Задача Коші для сингулярних еволюційних рівнянь у зліченно-нормованих просторах нескінченно диференційовних функцій. І
У статті визначаються нові класи функцій-символів та нові класи псевдодиференціальних операторів, які будуються за такими символами з допомогою прямого та оберненого перетворення Бесселя. Встановлюється коректна розв’язність задачі Коші для еволюційних рівнянь з псевдо-Бесселевими операторами з поча...
Saved in:
| Published in: | Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки |
|---|---|
| Date: | 2011 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2011
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/48804 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Задача Коші для сингулярних еволюційних рівнянь у зліченно-нормованих просторах нескінченно диференційовних функцій. І / О.В. Мартинюк // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2011. — Вип. 5. — С. 179-192. — Бібліогр.: 4 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859809351736229888 |
|---|---|
| author | Мартинюк, О.В. |
| author_facet | Мартинюк, О.В. |
| citation_txt | Задача Коші для сингулярних еволюційних рівнянь у зліченно-нормованих просторах нескінченно диференційовних функцій. І / О.В. Мартинюк // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2011. — Вип. 5. — С. 179-192. — Бібліогр.: 4 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки |
| description | У статті визначаються нові класи функцій-символів та нові класи псевдодиференціальних операторів, які будуються за такими символами з допомогою прямого та оберненого перетворення Бесселя. Встановлюється коректна розв’язність задачі Коші для еволюційних рівнянь з псевдо-Бесселевими операторами з початковими функціями з просторів типу розподілів Соболєва—Шварца.
The new classes of functions-symbols and new classes of pseudodifferential operators, which are built on such characters by direct and inverse Bessel transformation, are defined in the paper. The correct solvability of the Cauchy problem for evolution equations with pseudo-Bessel operators with initial functions of the spaces such as Sobolev-Schwartz distributions is set.
|
| first_indexed | 2025-12-07T15:17:51Z |
| format | Article |
| fulltext |
Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 5
179
28. Choi S. K. Stability in variation for nonlinear Volterra difference systems /
S. K. Choi, N. J. Koo // Bull. Korean Math. Soc. — 2001. — Vol. 38, № 1. —
P. 101—111.
29. Zouyousefain M. Stability results for difference equations of Volterra type /
M. Zouyousefain, S. Leela // Appl. Math. Comp. — 1990. — Vol. 36, № 1. —
P. 51—61.
A stepwise optimal control problem described by 2-D discrete systems
is considered. Under assumptions of openness of a control domain, neces-
sary optimality conditions of first and second order are obtained.
Key words: Discrete two-parametric system, stepwise control prob-
lem, necessary optimality conditions, singular in the classical sense con-
trols, classical extremals.
Отримано: 27.03.2011
УДК 517.956
О. В. Мартинюк, канд. фіз.-мат. наук
Чернівецький національний університет
імені Юрія Федьковича, м. Чернівці
ЗАДАЧА КОШІ ДЛЯ СИНГУЛЯРНИХ ЕВОЛЮЦІЙНИХ
РІВНЯНЬ У ЗЛІЧЕННО-НОРМОВАНИХ ПРОСТОРАХ
НЕСКІНЧЕННО ДИФЕРЕНЦІЙОВНИХ ФУНКЦІЙ. І
У статті визначаються нові класи функцій-символів та нові
класи псевдодиференціальних операторів, які будуються за та-
кими символами з допомогою прямого та оберненого перетво-
рення Бесселя. Встановлюється коректна розв’язність задачі
Коші для еволюційних рівнянь з псевдо-Бесселевими операто-
рами з початковими функціями з просторів типу розподілів
Соболєва—Шварца.
Ключові слова: перетворення Бесселя, простори основних
функцій, простори узагальнених функцій, задача Коші, псевдо-
Бесселеві оператори.
Останні десятиліття інтенсивно досліджуються оператори, які фор-
мально можна подати у вигляді 1 , ,x xA a t x
I I , де
1, I I — певні інтегральні перетворення (Фур’є, Бесселя, Фур’є—Бессе-
ля, Фур’є на півосі та ін.), визначені в тому чи іншому просторі. Значна
кількість праць присвячена вивченню властивостей оператора А, а також
дослідженню еволюційних рівнянь з оператором А у випадку, коли
FI , де F — перетворення Фур’є. Функція а називається символом
оператора А. До вказаного класу операторів належать диференціальні
© О. В. Мартинюк, 2011
Математичне та комп’ютерне моделювання
180
оператори, оператори дробового диференціювання та інтегрування, опе-
ратори згортки, тощо. Властивості оператора А істотно залежать від си-
мволу цього оператора. Важливими в застосуванні (у теорії випадкових
процесів, теорії фракталів, теорії турбулентності) є оператори вказаного
вигляду, які будуються за негладкими у точці 0 і однорідними за
аргументом символами, якщо символ задовольняє ще певні умови “па-
раболічності”, то він називається параболічним, а еволюційні рівняння з
оператором А — параболічними псевдодиференціальними рівняннями.
До класу псевдодиференціальних рівнянь природно віднести і
еволюційні рівняння з операторами, побудованими за допомогою
інтегральних перетворень Бесселя або Фур’є—Бесселя (так звані псе-
вдо-Бесселеві оператори [1]). Такі рівняння, як і рівняння з операто-
ром Бесселя, вироджуються на межі області задання. Серед задач для
еволюційних псевдодиференціальних рівнянь найбільше досліджува-
лася задача Коші. Для параболічних псевдодиференціальних рівнянь
та еволюційних рівнянь з псевдо-Бесселевими операторами з гладки-
ми символами задача Коші вивчалася в роботах С. Д. Ейдельмана,
Я. М. Дріня, А. Н. Кочубея, Я. І. Житомирського, М. І. Матійчука,
С. Д. Івасишена, В. В. Крехівського, В. В. Городецького, В. А. Літов-
ченка, О. В. Мартинюк та ін. Отримано вагомі результати щодо коре-
ктності задачі Коші та властивостей її розв’язків. Зокрема, знайдено
інтегральні зображення розв’язків у вигляді згортки фундаменталь-
них розв’язків з початковими функціями.
