Дослідження властивостей розв’язків двоточкової за часом задачі для одного класу сингулярних еволюційних рівнянь

Знайдено умову існування області, в якій розв’язок двоточкової за часом задачі є обмеженою функцією за сукупністю змінних. We found the condition of the existence of a region, where a solution of two-point by time problem is a jointly bounded function....

Full description

Saved in:

Bibliographic Details
Published in:	Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки
Date:	2012
Main Authors:	Мироник, В.І., Тупкало, І.С.
Format:	Article
Language:	Ukrainian
Published:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2012
Online Access:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/48831
Tags:	Add Tag No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Cite this:	Дослідження властивостей розв’язків двоточкової за часом задачі для одного класу сингулярних еволюційних рівнянь / В.І. Мироник, І.С. Тупкало // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2012. — Вип. 6. — С. 171-182. — Бібліогр.: 8 назв. — укр.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

_version_	1859977690253099008
author	Мироник, В.І. Тупкало, І.С.
author_facet	Мироник, В.І. Тупкало, І.С.
citation_txt	Дослідження властивостей розв’язків двоточкової за часом задачі для одного класу сингулярних еволюційних рівнянь / В.І. Мироник, І.С. Тупкало // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2012. — Вип. 6. — С. 171-182. — Бібліогр.: 8 назв. — укр.
collection	DSpace DC
container_title	Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки
description	Знайдено умову існування області, в якій розв’язок двоточкової за часом задачі є обмеженою функцією за сукупністю змінних. We found the condition of the existence of a region, where a solution of two-point by time problem is a jointly bounded function.
first_indexed	2025-12-07T16:24:21Z
format	Article
fulltext	Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 6 171 2. Корн Т. Справочник по математике / Т. Корн, Г. Корн. — М. : Наука, 1977. — 832 с. 3. Левитан Б. И. Разложения по функциям Бесселя в ряды и интегралы Фурье / Б. И. Левитан // Успехи мат. наук. — 1951. — Т. 6, вып. 2. — С. 102–143. 4. Тихонов А. Н. Уравнения математической физики / А. Н. Тихонов, А. А. Самарский. — М. : Наука, 1977. — 736 с. 5. Кириллов А. А. Теоремы и задачи функционального анализа / А. А. Ки- риллов, А. Д. Гвишиани. — М. : Наука, 1979. — 384 с. 6. Владимиров В. С. Уравнения математической физики / В. С. Владими- ров. — М. : Наука, 1976. — 528 с. 7. Гельфанд И. М. Пространства основных и обобщенных функций / И. М. Гельфанд, Г. Е. Шилов. — М. : Физматгиз, 1958. — 307 с. The new classes of functions-symbols and new classes of pseudo- differential operators, which are built on such characters by direct and inverse Bessel transformation, are defined in the paper. The correct solvability of the Cauchy problem for evolution equations with pseudo-Bessel operators with ini- tial functions of the spaces such as Sobolev—Schwartz distributions is set. Key words: Bessel transformation, spaces of basic functions, spaces of generalized functions, the Cauchy problem, pseudo-Bessel operators. Отримано: 14.06.2011 УДК 517.956 В. І. Мироник, канд. фіз.-мат. наук, І. С. Тупкало, асистент Чернівецький національний університет імені Юрія Федьковича, м. Чернівці ДОСЛІДЖЕННЯ ВЛАСТИВОСТЕЙ РОЗВ’ЯЗКІВ ДВОТОЧКОВОЇ ЗА ЧАСОМ ЗАДАЧІ ДЛЯ ОДНОГО КЛАСУ СИНГУЛЯРНИХ ЕВОЛЮЦІЙНИХ РІВНЯНЬ Знайдено умову існування області, в якій розв’язок двоточко- вої за часом задачі є обмеженою функцією за сукупністю змінних. Ключові слова: двоточкова за часом задача, еволюційні рівняння, оператор Бесселя нескінченного порядку, узагальне- на функція типу розподілів. У праці [1] встановлено коректну розв’язність двоточкової за часом задачі для еволюційного рівняння з оператором Бесселя не- скінченного порядку в класі крайових умов типу розподілів. Розв’язок ( , ), ( , ) (0, )u t x t x T  , такої задачі при кожному (0, )t T є обмеженою функцією змінної x , тобто sup \| ( , ) \| ( ) x u t x c t    , функція © В. І. Мироник, І. С. Тупкало, 2012 Математичне та комп’ютерне моделювання 172 ( )c t неперервно диференційовна на (0, )T ; поведінка цієї функції в околі точки 0t  , взагалі кажучи, невідома. Крайову умову розв’язок задовольняє в сенсі узагальнених функцій. Природно виникає питан- ня про дослідження властивостей ( )c t в залежності від властивостей граничної узагальненої функції. У статті знайдено умову існування області (0, )П T  , в якій справджується нерівність \| ( , ) \|u t x c , де стала 0c  не залежить від змінних t та x . 