Періодичні розв'язки функціонально-сингулярно збурених лінійних звичайних диференціальних рівнянь вищих порядків

Встановлено достатні умови існування періодичних розв’язків функціонально-сингулярно збурених лінійних звичайних диференціального рівняння вищих порядків для довільної періодичної неоднорідності. We establish sufficient conditions for the existence of periodic solutions of function-singular perturba...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Опубліковано в: :	Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки
Дата:	2012
Автор:	Єрьоменко, В.О.
Формат:	Стаття
Мова:	Українська
Опубліковано:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2012
Онлайн доступ:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/48825
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Періодичні розв'язки функціонально-сингулярно збурених лінійних звичайних диференціальних рівнянь вищих порядків / В.О. Єрьоменко // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2012. — Вип. 6. — С. 97-113. — Бібліогр.: 11 назв. — укр.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

_version_	1860114081016446976
author	Єрьоменко, В.О.
author_facet	Єрьоменко, В.О.
citation_txt	Періодичні розв'язки функціонально-сингулярно збурених лінійних звичайних диференціальних рівнянь вищих порядків / В.О. Єрьоменко // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2012. — Вип. 6. — С. 97-113. — Бібліогр.: 11 назв. — укр.
collection	DSpace DC
container_title	Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки
description	Встановлено достатні умови існування періодичних розв’язків функціонально-сингулярно збурених лінійних звичайних диференціального рівняння вищих порядків для довільної періодичної неоднорідності. We establish sufficient conditions for the existence of periodic solutions of function-singular perturbations of linear higher-order differential equations for arbitrary periodic inhomogeneity.
first_indexed	2025-12-07T17:35:17Z
format	Article
fulltext	Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 6 97 УДК 517.919 В. О. Єрьоменко, канд. фіз.-мат. наук Тернопільський національний економічний університет, м. Тернопіль ПЕРІОДИЧНІ РОЗВ'ЯЗКИ ФУНКЦІОНАЛЬНО-СИНГУЛЯРНО ЗБУРЕНИХ ЛІНІЙНИХ ЗВИЧАЙНИХ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ ВИЩИХ ПОРЯДКІВ Встановлено достатні умови існування періодичних роз- в’язків функціонально-сингулярно збурених лінійних звичай- них диференціального рівняння вищих порядків для довільної періодичної неоднорідності. Ключові слова: періодичні розв'язки, сингулярно збурені лінійні звичайні диференціальні рівняння вищих порядків. Умовні позначення: rC (T1) — простір векторних або матричних функцій, що набувають дійсних значень, періодичних з періодом 2 і таких, що є неперервними разом із усіма похідними до порядку r включ- но; rH (T1) — простір функцій, інтегрованих із квадратом на T1 = [0; 2 ] разом із усіма узагальненими похідними до порядку r включно; ( , ) rt C  означає, що по змінній t функція ( , )t  належить rC (T1), а по  неперервна рівномірно відносно t ; . , . — скалярний добуток в nR ; 1 ( ) ,0 ( ) max ( ) r t r t t        , . — евклідова векторна або узго- джена матрична норма. 1. Розглянемо скалярне лінійне диференціальне рівняння ( ) ( ) 1 1 1 ( ) ( ) ( ), n n n i i i a t x a t x f t      (1) де  — додатний малий параметр, множина нулів функції 1( )a t не- порожня. У випадку 1  і поліноміальних коефіцієнтів (нулі 1( )a t ізольовані) це рівняння детально досліджене [1, с. 113]. При цьому для 2n  отримуються рівняння: Лежандра, гіпергеометричне і ви- роджене гіпергеометричне, Бесселя тощо. Рівняння (1) при 1( ) 1a t  вивчалося при дослідженні задачі про точки повороту. Найбільш за- гальні результати отримав Сибуйа [2, с. 227]. Рівняння (1) рівносильне деякій системі диференціальних рів- нянь, узагальнення якої має вигляд (1)( , ) ( , ) ( , ),k A t X B t X F t     (2) де 0,k  0 1,  квадратна матриця порядку n ( , )A t  вироджує- ться при всіх значеннях  або при 0  . Ці системи описують про- © В. О. Єрьоменко, 2012 Математичне та комп’ютерне моделювання 98 цеси, які зустрічаються у різних галузях сучасної науки і техніки [3]. Найбільш повне дослідження системи (2) викладене в [3]. Об’єктом дослідження є скалярне диференціальне рівняння ( 1) ( ) ( 1) 1( ) ( ) ( ) ( )n n n na t x x b t x b t x f t       (3) із дійсними періодичними коефіцієнтами, де ( )a t набирає нульові зна- чення на множині довільної структур,  — малий додатний параметр. Вивчаються питання: 1) при яких умовах рівняння (3) має глад- кий періодичний розв’язок 0 ( , )x t  для довільної періодичної неод- норідності; 2) якщо «вироджене» рівняння ( ) ( 1) 1( ) ( ) ( )n n ny b t y b t y f t    (4) володіє періодичним розв’язком 0 ( )y t для довільної періодичної неод- норідності, то який зв’язок між функціями 0 ( , )x t  та 0 ( )y t в процесі спрямування  до нуля; 3) яка оцінка максимального значення малого параметра  , при якому зберігається періодичний розв’язок 0 ( , )x t  . Зауважимо, що рівняння (3) рівносильне системі диференціальних рівнянь виду (2), однак методи, розроблені в [3] та інших роботах, не можна використати для дослідження отриманої системи. У випадку ( ) 1a t  рівняння (3) природно назвати сингулярно збуреним відносно рівняння (4). А наявність нулів функції ( )a t (необов’язково ізольованих) дозволяє назвати збурення рівняння (4) функціонально-сингулярними. Нарешті, наявність параметра в рівнянні (3) обумовлена, зокрема, таким фактом [4]: скалярне рівняння (1)(sin ) (sin ) ,bt x bx t  де b — ціле до- датне число, має періодичний розв’язок, гладкість r якого визначається нерівністю cos 0.b r t  При вивченні поставлених задач суттєво використано дослі- дження вироджених систем типу Ріккаті. Ефективність такого підхо- ду показано в [5] та [6] при дослідженні рівнянь виду (3) другого та третього порядків відповідно. 