Параметрична ідентифікація кінетичних параметрів дифузії в багатошарових неоднорідних Fe/Dy-наномультикомпозитах

Обґрунтовані постановки прямих і спряжених крайових задач ідентифікації для моделей дифузійного масопереносу в неоднорідних мультикомпозитних середовищах. Здійснена параметрична ідентифікація коефіцієнтів дифузії та перевірка моделей на адекватність з використанням методології оптимального керування...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Veröffentlicht in:	Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки
Datum:	2011
Hauptverfasser:	Дейнека, В.С., Петрик, М.Р.
Format:	Artikel
Sprache:	Ukrainisch
Veröffentlicht:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2011
Online Zugang:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/48797
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Параметрична ідентифікація кінетичних параметрів дифузії в багатошарових неоднорідних Fe/Dy-наномультикомпозитах / В.С. Дейнека, М.Р. Петрик // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2011. — Вип. 5. — С. 85-111. — Бібліогр.: 19 назв. — укр.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

_version_	1860182216533868544
author	Дейнека, В.С. Петрик, М.Р.
author_facet	Дейнека, В.С. Петрик, М.Р.
citation_txt	Параметрична ідентифікація кінетичних параметрів дифузії в багатошарових неоднорідних Fe/Dy-наномультикомпозитах / В.С. Дейнека, М.Р. Петрик // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2011. — Вип. 5. — С. 85-111. — Бібліогр.: 19 назв. — укр.
collection	DSpace DC
container_title	Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки
description	Обґрунтовані постановки прямих і спряжених крайових задач ідентифікації для моделей дифузійного масопереносу в неоднорідних мультикомпозитних середовищах. Здійснена параметрична ідентифікація коефіцієнтів дифузії та перевірка моделей на адекватність з використанням методології оптимального керування станом складних багатокомпонентних розподілених систем, операційного числення Гевісайда та скінченних інтегральних перетворень Фур’є. The direct and conjugate boundary problems for the identification of diffusion mass transfer models in heterogeneous nano composed medias is justified. Parametric identification of the diffusion coefficients and verification of models for adequacy using the optimal control methodology of state of complex multicomposed distributed systems, Heaviside operational method and Fourier finite integral transformation is perfomed.
first_indexed	2025-12-07T18:02:32Z
format	Article
fulltext	Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 5 85 УДК 519.6 В. С. Дейнека, д-р фіз.-мат. наук, професор, академік НАН України, М. Р. Петрик, канд. техн. наук, доцент Інститут кібернетики ім. В. М. Глушкова НАН України, м. Київ, ** Тернопільський національний технічний університет імені Івана Пулюя, м. Тернопіль ПАРАМЕТРИЧНА ІДЕНТИФІКАЦІЯ КІНЕТИЧНИХ ПАРАМЕТРІВ ДИФУЗІЇ В БАГАТОШАРОВИХ НЕОДНОРІДНИХ FE/DY- НАНОМУЛЬТИКОМПОЗИТАХ Обґрунтовані постановки прямих і спряжених крайових задач ідентифікації для моделей дифузійного масопереносу в неоднорідних мультикомпозитних середовищах. Здійснена па- раметрична ідентифікація коефіцієнтів дифузії та перевірка моделей на адекватність з використанням методології оптима- льного керування станом складних багатокомпонентних роз- поділених систем, операційного числення Гевісайда та скін- ченних інтегральних перетворень Фур’є. Ключові слова: математична модель масопереносу, па- раметрична ідентифікація, пряма і спряжена початково- крайові задачі, наномультикомпозит, операційний метод Ге- вісайда, скінченне інтегральне перетворення Фур’є, градієнт функціонала-нев’язки. Вступ. Важливим напрямом сучасної нанофізики є вивчення дифу- зії в багатошарових мульти-нанокомпозизитах (nano multycouche) різної природи, зокрема тонких наноплівок, отриманих високотехнологічним способом шляхом агрегації матеріалів з різними і навіть взаємно проти- лежними властивостями. Такі розробки є предметом сучасних нанофізи- чних досліджень, що прогнозують створення на базі матеріалів та сере- довищ з відомими властивостями новітніх матеріалів та середовищ з новими невідомими до цього часу властивостями (нові явища магнітної та електричної провідності, дифузійно-адсорбційні ефекти тощо). У значній мірі, як пояснюють дослідники, виникнення подібних ефектів пов’язано зі структурними змінами середовищ при агрегатуванні наношарів з різними властивостями та наявністю змінних градієнтів концентрацій, що мають місце на інтерфейсних поверхнях розділу цих середовищ. Останнє вимагає розробки нових методів моделювання і математичних моделей для опису специфіки переносу в таких мульти- композитних середовищах цих явищ з урахуванням наявності великої кількості інтерфейсів між суміжними наношарами [1—7]. Зокрема, дуже актуальним є дослідження згущених (Fe/Dy, Fe/Te) магнітних багатоша- рових плівок, що утворені композитним способом почерговою агрегаці- єю наношарів з високопровідними і низькопровідними матеріалами (на- © В. С. Дейнека, М. Р. Петрик, 2011 Математичне та комп’ютерне моделювання 86 приклад, магнетики (ферум) і рідкоземельні елементи (тербій, диспрозі- ум тощо). Одна із перших серій таких мультикомпозитів та їх експери- ментальні концентраційні профілі складових компонент були одержані при допомозі томографічно-атомного аналізу групою фізики матеріалів GPM CNRS UMR 6634 Університету м. Руан [2—4]. Окремі розрахунки магнітно-дифузійних характеристик таких середовищ (Fe 4нм/ Dy 3нм) виконані при участі авторів (Руан, Франція, 2003—2004). 1. Загальний фізичний опис, схематизація переносу та матема- тична модель з урахуванням двосторонніх градієнтних взаємодій в елементах мультишару Розглядається багатошарове середовище, що складається з n по- двійних наношарів двох середовищ з різними властивостями (рис. 1). Рис. 1. Схематизація мультикомпозитного Fe/Dy — наносередовища Процес дифузії атомів компоненти 1 (Fe) і компоненти 2 (Dy) між суміжними наношарами, спричинений наявністю градієнтів кон- центрацій, змінних в часі на інтерфейсних межах приводять до хіміч- ного змішування границь розділу. Схематизація елемента такої граді- єнтної інтерфейсної взаємодії між двома суміжними наношарами се- редовища показана на рис. 2. Рис. 2. Схематизація елемента градієнтної інтерфейсної взаємодії компо- нент між двома суміжними наношарами середовища Концентраційні профілі для такої багатошарової системи можна одержати із системи рівнянь переносу, отриманих на основі закону Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 5 87 Фіка, в комбінації з крайовими умовами зовнішніх наношарів та сис- темою інтерфейсних умов між послідовними наношарами середовища. Математична модель такого переносу з урахуванням вказаних фі- зичних чинників може бути описана у вигляді такої мішаної крайової задачі. На областях   1(0, ) , , 1, 1, Tk k k k kT l l k n       0 0l   1 1... nl l l      концентрації    1 2, , , k k U t z U t z , з урахуванням [2—4; 8—10] задовольняють системі рівнянь з частинними похідними     2 2 1 11 1 11 12 2 2 2 2 21 1 22 22 2 , , , , k k k k k k k k k k U t z D U D U t z z U t z D U D U t z z                  (1) початкові умови                     1 1 01 1 1 2 02 1 0, , , 2 1; 0, / 2 , , 1, , , 2 2; 0, / 2 2 1, , , 2 1; 0, / 2 , , 0, , , 2 2; 0, / 2 2 k k k k k k t o k k k k t o k k z l l k i i n U t z U z l l k i i n z l l k i i n U t z U z l l k i i n                               (2) крайові та інтерфейсні умови між тонкими шарами по z               1 1 1 11 1 1 2 20 ,, 0, 0, 0, , , , , , 0, 