Асимптотичні методи аналізу стохастичної стійкості
Стаття присвячена обговоренню розвитку теорії стійкості за Ляпуновим для динамічних систем з марковськими збуреннями. Розглядаються граничні теореми Скорохода для динамічних систем з марковськими збуреннями та аналізується стійкість за допомогою стохастичної усередненої процедури. The article is dev...
Saved in:
| Published in: | Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки |
|---|---|
| Date: | 2012 |
| Main Authors: | , , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2012
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/48837 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Асимптотичні методи аналізу стохастичної стійкості / Є.Ф. Царков, В.Ю. Береза, І.В. Дорошенко // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2012. — Вип. 6. — С. 228-234. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859607660564840448 |
|---|---|
| author | Царков, Є.Ф. Береза, В.Ю. Дорошенко, І.В. |
| author_facet | Царков, Є.Ф. Береза, В.Ю. Дорошенко, І.В. |
| citation_txt | Асимптотичні методи аналізу стохастичної стійкості / Є.Ф. Царков, В.Ю. Береза, І.В. Дорошенко // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2012. — Вип. 6. — С. 228-234. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки |
| description | Стаття присвячена обговоренню розвитку теорії стійкості за Ляпуновим для динамічних систем з марковськими збуреннями. Розглядаються граничні теореми Скорохода для динамічних систем з марковськими збуреннями та аналізується стійкість за допомогою стохастичної усередненої процедури.
The article is devoted to discussion of the theory of stability by Lyapunov for dynamic systems with Markov perturbations. We consider the Skorokhod limit theorems for dynamical systems with Markov perturbations and stability analysis using stochastic averaged procedure.
|
| first_indexed | 2025-11-28T06:34:32Z |
| format | Article |
| fulltext |
Математичне та комп’ютерне моделювання
228
УДК 517.19
Є. Ф. Царков*, д-р фіз.-мат. наук, професор,
В. Ю. Береза**, канд. фіз.-мат. наук,
І. В. Дорошенко**, канд. фіз.-мат. наук
* Ризький технічний університет, м. Рига, Латвія,
** Чернівецький національний університет
імені Юрія Федьковича, м. Чернівці
АСИМПТОТИЧНІ МЕТОДИ АНАЛІЗУ
СТОХАСТИЧНОЇ СТІЙКОСТІ
Стаття присвячена обговоренню розвитку теорії стійкості
за Ляпуновим для динамічних систем з марковськими збурен-
нями. Розглядаються граничні теореми Скорохода для динамі-
чних систем з марковськими збуреннями та аналізується стій-
кість за допомогою стохастичної усередненої процедури.
Ключові слова: марковські збурення, динамічні системи,
дифузійна апроксимація.
Проблема асимптотичного аналізу динамічних систем з малими
випадковими збуреннями досліджується в багатьох математичних та
технічних роботах. Зокрема, А. В. Скороход був першим математиком,
хто довів, що ймовірнісні граничні теореми можуть використовуватися
для диференціальних рівнянь з випадковою правою частиною. Підхід,
запропонований у роботі [6], робить можливим використання асимпто-
тичного аналізу дійсних стохастичних динамічних систем не тільки за
допомогою усередненої процедури Крилова—Боголюбова, але і також за
допомогою дифузійної апроксимації. Цей підхід застосовується для ана-
лізу диференціальних рівнянь на скінченому часовому інтервалі. Проце-
дури дифузійної апроксимації застосовуються в багатьох технічних ро-
ботах для аналізу стійкості за Ляпуновим, тобто для аналізу диференціа-
льних рівнянь при t . Для доведення цього факту використаємо не
тільки граничні теореми у просторі Скорохода [6] спеціального типу, але
і мартингальну техніку та другий метод Ляпунова, що розвинутий для
стохастичних диференціальних рівнянь Іто в роботі [5], [8]—[10].
Динамічна система, з якою ми будемо працювати, має вигляд
2 2= , / , , / ,
dx
A z y t x F x z y t
dt
(1)
2 2
1 2
1
= , / , / ,
dz
f z y t f z y t
dt
(2)
де ,n mx z , — малий додатний параметр, ( )y t — мар-
ковський процес. Диференціальні рівняння такого типу іноді вини-
© Є. Ф. Царков, В. Ю. Береза, І. В. Дорошенко, 2012
Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 6
229
кають в асимптотичній теорії марковських динамічних систем після
поділу на швидкі та повільні змінні [1].
