ ¬ � á�2) ¡ ª w 0.5 1.0 1.5 2.0 4.9 14.7# 2.9o 5.8 o 8.7o 11.6 o 26.8o 56.0oâ ¡«. 1 ¨ 2, í⨠ª®«¥¡ ¨ï ¯à®¨á室ï⠯२¬ãé¥-á⢥® ¯¥à¢®© ®á®¢®© ç áâ®â¥.� ᨫã ᤥ« ëå ¯à¨ ¯®áâ ®¢ª¥ § ¤ ç¨ ¯à¥¤-¯®«®¦¥¨©, ¤®«¦® ¡ëâì w < 4:9¬á�2, ç⮡ë "§¥à-ª «®" ¥ ª á «®áì ªàë誨. �¤ ª®, ®ç¥¢¨¤®, íâ®-£® ¥ ¤®áâ â®ç®, ¯®áª®«ìªã ª®â ªâ ¦¨¤ª®á⨠áªàë誮© ¬®¦¥â ¯à®¨§®©â¨ ¨ ¯à¨ "§¥àª «¥", ¥¯¥à¥á¥ª î饬 ªàëèªã. �᫨ ¦¨¤ª®áâì ¯à¨ ¥ª®-â®à®¬ t ¤®á⨣ ¥â ªàë誨, ¬®¤¥«ì ¤ ¥â ¯à ¢¨«ì-ë¥ à¥§ã«ìâ âë «¨èì ®â१ª¥ ¢à¥¬¥¨, ¯à¥¤-è¥áâ¢ãî饬 ¯¥à¢®¬ã ª á ¨î ªàë誨 ¤¥ä®à¬¨-஢ ®© ᢮¡®¤®© ¯®¢¥àå®áâìî.�à®æ¥áá ®¡à §®¢ ¨ï ¢®« ᢮¡®¤®© ¯®¢¥àå-®á⨠¯®á«¥ ¢®§¨ª®¢¥¨ï ã᪮२ï w 㤮¡® ¡«î¤ âì ¢ 4-å ¤¨ ¬¥âà «ì® ¯à®â¨¢®¯®«®¦ë媮â஫ìëå â®çª å ¯®¢¥àå®á⨠¡ ª , ¨¬¥î-é¨å á«¥¤ãî騥 ¯®«ïàë¥ ª®®à¤¨ âë (�; �):(R; 0); (R; �2 ) (R; �) (R; 3�2 ):� íâ¨å â®çª å ¯¯«¨ª âë �(�; �; t) ᢮¡®¤®© ¯®-¢¥àå®áâ¨, ¢ ᨫ㠯।áâ ¢«¥¨ï (64) ¨ ¢ë¡à ëå®à¬¨à®¢®ª, ¡ã¤ãâ ®¯à¥¤¥«ïâìáï ¯à®áâ묨 ä®à-¬ã« ¬¨ ¢¨¤ (N = 7)z1 = �(R; 0; t) = h0 + �1(t) + �2(t) + �4(t) + �6(t);z2 = �(R; �2 ; t) = h0 + �1(t) + �3(t)� �4(t)� �7(t);z3 = �(R; �; t) = h0 + �1(t)� �2(t) + �4(t)� �6(t);z4 = �(R; 3�2 ; t) = h0 + �1(t)� �3(t)� �4(t) + �7(t):�§ á®®¡à ¦¥¨© ᨬ¬¥âਨ ¤®«¦® ¡ëâì z1 = z2,®âªã¤ á«¥¤ã¥â �2(t) = �6(t) � 0;çâ® ¨ ¯®«ãç ¥âáï ¯® १ã«ìâ â ¬ áç¥â (á¬.â ¡«. 2).�§ ¯à¨¢¥¤¥ëå ä®à¬ã« ¤«ï ᬥ饨© ᢮¡®¤-®© ¯®¢¥àå®á⨠¢ ª®â஫ìëå â®çª å ¨ ¤ ëåâ ¡«. 2 á«¥¤ã¥â â ª¦¥, çâ® ¢ ª®â஫ìëå â®ç-ª å § ç¥¨ï ¯¯«¨ª â zi (i=1,2,3,4) ®¯à¥¤¥«ïîâ-áï, ¢ ®á®¢®¬, § 票ﬨ ®¡®¡é¥®© ª®®à¤¨ -âë �3(t).38 �. �. �®«®â¥ª®