2. Рівняння (3) рівносильне системі рівнянь   (1) 1 2 1 , ( ) 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 , 0 0 0 0 1 0 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) n n n n diag E a t X X b t b t b t b t f t                                                   (5) де  (1) ( ), , , nX col x x x  , nE — одинична матриця порядку n . Введемо у розгляд квадратні матриці порядку 1n  Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 6 99 1 2 1 2 1 0 0 0 0 1 0 0 ( , ) , 0 0 1 0 1 n n z z V t z az az az                                 1 2 1 0 0 0 0 1 0 0 ( , ) , 0 0 1 0 1n W t z z z                           (6) де 1( , )z t  , 2 ( , )z t  ,…, ( , )nz t  задовольняють нелінійній системі n диференціальних рівнянь (1) 11 (1) 1 2 12 (1) 2 3 13 (1) 1 1 ( ) [1 ( ) ] ( ) 0, ( ) ( ) [1 ( ) ] ( ) 0, ,( ) ( ) [1 ( ) ] ( ) 0 ................ ( ) ( ) [1 ( ) ] ( ) 0. n n n n n n n n n n a t z a t z z b t a t z a t z a t z z b t a t z a t z a t z z b t a t z a t z a t z z b t                                          (7) Якщо система рівнянь (7) має періодичний розв’язок ( 1( , )z t  , 2 ( , )z t  ,…, ( , )nz t  ) такий, що для деякого 0  і всіх tT1, 0(0, ]  виконуються нерівності 1 ( , ) 0,iz t   1, ,i n (8) тоді матриці ( , )V t  , ( , )W t  є періодичними та невиродженими і при цьому система рівнянь (5) після заміни ( , )X W t Y і множення злі- ва на ( , )V t  набере такого вигляду   (1) 1 2 3 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 , ( ) , 0 0 0 1 0 0 1 ( ) 0 0 0 0 1 n n n diag E a t Y Y z z z z f t az                                            (9) де 1 2 1( , , , ).nY col y y y   3. Дослідимо систему рівнянь (7), векторна форма якої має такий вигляд Математичне та комп’ютерне моделювання 100 (1)( ) [ ( , ) ( ) ] ( ),n na t z P t a t z E z b t     (10) де 1 0 0 0 0 ( ) 1 0 0 0 ( , ) ,0 ( ) 1 0 0 0 0 0 ( ) 1 a t P t a t a t                               1 1 , n n b b b b              1 2 n z z z z               . (11) Здійснивши у рівнянні (10) заміну ( ),z u b t  (12) отримаємо (1) 1( ) [ ( , ) ( ) ] ( ),n na t u P t a t u E u g t      (13) де 1 1 1 1 1 2 1 1 0 0 0 1 0 0 ( , ) ,0 1 0 0 0 0 1 n n n ab ab a ab ab P t a ab ab a ab                                          (14) (1) (1) (1)(1) 2 1 1 1 1 2 1 1 21 2 1( ; ; ; ; },n n n n n nn ng a col b b b b b b b b b b b b b b           1 2( , , , ).nu col u u u  Оцінимо мінімальне власне значення матриці  * 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 3 2 1 1 2 1 / 2 0 0 ... 0 / 2 / 2 1 / 2 0 ... 0 / 2 0 / 2 1 / 2 ... 0 / 2 ... 0 0 0 0 ... 1 ( 1) / 2 / 2 / 2 / 2 / 2 ... ( 1) / 2 1 2 n n n n n n n P P ab a ab a ab a ab a ab a ab ab a b ab ab ab ab a b b                                                              , (15) де зірочка — операція транспонування матриці. Для цього знайдемо мак- симальні та мінімальні власні значення симетричних матриць порядку n 2 0 1 / 2 0 0 0 1 / 2 0 1 / 2 0 0 0 1 / 2 0 0 0 , 0 0 0 0 1 / 2 0 0 0 1 / 2 0 P                               Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 6 101 1 3 2 1 2 1 0 0 0 / 2 0 0 0 / 2 , 0 0 0 / 2 / 2 / 2 / 2 n n n n b b P b b b b b                            оскільки з урахуванням (15)  * 1 1 1 2 3 1 ( , ) ( , ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) , 2 nP t P t a t b t E a t P P t            (16) а функція ( )a t , взагалі кажучи, можна набирати значень різних знаків. Характеристичний многочлен для матриці 2P  2 2 1 0 0 0 1 2 1 0 0 0 1 2 0 01 1 det ( ) det . ( 2) ( 2) 0 0 0 2 1 0 0 0 1 2 n nn n P E T                                           Для ( )nT  виконуються рекурентні формули 1( ) 2 ( )n nT T    2 ( )nT  , а тому [7, с. 768] ( )nT  — многочлен Чебишева першого ро- ду, явний вираз для якого має вид ( ) cos( arccos )nT n  , 1, 2,3,n   . Із останнього співвідношення отримуються власні значення матриці 2P : (2 1) cos 2k k n    , 1, ,k n звідки  max 2 cos 2 P n   ,  min 2 cos 2 P n    . (17) Для характеристичного многочлена матриці 3 ( )P t ( )n   3det ( ) nP t E    виконуються рекурентні співвідношення ( )n   2 2 1( ) ( ) / 4n n nb         , розглядаючи які як різницеві рівняння, отримаємо 2 2 2 1 2 1 ( ) ( ) 4 n n n i i b b                 , звідки   1/2 2 max 3 1 1 ( ) ( ) / 2, n i i P t b t b              (18) Математичне та комп’ютерне моделювання 102   1/2 2 min 3 1 1 ( ) ( ) / 2. n i i P t b t b              З урахуванням (16)—(18) отримаємо     2 1 1 2 3( , ) , 1 ( ) ( ) , ( ) ( ) , 1 ( )nP t a t b t E a t P P t p t                  t  T1, де 2 1 1 2 1 1 ( ) cos 3 ( ) / 2 , якщо ( ) 0, 2 ( ) ( ) cos 3 ( ) / 2 , якщо ( ) 0. 