Свободные колебания двухслойной жидкости с упругими мембранами на свободной и внутренней поверхностях
Построено аналитическое решение плоской задачи гидроупругости, описывающей взаимосвязанные свободные колебания двухслойной идеальной несжимаемой жидкости в прямоугольном канале и плоских мембран, расположенных на свободной и внутренней поверхностях жидкости. Получено условие устойчивости связанных к...
Saved in:
| Date: | 2003 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут гідромеханіки НАН України
2003
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/4881 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Свободные колебания двухслойной жидкости с упругими мембранами на свободной и внутренней поверхностях / Ю.Н. Koнoнoв, Е.А. Татаренко // Прикладна гідромеханіка. — 2003. — Т. 5, № 3. — С. 48-54. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859593993218686976 |
|---|---|
| author | Кононов, Ю.Н. Татаренко, Е.А. |
| author_facet | Кононов, Ю.Н. Татаренко, Е.А. |
| citation_txt | Свободные колебания двухслойной жидкости с упругими мембранами на свободной и внутренней поверхностях / Ю.Н. Koнoнoв, Е.А. Татаренко // Прикладна гідромеханіка. — 2003. — Т. 5, № 3. — С. 48-54. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| description | Построено аналитическое решение плоской задачи гидроупругости, описывающей взаимосвязанные свободные колебания двухслойной идеальной несжимаемой жидкости в прямоугольном канале и плоских мембран, расположенных на свободной и внутренней поверхностях жидкости. Получено условие устойчивости связанных колебаний жидкостей и мембран. Рассмотрены случаи, когда мембрана находится только на свободной или внутренней поверхности двухслойной жидкости. Проведены численные исследования собственных частот. На основе метода Бубнова - Галеркина построено приближенное решение рассматриваемой задачи. В результате сравнения обоих подходов отмечается эффективность аналитического решения задачи.
Побудовано аналiтичний розв'язок плоскої задачi гiдропружностi, яка описує взаємозв'язанi вiльнi коливання двошарової iдеальної нестисної рiдини в прямокутному каналi та плоских мембран, якi розташованi на вiльнiй та внутрiшнiй поверхнях рiдини. Одержана умова стiйкостi пов'язаних коливань рiдин та мембран. Розглянуто випадки, коли мембрана знаходиться тiльки на вiльнiй або внутрiшнiй поверхнi рiдини. Проведенi чисельнi дослiдження власних частот. На основi метода Бубнова-Гальоркiна побудовано наближене рiшення задачi, що розглядається. В результатi порiвняння обох пiдходiв вiдзначається ефективiсть аналiтичного розв'язку задачi.
Тhe analytical solution for two-dimensional problem of hydroelasticity, describing the interconnected free oscillations of two-layer perfect incompressible liquid in the rectangular channel and planar membranes, located on free and interior surfaces of liquid is constructed. Stability condition for interconnected oscillations of liquid and membranes is obtained. The cases of membranes location only on free and interior surfaces of liquid are considered. Numerical research of eigenvalues is carried out. On the basis of Bubnov-Galerkin method the approximate solution of considered problem is obtained. Comparison of two approaches shows the effectiveness of analytical solution for the given problem.
|
| first_indexed | 2025-11-27T19:28:48Z |
| format | Article |
| fulltext |
ISSN 1561 -9087 �ਪ« ¤ £÷¤à®¬¥å ÷ª . 2003. �®¬ 5 (77), N 3. �. 48 { 54��� 533.6.013.42��������� ��������� ������������������� � �������� ���������� ����������� � ���������� �������������. �. K������, �. �. ����������®¥æª¨© 樮 «ìë© ã¨¢¥àá¨â¥â�®«ã祮 21.12.2002 � �¥à¥á¬®â८ 01.06.2003�®áâ஥® «¨â¨ç¥áª®¥ à¥è¥¨¥ ¯«®áª®© § ¤ ç¨ £¨¤à®ã¯à㣮áâ¨, ®¯¨áë¢ î饩 ¢§ ¨¬®á¢ï§ ë¥ á¢®¡®¤ë¥ª®«¥-¡ ¨ï ¤¢ãåá«®©®© ¨¤¥ «ì®© ¥á¦¨¬ ¥¬®© ¦¨¤ª®á⨠¢ ¯àאַ㣮«ì®¬ ª «¥ ¨ ¯«®áª¨å ¬¥¬¡à , à ᯮ«®¦¥ëå ᢮¡®¤®© ¨ ¢ãâ॥© ¯®¢¥àå®áâïå ¦¨¤ª®áâ¨. �®«ã祮 ãá«®¢¨¥ ãá⮩稢®á⨠á¢ï§ ëå ª®«¥¡ ¨© ¦¨¤ª®á⥩¨ ¬¥¬¡à . � áᬮâà¥ë á«ãç ¨, ª®£¤ ¬¥¬¡à 室¨âáï ⮫쪮 ᢮¡®¤®© ¨«¨ ¢ãâ॥