У той же час еволюційні рівняння з псевдо-Бесселевими опера-
торами, побудованими за однорідними, негладкими у фіксованій точ-
ці символами на теперішній час досліджені не достатньо повно. Зада-
чу Коші для еволюційних рівнянь з операторами 1
B BF aF
, де
1,B BF F
— пряме та обернене перетворення Бесселя, ( )a a —
негладкий у точці 0 символ, у класі початкових даних, які є узагаль-
неними функціями типу розподілів, вивчали В. В. Городецький,
О. М. Ленюк, Н. М. Шевчук [1; 2]. Доведено коректну розв’язність
задачі Коші, встановлено, що при кожному 0t розв’язок ( , )u t є
елементом певного простору основних функцій Ф (до цього ж прос-
тору належить і фундаментальний розв’язок задачі Коші), але грани-
чне значення існує вже у просторі (Ф) — просторі, топологічно
спряженому до Ф; при цьому розв’язок подається у вигляді згортки
фундаментального розв’язку вже з узагальненою початковою функцією.
Отже, природним є питання про розширення класу псевдо-
Бесселевих операторів із негладкими символами (відповідно, класу
сингулярних еволюційних рівнянь), розвиток теорії задачі Коші для
таких рівнянь з початковими функціями з різних функціональних
Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 5
181
просторів, зокрема, з просторів узагальнених функцій як скінченного
так і нескінченного порядків. Відповіді на ці питання даються в даній
роботі, яка складається з чотирьох частин.
У першій частині будується зліченно-нормований простір нескін-
ченно диференційовних на \ 0 функцій, який є природним середо-
вищем дослідження задачі Коші для еволюційних рівнянь з псевдо-
Бесселевими операторами; елементами такого простору є функції ( )ae ,
де a — функція-символ, за якою будується відповідний псевдо-
Бесселевий оператор, при цьому a є мультиплікатором у просторі .
Подібні ситуації виникають при дослідженні еволюційних рівнянь пара-
болічного типу за допомогою перетворення Фур’є. Наприклад, якщо
розглянути рівномірно параболічне за Петровським рівняння вигляду
/ ( )u t P u , де ( )P — поліном степеня 2 ,b b , то, як відомо
[3], ( )P є мультиплікатором у просторі 1 1/2
1/2
b
bS (просторі типу S, вве-
деному в [3]), а 1 1/2
1/2
P b
be S , оскільки Р задовольняє умову “параболіч-
ності” [4]. Тут досліджується топологічна структура простору та опи-
суються класи функцій, які є мультиплікаторами в цьому просторі.
Простір ,M
Нехай M , : [0, ) — неперервні, парні на функції,
диференційовні, монотонно зростаючі й необмежені на (0, ) ,
(0) = (0) = 0M , причому
0
( ) = ( )
x
x d для 0x , де — зрос-
таюча, неперервна й необмежена на [0, ) функція, (0) = 0 . Функ-
ція опукла (донизу) на [0, ) , тобто
а) 1 2, [0, )x x : 1 2 1 2x x x x ;
б) 1 [0, )x : ( ) ( )x x ;
в) (0,1) [0, )x : ( ) ( )x x .
Припускаємо також, що виконуються наступні умови:
0 0 0> 0 = ( ) > 0 : ( ) ( ),x x x x x M x
0 0
( )
x
x x
, (1, ) ,
0 0
( )
x
M x x
, (0,1] ,
де та — фіксовані параметри.
Символом ,M позначимо сукупність усіх неперервних, парних
на функцій : , нескінченно диференційовних на \{0} ,
для яких
Математичне та комп’ютерне моделювання
182
0
0
=1
> 0 > 0 \{0} :
( ) ( ) ( )
k
k ak k l
x k
l
a k c x
x
M x D x c x e
(1)
(якщо = 0k , то сума відсутня, якщо = 1k , то = 1l і т.д.; якщо = 0k ,
то (1) справджується для всіх x ).
Наведемо приклад функції із простору ,M , побудованому за
конкретними функціями M та . Для цього розглянемо функцію
: [0, ) , яка використовується при побудові псевдодиферен-
ціальних операторів: — неперервна, парна на функція, однорі-
дна порядку > 1 , нескінченно диференційовна на \{0} , похідні
цієї функції задовольняють умову:
> 0 \{0} :| ( ) | | | .k k
k x kk b x D x b x
Цю умову можна подати у вигляді:
( ) | ( ) | ( ), \ {0}, ,k k
x kM x D x b x x k
де ( ) =| |M x x , ( ) =| |x x . Тоді функція exp ( )x є елементом
простору ,M із вказаними вище функціями M та (така функція
є важливою при дослідженні задачі Коші для еволюційних рівнянь із
псевдодиференціальними операторами, для яких вона є негладким у
точці 0 однорідним символом). Справді, скориставшись формулою
Фаа де Бруно диференціювання складеної функції
=1
( ) = ( )
mk
k
x m
m
d
D F g x F g
dg
1
1 2
1
... 1
2 ...
