Обчислення невласних інтегралів за власними елементами гібридного диференціального оператора Лежандра-Ейлера-Бесселя на полярній осі

Обчислення невласних інтегралів за власними елементами гібридного диференціального оператора Лежандра-Ейлера-Бесселя на полярній осі

Методом порівняння розв’язків, побудованих на полярній вісі з двома точками спряження для сепаратної системи диференціальних рівнянь Лежандра, Бесселя та Ейлера методом функцій Коші й методом відповідного гібридного інтегрального перетворення, обчислено поліпараметричну сім’ю невласних інтегралів....

Повний опис

Збережено в:
Бібліографічні деталі
Дата:2011
Автор: Тарновецька, О.Ю.
Формат: Стаття
Мова:Ukrainian
Опубліковано: Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2011
Назва видання:Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки
Онлайн доступ:https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/48809
Теги: Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:Обчислення невласних інтегралів за власними елементами гібридного диференціального оператора Лежандра-Ейлера-Бесселя на полярній осі / О.Ю. Тарновецька // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2011. — Вип. 5. — С. 234-244. — Бібліогр.: 5 назв. — укр.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-48809
record_format dspace
spelling nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-488092025-02-23T18:57:36Z Обчислення невласних інтегралів за власними елементами гібридного диференціального оператора Лежандра-Ейлера-Бесселя на полярній осі Calculation of improper integrals by its own elements of the hybrid Legendre-Euler-Bessel differential operator on the polar axis Тарновецька, О.Ю. Методом порівняння розв’язків, побудованих на полярній вісі з двома точками спряження для сепаратної системи диференціальних рівнянь Лежандра, Бесселя та Ейлера методом функцій Коші й методом відповідного гібридного інтегрального перетворення, обчислено поліпараметричну сім’ю невласних інтегралів. By the method of comparison of decisions, built on the arctic landmark with the two point of interface for the separate system of differential equalizations of Lezhandra, Bessel and Euler by the method of functions Koshi and by the method of the proper hybrid integral transformation, polyparametric family of known integrals is calculated. 2011 Article Обчислення невласних інтегралів за власними елементами гібридного диференціального оператора Лежандра-Ейлера-Бесселя на полярній осі / О.Ю. Тарновецька // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2011. — Вип. 5. — С. 234-244. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. XXXX-0059 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/48809 517.443 uk Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки application/pdf Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
language Ukrainian
description Методом порівняння розв’язків, побудованих на полярній вісі з двома точками спряження для сепаратної системи диференціальних рівнянь Лежандра, Бесселя та Ейлера методом функцій Коші й методом відповідного гібридного інтегрального перетворення, обчислено поліпараметричну сім’ю невласних інтегралів.
format Article
author Тарновецька, О.Ю.
spellingShingle Тарновецька, О.Ю.
Обчислення невласних інтегралів за власними елементами гібридного диференціального оператора Лежандра-Ейлера-Бесселя на полярній осі
Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки
author_facet Тарновецька, О.Ю.
author_sort Тарновецька, О.Ю.
title Обчислення невласних інтегралів за власними елементами гібридного диференціального оператора Лежандра-Ейлера-Бесселя на полярній осі
title_short Обчислення невласних інтегралів за власними елементами гібридного диференціального оператора Лежандра-Ейлера-Бесселя на полярній осі
title_full Обчислення невласних інтегралів за власними елементами гібридного диференціального оператора Лежандра-Ейлера-Бесселя на полярній осі
title_fullStr Обчислення невласних інтегралів за власними елементами гібридного диференціального оператора Лежандра-Ейлера-Бесселя на полярній осі
title_full_unstemmed Обчислення невласних інтегралів за власними елементами гібридного диференціального оператора Лежандра-Ейлера-Бесселя на полярній осі
title_sort обчислення невласних інтегралів за власними елементами гібридного диференціального оператора лежандра-ейлера-бесселя на полярній осі
publisher Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate 2011
url https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/48809
citation_txt Обчислення невласних інтегралів за власними елементами гібридного диференціального оператора Лежандра-Ейлера-Бесселя на полярній осі / О.Ю. Тарновецька // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2011. — Вип. 5. — С. 234-244. — Бібліогр.: 5 назв. — укр.
series Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки
work_keys_str_mv AT tarnovecʹkaoû občislennânevlasnihíntegralívzavlasnimielementamigíbridnogodiferencíalʹnogooperatoraležandraejlerabesselânapolârníjosí
AT tarnovecʹkaoû calculationofimproperintegralsbyitsownelementsofthehybridlegendreeulerbesseldifferentialoperatoronthepolaraxis
first_indexed 2025-11-24T13:44:27Z
last_indexed 2025-11-24T13:44:27Z
_version_ 1849679536075046912
fulltext Математичне та комп’ютерне моделювання 234 УДК 517.443 О. Ю. Тарновецька, викладач Чернівецький факультет Національного технічного університету «Харківський політехнічний інститут», м. Чернівці ОБЧИСЛЕННЯ НЕВЛАСНИХ ІНТЕГРАЛІВ ЗА ВЛАСНИМИ ЕЛЕМЕНТАМИ ГІБРИДНОГО ДИФЕРЕНЦІАЛЬНОГО ОПЕРАТОРА ЛЕЖАНДРА — ЕЙЛЕРА — БЕССЕЛЯ НА ПОЛЯРНІЙ ОСІ Методом порівняння розв’язків, побудованих на полярній вісі з двома точками спряження для сепаратної системи диференціа- льних рівнянь Лежандра, Бесселя та Ейлера методом функцій Коші й методом відповідного гібридного інтегрального перетво- рення, обчислено поліпараметричну сім’ю невласних інтегралів. Ключові слова: невласні інтеграли, функції Коші, головні розв’язки, гібридне інтегральне перетворення, основна то- тожність, умова однозначної розв’язності, логічна схема. Постановка проблеми. В технічних задачах тонкостінні елеме- нти композитного типу, як правило, знаходяться в короткочаcовому стаціонарному режимі, на який вони виходять після стрибкоподібно- го температурного (або силового) навантаження. Дослідження їх фі- зико-технічних характеристик приводить до задач механіки (термо- механіки) кусково-однорідних середовищ. Практика показує, що на- віть в найпростіших випадках величини, які характеризують напру- жений стан композита, виражаються у вигляді поліпараметричного невласного інтегралу, який може бути умовно збіжним навіть тоді, коли зображає аналітичну функцію. Звідси виникає природне бажан- ня замінити невласний інтеграл його результатом збіжності (функці- єю), що особливо важливо при інженерних розрахунках. Обчисленню однієї сім’ї невласних інтегралів присвячена ця робота, яка є логіч- ним продовженням досліджень, виконаних в монографіях [1—3]. Основна частина. Побудуємо обмежений на множині 2I  ={r: r(0,R1) (R1,R2) (R2,)} розв’язок системи диференціальних рівнянь Лежандра, Ейлера та Бесселя для модифікованих функцій ( 2 ( ) 1q  )u1(r) = –g1(r), r  (0, R1),  1 * 2 2 2 2( ) ( )B q u r g r    , r  (R1, R2),  2 2 , 3 3 3( ) ( )B q u r g r     , r  (R2, ) (1) з умовами спряження © О. Ю. Тарновецька, 2011 Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 5 235 1 1 2 2 1( ) ( ) k k k k k j j k j j k jk r R d d u r u r dr dr                        , j, k = 1, 2. (2) У рівностях (1) бере участь диференціальний оператор Лежандра [1] 2 22 1 2 2 1 1 4 2 1 ch 1 ch d d cthr dr r rdr               ; диференціальний оператор Ейлера [4]   1 2 * 2 2 1 12 2 1 d d B r r drdr       ; диференціальний оператор Бесселя [2] 2 2 22 2 2 , 2 2 2 1d d B r drdr r          . Ми вважаємо, що виконані умови на коефіцієнти: qj > 0, 2j + 1 > 0,   2 > –1/2, 1  2  0, c1kc2k > 0, cjk = 2 1 1 2 k k k k j j j j    , j, k = 1, 2; () = (1, 2), () = (1, 2). Фундаментальну систему розв’язків для диференціального рів- няння Лежандра Лежандра (() – 2 1q )v = 0 утворюють узагальнені приєднані функції Лежандра першого роду 1 ( )P   (ch r) та другого роду 1 ( )L   (ch r) [1], 1 = –1/2 + q1; фундаментальну систему розв’язків для диференціального рівняння Ейлера ( 1 * 2 2B q  )v = 0 утворюють функ- ції v1 = 1 2qr   та v2 = 1 2qr   [4]; фундаментальну систему розв’язків для диференціального рівняння Бесселя ( 2 2 , 3B q   )v = 0 утворюють модифіковані функції Бесселя першого роду 2,I  (q3r) та другого роду 2,K  (q1r) [2]. Наявність фундаментальної системи розв’язків дозволяє побу- дувати розв’язок крайової задачі (1), (2) методом функцій Коші [4; 5]:     1 1 ( ) 1 1 1 1 0 ( ) , ( ) R u r A P chr E r g sh d        ,   2 1 2 1 2 1 1 2 1* 2 2 2 2 2( ) , ( ) R q q R u r A r B r E r g d             ,   2 2 2 2 1 2 3 , 3 3 3( ) ( ) , ( ) R u r B K q r E r g d           . (3) У рівностях (3) Ej(r, ) — функції Коші [2; 5]: Математичне та комп’ютерне моделювання 236     0 0 , , 0,j jr r E r E r               0 0 ,, 1 ( ) jj r jr dE rdE r dr dr            , (4) де 1(r) = shr, 2(r) = 12 1r   , 3(r) = 22 1r   , * 2g (r) = r–2g2(r). Безпосередньо перевіряється, що           1 1 1 1 1 ( ) ( ),1 1 1;11( ) 1 1 ( );11 ( ) ( ),1 1;11 1 1;11 , , 0 ,( ) ( , ) , , 0 , P chr F chR ch r RB q E r Z chR P ch F chR chr r R                        (5)             1 1 1 1 1 2 2 ;11 2 1 2 1* 2* ;12 2 ;11 2 1 2 1* 2* ;12 2 ;11 2 1 2 1 , 2 , , , , , , , , , , E r q q R R q r