© ¯®¢¥àå®á⨠¤¢ãå-á«®©®© ¦¨¤ª®áâ¨. �஢¥¤¥ë ç¨á«¥ë¥ ¨áá«¥¤®¢ ¨ï ᮡá⢥ëå ç áâ®â. � ®á®¢¥ ¬¥â®¤ �ã¡®¢ { � «¥àª¨ ¯®áâ஥® ¯à¨¡«¨¦¥®¥ à¥è¥¨¥ à áᬠâਢ ¥¬®© § ¤ ç¨. � १ã«ìâ ⥠áà ¢¥¨ï ®¡®¨å ¯®¤å®¤®¢ ®â¬¥ç ¥âáïíä䥪⨢®áâì «¨â¨ç¥áª®£® à¥è¥¨ï § ¤ ç¨.�®¡ã¤®¢ ® «iâ¨ç¨© ஧¢'燐ª ¯«®áª®�� § ¤ çi £i¤à®¯à㦮áâi, ïª ®¯¨áãõ ¢§ õ¬®§¢'ï§ i ¢i«ìi ª®«¨¢ ï ¤¢®-è ஢®�� i¤¥ «ì®�� ¥áâ¨á®�� ài¤¨¨ ¢ ¯àאַªã⮬㠪 «i â ¯«®áª¨å ¬¥¬¡à , ïªi ஧â 订 i ¢i«ìi© â ¢ã-âàièi© ¯®¢¥àåïå ài¤¨¨. �¤¥à¦ 㬮¢ áâi©ª®áâi ¯®¢'ï§ ¨å ª®«¨¢ ì ài¤¨ â ¬¥¬¡à . �®§£«ïãâ® ¢¨¯ ¤ª¨,ª®«¨ ¬¥¬¡à § 室¨âìáï âi«ìª¨ ¢i«ìi© ¡® ¢ãâàièi© ¯®¢¥àåi ài¤¨¨. �஢¥¤¥i ç¨á¥«ìi ¤®á«i¤¦¥ï¢« á¨å ç áâ®â. � ®á®¢i ¬¥â®¤ �ã¡®¢ {� «ì®àªi ¯®¡ã¤®¢ ® ¡«¨¦¥¥ àiè¥ï § ¤ çi, é® à®§£«ï¤ õâìáï.� १ã«ìâ âi ¯®ài¢ïï ®¡®å ¯i¤å®¤i¢ ¢i¤§ ç õâìáï ¥ä¥ªâ¨¢iáâì «iâ¨ç®£® ஧¢'離㠧 ¤ çi.The analytical solution for two-dimensional problem of hydroelasticity, describing the interconnected free oscillations oftwo-layer perfect incompressible liquid in the rectangular channel and planar membranes, located on free and interiorsurfaces of liquid is constructed. Stability condition for interconnected oscillations of liquid and membranes is obtained.The cases of membranes location only on free and interior surfaces of liquid are considered. Numerical research ofeigenvalues is carried out. On the basis of Bubnov {Galerkin method the approximate solution of considered problem isobtained. Comparison of two approaches shows the e�ectiveness of analytical solution for the given problem.���������®§¤ ¨¥ १¥à¢ã ஢ ¡®«ìè¨å ¥¬ª®á⥩ ¤«ïåà ¥¨ï ¦¨¤ª®á⨠¢ ᥩᬮ®¯ áëå à ©® å ¨¤«ï âà ᯮàâ¨à®¢ª¨ ¦¨¤ª¨å £à㧮¢ âॡã¥â âé -⥫쮣® «¨§ ¢®§¬®¦®£® १® ᮣ® ¢®§¡ã-¦¤¥¨ï ¢®«®¢ëå ¤¢¨¦¥¨© ¦¨¤ª®áâ¨. �¤¨¬ ¨§á।á⢠®£à ¨ç¥¨ï ¯®¤¢¨¦®á⨠¦¨¤ª®á⨠¬®-£ãâ ¡ëâì ¬¥¬¡à ë ¨«¨ ¯« á⨪¨, § ªàë¢ î騥᢮¡®¤ãî ¯®¢¥àå®áâì ®¤®à®¤®© ¦¨¤ª®á⨠[1{3].�¥å ¨ç¥áª¨¥, ⥯«®¢ë¥ ¨ ¤à㣨¥ ¢®§¤¥©á⢨ï,ª ª ¯à ¢¨«®, ¢ë§ë¢ îâ à §¤¥«¥¨¥ ¦¨¤ª®á⨠᫮¨ à §®© ¯«®â®áâ¨, çâ® ¯à¨¢®¤¨â ª ®¡à §®-¢ ¨î ¢ãâà¥¨å ¢®«. � í⮩ á¢ï§¨ ¢®§¨ª ¥â§ ¤ ç ® ¢«¨ï¨¨ áâà â¨ä¨ª 樨 ᮡá⢥륪®«¥¡ ¨ï £¨¤à®ã¯à㣮© á¨á⥬ë. �«ï ®£à ¨ç¥-¨ï ¯®¤¢¨¦®á⨠¢ãâà¥¨å ¯®¢¥àå®á⥩ ¬®£ãââ ª¦¥ ¨á¯®«ì§®¢ âìáï ã¯à㣨¥ ¬¥¬¡à ë, à §¤¥-«ïî騥 ¬®£®á«®©ãî ¦¨¤ª®áâì [4,5].� à ¡®â å [4, 5] ¢ë¢¥¤¥ë ç áâ®âë¥ ãà ¢¥-¨ï ᮡá⢥ëå ª®«¥¡ ¨© ¤¢ãåá«®©®© ¨ ¬®£®-á«®©®© ¦¨¤ª®á⥩ ¢ ¯àאַ¬ ªà㣮¢®¬ 樫¨¤à¥ ᬥ¬¡à ¬¨, à ᯮ«®¦¥ë¬¨ ᢮¡®¤®© ¨ ¢ã-âà¥¨å ¯®¢¥àå®áâïå ¬®£®á«®©®© ¦¨¤ª®áâ¨. �áâ âì¥ [2] ¯®«ã祮 «¨â¨ç¥áª®¥ ¨ ¯à¨¡«¨¦¥-
®¥ à¥è¥¨¥ ¯«®áª®© £¨¤à®ã¯à㣮© § ¤ ç¨ ® ᢮-¡®¤ëå ª®«¥¡ ¨ïå ¦¨¤ª®á⨠¢ ¯àאַ㣮«ì®¬ ª - «¥ á ã¯à㣮© ¬¥¬¡à ®© ᢮¡®¤®© ¯®¢¥àå-®áâ¨. � ï à ¡®â ¯®á¢ïé¥ ®¡®¡é¥¨î à¥-§ã«ìâ ⮢ í⮩ áâ âì¨.1. ���������� ������� áᬮâਬ ¯àאַ㣮«ìë© ª « è¨à¨®© b,§ ¯®«¥ë© ¤¢ãåá«®©®© ¨¤¥ «ì®© ¨ ¥á¦¨¬ -¥¬®© ¦¨¤ª®áâìî c ¯«®â®áâﬨ �n ¤® £«ã¡¨ hn(n=1; 2). � ᢮¡®¤®© ¯®¢¥àå®á⨠¢¥à奩 ¦¨¤-ª®á⨠(n=1) ¨ ¯®¢¥àå®áâ¨ à §¤¥« ¤¢ãåá«®©-®© ¦¨¤ª®áâ¨ à ¢®¬¥à® âïãâë £¨¡ª¨¥ ¨¥à-æ¨®ë¥ ¬¥¬¡à ë á à áâ¢ î騬¨ ãᨫ¨ï¬¨¢ á।¨®© ¯®¢¥àå®á⨠Tn, ¬ áᮢ®© ¯«®â®-áâìî ¬ â¥à¨ « �0n, ⮫騮© �0n. �à ï ¬¥¬¡à ¦¥á⪮ § ªà¥¯«¥ë á⥪ å ª « . �¢¨¦¥¨¥¦¨¤ª®á⥩ ¨ ¬¥¬¡à ¡ã¤¥¬ à áᬠâਢ âì ¢ ¯«®á-ª®© ¯®áâ ®¢ª¥. �¨á⥬㠪®®à¤¨ â Oxyz à ᯮ-«®¦¨¬ â ª, çâ®¡ë ®áì Ox ¡ë« ¯à ¢«¥ ¢¤®«ìª « , ®áì Oz ᮢ¯ ¤ « á ®áìî ᨬ¬¥âਨ ¥£®¯®¯¥à¥ç®£® á¥ç¥¨ï ¨ ¯à ¢«¥ ¢¢¥àå. � ç -«® á¨áâ¥¬ë ª®®à¤¨ â Oxyz ¯®¬¥á⨬ ¢ ¯«®áª®á⨢ãâ॥© ¬¥¬¡à ë (à¨á. 1). � ¤ ç㠡㤥¬ à¥-è âì ¢ à ¬ª å «¨¥©®© ⥮ਨ, ¤¢¨¦¥¨ï ¦¨¤-48 c
�. �. Kooo¢, �. �. � â ४®, 2003
ISSN 1561 -9087 �ਪ« ¤ £÷¤à®¬¥å ÷ª . 2003. �®¬ 5 (77), N 3. �. 48 { 54
�¨á. 1. �¥å ¨ç¥áª ï á¨á⥬ ¢ á®áâ®ï¨¨ ¯®ª®ïª®á⥩ áç¨â âì ¯®â¥æ¨ «ì묨.�ਠᤥ« ëå ¯à¥¤¯®«®¦¥¨ïå ¬¥¬¡à ë ¡ã-¤ãâ ¥á⨠¯®¯¥à¥çãî £à㧪ã á® áâ®à®ë ¦¨¤-ª®á⥩, ¥ ¨§¬¥ïîéãîáï ¯® ¤«¨¥ ª « , çâ® ¯®-§¢®«ï¥â ®¯¨á âì ¤¢¨¦¥¨¥ ¬¥¬¡à ¢ ¯®«¥ ᨫëâ殮á⨠᫥¤ãî騬 ãà ¢¥¨¥¬:�0n�0n @2wn@t2 � Tn @2wn@y2 = Pn(t; y)� Pn�1(t; y) (1)¯à¨ £à ¨çëå ãá«®¢¨ïåwn�t;� b2� = 0: (2)�®¯¥à¥ç ï £à㧪 Pn(t; y), ª®â®àãî ¨á¯ëâë¢ -¥â ¬¥¬¡à á® áâ®à®ë ¦¨¤ª®áâ¨, ¬®¦¥â ¡ëâ쮯।¥«¥ á ¯®¬®éìî «¨¥ ਧ®¢ ®£® ¨â¥£à -« � £à ¦ {�®è¨ ¯® ä®à¬ã«¥Pn=��n" @2�n@t2 ����z=zn+ g(wn+zn) + �n# : (3)�¤¥áì �n(t; y; z) { ¯®â¥æ¨ « ᬥ饨© n -© ¦¨¤ª®-áâ¨; wn(t; y) { ®à¬ «ìë© ¯à®£¨¡ n -© ¬¥¬¡à ë;g { ã᪮२¥ ᨫë â殮áâ¨; �n(t) { ¯à®¨§¢®«ì ïäãªæ¨ï ¢à¥¬¥¨; z1=h1, z2=0; �0=0, P0=0.�®â¥æ¨ « ᬥ饨© ¦¨¤ª®á⨠�n(t; y; z) ®¯à¥-¤¥«ï¥âáï ¨§ à¥è¥¨ï ªà ¥¢®© § ¤ ç¨:@2�n@y2 + @2�n@z2 = 0; (y; z) 2 Qn;@�n@y ����y=�b=2 = @�2@z ����z=�h2 = 0;@�n@z ����z=zn = wn; b=2Z�b=2wn(t; y)dy = 0; (4)£¤¥ Qn { ®¡« áâì ¯®¯¥à¥ç®£® á¥ç¥¨ï ª « , § -ïâ ï n-© ¦¨¤ª®áâìî.
