Зображення обкладинки

Усереднення багатоточкової крайової задачі з лінійно перетвореним аргументом

У роботі досліджено існування розв’язку та обґрунтовано метод усереднення для системи диференціальних рівнянь із повільними і швидкими змінними та лінійно перетвореним аргументом. Для розв’язку системи нелінійних рівнянь задано багатоточкові крайові умови. In this paper we researched the existence o...

Повний опис

Збережено в:
Бібліографічні деталі
Опубліковано в: :Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки
Дата:2012
Автор: Бігун, Я.Й.
Формат: Стаття
Мова:Українська
Опубліковано: Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2012
Онлайн доступ:https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/48820
Теги: Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:Усереднення багатоточкової крайової задачі з лінійно перетвореним аргументом / Я.Й. Бігун // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2012. — Вип. 6. — С. 50-55. — Бібліогр.: 8 назв. — укр.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
_version_ 1860149539410804736
author Бігун, Я.Й.
author_facet Бігун, Я.Й.
citation_txt Усереднення багатоточкової крайової задачі з лінійно перетвореним аргументом / Я.Й. Бігун // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2012. — Вип. 6. — С. 50-55. — Бібліогр.: 8 назв. — укр.
collection DSpace DC
container_title Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки
description У роботі досліджено існування розв’язку та обґрунтовано метод усереднення для системи диференціальних рівнянь із повільними і швидкими змінними та лінійно перетвореним аргументом. Для розв’язку системи нелінійних рівнянь задано багатоточкові крайові умови. In this paper we researched the existence of solution and give justifiction of averaging method for systems of differential equations with slow and fast variables and with linearly transformed argument. The solution of systems of nonlinear equations satisfies the multipoint boundary conditions.
first_indexed 2025-12-07T17:51:17Z
format Article
fulltext Математичне та комп’ютерне моделювання 50 УДК 517.929 Я. Й. Бігун, д-р фіз.-мат. наук Чернівецький національний університет імені Юрія Федьковича, м. Чернівці УСЕРЕДНЕННЯ БАГАТОТОЧКОВОЇ КРАЙОВОЇ ЗАДАЧІ З ЛІНІЙНО ПЕРЕТВОРЕНИМ АРГУМЕНТОМ У роботі досліджено існування розв’язку та обґрунтовано метод усереднення для системи диференціальних рівнянь із повільними і швидкими змінними та лінійно перетвореним ар- гументом. Для розв’язку системи нелінійних рівнянь задано багатоточкові крайові умови. Ключові слова: метод усереднення, малий параметр, крайова задача, лінійно перетворений аргумент, повільні і швидкі змінні. Вступ. Різноманітні прикладні задачі, зокрема задачі оптимального керування, приводять до розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь. Спростити їх розв’язування можна, побудува- вши відповідну простішу усереднену задачу. У працях [1; 2] для двоточ- кових крайових задач з повільними і швидкими змінними без запізнення запропоновано схему усереднення уздовж розв’язку породжуючої задачі та дано її обґрунтування. Аналогічна задача для двоточкової задачі із запізненням аргументу розглянута в [3]. Для багаточастотних систем із лінійно перетвореним аргументом обґрунтування методу усереднення за швидкими змінними дано в працях [4; 5] та ін. У даній роботі досліджу- ється багатоточкова крайова задача з довільною скінченною кількістю лінійно перетворених аргументів, які характеризують запізнення в сис- темі рівнянь. Відзначимо, що система рівнянь, яка досліджується, зале- жить від «швидкого» t і «повільного» t  часу,  — малий додат- ний параметр. Для початкової задачі без запізнення з повільним і швид- ким часом результати асимптотичного інтегрування наведено в моног- рафії [6], для крайових задач у працях [1—3] та ін. 1. Постановка задачі та схема усереднення. Розглянемо сис- тему диференціальних рівнянь вигляду ( , , , , ), dx X t x dt      (1) ( , , , ) ( , , , , ) d t x Y t x dt           (2) з крайовими умовами © Я. Й. Бігун, 2012 Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 6 51 1 1 0 ( )( , ) : , r t t l x A x d          (3) 2 2 0 1 0 ( )( , ) : , 0 ... , r rt t l B d t t t T                 (4) де 0 t T  , 1x D  Rn, 2D  Rm, 00 1    , 10 ... l     1 , ( , ) ( , )x t x t     , ( , ) ( , )t t       , 1 ( ,..., ) l x x x   й анало- гічне позначення для  , iA і iB — задані матриці порядку n і m відпо- відно, 1d і 2d — задані n - і m -вектори. Змінні ix називаються повіль- ними, а i — швидкими [7]. Розглянемо породжуючу крайову задачу для змінних ( , , , ), d t x dt     2 2( )( , )l d   , (5) де  і x вважаються параметрами. Нехай існує розв’язок ( , , )t x   задачі (5). Усереднимо вектор-функцію X по t уздовж розв’язку ( , , )t x  , де  , x — параметри. Одержимо усереднену задачу для повільних змінних 0 ( , ) dx X x dt    , 1 1( )( , ) ,l x d  (6) де  0 0 1 ( , ) , , , ( , , ),0 , T X x X t x t x dt T         1( , , ) ( , , ),..., ( , , ) .lt x t x t x         Зауважимо, що хоч система рівнянь (6) є системою із запізненням, але її розв’язування значно простіше, порівняно з (1)—(4), оскільки рівняння для вектора повільних змінних x не залежить від швидких змінних, а в задачі (5)  і x — параметри. 2. Умови й основний результат. Введемо такі позначення: 1 1 2 0[0, ] [0, ] [0, ]l lG T T D D      , 2 1 2[0, ] [0, ]G T T D D    , 3 0[0, ] [0, ]G T   ,  : , , ( , )M t x t  ,  : , , ( , ), ( , )M t x t t     . Розглянемо відповідну рівнянням (6) і (5) систему рівнянь у ва- ріаціях: 1 ( , ) , rd C t dt           (7) ( , ) , d D t dt    (8) Математичне та комп’ютерне моделювання 52 де 0( , ) ( ) i i X C t M x     , 1,...,i l ; ( , ) ( )D t M      . Припустимо, що виконуються наступні умови: 1. Існує розв’язок ( , , )t x   крайової задачі (5), де  і x — па- раметри, і за цими параметрами функція  неперервно диференційовна. 2. Існує розв’язок ( , )x x t  усередненої задачі (6). 3. Нехай ( , , )U t s  і ( , , )V t s  — матриці Коші систем рівнянь (7) і (8) відповідно, 1 1( ) ( )( ,0, )l U    , 2 2( ) ( )( ,0, )l V    . Припусти- мо, що для всіх 0[0, ]  | det ( ) | 0, 1, 2. j i j     4. Введемо функцію   0 0 , , , ( , , ),0 ( , ) t w X s x s x X x ds         , де  і x — параметри. Вважатимемо, що функція ( , )w w x і не залежить від x . Зауважимо, що розв’язок системи рівнянь (7) можна записати у вигляді [8] ( , ) ( ,0, ) (0, )t U t     . Із виконання нерівності випливає, що системи рівнянь (7) і (8) з однорідними крайовими умовами мають тільки тривіальний розв’язок. Сформулюємо основну теорему. Теорема. Нехай вектор-функції X , Y і  визначені та непере- рвно диференційовні за всіма аргументами у відповідних областях визначення та виконуються умови 1—4. Тоді для досить малого * 0[0, ]  крайова задача (1)—(4) має єдиний розв’язок  * *( , ), ( , ) x t t   , який неперервний за  і рівно- мірно по [0, ]t T виконується рівність  * * 0 lim ( , ) ( , ) ( , ) ( , , ( , )) 0 x t x t t t t x t              . (9) Розглянемо допоміжну систему рівнянь 1 ( , ) ( , , , ) i r i i du F t u b t u v dt        , (10) ( , ) ( , ) ( , , , ) dv G t u H t v d t u v dt       з крайовими умовами Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 6 53 1( )( , ) 0l u   , 2( )( , ) 0l v   , (11) де u і v — n- і m-вектори, iF , H і G — неперервні в 3G матриці. Нехай ( , )p colon u v  , ( , )f colon b d . Застосувавши методи- ку доведення аналогічного твердження в [1; 3] нескладно довести наступну лему. Лема. Нехай: 1) вектор-функція ( , , )f t p  неперервна при [0, ]t T , 0p  , 0[0, ]  ; 2) існують неспадні за кожним з аргументів функції ( )  і ( , )   , і такі, що (0) (0,0) 0   , ( ,0, ) ( )f t    , 1 2 1 2( , , ) ( , , ) ( , )f t p f t p p p       для всіх 0[0, ]  і 1 0p  , 2 0p  ; 3) матриці Коші ( , , )U t s  і ( , , )V t s  систем рівнянь 1 ( , ) rdu F t u dt         , ( , ) dv H t v dt  відповідно, задовольняють умови 3 і 4, в яких замість матриць U і V потрібно записати U і V . Тоді можна вказати додатні числа * 0(0, ]  і * 0[0, ]  , такі, що для кожного *(0, ]  існує єдиний розв’язок  * *( , ), ( , ) u t v t  крайової задачі (10), (11), неперервний за  і * * * 0( , ) ( , )u t v t    , ( , ) [0, ] (0, ]t T    . 