2 n i i n i i a t b t b a t n p t a t b t b a t n                                         (19) Нехай 1 0 max ( ), t p p t   0 0(1 ) / ,p   (0,5;1)const   . (20) Тоді для всіх tT1, 0(0, ]  виконується нерівність 2 1( , ) ,P t      . (21) Розглянемо систему рівнянь 1 / ( ), / ( , ) ( ) ( ),n n dt d a t du d P t a t u E u g t               (22) у припущенні, що ( )a t , 1( )b t ,…, 2( )nb t C ( T1). Згідно з теоремою Ліпшиця і теоремою 2 [8, с. 429] для першого рівняння системи (22) через кожну точку t R проходить єдиний розв’язок ( , )t t  , 0 ( , )t t t  , визначений для всіх R  . За однорід- ною системою, яка відповідає системі (13), побудуємо оператор 1:L H ( T1) 0H ( T1), поклавши 1( ) ( , ) ( ) .n n du Lu a t P t a t u E u dt        (23) Позначимо C (T1) — підпростір C(T1), який складається із всіх функцій u , для яких ( ( , ))u t t  має по  неперервну похідну таку, що    ( , ) / ( , )du t t d u t t     (24) для всіх ,R  t T1, 0(0, ]  і деякої функції ( )u t C ( T1). Визначимо тепер дію оператора L на функції u C (T1), поклавши Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 6 103 1( ) ( ) ( , ) ( ) ( ) ( ).n nLu t u t P t a t u t E u t      (25) Оскільки згідно з (24) і першим рівнянням системи (22) ( ( , )) ( ( , )) ( , ) ( ( , )) ( ( , )) du t t du t t dut t du t t a t t d dt d dt                 , (26) то оператор, що задається рівністю (25), співпадає з оператором, визна- ченим співвідношенням (23), кожний раз тоді, коли u C (T1) 1H (T1). Наступне твердження встановлює зв'язок між існуванням інварі- антних торів [9] системи рівнянь (22) і періодичним розв’язком сис- теми (13). Лема 1. Нехай система рівнянь (22) для деякого 0 0  має ін- варіантний тор ( , ) ru U t C  (T1), 0r  , 0 (0, ]  . (27) Тоді U C (T1) і ( , ) ( )LU t g t  . Справді, якщо рівність (27) визначає інваріантний тор системи (22), тоді U C (T1) і 1 ( ) ( ( , ), ) ( ( , ), ) ( ( , )) ( ( , ), ) ( ( , ), ) ( ( , )) n n dU t t P t t a t t U t t E d U t t g t t                            (28) для всіх ,R  t T1, 0(0, ]  , де ( )nU — n -а компонента векто- ра U . Неперервність і періодичність по t правої частини тотожності (28) гарантують належність простору C (T1), а рівність, що отриму- ється із (28) при 0  з урахуванням (26), веде до тотожності ( , ) ( )LU t g t  для всіх t T1, 0(0, ]  . Зауваження. Для класичності розв’язку системи (13) слід у включенні (27) вимагати, щоб 1r  . Для знаходження інваріантного тора ( , )u U t  нелінійної по u системи рівнянь (22) використаємо один із процесів лінеаризації, роз- глянутий у [9]. Задамо нульову ітерацію процесу функцією ( , ) 0oU t   , t T1, і визначимо послідовність торів 1( , )iu U t  , t T1, 0(0, ]  , 0 0  , 0,1, 2,...,i  (29) кожний із яких є інваріантним тором системи 1 , / ( ), / ( , ) ( ) ( , ) ( ),i n n dt d a t du d P t a t U t E u g t                (30) де ,i nU — n -а компонента вектора iU . Математичне та комп’ютерне моделювання 104 Розглянемо систему рівнянь / ( ),dt d a t  1/ ( , ) ( )du d P t u g t    (31) і з’ясуємо умови існування та властивості інваріантного тора 1( , )u U t  , який визначає перше наближення вказаного ітераційного процесу. Нехай ( , )t t  , 0 ( , )t t t  — розв’язок першого рівняння систе- ми (31), а ( , )s t  ( ( , )s s nt E  ) — фундаментальна матриця систе- ми рівнянь 1/ ( ( , ), )du d P t t u    . (32) Оскільки коефіцієнти рівняння (3) за припущенням належать 2C (T1), то 2 1( , )P t C  (T1), а тому ( , )t t t   , 2( , )s t C   (T1) для всіх , s R  . Загальний розв’язок системи рівнянь (32) позначимо 0 0 0( , , , ) ( , )u u t u t u     . (33) Використавши нерівність (21), стандартним чином отримуємо оцінки  0 0( , , , ) exp ( ) ( , , , ) , ,u t u s u s t u s         tT1, 0(0, ]  ,  0 ( , ) exp ,t n     0,  tT1, 0(0, ]  . (34) Функція 0 0 ( , ) при 0, ( , , ) 0 при 0 s t s G s t s      (35) для всіх 0(0, ]  є функцією Гріна [9] задачі про інваріантний тор системи / ( ),dt d a t  1/ ( , )du d P t u   , оскільки із рівності [9, с. 121] ( ( ), ) ( , )s st t t         (36) для довільних , ,s R   та оцінки (34) випливає, що 0 ( , )s t    0 ( ( , ), ) exps st t n s      при 0s  , а для функції (35) викону- ється нерівність  0 ( , , ) expG s t n s  , 0s  , 0(0, ]  , tT1, (37) яка вказує на рівномірну обмеженість інтеграла 0 ( , , )G s t ds    по tT1 та 0(0, ]  : Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 6 105 0 ( , , ) /G s t ds n     . Зауважимо, що із співвідношень (33), (34) та (36) отримується оцінка  ( , ) exp ( )s t n s       (38) для всіх s  , , s R  , 0(0, ]  . Згідно з теоремою 1 [9, с. 124] система рівнянь (31) має інваріан- тний тор 1 0( , ) ( , , ) ( ( , ))su U t G s t g t t ds         , tT1, 0(0, ]  , (39) 1( , )U t   C (T1), якщо 2( )a t C (T1), ( ),g t 1( , )P t C  (T1). При цьому 1 0 0 ( , ) ( ) n U t g t    , 0(0, ]  . (40) З’ясуємо гладкість інваріантного тора (39) і оцінимо мінімальне значення додатної сталої K , незалежної від t та  і для якої виконує- ться нерівність 1 1 1 ( , ) ( )U t K g t  (41) для всіх 1(0, ]  і деякого 1 0  . Стандартним чином [9] з використанням (14) і (38) отримуються нерівності    0 1 ( , ) / exp , 0, ( , , ) / exp ( ) , 0, dt t dt n dG s t dt M s s              (42) де 0(0, ]  , 1 ( ) min , t da t dt    1/2 2 2(1) (1) 2 (1) 1 1 0 ( ) ( 1)( ) ( ) n i i M n ab n a ab                   ,(43) які приводять до оцінки  0 2 11 ( , , ) ( ( , )) ( ) exp ( )sG s t g t t M g t s     , (44) tT1, 0s  , 0(0, ]  , де 1 2 \| \| nMM n   . (45) Математичне та комп’ютерне моделювання 106 Покладемо 0,5 \| \|    , 1 01/ 2( \| \|)p   . (46) Тоді з урахуванням інтегрального представлення (39) та оцінки (44) функція 1( , )U t  для всіх tT1, 1(0, ]  задовольняє нерівність (41) із 22K M і є неперервною по  рівномірно відносно t . Реалізація ітераційного процесу вимагає вивчення умов, при яких система рівнянь / ( ),dt d a t  1 1/ ( , ) ( ) ( , ) ( )ndh d P t a t p t E h g t         (47) має інваріантний тор 1( , )h u t C  (T1) для всіх скалярних функцій 1 1( , )p t C  (T1) і 2(0, ]  , де 2 0const   , 2 1  . Лема 2. Нехай a(t), 2 1 2( ), ( ),..., ( )nb t b t b t C (T1), 1 1( , )p t C  (T1) — довільна скалярна функція така, що 1 0 0 ( , ) 4 ( )p t n g t  , 1 21 1 ( , ) 4 ( )p t M g t  , 1(0, ]  , (48) де стала 2M визначена рівністю (45). Тоді можна вказати додатне число 2 1  таке, що система рів- нянь (47) має інваріантний тор 1( , )h u t C  (T1), для якого викону- ються нерівності 0 0 ( , ) 4 ( )u t n g t  , 21 1 ( , ) 4 ( )u t M g t  (49) для всіх 2(0, ]  . Доведення. Розглянемо інтегральне рівняння 1( ) ( , ) ( )u Ga t p t u Gg t    , (50) де G — оператор, заданий на функціях 1( , )t C   (T1) рівністю 0( , ) ( , , ) ( ( , ), )sG t G s t t t ds          , 0G — функція Гріна (35), ( , )st t  , 0t t , — розв’язок першого рів- няння системи (47). Очевидно, що інваріантний тор системи рівнянь (47) є періодичним розв’язком інтегрального рівняння (50) і навпаки: періо- дичний розв’язок рівняння (50) є інваріантним тором системи (47). Оцінимо норму оператора 1Gap у просторах C (T1) та 1C (T1). Використовуючи співвідношення (37), (42), (45), (46), (48) для всіх 1(0, ]  отримаємо 1 0 00 ( ) ( , ) 8 \| \| \| \|Ga t p t n a g  , 2 1 2 1 11 ( ) ( , ) 16 \| \| \| \|Ga t p t M a g  . Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 6 107 Покладемо 1/2 2 1 2 1 1 1 2 min ; 8 \| \| \| \|M a g              . (51) Тоді для всіх 2(0, ]  1 1 ( ) ( , ) 1/ 2Ga t p t   і рівняння (50) має в 1C (T1) єдиний розв’язок  1 0 ( , ) ( ) ( , ) ( ) K k u t Ga t p t Gg t        , який з урахуванням (44) задовольняє для всіх 2(0, ]  нерівності (49) і є неперервним по  рівномірно відносно .t Покладемо у системі рівнянь (47) 1 1,( , ) ( , )np t U t  , 2(0, ]  . Нерівності (40) і (41) із 22K M вказують на виконання нерівностей (48), а тому згідно з лемою 2 для всіх 2(0, ]  інваріантний тор 2 ( , )h U t  , tT1, системи (47) існує і задовольняє нерівності 2 0 0 ( , ) 4 ( )U t n g t  , 2 21 1 ( , ) 4 ( )U t M g t  , 2(0, ]  . Цього достатньо, щоб по другій ітерації знайти третю, поклавши у системі (47) 1 2,( , ) ( , )np t U t  . Припустимо, що для обраного 2 0  вже знайдені ітерації для 1, 2, , 1i k  і що всі вони задовольняють нерівності виду (49). На- ступне, k -е наближення визначається тоді із системи рівнянь (47), де 1 1,( , ) ( , )k np t U t  , як її інваріантний тор ( , )kh U t  , tT1, 2(0, ]  . (52) Але оскільки для 2(0, ]  1( , )kU t  задовольняє нерівності виду (49), то і стосовно 1, ( , )k nU t  виконуються нерівності виду (48), а тому згідно з лемою 2 тор (52) існує, причому 00 ( , ) 4 ( )kU t n g t  , 2 11 ( , ) 4 ( )kU t M g t  , 2(0, ]  . (53) Метод повної математичної індукції гарантує, що для всіх 2(0, ]  довільна із ітерацій процесу визначена і задовольняє нері- вності виду (53). Доведемо збіжність ітераційного процесу. Для цього розглянемо різницю 1 1( , ) ( , ) ( , )k k kw t U t U t     , 2(0, ]  . Оскільки функції 1( , )kU t C  (T1) ( 1,2, )k   , то інваріантний тор відповідної системи рівнянь, який нею визначається, є гладким. Тому Математичне та комп’ютерне моделювання 108 1 1 , 1 ( , ) ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( , ) ( )k k n n k dU t a t P t a t U t E U t g t dt              для всіх tT1, 0,1,2,k   , 2(0, ]  . Тоді вектор-функція 1( , )kw t  задовольняє рівняння 1 1 , 1 , ( , ) ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( )k k n n k k n k dw t a t P t a t U t E w a t w U dt             . (54) Інваріантний тор 1( , )kh w t  , tT1, 2(0, ]  , системи рівнянь 1 ,( ), ( , ) ( ) ( , ) ( , )k n n k dt dh a t P t a t U t E h g t d d                , (55) де ,( , ) ( ) ( , ) ( , )k k n kg t a t w t U t    , (56) згідно з лемою 1 є періодичним розв’язком рівняння (54), якщо 1h C (T1). З урахуванням нерівностей (53) система рівнянь (55) за- довольняє умовам леми 2, у відповідності з якою для 2(0, ]  1 0 0 ( , ) 4 ( , )k kw t n g t    , 1 21 1 ( , ) 4 ( , )k kw t M g t    . Використавши (53) та (56), отримаємо 2 1 0 000 ( , ) 16 \| \| \| \|k kw t n a g w   , 2 2 1 2 1 11 1 48 \| \| \| \|k kw M a g w  , 2(0, ]  . Покладемо, враховуючи (51), 1/2 3 1 2 1 1 1 6 min ; 24 \| \| \| \|M a g              . (57) Тоді для всіх 3(0, ]  1 1 ( , ) \| ( , ) \| 2k k ll w t w t   і 1 1 1 ( , ) \| ( , ) \| 2 k k ll w t w t        , 0,1,2,k   , 0,1l  , що забезпечує збіжність послідовності ( , )kU t  , 0,1, 2,k   , в 1C (T1). А тому з урахуванням повноти простору 1C (T1) [10, с. 52] існує функція ( , )U t  , яка належить 1C (T1) для кожного 3(0, ]  і така, що lim ( , ) ( , ) k U t U t    рівномірно по tT1, 3(0, ]  . Здійс- нивши граничний перехід у нерівностях (53), отримаємо 0 0 ( , ) 4 ( )U t n g t  , 21 1 ( , ) 4 ( )U t M g t  , tT1, 3(0, ]  , (58) Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 6 109 звідки випливає неперервність по  в точці 0  функції ( , )U t  та її похідної по t рівномірно відносно tT1. Отже, система рівнянь (22) має інваріантний тор 1( , )u U t C  (T1), tT1, 3(0, ]  , для якого виконуються нерів- ності (58). Тому згідно з лемою 1 система рівнянь (13) має періодич- ний розв’язок 1( , )u U t C  (T1), а з урахуванням (12) система рів- нянь (10) має розв’язок ( , ) ( , ) ( )z t U t b t   (59) Знайдемо 4 3(0, ]  таке, що для всіх tT1, 4(0, ]  вико- нуються всі нерівності (8). Використавши (58) і (59), отримаємо 1/22 0 0 4 3 0 \| \| \| \| 8 \| \| min ; 8 \| \| ob b n g n g                . (60) Таким чином, матриці ( , )V t  , ( , )W t  , визначені (6), належать 1C (T1), якщо 3(0, ]  і не вироджені для всіх tT1, 4(0, ]  . То- му система рівнянь (5) зводиться до рівносильної системи (9). 