Оптимізація дробово-лінійної цільової функції за додаткових лінійних обмежень на дискретній множині
У статті пропонується точний комбінаторний метод розв’язування задачі дискретної оптимізації з дробово-лінійною функцією цілі та додатковими лінійними обмеженнями. Побудовано алгоритм методу гілок та меж для розв’язування такої задачі. In the article is consider the exact combinatorics method of sol...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки |
|---|---|
| Дата: | 2012 |
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2012
|
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/48824 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Оптимізація дробово-лінійної цільової функції за додаткових лінійних обмежень на дискретній множині / О.О. Ємець, О.О. Черненко // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2012. — Вип. 6. — С. 91-96. — Бібліогр.: 11 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859624884434370560 |
|---|---|
| author | Ємець, О.О. Черненко, О.О. |
| author_facet | Ємець, О.О. Черненко, О.О. |
| citation_txt | Оптимізація дробово-лінійної цільової функції за додаткових лінійних обмежень на дискретній множині / О.О. Ємець, О.О. Черненко // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2012. — Вип. 6. — С. 91-96. — Бібліогр.: 11 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки |
| description | У статті пропонується точний комбінаторний метод розв’язування задачі дискретної оптимізації з дробово-лінійною функцією цілі та додатковими лінійними обмеженнями. Побудовано алгоритм методу гілок та меж для розв’язування такої задачі.
In the article is consider the exact combinatorics method of solving of problem discrete optimization with a linear-fractional objective function and additional linear limitations. The algorithm of branch and bound method is built for the solving of such task.
|
| first_indexed | 2025-11-29T10:07:48Z |
| format | Article |
| fulltext |
Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 6
91
УДК 519.85
О. О. Ємець, д-р фіз.-мат. наук,
О. О. Черненко, канд. фіз.-мат. наук
Полтавський університет економіки і торгівлі, м. Полтава
ОПТИМІЗАЦІЯ ДРОБОВО-ЛІНІЙНОЇ ЦІЛЬОВОЇ
ФУНКЦІЇ ЗА ДОДАТКОВИХ ЛІНІЙНИХ ОБМЕЖЕНЬ
НА ДИСКРЕТНІЙ МНОЖИНІ
У статті пропонується точний комбінаторний метод розв’язу-
вання задачі дискретної оптимізації з дробово-лінійною функцією
цілі та додатковими лінійними обмеженнями. Побудовано алго-
ритм методу гілок та меж для розв’язування такої задачі.
Ключові слова: метод гілок та меж, дробово-лінійна фу-
нкція, дискретна оптимізація.
Постановка проблеми в загальному вигляді. Багато задач до-
слідження операцій [1—11] (наприклад, планування та керування у
виробництві, розподіл ресурсів та ін.) описуються математичними
моделями дискретного програмування. Крім того, якщо мова йде про
екстремальні задачі, цільова функція може бути дробово-лінійною.
Враховуючи це, актуальними залишаються розробка методів та алго-
ритмів розв’язування задач з дробово-лінійною цільовою функцією
та проблема пошуку більш ефективних алгоритмів.
Аналіз останніх досліджень та публікацій. Побудовано методи
та алгоритми розв’язування дискретних задач оптимізації з лінійною
функцією цілі (див., наприклад, [1; 2; 8—11]). Розробці методів
розв’язування задач з дробово-лінійною цільовою функцією, в тому
числі на комбінаторних множинах, присвячено роботи [3—6].
Виділення невирішених раніше частин загальної проблеми.
В літературі не зустрічаються постановки задач дискретної оптиміза-
ції з дробово-лінійною цільовою функцією, нічого не відомо про ме-
тоди розв’язування таких задач.
Мета даної статті — запропонувати постановку задачі оптимі-
зації дробово-лінійної цільової функції за додаткових лінійних обме-
жень на дискретній множині; поширити метод гілок та меж, що грун-
тується на ідеях Ленда та Дойга, для їх розв’язування.
