Метод січної площини розв’язування задачі найкращої у розумінні опуклої ліпшіцевої функції рівномірної апроксимації неперервного компактнозначного відображення скінченновимірним підпростором

У статті на основі ідеї методу січних площин розв’язування задачі опуклого програмування побудовано метод розв’язання задачі найкращої у розумінні опуклої ліпшіцевої функції рівномірної апроксимації неперервного компактнозначного відображення скінченновимірним підпростором неперервних однозначних ві...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Опубліковано в: :	Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки
Дата:	2012
Автори:	Гнатюк, В.О., Гнатюк, Ю.В.
Формат:	Стаття
Мова:	Українська
Опубліковано:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2012
Онлайн доступ:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/48821
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Метод січної площини розв’язування задачі найкращої у розумінні опуклої ліпшіцевої функції рівномірної апроксимації неперервного компактнозначного відображення скінченновимірним підпростором / В.О. Гнатюк, Ю.В. Гнатюк // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2012. — Вип. 6. — С. 56-70. — Бібліогр.: 5 назв. — укр.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

_version_	1860212143195947008
author	Гнатюк, В.О. Гнатюк, Ю.В.
author_facet	Гнатюк, В.О. Гнатюк, Ю.В.
citation_txt	Метод січної площини розв’язування задачі найкращої у розумінні опуклої ліпшіцевої функції рівномірної апроксимації неперервного компактнозначного відображення скінченновимірним підпростором / В.О. Гнатюк, Ю.В. Гнатюк // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2012. — Вип. 6. — С. 56-70. — Бібліогр.: 5 назв. — укр.
collection	DSpace DC
container_title	Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки
description	У статті на основі ідеї методу січних площин розв’язування задачі опуклого програмування побудовано метод розв’язання задачі найкращої у розумінні опуклої ліпшіцевої функції рівномірної апроксимації неперервного компактнозначного відображення скінченновимірним підпростором неперервних однозначних відображень. We generalized the method of cutting planes for the problem of the best at sense of the convex lipschitz function uniform approximation of continuous compact-valued maps by finite dimensional space of continuous single-valued maps.
first_indexed	2025-12-07T18:14:45Z
format	Article
fulltext	Математичне та комп’ютерне моделювання 56 УДК 517.5 В. О. Гнатюк, канд. фіз.-мат. наук, Ю. В. Гнатюк, канд. фіз.-мат. наук Кам’янець-Подільський національний університет імені Івана Огієнка, м. Кам’янець-Подільський МЕТОД СІЧНОЇ ПЛОЩИНИ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ЗАДАЧІ НАЙКРАЩОЇ У РОЗУМІННІ ОПУКЛОЇ ЛІПШІЦЕВОЇ ФУНКЦІЇ РІВНОМІРНОЇ АПРОКСИМАЦІЇ НЕПЕРЕРВНОГО КОМПАКТНОЗНАЧНОГО ВІДОБРАЖЕННЯ СКІНЧЕННОВИМІРНИМ ПІДПРОСТОРОМ У статті на основі ідеї методу січних площин розв’язува- ння задачі опуклого програмування побудовано метод розв’я- зання задачі найкращої у розумінні опуклої ліпшіцевої функції рівномірної апроксимації неперервного компактнозначного ві- дображення скінченновимірним підпростором неперервних однозначних відображень. Ключові слова: компакнозначне відображення, найкраща у розумінні опуклої ліпшіцевої функції апроксимація, метод сі- чної площини. Вступ. У роботі для розв’язування задачі найкращої у розумінні опуклої ліпшіцевої функції рівномірної апроксимації неперервного ком- пактнозначного відображення скінченновимірним підпростором непере- рвних однозначних відображень побудовано метод, який базується на ідеї методу січних площин розв’язування задачі опуклого програмуван- ня, запропонованого у праці [1], а також доведено його збіжність. Отримано двосторонні оцінки, які дозволяють знайти величину найкращого наближення з наперед заданою точністю. Побудований метод узагальнює також на випадок вищеназваної задачі метод розв’язування задачі найкращої у розумінні норми рів- номірної апроксимації неперервного компактнозначного відображен- ня скінченновимірним підпростором неперервних однозначних відо- бражень, розглянутий у праці [2]. Постановка задачі. Нехай S -компакт, s — його елементи, X — лінійний над полем дійсних чисел нормований простір,  ,C S X — лі- нійний над полем дійсних чисел нормований простір однозначних відо- бражень g компакта S в X , неперервних на S , з нормою  max s S g g s   ,  K X — сукупність всіх непорожніх компактів про- стору X ,   ,C S K X — множина багатозначних відображень a ком- © В. О. Гнатюк, Ю. В. Гнатюк, 2012 Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 6 57 пакта S в X таких, що для кожного s S    sa s K K X  і які не- перервні на S у розумінні метрики Хаусдорфа на  K X , V — скін- ченновимірний підпростір простору  ,C S X , породжений лінійно не- залежними відображеннями  ,ig C S X , 1,i n , p — задана на X дійснозначна опукла ліпшіцева з константою l функція. Задачею найкращої у розумінні функції p рівномірної апроксимації відображення   ,a C S K X підпростором 1 : , , n i i i i V g g g R         1,i n неперервних однозначних відображень будемо називати задачу відшукання величини              1 * ,..., 1 inf max max inf max max . n n V g V s S y a s n i i R s S y a s i a p y g s p y g s                        (1) Якщо існує