4. Розглянемо останнє рівняння системи (9):  1 1 1( ) 1 ( ) ( , ) ( ) ( ),n n na t y a t U t b t y f t          (61) де nU — остання компонента вектор-функції ( , )U t  . Згідно з лемою 1 якщо система рівнянь  1 1 1 ( ), 1 ( ) ( , ) ( ) ( ),n n n dt a t d dy a t U t b t y f t d                   (62) для деякого 5 4(0, ]  має інваріантний тор 1 1 ( , )ny v t C   (T1), 5(0, ]  , тоді рівняння (61) має гладкий періодичний розв’язок. Покладемо     1/22 1 0 1 0 0 0 5 4 0 0 \| \| \| \| \| \| \| \| 8 \| \| \| \| min ; 8 \| \| \| \| ab ab a n g a n g                       ,(63) де число  визначене в (43). Тоді з урахуванням першої нерівності (58) для всіх 5(0, ]  , tT1 Математичне та комп’ютерне моделювання 110  0 1 00 1 1 \| ( ) \| ( , ) ( ) 2na t U t b t        , а розв’язок рівняння (61) має вид 0 1 0( , ) ( , , ) ( ( , ))n sy t G s t f t t ds        , 50    , де   0 1 0 exp 1 ( ( , )) ( ( , ), ) ( ( , )) , 0, ( , , ) 0, 0, n s a t t U t t b t t d s G s t s                             ( , )t t  , 0 ( , )t t t  , — розв’язок першого рівняння системи (62). При цьому 0 1 1( , )ny t C  (T1) для всіх 5(0, ]  , 0 1( ,0) ( )ny t f t  , 0 1 00 ( , ) 2 ( )ny t f t  , а тому 0 0 1( , ) ( ) ( , )ny t f t y t    , 0 ( ,0) 0y t  . (64) В результаті система рівнянь (9) зводиться до такого виду  (1) 1 1 11 ( ) ( , ) ( , )Y B t B t Y f t    , 5(0, ]  , (65) де 1 2 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 n n n B b b b b                             , 1 1 2 0 0 0 0 0 0 n B U U U                     , (66)  0 1 1( , ) 0, ,0, ( , )nf t col y t   ,  1 1 2, , , nY col y y y  . Нехай 0 ( , )G t s — функція Гріна [11] оператора 0 ( ) d L z z B t z dt   така, що  0 0 0( , ) exp \| \|G t s M t s   , ,t s    , (67) де 0M і 0 додатні сталі. Тоді рівняння (65) рівносильне інтеграль- ному рівнянню (1) 1 1 11 ( , ) ( , )Y TB t Y Tf t   , (68) де T — оператор, заданий на функціях 0( , )t C   (T1), 5(0, ]  , рівністю 0( , ) ( , ) ( , )T t s G t s s ds       . Якщо рівняння (68) має Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 6 111 розв’язок, тоді він є обмеженим на R а також періодичним [11, с. 46] розв’язком системи (65). Оцінюючи норму оператора 1( , )TB t  в просторі 0C (T1), вико- ристаємо співвідношення (66), (58) та (67). В результаті для всіх 5(0, ]  отримаємо 1 0 0 00 ( , ) 8 \| ( ) \| /TB t nM g t   . Покладемо 0 0 5 0 0 min ; 16 \| ( ) \|nM g t            . (69) Тоді для всіх 0(0, ]  1 0 ( , ) 1/ 2TB t   і рівняння (68) має єдиний розв’язок  0 1 1 1 0 ( , ) ( , ) ( , ) k k Y t TB t Tf t       , для якого виконується оцінка 0 1 0 000 ( , ) 4 ( ) /Y t M f t  , 0(0, ]  . (70) Рівняння (4) рівносильне системі рівнянь (1) 0 00 ( ) ( )Y B t Y f t  , (71) де  (1) ( 1) 0 ( ) , , , nY t col y y y   ,  0 ( ) 0, ,0, ( )f t col f t  . (72) При цьому єдиний періодичний розв’язок її має вид 0 0 0 0( ) ( ) ( , ) ( )Y t Tf t G t s f s ds      , а періодичний розв’язок рівняння (4) визначається рівністю 0 0 1 0( ) ( , ) ( )y t G t s f s ds     , (73) де 0 1 ( , )G t s — перший рядок матричної функції Гріна 0 ( , )G t s . Із співвідношень (70), (66), (64), (71) і (73) отримується рівність 0 0 0 1 0 1 0 1( , ) ( , ) ( ) ( , )Y t Tf Y t Y t Y t      , (74) де вектор-функція 0 1 ( , )Y t  неперервна по  і 0 1 ( ,0) 0Y t  . Отже, для всіх 0(0, ]  система рівнянь (5) має періодичний розв’язок 0 10 1 0 0 10 11 0 1 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )( , ) ( , ) nn n Y t Y t X t W t Y t W ty t y t                               , Математичне та комп’ютерне моделювання 112 де 1nW  — ( 1n  )-й рядок матриці ( , )W t  . А тому періодичним розв’язком вихідного рівняння (3) є перша компонента вектора 0 1 ( , )Y t  , яка з урахуванням рівностей (73), (74) має такий вид: 0 0 0 11( , ) ( ) ( , )x t y t Y t   , де 0 11( , )Y t  — перша компонента вектора 1( , )Y t  , яка прямує до нуля при 0  . У підсумку отримуємо наступне твердження. Теорема. Нехай стосовно рівнянь (3) та (4) виконуються умови: 1) a(t), 2 1 2( ), ( ),..., ( )nb t b t b t C (T1), f(t)C(T1); 2) існує функція Гріна 0 ( , )G t s диференціального оператора, по- родженого однорідною системою рівнянь, рівносильною рівнянню (4), така що виконується нерівність (67). Тоді існує додатне число 0 0  , визначене співвідношеннями (51), (57), (60), (63), (69), таке що для всіх 0(0, ]  та будь-якої не- однорідності ( )f t рівняння (3) має періодичний розв'язок 0 ( , )x t  , неперервний по  рівномірно відносно t і такий, що 0 0 0 lim ( , ) ( )x t y t     , де 0 ( )y t — періодичний розв’язок рівняння (4). Висновки. У статті зроблено крок у напрямку дослідження гло- бальних властивостей лінійних звичайних диференціальних рівнянь довільного порядку, не розв’язаних відносно похідної старшого по- рядку (рівняння (3) із фіксованим параметром). Встановлено, що сингулярно-функціональне збурення диференціа- льного рівняння вищих порядків при достатньо малих значеннях пара- метра приводить до регулярного збурення гладкого періодичного роз- в’язку незбуреного рівняння для довільної періодичної неоднорідності. Список використаних джерел: 1. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям / Э. Камке. — М. : Наука, 1966. — 703 с. 2. Вазов В. Асимптотические разложения решений обыкновенных диффе- ренциальных уравнений / В. Вазов. — М. : Мир, 1968. — 464 с. 3. Самойленко А. М. Лінійні системи диференціальних рівнянь з вироджен- нями / А. М. Самойленко, М. І. Шкіль, В. П. Яковець. — К. : Вища шк., 2000. — 294 с. 4. Мозер Ю. Быстро сходящийся метод итераций и нелинейные дифференци- альные уравнения / Ю. Мозер // УМН. — 1968. — Т.23, №4. — С. 179–238. 