! 1
( ) ( )
! ! !
l
l
mm ll
l
m m m l
m m lm k
k d d
g x g x
m m dx l dx
(знак суми поширюється на всі розв’язки в цілих невід’ємних числах
рівняння 1 2= 2 lk m m lm , 1= lm m m ) та поклавши тут
= gF e , = ( ),g x знайдемо, що
( ) ( )
=1
| | .
k
k x m k x
x k
m
D e c x e
Записавши останню нерівність у вигляді
( ) ( )
=1
( ) | | ( ) ,
k
k k x m x
x k
m
M x D e c x e
де ( ) =| |M x x , ( ) =| |x x , знайдемо, що функція exp ( )x є еле-
ментом простору , | |,| |
=M x x .
Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 5
183
Зазначимо, що із умови (1) випливає, що функції з ,M задово-
льняють також нерівності
( )( ) | ( ) | , , \{0},k k ax
x kM x D a x c e k x
де 00 < <a a . Справді, для x : 0 ( ) 1x дістаємо
=1
( )
k
l
k
l
x .
Для інших значень x справджується, наприклад, нерівність
0
( ( )0
0
=1
) 2( ) , = / 2.
a
k
al ax
k k
l
x
x
x e e e a a
Лема 1. У функції k
xD , ,M , 0x , k , існують скін-
ченні односторонні границі
0
lim ( )k
x
x
D x
.
Доведення. Доведення проведемо методом математичної індук-
ції. Для = 0k твердження є очевидним, оскільки — неперервна на
функція. Припустимо, що твердження є правильним для функції
( ) := ( )k
xx D x , тобто, існує скінченна правостороння границя
0
lim ( )
x
x
(випадок скінченної лівосторонньої границі розглядається
аналогічно). Доведемо, що функція 1( ) = ( )k
xx D x , 0x , також
має скінченну правосторонню границю у точці = 0x .
Припустимо, що це не так, тобто
0
lim ( ) =
x
x
. Іншими словами,
> 0 = ( ) > 0 : 0 < < ( ) > .B B x x x B
Із означення похідної функції в точці випливає, що
0 0 0 0 0(0, ) = ( ) > 0 : | |<B x
0
( ) ( )
( ) < , 0.
x x x
x x
x
Отже,
0 0
( ) ( )
> ( ) > , (0, ).
x x x
x B x
x
Для 0(0, )x правильною є нерівність:
0> ( ).x x B x x
За умовою
0
lim ( ) = <
x
x c
, тобто
1 1 1 1 1 1> 0 = ( ) > 0 : 0 < < ( ) < ,x x x c
Математичне та комп’ютерне моделювання
184
або 1( ) >x c . Отже, для (0, )x , 0 1= min , , 0,x ,
справджується нерівність
0 1> .x x B x c (2)
Оскільки функція неперервна на \{0} , то
0
lim = ( )
x
x x x
. Урахувавши це співвідношення перейдемо
до границі при 0x в нерівності (2); в результаті одержимо, що
0 1,x B x c
де > 0B — довільне число. Це число завжди можна підібрати так,
що 1( ) >x c , (0, )x , що суперечить припущенню
0
lim ( ) = <
x
x c
(бо тоді 1( ) <x c , якщо 0,x ).
Якщо припустити, що
0
lim ( ) =
x
x
, то, міркуючи аналогічно,
прийдемо до суперечності з припущенням про існування скінченної
границі у функції ( )x при 0x .
Нехай тепер
0
lim ( )
x
x
не існує. Це означає, що для довільного
B (зокрема, для довільного > 0B ) знайдеться = ( ) > 0B таке, що
( )x B для всіх (0, )x , де > 0 — довільне. Звідси діста-
ємо, що для (0, )x справджується нерівність ( )x B . Далі
доведення здійснюється за схемою дослідження випадку
0
lim ( ) =
x
x
. Аналогічні міркування застосовуються і у випадку,
коли не існує
0
lim ( )
x
x
.
Твердження доведено.
Наслідок. Функція 2k
xD , 0x , ,M , k , у точці = 0x
має усувний розрив.
Лема 2. Кожна функція ,M у точці 0 задовольняє умову Діні.
Доведення. Умова Діні для інтегровної функції f в точці x
полягає в тому, що при деякому > 0 збіжним є інтеграл
( ) ( )
.
f x t f x
dt
t
У даному випадку = 0x , =f ; потрібно довести, що при де-
якому > 0 існує інтеграл
Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 5
185
( ) (0)
| ( ) | ,
t
dt t dt
t
який ми розуміємо як невласний, тобто
0
| ( ) | = lim | ( ) | | ( ) | .t dt t dt t dt
До інтеграла | ( ) |t dt
застосуємо теорему про середнє зна-
чення, врахувавши при цьому, що на проміжку [ , ] функція | |
неперервна:
| ( ) | = ( ) | ( ) |, < < .t dt
Оскільки
| ( ) (0) |
| ( ) |= =| ( ) |, < < ,
то
0
0
| ( ) | = lim ( ) | ( ) | .t dt
На проміжку [ , ] функція | | обмежена як неперервна; за раху-
нок умови
0
lim ( ) <
x
x
(див. лему 1) вона буде обмеженою і на про-
міжку [0, ] , тобто
0
| ( ) | <t dt
. Аналогічно доводимо, що
0
| ( ) | <t dt
. Отже, умова Діні в точці 0 для функції ,M ви-
конується.