відображення * * 1 n i i i g g    , * n i R  , 1,i n , таке, що           * * * 1 max max max max n V i i s S y a s s S y a s i a p y g s p y g s                 , то його будемо називати екстремальним елементом для величини (1). Актуальність теми. Виникають задачі наближення, в яких міра ві- дхилення між елементами лінійного нормованого простору оцінюється не з допомогою норми, а з допомогою деякої дійснозначної опуклої ліп- шіцевої функції. До таких задач відносяться задачі наближення по пе- реднормі, функціоналу повільного зростання та інші. Вищеназвані задачі є частковими випадками задачі відшукання величини (1). Практичне використання величини (1) та її екстремального еле- мента вимагає розробки чисельних методів їх відшукання. Мета роботи. Побудувати метод відшукання величини (1) та її екстремального елемента, оснований на ідеї методу січних площин розв’язання задачі опуклого програмування. Деякі означення та допоміжні твердження. Нехай X — про- стір, спряжений з X , F — дійснозначна функція, задана на X . Полярою F функції F , або функцією, спряженою з F , назива- ється функція, задана на X , означена рівністю  F f      sup x X f x F x    , f X , (див., наприклад, [3, с. 306]). Математичне та комп’ютерне моделювання 58 Множина    * : ,domF f f X F f    називається ефек- тивною множиною функції F (див., наприклад, [3, с. 306]). Елемент f X називається субградієнтом функції F в точці 0x X , якщо        0 0F x F x f x f x   , x X , (див., наприклад, [3, с. 324]). Множину субградієнтів функції F в точці 0x X називають субдиференціалом цієї функції в точці 0x і позначають  0F x (див., наприклад, [3, с. 324]). Якщо F є опуклою неперервною на X функцією, то для 0x X  0F x є непорожньою опуклою слабко компактною мно- жиною простору X (див., наприклад, [3, с. 327]). Якщо F задана на X опукла напівнеперервна знизу дійснозна- чна функція, то функція     sup f domF F x f x   , x X , називається асимптотичною функцією для F (див., наприклад, [3, с. 346,347]). Твердження 1. Для того щоб опукла напівнеперервна знизу на X функція p задовольняла умову Ліпшіца на X з константою l , необхідно і достатньо, щоб для всіх f domp виконувалась нерів- ність f l . Доведення. Необхідність. Нехай опукла на X функція p задо- вольняє умову Ліпшіца на X з константою 0l  . Тоді    0p x p l x  , x X . (2) Нехай f domp . З урахуванням (2) одержимо, що            * sup sup 0 x X x X p f f x p x f x l x p          . Звідси випливає, що  f x l x , x X . Тому   , 0 sup x X x f x f l x    . Отже, для всіх f domp виконується нерівність f l . Необхідність доведено. Достатність. Нехай для опуклої напівнеперервної знизу на X функції p має місце нерівність Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 6 59 f l , f domp , де 0l  . (3) Згідно з теоремою Фенхеля-Моро (див., наприклад, [4, с. 186])        * sup f domp p x f x p f    , .x X (4) З урахуванням (3), (4) для довільних 1 2,x x X одержимо               * * * 1 2 1 2sup sup f domp f domp p x p x f x p f f x p f         * 1 2 1 2sup f domp f x x l x x      . Це й означає, що функція p є ліпшіцевою на X з константою l . Твердження доведено. В подальшому, як і в постановці задачі, будемо вважати, що фу- нкція p є заданою на X дійснозначною опуклою ліпшіцевою з конс- тантою l функцією. Твердження 2. Асимптотична функція  p x , x X , є сублі- нійною ліпшіцевою з константою l функцією. Справедливість твердження випливає із задання функції  p x , x X , та твердження 1. Твердження 3. Якщо для a R множина   * * : ,adom p f f X p f a     , то вона є опуклою обмеженою слабко компактною множиною прос- тору X , причому f l , af dom p . Справедливість твердження випливає з опуклості функції  p f , f X , (див., наприклад, [4, с. 185]), обмеженості множини domp (див. твердження 1), відкритості щодо слабкої топології про- стору X множини \ aX dom p . Твердження 4. Якщо a R і adom p   , то функція     * max a a f dom p p x f x   , x X , є сублінійною ліпшіцевою з константою l функцією. Для будь-якого x X має місце рівність    lim k k p x p x   . Справедливість цього твердження випливає із задання функції  ap x , x X , та твердження 3. Математичне та комп’ютерне моделювання 60 Твердження 5. Для кожного елемента  ,g C S X та числа a , для якого * adom p   , відображення     , as f S dom p f g s   є неперервним на aS dom p у розумінні топології на * aS dom p , яка є добутком топології компакта S та топології * adom p , індукованої слабко* топологією простору X . Доведення. Нехай 0  . Для всіх   , as f S dom p  і   * 0 0, as f S dom p  маємо, що                           0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 . f g s f g s f g s g s f g s f g s l g s g s f g s f g s           (5) Оскільки  ,g C S X , то існує окіл  0V s точки 0s компакта S такий, що    0 2 g s g s l    ,  0s V s . Розглянемо окіл  0 0; ; 2 O f g s       точки 0f у топології * adom p , який визначається елементом  0g s та числом 2  :        * 0 0 0 0 0; ; : , 2 2aO f g s f f dom p f g s f g s               . З урахуванням (5) для всіх      0 0 0, ; ; 2 s f V s O f g s        одер- жимо      0 0f g s f g s   . Це й означає неперервність відображення   , as f S dom p     f g s у довільній точці   0 0, as f S dom p  . Твердження доведено. Будемо позначати далі через     max s S h g p g s  ,  ,g C S X , а для числа a , для якого * adom p   , позначимо через     max a a s S h g p g s  ,  ,g C S X . Твердження 6. Функції  h g ,  ah g ,  ,g C S X , є субліній- ними на  ,C S X функціями, які задовольняють на  ,C S X умові Ліпшіца з константою l . Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 6 61 Справедливість твердження випливає із задання функцій  h g ,  ah g ,  ,g C S X , та тверджень 2—4. Твердження 7. Для кожного  ,g C S X має місце рівність      lim supk k k k N h g h g h g     . (6) Доведення. Оскільки для k N * * * 1k kdom p dom p domp  , то      1k kh g h g h g  . Звідси випливає, що      lim supk kk k N h g h g h g     . Припустимо, що      lim supk k k k N h g h g h g     . (7) Нехай         * * 0max sup sup s S f domp f domp h g f g s f g s      . (8) З (7), (8) випливає, що існує функціонал * 0f domp такий, що       0 0 sup k k k N f g s h g h g    , k N . (9) Оскільки  * 0p f   , то існує 0k N таке, що  * 0 0p f k . Тому 0 * 0 kf dom p . З урахуванням цього одержимо, що            * * 0 0 0 0 0 0max max max k k k s Sf dom p f dom p f g s f g s f g s h g      , що суперечить (9). Одержана суперечність дозволяє зробити висновок про справед- ливість рівності (6). Твердження доведено. Твердження 8. Якщо   0h g  , g V , 0g  , то має місце спів- відношення  1 ,..., 1 min 0 n nR n i i S i h g              , де   2 1 1 ,..., : 1n n n n iR i S R              — одинична сфера простору nR . Справедливість твердження випливає з неперервності відображен- ня  1 1 ,..., n n n i i i R h g            на nR (див. твердження 6), компакт- ності nR S , лінійної незалежності елементів 1,..., ng g та умов твердження. Математичне та комп’ютерне моделювання 62 Твердження 9. Якщо   0h g  , g V , 0g  , то існує натура- льне число 0k таке, що   0 0 1 ,..., 1 min 0 n nR n k i i k S i h g              . Справедливість твердження випливає з компактності nR S , ліп- шіцевості з константою l функцій  kh g ,  ,g C S X , 1, 2,...k  , (див., твердження 6), тверджень 7 та 8. Основні результати. Теорема 1. Якщо   0h g  , g V , 0g  , то існують точки js S , функціонали * jf domp , 11,j m , такі, що      1 1,..., 1 1 min max 0 n nR n i j i j S j m i f g s             . (10) Доведення. Згідно з твердженням 9 існує натуральне число 0k таке, що   0 0 1 ,..., 1 min 0 n nR n k i i k S i h g              . Відповідно до твердження 5 відображення   0 , ks f S dom p     if g s , 1,i n , є неперервними на 0 kS dom p у розумінні то- пології на 0 * kS dom p , яка є добутком топології компакта S та то- пології 0 * kdom p , індукованої слабко* топологією простору X . Тоді для 0 2 k n     і кожної точки   0 , ks f S dom p  існує її окіл    V s O f , де  V s — окіл точки s компакта S ,  O f — окіл f компакта 0 * kdom p (див. твердження 3) такі, що      i if g s f g s     , 1,i n ,      ,s f V s O f    . (11) Зрозуміло, що        * 0 , ks f S dom p V s O f    є відкритим покриттям 0 * kS dom p . Оскільки 0 * kS dom p є компактом, то з цього покриття можна виділити скінченне підпокриття    j jV s O f , 11,j m . Тоді Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 6 63 для кожної пари   0 , ks f S dom p  існує індекс    1, 1,...,s fj m та- кий, що        , , , s f s fj js f V s O f  . Тому згідно з (11)         , ,s f s fi j i jf g s f g s    , 1,i n . З урахуванням цього для кожного  1 ,..., nn R S    ,   0 , ks f S dom p  одержимо, що       11 1 1 max n n i i i j i j j m i i f g s f g s                 , , 1 1 s f s f n n i i i j i j i i f g s f g s                 , , 2 2 1 1 s f s f n n i i j i j i i f g s f g s       2 1 n i n       . Звідки для кожного  1 ,..., nn R S    і всіх   0 , ks f S dom p       11 1 1 max n n i j i j i i j m i i f g s f g s n                   . Тому для кожного  1 ,..., nn R S           1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 max max max 0. 22 s S k n n i j i j i i j m f dom pi i n k k k i i k k i f g s f g s n h g n n n n                                         (12) Внаслідок (12) одержимо, що      0 1 1,..., 1 1 min max 0 2n nR n k i j i jS j m i f g s              . Теорему доведено. Перейдемо до описання запропонованого методу розв’язування задачі відшукання величини (1) та її екстремального елементу. При цьому будемо припускати, що   0h g  , g V , 0g  . На поперед- ньому його кроці вибираємо точки js S , функціонали * jf domp , 11,j m , такі, для яких виконується умова (10). Відповідно до теореми 1 вищеназвані точки та функціонали іс- нують. На k -му кроці  1k  будемо розв’язувати задачу лінійного про- грамування: Математичне та комп’ютерне моделювання 64 inf  (13) при обмеженнях       * 1 , n i j i j j j j i f g s f y p f      11, 1j m k   . (14) Зрозуміло, що задача лінійного програмування (13)-(14) має до- пустимий розв’язок. Таким допустимим розв’язком буде, наприклад, вектор  1 ,..., ;n   , де  1 ,..., n  вибрано довільно з nR , а        1 * 1 1 max n j j i j i j j j m i f y f g s p f              . Для всіх допустимих розв’язків  1 ,..., ;n   задачі (13), (14) маємо, що         1 1 * 1 1 1 max max n i j i j j j j j m j m i f g s p f f y           . Звідки при    1 ,..., 0,...,0n           1 1 2 * 1 1 1 1 2 1 max max n n i j i j j j jnj m j m i i i i f g s p f f y                  . Оскільки згідно з (10)    11 1 2 1 max 0 n i j i jnj m i i i f g s            , то звідси випливає, що      1 * 1 max j j j j m p f f y      . (15) Отже, для будь-якого допустимого розв’язку  1 ,..., ;n   зада- чі (13), (14) має місце співвідношення (15). Це означає, що цільова функція  цієї задачі лінійного програ- мування обмежена знизу на множині її допустимих розв’язків. Тому задача лінійного програмування (13), (14) має оптимальний розв’язок (див., наприклад, [5, с.110]). Теорема 2. Якщо    1; ,..., ;k k k k k n     є оптимальним розв’язком задачі (13), (14), то мають місце співвідношення       * max maxk k V s S y a s a p y g s       , (16) Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 6 65 де 1 n k k i i i g g    , 1, 2,...k  . Якщо для деякого натурального k     max maxk k s S y a s p y g s     , то kg є екстремальним елементом для величини (1) і справедлива рівність       * max maxk k V s S y a s a p y g s       . (17) Доведення. Оскільки вектор    1, ,..., ;k k k k k n     є оптима- льним розв’язком задачі (13)—(14), то     * 1 inf : , n k j j i i j j i f y g s p f                   1 1 11, 1, ,..., ; n nj m k R              1 * 1 1 1 max n k j j i i j j j m k i f y g s p f                         1 * 1 1 max k j j j j j m k f y g s p f            * 1 inf : , , n i i i f y g s p f s S                     * 1 1, , ,..., ; n ny a s f domp R        (18)       * * 1 inf : max max max , n i i s S y a s f domp i f y g s p f                             1 1 1 ,..., ; inf : max max , n n n i i s S y a s i R p y g s                            1 1 ,..., ; inf : max max ,n n s S y a s R p y g s                   , inf max max V g V s S y a s g V R p y g s a               max max .k s S y a s p y g s     Із співвідношення (18) випливають співвідношення (16). Якщо для деякого натурального k     max maxk k s S y a s p y g s     , Математичне та комп’ютерне моделювання 66 то, враховуючи (16), робимо висновок, що kg є екстремальним еле- ментом для величини (1) і справедлива рівність (17). Теорему доведено. Отже, якщо для деякого натурального k     max maxk k s S y a s p y g s     , то згідно з теоремою 2 kg є екстремальним елементом для величини (1) і   k V a   . В цьому випадку процес відшукання величини (1) та її екстре- мального елемента завершено. Розглянемо випадок, коли     max maxk k s S y a s p y g s     . Тоді знаходимо точки 1m ks S  ,   1 1m k m ky a s  такі, що          1 1 max max max m k k k m k s S y a s y a s p y g s p y g s          1 1 k m k m kp y g s   , функціонал   1 1 1 k m k m k m kf p y g s    та до обмежень (14) задачі лінійного програмування (13), (14) добавляємо обмеження        1 1 1 1 1 * 1 , n i m k i m k m k m k m k i f g s f y p f          де        1 1 1 1 1 1 * k k m k m k m k m k m k m kp f f y g s p y g s         (див., на- приклад, [3, с. 316]), знаходимо оптимальний розв’язок  1 1,k k     1 1 1 1 ,..., ;k k k n     одержаної внаслідок цього нової задачі лінійно- го програмування і т.д. Теорема 3. Послідовність   1 k k    є неспадною, існує lim k k  . Послідовність   1 k k    , де  1 ,...,k k k n   , 1, 2,...k  , є обмеженою послідовністю простору nR . Для будь-якої часткової границі  * * * 1 ,..., n   послідовністі   1 k k    елемент * * 1 n i i i g g    є екстре- мальним елементом для величини (1). Мають місце співвідношення:       lim lim max maxk k V k k s S y a s a p y g s          , (19) де 1 n k k i i i g g    , 1, 2,...k  . Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 6 67 Доведення. Оскільки обмеження задачі лінійного програмуван- ня (13), (14), яка розв’язується на k -ому кроці, включається в обме- ження задачі лінійного програмування, яка розв’язується на 1k  -му кроці методу, а цільові функції цих задач однакові, то для відповід- них їх оптимальних розв’язків  1 ,..., ;k k k n   та  1 1 1 1 ,..., ;k k k n      виконується нерівність: 1k k  , 1,2,...k  . Згідно з теоремою 2  k V a   . Тому існує lim k k  і  lim k Vk a     . (20) Переконаємось, що послідовність   1 k k    є обмеженою послі- довністю простору nR . Припустимо супротивне. Тоді існує її підпос- лідовність   1 k    така, що lim k     . Без обмеження загально- сті будемо вважати, що уже lim k k    . Оскільки  1 ,..., ;k k k n   є оптимальним розв’язком задачі (13), (14), то          1 , n k k i j i j j j j i f g s p f f y        11,j m , 1,2,...k  . Звідки       * 1 1 1 1 1 , 1, , 1,2,.... kn ki j i j j j jk k k k i f g s p f f y j m k             (21) Оскільки 1 , ..., n kk n Rk k S              , то з послідовності 1 1 , ..., kk n k k k                 можна вибрати збіжну підпослідовність 1 1 , ..., kk n k k                     . Нехай  / /1 1lim ,..., , ..., kk n nk k                   . Зрозуміло, що  / / 1 ,..., nn R S  . З урахуванням зазначеного вище, обмеженості послідовності   1 k k    (існує lim k k  ) з (21) одержимо, що    1 / 1 1 max 0 n i j i j j m i f g s      , що суперечить (10). Математичне та комп’ютерне моделювання 68 Отже,   1 k k    є обмеженою послідовністю простору nR . Нехай  * * * 1 ,..., n   її часткова границя. Переконаємося, що вектор * * 1 n i i i g g    є екстремальним елеме- нтом для величини (1). Існує підпослідовність   1 k    послідовності   1 k k    така, що    * * * 1 1lim lim ,..., ,...,k k k n n               . До обмежень задачі лінійного програмування типу (13), (14), яка розв’язана на кроці k добавляється