ISSN 1561 -9087 �ਪ« ¤ £÷¤à®¬¥å ÷ª . 2003. �®¬ 5 (77), N 3. �. 19 { 40� ¡«. 4. � ç¥¨ï ¯¯«¨ª â zi(t�)(¢ ¬) ᢮¡®¤®© ¯®¢¥àå®á⨠z = �(�; �; t) ¢ § ¢¨á¨¬®á⨠®â ã᪮२ïw(¢ ¬ � á�2) ¡ ª . �¨á« t� (¢ á) ®¯à¥¤¥«ïîâ ¢à¥¬ï ¤®á⨦¥¨ï ¬ ªá¨¬ã¬®¢ äãªæ¨¥© z4(t) , N = 7w 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0z1(t�) 0.499 0.497 0.492 0.485 0.475 0.478 0.486 0.481 0.475 0.490z2(t�) 0.418 0.340 0.266 0.193 0.121 0.098 0.121 0.070 0.015 0.111z3(t�) 0.499 0.497 0.492 0.485 0.475 0.478 0.486 0.481 0.475 0.490z4(t�) 0.587 0.678 0.772 0.869 0.969 1.020 1.007 1.084 1.162 1.009t� 0.7 0.7 0.7 0.7 0.7 0.6 0.5 0.5 0.5 0.4� â ¡«.4 ¯à¨¢¥¤¥ë à ááç¨â ë¥ § ç¥¨ï ¯-¯«¨ª â zi(t) ¢ § ¢¨á¨¬®á⨠®â ã᪮२ï w. � -ç¥¨ï ¯¯«¨ª â 㪠§ ë ¢ ¬®¬¥âë t = t�, ª®£¤ ¤®á⨣ ¥â ¬ ªá¨¬ã¬ ¢¥«¨ç¨ z4(t) ¢ § ¤¥© ª®-â஫쮩 â®çª¥. �᫨ ®ª §ë¢ «®áì z4(t) > l=2,áç¥â ®áâ ¢«¨¢ «áï, â ª ª ª íâ® ®§ ç «®, ç⮦¨¤ª®áâì ª®áã« áì ªàë誨.�§ â ¡«.4 ¢¨¤®, çâ®, ª ª ¨ á«¥¤®¢ «® ®¦¨¤ âì, ¢ª®â஫ìëå â®çª å 1, 2 ®âª«®¥¨ï z1, z3 ᢮¡®¤-®© ¯®¢¥àå®á⨠®â £®à¨§®â ®¤¨ ª®¢ë. � â®ç-ª¥ 3 ᢮¡®¤ ï ¯®¢¥àå®áâì ®¯ã᪠¥âáï, ¢ â®ç-ª¥ 4 ¯®¤¨¬ ¥âáï ®â®á¨â¥«ì® £®à¨§®â . �à¨ã¬¥à¥ëå § 票ïå ã᪮२ï (w � 2:5 ¬ � á�2)᢮¡®¤ ï ¯®¢¥àå®áâì ¥ ¤®å®¤¨â ¤® ªàë誨 ¨ á®-¢¥àè ¥â ¯¥à¨®¤¨ç¥áª¨¥ ª®«¥¡ ¨ï á ¯®«ã¯¥à¨®¤®¬T=2 = 0:7c, ¡«¨§ª¨¬ ª ¯®«ã¯¥à¨®¤ã T1=2 ᢮¡®¤-ëå ª®«¥¡ ¨© ®á®¢®© ç áâ®â¥. �ਠã᪮à¥-¨ïå w > 2:5 ¬ � á�2 ᢮¡®¤ ï ¯®¢¥àå®áâì ¤®áâ -¥â ¤® ªàë誨, ¯à¨ç¥¬ § ¢à¥¬ï, ¬¥ì襥 ¯®«ã¯¥-ਮ¤ T1. �நá室¨â ã¤ à ¦¨¤ª®á⨠® ªàëèªã.