1,2, n n m m m n z z l s s z l U t zU t z D D t T z zU t z U t z U t z U t z s                            (3)             1 2 1 2 1 1 1 2 2 2 1 , , , , 1 , 1, s s s s k s s z l k k U t z U t z z z t D D U t z U t z z t z t k n                                             (4) де 11 12k k k 21 22k k D D D D D        ,     1 2 1 2 , 1; 2 1; 0, / 2 1, ; 2 1; 0, / 2 s k s k k i i n s k s k k i i n               ,  0,1 ,jk  1, ; 1, 2.k n j  — кінетичні константи, що враховують до- датковий вплив швидкостей зміни концентрацій на масообмінних межах. Математичне та комп’ютерне моделювання 88 Варто зауважити, що з позиції практичних застосувань — важливі випадки, коли 0 11k k 21 22k k D D D D        або. 0 11 12k k k 22k D D D D        , на що буде в подальшому додатково зосереджена увага. Це відповідатиме кіне- тиці взаємодії двох елементів з протилежними показниками кінетичних параметрів, так званих «активної» (високий показник) і «пасивної» ком- поненти (низький), що як підтверджують низка експериментів приво- дить до отримання нових фізичних ефектів [1; 2; 4; 5]. Умова (4) тут за- писана дещо в загальнішому вигляді, враховуючи наявність фазового переходу для певної кількості дифундованих частинок в газоподібну фазу на межах розділу шарів при застосуванні особливих режимів дифу- зії. Без урахування цього факту, функції у правій частині (4) слід поклас- ти такими, що дорівнюють нулю:   0k t  . У припущенні, що задані та шукані функції є оригіналами за Ла- пласом стосовно змінної t, в зображені за Лапласом [11] для    * 0 , , , 1,2 k k k pt i i iU p z L U U t z e dt i        , отримаємо задачу про структуру обмеженого в 1 1 n n k k I     розв’язку системи диференціа- льних рівнянь переносу 2 2 11 122 2 1 2 2 2 21 222 2 0 k k k k k k d d D p D Udz dz d d U D D p dzr dz                       (5) з крайовими та інтерфейсними умовами між тонкими шарами по z             1 1 * * 1 1 * * 2 20 * * 1 2 , , 0, 0, , , , , 0, 1,2 1 n+1 k n k n k k k z z l z l U p z U p z D D z zU p z U p z U p z U p z s                            (6)             1 2 1 2 * * 1 1 1 2 * * 2 2 1 , , , , 1 , 1, s s s s k k s s z l k U p z p U p z z z D D p U p z U p z z z p k n p                                           (7) Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 5 89 Встановлюється, що система (5) є строго параболічною за Пет- ровським при умові int 11 int 22 int 12 int 21 0 k k k kra ra ra raD D D D  та при ви- користанні підходу, описаного в [11; 12], вона зводиться до диферен- ціального рівняння четвертого порядку     4 int 11 int 22 int 12 int 21 4 2 2 * int 11 int 22 2 ( ), 1, 2, k k k k k k k ra ra ra ra k ra ra k k d w D D D D dr d v D D p p w p i dr           (8) де 2 2 2 2 * * 0 0 0 02 2 2 2 ( ) ( ) 1 .k k k k k ss i ss i si i i si s D D p U p D U p U D U pz z z z                            Розв’язок неоднорідної крайової задачі (5)—(7) будуємо з вико- ристанням методу функцій Коші [11]:  * * , ( , ) ki i kU p z w p z    ,   2 2 , k k ki ss isD D p z         1 1 1 2 1 3 2 4 2( , ) , , ( , ) ; 1, 1. k k k k k k k k k k k l k k l w p z A ch z A sh z A ch z A sh z p z p d k n                      (9) Тут 1ch k pz , 1sh k p z , 2ch k p z , 2sh k pz , ( , , ),k p z  1, 1k n  складають фундаментальну систему розв’язків однорідно- го рівняння (8), / , 1, 2 k ki i p k   ,       2 11 22 11 22 12 21 1,2 11 22 12 21 4 2 k k k k k k k k k k k D D D D D D p D D D D        — коре- ні характеристичного многочлена диференціальної системи (5)    4 2 2 11 22 12 21 11 22 0 k k k k k k D D D D D D p p      . Функції Коші ( , , )k p z  будуються у вигляді   1 1 1 1 2 1 2 2 1 1 2 1 1 1 3 2 4 2 1 2 2 3 2 4 2 1 , , ; , ; , k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k C ch z C sh z p z C ch z C sh z C ch z C sh z l z l C ch z C sh z l z l                                       (10) Математичне та комп’ютерне моделювання 90 де невідомі коефіцієнти ; 1, 4; 1, 2,k sC k s  визначаються із умов [7; 8]:     0 0 , , , , 0,k k z z p z p z                     0 0 2 2 2 2 0 0 , , , , 0, , , , , 0, k k z z k k z z d d p z p z dz dz d d p z p z dz dz                           (11)     3 3 3 3 0 0 , , , , 1k z z d d p z p zkdz dz          та додаткових однорідних умов, визначених умовами вихідної крайо- вої задачі: 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, . k k k k n k k k z l z l z l k n z l z z l d dz d d d k n dz dz dz                                  (12) Із чотирьох умов (12), розв'язуючи систему рівнянь четвертого порядку, отримуємо:                 1 12 1 2 1 1 1 2 22 2 3/2 2 2 3/2 1 1 2 1 1 2 2 22 1 2 1 3 3 4 42 2 3/2 2 2 3/2 2 1 2 2 1 2 s , , s , , k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k h p ch p C C C C p p h p ch p C C C C p p                                   (13) де 1 1 1 1 1 2 2 1 3 3 40, 0, 0, 0 k n n C C C C       . Підставляючи (13) в (11) для k-го шару отримуємо систему рів- нянь четвертого порядку для визначення 2 2 2 2 1 2 3 4, , , k k k k C C C C : 2 2 2 1 1 1 2 1 1 3 2 1k k k k k kk k kC ch pl C sh pl C ch pl          2 12 4 2 1 3 12 2 2 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 1 1 1 3 2 2 1 1 ,k k k k k k k k k k k k k k k i k k i i k k k sh l C sh pl p C sh pl C pch pl C sh pl                           Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 5 91     2 2 4 2 2 1 13 12 2 2 1 2 1 , k k k k k k k i k i C pch pl ch l p                (14) 2 2 2 2 1 1 2 1 3 2 4 2 2 2 1 1 1 2 1 1 0, k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k C ch pl C sh pl C ch pl C sh pl C sh pl C ch pl               2 2 3 2 2 4 2 2 0. k k k k k kk kC sh pl C ch pl      У результаті розв’язання системи (14) маємо:             1 2 2 2 1 2 1 13 12 2 2 1 2 11 1 2 1 1 , , , , , , k k k k k k k k k k s i s k k k i k s i ki k k k i C l l ch p l p sh p l l l                              11 1 1 2 1 1 1 1 14 2 2 1 24 2 2 1 23 , , , , k k k k k k k k k k k k k k l l ch pl sh pl ch pl                      12 1 1 2 1 1 1 14 2 1 24 2 1 23, , , k k k k k kk k k k kl l sh pl ch pl sh pl              ,  21 1 1 2 1 1 1 1 34 2 2 1 14 2 2 1 13 , , , , k k k k k k k k k k k k k k l l sh pl sh pl ch pl                      22 1 1 2 1 1 1 34 2 1 14 2 1 13, , , k k k k k kk k k k kl l ch pl sh pl sh pl              ,  11 2 1 2 1 1 1 1 24 1 1 1 14 2 2 1 12 , , , , k k k k k k k k k k k k k k l l sh pl ch pl ch pl                      12 2 1 2 1 1 1 24 1 1 14 2 1 12, , , , k k k k k kk k k k kl l ch pl sh pl sh pl               21 2 1 2 1 1 1 1 23 1 1 1 13 2 2 1 12 , , , , k k k k k k k k k k k k k k l l sh pl ch pl sh pl                      22 2 1 2 1 1 1 23 1 1 13 2 1 12, , , , k k k k k kk k k k kl l ch pl sh pl ch pl              12 1 34 2 13 2 1 2 1 1 2 , , , k k k k k k k k k k k k ch pl sh pl sh pl ch pl                 Математичне та комп’ютерне моделювання 92 14 2 1 2 1 1 2 , k k k k k kk k k kch pl ch pl sh pl sh pl        23 2 1 2 1 1 2 . k k k k k kk k k ksh pl sh pl ch pl ch pl        Таким чином, функція Коші однозначно визначена і має вигляд     2 3 12 2 2 1 2 1 1 , , k k k i i p z p                                      1 1 1 1 2 1 2 1 1 1 1 2 1 2 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 , , , ; , , k k k k k k k k k k k k k k k k k k i i k k i i k k i k k k k i k sh p z p z sh p l sh p l sh p z p sh p z l sh p z l p z ch p l ch p l l z l p ch p z l ch p z l                                                                        1 1; ,k k kl z l     де   1 2, , 1,2. k k k s s si ik i ik ip z pz c pz sch h      Крайові та інтерфейсні умови (6), (7) дають систему рівнянь  4 2n  -го порядку для визначення невідомих сталих 1 11 2 1, , , k A A A 1 2 2, , , 1, 1 k k k B A B k n  в (9):                     1 1 1 1 2 21 1 2 1 1 1 1 2 22 2 2 1 11 1 1 12 2 4 1,1 1,3 1, 1 1 1 2 1 3 11 1 4 1,1 1,3 1, 1 1 1 2 1 3 1 1 4 4 , , 1 1 4 , , 1 0 0 ... m m m m m m k k k km m k k k km m i j is s s i i j is s s i k i k i j k i j k is s i i k i k i j k i j k is s i v l A v l A v l A v l A v l A v l A v l A v l A v l C v l A                                     1 122 4 1 4 1, 1 1 ... 