Символом , ,M a позначимо сукупність тих функцій з про-
стору ,M , які при довільному (0, )a задовольняють нерівності
(( ) )( ) ( ) , \{0},k k a x
x kM x D x c e x k
(якщо = 0k , то x ). Введемо в , ,M a структуру зліченно-
нормованого простору, поклавши
2 2
,
(0, ) =0
1
:= sup exp 1 ( ) ( ) ,
2
p
k k
xp a
x k
a x M x D x
p
Математичне та комп’ютерне моделювання
186
, , .M p
Покладемо
1
( ) = exp 1
2p x a x
p
; функції ( )p x
утворюють зростаючу послідовність і
0, 1, ,a a p a
Символом , ,
p
M a позначимо поповнення простору , ,M a за но-
рмою
,p a
. При цьому 0 1
, , , , , , ,p
M a M a M a вкладення
1
, , , ,
p p
M a M a , p , є неперервними, , , , ,
0
= p
M a M a
p
. Дове-
демо, що , ,M a — повний зліченно-нормований простір. Оскільки
, , , ,
0
= p
M a M a
p
, то досить встановити [3], що норми
,p a
та
1,p a
узгоджені між собою. Урахувавши нерівність
, 1,p a p a
,
доведення властивості узгодженості цих норм зводиться до такого:
нехай послідовність , ,, 1 M a фундаментальна за нормою
1,p a
і збігається до нуля за нормою
,p a
. Потрібно довести, що
дана послідовність збігається до нуля і за нормою
1,p a
. Однак це
твердження випливає з того, що простір , ,
p
M a — банаховий.
Зауваження 1. Збіжність послідовності , ,, 1 M a у
просторі , ,M a до функції , ,M a можна охарактеризувати ще й
так: , ,, 1 M a збігається за топологією простору , ,M a до
, ,M a тоді й лише тоді, коли вона:
1) обмежена в , ,M a , тобто
,
= ( ) > 0 1: ;
p a
p c c p c
2) для довільного k послідовність 2 ( ), 1k
xD збігається
до нуля рівномірно на кожному компакті (0, ) .
Справді, необхідність цього твердження очевидна. Доведемо йо-
го достатність, припустивши спочатку, що = 0 . Зафіксуємо p .
Із умови 1) випливає, що
Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 5
187
2 21
lim exp 1 ( ) | ( ) |= ,
2
k k
x
x
a x M x D x
p
(3)
= ( )k , 0 k p , 0 c , 1 .
Послідовність , 1 є обмеженою, тому існує inf{ } 0
.
Доведемо, що inf{ } = 0
. Нехай це не так, тобто
inf{ } = 0
. Скориставшись співвідношенням (3) для
= / 2 > 0 знайдемо = ( , , )N N k таке, що
2 21
: > exp 1 ( ) | ( ) |>
2
k k
xx x N a x M x D x
p
> inf{ } = = .
2 2 2 2
Нехай sup ( , , ) = <N k N
, = ( , )N N k , k — фіксоване.
На відрізку [ , 2 ]N N справджуються нерівності
2
02
2
( ) 0.
2 21
2exp 1 ( )
2
k
x k
k
D x
M N
a x M x
p
Внаслідок умови 2), яку задовольняє послідовність , 1 ,
2k
xD рівномірно збігається до 0 при на відрізку
[ , 2 ] (0, )N N при кожному фіксованому k : 0 k p . У той же час
із останньої нерівності випливає, що 2 0k
xD при на
[ , 2 ]N N . Одержана суперечність доводить, що в цьому випадку = 0 .
Якщо sup ( , , ) =N k
, то на підставі властивостей точної
верхньої межі твердимо, що для
1
=nA A
n
, > 1A , 1n , знайдеться
, , nN k таке, що , , >n nN k A , 1n . Тоді для всіх x : >x A та
1n справджується нерівність
2 21
exp 1 ( ) | ( ) |> .
2 2n
k k
xa x M x D x
p
Математичне та комп’ютерне моделювання
188
Отже, на відрізку [ , 2 ]A A
2
12
2
( ) 0.
2 21
2exp 1 ( )
2
n
k
x k
k
D x
M A
a x M x
p
З умови 2) випливає також, що 2k
xD рівномірно збігається до 0
при n на відрізку [ , 2 ]A A . З останньої нерівності дістаємо, що
2 0k
x n
D при n на відрізку [ , 2 ]A A , що неможливо. Цим
доведено правильність співвідношення inf = 0
.
Із властивостей точної нижньої межі числової множини випли-
ває існування підпослідовності { , 1}
j
j послідовності , 1 ,
яка збігається до нуля. Символом F позначимо сукупність усіх під-
послідовностей послідовності { , 1} , які не збігаються до нуля.
Нехай = , 1 F . Згідно з цим припущенням кожна послідов-
ність { , 1} є такою, що 0inf , 1 = > 0
. Міркуючи ана-
логічно попередньому, знайдемо відрізок [ , ] (0, )a b , на якому
2 0k
xD при , що суперечить умові 2), яку задовольняє
послідовність , 1 . Отже, F складається лише із скінченних
підпослідовностей послідовностей , 1 . Звідси вже дістаємо,
що всеможливі підпослідовності, які можна утворити з послідовності
, 1 , збігаються до нуля. Таким чином, доведено, що
2 21
lim lim lim exp 1 ( ) ( ) = 0,
2
k k
x
x
a x M x D x
p
0 .k p
Отже, для заданого > 0
0 0, 0= ( ) : < ,k
0= ( ) : >R R x x R
2 21
exp 1 ( ) ( ) < < 2 .
2
k k
xa x M x D x
p
Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 5
189
Введемо позначення: 0 0,0 0,1 0,= max ( ), ( ), , ( )p . Тоді ос-
тання нерівність правильна для всіх k : 0 k p , 0 і для всіх
( , )x R .