�¥¬ ¡®«ìè¥ ã᪮२¥ ¡ ª , ⥬ ¡ëáâ॥ áâã-¯ ¥â 㤠à, â. ¥. ¦¨¤ª®áâì ¯à®å®¤¨â à ááâ®ï¨¥l=2 c ¡�®«ì襩 ᪮à®áâìî, § ç¨â ¨¬¥¥â ¡�®«ìèã¥â¨ç¥áªãî í¥à£¨î. �«¥¤®¢ ⥫ì®, á à®á⮬ã᪮२ï à áâ¥â ᨫ 㤠à . �¥à¢® ç «ì®¥ ª -á ¨¥ ¯à®¨á室¨â ¢ § ¤¥© â®çª¥ ªàë誨 ¡ ª .�।áâ ¢«¥¨¥ ® ä®à¬¥ ᢮¡®¤®© ¯®¢¥àå®á⨦¨¤ª®á⨠¢ ¬®¬¥â ¥¥ ª®â ªâ á ªàë誮© ¡ -ª ¤ îâ £à 䨪¨ à¨á. 1 ¨ 2. � à¨á. 1 ¨§®¡à -¦¥ «¨¨ï ¯¥à¥á¥ç¥¨ï ᢮¡®¤®© ¯®¢¥àå®á⨠ᯫ®áª®áâìî x = 0, à ááç¨â ï ¯® ¯à¨¡«¨¦¥¨ï¬N = 3; 7; 11. �®®â¢¥âáâ¢ãî騥 § ç¥¨ï ¯ à ¬¥-â஢ �i(t�):N = 3; t� = 0:7c {�0 = 0:5; �1 = 0:009; �2 = 0; �3 = �0:511;N = 7; t� = 0:6c {�0 = 0:5; �1 = 0:018; �3 = �0:453;�4 = �0:041; �7 = 0:008; �2 = �5 = �6 = 0;
�¨á. 1. �¨¨ï ¯¥à¥á¥ç¥¨ï ᢮¡®¤®© ¯®¢¥àå®á⨦¨¤ª®á⨠¯«®áª®áâìî x = 0 ¢ ¬®¬¥â ª á ¨ïªàë誨 ¯à¨ ã᪮२¨ ¡ ª w = 3:0¬c�2. �¨à 﫨¨ï ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ¯à¨¡«¨¦¥¨ï¬ N = 7 ¨ N = 11(¬®¬¥â ª á ¨ï t� = 0:6c), ⮪ ï { N = 3 (¬®¬¥âª á ¨ï t� = 0:7c)N = 11; t� = 0:6c {�0 = 0:5; �1 = 0:019; �3 = �0:453;�4 = �0:042; �7 = 0:004; �2 = �5 = 0;�6 = �8 = �9 = �10 = �11 = 0:�ਠ¯®áâ஥¨¨ £à 䨪®¢ à¨á. 1 ¨á¯®«ì§®¢ «®áìâ®, çâ® ¯à¨ x = 0 ¯®«ïàë¥ ã£«ë � = �=2, � =3�=2, ¯®«ïàë© à ¤¨ãá � =j y j ¨, á«¥¤®¢ ⥫ì®,cos � = 0, sin � = y= j y j, cos 2� = �1,sin 3� = 3 yj y j � 4( yj y j)3; �1 � y � 1:�§ íâ¨å £à 䨪®¢ ¢¨¤®, çâ® ¯à¨¡«¨¦¥¨ï N = 7 ¨N = 11 ¤ îâ ¯à ªâ¨ç¥áª¨ ®¤¨ ª®¢ãî ä®à¬ã ᢮-¡®¤®© ¯®¢¥àå®á⨠¢á¥¬ ®â१ª¥ �1 � y � 1¨ § ¬¥â® ãâ®çïîâ ¥¥ ¯® áà ¢¥¨î á ¯à¨¡«¨¦¥-¨¥¬ N = 3 ®â१ª¥ 0:3 � y � 1. �¥ª®â®à®¥à §«¨ç¨¥ ¯®«ãç ¥âáï ¨ ¢ ®æ¥ª å ¬®¬¥â t� ¯¥à-¢®£® ª á ¨ï ªàë誨 ᢮¡®¤®© ¯®¢¥àå®áâìî.�. �. �®«®â¥ª® 39