q R r R q q r R r R                         (6)             2 2 2 2 2 2 2 3 3 22 , ;12 3 2 2* , 3 , ;12 3 1 3 2 2* , 3 , ;12 3 1 3 2 , , , , , , , q E r U q R K q q R q r R r K q r q R q R r                               (7)           1 1 1 1 1 11 22 , 2 1 2 ; 2 2 1 ; 1 2 2 12 21 ; 2 2 1 ; 1 2 2 , , , , , , , , 1, 2. jk j k j k q R R Z q R Z q R Z q R Z q R j k           Всі інші функції, які беруть участь в рівностях (5)—(7), загаль- ноприйняті [3]. Умови спряження (2) для визначення величин A1, A2, B2, B3 да- ють алгебраїчну систему з чотирьох рівнянь:       1 11 ( ),11 11 12 1 1 ;12 2 1 2 ;12 2 1 2 11;11 , ,Z chR A Z q R A Z q R B      ,             1 11 1 1 2 ( ),11 11 12 1 1 ;22 2 1 2 ;22 2 1 2 21 12;21 21 22 22 ;11 2 2 2 ;11 2 2 2 , ;12 3 2 3 12 , , , , , , Z chR A Z q R A Z q R B G Z q R A Z q R B U q R B                 (8)       1 1 2 21 22 22 ;21 2 2 2 ;21 2 2 2 , ;22 3 2 3 22 23, ,Z q R A Z q R B U q R B G        . У системі (8) беруть участь функції G12=     1 1 ( ) 11 1( );11 1 0 1;11 ( ) R P chc g sh d shR Z chR         + Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 5 237 +     2 1 1 21 11 2* ;11 2 2 1*21 2 ;11 2 1 21 , ( ) , , R R qc g d q R RR          , G23=–     2 1 1 21 11 1* ;12 2 2 1*12 2 1 ;11 2 1 22 , ( ) , , R R qc g d q R RR            + +     2 2 2 22 3 , 3 2 122 32 1 22 , ;12 3 22 , ( ) ,R K qc g d U q RR               . Визначимо функції:     1 11 ( ),11 ( ), ; 1 ,2 2 1 2;11( ) , ,j jA q Z chR q R R     –     11 ( );11 1 ;1 2 1 2;21 , ,jZ chR q R R   , B¸(); j(q)=     2 1 22 , ;12 3 2 ; 2 2 1 2, ,jU q R q R R   –     2 1 22 , ;22 3 2 ; 1 2 1 2, ,jU q R q R R   , 1( ), ;1( , )r q  =     11 ( );11 1* 1 ;22 2;11 ,Z chR q r   – –     11 ( );11 1* 1 ;12 2;21 ,Z chR q r   , q=(q1, q2, q3), ¸(); 2(r,q)=         2 1 2 1 22 2* 22 2* , ;12 3 2 ;21 2 , ;22 3 2 ;11 2, ,U q R q r U q R q r        , j= 1, 2. Припустимо, що виконана умова однозначної розв’язності крайової задачі (1), (2): для будь-якого ненульового вектора q  = {q1; q2; q3} ви- значник алгебраїчної системи (8) , ()(q1, q2)      1 2 1 2 22 22 ( ), ;1 , ;22 3 2 ( ), ;2 , ;12 3 2( ) ( ) `A q U q R A q U q R        = = 1 ( );11 1 ,( );1;21 ( ) ( )Z chR B q   –   1 ( );11 1 ,( );2;11 ( )Z chR B q    0. (9) Визначимо головні розв’язки крайової задачі (1), (2): 1) породжені неоднорідністю умов спряження функції Гріна 1 ,( );2 ( )1 ( ),( );11 ( ),( ) ( ) ( , ) ( ) ( ) B q r q P chr q            R , 1 ,( );1 ( )1 ( ),( );21 ( ),( ) ( ) ( , ) ( ) ( ) B q r q P chr q           R ,      2 11 22 , ;22 3 2 ( )1 2 21 ( ),( );12 2 1 ( ),( )1 2 , , ( ) U q Rq c r q P chr qR             R Математичне та комп’ютерне моделювання 238    2 11 22 , ;12 3 2 ( )1 2 21 ( ),( );22 2 1 ( ),( )1 2 ( , ) ( ) U q Rq c r q P chr qR            R ,    1 ( );11 1;212 ( ),( );11 ,( );2 ( ),( ) ( , ) , ( ) Z chR r q r q q            R ,    1 ( );11 1;212 ( ),( );21 ,( );2 ( ),( ) ( , ) , ( ) Z chR r q r q q           R , (10)    2 1 22 , ;22 3 22 ( ),( );12 ( ), ;1 ( ),( ) ( , ) , ( ) U q R r q r q q            R ,    2 1 22 , ;12 3 22 ( ),( );22 ( ), ;1 ( ),( ) ( , ) , ( ) U q R r q r q q           R ,      1 21 ( );11 1;213 2 12 ( ),( );11 , 32 1 ( ),( )2 2 , ( ) Z chRq c r q K q r qR             R ,      1 21 ( );11 1;113 2 12 ( ),( );21 , 32 1 ( ),( )2 2 , ( ) Z chRq c r q K q r qR            R ,    1 2 ( ), ;23 ( ),( );12 , 3 ( ),( ) ( ) , ( ) A q r q K q r q           R ,    1 2 ( ), ;13 ( ),( );22 , 3 ( ),( ) ( ) , ( ) A q r q K q r q            R ; 2) породжені неоднорідністю системи (1) функції впливу     1 1 1 1 ( ) ( ),1 ,( );1 1;21( ) 1 ( ),( );11 ( ) ( ),1( ),( ) ,( );1 1;21 ( ) ( ) ,( ) ( , , ) ( ) ( ) ( ) , P chr B q F chR chB q r q p P ch B q F chR chr                         H     1 1 ( ),1 ,( );2 1 1;11 ( ),1 ,( );2 1 1;11 ( ) , , 0 , ( ) , , 0 , B q F chR ch r R B q F chR chr r R                         1 1 ( ) 21 ( ),( );12 ,( );22 1 ( ),( )1 , , , ( ) P chrc r q q qR               H ,       211 2 ( )21 22 ( ),( );13 , 32 1 2 1 ( ),( )1 2 1 , , ( ) c c r q P chr K q qR R               H , Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 5 239     1 ( )11 ( ),( );21 ,( );2 ( ),( )1 1 , , ( , ) ( ) c r q P ch r q qshR            H           1 1 ( ),( );22 2 ( ),( ) ( ), ;1 ,( );2 1 2 ( ), ;1 ,( );2 1 2 1 , , 2 ( ) , , , , , , , , p r q q r q q R r R q r q R r R                                H       1 22 22 ( ),( );23 ( ), ;1 , 32 1 ( ),( )2 1 , , , ( ) c p r r q K q qR               H , (11)     211 ( )2 11 12 ( ),( );31 , 32 1 ( ),( )12 2 1 , , ( ) ( ) q c c r q P ch K q r qR shR             H ,       1 21 12 ( ),( );32 ( ), ;1 , 32 1 ( ),( )2 , , , ( ) c r q q K q r qR               H ,           2 2 1 