1; 1, 2 0, 1,2, 2; 2,4 k n n s k i n i j n is i G i v l A s j i                                    (15) Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 5 93 Функції * k G , що беруть участь в системі (15), обчислюються за формулою         1 1 1 * 22 1 1 11 1 , , , , , , ; 1, ; . k k k k k k k kk l k k z l l l k k n z ll d G D p z p d dz d D p z p d k n l dz                              У припущенні однозначної розв’язності алгебраїчної системи (15), а саме, враховуючи природну умову відмінності визначника си- стеми від нуля,  4 2 0n p   , (16) шляхом розв’язання системи (15) компоненти розв’язку неоднорідної крайової задачі (5)-(7) набудуть вигляду:     * 1 1 1 1 2 1 4 2 * 2 3 2 2 4 2 4 2 1 , ch h ( ) 1 ch h ( ) k k k k k k k k k k k k k s s s n s s n U p z E pz E s pz p E pz E s pz p                         11 11 12 21 21 22 11 12 12 12 121 22 22 221 11 11 11 1,1 1,3 2,1 1,1 1,1 2,1 1,4 1,1 1,3 1,4 1,4 1,1 1,3 1,4 1 ,1 ,3 ,4 ... 0 ... 0 ... ... ... ... ... ... ... ... 0 ...( 0 kk k s s s s s s k k k k s s s s k k k k s ss s s s s k k k s s s s v v v v v v v v v v G v vE v v v                      12 12 21 21 21 22 22 22 22 22 ,1 ,2 ,1 ,3 ,4 ,1 ,2 1,2 1,3 1,4 ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 0 ... kk k k s k k k k k s s s s s s s n n n s s s v G v v v v v v v           (17) 11 11 12 21 21 22 11 12 12 12 121 22 22 221 11 11 11 1,1 1,3 2,1 1,1 1,1 2,1 1,4 1,1 1,2 1,2 1,4 1,1 1,2 1,2 2 ,1 ,2 ,2 ... 0 ... 0 ... ... ... ... ... ... ... ... 0 ... 0 kk k s s s s s s k k k k s s s s k k k k s ss s s s s k k k s s s s v v v v v v v v v v v v GE v v v                       12 12 21 21 21 22 22 22 22 22 ,1 ,2 ,1 ,2 ,2 ,1 ,2 1,2 1,3 1,4 ). ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 0 ... kk k k s k k k k k s ss s s s s n n n s s s v v v G v v v v v          де   2 2 1 1, 2 1, , 1,2, 2, 1k k k k ij js s s E D D i j s              ,1 ,2 ,1 1 1 1 1 1 1, ; , 1,2, q q q q q qsim im im k k k k k ks s sl z v l ch pz v l sh pz s m         Математичне та комп’ютерне моделювання 94        ,2 ,4 ,3 2 2 2 3 2 2, ; , 1 , q q q s q qim im im k k k k k ks s sl z v l ch pz v l sh pz q k k              1 1 , , , 2, ; 1,3; , 1, ; 2,4 q k qm q k qm k i j k s j ks k i j k s j ks v l E ch pl k n i v l E sh pl k n i                       21 21 1 1 122 1 122 , 1 1 2 2 , 1 1 2 2 1, 1 1 1, 1 1 1 , 2, ; 1,3; , 1, ; 2, 4; , 1,3; 1; 1 ( ) , 2, 4; q q q q q q q q q q q q q q n n n n n k i j k s s j j ks k i j k s s j j ks n i j n s j ns n i jn n s j ns v l D E D E sh pl k n i v l D E D E ch pl k n i v l E ch pl i i v l E p sh pl i j                                     , 2, 3; 3, 4.i    Використовуючи підхід щодо визначення елементів матриці впли- ву Коші та методику праць [11; 12], можна привести вирази для обчис- лення компонент вектор-функцій ( , ) ksU p z (17) до класичного вигляду:        1 , , 1 1 2 2 , 2 , 1 1 2 1 2 1 ( , ) , , , , ( , ) ( , ) ( , ) ; 1, 1. j k k k j j k k j k k j j ln s s k j s k j s j l n s s s j U p z E p z E p z p d E p z E p z k n                                (18) Тут компоненти матриць впливу ( , )i kj p z    та , ( , ) k j i p z    , що включають структури типу , jm k i s , , , , 1,2, 1,4 jm k i sv s m j i  і одержу- ються рекурентним способом шляхом обчислення визначників, які містяться у виразах (19) згідно рекурентних формул, поданих у [6]. Без урахування   0, 1, ; 1, 2 ks k n s     , тобто, коли відсутні фазо- ві перетворення дифундованих компонент на межах, формула (18) і не будуть включати в себе других сум. Особливими точками головних розв’язків крайової задачі (5)— (7) — матриць впливу ( , )i kj p z    та ( , ) kj i p z    , є точки галуження p   . Тому, згідно методики переходу до оригіналів, що ґрунтуєть- ся на основі теореми Коші та леми Жордана, виконуємо перехід до оригіналів за Лапласом заміною інтегралу по контуру Бромвіча інтег- ралом по уявній осі [11]: Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 5 95 1 * 1 ( , ) ( , ) ( , ) 2 i i i i pt kj kj kj i t z L p z p z e dp i                * * 0 1 1 ( , ) ( , ) 2 2 1 ( , ) , 1,2; , 1, 1 i i pt i ist kj kj i i ist kj p z e dp is z e ds i e is z e ds i k j n                         1 * * 0 1 ( , ) ( , ) ( , ) , 1,2; , 1,i i i ist kj kj kjt z L p z e is z e ds i k j n                 (19) Теорема 1 (про існування і обчислення оригіналів елементів ма- триці впливу). При обмеженнях на коефіцієнти матриці ijD D    , , 1,2i j  (є сталими величинами, що не перетворюються в нуль), елементи матриці впливу при p  прямують до нуля і існують оригінали за Лапласом елементів матриці впливу (19). У результаті з врахуванням одержаних головних розв’язків за- дачі (5)—(7) та формул (19), отримуємо єдиний розв’язок, що описує розглянутий вид масопереносу:     , , 1 1 2 1 2 1 0 1 1 2 1 , 2 , 10 ( , ) ( , ) ( , ) ( ) ( , , ) ( , , ) ( , ) ; 1, 1. k k k j k k j j j k k j j tn s s s s j lt n s k j s k j s j l U t z E t z E t z d E t z E t z d d k n                                     (20) Викладене вище дає підстави сформулювати таку теорему. Теорема 2 (про розв’язність прямої крайової задачі). Якщо ви- конується умова однозначної розв’язності неоднорідної мішаної кра- йової задачі, задані і шукані функції є оригіналами за Лапласом, то розв’язок мішаної крайової задачі (1)—(4) існує, єдиний і визначаєть- ся за формулами (20). 2. Схематизація та модель переносу в мультишарах типу Fe/Dy- систем з урахуванням міжелементних взаємодій «активний-пасивний елемент». Розглядається багатошарове нанокомпозитне середовище, що скла- дається з n подвійних наношарів (Fe/Dy)-середовищ, один з яких запов- нений «активним» елементом, тобто з високими показниками кінетич- них параметрів переносу, намагнічуваності тощо, наприклад феромагне- Математичне та комп’ютерне моделювання 96 тик (Fe), а інший суміжний є «пасивним», тобто з низькими або дуже низькими показниками відповідних кінетичних параметрів, наприклад парамагнетик чи рідкоземельний елемент (Dy), діелектрик, тонкий шар вуглецю тощо. У результаті можна отримати нове мультишарове сере- довище зі зовсім новими практично важливими технологічними власти- востями. Процес дифузії атомів в такій системі з наявністю елементних взаємодій «активний елемент» (Fe) — «пасивний елемент» (Dy); буде лімітований обмеженою проникністю «пасивного» елементу в суміжний шар, заповнений «активним» елементом. Зворотній процес буде супро- воджуватись значною проникністю «активного» елемента в зону «паси- вного», супроводжуючи його сумісну дифузію в шарі. Математична модель такого переносу з урахуванням вказаних фізичних чинників може бути описана у вигляді такої мішаної крайо- вої задачі. На областях   1(0, ) , , , Tk k k k kT l l     1, 1,k n  0 1 10 ... nl l l l       концентрації    1 2, , , k k U t z U t z , з ураху- ванням [5; 7] задовольняють системі рівнянь з частинними похідними           2 2 1 11 1 12 22 2 2 2 22 22 , , , , , , k k k k k k k k U t z D U t z D U t z t z z U t z D U t z t z              (21) з початковими умовами (2), крайовими умовами та інтерфейсними умови між тонкими шарами по z (3), (4) та              1 1 2 2 1 2 1 1 2 1 , , , , 1 , 11 12s s1 1 11 12s s2 2 s s s s k k k z l D U t z D U t z z D U t z D U t z t z t z                       (22)         1 122 2 22 2 2, , , 1, , 0, , k k k k k kz l D U t z D U t z t z z k n t T              (23) де 0 11 12k k k 22k D D D D        ;     1 2 1 2 , 1; 2 1; 0, / 2 , 1, ; 2 1; 0, / 2 . s k s k k i i n s k s k k i i n               Вибір функціонала-нев’язки. Вважаємо, що коефіцієнти дифу- зії , , 1, 2spD s p  крайової задачі (21), (3), (4), (22), (23) є невідомими. Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 5 97 Однак на поверхнях областей , 1, 1k k k n     , неоднорідного се- редовища відомі сліди розв’язків (концентрацій):    , , k k k k s sU t z f t z    . (24) Тим самим отримана задача (21), (3), (4), (22)—(24), що полягає в знахожденні функцій kspD D , де     , : , 0, 1, 1 TkT kD t z C k n          . Функціонал-нев’язку, що визначає величину відхилення шука- ного розв’язку від слідів розв’язку, отриманого емпіричним шляхом на поверхнях k , запишемо у вигляд [16]:     2 1 1 2 ( )10 1 , , , 2 ksp k k k k k lT n s sp s s k Lk l J D U z D f dz d                (25) де 2 2 2 ( )m m mL d      — квадрат норми. У цьому випадку   2 ( ) , m m L z t z      . Схема алгоритму побудови аналітичного розв’язку прямої задачі 1u . Інтегральні оператори прямої і оберненої дії. Застосуємо до рівняння 2 22 22 0, 1, 1 k k D U k n t z            (26) з початковими умовами    2 020 , k kt U t z U z   , (27) крайовими та інтерфейсними умовами (3), (4) для 2s  та (23) за- проваджене нами інтегральне перетворення Фур’є [11], визначене інтегральним оператором nF прямої дії,     1 1 2 2 2 1 ( , ) ( , ) , ( ) k k n k ln n k m k k l F U t z U t z V z dz U t        . (28) інтегральним оператором 1 nF  зворотної до nF дії :        121 1 1 ... ... ... , , , 1, 1 ... n k m m m F V z V z k n                    , (29) Математичне та комп’ютерне моделювання 98 та основною тотожністю інтегрального перетворення диференціаль- ного оператора Лапласа       1 2 22 1 22 2 1 k n n n k k n k d D z l l z D z l dz                 , де  — одинична функція Гевісайда   2 2 2, ( ) mn n mF U t z U t       . (30) Математичне обґрунтування запровадженого нами інтегрально- го перетворення Фур’є подано в [11]. У результаті застосування інтегральних операторів (28), (30) до розглядуваної крайової задачі отримуємо задачу Коші  2 2 2 ( ), m mm d U t t dt       (31)   020 , mm t U t U   де           1 1 2 2 2 2 1 ; , , ; k m km km k k ln k m k k l U t U t U t U t z V z dz                1 2 22 1 2 02 02 1 1 , , m k m km k n n k m k k m k k jz l d t D V l t U U z dz                   . Розв’язком задачі Коші (31) є функція       22 2 02 2 0 .mm m m m t ttU t e U e d        (32) Застосувавши за правилом множення матриць до  2m U t   (32) як матриці-елемента операторну матрицю-стовпець (29), після не- складних перетворень отримуємо компоненти           1 1 1 1 1 1 1 2 , 02 1 2 , 2 1 0 , , , , , 1, 1 k k k k k ln k k k k l tn k k k U t z t z U d t z d k n                           (33) вектор-функції         1 2 12 2 2 2, , , , ,..., , n U t z U t z U t z U t z   , що ви- значає єдиний розв’язок крайової задачі (26), (27), (3), (4), (23). Тут головні розв’язки здачі :  матриця впливу, породжена неоднорідністю системи (26) Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 5 99         2 1 1, 12 1 1 , , , , ; , 1, 1 , m k m k mt k k m m V z V t z e k k n V z             ,  матриця Ґріна, породжена системою інтерфейсних умов kz l         2 1 11 1 1 22 1 2 2 1 1 , , , . , k m m k k m t kk k k m m m d D V l dzt z e V z V z             Підставляючи отримані компоненти розв’язку  2 ,U t z в перше рівняння вихідної крайової задачі (21) (3), (4), (22), (23), отримаємо крайову задачу для визначення концентраційних розподілів  1 , :U t z   2 2 11 1 12 2 12 2 ( , ) , , 1, 1 k k k k k D U D U t x f t z k n t z z               (34) з початковими умовами    1 010 , k kt U t z U z   , (35) крайовими умовами та інтерфейсними умовами (3), (4) ( 1s  ) та         1 21 2 11 1 11 1 1, , . s s s s k kz l D U t z D U t z t z z t                (36) Тут           1 21 2 1 1 1 12 2 12 21 , , . k k s s s s k t t D U t z D U t z z t z                  Застосувавши до крайової задачі (35)—(36), (3)—(4) інтеграль- ний оператор прямої дії nF (28) та основну тотожність (30), отриму- ємо задачу Коші:  2 1 1 ( ), m mm d U t t dt       (37)   010 . mm t U t U   Тут       1 1 1 1 1 , , k m k k ln k m k k l U t U t z V z dz        ,   1 01 01 1 , m km n j U U z            1 1 11 1 1 1 , m m k k n k m k k m k k z l d t f t D V l t dz                 . Розв’язком задачі Коші (37) є функція Математичне та комп’ютерне моделювання 100       22 1 01 1 0 .mm m m m t ttU t e U e d        (38) Застосувавши до  1m U t   (38) інтегральний оператор оберненої дії (30), після перетворень отримуємо компоненти                     1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 , 10 2 12 2 012 11 , 1 1 0 2 2 1 2 1 1 , , , ( , ) , 1 , , ; , , 1 , 1, 1 12 12s s1 2 k k k k k k k s s lt n k k k l k tn k k k k U t z t z D U U d d z t z D U z D U z d z z s s k k k n                                                                 (39) вектор-функції         1 2 11 1 1 1, , , , ,..., , n U t z U t z U t z U t z   , що визна- чає єдиний розв’язок крайової задачі (35)—(36), (3)—(4). Тут матриця функцій Гріна, породжених системою інтерфейс- них умов kz l :         2 1 11 1 1 11 1 1 2 1 1 , , , , k m m k k m t kk k k m m m d D V l dzt z e V z V z             . Для випадку, коли відсутні фазові перетворення дифундованих компонент на межах, тобто коли функції   0, 1, ; 1, 2 ks k n s     , аналітичні вирази розв’язків (33), (39) спростяться і не будуть вклю- чати в себе відповідні компоненти, що містять ці функції. Неоднорідна постановка початково-крайової задачі для приро- стів. З урахуванням приростів коефіцієнтів дифузії m m n n sp spD D  , на основі задачі (35)—(36), (3)—(4) отримаємо відповідні прирости msv для концентрацій m ms sU v . Нехтуючи членами другого порядку малості, для приростів msv отримаємо таку початково-крайову задачу [13—17]:   1 1 111 12 2, m mm m m n nv t z D v D v t z z z z                     Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 5 101   1 2 2 11 12 22 2 2 22 2 , , m mm m m m m n n n D U D U z z v t z D v t z z                 (40) 2 2 22 2 , , 1, 1 m Tm n mD U z m N z       з початковими умовами   0 , 0, , 1, 1, ss mt v t z z m N      (41) крайовими та інтерфейсними умовами між шарами частинок по z:       1 11 10 , 0, , 0, 0, , Ns n sz z l D v t z D v t z t T z z          (42)          1 1 1 1 11 1 12 2 11 1 12 2 , , , , m m m m m m m m m n n n n z l D v t z D v t z z z t D v t z D v t z                                1 1 1 111 1 12 2 11 1 12 2 , , , , m m m m m m m m m n n n n z l D U t z D U t z z t D U t z D U t z z                         (43)             1 1 1 1 22 2 22 2 22 2 22 2 , , , , , 1, , 0, m m m m m m m m m m n n z l n n z l D v t z D v t z z D U t z D U t z k n t T z                  Неоднорідна спряжена задача. З урахуванням викладених вище міркувань у відповідності з вихідною крайовою задачею, наслідуючи [12; 13] для кожного наближення int int,n n er m ra mD D , розв’язку int ,er mD int ra mD вводимо до розгляду неоднорідну спряжену крайову задачу:               2 1 11 1 1 12 2 2 12 12 2 22 2 2 22 , 1, 1 , , , , , , , m k k k k k k k k k k k k k n z n z k n t z D t z U f t z t z D t z t z D t z U f z                              (44) Математичне та комп’ютерне моделювання 102 умови при t T  , 0 