Виклад основного матеріалу дослідження з повним обґрун-
туванням отриманих наукових результатів. Розглянемо задачу
вигляду: знайти упорядковану пару * , *f x x , таку що
© О. О. Ємець, О. О. Черненко, 2012
Математичне та комп’ютерне моделювання
92
0
1*
0
1
( ) max ( ) max ,
n n
n
j j
j
nx R x R
j j
j
c x c
f x f x
g x g
* arg max ( )
nx R
x f x
(1)
за обмежень
1
,
n
ij j i m
j
a х b i J
; (2)
1 2, ,..., ,
j
j
j j j jm nx D d d d j J , (3)
де 1 2, ,..., nx x x x , 0j nx j J , , , ,j j ij ic g a b — дійсні констан-
ти mi J , nj J . kJ позначає множину перших k натуральних
чисел 1,2,..., k .
Нехай елементи множини jD упорядковані за зростанням:
1 20 ...
jj j jmd d d .
Задача (1)—(3) може бути розв’язана шляхом переходу до рела-
ксованої задачі: умову (3) послабимо, замінивши її
jj jm nx d j J . (4)
Застосовуючи до задачі (1), (2), (4) відображення :
0
0
1
1
n
j j
j
y
g x g
, 0j jy x y , n
nj J x R , (5)
перейдемо до задачі з лінійною функцією цілі: знайти
1 1
*
0
( ) max ( ) max
n n
n
j j
y R y R j
F y F y c y
,
1
* arg max ( )
ny R
y F y
(6)
за умов
0
1
0
n
ij j i
j
a y b y
, mi J , (7)
0 0
1
1,
n
j j
j
g y g y
(8)
0jj jm ny d y j J , (9)
де 1
0 1( , ,..., ) n
ny y y y R , 0jy , 0 0n nj J J .
Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 6
93
Зауважимо, що * *( ) ( )f x F y , де *( )f x — оптимальний
розв’язок задачі (1)—(3), а *( )F y — задачі (6)—(9).
Для розв’язування задачі (1)—(3) пропонується наступний алго-
ритм методу гілок та меж (МГМ), основна ідея якого основана на
алгоритмі Ленд та Дойг [10]. В алгоритмі описані конкретні правила
розбиття вихідної множини, способи обчислення оцінок та знахо-
дження планів, виходячи зі специфіки задачі (1)—(3).
Алгоритм розв’язування задачі (1)—(3).
Позначимо — номер ітерації.
0 — ітерація.
0.1. Визначити множину 0D , що задається умовами (2), (4).
0.2. Знайти оптимальний план 0x задачі (1), (2), (4):
0.2.1. До задачі (1), (2), (4) застосувати перетворення (5), ре-
зультат — задача (6)—(9).
0.2.2. Розв’язати лінійну задачу (6)—(9).
0.2.3. Якщо (6)—(9) не має розв’язку, то не має розв’язку (1)—
(3), інакше нехай 10 0 '
0x y y
— екстремаль (1), (2), (4), де
'
0y — перша компонента точки 0y .
0.3. Обчислити оцінку 0 0D f x .
0.4. Якщо 0
1 ,..., nx x x задовольняє (3), то
0 0
( ),f x x —
розв’язок задачі (1)—(3), інакше перейти на наступну ітерацію.
1 — ітерація.
1.1. Визначити найменший індекс j компоненти '
jx точки
0
x , та-
кої що ' j
jx D .
1.2. Записати два обмеження, що відтинають
0
x :
1
jj jmx d , (10)
2
jj jmx d , (11)
1 ' '
1 1max , , ,..., ,
j j j j j
j j
jm jm jm jm j j jmd d d D d x x x d D ,
2 ' '
1 1min , , ,..., ,
j j j j j
j j
jm jm jm jm j j jmd d d D d x x x d D .
Математичне та комп’ютерне моделювання
94
Розбити множину 0D на дві підмножини 1
1D та 1
2D , т. що
1 10 01 2
1 2, , ,
j jj jm j jmD x x D x d D x x D x d .
1.3. Знайти оптимальний план 1
1x на множині 1
1D (задача (1), (2),
(4), (10)):
1.3.1. До задачі (1), (2), (4), (10) застосувати перетворення (5),
результат — задача (6)—(9) та
1
0jj jmy d y . (12)
1.3.2. Розв’язати лінійну задачу (6)—(9), (12).
1.3.3. Якщо (6)—(9), (12) не має розв’язку, перейти на крок 1.4,
інакше нехай 11 1 '
01 1x y y
— екстремаль (1), (2), (4), (10), де
'
0y — перша координата точки 1
1y .