Оскільки у функції 2k
xD , 1 , у точці = 0x існують скін-
ченні односторонні границі, рівні між собою, то звідси та з умови 2)
випливає, що для заданого > 0
2
0 0, 0
0,
= ( ) : sup ( ) < .k
k x
x R
D x
Нехай
*
0 0,0 0,1 0, 0 0 0= max ( ), ( ), , ( ) , = max , .p
Тоді остання нерівність справджується на проміжку (0, ]R для
всіх k : 0 k p , починаючи з номера *
0 . Отже,
* 2 2
0 (0, ] : ( ) ( ) | ( ) |< ( ) ,k k
p x kx R x M x D x R
* 2 2
0 ( , ) : ( ) ( ) | ( ) |< 2 ,k k
p xx R x M x D x
де 2( ) = ( ) ( )k
k pR R M R . Тоді для всіх *
0
2 2
,
0, =0
= sup ( ) ( ) | ( ) |
p
k k
p xp a
x k
x M x D x
2 2
0, =0
sup ( ) ( ) | ( ) |
p
k k
p x
x R k
x M x D x
2 2
, =0
sup ( ) ( ) ( ) < ,
p
k k
p x p
x R k
x M x D x
де
2
=0
= ( ) ( ) 2( 1).
p
k
p p
k
R M R p
Таким чином,
* * *
0 0 0 ,
> 0 = ( ) : < .pp a
Це і означає, що 0 при у просторі , ,M a , що й по-
трібно було довести.
Загальний випадок ( 0 ) зводиться до попереднього, оскільки
для послідовності := , 1 умови 1), 2) набувають вигляду:
1)
, ,, , ,
= p pp a p ap a p a p a
c c ;
Математичне та комп’ютерне моделювання
190
2) для кожного k послідовність 2 , 1k
xD збігається до
нуля рівномірно на кожному компакті (0, ) .
Твердження доведено.
Об'єднання просторів , ,M a за індексами
1 1
1, , ,
2 3
a
збіга-
ється, очевидно, з простором ,M . Збіжність у просторі ,M — це
збіжність у одному з просторів , ,M a , яка охарактеризована вище.
Лема 3. Нехай ( )C (або \{0} ( )C C ), функ-
ція парна і задовольняє умову:
> 0 > 0 \{0}:kk b x
( )( ) ( )k k x
x kD x b M x e
(4)
(якщо = 0k , то x ). Тоді операція , ,M , визначена і
неперервна в просторі ,M .
Доведення. Кожна функція ,M характеризується певною
сталою > 0a такою, що
( )
=1
( ) | ( ) | ( ) , \{0}, .
k
k k j ax
x k
j
M x D x c x e x k
(5)
Для доведення того, що ,M , досить вказати сталу > 0a
таку, що функція задовольняє нерівності вигляду (5). Оскільки,
за умовою, > 0 довільне, то візьмемо з проміжку (0, / 2)a і пок-
ладемо = / 2a a . Тоді, урахувавши (4) та (5), знайдемо, що
( )( ) := ( ) ( ) ( )ax k k
xx e M x D x x
( )
=0
( ) ( ) ( )
k
ax k l l k l
k x x
l
e M x C D x D x
( ) ( ) ( ) ( )
=0 =1
( ) ( ) ( ) ( ).
k k l
ax x ax k l l k l j
k l k l
l j
e M x C b c M x M x x
Із нерівності опуклості, застосованої до функції , дістаємо, що
( ) , ( ) .
2 2 2 2
a a a a
x x x ax x x
Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 5
191
Із обмежень, накладених на функції та ,M випливає нерів-
ність 2 ( ) exp
2
l
l
a
M x x d
, яка справджується для всіх x :
0| | > 0x x , 0 0=
2
a
x x
. Тоді для всіх \{0}x
( ) ( ) ( )22 2 2
=0 =1
( ) ( ) ( )
a a ak kx x xl l j
k l k l
l j
x e e C b c M x e x
=1 =0
( ), = < .
k k
j l
k k k l k l l
j l
x C b c d
Отже, ,M , тобто операція визначена в просторі
,M .
Урахувавши, що , , ,=M M a
a
, із наведеного дослідження ви-
пливає, що , , /2M a , якщо , ,M a . Міркуючи аналогічно
попередньому, знаходимо, що
, ,,
> 0 : , .p p M ap a
p c c
Звідси вже дістаємо неперервність вказаної операції. Справді, якщо
0 при в просторі ,M , то 0 при в прос-
торі , ,M a при деякому > 0a . Отже, послідовність , 1 обме-
жена в , ,M a і для довільного k послідовність 2 , 1k
xD
збігається до нуля рівномірно на кожному компакті (0, ) . Тоді, як
випливає із наведених раніше результатів, послідовність , 1a
обмежена в просторі , , /2M a . Крім того, безпосередньо переконуємося
в тому, що послідовність 2 , 1k
xD a збігається до нуля рівномі-
рно на кожному компакті (0, ) (для довільного k ). Таким
чином, операція неперервна в просторі ,M .
Твердження доведено.
Зауваження 2. Мультиплікатором у просторі ,M є також пар-
на функція ( )C (або \{0} ( )C C ), яка задоволь-
няє умову:
0 0 \ 0 :kk b x
Математичне та комп’ютерне моделювання
192
( )1 ( )k k k
x kD x b M x e
.
Доведення цього твердження аналогічне наведеному вище дове-
денню леми 3.
Зазначимо також, що мультиплікатором в ,M є кожний полі-
ном P вигляду 2
=0
( ) =
n
k
k
k
P x c x (доведення цієї властивості викорис-
товує той факт, що опукла функція зростає на нескінченності
швидше за довільну лінійну функцію).