k t T t z   ; (45) крайові та інтерфейсні умови по змінній z       1 1 0 , 0; , 0, 0, Ns s z z l t z t z t T z z             ; (46) інтерфейсні умови між тонкими шарами по z     1 , , 0, m m m s s z l t z t z        (47)    1 1 2 21 1 2 2 11 1 21 2 11 1 21 1 0, s s s s s s s s kz l D D D D z z t                     (48)       1 122 2 22 2 0, 1, , 0, k k k k kz l D D k n t T z z               . (49) Побудова аналітичного розв’язку спряженої неоднорідної крайової задачі. Для побудови аналітичного розв’язку спряженої неоднорідної крайової задачі (44)—(49) застосовувався підхід, описа- ний вище для прямої задачі з використанням запровадженого інтег- рального перетворення [11; 12]. В результаті отримуємо:                 1 1 11 1 11 11 1 1 1 1 11 11 1 11 1 1 , 1 1 1 1 2 , 2 2 1 2 12 1 12 , , , , , , , , , 1, 1. k k k k k k k k k k k k k k lT n n k k k zkt l lT n n k k zkt l k t z t z U f d t z t z U f D d k k n z                                                 (50) Тут   1, , ,k k t z  — спряжена матриця впливу Коші (голов- них розв’язків задачі), породжених неоднорідністю спряженої системи (44). Матриця впливу Коші, породжена неоднорідністю системи (26):         2 1 1, 12 1 1 , , , , ; , 1, 1 , m k m k mt k k m m V z V t z e k k n V z            , де необхідні структурні компоненти запровадженого інтегрального перетворення (система власних функцій    0 ,k m m V z    , основна то- тожність та інтегральні оператори прямої і зворотної дії) на відміну Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 5 103 від прямої задачі одержуються для такого гібридного диференціаль- ного оператора Лапласа       1 2 11 1 11 2 1 k n n n k k n k d D z l l z D z l dz                 . Формули для компонент градієнтів. Наслідуючи [13—19], отримуємо формули, що встановлюють зв'язок між прямою та спря- женою задачами. Запишемо основні рівняння задачі для приростів (40) в операторній формі ( , ) m m ms s s mTv t z v   , де 1 11 12 2m m m n nD D v t z z z z                      , 2 22m nD t z z            , 2 2 1 11 1 12 22 2 ( , ) m m m m m n nt z D U D U z z         , 2 2 22 22 ( , ) m m m nt z D U z      , 1, 1.m n  Розглянемо s як оператори, що відображають mT в простір 2L , визначивши скалярний добуток для пар елементів 2, m ms s sv L  :     1 1 , , m m m m mT n s s s s s s m v v t z dzdt         , (51) де  , ms t z досить гладкі функції відповідно в mT . Для (51) мають місце тотожності Лагранжа    , , m m m ms s s s s sv v   . (52) Перетворивши приріст функціоналу-нев’язки       1 1 10 ( , ) ( ) max m m m m m lT n s sp s sm m s mm l J D v t z e t z l dzd O U           , зробивши заміну 1 ms sv   ms із введенням спряженого оператора, отримаємо      1 1 1 ( , ), ( ) (max m m m m n s sp s s s m s mm J D t z e t z l O U              . (53) Використовуючи рівність  1 ( ) m ms m se t z l       в силу то- тожності Лагранжа (53), де  , m ms s t z  — розв’язок спряженої Математичне та комп’ютерне моделювання 104 крайової задачі та розкриваючи в (53) ( , ), ms t z одержуємо формулу зв’язку між прямою і спряженою задачами, що визначає структуру виразу градієнта функціоналу     1 1 ( , ), ( , ) (max ) m m m m n s sp s s s mm J D t z t z O U           , або         1 2 2 2 2 2 1 21 2 22 22 1 ( , ), ( , ) max ( , ), ( , ) max , m m m m m m mm n p mm n n mm J D t z t z O U t z D U t z O u z                                       1 1 1 1 1 1 2 1 2 21 1 11 12 22 2 1 ( , ), ( , ) max ( , ), max , m m m m m m m mm m n p mm n n n mm J D t z t z O U t z D U D U O u z z                                    (54) Продиференціювавши (54) по 22m D а (55) по 11m D та 12m D і розкривши скалярний добуток, одержуємо аналітичні вирази для гра- дієнтів функціоналу-невязки для компонент коефіцієнтів дифузії D : 22 1 21 2 22 10 ( , ) ( , ) m m m lT n D m m l J t z U t z dzdt z           , 11 1 21 1 12 10 ( , ) ( , ) m m m lT n D m m l J t z U t z dzdt z           , (55) 12 1 21 1 22 10 ( , ) ( , ) m m m lT n D m m l J t z U t z dzdt z            . 3. Результати числового моделювання та ідентифікації. Ре- зультати числового аналізу та ідентифікації розподілів коефіцієнтів дифузії для двох компонент (Fe і Dy) з використанням параметричної моделі ідентифікації (на базі формул (55)) наведено на рис. 3—7 для різних часових дифузійних зрізів тривалістю 48, 36, 24, 16 і 12 год. За- гальна товщина наномультикомпозиту складала 20 нм. Розглядалось чотири наношари по 5 нм кожен. В якості даних експериментальних спостережень використовувались результати (рис. 3), отримані мето- дами атомної спектроскопії для багатокомпонентних (Fe/Dy) наноплі- вок в Лабораторії фізики матеріалів Руанського університету (Франція) [2—4]. На рис. 4. (а—г) продемонстровані відновлені розподіли коефі- Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 5 105 цієнтів дифузії при часових зрізах нанодифузії 48, 36, 24 і 12 год відпо- відно. Отриману кінетичну картину взаємної дифузії двох компонент (Fe-Dy) з урахуванням градієнтної взаємодії компонент проаналізуємо для однієї із інтерфейс них меж між сусідніми наношарами, наприклад між першим і другим ( 1z l ). Для першого шару (0  5нм) ми отриму- ємо три розподіли значень коефіцієнтів дифузії для Fe при часових зрізах, що відповідають тривалостям нанодифузії дифузії 12, 24 і 48 год. Ці кінетичні розподіли (криві 1-3), що мають виражені загальні тенденції спадання від інтерфейсної межі 1l в напрямі до початку пер- шого шару, характеризують інтенсивність дифузії компоненти Fe (що початково зосереджена сусідньому 2-му шарі і складає основу,) в пер- ший шар. Крива 1 (часовий зріз 12 год) відповідає стану дифузії Fe в першому шарі, що містить компоненту Dy з найбільшою інтенсивніс- тю. Крива 3 (часовий зріз 12 год) відповідає відповідному стану дифу- зії Fe з найнижчою інтенсивністю. Подібну картину спостерігаємо в зворотному напрямку: для міграції компоненти Dy в першому шарі і частковому переходу у другий. Аналогічна ситуація має місці для ін- ших розглядуваних інтерфейс них меж між шарми ( 2l , 3l ). На рис. 5. (а—г) показані відтворені профілі концентрацій для двох дифундованих компонент Fe і Dy, побудованих з використанням віднов- лених розподілів коефіцієнтів дифузії, згідно рис. 4, які водночас відо- бражають еволюцію структури для кожного із шарів (Fe-Dy) наномуль- тикомпозиту. Як видно з представлених графіків, отримані розподіли в деякій мірі відображають картини розподілів коефіцієнтів дифузії і на- впаки. Так, зокрема для першого і третього шарів ми спостерігаємо про- цес формування їх структури (для трьох аналогічних часових зрізах на- нодифузії 12, 24, 48 год), основу яких визначають концентраційні профі- лі Fe. Ці кінетичні розподіли (криві 1-3), що мають виражені загальні тенденції спадання від інтерфейсної межі 1l в напрямі до початку пер- шого шару, характеризують інтенсивність дифузії компоненти Fe (що початково зосереджена сусідньому 2-му шарі і складає основу,) в пер- ший шар. Крива 1 (часовий зріз 12 год) відповідає стану дифузії Fe в першому шарі, що містить компоненту Dy з найбільшою інтенсивністю. Крива 3 (часовий зріз 12 год) відповідає відповідному стану дифузії Fe з найнижчою інтенсивністю. Подібну картину спостерігаємо в зворотному напрямку: для міграції компоненти Dy в першому шарі і частковому переходу у другий. Аналогічна ситуація має місці для інших розглядува- них інтерфейс них меж між шарми ( 2l , 3l ). На рис. 6. (а, б) відображені еволюційні картини, що показують наближення модельних концентраційних розподілів до відповідних експериментальних слідів для кожної із досліджуваних компонент. Такий підхід