Якщо ( , , ),F x z y 1( , ),f z y 2 ( , )f z y неперервно диференційовні по
x та z , частинні похідні ( , )xD F x y , 1( , ),zD f x y 2 ( , )zD f x y однорідні
по ,nx mz та обмежені по y матриці, тоді існує єдиний
розв’язок для (1)—(2) з початковими умовами ( ) ,x s x ( ) .z s z
Цей розв’язок ( ), ( ),x t z s t s є сім’єю стохастичних процесів, що
залежать від марковського процесу 2( / ),y t t s . Отже, ймовірнісні
характеристики обох процесів для всіх t s визначаються з початко-
вих умов та умови 2( / )y s y для марковського процесу.
Позначимо розв’язки для (1)—(2)
( , , , , ), ( , , , ).x t s x z y z t s z y
В даній роботі будемо вивчати проблему стійкості диференціа-
льного рівняння (1), (2) при умові (0, , ) 0F z y . Припустимо, що
( )y t — однорідний стохастично неперервний фелеровський марков-
ський процес з перехідною ймовірністю ( , , )P t y du , слабким інфініте-
зимальним оператором Q та єдиною інваріантною мірою , що за-
довольняє умову рівномірної ергодичності [2]. З цього припущення
для ( )v C , що задовольняє ортогональну умову
( ) ( ) = 0,v y dy
(3)
можемо визначити неперервну функцію з рівності
0
( ) : ( )v y v u
( , , )P t y du для кожного y . Вище визначений оператор назвемо [3]
потенціалом для марковського процесу. Продовжимо цей оператор на
весь простір ( )C , використовуючи рівність
0
( ) := [ ( ) ] ( , , ),v y v u v P t y du
де = ( ) ( ).v v y dy
Відмітимо, що рівняння Q f v має розв’язок тоді і тільки то-
ді, якщо [3] v задовольняє умову ортогональності (3) та цей
розв’язок запишемо у вигляді f v . Будемо вважати, що ( , )A z y
Математичне та комп’ютерне моделювання
230
неперервна і обмежена разом зі своїми двома похідними по z та фу-
нкції 1( , )f z y , 2 ( , )f z y неперервні за своїми аргументами та обмеже-
ні разом зі своїми двома похідними по z . Пара ( ), ( )z t y t є одно-
рідним фелеровським марковським процесом на m зі слабким
інфінітезимальним оператором ( )L [4], що визначається з рівності
( ( ) )( , )L v z y 1 2
1 1
( ( , ), ) ( , ) ( , ),zf z y v z y Qv z y
де z градієнтний оператор в m , ( , ) — скалярний добуток в m
та оператор Q діє на другий аргумент.
Відомо [6], що при виконані умови 1( , ) ( ) 0f z y dy
та також
деяких інших умов розв’язки (1)—(2) слабко збігаються при 0
до відповідних розв’язків рівнянь дифузійної апроксимації
= ( ) ( , ),
dx
A z x F x z
dt
(4)
( ) ( ) ( )dz b z dt z dw t (5)
на довільному обмеженому інтервалі [0, ]t T , де ( )w t — стандарт-
ний вінерівський процес в m ,
( ) = ( , ) ( ), ( , ) =A z A z y dy F x z
( , , ) ( ),F x z y dy
2( ) = ( , ) ( )b z f z y dy
1 1[ ( , )] ( , ) ( ),zD f z y f z y dy
— єдина інваріантна міра марковського процесу ( )y t , — його
потенціал, та симетрична невід’ємно визначена матриця ( )z , що
визначається за формулою
2
1 1( ) 2 ( , ), )( ( , ), ( )z h f z y h f z y h dy
для довільного вектора mh .