1. Простори основних функцій    ,S S    . Простір  S S  складається з нескінченно диференційовних на  функ- цій, які спадають при x   разом з усіма своїми похідними шви- дше за будь-який степінь 1 x  , тобто S  , якщо      , 0 : .k m km km x kmk m c c x x D x c          Послідовність функцій  , 1n n S   називається збіжною в S до функції S  , якщо  , : .k m k m x n x n k m x D x D        У просторі S визначені, є лінійними і неперервними операції диференціювання та лінійної заміни змінної. Мультиплікатором у просторі S є кожна нескінченно диференційовна функція  , яка зростає на нескінченності разом з усіма своїми похідними не швидше за поліном, тобто    0 : 1 .mpm m m x mm c p x D x c x             В S можна ввести структуру зліченно нормованого простору, якщо покласти      0 sup 1 , , . p m xp x m p x D x p S            Очевидно, що 0 1 p        . Символом  p pS S  позначимо поповнення простору S за р-ою нормою; при цьому 0 1S S  , вкладення 1 ,p pS S p   є неперервними і компакт- ними. Отже, lim p p S prS   . Збіжність в отриманому зліченно нормова- ному просторі співпадає з раніше введеною збіжністю в S . Простір S є повним [2]. Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 6 173 Символом  S S    позначатимемо сукупність усіх парних фун- кцій з простру S . Оскільки S  утворює підпростір S , то в S  природ- ним способом вводиться топологія. Цей простір з відповідною тополо- гією називатимемо основним простором, а його елементи — основни- ми функціями. У просторі S  визначені і є неперервними оператор Бес- селя 2 2 1/ (2 1) / , 1/ 2B d dx x d dx       , оператор узагальненого зсуву аргументу xT  , який відповідає оператору Бесселя [3]:    2 2 2 0 2 cos sin , ,xT x b x x d S                де       1 / 1 / 2 1 / 2 , 1 / 2b           , а також пряме та обернене перетворення Бесселя 1,B BF F    [3]:        2 1 0 ( ) : , ,BF x j x x dx S                     1 2 1 0 ( ) ,Bx F x c j x d                де    12 22 1 , 1/ 2,c j          — нормована функція Бесселя, при цьому BF S S          . Оскільки до основних функцій з простору S  можна скільки завгодно разів застосовувати оператор Бесселя, то простір S  можна означити ще й так [4]:          2 : , \| , 0 : 1 . km k m km S S x x x k m c x x B x c                        Зазначимо також, що операція узагальненого зсуву аргументу диференційовна (навіть нескінченно диференційовна) в просторі S  в тому розумінні, що граничні співвідношення вигляду       1 , 0,x x xT x T x T x                 справджуються для кожної функції S   у сенсі збіжності за топо- логією цього простору. Математичне та комп’ютерне моделювання 174 2. Простори типу W та W  . Розглянемо функцію :    0, 0,   , яка є неперервною і зростаючою, причому  0 0  . Для 0x  покладемо     0 x x d     . Маємо, що  0 0  ,  — диференційовна, зростаюча на  0, функція. Крім того (див. [5]), функція  володіє наступними властивостями: а)      1 2 1 2x x x x     ,    1 2, 0,x x   ; б)  1 0, :x        x x    ; в)    0,1 0, :x        x x    . Оскільки похідна функції  при x   необмежено зростає, то  x при x   зростає швидше за довільну лінійну функцію. На проміжок  ,0 функцію  продовжимо парним чином. Поруч з функцією  розглянемо функцію :    0, 0,   , яка володіє такими ж властивостями, що і функція  . Для 0x  покладемо     0 x M x d    ,    M x M x  . Функція M аналогічна за своїми властивостями до функції  . За допомогою функцій M та  Б. Гуревич [5] ввів простори , ,M MW W W  , названі ним просторами типу W . Зокрема, символом MW  позначається сукупність цілих функцій :   , для яких       0 0 0 : expc a b z x iy z c M ax by             (сталі , ,c a b залежать лише від функції  ). Символом MW   позначи- мо сукупність усіх цілих парних функцій з простору MW  . Сукупність функцій, заданих на  , які допускають аналітичне продовження у всю комплексну площину і як функції комплексної змінної є елемен- тами простору MW   , позначимо через  MW    . Із результатів, отри- маних в [6], випливає, що    MW S     . Отже, на функціях з прос- тору  MW    визначене перетворення Бесселя, при цьому Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 6 175    1 1 B M MF W W            , де 1 та 1M — функції, двоїсті за Юнгом відповідно до функцій M та  [7]. 