Список використаних джерел:
1. Городецький В. В. Еволюційні рівняння з псевдо-Бесселевими операто-
рами / В. В. Городецький, О. М. Ленюк // Доп. НАН України. — 2007. —
№ 8. — С. 11—15.
2. Шевчук Н. М. Задача Коші для еволюційних рівнянь з псевдо-Бесселеви-
ми операторами нескінченного порядку / Н. М. Шевчук // Науковий віс-
ник Чернівецького університету : зб. наук. пр. — Чернівці : Рута, 2008. —
Вип. 374. — С. 145—154.
3. Гельфанд И. М. Пространства основных и обобщенных функций /
И. М. Гельфанд, Г. Е. Шилов. — М. : Физматгиз, 1958. — 307 с.
4. Городецький В. В. Граничні властивості гладких у шарі розв’язків рівнянь
параболічного типу / В. В. Городецький. — Чернівці : Рута, 1998. — 225 с.
The new classes of functions-symbols and new classes of pseudo-
differential operators, which are built on such characters by direct and inverse
Bessel transformation, are defined in the paper. The correct solvability of the
Cauchy problem for evolution equations with pseudo-Bessel operators with ini-
tial functions of the spaces such as Sobolev-Schwartz distributions is set.
Key words: Bessel transformation; spaces of basic functions; spaces
of generalized functions; the Cauchy problem; pseudo-Bessel operators.
Отримано: 14.06.2011
<<
/ASCII85EncodePages false
/AllowTransparency false
/AutoPositionEPSFiles true
/AutoRotatePages /All
/Binding /Left
/CalGrayProfile (Gray Gamma 2.2)
/CalRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1)
/CalCMYKProfile (Coated FOGRA27 \050ISO 12647-2:2004\051)
/sRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1)
/CannotEmbedFontPolicy /Warning
/CompatibilityLevel 1.3
/CompressObjects /Tags
/CompressPages true
/ConvertImagesToIndexed true
/PassThroughJPEGImages true
/CreateJobTicket false
/DefaultRenderingIntent /Default
/DetectBlends true
/DetectCurves 0.1000
/ColorConversionStrategy /sRGB
/DoThumbnails false
/EmbedAllFonts true
/EmbedOpenType false
/ParseICCProfilesInComments true
/EmbedJobOptions true
/DSCReportingLevel 0
/EmitDSCWarnings false
/EndPage -1
/ImageMemory 1048576
/LockDistillerParams false
/MaxSubsetPct 100
/Optimize true
/OPM 1
/ParseDSCComments true
/ParseDSCCommentsForDocInfo true
/PreserveCopyPage true
/PreserveDICMYKValues true
/PreserveEPSInfo false
/PreserveFlatness false
/PreserveHalftoneInfo false
/PreserveOPIComments false
/PreserveOverprintSettings true
/StartPage 1
/SubsetFonts true
/TransferFunctionInfo /Apply
/UCRandBGInfo /Remove
/UsePrologue false
/ColorSettingsFile ()
/AlwaysEmbed [ true
]
/NeverEmbed [ true
/Arial-Black
/Arial-BlackItalic
/Arial-BoldItalicMT
/Arial-BoldMT
/Arial-ItalicMT
/ArialMT
/ArialNarrow
/ArialNarrow-Bold
/ArialNarrow-BoldItalic
/ArialNarrow-Italic
/ArialUnicodeMS
/CenturyGothic
/CenturyGothic-Bold
/CenturyGothic-BoldItalic
/CenturyGothic-Italic
/CourierNewPS-BoldItalicMT
/CourierNewPS-BoldMT
/CourierNewPS-ItalicMT
/CourierNewPSMT
/Georgia
/Georgia-Bold
/Georgia-BoldItalic
/Georgia-Italic
/Impact
/LucidaConsole
/Tahoma
/Tahoma-Bold
/TimesNewRomanMT-ExtraBold
/TimesNewRomanPS-BoldItalicMT
/TimesNewRomanPS-BoldMT
/TimesNewRomanPS-ItalicMT
/TimesNewRomanPSMT
/Trebuchet-BoldItalic
/TrebuchetMS
/TrebuchetMS-Bold
/TrebuchetMS-Italic
/Verdana
/Verdana-Bold
/Verdana-BoldItalic
/Verdana-Italic
]
/AntiAliasColorImages false
/CropColorImages false
/ColorImageMinResolution 150
/ColorImageMinResolutionPolicy /OK
/DownsampleColorImages true
/ColorImageDownsampleType /Bicubic
/ColorImageResolution 150
/ColorImageDepth -1
/ColorImageMinDownsampleDepth 1
/ColorImageDownsampleThreshold 1.50000
/EncodeColorImages true
/ColorImageFilter /DCTEncode
/AutoFilterColorImages true
/ColorImageAutoFilterStrategy /JPEG
/ColorACSImageDict <<
/QFactor 0.76
/HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2]
>>
/ColorImageDict <<
/QFactor 0.76
/HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2]
>>
/JPEG2000ColorACSImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 15
>>
/JPEG2000ColorImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 15
>>
/AntiAliasGrayImages false
/CropGrayImages false
/GrayImageMinResolution 150
/GrayImageMinResolutionPolicy /OK
/DownsampleGrayImages true
/GrayImageDownsampleType /Bicubic
/GrayImageResolution 150
/GrayImageDepth -1
/GrayImageMinDownsampleDepth 2
/GrayImageDownsampleThreshold 1.50000
/EncodeGrayImages true
/GrayImageFilter /DCTEncode
/AutoFilterGrayImages true
/GrayImageAutoFilterStrategy /JPEG
/GrayACSImageDict <<
/QFactor 0.76
/HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2]
>>
/GrayImageDict <<
/QFactor 0.76
/HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2]
>>
/JPEG2000GrayACSImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 15
>>
/JPEG2000GrayImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 15
>>
/AntiAliasMonoImages false
/CropMonoImages false
/MonoImageMinResolution 1200
/MonoImageMinResolutionPolicy /OK
/DownsampleMonoImages true
/MonoImageDownsampleType /Bicubic
/MonoImageResolution 1200
/MonoImageDepth -1
/MonoImageDownsampleThreshold 1.50000
/EncodeMonoImages true
/MonoImageFilter /CCITTFaxEncode