Буде доведено, що ця дифузійна апроксимація може бути визна-
чена більш вдало для аналізу локальної стохастичної асимптотичної
стійкості рівняння (1). При цих припущеннях можна аналізувати лі-
нійне диференціальне рівняння
( ( )) ,
dx
A z t x
dt
(6)
де ( )z t — розв’язок дифузійної апроксимації (5). Легко побачити, що
пара { ( ), ( )}x t z t є однорідним фелеровським марковським процесом в
Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 6
231
просторі n m зі слабким інфінітезимальним оператором L , який
визначений на достатньо гладких функціях ( , )v x z за формулою
( , ) ( ) , ( , )xLv x z A z x v x z 21
( ), ( , ) ( ) , ( , ),
2z z zb z v x z z v x z
де x та z — градієнтні оператори у відповідних просторах n ,
m , (.,.) — скалярний добуток дорівнює величині, що відповідає
градієнтам. Уникаючи повного обчислення та форм позначень, буде-
мо розглядати процес ( )z t як скаляр, тобто 1m . Відмітимо, що ми
припустили оцінку двох неперервних однорідних обмежених похід-
них аргументу z функції ( , )jf z y , 1, 2j . У відповідності до ( )b z
та дифузії ( )z марковського процесу ( )z t маємо, що найменші дві
неперервні однорідні похідні обмежені по z . Це твердження випли-
ває з означення потенціалу та з можливості диференціювання по z
під знаком інтеграла. Згідно визначення матриця ( )A z також має дві
неперервні однорідні обмежені похідні по z . Отже [5], марковський
дифузійний процес { ( ), ( )}x t z t дозволяє диференціювання по почат-
ковим даним (0)z z , а це дозволяє довести наступне твердження.
Теорема. Нехай виконані вказані вище умови. Якщо тривіаль-
ний розв’язок рівняння (6), що задовольняє (5), асимтотично стохас-
тично стійкий, то тривіальний розв’язок рівняння (1) з коефіцієнтами, які
задовольняють (2), експоненціально p -стійкий для всіх 0(0, ) і
достатньо малому 0 0.
Доведення. Використовуючи результати [1], легко довести, що
при виконанні умов цієї теореми лінійна апроксимація
2, ( / )
dx
A z y t x
dt
для (1) асимптотично стохастично стійка. При виконанні умов цієї
теореми рівняння (6) експоненціально p -стійке для досить малого
додатного p та можна використати функцію Ляпунова ( , )v x z , що
визначається з формули
0
( , ) | ( ,0, , ) |
T
pv x z x t x z dt з відповідним
числом T , вибраним таким же шляхом як і в [1]. Нехай функції
1( , , )v x z y , 2 ( , , )v x z y є розв’язками рівнянь
1 1( )( , , ) = ( , ), ,zQ v z y f z y v (7)
2( )( , , )Qv x z y ( , ) ( , ) , ( , )xA z y A z y x v x z
Математичне та комп’ютерне моделювання
232
1 1( , ), ( , , )zf z y v x z y 1 1, ), ( , , ) ( )zf z y v x z y dy
(8)
2 2( ( , ) ( ), ) ( , ) ,zf z y f z v x y
дe 2 2( ) = ( , ) ( ).f z f z y dy
Права частина цих рівнянь дорівнює нулю після інтегрування за
мірою ( )dy . Це означає, що розв’язки обох рівнянь існують. Згідно
означення потенціалу можемо записати 1 1( , , ) ( , ), ( , ) .zv x z y f z y v x z
Оцінки цієї функції та її похідних по x та z можуть бути отримані
після відповідної оцінювання скалярного добутку 1( , ), ( , )zf x y v x z ,
помноженого на . Це випливає з можливості диференціювання
розв’язків з початковими умовами і обчислення оператора . Отже,
існує така стала 1R , що мають місце нерівності
1 1( , , ) | | ,pv x z y R x 1
1 1( , , ) | | ,p
xv x z y R x
1 1( , , ) | | ,p
zv x z y R x
2
1 1( , , ) | | ,p
x xD v x z y R x 1
1 1( , , ) | | ,p
z xD v x z y R x
1( , , )z zD v x z y 1 1( , , ) | | ,p
z zD v x z y R x
1
1 1( , , ) | | ,p
z x zD D v x z y R x
2 2
1 1( , , ) | | .p
x zD v x z y R x
Функція 2 ( , , )v x z y може бути оцінена з правої частини.