1.4. Знайти оптимальний план 1
2x на множині 1
2D (задача (1), (2),
(4), (11)):
1.4.1. До задачі (1), (2), (4), (11) застосувати перетворення (5),
результат — задача (6)—(9) і
2
0jj jmy d y . (13)
1.4.2. Розв’язати лінійну задачу (6)—(9), (13).
1.4.3. Якщо (6)—(9), (13) не має розв’язку, перейти на крок 1.5,
інакше нехай 11 1 '
02 2x y y
— екстремаль (1), (2), (4), (11), де
'
0y — перша координата точки 1
2y .
1.5. Якщо жодна із задач вигляду (6)—(9), (12) та (6)—(9), (13)
розв’язку не має, то задача (1)—(3) теж розв’язку не має. Інакше об-
числити оцінки 1 1
1 1D f x , 1 1
2 2D f x .
1.6. Якщо 1
, 1, 2ix i , що задовольняє (3), і 1
iD
1 1
1 2max ,D D , то
1 1
,i if x x
— розв’язок задачі (1)—
(3), інакше перейти на наступну ітерацію.
Нехай вже проведено ітерацій ( 0, 1k ), однак не знайде-
но оптимальний розв’язок.
k — ітерація.
Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 6
95
k.1. Вибрати найбільш перспективну підмножину
1 11 max max
i
k kk
v i i
i D
D D f x .
Визначити найменший індекс j компоненти '
jx точки 1kx ,
такої що ' j
jx D .
k.2. Розбити множину 1k
vD на підмножини
1
k
vD та
2
k
vD , т. що
1 2
1 11 2, , ,
j j
k kk k
v j jm v j jmv vD x x D x d D x x D x d .
k.3. Знайти оптимальний план
,1
k
vx на
1
k
vD (задача (1), (2), (4), (10)).
k.4. Знайти оптимальний план
,2
k
vx на
2
k
vD (задача (1), (2), (4), (11)).
k.5. Якщо жодна із задач вигляду (1), (2), (4), (10) та (1), (2), (4), (11)
розв’язку не має, то вибрати для подальшого розбиття іншу множину
з оптимальним планом, знайденим на (k–1)-ій ітерації (крок (k–1).6).
Інакше – обчислити оцінки
1
,1
k k
vvD f x ,
2
,2
k k
vvD f x .
k.6. Якщо
, , 1, 2k
v ix i , що задовольняє (3), і
i
k
vD
1 2
max ,
k k
v vD D , то
, ,,
k k
v i v if x x
— розв’язок задачі
(1)—(3), інакше перейти на наступну (k+1)-у ітерацію.
Твердження. Алгоритм МГМ, застосовний до задачі (1)—(3),
знаходить її оптимальний розв’язок.
Доведення. Враховуючи спосіб галуження — для подальшого
розбиття вибирають множину iD з найбільшою оцінкою, тобто з
найбільшим значенням цільової функції (крок k.1 алгоритму), та пра-
вила відсікання (за кроком k.2 алгоритму відсікаються тільки ті мно-
жини iD , які не містять точок, що задовольняють (4)), маємо, що
*max max
ix D
f x f x
. Для ітерацій 1 у випадку, якщо вибра-
на область iD не містить точок з цілочисловими координатами, ви-
користовуємо для подальшого галуження множину з меншою оцін-
кою, знайденою на попередній ітерації (крок k.2 алгоритму).
Твердження доведено.
Висновки з даного дослідження. Отже, в роботі побудовано ал-
горитм методу гілок та меж для розв’язування задач оптимізації дро-
Математичне та комп’ютерне моделювання
96
бово-лінійної цільової функції за додаткових лінійних обмежень на
дискретній множині.
Перспективи подальших розвідок у даному напрямі. Доціль-
но в подальшому запрограмувати запропонований метод та провести
оцінку ефективності алгоритму.
Список використаних джерел:
1. Сергиенко И. В. Приближенные методы решения дискретных задач оп-
тимизации / И. В. Сергиенко, Т. Т. Лебедева, В. А. Рощин. — К. : Наук.
думка, 1980. — 266 с.
2. Cтоян Ю. Г. Теорія і методи евклідової комбінаторної оптимізації /
Ю. Г. Cтоян, О. О. Ємець. — К. : Інститут системних досліджень освіти,
1993. — 188 с.