ISSN 1561 -9087 �ਪ« ¤ £÷¤à®¬¥å ÷ª . 2003. �®¬ 5 (77), N 3. �. 19 { 40� ª®¥æ, à¨á. 2 ¯à¨¢¥¤¥ ®¡é¨© ¢¨¤ ᢮-¡®¤®© ¯®¢¥àå®áâ¨, à ááç¨â ë© ¯® ¯à¨¡«¨¦¥-¨î N = 7 ¨ ᮮ⢥âáâ¢ãî騩 ãáª®à¥¨î ¡ ª w = 3:0¬c�2. �â®â ¢¨¤ ᮮ⢥âáâ¢ã¥â â®çª¥ -¡«î¤¥¨ï (1; 0; 2) (¢ ¬¥âà å) ¢ á¨á⥬¥ ª®®à¤¨ âOxyz, çâ® ¬®¦¥â ¨¬¥âì § 票¥ ¯à¨ ä®â®- ¨«¨ª¨®áꥬª å ¢® ¢à¥¬ï íªá¯¥à¨¬¥â®¢ ¨ ¯à¨ ᮯ®-áâ ¢«¥¨¨ à áç¥âëå ¨ íªá¯¥à¨¬¥â «ìëå ¤ -ëå.
�¨á. 2. �®à¬ ᢮¡®¤®© ¯®¢¥àå®á⨠¦¨¤ª®á⨠¢¬®¬¥â ¥¥ ª á ¨ï ªàë誨 ¡ ª . �᪮२¥ ¡ ª w = 3:0 ¬ � c�2, ¬®¬¥â ª á ¨ï t� = 0:6 c,¯à¨¡«¨¦¥¨¥ N = 7� ¬¥â¨¬, çâ® ¯à¨ ã᪮२¨ w = 2:0 ¬�c�2 "§¥à-ª «®" ¦¨¤ª®áâ¨, ®¯¨áë¢ ¥¬®¥ ãà ¢¥¨¥¬z = 0:5� wg y;¨¬¥¥â ¢ â®çª å y = �1, y = 1 ¯¯«¨ª âë z(�1) =0:704, z(1) = 0:296. � â® ¦¥ ¢à¥¬ï, ¨§ â ¡«. 4¢¨¤®, ç⮠ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 ¯¯«¨ª âë ᢮¡®¤-®© ¯®¢¥àå®á⨠¨¬¥îâ § 票ï z4 = 0:869 ¨z2 = 0:193. �«¥¤®¢ ⥫ì®, ¢ ᮮ⢥âáâ¢ãî騩¬®¬¥â ¢à¥¬¥¨ ¢ § ¤¥© â®çª¥ ᢮¡®¤ ï ¯®¢¥àå-®áâì 室¨âáï ¤ "§¥àª «®¬" ¢ëá®â¥ 0:165 ¬, ¢ ¯¥à¥¤¥© { ¯®¤ ¨¬ £«ã¡¨¥ 0:103 ¬. � ª¨¬®¡à §®¬, ¯à¨ ã᪮८¬ ¤¢¨¦¥¨¨ ¡ ª ᢮¡®¤- ï ¯®¢¥àå®áâì ¦¨¤ª®á⨠ᮢ¥àè ¥â ª®«¥¡ ¨ï®ª®«® "§¥àª « " ¦¨¤ª®áâ¨, ç⮠ᮣ« áã¥âáï á ®¯¨-á ë¬ ¢ëè¥ ¯à¥¤áâ ¢«¥¨¥¬ ® ¬¥å ¨§¬¥ ¢®§¨ª-®¢¥¨ï ¢®« ¢ ¦¨¤ª®á⨠ª ª ® ¯à¥¢à 饨¨ ¯®-â¥æ¨ «ì®© í¥à£¨¨ ¦¨¤ª®á⨠®â®á¨â¥«ì® ®-¢®£® ¯®«®¦¥¨ï "§¥àª « " ¢ ª¨¥â¨ç¥áªãî.