обмеження        1 1 1 1 1 * 1 , n i m k i m k m k m k m k i f g s f y p f                де точки 1m ks S   ,   1 1m k m ky a s    вибрані так, що              1 1 1 1 max max max , m k k k m k s S y a s y a s k m k m k p y g s p y g s p y g s                    (22) а   1 1 1 k m k m k m kf p y g s        ,        1 1 1 1 1 1 * k k m k m k m k m k m k m kp f f y g s p y g s                . Тому уже       1 1 1 1 1 1 1 * 1 n k k i m k i m k m k m k m k i f g s f y p f                    . (23) Маємо далі з урахуванням (22), (23), що          1 1 1 1 1 1 max max n k k m k m k i m k i m k s S y a s i p y g s f y f g s                        1 1 1 1 1 * * 1 n k m k m k m k i i m k m k i p f f y g s p f                            1 1 1 1 1 1 * 1 n k m k m k i m k i m k m k i f y f g s p f                    1 1 n k k i i i i g      . Оскільки    * * 1 1lim ,..., ,...,k k n n         , то звідси, співвідношен- ня (20) та неперервності відображення Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 6 69      1 1 ,..., max max n n n i i s S y a s i R p y g s                по  1,..., n n R   випливає, що                         1 1 1 1 1 1 1 * * 1 * 1 1 lim max max lim max max max max max max lim lim lim n k k i i s S y a s s S y a s i n i i s S y a s s S y a s i n k m k m k i m k i m k m k i k p y g s p y g s p y g s p y g s f y f g s p f                                                                  * .k Vk a     Отже,         * * max max lim .k V V ks S y a s a p y g s a          Звідси робимо висновок, що        max max lim .k V ks S y a s p y g s a        (24) Це означає, що g є екстремальним елементом для величини (1). Оскільки рівність (24) має місце для будь-якої граничної точки  * * * 1 ,..., n   послідовності    11 ,...,k k k nk       , то справедлива рівність (19). Теорему доведено. Зауважимо, що з доведеної теореми випливає, що оцінки (16) можна використати для відшукання величини (1) з наперед заданою точністю. Крім того, з теореми 3 випливає, що умова   0h g  , g V , 0g  , є достатньою для існування екстремального елемента для величини (1). Висновок. Побудовано чисельний метод розв’язування задачі найкращої у розумінні опуклої ліпшіцевої функції рівномірної апрок- симації неперервного компактнозначного відображення скінченно- вимірним підпростором неперервних однозначних відображень. Отримано двосторонні оцінки, які дозволяють знайти величину най- кращого наближення з наперед заданою точністю. Встановлено достатню умову існування екстремального елемен- та для вищеназваної задачі. Список використаних джерел: 1. Kelly J. E. The „Cutting plane” methods for solving convex programs / J. E. Kelly // SIAM J. — 1960. — Vol. 8, № 4. — P. 703–712. Математичне та комп’ютерне моделювання 70 2. Гнатюк Ю. В. Модифікація методу січних площин на випадок апрокси- мації компактнозначного відображення / Ю. В. Гнатюк, У. В. Гудима // Вісник Київського університету. Серія: Фізико-математичні науки. — 2005. — Вип. 3. — С. 245–251. 3. Лоран П.-Ж. Аппроксимация и оптимизация/ П.-Ж. Лоран. — М. : Мир, 1975. — 496 с. 4. Иоффе А. Д. Теория экстремальных задач / А. Д. Иоффе, В. М. Тихоми- ров. — М. : Наука, 1974. — 480 с. 5. Юдин Д. Б. Линейное программирование (теория и конечные методы)/ Д. Б. Юдин, Е. Г. Гольштейн. — М. : Физматгиз, 1963. — 774 с. We generalized the method of cutting planes for the problem of the best at sense of the convex lipschitz function uniform approximation of continuous compact-valued maps by finite dimensional space of continu- ous single-valued maps. Key words: the compact-valued maps, the best in sense of the convex lipschitz function uniform approximation, the method of cutting planes. Отримано: 06.03.2012 УДК 517.5 У. В. Гудима, канд. фіз.-мат. наук Кам'янець-Подільський національний університет імені Івана Огієнка, м. Кам'янець-Подільський КРИТЕРІЇ СИЛЬНОЇ ЄДИНОСТІ ЕКСТРЕМАЛЬНОГО ЕЛЕМЕНТА ДЛЯ ЗАДАЧІ НАЙКРАЩОЇ У РОЗУМІННІ ОПУКЛОЇ ФУНКЦІЇ РІВНОМІРНОЇ АПРОКСИМАЦІЇ КОМПАКТНОЗНАЧНОГО ВІДОБРАЖЕННЯ МНОЖИНАМИ ОДНОЗНАЧНИХ ВІДОБРАЖЕНЬ У статті встановлено критерії сильної єдиності екстрема- льного елемента для задачі найкращої у розумінні опуклої фу- нкції рівномірної апроксимації компактнозначного відобра- ження  -множинами однозначних відображень. Ключові слова: компактнозначне відображення, найкра- ща у розумінні опуклої неперервної функції рівномірна апрок- симація, сильна єдиність екстремального елемента, критерії. Вступ. У статті для задачі найкращої у розумінні опуклої непере- рвної функції рівномірної апроксимації неперервного компактнозначно- го відображення  -множинами неперервних однозначних відображень встановлено деякі критерії сильної єдиності екстремального елемента, які узагальнюють на випадок вищеназваної задачі критерій сильної єди- ності екстремального елемента для задачі найкращої у розумінні норми © У. В. Гудима, 2012 << /ASCII85EncodePages false /AllowTransparency false /AutoPositionEPSFiles true /AutoRotatePages /All /Binding /Left /CalGrayProfile (Gray Gamma 2.2) /CalRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1) /CalCMYKProfile (Coated FOGRA27 \050ISO 12647-2:2004\051) /sRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1) /CannotEmbedFontPolicy /Warning /CompatibilityLevel 1.3 /CompressObjects /Tags /CompressPages true /ConvertImagesToIndexed