2 2 1 2 2*2 , 3 ( ), ;2 , ;12 3 2 3 3 ( ),( );33 2* ( ),( ) , 3 ( ), ;2 , ;12 3 2 3 ( ) , , , ( ) ( ) , K q A q q R q rq r q q K q r A q q R q                                H     1 2 1 2 2* ( ), ;1 , ;22 3 2 3 2 2* ( ), ;1 , ;22 3 2 3 2 ( ) , , , ( ) , , . A q q R q r R r A q q R q R r                        У результаті однозначної розв’язності алгебраїчної системи (8) й підстановки одержаних значень A1, A2, B2, B3 у формули (3) маємо єдиний розв’язок крайової задачі (1), (2): uj(r) =  ( ),( ); , 1 ,j mkmk m k r q     2 R +   1 ( ),( ); 1 1 0 , , ( ) R jH r q g sh d      + +   2 1 1 2 1 ( ),( ); 2 2, , ( ) R j R r q g d       H + (12) +   2 2 2 1 ( ),( ); 3 3, , ( )j R r q g d         H . Побудуємо тепер розв’язок крайової задачі (1), (2) методом інте- грального перетворення, породженого на множині 2I  гібридним ди- ференціальним оператором (ГДО)         1 2 * ( ),( ) 1 ( ) 1 2 2 ,( )r R r r R R r B r R B                M . (13) Математичне та комп’ютерне моделювання 240 Оператор M(), () самоспряжений і має одну особливу точку r =  [3]. Отже, його спектр дійсний та неперервний. Можна вважати, що спе- ктральний параметр   (0, ). Йому відповідає спектральна функція V(), ()(r, ) = (r)(R1 – r)V(),(); 1(r, ) + +(r – R1)(R2 – r)V(),(); 2(r, ) + (r – R2)V(),(); 3(r, ). (14) Функції V(),(); j(r, ) є обмеженим на множині 2I  розв’язком се- паратної системи звичайних диференціальних рівнянь Лежандра, Ей- лера та Бесееля ( 2 ( ) 1b  )V(),(); 1(r, ) = 0, r  (0, R1), ( 1 * 2 2B b  )V(),(); 2(r, ) = 0, r  (R1, R2), (15) ( 2 2 , 3B b   )V(),(); 3(r, ) = 0, r  (R2, ) з умовами спряження 1 1 ( ),( ); 2 2 ( ),( ); 1( , ) ( , ) 0 k k k k k j j k j j k r R d d V r V r dr dr                           , j, k=1,2, (16) де bj = 2 2 1/2( )jk  , 2 jk  0, j = 1,3 . Обмеженим на (0, R1) розв’язком диференціального рівняння Лежандра ( 2 ( ) 1b  )v = 0 є узагальнена приєднана функція Лежанд- ра першого роду 1 ( ) 1/2 ibP    (chr) * 1 ( )P   (chr), * 1 11/ 2 ib    () [1]. Фун- даментальну систему розв’язків для рівняння Ейлера ( 1 * 2 2B b  )v = 0 утворюють функції v1 = 1r  cos(b2lnr) та v2 = 1r  sin(b2lnr) [4]; фунда- ментальну систему розв’язків для диференціального рівняння Бесселя ( 2 2 , 3B b   )v1 = 0 утворюють функції 2, 3( )J b r  та 2, 3( )N b r  [2]. Якщо покласти V(),(); 1(r, ) = A1 * 1 ( )P   (chr), V(),(); 2(r, ) = A2 1r  cos(b2lnr) + B2 1r  sin(b2lnr), V(),(); 3(r, ) = A3 2, 3( )J b r  + B3 2, 3( )N b r  , (17) то умови спряження (16) для визначення величин Aj (j = 1,3 ) та Bk (k = 1, 2) дають однорідну алгебраїчну систему з чотирьох рівнянь: *1 1 1 ( );1111 12 ; 2 2 1 2 ; 2 2 1 2 1 1; 1 ( , ) ( , ) ( )j j j Y b R A Y b R B A Z chR      , j = 1, 2, (18) 2 2 1 1 21 22 21 22 , ; 2 3 2 3 , ; 2 3 2 3 ; 1 2 2 2 ; 1 2 2 2( ) ( ) ( , ) ( , )j j j ju b R A u b R B Y b R A Y b R B        . Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 5 241 У припущенні, що A1 — довільна невідома, маємо дві алгебраїч- ні системи по два рівняння в кожній. При A1 = 1 2 2 21 2 22 2 1 2 2 1 1 3 2 2 nc b c R b R      0 послідовно знаходимо величи- ни Aj та Bj (j = 2, 3), підстановка яких у рівності (17) дає структуру функцій V(),(); j(r, ): V(),(); 1(r, ) = 1 2 2 21 2 22 2 1 2 2 1 1 3 2 2 nc b c R b R     * 1 ( )P   (chr),          * *1 12 2 1 1 ( ),( ); 2 ( );11 ( );111 122 1 ;22 2 1 ;12 22 2 1 ;11 ;21 3 2 , 2 , , m aV r b c Z chR b r Z chR b r b R                 , (19) V(),(); 3(r, ) = (),(); 1() 2, 3( )N b r  – (),(); 2() 2, 3( )J b r  У рівностях (19) беруть участь функції:          1 1 1 1 1 1 12 11 ; 2 2 ; 2 2 1 2 ; 2 2 1 2, , cos ln , sin lnj j jb r Y b R r b r Y b R r b r       ,        * *1 1 11 1 ( );11 ( );11 ( ), ; 1 ;1 2 1 2 1 ;2 2 1 2;21 ;11 ( ) , , , , `j j ja Z chR b R R Z chR b R R           ,         1 1 1 1 1 11 22 12 21 ; ; 2 2 1 ; 1 2 2 ; 2 2 1 ; 1 2 2, , , ,kj k j k jY b R Y b R Y b R Y b R       , j = 1, 2, (),(); j() =     1 12 2 2 2 ( ), ;2 3 2 ( ), ;21 3 2, ;12 , ;22( ) ( )j ja u b R a u b R        . Визначимо величини 1 = 1 2 1 2 1 2 1 11 12 1 2 2 1 21 22 1 2 R Rc c c c shR R       , 2 = 2 1 2 1 12 2 2 1 22 2 Rc c R     ,3 = 1, вагову функцію (r) = (r)(R1 – r)1sh r +(r – R1)(R2 – r) 2 12 1r   + (r – R2) 2 22 1r   та спектральну щільність (), ()() =  22 3b  ([(), (); 1()]2 + [(),(); 2()]2)–1. Наявність спектральної функції V(),() (r, ), вагової функції (r) та спектральної щільності (), ()() дозволяє визначити пряме H(),() та обернене 1 ( ),( )H    гібридне інтегральне перетворення, породжене на множині 2I  ГДО M(),() [3]:     0 ( ),( ) ( ),( )( ) ( ) , ( ) ( ) R H g r g r V r r dr g           , (20)    1 ( ),( ) ( ),( ) ( ),( ) 0 ( ) ( ) , ( ) ( )H g g V r d g r                , (21) Математичне