3. Простір узагальнених функцій S        . Символом S        поз- начатимемо простір усіх лінійних неперервних функціоналів над від- повідним простором основних функцій зі слабкою збіжністю, а його елементи називатимемо узагальненими функціями. Оскільки в основному просторі S  введена топологія проектив- ної границі просторів pS  ( pS  складається з парних функцій просто- ру pS ), причому вкладення 1 ,p pS S p      , неперервні та компа- ктні, то lim lim pp p p S pr S ind S                           . Отже, якщо f S        , то pf S        при деякому p  . Найменше з таких p називається порядком f , при цьому , p f c  , S   , де p c f — норма функціоналу f у просторі pS        (тут ,f  позначає значення фу- нкціоналу f на основній функцій  ). Згортку узагальненої функції f S        з основною функцією задамо формулою       , , , ,x xf x f T x f T S            при цьому f  є нескінченно диференційовною на  функцією, оскільки операція узагальненого зсуву аргументу нескінченно дифе- ренційовна в просторі S  . Нехай f S        . Якщо f S   , S   і із співвідношення 0  при   за топологією простору S  випливає, що Математичне та комп’ютерне моделювання 176 0f   при   за топологією простору S  , то функціонал f називається згортувачем у просторі S  . Якщо S   , то  BF S     , тому перетворення Бесселя узагаль- неної функції f S        визначимо за допомогою співвідношення (див. [4]).    , , , .B BF f f F S         (1) З (1), властивості лінійності і неперервності функціоналу f та перетворення Бесселя випливає лінійність і неперервність функціо- налу  BF f  над простором основних функцій S  . Якщо узагальнена функція f S        — згортувач у просторі S  , то для довільної функ- ції S   правильною є формула [4]:      B B BF f F f F        , при цьому  BF f  – мультиплікатор у просторі S  . 4. Основні результати. Розглянемо двоточкову задачу для ево- люційного рівняння        , / , , , 0, ,u t x t Bu t x t x T         (2) де оператор B побудований за символом  A  , який, як функція  , задовольняє наступні умови: функція  A  допускає аналітичне продовження у всю комплексну площину, MA P  , де символом MP  позначено клас цілих парних однозначних функцій :   , які є мультиплікаторами в просторах S  та MW   і такими, що Me W   . Якщо розвинення функції A в степеневий ряд має вигляд   2 2 0 , ,k k k A c        то, як випливає з результатів, наведених в [1], у просторі S  визначе- ний і є неперервним оператор Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 6 177    1 2 0 , 1/ 2, k k B B k B c B F A F               який в [1] названо оператором Бесселя нескінченного порядку. Двоточкова за часом задача для рівняння (2) у праці [1] ставить- ся так: знайти функцію  1 0, ,u C T S         , яка задовольняє рівняння (2) та крайову умову    1 0 2, \| , \| ,t t Tu t u t f f S               (3) ( 1 2,  — фіксовані параметри, 1 2 0   ) у тому сенсі, що    1 2 0 0 lim , lim , , t t T u t u t f         (4) де границі розглядаються в просторі S        . В [1] доведено, що задача (2), (3) коректно розв’язна в класі узагальнених функцій S        , її розв’язок  ,u t x подається у вигляді згортки    ,f t x ,  ,t x  , де            11 1 2 01 2 exp , , , exp k B k tA t x F G t kT x TA                          1 2/ 1, , 0, ,t x T         ,G t x — фундаментальний розв’язок задачі Коші для рівняння (2). Відомо [1], що  ,t x при кожному  0,t T , як функція аргументу x , є елементом простору S  ;  ,t  , як абстрактна функція параметра  0,t T із значеннями в просторі S  , диференційовна по t ,  ,t x задовольняє рівняння (2) та граничне співвідношення    1 2 0 0 lim , lim , , t t T t t            де  — дельта-функція Дірака, а вказані границі розглядаються в просторі S        . У праці [1] функція  називається фундаментальним розв’язком двоточкової задачі (ФРДЗ) (2), (3). Математичне та комп’ютерне моделювання 178 Теорема. Нехай  ,u t x — розв’язок задачі (2), (3), 0f  на інтервалі  ,a a   (тобто , 0, :f S     supp ( , )a a   ),    , ,b b a a   — довільно фіксований відрізок,    : 0, ,T b b    . Тоді     , 0 : sup , t x L u t x L     . Доведення. Нехай [ , ]c c   такий відрізок, що  ,b b     , ,c c a a    . Побудуємо функцію S   , яка володіє властивос- тями: 1  на  ,c c ,  0 1   ,  ,a a   , supp  ,a a   (така функція існує, бо простір S  містить фінітні парні функції). Оскільки при кожному  0,t T і x функції    ,xT t   ,     1 ,xT t     , як функції  , є елементами простору S  , то правильною є рівність          , , , , , ,x xu t f T t f T t             де 1   . Урахувавши те, що 0f  на інтервалі  ,a a   , а supp       , ,xT t a a     , з останнього співвідношення дістаємо, що      , , ,xu t x f T t     . Оскільки кожна узагальнена функція f S         має скінченний порядок, то   ,, t xp p u t x f   , де      , ,x t x T t      , p f — норма функціоналу f . Отже, для доведення того, що     , sup , t x u t x L   , досить встановити, що су- купність функцій ,t x обмежена за нормою простору pS , тобто ,t x pp c  , де стала pc не залежить від параметрів t і x , які змі- нюються вказаним способом. Оскільки  , 0t x   для  ,c c   , то оцінку ,t x pp c  досить встановити для  \ ,c c   . Функція 0 j j S S      , тобто pS  , причому Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 6 179     , 0 , , . 