����������� §à ¡®â ª®¬¯ìîâ¥à ï ¬®¤¥«ì { ¨á室륬 ⥬ â¨ç¥áª¨¥ á®®â®è¥¨ï, «£®à¨â¬ à áç¥-â , ä®àâà -¯à®£à ¬¬ { ª®«¥¡ ¨© ¦¨¤ª®á⨠¢æ¨«¨¤à¨ç¥áª®¬ ¡ ª¥. � ®á®¢ã ¯®«®¦¥ë â®ç-ë¥ ¬ âà¨çë¥ ¨â¥£à®-¤¨ää¥à¥æ¨ «ìë¥ ãà ¢-¥¨ï ⨯ � ¬¨«ìâ® , ¤«ï ª®â®àëå ¬¥â®¤®¬�㣥-�ãââë à¥è ¥âáï § ¤ ç �®è¨. �¡« áâì¯à¨¬¥¨¬®á⨠¬®¤¥«¨: ¦¨¤ª®áâì { ¨¤¥ «ì ï, ®¤-®à®¤ ï, ¥á¦¨¬ ¥¬ ï; ¡ ª { ¢¥à⨪ «ìë©, ¥-¤¥ä®à¬¨à㥬ë©; ¤¢¨¦¥¨ï ¡ ª { ¯®áâ㯠⥫ì-ë¥, ¢ ¯®«¥ ᨫë â殮áâ¨, § ¤ ë¥; ०¨¬ ¤¢¨-¦¥¨ï ¦¨¤ª®á⨠{ ¡¥§¢¨åॢ®©, ¯à¨ ®âáãâá⢨¨ª®â ªâ ᢮¡®¤®© ¯®¢¥àå®áâ¨ á ¤®¬ ¨ ªàëè-ª®© ¡ ª . �ëå®¤ë¥ ¯ à ¬¥âàë ¬®¤¥«¨ { ¯¯«¨-ª âë ᢮¡®¤®© ¯®¢¥àå®á⨠¦¨¤ª®á⨠¢ «î¡®©â®çª¥ ¨ ¢ «î¡®© ¬®¬¥â ¢à¥¬¥¨. �।ãᬮâॠ¢®§¬®¦®áâì ¢ àì¨à®¢ ¨ï ç¨á« á« £ ¥¬ëå ¢ ¯-¯à®ªá¨¬¨àãîé¨å ¢ëà ¦¥¨ïå ᢮¡®¤®© ¯®¢¥àå-®á⨠¢ § ¢¨á¨¬®á⨠®â ª®ªà¥â®© § ¤ ç¨. �।-«®¦¥ ï ¬®¤¥«ì ¯à¨¬¥¥ ª § ¤ ç¥ ® ¢á¯«¥áª å ¨ª®«¥¡ ¨ïå ¦¨¤ª®á⨠¢ á«ãç ¥ ¬£®¢¥®£® ã᪮à¥-¨ï ¡ ª ¯® £®à¨§®â «¨ ¨§ á®áâ®ï¨ï ¯®ª®ï. �á-á«¥¤®¢ § ¢¨á¨¬®áâì ä®à¬ë ᢮¡®¤®© ¯®¢¥àå-®á⨠®â ãáª®à¥¨ï ¡ ª ¨ ¯à® «¨§¨à®¢ ¬¥å -¨§¬ ®¡à §®¢ ¨ï ¢®«.1. �®«®â¥ª® �. �. �®¬¯ìîâ¥à®¥ ¬®¤¥«¨à®¢ ¨¥ ®á®¢¥ ãà ¢¥¨© ⨯ � ¬¨«ìâ® ¥«¨¥©ëå ª®-«¥¡ ¨© ¦¨¤ª®á⨠¢ ¯àאַ㣮«ì®¬ ¡ ª¥ // �à¨-ª« ¤ £i¤à®¬¥å iª .{ 2002.{ 4, N 1.{ �. 18{33.2. �㪮¢áª¨© �. �. �¢¥¤¥¨¥ ¢ ¥«¨¥©ãî ¤¨ -¬¨ªã ⢥म£® ⥫ á ¯®«®áâﬨ, ᮤ¥à¦ 騬¨¦¨¤ª®áâì.{ �.: � ãª.¤ã¬ª , 1990.{ 295 á.3. Miles J.W. Nonlinear surface waves in closed basins //J.Fluid Mech.{ 1976.{ 75, part 3.{ P. 419{448.4. �¨ª¨è¥¢ �. �.,� ¡¨®¢¨ç �. �. �¨ ¬¨ª ⢥à-¤®£® ⥫ á ¯®«®áâﬨ, ç áâ¨ç® § ¯®«¥ë¬¨¦¨¤ª®áâìî.{ �.: � 訮áâ஥¨¥, 1968.{ 532 á.5. Abramson H. N., Chu W. H., Kana D. D. Some stud-ies of non-linear lateral sloshing in rigid containers //Journ. of Appl. Mech., Trans. ASME.{ 1966.{ 33, N4.{ P. 66{74.6. � ਬ ®¢ �. �.,�®ªãç ¥¢ �. �.,�㪮¢áª¨© �. �.�¥«¨¥© ï ¤¨ ¬¨ª «¥â ⥫쮣® ¯¯ à â ᦨ¤ª®áâìî.{ �.: � 訮áâ஥¨¥, 1977.{ 208 á.7. �¨¬ à祪® �. �.,�á¨áª¨© B. B. �¥«¨¥© ï ¤¨- ¬¨ª ª®áâàãªæ¨© á ¦¨¤ª®áâìî.{ �¨¥¢: ����"K�I", 1997.{ 338 á.�.: ���� "�®« ", 1976. { C. 260{264.8. �㪮¢áª¨© �. �., �®«®â¥ª® �. �. �¨á«¥®¥ ¬®-¤¥«¨à®¢ ¨¥ ª®«¥¡ ¨© ¦¨¤ª®á⨠¢ § ªàë⮬ ¯®-¤¢¨¦®¬ ¯àאַ㣮«ì®¬ á®á㤥 // �̈ ¤à®¬¥å ¨ª .{1998.{ 72.{ �. 72{87.9. �¨å®®¢ �. �.,� ¬ à᪨© �. �. �à ¢¥¨ï ¬ ⥬ -â¨ç¥áª®© 䨧¨ª¨.{ �.: � 㪠, 1972.{ 735 á.40 �. �. �®«®â¥ª®
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-4879 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1561-9087 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T13:20:48Z |