та комп’ютерне моделювання 242 де вектор-функція g(r) = {g1(r); g2(r); g3(r)} належить області визна- чення ГДО M(),(). При цьому має місце основна тотожність гібрид- ного інтегрального перетворення ГДО M(), ():   3 2 2 ( ),( ) ( ),( ) 1 2 ( ),( );12 2 ( ),( );22 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . m m m k k k k k k H g r g k g h Z Z                                  M (22) У рівності (22) прийняті позначення:   1 1 1 ( ),( );1 1 0 ( ) ( ) , R g g r V r shrdr     ,   2 1 1 2 1 2 2 ( ),( );2 2( ) ( ) , R R g g r V r r dr       , 2 2 2 1 3 3 ( ),( );3 3( ) ( ) ( , ) R g g r V r r dr        , h1 = 1 1 11 shR c  , h2 = 12 1 2 2 12 R c   , ( ),( ); 2 2 2 ( ),( ); 1( ) ( , ) k k k k i i i k r R d Z V r dr              , i = 1,2, k = 1,2. Єдиний розв’язок крайової задачі (1), (2), побудований методом запровадженого формулами (20), (21) гібридного інтегрального пере- творення за відомою логічною схемою [3], має структуру: 1 ( ),( ); ( ),( );1 ( ),( ) 1 12 2 0 0 ( , ) ( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) R j j V r V u r d g sh d q                          + + 2 1 1 ( ),( ) 2 1 ( ),( ); ( ),( );2 2 22 2 0 ( ) ( , ) ( , ) ( ) R j R V r V d g d q                           + + 2 2 ( ),( ) 2 1 ( ),( ); ( ),( );3 3 32 2 0 ( ) ( , ) ( , ) ( )j R V r V d g d q                            + (23) + 2 ( ),( ) ( ),( );12 ( ),( ); 22 2 1 0 ( ) ( ) ( , )k k j k k h Z V r d q                     – ( ),( ) ( ),( );22 ( ),( ); 12 2 0 ( ) ( ) ( , )k j kZ V r d q                    , j = 1,3 , де q2 = max{ 2 1q ; 2 2q ; 2 3q }. Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 5 243 Порівнюючи розв’язки (12) та (23) в силу теореми єдиності, оде- ржуємо формули обчислення невласних інтегралів: ( ),( ) ( ),( ); ( ),( ); ( ),( );2 2 0 ( ) 1 ( , ) ( , ) ( , , )j k jk k V r V d r q q                    H , j,k = 1,3 , (24) ( ),( ) ( ),( );12 ( ),( ); 2 2 0 ( ) ( ) ( , )k jZ V r d q               = ( ),( );2 1 ( , )j k k r q h  R , k = 1,2, j = 1,3 , (25) ( ),( ) ( ),( );22 ( ),( ); 2 2 0 ( ) ( ) ( , )k jZ V r d q               = ( ),( );1 1 ( , )j k k r q h   R , k = 1,2, j = 1,3 . (26) Функції впливу H(), (); jk(r, , q) визначені формулами (11), фун- кції Гріна ( ),( ); ( , )j nk r q R — формулами (10). Якщо q2 = 2 1q , то 2 1 0k  , 2 2 2 2 1 2k q q  , 2 2 2 3 1 3k q q  . У цьому ви- падку b1 = , b2 = 2 2 2 1/2 1 2( )q q   , b3 = 2 2 2 1/2 1 3( )q q   . Якщо q2 = 2 2q , то 2 2 2 1 2 1k q q   0, 2 2 0k  , 2 2 2 3 2 3k q q   0. У цьому випадку b1 = 2 2 2 1/2 2 1( )q q   , b2 = , b3 = 2 2 2 1/2 2 3( )q q   . Якщо q2 = 2 3q , то 2 2 2 1 3 1k q q   0, 2 2 2 2 3 2k q q   0, 2 3 0k  . У цьому випадку b1 = 2 2 2 1/2 3 1( )q q   , b2 = 2 2 2 1/2 3 2( )q q   , b3 = . Підсумком викладеного вище є твердження. Основна теорема. Якщо вектор-функція f(r)={()[g1(r)]; 1 *B [g2(r)]; 2,B  [g3(r)]} неперервна на множині 2I  , функції gj(r) за- довольняють умови спряження (2) та має місце умова (9) однозначної розв’язності крайової задачі (1), (2), то справджуються формули (24)—(26) обчислення поліпараметричних невласних інтегралів за власними елементами ГДО M(), (), визначеного рівністю (13). Висновок. Результати статті поповнюють довідкову математичну літературу й можуть бути використані при обчисленні невласних інтег- ралів за власними елементами ГДО , які з’являються при моделюванні фізико-технічних процесів у відповідних неоднорідних середовищах. Список використаних джерел: 1. Конет І. М. Інтегральні перетворення типу Мелера-Фока / І. М. Конет, М. П. Ленюк. — Чернівці : Прут, 2002. — 248 с. Математичне та комп’ютерне моделювання 244 2. Ленюк М. П. Обчислення невласних інтегралів методом гібридних інтег- ральних перетворень (Фур’є, Бесселя, Лежандра) / М. П. Ленюк. — Чер- нівці : Прут, 2005. — Т. 5. — 368 с. 3. Ленюк М. П. Гібридні інтегральні перетворення (Фур’є, Бесселя, Лежан- дра) / М. П. Ленюк, М. І. Шинкарик. — Тернопіль : Економічна думка, 2004. — Ч. 1. — 368 с. 4. Степанов В. В. Курс дифференциальных уравнений / В. В. Степанов. — М. : Физматгиз, 1959. — 468 с. 5. Шилов Г. Е. Математический анализ. Второй специальный курс / Г. Е. Шилов. — М. : Наука, 1965. — 328 с. By the method of comparison of decisions, built on the arctic landmark with the two point of interface for the separate system of differential equalizations of Lezhandra, Bessel and Euler by the method of functions Koshi and by the method of the proper hybrid integral transformation, polyparametric family of known integrals is calculated. Key words: Not own integrals, functions Koshi, the main decisions, hybrid integrated transformation, the basic identity, condition of unequivo- cal resolvabitili, the logic scheme. Отримано: 05.06.2011 УДК 519.21 Я. М. Чабанюк, д-р фіз.