1 pm pp p b D m p b             (5) Тоді, урахувавши формулу диференціювання добутку двох фун- кцій, знайдемо, що          ,1 1 , p pm m x t xD D T t                     1 , , p m x xD T t T t                      0 1 , 1 , . mp pm x l l x m l m l D T t C D T t D                  Нагадаємо, що      11 2 1 2 0 , , , / 1,k k t G t kT                де  ,G t  — фундаментальний розв’язок задачі Коші для рівняння (2). Із результатів, наведених в [8], випливає, що   1 1 , MG t W   при кожному  0,t T , де 1M — функція, двоїста за Юнгом до  , 1 — функція, двоїста за Юнгом до M ; при цьому справджуються оцінки:      0 2 1 1 , ! exp ,nn x n n n x D T G t cb t n t tM b t                      (6)  0 0, 3 / 2 / ,n      де 0  , якщо 0 1T  і 0 0  , якщо 1T  , 0 3 / 2   ,  — фіксоване,  n t — розв’язок рівняння  1 / ,x x n t n   , 1 — функція, за якою будується функція 1 ; 1 2, , 0c b b  — деякі сталі. Нехай 0 0a c b   . Тоді для  ,x b b  ,  \ ,c c   справ- джується нерівність 0x a  . Скориставшись тим, що    1 , 0,M y y y   , де    2 2 / 2 2 , 0 1          (див. [8]), знайдемо, що         0 1 1 exp l x t kT t kT M b t kT                          0 1 exp l x t kT t kT b t kT                    Математичне та комп’ютерне моделювання 180      0 00 1 exp l a t kT t kT b                     0 00 0 0 0 , , : 0 ,B k l l m                 де 0 0l    ,  0 / 2 2      , 0 0 1/ ,a b   0 0B B m . Елементи послідовності   , 1l t kT l   (при фіксованому k  ) є розв’язками рівнянь     1 , 1.l l l t kT t kT l t kT        Отже,           1 1 11 , 0 l ll l l l l l l l l t t kT t T k l m t kT l l              00 : 1 . Оскільки t змінюється на проміжку  0,T , функції 1 та l є зростаючими, то     1 , 0,l l t B t T    , де  B B m , : 0l l m   . Отже,      1 1 1 1 , : 0, , , : 0 , . l l B t t T B B m l l m k t kT           Таким чином, урахувавши (6) та встановлені вище оцінки, знай- демо, що      11 2 0 , ,kl x l x k D T t D T G t kT                      1 11 1 2 2 3 1 0 0 , ,k kl x k k D T G t kT B L m                       3 0 1 3 3 2 2! , max , , .mB B B m b b b b   Звідси та з нерівностей (5) випливає, що       2 0 1 , , 0 , mp l l x m l m l C D T t D L m p               де  2 2 0L L p  . Оскільки \| \| c  , то  1 p p N    , де   max 1, p N c . Тоді        11 2 0 1 , , p p km x m x k D T t N D T G t kT                 . Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 6 181 Для оцінки останнього виразу скористаємося нерівністю (6), яку запишемо в наступному вигляді:      0 2, ! mn x m m mD T G t cb t m t         1 1 1 1 exp exp , . 2 2 x xt t M M m b t b t                                    Урахувавши те, що  1 0M y y ,  0,y  , прийдемо до оцінок:         1 1 1 1 2 ! exp 2 pp p p p x pt kT M b t kT x t kT M b t kT                            1 1 0 0 2 ! 2 ! , . ppppp p pp pp p p b t kT p b k xt kT x                   Оскільки  ,x b b  ,  \ ,c c   , то існує стала 0 0M  така, що 0/ x M   . Тоді       1 1 0 0 1 exp 2 ! , 2 0. p p p ppxt kT M p b M M b t kT M M p                      Вираз           0 1 1 1 exp 2 m m m xt kT t kT M b t kTp t kT                  оцінюємо аналогічно тому, як це зроблено раніше; при цьому вико- ристовуємо нерівність 0x a  (  ,x b b  ,  \ ,c c   ). В ре- зультаті одержимо, що    1 , , p m xD T t M      де стала 0M  не залежить від ,t x , які змінюються вказаним спосо- бом. Із отриманих оцінок випливає, що     , , 0 sup 1 , p m t x t x pp m p D c             де стала 0pc  не залежить від t та x . Теорема доведена. Математичне та комп’ютерне моделювання 182 Зауваження. Твердження теореми залишається вірним, якщо 0f  на довільній відкритій обмеженій множині Q   , яка володіє властивостями: 1) 0 Q ; 2) якщо x Q , то x Q  . Список використаних джерел: 1. Тупкало І. С. Двоточкова задача для еволюційних рівнянь з оператором Бесселя нескінченного порядку / І. С. Тупкало // Науковий вісник Черні- вецького університету : зб. наук. праць. — Чернівці : Рута, 2009. — Вип. 454. — С. 116–127. 