2. Доведення теореми Зробимо в системі (1), (2) заміну ( , , )x w t     , ( , , )t      , (12) де  — розв’язок усередненої крайової задачі (5). Із вигляду функцій w і 0X випливає, що (0, , ) ( , , ) 0w w T     . Із першої з рівностей (12), рівнянь (1), (6) і враховуючи вираз функції w одержимо 2 0 ( , , ) ( , ) ( , , , , ) ( , , , , ) , w dξ I dt w t t X t X t t x X t t                                   де I — одинична матриця. Математичне та комп’ютерне моделювання 54 Для 1(0, ]  , 1 0  , матриця w I      невироджена. Тому 1 ( , , ) w I I W t              , де W — деяка матриця. Отже, для  маємо рівняння 0 1( , ) ( , , , ) d X t X t dt            , (13) де  1 0( , , ) ( , ) ( , , ) 1 ( , , ) ( , , , , ) ( , , , ,0) . X W t X t I W t w t t X t t w X t t                                             Із рівнянь (2) і (13) знаходимо:     0 1 1 ( , , ) ( , , , ) ( , , ) ( , ) ( , ) ( , , ) , , , , ( , , , ). d t t t t w t t X t dt t t t Y t t w X t                                                          Із крайових умов (3) і співвідношень (12) випливає, що 1 1( )( , )l d   , 2( )( , ) 0.l    Зробимо ще одну заміну: ( , )x t z   . У підсумку одержимо крайову задачу 2 1 2 1 2 ( , ) ( , , , ), ( , ) ( , , , ), ( )( , ) 0, ( )( , ) 0, l i i i dz C t z X t z dt d D t Z Y t z dt l z l                          (14) де матриці iC та D визначені як і в системі (7), (8). Одержана система має вигляд (10). Умови на систему рівнянь (1), (2) дозволяють зробити висновок, що виконані умови леми, тому для досить малого * 1  існує єдиний розв’язок *( , )z t  , *( , )t  задачі (14), неперервний по  при *0    , * *( ,0) ( ,0) 0z t t  . На підставі рівностей (12) і (14) одержимо рівність (9). Список використаних джерел: 1. Balachandra M. An Averaging Theorem for Two-Point Boundary Value Prob- lems with Applications to Optimal Control / M. Balachandra // Journal of Math. Anal. and Appl. — 1976. — V. 55, № 1. — P. 46–60. Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 6 55 2. Balachandra M. A generalization of the method averaging for systems with two time scales / M. Balachandra, P. R. Sethna // Arch. Rational. Mech. Anal. — 1975. — № 58. — P. 261–283. 3. Регулярно i сингулярно збуренi диференцiально-функцiональнi рівняння / В. I. Фодчук, Я. Й. Бiгун, I. I. Клевчук та ін. — К. : Iн-т математики НАН України, 1996. — 209 с. 4. Бігун Я. Й. Про усереднення в багаточастотних системах із змінним запі- зненням / Я. Й. Бігун // Наук. вісник Чернівецького університету : зб. наук. пр. — Чернівці : Рута, 2008. — Вип. 374. — С. 30–34. 5. Бiгун Я. Й. Існування розв'язку та усереднення багатоточкових крайових задач для багаточастотних систем із лiнiйно перетвореним аргументом / Я. Й. Бігун // Нелінійні коливання. — 2008. — Т. 11, № 4. — С. 462–471. 6. Митропольский Ю. А. Проблеми асимптотической теории нестационарных колебаний / Ю. А. Митропольский. — М. : Наука, 1964. — 431 с. 7. Гребеников Е. А. Новые качественные методы в небесной механике / Е. А. Гребеников, Ю. А. Рябов — М. : Наука, 1971. — 444 с. 8. Тышкевич В. А. Некоторые вопросы теории устойчивости функциональ- но-дифференциальных уравнений / В. А. Тышкевич. — К. : Наук. думка, 1981. — 80 с. In this paper we researched the existence of solution and give justifiction of averaging method for systems of differential equations with slow and fast variables and with linearly transformed argument. The solution of systems of nonlinear equations satisfies the multipoint boundary conditions. Key words: averaging method, small parameter, boundary-value problem, linearly transformed argument, slow and fast variables. Отримано: 27.03.2012 << /ASCII85EncodePages false /AllowTransparency false /AutoPositionEPSFiles true /AutoRotatePages /All /Binding /Left /CalGrayProfile (Gray Gamma 2.2) /CalRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1) /CalCMYKProfile (Coated FOGRA27 \050ISO 12647-2:2004\051) /sRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1) /CannotEmbedFontPolicy /Warning /CompatibilityLevel 1.3 /CompressObjects /Tags /CompressPages true /ConvertImagesToIndexed true /PassThroughJPEGImages true /CreateJobTicket false /DefaultRenderingIntent /Default /DetectBlends true /DetectCurves 0.1000 /ColorConversionStrategy /sRGB /DoThumbnails false /EmbedAllFonts true /EmbedOpenType false /ParseICCProfilesInComments true /EmbedJobOptions true /DSCReportingLevel 0 /EmitDSCWarnings false /EndPage -1 /ImageMemory 1048576 /LockDistillerParams false /MaxSubsetPct 100 /Optimize true /OPM 1 /ParseDSCComments true /ParseDSCCommentsForDocInfo true /PreserveCopyPage true /PreserveDICMYKValues true /PreserveEPSInfo false /PreserveFlatness false /PreserveHalftoneInfo false /PreserveOPIComments false /PreserveOverprintSettings true /StartPage 1 /SubsetFonts true /TransferFunctionInfo /Apply /UCRandBGInfo /Remove /UsePrologue false /ColorSettingsFile () /AlwaysEmbed [ true ] /NeverEmbed [ true /Arial-Black /Arial-BlackItalic /Arial-BoldItalicMT /Arial-BoldMT /Arial-ItalicMT /ArialMT /ArialNarrow /ArialNarrow-Bold /ArialNarrow-BoldItalic /ArialNarrow-Italic /ArialUnicodeMS /CenturyGothic /CenturyGothic-Bold /CenturyGothic-BoldItalic /CenturyGothic-Italic /CourierNewPS-BoldItalicMT /CourierNewPS-BoldMT /CourierNewPS-ItalicMT /CourierNewPSMT /Georgia /Georgia-Bold /Georgia-BoldItalic /Georgia-Italic /Impact /LucidaConsole /Tahoma /Tahoma-Bold /TimesNewRomanMT-ExtraBold /TimesNewRomanPS-BoldItalicMT /TimesNewRomanPS-BoldMT /TimesNewRomanPS-ItalicMT /TimesNewRomanPSMT /Trebuchet-BoldItalic /TrebuchetMS /TrebuchetMS-Bold /TrebuchetMS-Italic /Verdana /Verdana-Bold /Verdana-BoldItalic /Verdana-Italic ] /AntiAliasColorImages false /CropColorImages false /ColorImageMinResolution 150 /ColorImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleColorImages true /ColorImageDownsampleType /Bicubic /ColorImageResolution 150 /ColorImageDepth -1 /ColorImageMinDownsampleDepth 1 /ColorImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeColorImages true /ColorImageFilter /DCTEncode /AutoFilterColorImages true /ColorImageAutoFilterStrategy /JPEG /ColorACSImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /ColorImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /JPEG2000ColorACSImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /JPEG2000ColorImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /AntiAliasGrayImages false /CropGrayImages false /GrayImageMinResolution 150 /GrayImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleGrayImages true /GrayImageDownsampleType /Bicubic /GrayImageResolution 150 /GrayImageDepth -1 /GrayImageMinDownsampleDepth 2 /GrayImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeGrayImages true /GrayImageFilter /DCTEncode /AutoFilterGrayImages true /GrayImageAutoFilterStrategy /JPEG /GrayACSImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /GrayImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /JPEG2000GrayACSImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /JPEG2000GrayImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /AntiAliasMonoImages false /CropMonoImages false /MonoImageMinResolution 1200 /MonoImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleMonoImages true /MonoImageDownsampleType /Bicubic /MonoImageResolution 1200 /MonoImageDepth -1 /MonoImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeMonoImages true /MonoImageFilter /CCITTFaxEncode /MonoImageDict << /K -1 >> /AllowPSXObjects true /CheckCompliance [ /PDFX1a:2001 ] /PDFX1aCheck false /PDFX3Check false /PDFXCompliantPDFOnly false /PDFXNoTrimBoxError true /PDFXTrimBoxToMediaBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXSetBleedBoxToMediaBox true /PDFXBleedBoxToTrimBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXOutputIntentProfile (None) /PDFXOutputConditionIdentifier () /PDFXOutputCondition () /PDFXRegistryName () /PDFXTrapped /False /CreateJDFFile false /Description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> /CHS <FEFF4f7f75288fd94e9b8bbe5b9a521b5efa7684002000410064006f006200650020005000440046002065876863900275284e8e55464e1a65876863768467e5770b548c62535370300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c676562535f00521b5efa768400200050004400460020658768633002> /CHT <FEFF4f7f752890194e9b8a2d7f6e5efa7acb7684002000410064006f006200650020005000440046002065874ef69069752865bc666e901a554652d965874ef6768467e5770b548c52175370300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c4f86958b555f5df25efa7acb76840020005000440046002065874ef63002> /CZE <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> /DAN <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> /DEU <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> /ENU (Use these settings to create Adobe PDF documents suitable for reliable viewing and printing of business documents. Created PDF documents can be opened with Acrobat and Adobe Reader 5.0 and later.) /ESP <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> /ETI <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> /FRA <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> /GRE <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> /HEB <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> /HRV (Za stvaranje Adobe PDF dokumenata pogodnih za pouzdani prikaz i ispis poslovnih dokumenata koristite ove postavke. Stvoreni PDF dokumenti mogu se otvoriti Acrobat i Adobe Reader 5.0 i kasnijim verzijama.) /HUN <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> /ITA (Utilizzare queste impostazioni per creare documenti Adobe PDF adatti per visualizzare e stampare documenti aziendali in modo affidabile. I documenti PDF creati possono essere aperti con Acrobat e Adobe Reader 5.0 e versioni successive.) /JPN <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> /KOR <FEFFc7740020c124c815c7440020c0acc6a9d558c5ec0020be44c988b2c8c2a40020bb38c11cb97c0020c548c815c801c73cb85c0020bcf4ace00020c778c1c4d558b2940020b3700020ac00c7a50020c801d569d55c002000410064006f0062006500200050004400460020bb38c11cb97c0020c791c131d569b2c8b2e4002e0020c774b807ac8c0020c791c131b41c00200050004400460020bb38c11cb2940020004100630072006f0062006100740020bc0f002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e00300020c774c0c1c5d0c11c0020c5f40020c2180020c788c2b5b2c8b2e4002e> /LTH <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> /LVI <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> /NLD (Gebruik deze instellingen om Adobe PDF-documenten te maken waarmee zakelijke documenten betrouwbaar kunnen worden weergegeven en afgedrukt. De gemaakte PDF-documenten kunnen worden geopend met Acrobat en Adobe Reader 5.0 en hoger.) /NOR <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> /POL <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> /PTB <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> /RUM <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> /SKY <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> /SLV <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> /SUO <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> /SVE <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> /TUR <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> /UKR <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> /RUS <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> >> /Namespace [ (Adobe) (Common) (1.0) ] /OtherNamespaces [ << /AsReaderSpreads false /CropImagesToFrames true /ErrorControl /WarnAndContinue /FlattenerIgnoreSpreadOverrides false /IncludeGuidesGrids false /IncludeNonPrinting false /IncludeSlug false /Namespace [ (Adobe) (InDesign) (4.0) ] /OmitPlacedBitmaps false /OmitPlacedEPS