true /PassThroughJPEGImages true /CreateJobTicket false /DefaultRenderingIntent /Default /DetectBlends true /DetectCurves 0.1000 /ColorConversionStrategy /sRGB /DoThumbnails false /EmbedAllFonts true /EmbedOpenType false /ParseICCProfilesInComments true /EmbedJobOptions true /DSCReportingLevel 0 /EmitDSCWarnings false /EndPage -1 /ImageMemory 1048576 /LockDistillerParams false /MaxSubsetPct 100 /Optimize true /OPM 1 /ParseDSCComments true /ParseDSCCommentsForDocInfo true /PreserveCopyPage true /PreserveDICMYKValues true /PreserveEPSInfo false /PreserveFlatness false /PreserveHalftoneInfo false /PreserveOPIComments false /PreserveOverprintSettings true /StartPage 1 /SubsetFonts true /TransferFunctionInfo /Apply /UCRandBGInfo /Remove /UsePrologue false /ColorSettingsFile () /AlwaysEmbed [ true ] /NeverEmbed [ true /Arial-Black /Arial-BlackItalic /Arial-BoldItalicMT /Arial-BoldMT /Arial-ItalicMT /ArialMT /ArialNarrow /ArialNarrow-Bold /ArialNarrow-BoldItalic /ArialNarrow-Italic /ArialUnicodeMS /CenturyGothic /CenturyGothic-Bold /CenturyGothic-BoldItalic /CenturyGothic-Italic /CourierNewPS-BoldItalicMT /CourierNewPS-BoldMT /CourierNewPS-ItalicMT /CourierNewPSMT /Georgia /Georgia-Bold /Georgia-BoldItalic /Georgia-Italic /Impact /LucidaConsole /Tahoma /Tahoma-Bold /TimesNewRomanMT-ExtraBold /TimesNewRomanPS-BoldItalicMT /TimesNewRomanPS-BoldMT /TimesNewRomanPS-ItalicMT /TimesNewRomanPSMT /Trebuchet-BoldItalic /TrebuchetMS /TrebuchetMS-Bold /TrebuchetMS-Italic /Verdana /Verdana-Bold /Verdana-BoldItalic /Verdana-Italic ] /AntiAliasColorImages false /CropColorImages false /ColorImageMinResolution 150 /ColorImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleColorImages true /ColorImageDownsampleType /Bicubic /ColorImageResolution 150 /ColorImageDepth -1 /ColorImageMinDownsampleDepth 1 /ColorImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeColorImages true /ColorImageFilter /DCTEncode /AutoFilterColorImages true /ColorImageAutoFilterStrategy /JPEG /ColorACSImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /ColorImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /JPEG2000ColorACSImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /JPEG2000ColorImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /AntiAliasGrayImages false /CropGrayImages false /GrayImageMinResolution 150 /GrayImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleGrayImages true /GrayImageDownsampleType /Bicubic /GrayImageResolution 150 /GrayImageDepth -1 /GrayImageMinDownsampleDepth 2 /GrayImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeGrayImages true /GrayImageFilter /DCTEncode /AutoFilterGrayImages true /GrayImageAutoFilterStrategy /JPEG /GrayACSImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /GrayImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /JPEG2000GrayACSImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /JPEG2000GrayImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /AntiAliasMonoImages false /CropMonoImages false /MonoImageMinResolution 1200 /MonoImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleMonoImages true /MonoImageDownsampleType /Bicubic /MonoImageResolution 1200 /MonoImageDepth -1 /MonoImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeMonoImages true /MonoImageFilter /CCITTFaxEncode /MonoImageDict << /K -1 >> /AllowPSXObjects true /CheckCompliance [ /PDFX1a:2001 ] /PDFX1aCheck false /PDFX3Check false /PDFXCompliantPDFOnly false /PDFXNoTrimBoxError true /PDFXTrimBoxToMediaBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXSetBleedBoxToMediaBox true /PDFXBleedBoxToTrimBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXOutputIntentProfile (None) /PDFXOutputConditionIdentifier () /PDFXOutputCondition () /PDFXRegistryName () /PDFXTrapped /False /CreateJDFFile false /Description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> /CHS <FEFF4f7f75288fd94e9b8bbe5b9a521b5efa7684002000410064006f006200650020005000440046002065876863900275284e8e55464e1a65876863768467e5770b548c62535370300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c676562535f00521b5efa768400200050004400460020658768633002> /CHT <FEFF4f7f752890194e9b8a2d7f6e5efa7acb7684002000410064006f006200650020005000440046002065874ef69069752865bc666e901a554652d965874ef6768467e5770b548c52175370300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c4f86958b555f5df25efa7acb76840020005000440046002065874ef63002> /CZE <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> /DAN <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> /DEU <FEFF00560065007200770065006e00640065006e0020005300690065002000640069006500730065002000450069006e007300740065006c006c0075006e00670065006e0020007a0075006d002000450072007300740065006c006c0065006e00200076006f006e002000410064006f006200650020005000440046002d0044006f006b0075006d0065006e00740065006e002c00200075006d002000650069006e00650020007a0075007600650072006c00e40073007300690067006500200041006e007a006500690067006500200075006e00640020004100750073006700610062006500200076006f006e00200047006500730063006800e40066007400730064006f006b0075006d0065006e00740065006e0020007a0075002000650072007a00690065006c0065006e002e00200044006900650020005000440046002d0044006f006b0075006d0065006e007400650020006b00f6006e006e0065006e0020006d006900740020004100630072006f00620061007400200075006e0064002000520065006100640065007200200035002e003000200075006e00640020006800f600680065007200200067006500f600660066006e00650074002000770065007200640065006e002e> /ENU (Use these settings to create Adobe PDF documents suitable for reliable viewing and printing of business documents. Created PDF documents can be opened with Acrobat and Adobe Reader 5.0 and later.) /ESP <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> /ETI <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> /FRA <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> /GRE <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> /HEB <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> /HRV (Za stvaranje Adobe PDF dokumenata pogodnih za pouzdani prikaz i ispis poslovnih dokumenata koristite ove postavke. Stvoreni PDF dokumenti mogu se otvoriti Acrobat i Adobe Reader 5.0 i kasnijim verzijama.) /HUN <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> /ITA (Utilizzare queste impostazioni per creare documenti Adobe PDF adatti per visualizzare e stampare documenti aziendali in modo affidabile. I documenti PDF creati possono essere aperti con Acrobat e Adobe Reader 5.0 e versioni successive.) /JPN <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> /KOR <FEFFc7740020c124c815c7440020c0acc6a9d558c5ec0020be44c988b2c8c2a40020bb38c11cb97c0020c548c815c801c73cb85c0020bcf4ace00020c778c1c4d558b2940020b3700020ac00c7a50020c801d569d55c002000410064006f0062006500200050004400460020bb38c11cb97c0020c791c131d569b2c8b2e4002e0020c774b807ac8c0020c791c131b41c00200050004400460020bb38c11cb2940020004100630072006f0062006100740020bc0f002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e00300020c774c0c1c5d0c11c0020c5f40020c2180020c788c2b5b2c8b2e4002e> /LTH <FEFF004e006100750064006f006b0069007400650020016100690075006f007300200070006100720061006d006500740072007500730020006e006f0072011700640061006d00690020006b0075007200740069002000410064006f00620065002000500044004600200064006f006b0075006d0065006e007400750073002c0020006b0075007200690065002000740069006e006b006100200070006100740069006b0069006d006100690020007000650072017e0069016b007201170074006900200069007200200073007000610075007300640069006e0074006900200076006500720073006c006f00200064006f006b0075006d0065006e007400750073002e0020002000530075006b0075007200740069002000500044004600200064006f006b0075006d0065006e007400610069002000670061006c006900200062016b007400690020006100740069006400610072006f006d00690020004100630072006f006200610074002000690072002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e0030002000610072002000760117006c00650073006e0117006d00690073002000760065007200730069006a006f006d00690073002e> /LVI <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> /NLD (Gebruik deze instellingen om Adobe PDF-documenten te maken waarmee zakelijke documenten betrouwbaar kunnen worden weergegeven en afgedrukt. De gemaakte PDF-documenten kunnen worden geopend met Acrobat en Adobe Reader 5.0 en hoger.) /NOR <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> /POL <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> /PTB <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> /RUM <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> /SKY <FEFF0054006900650074006f0020006e006100730074006100760065006e0069006100200070006f0075017e0069007400650020006e00610020007600790074007600e100720061006e0069006500200064006f006b0075006d0065006e0074006f0076002000410064006f006200650020005000440046002000760068006f0064006e00fd006300680020006e0061002000730070006f013e00610068006c0069007600e90020007a006f006200720061007a006f00760061006e006900650020006100200074006c0061010d0020006f006200630068006f0064006e00fd0063006800200064006f006b0075006d0065006e0074006f0076002e00200056007900740076006f00720065006e00e900200064006f006b0075006d0065006e007400790020005000440046002000620075006400650020006d006f017e006e00e90020006f00740076006f00720069016500200076002000700072006f006700720061006d006f006300680020004100630072006f00620061007400200061002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e0030002000610020006e006f0076016100ed00630068002e> /SLV <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> /SUO <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> /SVE <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> /TUR <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> /UKR <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> /RUS <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> >> /Namespace [ (Adobe) (Common) (1.0) ] /OtherNamespaces [ << /AsReaderSpreads false /CropImagesToFrames true /ErrorControl /WarnAndContinue /FlattenerIgnoreSpreadOverrides false /IncludeGuidesGrids false /IncludeNonPrinting false /IncludeSlug false /Namespace [ (Adobe) (InDesign) (4.0) ] /OmitPlacedBitmaps false /OmitPlacedEPS false /OmitPlacedPDF false /SimulateOverprint /Legacy >> << /AllowImageBreaks true /AllowTableBreaks true /ExpandPage false /HonorBaseURL true /HonorRolloverEffect false /IgnoreHTMLPageBreaks false /IncludeHeaderFooter false /MarginOffset [ 0 0 0 0 ] /MetadataAuthor () /MetadataKeywords () /MetadataSubject () /MetadataTitle () /MetricPageSize [ 0 0 ] /MetricUnit /inch /MobileCompatible 0 /Namespace [ (Adobe) (GoLive) (8.0) ] /OpenZoomToHTMLFontSize false /PageOrientation /Portrait /RemoveBackground