5. Еременко В. А. Периодические решения линейных вырожденных обыкно- венных дифференциальных уравнений второго порядка / В. А. Еременко // Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 6 113 Диференціальні рівняння, теорія функцій та їх застосування : міжнар. наук. конф., 16-21 черв. 2008 р. : тези доп. — Мелітополь, 2008. — С. 48–49. 6. Єрьоменко В. Періодичні розвязки сингулярно збурених лінійних звичайних диференціальних рівнянь третього порядку / В. Єрьоменко, А. Алілуйко // Вісник Тернопільського державного технічного університету. — 2009. — № 4. — С. 181–187. 7. Корн Г. Справочник по математике для научных работников и инженеров / Г. Корн, Т. Корн. — М. : Наука, 1973. — 832 с. 8. Курс обыкновенных дифференциальных уравнений / [Н. П. Еругин, И. З. Штокало и др.]. — К. : Вища шк., 1974. — 472 с. 9. Самойленко А. М. Элементы математической теории многочастотных колебаний. Инвариантные торы / А. М. Самойленко. — М. : Наука, 1987. — 304 с. 10. Треногин В. А. Функциональный анализ / В. А. Треногин. — М. : Наука, 1980. — 496 с. 11. Красносельский М. А. Нелинейные почти периодические колебания / М. А. Красносельский, В. Ш. Бурд, Ю. С. Колесов. — М. : Наука, 1970. — 352 с. We establish sufficient conditions for the existence of periodic solu- tions of function-singular perturbations of linear higher-order differential equations for arbitrary periodic inhomogeneity. Key words: periodic solution, function-singular perturbations of lin- ear ordinary higher-order differential equations. Отримано: 20.03.2012 УДК 517.965 О. І. Іолтухівська, аспірант Національний технічний університет України «КПІ», м. Київ ПРО НЕРІВНІСТІ ТИПУ ВЕНДРОФА ДЛЯ РОЗРИВНИХ ФУНКЦІЙ Розглянуто інтегро-сумарні нерівності Вендрофа. Отрима- но нову оцінку для функції, що задовольняє нерівності типу Вендрофа для функцій двох незалежних змінних. Ключові слова: інтегро-сумарна нерівность, неперервна функція, невід’ємна функція, нерівність Вендрофа. Вступ. Поняття інтегро-сумарної нерівності було введене в ро- боті Самойленка А. М. та Борисенка С. Д. [1] в 1985 р., для нерівнос- тей типу     00 ( ) ( ) , , ( ) ( , ) ( 0) k t k k k t t tt u t t K t s u s ds t t u t         , (1) © О. І. Іолтухівська, 2012 << /ASCII85EncodePages false /AllowTransparency false /AutoPositionEPSFiles true /AutoRotatePages /All /Binding /Left /CalGrayProfile (Gray Gamma 2.2) /CalRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1) /CalCMYKProfile (Coated FOGRA27 \050ISO 12647-2:2004\051) /sRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1) /CannotEmbedFontPolicy /Warning /CompatibilityLevel 1.3 /CompressObjects /Tags /CompressPages true /ConvertImagesToIndexed true /PassThroughJPEGImages true /CreateJobTicket false /DefaultRenderingIntent /Default /DetectBlends true /DetectCurves 0.1000 /ColorConversionStrategy /sRGB /DoThumbnails false /EmbedAllFonts true /EmbedOpenType false /ParseICCProfilesInComments true /EmbedJobOptions true /DSCReportingLevel 0 /EmitDSCWarnings false /EndPage -1 /ImageMemory 1048576 /LockDistillerParams false /MaxSubsetPct 100 /Optimize true /OPM 1 /ParseDSCComments true /ParseDSCCommentsForDocInfo true /PreserveCopyPage true /PreserveDICMYKValues true /PreserveEPSInfo false /PreserveFlatness false /PreserveHalftoneInfo false /PreserveOPIComments false /PreserveOverprintSettings true /StartPage 1 /SubsetFonts true /TransferFunctionInfo /Apply /UCRandBGInfo /Remove /UsePrologue false /ColorSettingsFile () /AlwaysEmbed [ true ] /NeverEmbed [ true /Arial-Black /Arial-BlackItalic /Arial-BoldItalicMT /Arial-BoldMT /Arial-ItalicMT /ArialMT /ArialNarrow /ArialNarrow-Bold /ArialNarrow-BoldItalic /ArialNarrow-Italic /ArialUnicodeMS /CenturyGothic /CenturyGothic-Bold /CenturyGothic-BoldItalic /CenturyGothic-Italic /CourierNewPS-BoldItalicMT /CourierNewPS-BoldMT /CourierNewPS-ItalicMT /CourierNewPSMT /Georgia /Georgia-Bold /Georgia-BoldItalic /Georgia-Italic /Impact /LucidaConsole /Tahoma /Tahoma-Bold /TimesNewRomanMT-ExtraBold /TimesNewRomanPS-BoldItalicMT /TimesNewRomanPS-BoldMT /TimesNewRomanPS-ItalicMT /TimesNewRomanPSMT /Trebuchet-BoldItalic /TrebuchetMS /TrebuchetMS-Bold /TrebuchetMS-Italic /Verdana /Verdana-Bold /Verdana-BoldItalic /Verdana-Italic ] /AntiAliasColorImages false /CropColorImages false /ColorImageMinResolution 150 /ColorImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleColorImages true /ColorImageDownsampleType /Bicubic /ColorImageResolution 150 /ColorImageDepth -1 /ColorImageMinDownsampleDepth 1 /ColorImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeColorImages true /ColorImageFilter /DCTEncode /AutoFilterColorImages true /ColorImageAutoFilterStrategy /JPEG /ColorACSImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /ColorImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /JPEG2000ColorACSImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /JPEG2000ColorImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /AntiAliasGrayImages false /CropGrayImages false /GrayImageMinResolution 150 /GrayImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleGrayImages true /GrayImageDownsampleType /Bicubic /GrayImageResolution 150 /GrayImageDepth -1 /GrayImageMinDownsampleDepth 2 /GrayImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeGrayImages true /GrayImageFilter /DCTEncode /AutoFilterGrayImages