2. Владимиров В. С. Уравнения математической физиики / В. С. Владими- ров. — М. : Наука, 1976. — 527 с. 3. Левитан Б. И. Разложение по функциям Бесселя в ряды и интегралы Фурье / Б. И. Левитан // Успехи мат. наук. — 1951. — Т. 6, вып. 2. — С. 102–143. 4. Житомирский Я. И. Задача Коши для систем линейных уравнений в част- ных производных з дифференциальным оператором Бесселя / Я. И. Жито- мирский // Матем. сб. — 1955. — Т. 36, № 2. — С. 299–310. 5. Гуревич Б. Л. Некоторые пространства основных и обобщенных функций и проблема Коши для конечно-разностных схем / Б. Л. Гуревич // Докл. АН СССР. — 1954. — Т. 99, № 6. — С. 893–896. 6. Готинчан Т. І. Про нетривіальність та вкладення просторів типу W / Т. І. Готинчан // Науковий вісник Чернівецького університету : зб. наук. праць. Вип. 160. Математика. — Чернівці : Рута, 2003. — С. 39–44. 7. Крехивский В. В. Теоремы единственности решений задачи Коши для уравнений с оператором Бесселя / В. В. Крехивский // Математическое моделирование физических процессов. — К. : Ин-т математики АН УССР, 1989. — С. 82–86. 8. Городецкий В. В. Задача Коши для эволюционных уравнений с операто- рами Бесселя бесконечного порядка / В. В. Городецкий, И. С. Тупкало // Дифференц. уравнения. — 2011. — Т. 47, № 3. — С. 335–348. We found the condition of the existence of a region, where a solution of two-point by time problem is a jointly bounded function. Key words: two-point by time problem, evolutional equation, Bessel operator of ifinite order, generalized function of distribution type. Отримано: 28.03.2012 << /ASCII85EncodePages false /AllowTransparency false /AutoPositionEPSFiles true /AutoRotatePages /All /Binding /Left /CalGrayProfile (Gray Gamma 2.2) /CalRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1) /CalCMYKProfile (Coated FOGRA27 \050ISO 12647-2:2004\051) /sRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1) /CannotEmbedFontPolicy /Warning /CompatibilityLevel 1.3 /CompressObjects /Tags /CompressPages true /ConvertImagesToIndexed true /PassThroughJPEGImages true /CreateJobTicket false /DefaultRenderingIntent /Default /DetectBlends true /DetectCurves 0.1000 /ColorConversionStrategy /sRGB /DoThumbnails false /EmbedAllFonts true /EmbedOpenType false /ParseICCProfilesInComments true /EmbedJobOptions true /DSCReportingLevel 0 /EmitDSCWarnings false /EndPage -1 /ImageMemory 1048576 /LockDistillerParams false /MaxSubsetPct 100 /Optimize true /OPM 1 /ParseDSCComments true /ParseDSCCommentsForDocInfo true /PreserveCopyPage true /PreserveDICMYKValues true /PreserveEPSInfo false /PreserveFlatness false /PreserveHalftoneInfo false /PreserveOPIComments false /PreserveOverprintSettings true /StartPage 1 /SubsetFonts true /TransferFunctionInfo /Apply /UCRandBGInfo /Remove /UsePrologue false /ColorSettingsFile () /AlwaysEmbed [ true ] /NeverEmbed [ true /Arial-Black /Arial-BlackItalic /Arial-BoldItalicMT /Arial-BoldMT /Arial-ItalicMT /ArialMT /ArialNarrow /ArialNarrow-Bold /ArialNarrow-BoldItalic /ArialNarrow-Italic /ArialUnicodeMS /CenturyGothic /CenturyGothic-Bold /CenturyGothic-BoldItalic /CenturyGothic-Italic /CourierNewPS-BoldItalicMT /CourierNewPS-BoldMT /CourierNewPS-ItalicMT /CourierNewPSMT /Georgia /Georgia-Bold /Georgia-BoldItalic /Georgia-Italic /Impact /LucidaConsole /Tahoma /Tahoma-Bold /TimesNewRomanMT-ExtraBold /TimesNewRomanPS-BoldItalicMT /TimesNewRomanPS-BoldMT /TimesNewRomanPS-ItalicMT /TimesNewRomanPSMT /Trebuchet-BoldItalic /TrebuchetMS /TrebuchetMS-Bold /TrebuchetMS-Italic /Verdana /Verdana-Bold /Verdana-BoldItalic /Verdana-Italic ] /AntiAliasColorImages false /CropColorImages false /ColorImageMinResolution 150 /ColorImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleColorImages true /ColorImageDownsampleType /Bicubic /ColorImageResolution 150 /ColorImageDepth -1 /ColorImageMinDownsampleDepth 1 /ColorImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeColorImages true /ColorImageFilter /DCTEncode /AutoFilterColorImages true /ColorImageAutoFilterStrategy /JPEG /ColorACSImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /ColorImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /JPEG2000ColorACSImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /JPEG2000ColorImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /AntiAliasGrayImages false /CropGrayImages false /GrayImageMinResolution 150 /GrayImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleGrayImages true /GrayImageDownsampleType /Bicubic /GrayImageResolution 150 /GrayImageDepth -1 /GrayImageMinDownsampleDepth 2 /GrayImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeGrayImages true /GrayImageFilter /DCTEncode /AutoFilterGrayImages true /GrayImageAutoFilterStrategy /JPEG /GrayACSImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /GrayImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /JPEG2000GrayACSImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /JPEG2000GrayImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /AntiAliasMonoImages false /CropMonoImages false /MonoImageMinResolution 1200 /MonoImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleMonoImages true /MonoImageDownsampleType /Bicubic /MonoImageResolution 1200 /MonoImageDepth -1 /MonoImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeMonoImages true /MonoImageFilter /CCITTFaxEncode /MonoImageDict << /K -1 >> /AllowPSXObjects true /CheckCompliance [ /PDFX1a:2001 ] /PDFX1aCheck false /PDFX3Check false /PDFXCompliantPDFOnly false /PDFXNoTrimBoxError true /PDFXTrimBoxToMediaBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXSetBleedBoxToMediaBox true /PDFXBleedBoxToTrimBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXOutputIntentProfile (None) /PDFXOutputConditionIdentifier () /PDFXOutputCondition () /PDFXRegistryName () /PDFXTrapped /False /CreateJDFFile false /Description << /ARA <FEFF06270633062A062E062F0645002006470630064700200627064406250639062F0627062F0627062A002006440625064606340627062100200648062B062706260642002000410064006F00620065002000500044004600200645062A064806270641064206290020064506390020064506420627064A064A0633002006390631063600200648063706280627063906290020062706440648062B0627062606420020062706440645062A062F062706480644062900200641064A00200645062C062706440627062A002006270644062306390645062706440020062706440645062E062A064406410629061B0020064A06450643064600200641062A062D00200648062B0627062606420020005000440046002006270644064506460634062306290020062806270633062A062E062F062706450020004100630072006F0062006100740020064800410064006F006200650020005200650061006400650072002006250635062F0627063100200035002E0030002006480627064406250635062F062706310627062A0020062706440623062D062F062B002E> /BGR <FEFF04180437043f043e043b043704320430043904420435002004420435043704380020043d0430044104420440043e0439043a0438002c00200437043000200434043000200441044a0437043404300432043004420435002000410064006f00620065002000500044004600200434043e043a0443043c0435043d04420438002c0020043f043e04340445043e0434044f044904380020043704300020043d043004340435043604340435043d0020043f044004350433043b04350434002004380020043f04350447043004420020043d04300020043104380437043d0435044100200434043e043a0443043c0435043d04420438002e002000200421044a04370434043004340435043d043804420435002000500044004600200434043e043a0443043c0435043d044204380020043c043e0433043004420020043404300020044104350020043e0442043204300440044f0442002004410020004100630072006f00620061007400200438002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e00300020043800200441043b0435043404320430044904380020043204350440044104380438002e> /CHS <FEFF4f7f75288fd94e9b8bbe5b9a521b5efa7684002000410064006f006200650020005000440046002065876863900275284e8e55464e1a65876863768467e5770b548c62535370300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c676562535f00521b5efa768400200050004400460020658768633002> /CHT <FEFF4f7f752890194e9b8a2d7f6e5efa7acb7684002000410064006f006200650020005000440046002065874ef69069752865bc666e901a554652d965874ef6768467e5770b548c52175370300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c4f86958b555f5df25efa7acb76840020005000440046002065874ef63002> /CZE <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> /DAN <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> /DEU <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> /ENU (Use these settings to create Adobe PDF documents suitable for reliable viewing and printing of business documents. Created PDF documents can be opened with Acrobat and Adobe Reader 5.0 and later.) /ESP <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> /ETI <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> /FRA <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> /GRE <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> /HEB <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> /HRV (Za stvaranje Adobe PDF dokumenata pogodnih za pouzdani prikaz i ispis poslovnih dokumenata koristite ove postavke. Stvoreni PDF dokumenti mogu se otvoriti Acrobat i Adobe Reader 5.0 i kasnijim verzijama.) /HUN <FEFF00410020006800690076006100740061006c006f007300200064006f006b0075006d0065006e00740075006d006f006b0020006d00650067006200ed007a00680061007400f30020006d0065006700740065006b0069006e007400e9007300e900720065002000e900730020006e0079006f006d00740061007400e1007300e10072006100200073007a00e1006e0074002000410064006f00620065002000500044004600200064006f006b0075006d0065006e00740075006d006f006b0061007400200065007a0065006b006b0065006c0020006100200062006500e1006c006c00ed007400e10073006f006b006b0061006c00200068006f007a006800610074006a00610020006c00e9007400720065002e0020002000410020006c00e90074007200650068006f007a006f00740074002000500044004600200064006f006b0075006d0065006e00740075006d006f006b00200061007a0020004100630072006f006200610074002000e9007300200061007a002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e0030002c0020007600610067007900200061007a002000610074007400f3006c0020006b00e9007301510062006200690020007600650072007a006900f3006b006b0061006c0020006e00790069007400680061007400f3006b0020006d00650067002e> /ITA (Utilizzare queste impostazioni per creare documenti Adobe PDF adatti per visualizzare e stampare documenti aziendali in modo affidabile. I documenti PDF creati possono essere aperti con Acrobat e Adobe Reader 5.0 e versioni successive.) /JPN <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> /KOR <FEFFc7740020c124c815c7440020c0acc6a9d558c5ec0020be44c988b2c8c2a40020bb38c11cb97c0020c548c815c801c73cb85c0020bcf4ace00020c778c1c4d558b2940020b3700020ac00c7a50020c801d569d55c002000410064006f0062006500200050004400460020bb38c11cb97c0020c791c131d569b2c8b2e4002e0020c774b807ac8c0020c791c131b41c00200050004400460020bb38c11cb2940020004100630072006f0062006100740020bc0f002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e00300020c774c0c1c5d0c11c0020c5f40020c2180020c788c2b5b2c8b2e4002e> /LTH <FEFF004e006100750064006f006b0069007400650020016100690075006f007300200070006100720061006d006500740072007500730020006e006f0072011700640061006d00690020006b0075007200740069002000410064006f00620065002000500044004600200064006f006b0075006d0065006e007400750073002c0020006b0075007200690065002000740069006e006b006100200070006100740069006b0069006d006100690020007000650072017e0069016b007201170074006900200069007200200073007000610075007300640069006e0074006900200076006500720073006c006f00200064006f006b0075006d0065006e007400750073002e0020002000530075006b0075007200740069002000500044004600200064006f006b0075006d0065006e007400610069002000670061006c006900200062016b007400690020006100740069006400610072006f006d00690020004100630072006f006200610074002000690072002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e0030002000610072002000760117006c00650073006e0117006d00690073002000760065007200730069006a006f006d00690073002e> /LVI <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> /NLD (Gebruik deze instellingen om Adobe PDF-documenten te maken waarmee zakelijke documenten betrouwbaar kunnen worden weergegeven en afgedrukt. De gemaakte PDF-documenten kunnen worden geopend met Acrobat en Adobe Reader 5.0 en hoger.) /NOR <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> /POL <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> /PTB <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> /RUM <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> /SKY <FEFF0054006900650074006f0020006e006100730074006100760065006e0069006100200070006f0075017e0069007400650020006e00610020007600790074007600e100720061006e0069006500200064006f006b0075006d0065006e0074006f0076002000410064006f006200650020005000440046002000760068006f0064006e00fd006300680020006e0061002000730070006f013e00610068006c0069007600e90020007a006f006200720061007a006f00760061006e006900650020006100200074006c0061010d0020006f006200630068006f0064006e00fd0063006800200064006f006b0075006d0065006e0074006f0076002e00200056007900740076006f00720065006e00e900200064006f006b0075006d0065006e007400790020005000440046002000620075006400650020006d006f017e006e00e90020006f00740076006f00720069016500200076002000700072006f006700720061006d006f006300680020004100630072006f00620061007400200061002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e0030002000610020006e006f0076016100ed00630068002e> /SLV <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> /SUO <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> /SVE <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> /TUR <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> /UKR <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> /RUS <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> >> /Namespace [ (Adobe) (Common) (1.0) ] /OtherNamespaces [ << /AsReaderSpreads false /CropImagesToFrames true /ErrorControl /WarnAndContinue /FlattenerIgnoreSpreadOverrides false /IncludeGuidesGrids false /IncludeNonPrinting false /IncludeSlug false /Namespace [ (Adobe) (InDesign) (4.0) ] /OmitPlacedBitmaps false /OmitPlacedEPS false /OmitPlacedPDF false /SimulateOverprint /Legacy >> << /AllowImageBreaks true /AllowTableBreaks true /ExpandPage false /HonorBaseURL true /HonorRolloverEffect false /IgnoreHTMLPageBreaks false /IncludeHeaderFooter false /MarginOffset [ 0 0 0 0 ] /MetadataAuthor () /MetadataKeywords () /MetadataSubject () /MetadataTitle () /MetricPageSize [ 0 0 ] /MetricUnit /inch /MobileCompatible 0 /Namespace [ (Adobe) (GoLive) (8.0) ] /OpenZoomToHTMLFontSize false /PageOrientation /Portrait /RemoveBackground false /ShrinkContent true /TreatColorsAs /MainMonitorColors /UseEmbeddedProfiles false /UseHTMLTitleAsMetadata true >> << /AddBleedMarks false /AddColorBars false /AddCropMarks false /AddPageInfo false /AddRegMarks false /BleedOffset [ 0 0 0 0 ] /ConvertColors /ConvertToRGB /DestinationProfileName (sRGB IEC61966-2.1) /DestinationProfileSelector /UseName /Downsample16BitImages true /FlattenerPreset << /PresetSelector /MediumResolution >> /FormElements true /GenerateStructure false /IncludeBookmarks false /IncludeHyperlinks false /IncludeInteractive false /IncludeLayers false /IncludeProfiles true /MarksOffset 6 /MarksWeight 0.250000 /MultimediaHandling /UseObjectSettings /Namespace [ (Adobe) (CreativeSuite) (2.0) ] /PDFXOutputIntentProfileSelector /DocumentCMYK /PageMarksFile /RomanDefault /PreserveEditing true /UntaggedCMYKHandling /UseDocumentProfile /UntaggedRGBHandling /LeaveUntagged /UseDocumentBleed false >> ] >> setdistillerparams << /HWResolution [600 600] /PageSize [419.528 595.276] >> setpagedevice
id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-48831
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
issn	XXXX-0059
language	Ukrainian
last_indexed	2025-12-07T16:24:21Z
publishDate	2012
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
record_format	dspace
spelling	Мироник, В.І. Тупкало, І.С. 2013-09-04T15:00:21Z 2013-09-04T15:00:21Z 2012 Дослідження властивостей розв’язків двоточкової за часом задачі для одного класу сингулярних еволюційних рівнянь / В.І. Мироник, І.С. Тупкало // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2012. — Вип. 6. — С. 171-182. — Бібліогр.: 8 назв. — укр. XXXX-0059 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/48831 517.956 Знайдено умову існування області, в якій розв’язок двоточкової за часом задачі є обмеженою функцією за сукупністю змінних. We found the condition of the existence of a region, where a solution of two-point by time problem is a jointly bounded function. uk Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки Дослідження властивостей розв’язків двоточкової за часом задачі для одного класу сингулярних еволюційних рівнянь Research the properties of solutions of two-point by time problem for a class of singular evolution equations Article published earlier
spellingShingle	Дослідження властивостей розв’язків двоточкової за часом задачі для одного класу сингулярних еволюційних рівнянь Мироник, В.І. Тупкало, І.С.
title	Дослідження властивостей розв’язків двоточкової за часом задачі для одного класу сингулярних еволюційних рівнянь
title_alt	Research the properties of solutions of two-point by time problem for a class of singular evolution equations
title_full	Дослідження властивостей розв’язків двоточкової за часом задачі для одного класу сингулярних еволюційних рівнянь
title_fullStr	Дослідження властивостей розв’язків двоточкової за часом задачі для одного класу сингулярних еволюційних рівнянь
title_full_unstemmed	Дослідження властивостей розв’язків двоточкової за часом задачі для одного класу сингулярних еволюційних рівнянь
title_short	Дослідження властивостей розв’язків двоточкової за часом задачі для одного класу сингулярних еволюційних рівнянь
title_sort	дослідження властивостей розв’язків двоточкової за часом задачі для одного класу сингулярних еволюційних рівнянь
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/48831
work_keys_str_mv	AT mironikví doslídžennâvlastivosteirozvâzkívdvotočkovoízačasomzadačídlâodnogoklasusingulârnihevolûcíinihrívnânʹ AT tupkaloís doslídžennâvlastivosteirozvâzkívdvotočkovoízačasomzadačídlâodnogoklasusingulârnihevolûcíinihrívnânʹ AT mironikví researchthepropertiesofsolutionsoftwopointbytimeproblemforaclassofsingularevolutionequations AT tupkaloís researchthepropertiesofsolutionsoftwopointbytimeproblemforaclassofsingularevolutionequations

Дослідження властивостей розв’язків двоточкової за часом задачі для одного класу сингулярних еволюційних рівнянь

Institution

Similar Items