Отже, використовуючи вище наведені нерівності, запишемо
2 2( , , ) | | ,p
zv x z y R x 1
2 2( , , ) | |pxv x z y R x
для довільних mz , nx та деякого 2 0R . Відмітимо, що
( )A слабкий інфінітезимальний оператор марковського процесу, що
визначається з рівнянь (1)—(2) та процесу 2( / )y t і обчислення його
значення для функції
2
1 2( , , ) ( , ) ( , , ) ( , , ).v x z y v x z v x z y v x z y
За означенням
( ) ( , , )v x z y ( , ) , ( , , ) ( ) ( , , ),xA z y x v x z y L v x z y
де ( )L визначається за формулою
1
1
( ) ( , ), zL f z y
2 2
1
( , ), .zf z y Q
Отже
Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 6
233
( ) ( , , )v x z y 1 1
1
( , , ) ( , ), ( , )y zQ v x z y f x y v z y
( , ) , ( , )xA z y x v x z 1 1( , ), ( , , )zf z y v x z y
2 2( , ), ( , ) ( , , )z yf z y v x z Q v x z y 1 2( , ), ( , , )zf z y v x z y
1( , ) , ( , , )xA z y x v x z y 2 1( , ), ( , , )zf z y v x z y
2
2( , ) , ( , , )xA z y x v x z y 2 2( , ), ) ( , , )) .zf z y v x z y
Доданок в перших дужках правої частини цієї формули дорів-
нює нулю. Доданок в других дужках згідно конструкції дорівнює
( )( , )Lv x z . Отже, після нашого припущення про асимптотичну стоха-
стичну стійкість усередненої системи, він не перевищує 3 | |pc x з
деякою сталою 3 0c . Наступні два доданки можуть бути оцінені з
| |pr x для деякого 0.r Отже
2
3( ) ( , , ) ( ) | | .pv x z y c r r x (9)
Крім цього 1 2( , , ) | | , ( , , ) | |p pv x z y x v x z y x для деякого
> 0. Ми отримали нерівності
2
1 | |pc x 2
2( , , ) | |pv x z y c x (10)
для деяких 2 1 0c c . Експоненціальна p -стійкість тривіального роз-
в’язку рівняння (6), так як і для рівняння (1), випливає з формул (9)—
(10), які досягаються для довільного 0(0, ), якщо 0 достатньо мале.
Список використаних джерел:
1. Carkovs J. E. On Stochastic Stability of Markov Dinamical Systems /
J. E. Carkovs, I. Vernigora, V. Yasinski // Теорія ймовірностей та матема-
тична статистика. — 2006. — Вип. 75. — С. 155–164.
2. Doob J. L. Stochastic Processes / J. L. Doob. — New York : John Willey&
Sons, 1953.
3. Dynkin E. Markov Processes / E. Dynkin. — New York : Academic Press, 1995.
4. Hille E. Functional Analysis and Semigroups / E. Hille, R. Philips. — AMS
Colloquium Publications. — 1957. — Vol. 34, Providence.
5. Khas'minski R. Stochastic Stability of Differential Equations / R. Khas'mins-
ki. — Norwell : Kluver Academic Pubs., 1980.
6. Skorokhod A. V. Asymptotic Methods of the Theory of Stochastic Differential
Equations / A. V. Skorokhod. — AMS, Providence, RI, 1989.
7. Tsarkov Ye. F. Averaging and stability of cocycles under dynamical systems
with rapid Markov switching.In Exploring Stochastic Laws / Ye. F. Tsarkov ;
eds. A. V. Skorokhod, Yu.V. Borovskih. — VSP, 1995. — P. 469–479.
Математичне та комп’ютерне моделювання
234
8. Ясинський В. К. Стабілізація у динамічних системах випадкової структу-
ри / В. К. Ясинський, Є. В. Ясинський, І. В. Юрченко. — Чернівці : Золоті
литаври, 2011. — 738 с.
9. Королюк В. С. Ймовірність, статистика та випадкові процеси : в 3-х
томах / В. С. Королюк, Є. Ф. Царков, В.К. Ясинський. — Чернівці : Золоті
литаври, 2009. — Т. 3: Випадкові процеси. Теорія та комп’ютерний
практикум. — 798 с.
10. Yasinski V. K. Existence of the l-th moment of a solution to a Stochastic Func-
tional-Differential Equations with the Entire Prehistory / V. K. Yasinski,
S. V. Antonyuk // Cybernetics and Systems Analysis. — 2008. — Vol. 44,
№ 4. — P. 582–590.
The article is devoted to discussion of the theory of stability by
Lyapunov for dynamic systems with Markov perturbations. We consider
the Skorokhod limit theorems for dynamical systems with Markov pertur-
bations and stability analysis using stochastic averaged procedure.
Key words: the Markov perturbations, dynamical systems, diffusion
approximation.