false /ShrinkContent true /TreatColorsAs /MainMonitorColors /UseEmbeddedProfiles false /UseHTMLTitleAsMetadata true >> << /AddBleedMarks false /AddColorBars false /AddCropMarks false /AddPageInfo false /AddRegMarks false /BleedOffset [ 0 0 0 0 ] /ConvertColors /ConvertToRGB /DestinationProfileName (sRGB IEC61966-2.1) /DestinationProfileSelector /UseName /Downsample16BitImages true /FlattenerPreset << /PresetSelector /MediumResolution >> /FormElements true /GenerateStructure false /IncludeBookmarks false /IncludeHyperlinks false /IncludeInteractive false /IncludeLayers false /IncludeProfiles true /MarksOffset 6 /MarksWeight 0.250000 /MultimediaHandling /UseObjectSettings /Namespace [ (Adobe) (CreativeSuite) (2.0) ] /PDFXOutputIntentProfileSelector /DocumentCMYK /PageMarksFile /RomanDefault /PreserveEditing true /UntaggedCMYKHandling /UseDocumentProfile /UntaggedRGBHandling /LeaveUntagged /UseDocumentBleed false >> ] >> setdistillerparams << /HWResolution [600 600] /PageSize [419.528 595.276] >> setpagedevice
id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-48821
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
issn	XXXX-0059
language	Ukrainian
last_indexed	2025-12-07T18:14:45Z
publishDate	2012
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
record_format	dspace
spelling	Гнатюк, В.О. Гнатюк, Ю.В. 2013-09-04T14:22:10Z 2013-09-04T14:22:10Z 2012 Метод січної площини розв’язування задачі найкращої у розумінні опуклої ліпшіцевої функції рівномірної апроксимації неперервного компактнозначного відображення скінченновимірним підпростором / В.О. Гнатюк, Ю.В. Гнатюк // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2012. — Вип. 6. — С. 56-70. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. XXXX-0059 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/48821 517.5 У статті на основі ідеї методу січних площин розв’язування задачі опуклого програмування побудовано метод розв’язання задачі найкращої у розумінні опуклої ліпшіцевої функції рівномірної апроксимації неперервного компактнозначного відображення скінченновимірним підпростором неперервних однозначних відображень. We generalized the method of cutting planes for the problem of the best at sense of the convex lipschitz function uniform approximation of continuous compact-valued maps by finite dimensional space of continuous single-valued maps. uk Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки Метод січної площини розв’язування задачі найкращої у розумінні опуклої ліпшіцевої функції рівномірної апроксимації неперервного компактнозначного відображення скінченновимірним підпростором Cutting plane method for solving the problem of the best in the sense of convex Lipschitz function uniform approximation of continuous compact-valued maps by finite dimensional subspace Article published earlier
spellingShingle	Метод січної площини розв’язування задачі найкращої у розумінні опуклої ліпшіцевої функції рівномірної апроксимації неперервного компактнозначного відображення скінченновимірним підпростором Гнатюк, В.О. Гнатюк, Ю.В.
title	Метод січної площини розв’язування задачі найкращої у розумінні опуклої ліпшіцевої функції рівномірної апроксимації неперервного компактнозначного відображення скінченновимірним підпростором
title_alt	Cutting plane method for solving the problem of the best in the sense of convex Lipschitz function uniform approximation of continuous compact-valued maps by finite dimensional subspace
title_full	Метод січної площини розв’язування задачі найкращої у розумінні опуклої ліпшіцевої функції рівномірної апроксимації неперервного компактнозначного відображення скінченновимірним підпростором
title_fullStr	Метод січної площини розв’язування задачі найкращої у розумінні опуклої ліпшіцевої функції рівномірної апроксимації неперервного компактнозначного відображення скінченновимірним підпростором
title_full_unstemmed	Метод січної площини розв’язування задачі найкращої у розумінні опуклої ліпшіцевої функції рівномірної апроксимації неперервного компактнозначного відображення скінченновимірним підпростором
title_short	Метод січної площини розв’язування задачі найкращої у розумінні опуклої ліпшіцевої функції рівномірної апроксимації неперервного компактнозначного відображення скінченновимірним підпростором
title_sort	метод січної площини розв’язування задачі найкращої у розумінні опуклої ліпшіцевої функції рівномірної апроксимації неперервного компактнозначного відображення скінченновимірним підпростором
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/48821
work_keys_str_mv	AT gnatûkvo metodsíčnoíploŝinirozvâzuvannâzadačínaikraŝoíurozumínníopukloílípšícevoífunkcíírívnomírnoíaproksimacííneperervnogokompaktnoznačnogovídobražennâskínčennovimírnimpídprostorom AT gnatûkûv metodsíčnoíploŝinirozvâzuvannâzadačínaikraŝoíurozumínníopukloílípšícevoífunkcíírívnomírnoíaproksimacííneperervnogokompaktnoznačnogovídobražennâskínčennovimírnimpídprostorom AT gnatûkvo cuttingplanemethodforsolvingtheproblemofthebestinthesenseofconvexlipschitzfunctionuniformapproximationofcontinuouscompactvaluedmapsbyfinitedimensionalsubspace AT gnatûkûv cuttingplanemethodforsolvingtheproblemofthebestinthesenseofconvexlipschitzfunctionuniformapproximationofcontinuouscompactvaluedmapsbyfinitedimensionalsubspace

Репозитарії

Схожі ресурси