дає можливість отримати уточнену візію про внутрішню кінетику процесу для різних часових і просторових зрізів Математичне та комп’ютерне моделювання 106 Experimental Composition Profile 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 0 5 10 15 20 Depth (nm) C om po si ti on ( % ) Dy Fe Dy Dy Fe Fe Рис. 3. Експериментальні концентраційні Fe/Dy профілі Diffusion Coeficients Profile 0,00E+00 2,00E-06 4,00E-06 6,00E-06 8,00E-06 1,00E-05 1,20E-05 0 5 10 15 20 Depth (nm) Dy Fe a) 48 год Diffusion Coeficients Profile 0,00E+00 2,00E-06 4,00E-06 6,00E-06 8,00E-06 1,00E-05 1,20E-05 0 5 10 15 20 Depth (nm) Dy Fe б) 36 год Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 5 107 Diffusion Coeficients Profile 0,00E+00 2,00E-06 4,00E-06 6,00E-06 8,00E-06 1,00E-05 1,20E-05 0 5 10 15 20 Depth (nm) Dy Fe в) 24 год Diffusion Coeficients Profile 0,00E+00 2,00E-06 4,00E-06 6,00E-06 8,00E-06 1,00E-05 1,20E-05 0 5 10 15 20 Depth (nm) Dy Fe г) 12 год Рис. 4. Ідентифіковані профілі коефіцієнтів дифузії Coeficients Profile 0,00 20,00 40,00 60,00 80,00 100,00 0 5 10 15 20 Depth (nm) Dy Fe а) час 12 год Математичне та комп’ютерне моделювання 108 Coeficients Profile 0,00 10,00 20,00 30,00 40,00 50,00 60,00 70,00 80,00 90,00 100,00 0 5 10 15 20 Depth (nm) Dy Fe б) час 24 год Coeficients Profile 0,00 10,00 20,00 30,00 40,00 50,00 60,00 70,00 80,00 90,00 100,00 0 5 10 15 20 Depth (nm) Dy Fe в) час 36 год Coeficients Profile 0,00 10,00 20,00 30,00 40,00 50,00 60,00 70,00 80,00 90,00 100,00 0 5 10 15 20 Depth (nm) Dy Fe г) час 48 год Рис. 5. Відтворені концентраційні Fe/Dy профілі Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 5 109 Dy Concentration Profile 0,00 20,00 40,00 60,00 80,00 100,00 0 5 10 15 20 Depth (nm) 12 год. 16 год. 24 год. 36 год. 48 год. а) Dy-профілі Fe Concentration Profile 0,00 10,00 20,00 30,00 40,00 50,00 60,00 70,00 80,00 90,00 100,00 0 5 10 15 20 Depth (nm) 12 год. 16 год. 24 год. 36 год. 48 год. б) Fe-профілі Рис. 6. Еволюція концентраційних Fe/Dy профілів Висновки. Для моделей дифузійного масопереносу в неоднорі- дних мультикомпозитних середовищах, в тому числі, що містять «ак- тивну» і «пасивну» компоненти обґрунтовано постановки прямих і спряжених крайових задач функціональної ідентифікації. Реалізована методика параметричної ідентифікації коефіцієнтів дифузії для кож- ної із дифундованих компонент багатошарового мультикомпозиту з використанням методології оптимального керування станом склад- ними багатокомпонентними розподіленими системами, методів теорії крайових задач, зокрема, операційного числення Гевісайда та методу скінченних інтегральних перетворень. Проведена ідентифікація кое- фіцієнтів дифузії для внутрішньочастинкового масопереносу. За ре- зультатами ідентифікації виконана перевірка моделей на адекватність з результатами експериментальних спостережень. Отримані результати дозволяють проводити ефективне моделю- вання кінетики процесу дифузії й можуть бути використані: для під- Математичне та комп’ютерне моделювання 110 вищення ефективності експериментальних досліджень кінетики пе- реносу в багатокомпонентних нанопористих системах, дослідженні властивостей нових наноматеріалів у медицині, електроніці, хімічній та інших галузях. Список використаних джерел: 1. Cadel E. Atom probe tomography investigation of the microstructure of super- alloys / E. Cadel, D. Lemarchand, S. Chambreland, D. Blavette // Acta mate- rialia. — 2002. — Vol. 50, №18. — P. 957-966. 2. Tamion A. Three-dimensional atom probe investigation of Fe/Dy myltilayer / A. Tamion, E. Cadel, C. Bordel, D. Blavette // Scripta Materialia. — 2006. — Vol. 54. — Р. 671—675 3. Tamion A. Magnetization depth profile of (Fe/Dy) multilayers / A. Tamion, F. Ott, P.-E. Berche, E. Talbot, C. Bordel, D. Blavette // Journal of Magnetism and Magnetic Materials. — 2008. — Vol. 320. — Р. 2650—2659. 4. Tamion A. Investigation of (Fe/Dy) multilayers by 57Fe Mössbauer spec- trometry / A. Tamion, J. Jurshek, C. Bordel // Journal of Magnetism and Mag- netic Materials. — 2007. — Vol. 313. — Р. 306-311. 5. Tamion A. Influence of the interface local chemistry on the magnetic anisot- ropy of (Fe/Dy) multilayers / A. Tamion, E. Cadel, C. Bordel, D. Blavette // Journal of Magnetism and Magnetic Materials. — 2005. — Vol. 290—291. — Part 1. — Р. 238—241. 6. Mehrer H. Diffusion in Solids/ H. Mehrer. — Springer, 2007. — 650 р. 7. Kärger J. Diffusion fundamentals / J. Kärger, F. Grinberg, P. Heitjans. — Leipzig : Leipziger Unviersite, 2005. — 615 p. 8. Petryk M. Mathematical modeling and visualization of gas transport in a zeo- lite bed using a slice selection procedure / M. Petryk, S. Leclerc, D. Canet, J. Fraissard // Diffusion Fundamentals. — 2007. — P. 111—123. 9. Petryk М. Modeling of gas transport in a microporous solid using a slice selec- tion procedure : application to the diffusion of benzene in ZSM5 / М. Petryk, J. Fraissard, S. Leclerc, D. Canet // Catalysis Today, Elsevier. — 2008. — № 139 (3). — P. 234—240. 10. Петрик М. Р. Математическое моделирование и визуализация системы многоуровневого массопереноса в неоднородных каталитических средах нанопористых частиц / М. Р. Петрик, Ж. Фрессард // Пробл. управления и информатики. — 2008. — № 5. 11. Ленюк М. П. Інтегральні перетворення Фур'є, Бесселя із спектральним параметром в задачах математичного моделювання масопереносу в неод- норідних середовищах / М. П. Ленюк, М. Р. Петрик. — К. : Наук. думка, 2000. — 372 с. 12. Петрик М. Р. Математическое моделирование массопереноса в симмет- рических неоднородных и нанопористых средах с системой n-интерфейс- ных взаимодействий / М. Р. Петрик // Кибернетика и систем. анализ. — 2007. — № 1. — C. 114—134. 13. Дейнека В. С. Идентификация кинетических параметров однокомпонент- ного адсорбционного массопереноса в микропористых каталитических Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 5 111 средах / В. С. Дейнека, М. Р. Петрик, Д. М. Михалик // Пробл. управления и информатики. — 2011. — № 2. — C. 12—25. 14. Дейнека В. С. Оптимальное управление неоднородными распределенны- ми системами / В. С. Дейнека, И. В. Сергиенко. — К. : Наук. думка, 2003. — 506 с. 15. Sergienko I. V. Optimal Control of Distributed Systems with Conjugation Conditions / I. V. Sergienko, V. S. Deineka. — New York : Kluwer Aсademic Publishers. — 2005. — 400 p. 16. Сергиенко И. В. Идентификация градиентными методами параметров задач диффузии двухкомпонентного вещества в нанопористых средах / И. В. Сергиенко, В. С. Дейнека // Доп. НАН України. — 2010. — № 12. — С. 42—49. 17. Сергиенко И. В. Идентификация градиентными методами параметров задач диффузии вещества в нанопористой среде / И. В. Сергиенко, В. С. Дейнека // Пробл. управления и информатики. — 2010. — № 6. — С. 5—18. 