Отримано: 13.03.2012
УДК 519.21
Я. М. Чабанюк, д-р фіз.-мат. наук,
П. П. Горун, аспірант
Національний університет «Львівська політехніка», м. Львів
ЗБІЖНІСТЬ ДИСКРЕТНОЇ ПРОЦЕДУРИ СТОХАСТИЧНОЇ
ОПТИМІЗАЦІЇ В СХЕМІ ДИФУЗІЙНОЇ АПРОКСИМАЦІЇ
Встановлено достатні умови збіжності динамічної системи
в марковському середовищі в схемі дифузійної апроксимації
при умові експоненційної стійкості усередненого дифузійного
процесу. Отримано оцінки залишкових членів розв'язку про-
блеми сингулярного збурення через властивості функції Ляпу-
нова для усереднених систем.
Ключові слова: стохастична оптимізація, марковський
процес, дифузійна апроксимація.
Вступ. Асимптотичний аналіз стохастичних систем розвиваєть-
ся загалом у двох напрямках: аналіз стохастичних систем в схемі се-
рій (усереднення та дифузійна апроксимація) та дослідження систем
на зростаючих інтервалах часу (проблема стійкості).
Проблема першого типу приводить до теорії усереднення, ство-
реної Боголюбовим Н. Н. [1] та розвиненої Митропольським Ю. А. та
Самойленком А. М. [2], Гіхманом І. І. [3; 4], Скороходом А. В. [5] та
багатьма іншими.
© Я. М. Чабанюк, П. П. Горун, 2012
<<
/ASCII85EncodePages false
/AllowTransparency false
/AutoPositionEPSFiles true
/AutoRotatePages /All
/Binding /Left
/CalGrayProfile (Gray Gamma 2.2)
/CalRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1)
/CalCMYKProfile (Coated FOGRA27 \050ISO 12647-2:2004\051)
/sRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1)
/CannotEmbedFontPolicy /Warning
/CompatibilityLevel 1.3
/CompressObjects /Tags
/CompressPages true
/ConvertImagesToIndexed true
/PassThroughJPEGImages true
/CreateJobTicket false
/DefaultRenderingIntent /Default
/DetectBlends true
/DetectCurves 0.1000
/ColorConversionStrategy /sRGB
/DoThumbnails false
/EmbedAllFonts true
/EmbedOpenType false
/ParseICCProfilesInComments true
/EmbedJobOptions true
/DSCReportingLevel 0
/EmitDSCWarnings false
/EndPage -1
/ImageMemory 1048576
/LockDistillerParams false
/MaxSubsetPct 100
/Optimize true
/OPM 1
/ParseDSCComments true
/ParseDSCCommentsForDocInfo true
/PreserveCopyPage true
/PreserveDICMYKValues true
/PreserveEPSInfo false
/PreserveFlatness false
/PreserveHalftoneInfo false
/PreserveOPIComments false
/PreserveOverprintSettings true
/StartPage 1
/SubsetFonts true
/TransferFunctionInfo /Apply
/UCRandBGInfo /Remove
/UsePrologue false
/ColorSettingsFile ()
/AlwaysEmbed [ true
]
/NeverEmbed [ true
/Arial-Black
/Arial-BlackItalic
/Arial-BoldItalicMT
/Arial-BoldMT
/Arial-ItalicMT
/ArialMT
/ArialNarrow
/ArialNarrow-Bold
/ArialNarrow-BoldItalic
/ArialNarrow-Italic
/ArialUnicodeMS
/CenturyGothic
/CenturyGothic-Bold
/CenturyGothic-BoldItalic
/CenturyGothic-Italic
/CourierNewPS-BoldItalicMT
/CourierNewPS-BoldMT
/CourierNewPS-ItalicMT
/CourierNewPSMT
/Georgia
/Georgia-Bold
/Georgia-BoldItalic
/Georgia-Italic
/Impact
/LucidaConsole
/Tahoma
/Tahoma-Bold
/TimesNewRomanMT-ExtraBold
/TimesNewRomanPS-BoldItalicMT
/TimesNewRomanPS-BoldMT
/TimesNewRomanPS-ItalicMT
/TimesNewRomanPSMT
/Trebuchet-BoldItalic
/TrebuchetMS
/TrebuchetMS-Bold
/TrebuchetMS-Italic
/Verdana
/Verdana-Bold
/Verdana-BoldItalic
/Verdana-Italic
]
/AntiAliasColorImages false
/CropColorImages false
/ColorImageMinResolution 150
/ColorImageMinResolutionPolicy /OK
/DownsampleColorImages true
/ColorImageDownsampleType /Bicubic
/ColorImageResolution 150
/ColorImageDepth -1
/ColorImageMinDownsampleDepth 1
/ColorImageDownsampleThreshold 1.50000
/EncodeColorImages true
/ColorImageFilter /DCTEncode
/AutoFilterColorImages true
/ColorImageAutoFilterStrategy /JPEG
/ColorACSImageDict <<
/QFactor 0.76
/HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2]
>>
/ColorImageDict <<
/QFactor 0.76
/HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2]
>>
/JPEG2000ColorACSImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 15