true /GrayImageAutoFilterStrategy /JPEG /GrayACSImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /GrayImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /JPEG2000GrayACSImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /JPEG2000GrayImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /AntiAliasMonoImages false /CropMonoImages false /MonoImageMinResolution 1200 /MonoImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleMonoImages true /MonoImageDownsampleType /Bicubic /MonoImageResolution 1200 /MonoImageDepth -1 /MonoImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeMonoImages true /MonoImageFilter /CCITTFaxEncode /MonoImageDict << /K -1 >> /AllowPSXObjects true /CheckCompliance [ /PDFX1a:2001 ] /PDFX1aCheck false /PDFX3Check false /PDFXCompliantPDFOnly false /PDFXNoTrimBoxError true /PDFXTrimBoxToMediaBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXSetBleedBoxToMediaBox true /PDFXBleedBoxToTrimBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXOutputIntentProfile (None) /PDFXOutputConditionIdentifier () /PDFXOutputCondition () /PDFXRegistryName () /PDFXTrapped /False /CreateJDFFile false /Description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> /CHS <FEFF4f7f75288fd94e9b8bbe5b9a521b5efa7684002000410064006f006200650020005000440046002065876863900275284e8e55464e1a65876863768467e5770b548c62535370300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c676562535f00521b5efa768400200050004400460020658768633002> /CHT <FEFF4f7f752890194e9b8a2d7f6e5efa7acb7684002000410064006f006200650020005000440046002065874ef69069752865bc666e901a554652d965874ef6768467e5770b548c52175370300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c4f86958b555f5df25efa7acb76840020005000440046002065874ef63002> /CZE <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> /DAN <FEFF004200720075006700200069006e0064007300740069006c006c0069006e006700650072006e0065002000740069006c0020006100740020006f007000720065007400740065002000410064006f006200650020005000440046002d0064006f006b0075006d0065006e007400650072002c0020006400650072002000650067006e006500720020007300690067002000740069006c00200064006500740061006c006a006500720065007400200073006b00e60072006d007600690073006e0069006e00670020006f00670020007500640073006b007200690076006e0069006e006700200061006600200066006f0072007200650074006e0069006e006700730064006f006b0075006d0065006e007400650072002e0020004400650020006f007000720065007400740065006400650020005000440046002d0064006f006b0075006d0065006e0074006500720020006b0061006e002000e50062006e00650073002000690020004100630072006f00620061007400200065006c006c006500720020004100630072006f006200610074002000520065006100640065007200200035002e00300020006f00670020006e0079006500720065002e> /DEU <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> /ENU (Use these settings to create Adobe PDF documents suitable for reliable viewing and printing of business documents. Created PDF documents can be opened with Acrobat and Adobe Reader 5.0 and later.) /ESP <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> /ETI <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> /FRA <FEFF005500740069006c006900730065007a00200063006500730020006f007000740069006f006e00730020006100660069006e00200064006500200063007200e900650072002000640065007300200064006f00630075006d0065006e00740073002000410064006f006200650020005000440046002000700072006f00660065007300730069006f006e006e0065006c007300200066006900610062006c0065007300200070006f007500720020006c0061002000760069007300750061006c00690073006100740069006f006e0020006500740020006c00270069006d007000720065007300730069006f006e002e0020004c0065007300200064006f00630075006d0065006e00740073002000500044004600200063007200e900e90073002000700065007500760065006e0074002000ea0074007200650020006f007500760065007200740073002000640061006e00730020004100630072006f006200610074002c002000610069006e00730069002000710075002700410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e0030002000650074002000760065007200730069006f006e007300200075006c007400e90072006900650075007200650073002e> /GRE <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> /HEB <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> /HRV (Za stvaranje Adobe PDF dokumenata pogodnih za pouzdani prikaz i ispis poslovnih dokumenata koristite ove postavke. Stvoreni PDF dokumenti mogu se otvoriti Acrobat i Adobe Reader 5.0 i kasnijim verzijama.) /HUN <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> /ITA (Utilizzare queste impostazioni per creare documenti Adobe PDF adatti per visualizzare e stampare documenti aziendali in modo affidabile. I documenti PDF creati possono essere aperti con Acrobat e Adobe Reader 5.0 e versioni successive.) /JPN <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> /KOR <FEFFc7740020c124c815c7440020c0acc6a9d558c5ec0020be44c988b2c8c2a40020bb38c11cb97c0020c548c815c801c73cb85c0020bcf4ace00020c778c1c4d558b2940020b3700020ac00c7a50020c801d569d55c002000410064006f0062006500200050004400460020bb38c11cb97c0020c791c131d569b2c8b2e4002e0020c774b807ac8c0020c791c131b41c00200050004400460020bb38c11cb2940020004100630072006f0062006100740020bc0f002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e00300020c774c0c1c5d0c11c0020c5f40020c2180020c788c2b5b2c8b2e4002e> /LTH <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> /LVI <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> /NLD (Gebruik deze instellingen om Adobe PDF-documenten te maken waarmee zakelijke documenten betrouwbaar kunnen worden weergegeven