| publishDate | 2003 |
| publisher | Інститут гідромеханіки НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Золотенко, Г.Ф. 2009-12-28T14:13:58Z 2009-12-28T14:13:58Z 2003 Компьютерное моделирование на основе уравнений типа Гамильтона нелинейных колебаний жидкости в цилиндрическом баке / Г.Ф. Золотенко // Прикладна гідромеханіка. — 2003. — Т. 5, № 3. — С. 9-40. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. 1561-9087 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/4879 532.5 Предложенная автором ранее модель 2-мерных колебаний жидкости в прямоугольном баке развивается на случай 3-мерных колебаний в цилиндрическом баке. Модель основана на точных интегро-дифференциальных уравнениях типа Гамильтона, в отличие от различных моделей, основанных на оценках порядка малости искомых величин. Точные уравнения представлены в матричной форме, установлена блочная структура их матричных коэффициентов, особое внимание уделено связи одинарных и двойных индексов в представлениях потенциала скоростей и свободной поверхности через простые и двойные суммы. Разработан алгоритм численного решения этих уравнений, который тестируется на задаче о нелинейных колебаниях жидкости в вертикальном цилиндрическом баке во время его разгона по горизонтали. Запропоновану автором ранiше 2-вимiрну модель коливань рiдини у прямокутному резервуарi розвинуто на випадок 3-вимiрних коливань у цилiндричному резервуарi. Модель базується на точних iнтегро-диференцiйних рiвняннях типу Гамiльтона, на вiдмiну вiд моделей, що використовують оцiнки порядку малостi шуканих величин. Точнi рiвняння подано у матричному виглядi, встановлено блочну структуру їхнiх матричних коефiцiєнтiв, особливу увагу придiлено зв'язку одинарних та подвiйних iндексiв у представленнях потенцiалу швидкостей та вiльної поверхнi через простi та подвiйнi суми. Розроблено алгоритм чисельного розв'язування цих рiвнянь, котрий тестується на задачi про нелiнiйнi коливання рiдини у вертикальному цилiндричному резервуарi пiд час його прискорення у горизонтальному напрямi. The earlier offered by author model of two-dimensional sloshing in a rectangular tank is extended on the case of three-dimensional sloshing in a cylinder tank. This model is based on the exact integro-differential equations of