�«ï ¨áá«¥¤®¢ ¨ï ᮡá⢥ëå ª®«¥¡ ¨© ¬¥å -¨ç¥áª®© á¨áâ¥¬ë ¯à¥¤áâ ¢¨¬ ¥¨§¢¥áâë¥ äãª-樨 ¢ ¢¨¤¥�n=�n(y; z)ei!t; wn=Wn(y)ei!t;�n= Ĉnei!t; i=p�1; (5)ª®â®àë¥ ¯®¤áâ ¢¨¬ ¢ á®®â®è¥¨ï (1)-(4) ¨ ¯¥à¥©-¤¥¬ ª ¡¥§à §¬¥àë¬ ¢¥«¨ç¨ ¬, ¢ë¡à ¢ ¢ ª ç¥á⢥å à ªâ¥à®£® «¨¥©®£® à §¬¥à è¨à¨ã ª « b.� १ã«ìâ ⥠¯®«ã稬 £à ¨çãî § ¤ çã ᮡ-áâ¢¥ë¥ § 票ï:W 00n�
2nWn=cn��2dn��n(y; zn)� �n�1�n �n�1(y; zn)�;Wn��12� = 0; 1=2Z�1=2Wn(y)dy = 0;@2�n@y2 + @2�n@z2 = 0; (y; z) 2 Qn;@�n@y ����y=�1=2= @�2@z ����z=�h2= 0; @�n@z ����z=zn= Wn; (6)£¤¥ ¯à¨ïâë á«¥¤ãî騥 ®¡®§ 票ï:
2n = dn�1� �n�1�n �� �2an;�2= !2bg ; an= g�0n�0nbTn ; dn= �ngb2Tn ;cn { ¯à®¨§¢®«ì ï ¯®áâ®ï ï. �㤥¬ ¯à¥¤¯®« -£ âì, çâ® ¢ë¯®«ï¥âáï ¥à ¢¥á⢮�2 < dnan �1� �n�1�n � : (7)2. ���������� ��������������������� �������®á«¥ ¯à¨¬¥¥¨ï ¬¥â®¤ à §¤¥«¥¨ï ¯¥à¥¬¥-ëå á®áâ ¢«ïî騥 ¯®â¥æ¨ « ᬥ饨© ¦¨¤ª®-á⨠�n ¬®¦® ¯à¥¤áâ ¢¨âì ¢ ¢¨¤¥�1=2 1Xk=1 i1kch�kz � i2kch �k(z � h1)�ksh�kh1 Yk;�2=2 1Xk=1 i2kch�k(z + h2)�ksh�kh2 Yk: (8)�¤¥áì Yk=cos �k�y + 12� ; ink = 1=2Z�1=2WnYkdy:�. �. Kooo¢, �. �. � â ४® 49
ISSN 1561 -9087 �ਪ« ¤ £÷¤à®¬¥å ÷ª . 2003. �®¬ 5 (77), N 3. �. 48 { 54� ãç¥â®¬ á®®â®è¥¨© (8) ¨á室ãî § ¤ çã (6)ᢥ¤¥¬ ª ªà ¥¢®© § ¤ ç¥ á®¡áâ¢¥ë¥ § ç¥¨ï¤«ï ¨â¥£à®-¤¨ää¥à¥æ¨ «ì®£® ãà ¢¥¨ï ®â®-á¨â¥«ì® á®áâ ¢«ïî饩 ¯à®£¨¡ ¬¥¬¡à ë:W 00n �
2nWn = cn � 1Xk=1BnkYk;Wn ��12� = 0; 1=2R�1=2Wndy = 0; (9)£¤¥Bnk = 2�2dn�k (unkink � bnki~nk); ~n=n � (�1)n;unk=cth �khn + �n�1�n cth �khn�1;b1k= 1sh �kh1 ; b2k=�12b1k; �12= �1�2 :� á⮥ à¥è¥¨¥ ãà ¢¥¨ï (9) ¡ã¤¥¬ ¨áª âì ¢ä®à¬¥, ®â¢¥ç î饩 ¥£® ¯à ¢®© ç áâ¨:W �n = W0n + 1Xk=1WnkYk: (10)�®¤áâ ¢«ïï ¢ëà ¦¥¨¥ (10) ¢ ãà ¢¥¨¥ (9), ¨¬¥¥¬Wnk = Bnk/ (
2n + �2k2); W0n = �cn/
2n: (11)�¡é¥¥ à¥è¥¨¥ § ¤ ç¨ (9) ¯à¥¤áâ ¢¨¬ ¢ ¢¨¤¥Wn = Ansh
ny + Bnch
ny +W �n(y): (12)�¤¥áì An; Bn { ¯à®¨§¢®«ìë¥ ¯®áâ®ïë¥.�롥६ ¯®áâ®ïãîW0n ¨§ ãá«®¢¨ï ¥á¦¨¬ ¥-¬®á⨠n-© ¦¨¤ª®áâ¨, ¨ á ãç¥â®¬ c®®â®è¥¨ï (11)¯à¥¤áâ ¢¨¬ äãªæ¨î Wn(y) ¢ á«¥¤ãî饬 ¢¨¤¥:Wn(y) = An sh
ny + 1Xk=1A~n~nInkYk!++Bn ch
ny � 2
n sh
12 + 1Xk=1A~n~n~InkYk!��A~n 1Pk=1An~nI~nkYk �B~n 1Pk=1An~n~I~nkYk; (13)£¤¥Aii=2� aii�k �1�; Aij=2 aij�k ;Mnk= �2dn�k (
2n+�2k2) ;aii=1�Mikuik; aij=Mikbik; (i; j = fn; ~ng);�k=a11a22�a12a21;
Ink= 1=2Z�1=2 sh (
ny) Ykdy; ~Ink= 1=2Z�1=2 ch (
ny) Ykdy:�«ï 㤮¡á⢠§ ¯¨á¨ §¤¥áì ¨ ¤ «¥¥ âà¥â¨© ¨¤¥ªá k¡ã¤¥¬ ®¯ã᪠âì. �®áâ®ïë¥ An ¨ Bn ®¯à¥¤¥«¨¬¨§ ãá«®¢¨© ¦¥á⪮£® § ªà¥¯«¥¨ï ¬¥¬¡à . �à¨í⮬ ¯®«ã稬 «¨¥©ãî «£¥¡à ¨ç¥áªãî á¨á⥬ãAn sh
12 + 1Xk=1A~n~nInk(�1)k!++Bn ch
n2 � 2
n sh
n2 + 1Xk=1A~n~n ~Ink(�1)k!��A~n 1Pk=1An~nI~nk(�1)k �B~n 1Pk=1An~n~I~nk(�1)k = 0;An �sh
12 + 1Xk=1A~n~nInk!++Bn ch
12 � 2
1 sh
n2 + 1Xk=1A~n~n ~Ink!��A~n 1Xk=1An~nI~nk � B~n 1Xk=1An~n~I~nk = 0: (14)�ç¨âë¢ ï § ç¥¨ï ®¯à¥¤¥«¥ëå ¨â¥£à «®¢Ink, ~Ink, ¬®¦® ¯®ª § âì, çâ® á¨á⥬ ãà ¢¥¨©(14) à §¤¥«ï¥âáï ¤¢¥ ¥§ ¢¨á¨¬ë¥ á¨áâ¥¬ë ®â-®á¨â¥«ì® A1, A2 ¨ ®â®á¨â¥«ì® B1, B2:An sh
n2 � 1Xk=1A~n~nInk!+ A~n 1Xk=1An~nI~nk = 0;Bn ch
n2 � 2
n sh
n2 + 1Xk=1A~n~n ~Ink!��B~n 1Xk=1An~n~I~nk = 0: (15)�á«®¢¨ï áãé¥á⢮¢ ¨ï ¥âਢ¨ «ìëå à¥è¥¨©á¨á⥬ (15) ¯à¨¢®¤ïâ ª ¤¢ã¬ å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª¨¬ãà ¢¥¨ï¬ ®â®á¨â¥«ì® ¯ à ¬¥âà �:2Yn=1 12
n cth
n2 � 1
2n + 1Xk=1 A~n~n
2n + �2k!�� 2Yn=1 1Xk=1 A~nn
2n + �2k = 0;2Yn=1 12
n th
n2 + 1Xk=1 A~n~n
2n + �2k!�� 2Yn=1 1Xk=1 A~nn
2n + �2k = 0: (16)50 �. �. Kooo¢, �. �. � â ४®