18. Алифанов О. М. Обратные задачи теплообмена / О. М. Алифанов. — М. : Машиностроение, 1988. — 280 с. 19. Сергиенко И. В. Системный анализ многокомпонентных распределенных систем / И. В. Сергиенко, В. С. Дейнека. — К. : Наук. думка, 2009. — 638 с. The direct and conjugate boundary problems for the identification of diffusion mass transfer models in heterogeneous nano composed medias is justified. Parametric identification of the diffusion coefficients and verifi- cation of models for adequacy using the optimal control methodology of state of complex multicomposed distributed systems, Heaviside operational method and Fourier finite integral transformation is perfomed. Key words: mathematical model of masstransport, parametric identi- fication, direct and conjugate initial-boundary problems, nano multicom- posite, Heaviside operational method, Fourier integral transformation, gradient of the functional of discrepancy. Отримано: 16.03.2011 << /ASCII85EncodePages false /AllowTransparency false /AutoPositionEPSFiles true /AutoRotatePages /All /Binding /Left /CalGrayProfile (Gray Gamma 2.2) /CalRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1) /CalCMYKProfile (Coated FOGRA27 \050ISO 12647-2:2004\051) /sRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1) /CannotEmbedFontPolicy /Warning /CompatibilityLevel 1.3 /CompressObjects /Tags /CompressPages true /ConvertImagesToIndexed true /PassThroughJPEGImages true /CreateJobTicket false /DefaultRenderingIntent /Default /DetectBlends true /DetectCurves 0.1000 /ColorConversionStrategy /sRGB /DoThumbnails false /EmbedAllFonts true /EmbedOpenType false /ParseICCProfilesInComments true /EmbedJobOptions true /DSCReportingLevel 0 /EmitDSCWarnings false /EndPage -1 /ImageMemory 1048576 /LockDistillerParams false /MaxSubsetPct 100 /Optimize true /OPM 1 /ParseDSCComments true /ParseDSCCommentsForDocInfo true /PreserveCopyPage true /PreserveDICMYKValues true /PreserveEPSInfo false /PreserveFlatness false /PreserveHalftoneInfo false /PreserveOPIComments false /PreserveOverprintSettings true /StartPage 1 /SubsetFonts true /TransferFunctionInfo /Apply /UCRandBGInfo /Remove /UsePrologue false /ColorSettingsFile () /AlwaysEmbed [ true ] /NeverEmbed [ true /Arial-Black /Arial-BlackItalic /Arial-BoldItalicMT /Arial-BoldMT /Arial-ItalicMT /ArialMT /ArialNarrow /ArialNarrow-Bold /ArialNarrow-BoldItalic /ArialNarrow-Italic /ArialUnicodeMS /CenturyGothic /CenturyGothic-Bold /CenturyGothic-BoldItalic /CenturyGothic-Italic /CourierNewPS-BoldItalicMT /CourierNewPS-BoldMT /CourierNewPS-ItalicMT /CourierNewPSMT /Georgia /Georgia-Bold /Georgia-BoldItalic /Georgia-Italic /Impact /LucidaConsole /Tahoma /Tahoma-Bold /TimesNewRomanMT-ExtraBold /TimesNewRomanPS-BoldItalicMT /TimesNewRomanPS-BoldMT /TimesNewRomanPS-ItalicMT /TimesNewRomanPSMT /Trebuchet-BoldItalic /TrebuchetMS /TrebuchetMS-Bold /TrebuchetMS-Italic /Verdana /Verdana-Bold /Verdana-BoldItalic /Verdana-Italic ] /AntiAliasColorImages false /CropColorImages false /ColorImageMinResolution 150 /ColorImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleColorImages true /ColorImageDownsampleType /Bicubic /ColorImageResolution 150 /ColorImageDepth -1 /ColorImageMinDownsampleDepth 1 /ColorImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeColorImages true /ColorImageFilter /DCTEncode /AutoFilterColorImages true /ColorImageAutoFilterStrategy /JPEG /ColorACSImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /ColorImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /JPEG2000ColorACSImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /JPEG2000ColorImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /AntiAliasGrayImages false /CropGrayImages false /GrayImageMinResolution 150 /GrayImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleGrayImages true /GrayImageDownsampleType /Bicubic /GrayImageResolution 150 /GrayImageDepth -1 /GrayImageMinDownsampleDepth 2 /GrayImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeGrayImages true /GrayImageFilter /DCTEncode /AutoFilterGrayImages true /GrayImageAutoFilterStrategy /JPEG /GrayACSImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /GrayImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /JPEG2000GrayACSImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /JPEG2000GrayImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /AntiAliasMonoImages false /CropMonoImages false /MonoImageMinResolution 1200 /MonoImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleMonoImages true /MonoImageDownsampleType /Bicubic /MonoImageResolution 1200 /MonoImageDepth -1 /MonoImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeMonoImages true /MonoImageFilter /CCITTFaxEncode /MonoImageDict << /K -1 >> /AllowPSXObjects true /CheckCompliance [ /PDFX1a:2001 ] /PDFX1aCheck false /PDFX3Check false /PDFXCompliantPDFOnly false /PDFXNoTrimBoxError true /PDFXTrimBoxToMediaBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXSetBleedBoxToMediaBox true /PDFXBleedBoxToTrimBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXOutputIntentProfile (None) /PDFXOutputConditionIdentifier () /PDFXOutputCondition () /PDFXRegistryName () /PDFXTrapped /False /CreateJDFFile false /Description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> /CHS <FEFF4f7f75288fd94e9b8bbe5b9a521b5efa7684002000410064006f006200650020005000440046002065876863900275284e8e55464e1a65876863768467e5770b548c62535370300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c676562535f00521b5efa768400200050004400460020658768633002> /CHT <FEFF4f7f752890194e9b8a2d7f6e5efa7acb7684002000410064006f006200650020005000440046002065874ef69069752865bc666e901a554652d965874ef6768467e5770b548c52175370300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c4f86958b555f5df25efa7acb76840020005000440046002065874ef63002> /CZE <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> /DAN <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> /DEU <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> /ENU (Use these settings to create Adobe PDF documents suitable for reliable viewing and printing of business documents. Created PDF documents can be opened with Acrobat and Adobe Reader 5.0 and later.) /ESP <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> /ETI <FEFF004b00610073007500740061006700650020006e0065006900640020007300e400740074006500690064002000e4007200690064006f006b0075006d0065006e00740069006400650020007500730061006c006400750073007600e400e4007200730065006b0073002000760061006100740061006d006900730065006b00730020006a00610020007000720069006e00740069006d006900730065006b007300200073006f00620069006c0069006b0065002000410064006f006200650020005000440046002d0064006f006b0075006d0065006e00740069006400650020006c006f006f006d006900730065006b0073002e00200020004c006f006f0064007500640020005000440046002d0064006f006b0075006d0065006e00740065002000730061006100740065002000610076006100640061002000700072006f006700720061006d006d006900640065006700610020004100630072006f0062006100740020006e0069006e0067002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e00300020006a00610020007500750065006d006100740065002000760065007200730069006f006f006e00690064006500670061002e> /FRA <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> /GRE <FEFF03a703c103b703c303b903bc03bf03c003bf03b903ae03c303c403b5002003b103c503c403ad03c2002003c403b903c2002003c103c503b803bc03af03c303b503b903c2002003b303b903b1002003bd03b1002003b403b703bc03b903bf03c503c103b303ae03c303b503c403b5002003ad03b303b303c103b103c603b1002000410064006f006200650020005000440046002003ba03b103c403ac03bb03bb03b703bb03b1002003b303b903b1002003b103be03b903cc03c003b903c303c403b7002003c003c103bf03b203bf03bb03ae002003ba03b103b9002003b503ba03c403cd03c003c903c303b7002003b503c003b903c703b503b903c103b703bc03b103c403b903ba03ce03bd002003b503b303b303c103ac03c603c903bd002e0020002003a403b10020005000440046002003ad03b303b303c103b103c603b1002003c003bf03c5002003ad03c703b503c403b5002003b403b703bc03b903bf03c503c103b303ae03c303b503b9002003bc03c003bf03c103bf03cd03bd002003bd03b1002003b103bd03bf03b903c703c403bf03cd03bd002003bc03b5002003c403bf0020004100630072006f006200610074002c002003c403bf002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e0030002003ba03b103b9002003bc03b503c403b103b303b503bd03ad03c303c403b503c103b503c2002003b503ba03b403cc03c303b503b903c2002e> /HEB <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> /HRV (Za stvaranje Adobe PDF dokumenata pogodnih za pouzdani prikaz i ispis poslovnih dokumenata koristite ove postavke. Stvoreni PDF dokumenti mogu se otvoriti Acrobat i Adobe Reader 5.0 i kasnijim verzijama.) /HUN <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> /ITA (Utilizzare queste impostazioni per creare documenti Adobe PDF adatti per visualizzare e stampare documenti aziendali in modo affidabile. I documenti PDF creati possono essere aperti con Acrobat e Adobe Reader 5.0 e versioni successive.) /JPN <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> /KOR <FEFFc7740020c124c815c7440020c0acc6a9d558c5ec0020be44c988b2c8c2a40020bb38c11cb97c0020c548c815c801c73cb85c0020bcf4ace00020c778c1c4d558b2940020b3700020ac00c7a50020c801d569d55c002000410064006f0062006500200050004400460020bb38c11cb97c0020c791c131d569b2c8b2e4002e0020c774b807ac8c0020c791c131b41c00200050004400460020bb38c11cb2940020004100630072006f0062006100740020bc0f002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e00300020c774c0c1c5d0c11c0020c5f40020c2180020c788c2b5b2c8b2e4002e> /LTH <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> /LVI <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> /NLD (Gebruik deze instellingen om Adobe PDF-documenten te maken waarmee zakelijke documenten betrouwbaar kunnen worden weergegeven en afgedrukt. De gemaakte PDF-documenten kunnen worden geopend met Acrobat en Adobe Reader 5.0 en hoger.) /NOR <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> /POL <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> /PTB <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> /RUM <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> /SKY <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> /SLV <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> /SUO <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> /SVE <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> /TUR <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> /UKR <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> /RUS <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> >> /Namespace [ (Adobe) (Common) (1.0) ] /OtherNamespaces [ << /AsReaderSpreads false /CropImagesToFrames true /ErrorControl /WarnAndContinue /FlattenerIgnoreSpreadOverrides false /IncludeGuidesGrids false /IncludeNonPrinting false /IncludeSlug false /Namespace [ (Adobe) (InDesign) (4.0) ] /OmitPlacedBitmaps false /OmitPlacedEPS false /OmitPlacedPDF false /SimulateOverprint /Legacy >> << /AllowImageBreaks true /AllowTableBreaks true /ExpandPage false /HonorBaseURL true /HonorRolloverEffect false /IgnoreHTMLPageBreaks false /IncludeHeaderFooter false /MarginOffset [ 0 0 0 0 ] /MetadataAuthor () /MetadataKeywords () /MetadataSubject () /MetadataTitle () /MetricPageSize [ 0 0 ] /MetricUnit /inch /MobileCompatible 0 /Namespace [ (Adobe) (GoLive) (8.0) ] /OpenZoomToHTMLFontSize false /PageOrientation /Portrait /RemoveBackground false /ShrinkContent true /TreatColorsAs /MainMonitorColors /UseEmbeddedProfiles false /UseHTMLTitleAsMetadata true >> << /AddBleedMarks false /AddColorBars false /AddCropMarks false /AddPageInfo false /AddRegMarks false /BleedOffset [ 0 0 0 0 ] /ConvertColors /ConvertToRGB /DestinationProfileName (sRGB IEC61966-2.1) /DestinationProfileSelector /UseName /Downsample16BitImages true /FlattenerPreset << /PresetSelector /MediumResolution >> /FormElements true /GenerateStructure false /IncludeBookmarks false /IncludeHyperlinks false /IncludeInteractive false /IncludeLayers false /IncludeProfiles true /MarksOffset 6 /MarksWeight 0.250000 /MultimediaHandling /UseObjectSettings /Namespace [ (Adobe) (CreativeSuite) (2.0) ] /PDFXOutputIntentProfileSelector /DocumentCMYK /PageMarksFile /RomanDefault /PreserveEditing true /UntaggedCMYKHandling /UseDocumentProfile /UntaggedRGBHandling /LeaveUntagged /UseDocumentBleed false >> ] >> setdistillerparams << /HWResolution [600 600] /PageSize [419.528 595.276] >> setpagedevice
id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-48797
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
issn	XXXX-0059
language	Ukrainian
last_indexed	2025-12-07T18:02:32Z
publishDate	2011
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
record_format	dspace
spelling	Дейнека, В.С. Петрик, М.Р. 2013-09-03T18:52:23Z 2013-09-03T18:52:23Z 2011 Параметрична ідентифікація кінетичних параметрів дифузії в багатошарових неоднорідних Fe/Dy-наномультикомпозитах / В.С. Дейнека, М.Р. Петрик // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2011. — Вип. 5. — С. 85-111. — Бібліогр.: 19 назв. — укр. XXXX-0059 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/48797 519.6 Обґрунтовані постановки прямих і спряжених крайових задач ідентифікації для моделей дифузійного масопереносу в неоднорідних мультикомпозитних середовищах. Здійснена параметрична ідентифікація коефіцієнтів дифузії та перевірка моделей на адекватність з використанням методології оптимального керування станом складних багатокомпонентних розподілених систем, операційного числення Гевісайда та скінченних інтегральних перетворень Фур’є. The direct and conjugate boundary problems for the identification of diffusion mass transfer models in heterogeneous nano composed medias is justified. Parametric identification of the diffusion coefficients and verification of models for adequacy using the optimal control methodology of state of complex multicomposed distributed systems, Heaviside operational method and Fourier finite integral transformation is perfomed. uk Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки Параметрична ідентифікація кінетичних параметрів дифузії в багатошарових неоднорідних Fe/Dy-наномультикомпозитах Parametric identification of kinetic parameters of diffusion in inhomogeneous multilayered Fe/Dy-nanomultikompozits Article published earlier
spellingShingle	Параметрична ідентифікація кінетичних параметрів дифузії в багатошарових неоднорідних Fe/Dy-наномультикомпозитах Дейнека, В.С. Петрик, М.Р.
title	Параметрична ідентифікація кінетичних параметрів дифузії в багатошарових неоднорідних Fe/Dy-наномультикомпозитах
title_alt	Parametric identification of kinetic parameters of diffusion in inhomogeneous multilayered Fe/Dy-nanomultikompozits
title_full	Параметрична ідентифікація кінетичних параметрів дифузії в багатошарових неоднорідних Fe/Dy-наномультикомпозитах
title_fullStr	Параметрична ідентифікація кінетичних параметрів дифузії в багатошарових неоднорідних Fe/Dy-наномультикомпозитах
title_full_unstemmed	Параметрична ідентифікація кінетичних параметрів дифузії в багатошарових неоднорідних Fe/Dy-наномультикомпозитах
title_short	Параметрична ідентифікація кінетичних параметрів дифузії в багатошарових неоднорідних Fe/Dy-наномультикомпозитах
title_sort	параметрична ідентифікація кінетичних параметрів дифузії в багатошарових неоднорідних fe/dy-наномультикомпозитах
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/48797
work_keys_str_mv	AT deinekavs parametričnaídentifíkacíâkínetičnihparametrívdifuzíívbagatošarovihneodnorídnihfedynanomulʹtikompozitah AT petrikmr parametričnaídentifíkacíâkínetičnihparametrívdifuzíívbagatošarovihneodnorídnihfedynanomulʹtikompozitah AT deinekavs parametricidentificationofkineticparametersofdiffusionininhomogeneousmultilayeredfedynanomultikompozits AT petrikmr parametricidentificationofkineticparametersofdiffusionininhomogeneousmultilayeredfedynanomultikompozits

Параметрична ідентифікація кінетичних параметрів дифузії в багатошарових неоднорідних Fe/Dy-наномультикомпозитах

Institution

Ähnliche Einträge