Hamilton's type in contrast to the simplified equations of a different smallness order. This exact equations is represented in the matrix form, the block structure of their matrix coefficients is showed, particular attention has been given to the relation between single and double indices in the representation of a velocity potential and free sarface in the form of the single and double sums. The algorithm of a numerical integration of this equations has been worked out and tested in the case of nonlinear sloshing in the vertical cylinder tank which is accelerated in the horizontal direction. ru Інститут гідромеханіки НАН України Компьютерное моделирование на основе уравнений типа Гамильтона нелинейных колебаний жидкости в цилиндрическом баке Computer simulation of nonlinear sloshing in a cylindrical tank on the basis of the Hamiltonian type equations Article published earlier |
| spellingShingle | Компьютерное моделирование на основе уравнений типа Гамильтона нелинейных колебаний жидкости в цилиндрическом баке Золотенко, Г.Ф. |
| title | Компьютерное моделирование на основе уравнений типа Гамильтона нелинейных колебаний жидкости в цилиндрическом баке |
| title_alt | Computer simulation of nonlinear sloshing in a cylindrical tank on the basis of the Hamiltonian type equations |
| title_full | Компьютерное моделирование на основе уравнений типа Гамильтона нелинейных колебаний жидкости в цилиндрическом баке |
| title_fullStr | Компьютерное моделирование на основе уравнений типа Гамильтона нелинейных колебаний жидкости в цилиндрическом баке |
| title_full_unstemmed | Компьютерное моделирование на основе уравнений типа Гамильтона нелинейных колебаний жидкости в цилиндрическом баке |
| title_short | Компьютерное моделирование на основе уравнений типа Гамильтона нелинейных колебаний жидкости в цилиндрическом баке |
| title_sort | компьютерное моделирование на основе уравнений типа гамильтона нелинейных колебаний жидкости в цилиндрическом баке |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/4879 |
| work_keys_str_mv | AT zolotenkogf kompʹûternoemodelirovanienaosnoveuravneniitipagamilʹtonanelineinyhkolebaniižidkostivcilindričeskombake AT zolotenkogf computersimulationofnonlinearsloshinginacylindricaltankonthebasisofthehamiltoniantypeequations |