3. Ємець О. О. Задачі комбінаторної оптимізації з дробово-лінійними цільо-
вими функціями / О. О. Ємець, Л. М. Колєчкіна. — К. : Наук. думка,
2005. — 117 с.
4. Емец О. А. Оптимизация дробно-линейных функций на размещениях /
О. А. Емец, О. А. Черненко. — К. : Наук. думка, 2011. — 154 с.
5. Емец О. А. Оптимизация на полиперестановках / О. А. Емец, Н. Г. Рома-
нова. — К. : Наук. думка, 2010. — 105 с.
6. Лінійні умовні задачі комбінаторної оптимізації на переставленнях та їх
розв’язування / О. О. Ємець, Є. М. Ємець, Т. О. Парфьонова, Т. В. Чілікі-
на // Штучний інтелект. — 2011. — № 2. — С. 131–135.
7. Ємець О. О. Транспортні задачі комбінаторного типу: властивості, роз-
в’язування, узагальнення : монографія / О. О. Ємець, Т. О. Парфьонова.
— Полтава : ПУЕТ, 2011. — 174 с.
8. Корбут А. А. Дискретное программирование / А. А. Корбут, Ю. Ю. Фин-
кельштейн. — М. : Наука, 1969. — 368 с.
9. Корбут А. А. Метод ветвей и границ: обзор теории, алгоритмов, программ
и приложений / А. А. Корбут, И. Х. Сигал, Ю. Ю. Финкельштейн // Math.
Operationsch und Statist., Ser. Optimiz. — 1977. — № 2. — P. 253–280.
10. Land A. H. An autmatic method of solving discrete programming problems /
A. H. Land, A. G. Doig // Econometrica. — 1960. — V. 28. — Р. 497–520.
11. Линейное и нелинейное программирование / И. Н. Ляшенко, Е. А. Кара-
годова, Н. В. Черникова. Н. З. Шор. — К. : Вища школа, 1975. — 372 с.
In the article is consider the exact combinatorics method of solving of
problem discrete optimization with a linear-fractional objective function
and additional linear limitations. The algorithm of branch and bound
method is built for the solving of such task.
Key words: branch and bound method, linear-fractional function, dis-
crete optimization.
Отримано: 21.03.2012
<<
/ASCII85EncodePages false
/AllowTransparency false
/AutoPositionEPSFiles true
/AutoRotatePages /All
/Binding /Left
/CalGrayProfile (Gray Gamma 2.2)
/CalRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1)
/CalCMYKProfile (Coated FOGRA27 \050ISO 12647-2:2004\051)
/sRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1)
/CannotEmbedFontPolicy /Warning
/CompatibilityLevel 1.3
/CompressObjects /Tags
/CompressPages true
/ConvertImagesToIndexed true
/PassThroughJPEGImages true
/CreateJobTicket false
/DefaultRenderingIntent /Default
/DetectBlends true
/DetectCurves 0.1000
/ColorConversionStrategy /sRGB
/DoThumbnails false
/EmbedAllFonts true
/EmbedOpenType false
/ParseICCProfilesInComments true
/EmbedJobOptions true
/DSCReportingLevel 0
/EmitDSCWarnings false
/EndPage -1
/ImageMemory 1048576
/LockDistillerParams false
/MaxSubsetPct 100
/Optimize true
/OPM 1
/ParseDSCComments true
/ParseDSCCommentsForDocInfo true
/PreserveCopyPage true
/PreserveDICMYKValues true
/PreserveEPSInfo false
/PreserveFlatness false
/PreserveHalftoneInfo false
/PreserveOPIComments false
/PreserveOverprintSettings true
/StartPage 1
/SubsetFonts true
/TransferFunctionInfo /Apply
/UCRandBGInfo /Remove
/UsePrologue false
/ColorSettingsFile ()
/AlwaysEmbed [ true
]
/NeverEmbed [ true
/Arial-Black
/Arial-BlackItalic
/Arial-BoldItalicMT
/Arial-BoldMT
/Arial-ItalicMT
/ArialMT
/ArialNarrow
/ArialNarrow-Bold
/ArialNarrow-BoldItalic
/ArialNarrow-Italic
/ArialUnicodeMS
/CenturyGothic
/CenturyGothic-Bold
/CenturyGothic-BoldItalic
/CenturyGothic-Italic
/CourierNewPS-BoldItalicMT
/CourierNewPS-BoldMT
/CourierNewPS-ItalicMT
/CourierNewPSMT
/Georgia
/Georgia-Bold
/Georgia-BoldItalic
/Georgia-Italic
/Impact
/LucidaConsole
/Tahoma
/Tahoma-Bold
/TimesNewRomanMT-ExtraBold
/TimesNewRomanPS-BoldItalicMT
/TimesNewRomanPS-BoldMT