/MonoImageDict <<
/K -1
>>
/AllowPSXObjects true
/CheckCompliance [
/PDFX1a:2001
]
/PDFX1aCheck false
/PDFX3Check false
/PDFXCompliantPDFOnly false
/PDFXNoTrimBoxError true
/PDFXTrimBoxToMediaBoxOffset [
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
]
/PDFXSetBleedBoxToMediaBox true
/PDFXBleedBoxToTrimBoxOffset [
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
]
/PDFXOutputIntentProfile (None)
/PDFXOutputConditionIdentifier ()
/PDFXOutputCondition ()
/PDFXRegistryName ()
/PDFXTrapped /False
/CreateJDFFile false
/Description <<
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
/BGR <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>
/CHS <FEFF4f7f75288fd94e9b8bbe5b9a521b5efa7684002000410064006f006200650020005000440046002065876863900275284e8e55464e1a65876863768467e5770b548c62535370300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c676562535f00521b5efa768400200050004400460020658768633002>
/CHT <FEFF4f7f752890194e9b8a2d7f6e5efa7acb7684002000410064006f006200650020005000440046002065874ef69069752865bc666e901a554652d965874ef6768467e5770b548c52175370300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c4f86958b555f5df25efa7acb76840020005000440046002065874ef63002>
/CZE <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>
/DAN <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>
/DEU <FEFF00560065007200770065006e00640065006e0020005300690065002000640069006500730065002000450069006e007300740065006c006c0075006e00670065006e0020007a0075006d002000450072007300740065006c006c0065006e00200076006f006e002000410064006f006200650020005000440046002d0044006f006b0075006d0065006e00740065006e002c00200075006d002000650069006e00650020007a0075007600650072006c00e40073007300690067006500200041006e007a006500690067006500200075006e00640020004100750073006700610062006500200076006f006e00200047006500730063006800e40066007400730064006f006b0075006d0065006e00740065006e0020007a0075002000650072007a00690065006c0065006e002e00200044006900650020005000440046002d0044006f006b0075006d0065006e007400650020006b00f6006e006e0065006e0020006d006900740020004100630072006f00620061007400200075006e0064002000520065006100640065007200200035002e003000200075006e00640020006800f600680065007200200067006500f600660066006e00650074002000770065007200640065006e002e>
/ENU (Use these settings to create Adobe PDF documents suitable for reliable viewing and printing of business documents. Created PDF documents can be opened with Acrobat and Adobe Reader 5.0 and later.)
/ESP <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>
/ETI <FEFF004b00610073007500740061006700650020006e0065006900640020007300e400740074006500690064002000e4007200690064006f006b0075006d0065006e00740069006400650020007500730061006c006400750073007600e400e4007200730065006b0073002000760061006100740061006d006900730065006b00730020006a00610020007000720069006e00740069006d006900730065006b007300200073006f00620069006c0069006b0065002000410064006f006200650020005000440046002d0064006f006b0075006d0065006e00740069006400650020006c006f006f006d006900730065006b0073002e00200020004c006f006f0064007500640020005000440046002d0064006f006b0075006d0065006e00740065002000730061006100740065002000610076006100640061002000700072006f006700720061006d006d006900640065006700610020004100630072006f0062006100740020006e0069006e0067002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e00300020006a00610020007500750065006d006100740065002000760065007200730069006f006f006e00690064006500670061002e>
/FRA <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>
/GRE <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>
/HEB <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>
/HRV (Za stvaranje Adobe PDF dokumenata pogodnih za pouzdani prikaz i ispis poslovnih dokumenata koristite ove postavke. Stvoreni PDF dokumenti mogu se otvoriti Acrobat i Adobe Reader 5.0 i kasnijim verzijama.)
/HUN <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>
/ITA (Utilizzare queste impostazioni per creare documenti Adobe PDF adatti per visualizzare e stampare documenti aziendali in modo affidabile. I documenti PDF creati possono essere aperti con Acrobat e Adobe Reader 5.0 e versioni successive.)
/JPN <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>
/KOR <FEFFc7740020c124c815c7440020c0acc6a9d558c5ec0020be44c988b2c8c2a40020bb38c11cb97c0020c548c815c801c73cb85c0020bcf4ace00020c778c1c4d558b2940020b3700020ac00c7a50020c801d569d55c002000410064006f0062006500200050004400460020bb38c11cb97c0020c791c131d569b2c8b2e4002e0020c774b807ac8c0020c791c131b41c00200050004400460020bb38c11cb2940020004100630072006f0062006100740020bc0f002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e00300020c774c0c1c5d0c11c0020c5f40020c2180020c788c2b5b2c8b2e4002e>
/LTH <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>
/LVI <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>
/NLD (Gebruik deze instellingen om Adobe PDF-documenten te maken waarmee zakelijke documenten betrouwbaar kunnen worden weergegeven en afgedrukt. De gemaakte PDF-documenten kunnen worden geopend met Acrobat en Adobe Reader 5.0 en hoger.)