-мат. наук, С. А. Семенюк, аспірант Національний університет “Львівська політехніка”, м. Львів STOCHASTIC APPROXIMATION PROCEDURE WITH IMPULSIVE MARKOV PERTURBATIONS In this paper we discuss asymptotic behavior of the stochastic approximation procedure in case when the regression function is perturbed by the Markov impulsive process. Also we consider the stochastic approximation procedure stability conditions in the terms of existence of Lyapunov's function for the averaged evolution system. Key words: stochastic approximation procedure, Markov process, impulsive perturbation. Introduction. The goal of the Robbins-Monro Stochastic Approxi- mation Procedure (SAP) [1] is to find the solution of the equation ( ) = 0C u in the case when the measurements of regression function ( )C u are made with some errors. It is widely used in the mathematical statistics [2], control theory, image, signal and voice recognition theory [3], etc. Let us consider the situation when estimated function errors are de- fined by impulsive process. Then the continuous SAP is defined by the differential equation © Я. М. Чабанюк, С. А. Семенюк, 2011 << /ASCII85EncodePages false /AllowTransparency false /AutoPositionEPSFiles true /AutoRotatePages /All /Binding /Left /CalGrayProfile (Gray Gamma 2.2) /CalRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1) /CalCMYKProfile (Coated FOGRA27 \050ISO 12647-2:2004\051) /sRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1) /CannotEmbedFontPolicy /Warning /CompatibilityLevel 1.3 /CompressObjects /Tags /CompressPages true /ConvertImagesToIndexed true /PassThroughJPEGImages true /CreateJobTicket false /DefaultRenderingIntent /Default /DetectBlends true /DetectCurves 0.1000 /ColorConversionStrategy /sRGB /DoThumbnails false /EmbedAllFonts true /EmbedOpenType false /ParseICCProfilesInComments true /EmbedJobOptions true /DSCReportingLevel 0 /EmitDSCWarnings false /EndPage -1 /ImageMemory 1048576 /LockDistillerParams false /MaxSubsetPct 100 /Optimize true /OPM 1 /ParseDSCComments true /ParseDSCCommentsForDocInfo true /PreserveCopyPage true /PreserveDICMYKValues true /PreserveEPSInfo false /PreserveFlatness false /PreserveHalftoneInfo false /PreserveOPIComments false /PreserveOverprintSettings true /StartPage 1 /SubsetFonts true /TransferFunctionInfo /Apply /UCRandBGInfo /Remove /UsePrologue false /ColorSettingsFile () /AlwaysEmbed [ true ] /NeverEmbed [ true /Arial-Black /Arial-BlackItalic /Arial-BoldItalicMT /Arial-BoldMT /Arial-ItalicMT /ArialMT /ArialNarrow /ArialNarrow-Bold /ArialNarrow-BoldItalic /ArialNarrow-Italic /ArialUnicodeMS /CenturyGothic /CenturyGothic-Bold /CenturyGothic-BoldItalic /CenturyGothic-Italic /CourierNewPS-BoldItalicMT /CourierNewPS-BoldMT /CourierNewPS-ItalicMT /CourierNewPSMT /Georgia /Georgia-Bold /Georgia-BoldItalic /Georgia-Italic /Impact /LucidaConsole /Tahoma /Tahoma-Bold /TimesNewRomanMT-ExtraBold /TimesNewRomanPS-BoldItalicMT /TimesNewRomanPS-BoldMT /TimesNewRomanPS-ItalicMT /TimesNewRomanPSMT /Trebuchet-BoldItalic /TrebuchetMS /TrebuchetMS-Bold /TrebuchetMS-Italic /Verdana /Verdana-Bold /Verdana-BoldItalic /Verdana-Italic ] /AntiAliasColorImages false /CropColorImages false /ColorImageMinResolution 150 /ColorImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleColorImages true /ColorImageDownsampleType /Bicubic /ColorImageResolution 150 /ColorImageDepth -1 /ColorImageMinDownsampleDepth 1 /ColorImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeColorImages true /ColorImageFilter /DCTEncode /AutoFilterColorImages true /ColorImageAutoFilterStrategy /JPEG /ColorACSImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /ColorImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /JPEG2000ColorACSImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /JPEG2000ColorImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /AntiAliasGrayImages false /CropGrayImages false /GrayImageMinResolution 150 /GrayImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleGrayImages true /GrayImageDownsampleType /Bicubic /GrayImageResolution 150 /GrayImageDepth -1 /GrayImageMinDownsampleDepth 2 /GrayImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeGrayImages true /GrayImageFilter /DCTEncode /AutoFilterGrayImages true /GrayImageAutoFilterStrategy /JPEG /GrayACSImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /GrayImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /JPEG2000GrayACSImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /JPEG2000GrayImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /AntiAliasMonoImages false /CropMonoImages false /MonoImageMinResolution 1200 /MonoImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleMonoImages true /MonoImageDownsampleType /Bicubic /MonoImageResolution 1200 /MonoImageDepth -1 /MonoImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeMonoImages true /MonoImageFilter /CCITTFaxEncode /MonoImageDict << /K -1 >> /AllowPSXObjects true /CheckCompliance [ /PDFX1a:2001 ] /PDFX1aCheck false /PDFX3Check false /PDFXCompliantPDFOnly false /PDFXNoTrimBoxError true /PDFXTrimBoxToMediaBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXSetBleedBoxToMediaBox true /PDFXBleedBoxToTrimBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXOutputIntentProfile (None) /PDFXOutputConditionIdentifier () /PDFXOutputCondition () /PDFXRegistryName () /PDFXTrapped /False /CreateJDFFile false /Description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> /CHS <FEFF4f7f75288fd94e9b8bbe5b9a521b5efa7684002000410064006f006200650020005000440046002065876863900275284e8e55464e1a65876863768467e5770b548c62535370300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c676562535f00521b5efa768400200050004400460020658768633002> /CHT <FEFF4f7f752890194e9b8a2d7f6e5efa7acb7684002000410064006f006200650020005000440046002065874ef69069752865bc666e901a554652d965874ef6768467e5770b548c52175370300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c4f86958b555f5df25efa7acb76840020005000440046002065874ef63002> /CZE <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> /DAN <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> /DEU <FEFF00560065007200770065006e00640065006e0020005300690065002000640069006500730065002000450069006e007300740065006c006c0075006e00670065006e0020007a0075006d002000450072007300740065006c006c0065006e00200076006f006e002000410064006f006200650020005000440046002d0044006f006b0075006d0065006e00740065006e002c00200075006d002000650069006e00650020007a0075007600650072006c00e40073007300690067006500200041006e007a006500690067006500200075006e00640020004100750073006700610062006500200076006f006e00200047006500730063006800e40066007400730064006f006b0075006d0065006e00740065006e0020007a0075002000650072007a00690065006c0065006e002e00200044006900650020005000440046002d0044006f006b0075006d0065006e007400650020006b00f6006e006e0065006e0020006d006900740020004100630072006f00620061007400200075006e0064002000520065006100640065007200200035002e003000200075006e00640020006800f600680065007200200067006500f600660066006e00650074002000770065007200640065006e002e> /ENU (Use these settings to create Adobe PDF documents suitable for reliable viewing and printing of business documents. Created PDF documents can be opened with Acrobat and Adobe Reader 5.0 and later.) /ESP <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> /ETI <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> /FRA <FEFF005500740069006c006900730065007a00200063006500730020006f007000740069006f006e00730020006100660069006e00200064006500200063007200e900650072002000640065007300200064006f00630075006d0065006e00740073002000410064006f006200650020005000440046002000700072006f00660065007300730069006f006e006e0065006c007300200066006900610062006c0065007300200070006f007500720020006c0061002000760069007300750061006c00690073006100740069006f006e0020006500740020006c00270069006d007000720065007300730069006f006e002e0020004c0065007300200064006f00630075006d0065006e00740073002000500044004600200063007200e900e90073002000700065007500760065006e0074002000ea0074007200650020006f007500760065007200740073002000640061006e00730020004100630072006f006200610074002c002000610069006e00730069002000710075002700410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e0030002000650074002000760065007200730069006f006e007300200075006c007400e90072006900650075007200650073002e> /GRE <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> /HEB <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> /HRV (Za stvaranje Adobe PDF dokumenata pogodnih za pouzdani prikaz i ispis poslovnih dokumenata koristite ove postavke. Stvoreni PDF dokumenti mogu se otvoriti Acrobat i Adobe Reader 5.0 i kasnijim verzijama.) /HUN <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> /ITA (Utilizzare queste impostazioni per creare documenti Adobe PDF adatti per visualizzare e stampare documenti aziendali in modo affidabile. I documenti PDF creati possono essere aperti con Acrobat e Adobe Reader 5.0 e versioni successive.) /JPN <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> /KOR <FEFFc7740020c124c815c7440020c0acc6a9d558c5ec0020be44c988b2c8c2a40020bb38c11cb97c0020c548c815c801c73cb85c0020bcf4ace00020c778c1c4d558b2940020b3700020ac00c7a50020c801d569d55c002000410064006f0062006500200050004400460020bb38c11cb97c0020c791c131d569b2c8b2e4002e0020c774b807ac8c0020c791c131b41c00200050004400460020bb38c11cb2940020004100630072006f0062006100740020bc0f002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e00300020c774c0c1c5d0c11c0020c5f40020c2180020c788c2b5b2c8b2e4002e> /LTH <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> /LVI <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> /NLD (Gebruik deze instellingen om Adobe PDF-documenten te maken waarmee zakelijke documenten betrouwbaar kunnen worden weergegeven en afgedrukt. De gemaakte PDF-documenten kunnen worden geopend met Acrobat en Adobe Reader 5.0 en hoger.) /NOR <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> /POL <FEFF0055007300740061007700690065006e0069006100200064006f002000740077006f0072007a0065006e0069006100200064006f006b0075006d0065006e007400f300770020005000440046002000700072007a0065007a006e00610063007a006f006e00790063006800200064006f0020006e00690065007a00610077006f0064006e00650067006f002000770079015b0077006900650074006c0061006e00690061002000690020006400720075006b006f00770061006e0069006100200064006f006b0075006d0065006e007400f300770020006600690072006d006f0077007900630068002e002000200044006f006b0075006d0065006e0074007900200050004400460020006d006f017c006e00610020006f007400770069006500720061010700200077002000700072006f006700720061006d006900650020004100630072006f00620061007400200069002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e0030002000690020006e006f00770073007a0079006d002e> /PTB <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> /RUM <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> /SKY <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> /SLV <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> /SUO <FEFF004b00e40079007400e40020006e00e40069007400e4002000610073006500740075006b007300690061002c0020006b0075006e0020006c0075006f0074002000410064006f0062006500200050004400460020002d0064006f006b0075006d0065006e007400740065006a0061002c0020006a006f0074006b006100200073006f0070006900760061007400200079007200690074007900730061007300690061006b00690072006a006f006a0065006e0020006c0075006f00740065007400740061007600610061006e0020006e00e400790074007400e4006d0069007300650065006e0020006a0061002000740075006c006f007300740061006d0069007300650065006e002e0020004c0075006f0064007500740020005000440046002d0064006f006b0075006d0065006e00740069007400200076006f0069006400610061006e0020006100760061007400610020004100630072006f0062006100740069006c006c00610020006a0061002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e0030003a006c006c00610020006a006100200075007500640065006d006d0069006c006c0061002e> /SVE <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> /TUR <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> /UKR <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> /RUS <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> >> /Namespace [ (Adobe) (Common) (1.0) ] /OtherNamespaces [ << /AsReaderSpreads false /CropImagesToFrames true /ErrorControl /WarnAndContinue /FlattenerIgnoreSpreadOverrides false /IncludeGuidesGrids false /IncludeNonPrinting false /IncludeSlug false /Namespace [ (Adobe) (InDesign) (4.0) ] /OmitPlacedBitmaps false /OmitPlacedEPS false /OmitPlacedPDF false /SimulateOverprint /Legacy >> << /AllowImageBreaks true /AllowTableBreaks true /ExpandPage false /HonorBaseURL true /HonorRolloverEffect false /IgnoreHTMLPageBreaks false /IncludeHeaderFooter false /MarginOffset [ 0 0 0 0 ] /MetadataAuthor () /MetadataKeywords () /MetadataSubject () /MetadataTitle () /MetricPageSize [ 0 0 ] /MetricUnit /inch /MobileCompatible 0 /Namespace [ (Adobe) (GoLive) (8.0) ] /OpenZoomToHTMLFontSize false /PageOrientation /Portrait /RemoveBackground false /ShrinkContent true /TreatColorsAs /MainMonitorColors /UseEmbeddedProfiles false /UseHTMLTitleAsMetadata true >> << /AddBleedMarks false /AddColorBars false /AddCropMarks false /AddPageInfo false /AddRegMarks false /BleedOffset [ 0 0 0 0 ] /ConvertColors /ConvertToRGB /DestinationProfileName (sRGB IEC61966-2.1) /DestinationProfileSelector /UseName /Downsample16BitImages true /FlattenerPreset << /PresetSelector /MediumResolution >> /FormElements true /GenerateStructure false /IncludeBookmarks false /IncludeHyperlinks false /IncludeInteractive false /IncludeLayers false /IncludeProfiles true /MarksOffset 6 /MarksWeight 0.250000 /MultimediaHandling /UseObjectSettings /Namespace [ (Adobe) (CreativeSuite) (2.0) ] /PDFXOutputIntentProfileSelector /DocumentCMYK /PageMarksFile /RomanDefault /PreserveEditing true /UntaggedCMYKHandling /UseDocumentProfile /UntaggedRGBHandling /LeaveUntagged /UseDocumentBleed false >> ] >> setdistillerparams << /HWResolution [600 600] /PageSize [419.528 595.276] >> setpagedevice

Схожі ресурси