ISSN 1561 -9087 �ਪ« ¤ £÷¤à®¬¥å ÷ª . 2003. �®¬ 5 (77), N 3. �. 48 { 54�¤¥áì �k=2k�, �k=(2k� 1)�.�᫨ § 票ï � ᮢ¯ ¤ îâ á ª®àﬨ ¯¥à¢®£®ãà ¢¥¨ï (16), â® ¨¬ ᮮ⢥âáâ¢ãîâ ᨬ¬¥âà¨ç-ë¥ ä®à¬ë á¢ï§ ëå ª®«¥¡ ¨© ¬¥¬¡à ¨ ¦¨¤-ª®á⥩, ç áâ®âë ¤«ï ¥á¨¬¬¥âà¨çëå ä®à¬ ª®-«¥¡ ¨© ®¯à¥¤¥«ïîâáï ¨§ ¢â®à®£® ãà ¢¥¨ï (16).�à ¢¥¨ï (16) ᮢ¯ ¤ îâ á ᮮ⢥âáâ¢ãî騬¨ç áâ®â묨 ãà ¢¥¨ï¬¨ à ¡®âë [2] ¯à¨ T2=1¨«¨ T1=1, �1=0.�⬥⨬, çâ® ¢á¥ ¯à¨¢¥¤¥ë¥ ¢ëè¥ á®®â®-襨ï á¯à ¢¥¤«¨¢ë ¯à¨ ¢ë¯®«¥¨¨ ¥à ¢¥á⢠(7). �«ï â¥å á«ãç ¥¢, ª®£¤ íâ® ¥à ¢¥á⢮ ¥¢ë¯®«ï¥âáï ¢á¥ à áç¥âë¥ ä®à¬ã«ë ¬®¦® «¥£-ª® ¯®«ãç¨âì á ¯®¬®éìî § ¬¥ë, «®£¨ç®© [2]
n= i~
n, ~
n=pdn(1��n�1=�n)��2an ¨ á®®â®è¥-¨© cos iz=ch z, i sin iz=�sh z.� §«®¦¨¬ £¨¯¥à¡®«¨ç¥áª¨¥ äãªæ¨¨ ¢ ãà ¢¥-¨ïå (16) ¯à®á⥩訥 ¤à®¡¨ â ª, ª ª í⮠ᤥ« -® ¢ [2], ¨ ¯à¥¤áâ ¢¨¬ í⨠ãà ¢¥¨ï ¢ ¢¨¤¥1Xk=1�kG1k � �2g1kZk (�2) 1Xk=1�kG2k � �2g2kZk (�2) ��d1d2�4�12 1Xk=1�k b1kZk (�2)!2 = 0; (17)£¤¥ Zk ��2� = Ak�4 �Bk�2 + Ck;Ak = g1kg2k � d1d2b1kb2k; Bk = g1kG2k �G1kg2k;Ck = G1kG2k; gik = �kai + diuik;Gik = �k �di�1� �i�1�i �+ �2k� :�«¥¤ã¥â § ¬¥â¨âì, çâ® ç áâ®â®¥ ãà ¢¥¨¥ (17)¨¬¥¥â ®¤¨ ª®¢ë© ¢¨¤ ª ª ¤«ï ᨬ¬¥âà¨çëå, â ª¨ ¤«ï ¥á¨¬¬¥âà¨çëå ä®à¬ ª®«¥¡ ¨©, ¥ § ¢¨-á¨â ®â ãá«®¢¨ï (7), ç⮠㤮¡® ¤«ï ç¨á«¥ëå ¨á-á«¥¤®¢ ¨©. �¤ ª® ª®à¨ í⮣® ãà ¢¥¨ï å®-¤ïâáï á ¡®«ì襩 ¯®£à¥è®áâìî, 祬 ª®à¨ (16).� á«ãç ¥, ¥á«¨ ¬¥¬¡à à ᯮ«®¦¥ ⮫쪮 ᢮¡®¤®© ¯®¢¥àå®áâ¨, ç áâ®âë¥ ãà ¢¥¨ï á®-®â¢¥âá⢥® ¤«ï ᨬ¬¥âà¨çëå ¨ ¥á¨¬¬¥âà¨ç-ëå ä®à¬ ª®«¥¡ ¨© ¯à¥¤áâ ¢«ïîâáï á«¥¤ãî騬®¡à §®¬: 12
1 cth
12 � 1
21 + 1Xk=1 A22
21 + �2k = 0;12
1 th
12 + 1Xk=1 A22
21 + �2k = 0 (18)
¨«¨ 1Xk=1�k�k(1� �12) � �2u2kZk (�2) = 0: (19)�¤¥áì Ak = g1ku2k � d1�12b21k;Bk = g1k�k(1� �12) + G1ku2k;Ck = G1k�k(1� �12):�᫨ ¦¥ ¬¥¬¡à 室¨âáï ⮫쪮 ¢ã-â॥© ¯®¢¥àå®áâ¨, ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 ç áâ®â-ë¥ ãà ¢¥¨ï ¯à¥¤áâ ¢«ïîâáï ¢ ¢¨¤¥12
2 cth
22 � 1
22 + 1Xk=1 A11
22 + �2k = 0;12
2 th
22 + 1Xk=1 A11
22 + �2k = 0 (20)¨«¨ 1Xk=1�k�k � �2u1kZk (�2) = 0; (21)£¤¥ Ak = g2ku1k � d2�12b21k;Bk = G2ku1k + g2k�k; Ck = G2k�k:�à ¢¥¨ï (18) { (19) ¨ (20) { (21) ᮢ¯ ¤ îâ á â®ç-®áâìî ¤® ®¡®§ 票© á ç áâ®â묨 ãà ¢¥¨ï-¬¨ à ¡®âë [2] ᮮ⢥âá⢥® ¯à¨ �1=�2 ¨ �1=0.�ਠh1=1, (b1n=b2n=0) ¨§ ãà ¢¥¨© (16) ¨(17) á«¥¤ã¥â2Yn=1 12
n cth
n2 � 1
2n + 1Xk=1 A~n~n
2n + �2k! = 0;2Yn=1 12
n th
n2 + 1Xk=1 A~n~n
2n + �2k! = 0;2Yi=1 1Xk=1 �kGik � �2gik = 0:� ª¨¬ ®¡à §®¬, ¥á«¨ ¢¥à娩 á«®© ¨¬¥¥â ¡¥áª®-¥çãî £«ã¡¨ã, â® ãà ¢¥¨ï (16) ¨ (17) à ᯠ-¤ îâáï ¤¢ ¥§ ¢¨á¨¬ëå ãà ¢¥¨ï.3. ������������ ������� �� �����-������� ����������¥®¡å®¤¨¬ë¬ ãá«®¢¨¥¬ ãá⮩稢®á⨠ᮢ¬¥áâ-ëå ª®«¥¡ ¨© ¬¥¬¡à ¨ ¦¨¤ª®á⥩ ¢ ¯àאַ-㣮«ì®¬ ª «¥ ï¥âáï ¯®«®¦¨â¥«ì®áâì ¢á¥å�. �. Kooo¢, �. �. � â ४® 51
ISSN 1561 -9087 �ਪ« ¤ £÷¤à®¬¥å ÷ª . 2003. �®¬ 5 (77), N 3. �. 48 { 54ª®à¥© ç áâ®â®£® ãà ¢¥¨ï (17). �«ï ¯à¨¡«¨¦¥-®£® «¨§ í⮣® ãà ¢¥¨ï ®£à ¨ç¨¬áï ¤¢ã¬ïç«¥ ¬¨ ¢ àï¤ å (17) (¯®áª®«ìªã ãç¥â ®¤®£® ç«¥ ¥ ¯à¨¢®¤¨â ª ãà ¢¥¨î, ᮤ¥à¦ 饬㠥¨§¢¥áâ-ãî ç áâ®âã). � í⮬ á«ãç ¥ ¨¬¥¥¬b0�4 � b1�2 + b2 = 0: (22)�¤¥áìb0 = �21A2 + �22A1 + �1�2(g21g12 + g22g11��d1d2(b11b22 + b12b21))];b1 = (�1g22 + �2g21)(�1G12 + �2G11)++(�1g12 + �2g11)(�1G22 + �2G21);b2 = (�1G12 + �2G11)(�1G22 + �2G21):�®à¨ ãà ¢¥¨ï (22) ®â®á¨â¥«ì® �2 ¡ã¤ãâ ¯®-«®¦¨â¥«ìë, ¥á«¨ bi > 0; i=1; 2; (23)â ª ª ª ¥âà㤮 ¯®ª § âì, çâ® ¯à¨ «î¡ëå ¯ à -¬¥âà å ¬¥å ¨ç¥áª®© á¨á⥬ë b0 > 0. �§ ¥à -¢¥á⢠(23) á ãç¥â®¬ ¢ëà ¦¥¨© ¤«ï b1 ¨ b2 ¯®-«ãç ¥¬ ãá«®¢¨¥ ãá⮩稢®á⨠ᮡá⢥ëå ª®«¥¡ -¨© ¬¥å ¨ç¥áª®© á¨á⥬ë:�1G22 + �2G21 > 0¨«¨, çâ® â® ¦¥ á ¬®¥,�1 � �2 < �21 + �222 T2gb2 = R1 T2gb2 ; R1�49:348¯à¨ ᨬ¬¥âà¨çëå ä®à¬ å ª®«¥¡ ¨© ¨�1 � �2 < �21 + �222 T2gb2 = R2 T2gb2 ; R2�98:696:¯à¨ ¥á¨¬¬¥âà¨çëå ä®à¬ å ª®«¥¡ ¨©.�®«ã祮¥ ãá«®¢¨¥ ãá⮩稢®á⨠¥ § ¢¨á¨â®â â殮¨ï ¢¥à奩 ¬¥¬¡à ë, ¨¥à樮®á⨬¥¬¡à ¨ £«ã¡¨ § ¯®«¥¨ï. �«¥¤ã¥â ®â¬¥â¨âì,çâ® ¥á«¨ ¨¦ïï ¦¨¤ª®áâì â殮«¥¥, 祬 ¢¥àå-ïï (�2 � �1), â® ¯®«ã祮¥ ãá«®¢¨¥ ãá⮩稢®á⨢ᥣ¤ ¢ë¯®«¥®. � ¯à®â¨¢®¬ á«ãç ¥ ¢®§¬®¦ ¯®â¥àï ãá⮩稢®áâ¨.�᫨ ãç¨âë¢ âì âਠ童 ¢ àï¤ å (17),â® R1�45:512, R2�92:116, ¥á«¨ ç¥âëॠ{ â®R1�43:844, R2�89:113. �«¥¤®¢ ⥫ì®, á ¤®áâ -â®ç®© ¤«ï ¯à ªâ¨ª¨ â®ç®áâìî ¬®¦® áç¨â âìR1 � 43:844; R2 � 89:113:
4. ���������� �������������������� ������ �� ������ ������������� {���������� áᬮâਬ ¯à¨¬¥¥¨¥ ¬¥â®¤ �ã¡®¢ { � -«¥àª¨ ª ¯®áâ஥¨î ¯à¨¡«¨¦¥®£® à¥è¥¨ïªà ¥¢®© § ¤ ç¨ á®¡áâ¢¥ë¥ § ç¥¨ï ¤«ï¨â¥£à®-¤¨ää¥à¥æ¨ «ì®£® ãà ¢¥¨ï (9). �«ïá«ãç ï ¥á¨¬¬¥âà¨çëå ª®«¥¡ ¨© à áᬠâਢ -¥¬®© ¬¥å ¨ç¥áª®© á¨áâ¥¬ë «®£¨ç® áâ âì¥ [2]¯à¥¤áâ ¢¨¬ äãªæ¨¨ Wn(y) ¢ ¢¨¤¥ ®â१ª àï¤ �ãàì¥: Wi = pXi=1Wi sin 2�i�y + 12� : (24)�â® ¯à¥¤áâ ¢«¥¨¥ 㤮¢«¥â¢®àï¥â ¢á¥¬ £à ¨çë¬ãá«®¢¨ï¬ § ¤ ç¨ (9). �®á«¥ ¥£® ¯®¤áâ ®¢ª¨ ¢ãà ¢¥¨¥ (9) ¨ ¯à¨¬¥¥¨ï ¯à®æ¥¤ãàë ¬¥â®¤ �ã¡®¢ {� «¥àª¨ § ¤ ç ®¡ ®¯à¥¤¥«¥¨¨ ç áâ®â¨ ä®à¬ á¢ï§ ëå ª®«¥¡ ¨© ¬¥¬¡à ¨ ¦¨¤ª®á⥩᢮¤¨âáï ª ®¤®à®¤®© á¨á⥬¥ «¨¥©ëå «£¥¡à -¨ç¥áª¨å ãà ¢¥¨©, ª®â®àãî ¬®¦® ¯à¥¤áâ ¢¨âì¢ á«¥¤ãî饬 ¬ âà¨ç®¬ ¢¨¤¥:(�A1 � �2B1� ~W1 + �2 ~B1 ~W2 = 0;�2 ~B2 ~W1 + (A2 � �2B2) ~W2 = 0; (25)£¤¥ ~Wi = (Wi1; Wi2; : : : ; Wip)T . �«¥¬¥âë ᨬ¬¥-âà¨çëå ¬ âà¨æ Ai; Bi; ~Bi ®¯à¥¤¥«ïîâáï ¯® ä®à-¬ã« ¬ An=
�dn (1��n�1=�n)+2�2i2� �ij
;Bn=
an�ij+ pXk=1 64ijdnuns�3s(4i2�s2)(4j2�s2)
;~Bn=
pXk=1 64ijdnbns�3s(4i2�s2)(4j2�s2)
;i; j = 1; p; s=2k � 1; �ij=�1; i=j;0; i 6=j:�¨á⥬ (25) ¯à¨ T2=1 ¨«¨ T1=1, �1=0 á®-¢¯ ¤ ¥â á á¨á⥬®© à ¡®âë [2].� á«ãç ¥, ¥á«¨ ¬¥å ¨ç¥áª ï á¨á⥬ ᮤ¥à¦¨â⮫쪮 n-î ¬¥¬¡à ã, á¨á⥬ «¨¥©ëå ãà ¢¥-¨© ¢ ¬¥â®¤¥ �ã¡®¢ {� «¥àª¨ § ¯¨áë¢ ¥âáïá«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬:�An��2B̂n(�2)� ~Wn=0;B̂n(�2)=
an�ij+ pXk=1 64ijdn�3s(4i2�s2)(4j2�s2)���uns+ �2�12b21s(1��n�1=�n)�s�u~ns�2�
: (26)52 �. �. Kooo¢, �. �. � â ४®
ISSN 1561 -9087 �ਪ« ¤ £÷¤à®¬¥å ÷ª . 2003. �®¬ 5 (77), N 3. �. 48 { 54
�¨á. 2. � ¢¨á¨¬®áâì ¯¥à¢®© ¡¥§à §¬¥à®© ᮡá⢥-®© ç áâ®âë ®â £«ã¡¨ë ¢¥à奩 ¦¨¤ª®á⨠h1:a { ¯¥à¢®£® ¡®à ,¡ { ¢â®à®£® ¡®à ,¤«ï § 票© "1: 1-"1=0.5, 2-"1=0.2, 3-"1=0�«¥¤ã¥â ®â¬¥â¨âì, çâ® «¨¥©ë¥ á¨áâ¥¬ë ¢ ¬¥-⮤¥ �ã¡®¢ {� «¥àª¨ (26), â ª¦¥ ç áâ®âë¥ãà ¢¥¨ï (19) { (21) ¤«ï â¥å á«ãç ¥¢, ª®£¤ ®âáãâ-áâ¢ã¥â ®¤ ¨§ ¬¥¬¡à , ¥«ì§ï ¯®«ãç¨âì ¨§ ®¡-饣® á«ãç ï c ¯®¬®éìî ¯à¥¤¥«ì®£® ¯¥à¥å®¤ , ¯®-᪮«ìªã ¢ ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å ®¡é¨å á®®â®è¥¨ïå(ãà ¢¥¨ï (16), (17) ¨ á¨á⥬ (25)) ãçâ¥ë £à -¨çë¥ ãá«®¢¨ï § ªà¥¯«¥¨ï ¬¥¬¡à .5. ������� ���������§¢¥áâ®, ç⮠ᮡáâ¢¥ë¥ ª®«¥¡ ¨ï ¤¢ãåá«®©-®© ¦¨¤ª®á⨠¨¬¥îâ ç áâ®âë© á¯¥ªâà, á®áâ®ï-騩 ¨§ ¤¢ãå ¡®à®¢ ç áâ®â [6]. �¥à¢ë© ¡®à á®-®â¢¥âáâ¢ã¥â ᮡáâ¢¥ë¬ ª®«¥¡ ¨ï¬ ᢮¡®¤®©, ¢â®à®© { ¢ãâ॥© ¯®¢¥àå®áâ¨. � à áᬠâà¨-¢ ¥¬®© § ¤ ç¥ ¬®¦® â ª¦¥ ¢ë¤¥«¨âì ¤¢ ¡®à ᮡá⢥ëå ç áâ®â, ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å ª®«¥¡ ¨-ï¬ ¬¥¬¡à ᢮¡®¤®© ¨ ¢ãâ॥© ¯®¢¥àå®-áâïå ¦¨¤ª®áâ¨.�ãáâì ¢ ®¤®à®¤®© ¦¨¤ª®á⨠á ã¯à㣮© ¬¥¬-¡à ®© ᢮¡®¤®© ¯®¢¥àå®á⨠¯à®¨§®è« ¤¢ãå-á«®© ï áâà â¨ä¨ª æ¨ï á á®åà ¥¨¥¬ ¬ ááë ¦¨¤-ª®áâ¨: �1=�(1�"1); �2=�(1+"2);"2=h1"1=h2; h2=h�h1:�¤¥áì � { ¯«®â®áâì ®¤®à®¤®© ¦¨¤ª®áâ¨; h {£«ã¡¨ § ¯®«¥¨ï.�«ï ®æ¥ª¨ ¢«¨ï¨ï áâà â¨ä¨ª 樨 ç áâ®â-ë© á¯¥ªâà ¡ë«¨ ¯à®¢¥¤¥ë ç¨á«¥ë¥ ¨áá«¥¤®-¢ ¨ï ¯à¨ h = 1:0, a1 = 0:1. �᫨ "1<0:1 ¨d1 = 10, â® á â®ç®áâìî ¤® ®¡®§ 票© à ¡®âë [2]¯¥à¢ë© ¡®à ç áâ®â ¡«¨§®ª ª ç áâ®â ¬ ª®«¥¡ -¨© ®¤®à®¤®© ¦¨¤ª®á⨠¨ ¯à¨ "1=0 ᮢ¯ ¤ ¥â ᨬ. �§ § ¢¨á¨¬®á⨠¯¥à¢®© ¡¥§à §¬¥à®© ᮡ-á⢥®© ç áâ®âë ¯¥à¢®£® (à¨á. 2,a) ¨ ¢â®à®£®