false /OmitPlacedPDF false /SimulateOverprint /Legacy >> << /AllowImageBreaks true /AllowTableBreaks true /ExpandPage false /HonorBaseURL true /HonorRolloverEffect false /IgnoreHTMLPageBreaks false /IncludeHeaderFooter false /MarginOffset [ 0 0 0 0 ] /MetadataAuthor () /MetadataKeywords () /MetadataSubject () /MetadataTitle () /MetricPageSize [ 0 0 ] /MetricUnit /inch /MobileCompatible 0 /Namespace [ (Adobe) (GoLive) (8.0) ] /OpenZoomToHTMLFontSize false /PageOrientation /Portrait /RemoveBackground false /ShrinkContent true /TreatColorsAs /MainMonitorColors /UseEmbeddedProfiles false /UseHTMLTitleAsMetadata true >> << /AddBleedMarks false /AddColorBars false /AddCropMarks false /AddPageInfo false /AddRegMarks false /BleedOffset [ 0 0 0 0 ] /ConvertColors /ConvertToRGB /DestinationProfileName (sRGB IEC61966-2.1) /DestinationProfileSelector /UseName /Downsample16BitImages true /FlattenerPreset << /PresetSelector /MediumResolution >> /FormElements true /GenerateStructure false /IncludeBookmarks false /IncludeHyperlinks false /IncludeInteractive false /IncludeLayers false /IncludeProfiles true /MarksOffset 6 /MarksWeight 0.250000 /MultimediaHandling /UseObjectSettings /Namespace [ (Adobe) (CreativeSuite) (2.0) ] /PDFXOutputIntentProfileSelector /DocumentCMYK /PageMarksFile /RomanDefault /PreserveEditing true /UntaggedCMYKHandling /UseDocumentProfile /UntaggedRGBHandling /LeaveUntagged /UseDocumentBleed false >> ] >> setdistillerparams << /HWResolution [600 600] /PageSize [419.528 595.276] >> setpagedevice
id nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-48820
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
issn XXXX-0059
language Ukrainian
last_indexed 2025-12-07T17:51:17Z
publishDate 2012
publisher Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
record_format dspace
spelling Бігун, Я.Й.
2013-09-04T14:19:50Z
2013-09-04T14:19:50Z
2012
Усереднення багатоточкової крайової задачі з лінійно перетвореним аргументом / Я.Й. Бігун // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2012. — Вип. 6. — С. 50-55. — Бібліогр.: 8 назв. — укр.
XXXX-0059
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/48820
517.929
У роботі досліджено існування розв’язку та обґрунтовано метод усереднення для системи диференціальних рівнянь із повільними і швидкими змінними та лінійно перетвореним аргументом. Для розв’язку системи нелінійних рівнянь задано багатоточкові крайові умови.
In this paper we researched the existence of solution and give justifiction of averaging method for systems of differential equations with slow and fast variables and with linearly transformed argument. The solution of systems of nonlinear equations satisfies the multipoint boundary conditions.
uk
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки
Усереднення багатоточкової крайової задачі з лінійно перетвореним аргументом
An averaging of the multipoint value problem with linearly transformed argument
Article
published earlier
spellingShingle Усереднення багатоточкової крайової задачі з лінійно перетвореним аргументом
Бігун, Я.Й.
title Усереднення багатоточкової крайової задачі з лінійно перетвореним аргументом
title_alt An averaging of the multipoint value problem with linearly transformed argument
title_full Усереднення багатоточкової крайової задачі з лінійно перетвореним аргументом
title_fullStr Усереднення багатоточкової крайової задачі з лінійно перетвореним аргументом
title_full_unstemmed Усереднення багатоточкової крайової задачі з лінійно перетвореним аргументом
title_short Усереднення багатоточкової крайової задачі з лінійно перетвореним аргументом
title_sort усереднення багатоточкової крайової задачі з лінійно перетвореним аргументом
url https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/48820
work_keys_str_mv AT bígunâi userednennâbagatotočkovoíkraiovoízadačízlíníinoperetvorenimargumentom
AT bígunâi anaveragingofthemultipointvalueproblemwithlinearlytransformedargument

Схожі ресурси