en afgedrukt. De gemaakte PDF-documenten kunnen worden geopend met Acrobat en Adobe Reader 5.0 en hoger.) /NOR <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> /POL <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> /PTB <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> /RUM <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> /SKY <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> /SLV <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> /SUO <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> /SVE <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> /TUR <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> /UKR <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> /RUS <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> >> /Namespace [ (Adobe) (Common) (1.0) ] /OtherNamespaces [ << /AsReaderSpreads false /CropImagesToFrames true /ErrorControl /WarnAndContinue /FlattenerIgnoreSpreadOverrides false /IncludeGuidesGrids false /IncludeNonPrinting false /IncludeSlug false /Namespace [ (Adobe) (InDesign) (4.0) ] /OmitPlacedBitmaps false /OmitPlacedEPS false /OmitPlacedPDF false /SimulateOverprint /Legacy >> << /AllowImageBreaks true /AllowTableBreaks true /ExpandPage false /HonorBaseURL true /HonorRolloverEffect false /IgnoreHTMLPageBreaks false /IncludeHeaderFooter false /MarginOffset [ 0 0 0 0 ] /MetadataAuthor () /MetadataKeywords () /MetadataSubject () /MetadataTitle () /MetricPageSize [ 0 0 ] /MetricUnit /inch /MobileCompatible 0 /Namespace [ (Adobe) (GoLive) (8.0) ] /OpenZoomToHTMLFontSize false /PageOrientation /Portrait /RemoveBackground false /ShrinkContent true /TreatColorsAs /MainMonitorColors /UseEmbeddedProfiles false /UseHTMLTitleAsMetadata true >> << /AddBleedMarks false /AddColorBars false /AddCropMarks false /AddPageInfo false /AddRegMarks false /BleedOffset [ 0 0 0 0 ] /ConvertColors /ConvertToRGB /DestinationProfileName (sRGB IEC61966-2.1) /DestinationProfileSelector /UseName /Downsample16BitImages true /FlattenerPreset << /PresetSelector /MediumResolution >> /FormElements true /GenerateStructure false /IncludeBookmarks false /IncludeHyperlinks false /IncludeInteractive false /IncludeLayers false /IncludeProfiles true /MarksOffset 6 /MarksWeight 0.250000 /MultimediaHandling /UseObjectSettings /Namespace [ (Adobe) (CreativeSuite) (2.0) ] /PDFXOutputIntentProfileSelector /DocumentCMYK /PageMarksFile /RomanDefault /PreserveEditing true /UntaggedCMYKHandling /UseDocumentProfile /UntaggedRGBHandling /LeaveUntagged /UseDocumentBleed false >> ] >> setdistillerparams << /HWResolution [600 600] /PageSize [419.528 595.276] >> setpagedevice
id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-48825
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
issn	XXXX-0059
language	Ukrainian
last_indexed	2025-12-07T17:35:17Z
publishDate	2012
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
record_format	dspace
spelling	Єрьоменко, В.О. 2013-09-04T14:44:46Z 2013-09-04T14:44:46Z 2012 Періодичні розв'язки функціонально-сингулярно збурених лінійних звичайних диференціальних рівнянь вищих порядків / В.О. Єрьоменко // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2012. — Вип. 6. — С. 97-113. — Бібліогр.: 11 назв. — укр. XXXX-0059 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/48825 517.919 Встановлено достатні умови існування періодичних розв’язків функціонально-сингулярно збурених лінійних звичайних диференціального рівняння вищих порядків для довільної періодичної неоднорідності. We establish sufficient conditions for the existence of periodic solutions of function-singular perturbations of linear higher-order differential equations for arbitrary periodic inhomogeneity. uk Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки Періодичні розв'язки функціонально-сингулярно збурених лінійних звичайних диференціальних рівнянь вищих порядків Periodic solutions of function-singular perturbations of linear ordinary higher-order differential equations Article published earlier
spellingShingle	Періодичні розв'язки функціонально-сингулярно збурених лінійних звичайних диференціальних рівнянь вищих порядків Єрьоменко, В.О.
title	Періодичні розв'язки функціонально-сингулярно збурених лінійних звичайних диференціальних рівнянь вищих порядків
title_alt	Periodic solutions of function-singular perturbations of linear ordinary higher-order differential equations
title_full	Періодичні розв'язки функціонально-сингулярно збурених лінійних звичайних диференціальних рівнянь вищих порядків
title_fullStr	Періодичні розв'язки функціонально-сингулярно збурених лінійних звичайних диференціальних рівнянь вищих порядків
title_full_unstemmed	Періодичні розв'язки функціонально-сингулярно збурених лінійних звичайних диференціальних рівнянь вищих порядків
title_short	Періодичні розв'язки функціонально-сингулярно збурених лінійних звичайних диференціальних рівнянь вищих порядків
title_sort	періодичні розв'язки функціонально-сингулярно збурених лінійних звичайних диференціальних рівнянь вищих порядків
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/48825
work_keys_str_mv	AT êrʹomenkovo períodičnírozvâzkifunkcíonalʹnosingulârnozburenihlíníinihzvičainihdiferencíalʹnihrívnânʹviŝihporâdkív AT êrʹomenkovo periodicsolutionsoffunctionsingularperturbationsoflinearordinaryhigherorderdifferentialequations

Періодичні розв'язки функціонально-сингулярно збурених лінійних звичайних диференціальних рівнянь вищих порядків

Репозитарії

Схожі ресурси