�¨á. 3. � ¢¨á¨¬®áâì ¡¥§à §¬¥àëå ᮡá⢥ëåç áâ®â ®â â殮¨ï ¬¥¬¡à ë T1(à¨á. 2,¡) ¡®à®¢ ®â £«ã¡¨ë § ¯®«¥¨ï ¢¥àå-¥© ¦¨¤ª®á⨠h1 ¯à¨ h2 = 0:001 ¢¨¤® çâ® á 㢥-«¨ç¥¨¥¬ £«ã¡¨ë § ¯®«¥¨ï ¢¥à奩 ¦¨¤ª®áâ¨á®¡áâ¢¥ë¥ ç áâ®âë ¬¥å ¨ç¥áª®© á¨áâ¥¬ë ¢®§-à áâ îâ, ¯à¨ h1 > 0:5 ¯à ªâ¨ç¥áª¨ áâ ®¢ïâáﯮáâ®ï묨.� à¨á. 3,a ªà¨¢ë¥ 1,3 { £à 䨪¨ ¯¥à¢®© ᮡ-á⢥®© ç áâ®âë ª®«¥¡ ¨© § ªà¥¯«¥®© ¯® ª®-âãàã ¬¥¬¡à ë ᮮ⢥âá⢥® ¢ ¢ ªã㬥 ¨ ᢮-¡®¤®© ¯®¢¥àå®á⨠®¤®à®¤®© ¦¨¤ª®áâ¨. �᫨¦¨¤ª®áâì à §¤¥«¨« áì ¤¢ á«®ï á® § 票ï-¬¨ ¯ à ¬¥â஢ h1=0:2, "1=0:5, â® ¯¥à¢ ï ç áâ®-â ᮡá⢥ëå ª®«¥¡ ¨© á¨á⥬ë 㢥«¨ç¨¢ ¥âáï(ªà¨¢ ï 2) ¨, ªà®¬¥ ⮣®, ¯®ï¢«ï¥âáï ¢â®à®© -¡®à ç áâ®â (ªà¨¢ë¥ 4). � í⨠ç áâ®âë â殮-¨¥ ¬¥¬¡à ¢«¨ï¥â ¥áãé¥á⢥®, ª ª íâ® ¢¨¤-® ¨§ à¨á. 3,¡, £¤¥ ªà¨¢ë¥ 1,2 { £à 䨪¨ ¯¥à¢®©á®¡á⢥®© ç áâ®âë ¨§ ¢â®à®£® ¡®à ᮮ⢥â-á⢥® ¯à¨ «¨ç¨¨ ¨ ®âáãâá⢨¨ ¬¥¬¡à ë ᢮¡®¤®© ¯®¢¥àå®áâ¨.�§ ¯à¨¢¥¤¥®© ¢ â ¡«. 1 á室¨¬®á⨠¯¥à¢ëåç¥âëà¥å ᮡá⢥ëå § 票© ãà ¢¥¨ï (18) ¢§ ¢¨á¨¬®á⨠®â ç¨á« ç«¥®¢ p ¢ àï¤ å (18) ¯à¨"1=0:1, h1=0:1, h2=0:9. �§ â ¡«. 1 á«¥¤ã¥â, ç⮯ਠp = 2 ®è¨¡ª ¤«ï ¯¥à¢®£® ᮡá⢥®£® § -票ï �1pa1 á®áâ ¢«ï¥â 0:3%. �ਠp = 4 ¢ § ç¥-¨ïå �ipa1, i = 1; 4 ¯®«ã祮 ¤® ç¥âëà¥å ¢¥àëå§ ç é¨å æ¨äà, ¯à¨ p = 6 { ¤® ¯ï⨠¢¥àëå § ç -é¨å æ¨äà, ¯à¨ p = 14 ¨å ç¨á«® ¢®§à á⠥⠤® 6.�ਠà áç¥â å ãç¨âë¢ «®áì ãá«®¢¨¥ (7). � â ¡«. 2¯à¨¢¥¤¥ë «®£¨çë¥ ¤ ë¥, ¯®«ãç¥ë¥ á ¯®-¬®éìî ãà ¢¥¨ï (17). �¤¥áì ¯à¨ p = 4 ®è¨¡ª ¤«ï �ipa1 á®áâ ¢«ï¥â 9� 12%, ¯à¨ p = 6 { 6:::7%,¯à¨ p = 8 { 4:::5%, ¯à¨ p = 10 { 3:::4%.� áâ®âë, ¯®«ãç¥ë¥ á ¯®¬®éìî ¬¥â®¤ �ã¡®-¢ {� «¥àª¨ , ¢¥á¥ë ¢ â ¡«. 3, ¨§ ª®â®à®© ¢¨¤-®, çâ® ¤ ë© ¬¥â®¤ ¯®§¢®«ï¥â ¯®«ãç¨âì ¢ ¯¥à-¢®¬ ¯à¨¡«¨¦¥¨¨ �1pa1 á ®è¨¡ª®© 6:62%. �¥è¥-�. �. Kooo¢, �. �. � â ४® 53
ISSN 1561 -9087 �ਪ« ¤ £÷¤à®¬¥å ÷ª . 2003. �®¬ 5 (77), N 3. �. 48 { 54� ¡«. 1. � áâ®âë ¯¥à¢®£® ¡®à , ¢ëç¨á«¥ë¥ ᯮ¬®éìî ãà ¢¥¨ï (18)p �1pa1 �2pa1 �3pa1 �4pa12 1.369718 4.216998 { {4 1.366277 4.006543 7.423590 11.8739956 1.366069 4.000544 7.372909 11.2510368 1.366033 3.999562 7.366208 11.22223410 1.366023 3.999295 7.364474 11.21559812 1.366019 3.999199 7.363864 11.21335714 1.366017 3.999158 7.363605 11.212424� ¡«. 2. � áâ®âë ¯¥à¢®£® ¡®à , ¢ëç¨á«¥ë¥ ᯮ¬®éìî ãà ¢¥¨ï (19)p �1pa1 �2pa1 �3pa1 �4pa12 1.665737 { { {4 1.490161 4.421652 8.261339 {6 1.444142 4.253551 7.860605 12.0248678 1.422971 4.181336 7.711366 11.76042910 1.410816 4.141044 7.631407 11.62831812 1.402931 4.115332 7.581377 11.54789814 1.397405 4.097501 7.547089 11.493591� ¡«. 3. � áâ®âë ¯¥à¢®£® ¡®à , ¢ëç¨á«¥ë¥ ᯮ¬®éìî ¬¥â®¤ �ã¡®¢ { � «¥àª¨ p �1pa1 �2pa1 �3pa1 �4pa11 1.456441 { { {2 1.374633 4.455916 { {4 1.367345 4.034112 7.487536 12.7899806 1.366637 4.021700 7.398510 11.2940588 1.366462 4.019134 7.384928 11.24289710 1.366399 4.018277 7.380821 11.229668¨¥, ¯®áâ஥®¥ ¯® è¥á⨠ª®®à¤¨ âë¬ äãª-æ¨ï¬, ¤ ¥â ¯®£à¥è®áâì ¬¥¥¥ 1%, ¯® ¢®á쬨 ª®-®à¤¨ âë¬ äãªæ¨ï¬ { ¬¥¥¥ 0:3%, à¥è¥¨¥,¯®áâ஥®¥ ¯® ¤¥áï⨠ª®®à¤¨ âë¬ äãªæ¨ï¬¤ ¥â 2� 4 ¢¥àëå § ç é¨å æ¨äà ¤«ï ¯¥à¢ëå ç¥-âëà¥å ᮡá⢥ëå § 票©.�¨á«¥ë¥ ¨áá«¥¤®¢ ¨ï ç áâ®âëå ãà ¢¥¨©(16), (17) ¯®ª § «¨, çâ® ¤«ï ¯®«ãç¥¨ï ª ç¥á⢥-®© ª àâ¨ë 㤮¡® ¨á¯®«ì§®¢ âì á®®â®è¥¨ï(17) ¯à¨ p � 4. �«ï ãâ®ç¥¨ï ç áâ®â 楫¥á®-®¡à §® ¯à¨¬¥ïâì ä®à¬ã«ë (16) ¨«¨ ¬¥â®¤ �ã¡-®¢ {� «¥àª¨ á ¡®«¥¥, 祬 ç¥âëàì¬ï ª®®à¤¨- â묨 äãªæ¨ï¬¨. � «®£¨ç®¬ã ¢ë¢®¤ã¯à¨å®¤¨¬ ¯à¨ à áç¥â å ¯® ä®à¬ã« ¬ (19) ¨ (21).�����������뢥¤¥® ç áâ®â®¥ ãà ¢¥¨¥ ᮡá⢥ëå ª®-«¥¡ ¨© ¤¢ãåá«®©®© ¦¨¤ª®á⨠¢ ¯àאַ㣮«ì®¬