/TimesNewRomanPS-ItalicMT
/TimesNewRomanPSMT
/Trebuchet-BoldItalic
/TrebuchetMS
/TrebuchetMS-Bold
/TrebuchetMS-Italic
/Verdana
/Verdana-Bold
/Verdana-BoldItalic
/Verdana-Italic
]
/AntiAliasColorImages false
/CropColorImages false
/ColorImageMinResolution 150
/ColorImageMinResolutionPolicy /OK
/DownsampleColorImages true
/ColorImageDownsampleType /Bicubic
/ColorImageResolution 150
/ColorImageDepth -1
/ColorImageMinDownsampleDepth 1
/ColorImageDownsampleThreshold 1.50000
/EncodeColorImages true
/ColorImageFilter /DCTEncode
/AutoFilterColorImages true
/ColorImageAutoFilterStrategy /JPEG
/ColorACSImageDict <<
/QFactor 0.76
/HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2]
>>
/ColorImageDict <<
/QFactor 0.76
/HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2]
>>
/JPEG2000ColorACSImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 15
>>
/JPEG2000ColorImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 15
>>
/AntiAliasGrayImages false
/CropGrayImages false
/GrayImageMinResolution 150
/GrayImageMinResolutionPolicy /OK
/DownsampleGrayImages true
/GrayImageDownsampleType /Bicubic
/GrayImageResolution 150
/GrayImageDepth -1
/GrayImageMinDownsampleDepth 2
/GrayImageDownsampleThreshold 1.50000
/EncodeGrayImages true
/GrayImageFilter /DCTEncode
/AutoFilterGrayImages true
/GrayImageAutoFilterStrategy /JPEG
/GrayACSImageDict <<
/QFactor 0.76
/HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2]
>>
/GrayImageDict <<
/QFactor 0.76
/HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2]
>>
/JPEG2000GrayACSImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 15
>>
/JPEG2000GrayImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 15
>>
/AntiAliasMonoImages false
/CropMonoImages false
/MonoImageMinResolution 1200
/MonoImageMinResolutionPolicy /OK
/DownsampleMonoImages true
/MonoImageDownsampleType /Bicubic
/MonoImageResolution 1200
/MonoImageDepth -1
/MonoImageDownsampleThreshold 1.50000
/EncodeMonoImages true
/MonoImageFilter /CCITTFaxEncode
/MonoImageDict <<
/K -1
>>
/AllowPSXObjects true
/CheckCompliance [
/PDFX1a:2001
]
/PDFX1aCheck false
/PDFX3Check false
/PDFXCompliantPDFOnly false
/PDFXNoTrimBoxError true
/PDFXTrimBoxToMediaBoxOffset [
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
]
/PDFXSetBleedBoxToMediaBox true
/PDFXBleedBoxToTrimBoxOffset [
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
]
/PDFXOutputIntentProfile (None)
/PDFXOutputConditionIdentifier ()
/PDFXOutputCondition ()
/PDFXRegistryName ()
/PDFXTrapped /False
/CreateJDFFile false
/Description <<
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
/BGR <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>
/CHS <FEFF4f7f75288fd94e9b8bbe5b9a521b5efa7684002000410064006f006200650020005000440046002065876863900275284e8e55464e1a65876863768467e5770b548c62535370300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c676562535f00521b5efa768400200050004400460020658768633002>
/CHT <FEFF4f7f752890194e9b8a2d7f6e5efa7acb7684002000410064006f006200650020005000440046002065874ef69069752865bc666e901a554652d965874ef6768467e5770b548c52175370300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c4f86958b555f5df25efa7acb76840020005000440046002065874ef63002>
/CZE <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>
/DAN <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>
/DEU <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>
/ENU (Use these settings to create Adobe PDF documents suitable for reliable viewing and printing of business documents. Created PDF documents can be opened with Acrobat and Adobe Reader 5.0 and later.)