/NOR <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>
/POL <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>
/PTB <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>
/RUM <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>
/SKY <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>
/SLV <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>
/SUO <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>
/SVE <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>
/TUR <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>
/UKR <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>
/RUS <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>
>>
/Namespace [
(Adobe)
(Common)
(1.0)
]
/OtherNamespaces [
<<
/AsReaderSpreads false
/CropImagesToFrames true
/ErrorControl /WarnAndContinue
/FlattenerIgnoreSpreadOverrides false
/IncludeGuidesGrids false
/IncludeNonPrinting false
/IncludeSlug false
/Namespace [
(Adobe)
(InDesign)
(4.0)
]
/OmitPlacedBitmaps false
/OmitPlacedEPS false
/OmitPlacedPDF false
/SimulateOverprint /Legacy
>>
<<
/AllowImageBreaks true
/AllowTableBreaks true
/ExpandPage false
/HonorBaseURL true
/HonorRolloverEffect false
/IgnoreHTMLPageBreaks false
/IncludeHeaderFooter false
/MarginOffset [
0
0
0
0
]
/MetadataAuthor ()
/MetadataKeywords ()
/MetadataSubject ()
/MetadataTitle ()
/MetricPageSize [
0
0
]
/MetricUnit /inch
/MobileCompatible 0
/Namespace [
(Adobe)
(GoLive)
(8.0)
]
/OpenZoomToHTMLFontSize false
/PageOrientation /Portrait
/RemoveBackground false
/ShrinkContent true
/TreatColorsAs /MainMonitorColors
/UseEmbeddedProfiles false
/UseHTMLTitleAsMetadata true
>>
<<
/AddBleedMarks false
/AddColorBars false
/AddCropMarks false
/AddPageInfo false
/AddRegMarks false
/BleedOffset [
0
0
0
0
]
/ConvertColors /ConvertToRGB
/DestinationProfileName (sRGB IEC61966-2.1)
/DestinationProfileSelector /UseName
/Downsample16BitImages true
/FlattenerPreset <<
/PresetSelector /MediumResolution
>>
/FormElements true
/GenerateStructure false
/IncludeBookmarks false
/IncludeHyperlinks false
/IncludeInteractive false
/IncludeLayers false
/IncludeProfiles true
/MarksOffset 6
/MarksWeight 0.250000
/MultimediaHandling /UseObjectSettings
/Namespace [
(Adobe)
(CreativeSuite)
(2.0)
]
/PDFXOutputIntentProfileSelector /DocumentCMYK
/PageMarksFile /RomanDefault
/PreserveEditing true
/UntaggedCMYKHandling /UseDocumentProfile
/UntaggedRGBHandling /LeaveUntagged
/UseDocumentBleed false
>>
]
>> setdistillerparams
<<
/HWResolution [600 600]
/PageSize [419.528 595.276]
>> setpagedevice
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-48804 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | XXXX-0059 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T15:17:51Z |
| publishDate | 2011 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Мартинюк, О.В. 2013-09-03T19:05:58Z 2013-09-03T19:05:58Z 2011 Задача Коші для сингулярних еволюційних рівнянь у зліченно-нормованих просторах нескінченно диференційовних функцій. І / О.В. Мартинюк // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2011. — Вип. 5. — С. 179-192. — Бібліогр.: 4 назв. — укр. XXXX-0059 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/48804 517.956 У статті визначаються нові класи функцій-символів та нові класи псевдодиференціальних операторів, які будуються за такими символами з допомогою прямого та оберненого перетворення Бесселя. Встановлюється коректна розв’язність задачі Коші для еволюційних рівнянь з псевдо-Бесселевими операторами з початковими функціями з просторів типу розподілів Соболєва—Шварца. The new classes of functions-symbols and new classes of pseudodifferential operators, which are built on such characters by direct and inverse Bessel transformation, are defined in the paper. The correct solvability of the Cauchy problem for evolution equations with pseudo-Bessel operators with initial functions of the spaces such as Sobolev-Schwartz distributions is set. uk Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки Задача Коші для сингулярних еволюційних рівнянь у зліченно-нормованих просторах нескінченно диференційовних функцій. І The Cauchy problem for singular evolution equations in countably normed spaces of infinitely differentiable functions. I Article published earlier |
| spellingShingle | Задача Коші для сингулярних еволюційних рівнянь у зліченно-нормованих просторах нескінченно диференційовних функцій. І Мартинюк, О.В. |
| title | Задача Коші для сингулярних еволюційних рівнянь у зліченно-нормованих просторах нескінченно диференційовних функцій. І |
| title_alt | The Cauchy problem for singular evolution equations in countably normed spaces of infinitely differentiable functions. I |
| title_full | Задача Коші для сингулярних еволюційних рівнянь у зліченно-нормованих просторах нескінченно диференційовних функцій. І |
| title_fullStr | Задача Коші для сингулярних еволюційних рівнянь у зліченно-нормованих просторах нескінченно диференційовних функцій. І |
| title_full_unstemmed | Задача Коші для сингулярних еволюційних рівнянь у зліченно-нормованих просторах нескінченно диференційовних функцій. І |
| title_short | Задача Коші для сингулярних еволюційних рівнянь у зліченно-нормованих просторах нескінченно диференційовних функцій. І |
| title_sort | задача коші для сингулярних еволюційних рівнянь у зліченно-нормованих просторах нескінченно диференційовних функцій. і |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/48804 |
| work_keys_str_mv | AT martinûkov zadačakošídlâsingulârnihevolûcíinihrívnânʹuzlíčennonormovanihprostorahneskínčennodiferencíiovnihfunkcíií AT martinûkov thecauchyproblemforsingularevolutionequationsincountablynormedspacesofinfinitelydifferentiablefunctionsi |