ª «¥ á ã¯à㣨¬¨ ¬¥¬¡à ¬¨ ᢮¡®¤®© ¨¢ãâ॥© ¯®¢¥àå®áâïå. �®ª § ®, çâ® ¯à¨¡®«ì让 £«ã¡¨¥ § ¯®«¥¨ï ¢¥à奩 ¦¨¤ª®áâ¨íâ® ãà ¢¥¨¥ à ᯠ¤ ¥âáï ¤¢ ¥§ ¢¨á¨¬ëåãà ¢¥¨ï.� áᬮâà¥ë á«ãç ¨, ª®£¤ ¬¥¬¡à ¬®¦¥â -室¨âìáï ⮫쪮 ᢮¡®¤®© ¨«¨ ¢ãâ॥© ¯®-¢¥àå®á⨠¤¢ãåá«®©®© ¦¨¤ª®áâ¨. �®«ã祮 ãá«®-¢¨¥ ãá⮩稢®á⨠ᮢ¬¥áâëå ª®«¥¡ ¨© ¦¨¤ª®-á⥩ ¨ ã¯àã£¨å ¬¥¬¡à . �â® ãá«®¢¨¥ ®¯à¥¤¥«ï-¥âáï à §®áâìî ¯«®â®á⥩, â殮¨¥¬ ¢ãâà¥-¥© ¬¥¬¡à ë ¨ è¨à¨®© ª « .�®ª § ®, çâ® ç áâ®âë© á¯¥ªâà á®á⮨⠨§¤¢ãå ¡®à®¢ ᮡá⢥ëå ç áâ®â, ᮮ⢥âáâ¢ã-îé¨å ª®«¥¡ ¨ï¬ ¬¥¬¡à ᢮¡®¤®© ¨ ¢ã-â॥© ¯®¢¥àå®áâïå. � 㢥«¨ç¥¨¥¬ â殮¨ï¬¥¬¡à ë, 室ï饩áï ᢮¡®¤®© ¯®¢¥àå®-á⨠¦¨¤ª®áâ¨, áãé¥á⢥® 㢥«¨ç¨¢ îâáï ç áâ®-âë ª®«¥¡ ¨© ¯¥à¢®£® ¡®à ¨ ¥§ ç¨â¥«ì® ç -áâ®âë ª®«¥¡ ¨© ¢â®à®£® ¡®à (á¬. à¨á. 3). � -«®£¨ç ï ª à⨠¡«î¤ ¥âáï ¨ ¤«ï ¬¥¬¡à ë, 室ï饩áï ¢ãâ॥© ¯®¢¥àå®áâ¨. �¢¥«¨-票¥ â殮¨ï ¬¥¬¡à ¨ 㬥ì襨¥ ¨å ¬ ááë¯à¨¢®¤ïâ ª 㢥«¨ç¥¨î ᮡá⢥ëå ç áâ®â, ç⮠室¨âáï ¢ ᮮ⢥âá⢨¨ á ⥮६®© �í«¥ï.�à ¢¨¢ ï § âà âë ¬ 訮£® ¢à¥¬¥¨ à¥- «¨§ æ¨î à áᬮâà¥ëå à áç¥âëå á奬 ¯à¨ ¨á-¯®«ì§®¢ ¨¨ ¯ ª¥â Maple, ¯à¨å®¤¨¬ ª ¢ë¢®¤ã, «®£¨ç®¬ã à ¡®â¥ [2] { ¡®«¥¥ ¯à¥¤¯®çâ¨â¥«ì-ë¬ «£®à¨â¬®¬ ï¥âáï «£®à¨â¬, ®á®¢ ë© «¨â¨ç¥áª®¬ à¥è¥¨¨ § ¤ ç¨.1. �®ªãç ¥¢ �. � �¥«¨¥© ï ¤¨ ¬¨ª «¥â ⥫ìëå ¯¯ à ⮢ á ¤¥ä®à¬¨à㥬묨 í«¥¬¥â ¬¨.{ �.:� 訮áâ஥¨¥, 1987.{ 232 á.2. �à®æ¥ª® �. �. �¢®¡®¤ë¥ ª®«¥¡ ¨¨ ¦¨¤ª®á⨢ ¯àאַ㣮«ì®¬ ª «¥ á ã¯à㣮© ¬¥¬¡à ®© ᢮¡®¤®© ¯®¢¥àå®á⨠// �ਪ« ¤ ï ¬¥å ¨ª .{1995.{ 31, N 8.{ �. 74{80.3. � ¬®¤ ¥¢ �. �. �«¨ï¨¥ ¯¥à¥£à㧪¨ ç áâ®âë ª®-«¥¡ ¨© ¦¨¤ª®á⨠¢ ¦¥á⪮¬ 樫¨¤à¨ç¥áª®¬ ¡ ª¥á ¬¥¬¡à ®© ᢮¡®¤®© ¯®¢¥àå®á⨠// �¨ ¬¨-ª ã¯àã£¨å ¨ ⢥à¤ëå ⥫, ¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢ãîé¨å ᦨ¤ª®áâìî.{ �®¬áª: ���, 1972.{ �. 180{186.4. �®®®¢ �. �., �¥¢ç¥ª® �. �. �¢®¡®¤ë¥ ª®«¥¡ -¨¨ ¤¢ãåá«®©®© ¦¨¤ª®á⨠á ã¯à㣨¬¨ ¨¥à樮ë-¬¨ ¬¥¬¡à ¬¨ ᢮¡®¤®© ¨ ¢ãâ॥© ¯®¢¥àå-®áâïå // �¥®à¥â¨ç¥áª ï ¨ ¯à¨ª« ¤ ï ¬¥å ¨ª .{2001.{ N 32.{ �. 158{163.5. �®®®¢ �. �., �¥¢ç¥ª® �. �. �¢®¡®¤ë¥ ª®«¥¡ -¨¨ ¬®£®á«®©®© áâà â¨ä¨æ¨à®¢ ®© ¦¨¤ª®áâ¨,à §¤¥«¥®© ã¯à㣨¬¨ ¬¥¬¡à ¬¨ // �¥®à¥â¨ç¥-áª ï ¨ ¯à¨ª« ¤ ï ¬¥å ¨ª .{ 1999.{ N 29.{ �. 151{163.6. � ¬¡ �. �̈ ¤à®¤¨ ¬¨ª .{ �.: �®áâ¥å¨§¤ â, 1947.{827 á.54 �. �. Kooo¢, �. �. � â ४®
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-4881 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1561-9087 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-11-27T19:28:48Z |
| publishDate | 2003 |
| publisher | Інститут гідромеханіки НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Кононов, Ю.Н. Татаренко, Е.А. 2009-12-28T14:14:37Z 2009-12-28T14:14:37Z 2003 Свободные колебания двухслойной жидкости с упругими мембранами на свободной и внутренней поверхностях / Ю.Н. Koнoнoв, Е.А. Татаренко // Прикладна гідромеханіка. — 2003. — Т. 5, № 3. — С. 48-54. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. 1561-9087 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/4881 533.6.013.42 Построено аналитическое решение плоской задачи гидроупругости, описывающей взаимосвязанные свободные колебания двухслойной идеальной несжимаемой жидкости в прямоугольном канале и плоских мембран, расположенных на свободной и внутренней поверхностях жидкости. Получено условие устойчивости связанных колебаний жидкостей и мембран. Рассмотрены случаи, когда мембрана находится только на свободной или внутренней поверхности двухслойной жидкости. Проведены численные исследования собственных частот. На