/ESP <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>
/ETI <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>
/FRA <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>
/GRE <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>
/HEB <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>
/HRV (Za stvaranje Adobe PDF dokumenata pogodnih za pouzdani prikaz i ispis poslovnih dokumenata koristite ove postavke. Stvoreni PDF dokumenti mogu se otvoriti Acrobat i Adobe Reader 5.0 i kasnijim verzijama.)
/HUN <FEFF00410020006800690076006100740061006c006f007300200064006f006b0075006d0065006e00740075006d006f006b0020006d00650067006200ed007a00680061007400f30020006d0065006700740065006b0069006e007400e9007300e900720065002000e900730020006e0079006f006d00740061007400e1007300e10072006100200073007a00e1006e0074002000410064006f00620065002000500044004600200064006f006b0075006d0065006e00740075006d006f006b0061007400200065007a0065006b006b0065006c0020006100200062006500e1006c006c00ed007400e10073006f006b006b0061006c00200068006f007a006800610074006a00610020006c00e9007400720065002e0020002000410020006c00e90074007200650068006f007a006f00740074002000500044004600200064006f006b0075006d0065006e00740075006d006f006b00200061007a0020004100630072006f006200610074002000e9007300200061007a002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e0030002c0020007600610067007900200061007a002000610074007400f3006c0020006b00e9007301510062006200690020007600650072007a006900f3006b006b0061006c0020006e00790069007400680061007400f3006b0020006d00650067002e>
/ITA (Utilizzare queste impostazioni per creare documenti Adobe PDF adatti per visualizzare e stampare documenti aziendali in modo affidabile. I documenti PDF creati possono essere aperti con Acrobat e Adobe Reader 5.0 e versioni successive.)
/JPN <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>
/KOR <FEFFc7740020c124c815c7440020c0acc6a9d558c5ec0020be44c988b2c8c2a40020bb38c11cb97c0020c548c815c801c73cb85c0020bcf4ace00020c778c1c4d558b2940020b3700020ac00c7a50020c801d569d55c002000410064006f0062006500200050004400460020bb38c11cb97c0020c791c131d569b2c8b2e4002e0020c774b807ac8c0020c791c131b41c00200050004400460020bb38c11cb2940020004100630072006f0062006100740020bc0f002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e00300020c774c0c1c5d0c11c0020c5f40020c2180020c788c2b5b2c8b2e4002e>
/LTH <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>
/LVI <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>
/NLD (Gebruik deze instellingen om Adobe PDF-documenten te maken waarmee zakelijke documenten betrouwbaar kunnen worden weergegeven en afgedrukt. De gemaakte PDF-documenten kunnen worden geopend met Acrobat en Adobe Reader 5.0 en hoger.)
/NOR <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>
/POL <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>
/PTB <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>
/RUM <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>
/SKY <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>
/SLV <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>
/SUO <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>
/SVE <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>
/TUR <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>
/UKR <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>
/RUS <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>
>>
/Namespace [
(Adobe)
(Common)
(1.0)
]
/OtherNamespaces [
<<
/AsReaderSpreads false
/CropImagesToFrames true
/ErrorControl /WarnAndContinue
/FlattenerIgnoreSpreadOverrides false
/IncludeGuidesGrids false
/IncludeNonPrinting false
/IncludeSlug false
/Namespace [
(Adobe)
(InDesign)
(4.0)
]
/OmitPlacedBitmaps false
/OmitPlacedEPS false
/OmitPlacedPDF false
/SimulateOverprint /Legacy
>>
<<
/AllowImageBreaks true
/AllowTableBreaks true
/ExpandPage false
/HonorBaseURL true
/HonorRolloverEffect false
/IgnoreHTMLPageBreaks false
/IncludeHeaderFooter false
/MarginOffset [
0
0
0
0
]
/MetadataAuthor ()
/MetadataKeywords ()
/MetadataSubject ()
/MetadataTitle ()
/MetricPageSize [
0
0
]
/MetricUnit /inch
/MobileCompatible 0
/Namespace [
(Adobe)
(GoLive)
(8.0)
]
/OpenZoomToHTMLFontSize false
/PageOrientation /Portrait
/RemoveBackground false
/ShrinkContent true
/TreatColorsAs /MainMonitorColors
/UseEmbeddedProfiles false
/UseHTMLTitleAsMetadata true
>>
<<
/AddBleedMarks false
/AddColorBars false
/AddCropMarks false
/AddPageInfo false
/AddRegMarks false
/BleedOffset [
0
0
0
0
]
/ConvertColors /ConvertToRGB
/DestinationProfileName (sRGB IEC61966-2.1)
/DestinationProfileSelector /UseName
/Downsample16BitImages true
/FlattenerPreset <<
/PresetSelector /MediumResolution
>>
/FormElements true
/GenerateStructure false
/IncludeBookmarks false
/IncludeHyperlinks false
/IncludeInteractive false
/IncludeLayers false
/IncludeProfiles true
/MarksOffset 6
/MarksWeight 0.250000
/MultimediaHandling /UseObjectSettings
/Namespace [
(Adobe)
(CreativeSuite)
(2.0)
]
/PDFXOutputIntentProfileSelector /DocumentCMYK
/PageMarksFile /RomanDefault
/PreserveEditing true
/UntaggedCMYKHandling /UseDocumentProfile
/UntaggedRGBHandling /LeaveUntagged
/UseDocumentBleed false
>>
]
>> setdistillerparams
<<
/HWResolution [600 600]
/PageSize [419.528 595.276]
>> setpagedevice
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-48824 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | XXXX-0059 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-11-29T10:07:48Z |
| publishDate | 2012 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Ємець, О.О. Черненко, О.О. 2013-09-04T14:42:36Z 2013-09-04T14:42:36Z 2012 Оптимізація дробово-лінійної цільової функції за додаткових лінійних обмежень на дискретній множині / О.О. Ємець, О.О. Черненко // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2012. — Вип. 6. — С. 91-96. — Бібліогр.: 11 назв. — укр. XXXX-0059 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/48824 519.85 У статті пропонується точний комбінаторний метод розв’язування задачі дискретної оптимізації з дробово-лінійною функцією цілі та додатковими лінійними обмеженнями. Побудовано алгоритм методу гілок та меж для розв’язування такої задачі. In the article is consider the exact combinatorics method of solving of problem discrete optimization with a linear-fractional objective function and additional linear limitations. The algorithm of branch and bound method is built for the solving of such task. uk Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки Оптимізація дробово-лінійної цільової функції за додаткових лінійних обмежень на дискретній множині The optimization of linear-fractiona objective function with additional linear constraints on the discrete set Article published earlier |
| spellingShingle | Оптимізація дробово-лінійної цільової функції за додаткових лінійних обмежень на дискретній множині Ємець, О.О. Черненко, О.О. |
| title | Оптимізація дробово-лінійної цільової функції за додаткових лінійних обмежень на дискретній множині |
| title_alt | The optimization of linear-fractiona objective function with additional linear constraints on the discrete set |
| title_full | Оптимізація дробово-лінійної цільової функції за додаткових лінійних обмежень на дискретній множині |
| title_fullStr | Оптимізація дробово-лінійної цільової функції за додаткових лінійних обмежень на дискретній множині |
| title_full_unstemmed | Оптимізація дробово-лінійної цільової функції за додаткових лінійних обмежень на дискретній множині |
| title_short | Оптимізація дробово-лінійної цільової функції за додаткових лінійних обмежень на дискретній множині |
| title_sort | оптимізація дробово-лінійної цільової функції за додаткових лінійних обмежень на дискретній множині |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/48824 |
| work_keys_str_mv | AT êmecʹoo optimízacíâdrobovolíníinoícílʹovoífunkcíízadodatkovihlíníinihobmeženʹnadiskretníimnožiní AT černenkooo optimízacíâdrobovolíníinoícílʹovoífunkcíízadodatkovihlíníinihobmeženʹnadiskretníimnožiní AT êmecʹoo theoptimizationoflinearfractionaobjectivefunctionwithadditionallinearconstraintsonthediscreteset AT černenkooo theoptimizationoflinearfractionaobjectivefunctionwithadditionallinearconstraintsonthediscreteset |