основе метода Бубнова - Галеркина построено приближенное решение рассматриваемой задачи. В результате сравнения обоих подходов отмечается эффективность аналитического решения задачи. Побудовано аналiтичний розв'язок плоскої задачi гiдропружностi, яка описує взаємозв'язанi вiльнi коливання двошарової iдеальної нестисної рiдини в прямокутному каналi та плоских мембран, якi розташованi на вiльнiй та внутрiшнiй поверхнях рiдини. Одержана умова стiйкостi пов'язаних коливань рiдин та мембран. Розглянуто випадки, коли мембрана знаходиться тiльки на вiльнiй або внутрiшнiй поверхнi рiдини. Проведенi чисельнi дослiдження власних частот. На основi метода Бубнова-Гальоркiна побудовано наближене рiшення задачi, що розглядається. В результатi порiвняння обох пiдходiв вiдзначається ефективiсть аналiтичного розв'язку задачi. Тhe analytical solution for two-dimensional problem of hydroelasticity, describing the interconnected free oscillations of two-layer perfect incompressible liquid in the rectangular channel and planar membranes, located on free and interior surfaces of liquid is constructed. Stability condition for interconnected oscillations of liquid and membranes is obtained. The cases of membranes location only on free and interior surfaces of liquid are considered. Numerical research of eigenvalues is carried out. On the basis of Bubnov-Galerkin method the approximate solution of considered problem is obtained. Comparison of two approaches shows the effectiveness of analytical solution for the given problem. ru Інститут гідромеханіки НАН України Свободные колебания двухслойной жидкости с упругими мембранами на свободной и внутренней поверхностях Free oscillations of two-layer liquid with еlastic membranes on free and interior surfaces Article published earlier |
| spellingShingle | Свободные колебания двухслойной жидкости с упругими мембранами на свободной и внутренней поверхностях Кононов, Ю.Н. Татаренко, Е.А. |
| title | Свободные колебания двухслойной жидкости с упругими мембранами на свободной и внутренней поверхностях |
| title_alt | Free oscillations of two-layer liquid with еlastic membranes on free and interior surfaces |
| title_full | Свободные колебания двухслойной жидкости с упругими мембранами на свободной и внутренней поверхностях |
| title_fullStr | Свободные колебания двухслойной жидкости с упругими мембранами на свободной и внутренней поверхностях |
| title_full_unstemmed | Свободные колебания двухслойной жидкости с упругими мембранами на свободной и внутренней поверхностях |
| title_short | Свободные колебания двухслойной жидкости с упругими мембранами на свободной и внутренней поверхностях |
| title_sort | свободные колебания двухслойной жидкости с упругими мембранами на свободной и внутренней поверхностях |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/4881 |
| work_keys_str_mv | AT kononovûn svobodnyekolebaniâdvuhsloinoižidkostisuprugimimembranaminasvobodnoiivnutrenneipoverhnostâh AT tatarenkoea svobodnyekolebaniâdvuhsloinoižidkostisuprugimimembranaminasvobodnoiivnutrenneipoverhnostâh AT kononovûn freeoscillationsoftwolayerliquidwithelasticmembranesonfreeandinteriorsurfaces AT tatarenkoea freeoscillationsoftwolayerliquidwithelasticmembranesonfreeandinteriorsurfaces |