>>
/JPEG2000ColorImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 15
>>
/AntiAliasGrayImages false
/CropGrayImages false
/GrayImageMinResolution 150
/GrayImageMinResolutionPolicy /OK
/DownsampleGrayImages true
/GrayImageDownsampleType /Bicubic
/GrayImageResolution 150
/GrayImageDepth -1
/GrayImageMinDownsampleDepth 2
/GrayImageDownsampleThreshold 1.50000
/EncodeGrayImages true
/GrayImageFilter /DCTEncode
/AutoFilterGrayImages true
/GrayImageAutoFilterStrategy /JPEG
/GrayACSImageDict <<
/QFactor 0.76
/HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2]
>>
/GrayImageDict <<
/QFactor 0.76
/HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2]
>>
/JPEG2000GrayACSImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 15
>>
/JPEG2000GrayImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 15
>>
/AntiAliasMonoImages false
/CropMonoImages false
/MonoImageMinResolution 1200
/MonoImageMinResolutionPolicy /OK
/DownsampleMonoImages true
/MonoImageDownsampleType /Bicubic
/MonoImageResolution 1200
/MonoImageDepth -1
/MonoImageDownsampleThreshold 1.50000
/EncodeMonoImages true
/MonoImageFilter /CCITTFaxEncode
/MonoImageDict <<
/K -1
>>
/AllowPSXObjects true
/CheckCompliance [
/PDFX1a:2001
]
/PDFX1aCheck false
/PDFX3Check false
/PDFXCompliantPDFOnly false
/PDFXNoTrimBoxError true
/PDFXTrimBoxToMediaBoxOffset [
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
]
/PDFXSetBleedBoxToMediaBox true
/PDFXBleedBoxToTrimBoxOffset [
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
]
/PDFXOutputIntentProfile (None)
/PDFXOutputConditionIdentifier ()
/PDFXOutputCondition ()
/PDFXRegistryName ()
/PDFXTrapped /False
/CreateJDFFile false
/Description <<
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
/BGR <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>
/CHS <FEFF4f7f75288fd94e9b8bbe5b9a521b5efa7684002000410064006f006200650020005000440046002065876863900275284e8e55464e1a65876863768467e5770b548c62535370300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c676562535f00521b5efa768400200050004400460020658768633002>
/CHT <FEFF4f7f752890194e9b8a2d7f6e5efa7acb7684002000410064006f006200650020005000440046002065874ef69069752865bc666e901a554652d965874ef6768467e5770b548c52175370300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c4f86958b555f5df25efa7acb76840020005000440046002065874ef63002>
/CZE <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>
/DAN <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>
/DEU <FEFF00560065007200770065006e00640065006e0020005300690065002000640069006500730065002000450069006e007300740065006c006c0075006e00670065006e0020007a0075006d002000450072007300740065006c006c0065006e00200076006f006e002000410064006f006200650020005000440046002d0044006f006b0075006d0065006e00740065006e002c00200075006d002000650069006e00650020007a0075007600650072006c00e40073007300690067006500200041006e007a006500690067006500200075006e00640020004100750073006700610062006500200076006f006e00200047006500730063006800e40066007400730064006f006b0075006d0065006e00740065006e0020007a0075002000650072007a00690065006c0065006e002e00200044006900650020005000440046002d0044006f006b0075006d0065006e007400650020006b00f6006e006e0065006e0020006d006900740020004100630072006f00620061007400200075006e0064002000520065006100640065007200200035002e003000200075006e00640020006800f600680065007200200067006500f600660066006e00650074002000770065007200640065006e002e>
/ENU (Use these settings to create Adobe PDF documents suitable for reliable viewing and printing of business documents. Created PDF documents can be opened with Acrobat and Adobe Reader 5.0 and later.)
/ESP <FEFF005500740069006c0069006300650020006500730074006100200063006f006e0066006900670075007200610063006900f3006e0020007000610072006100200063007200650061007200200064006f00630075006d0065006e0074006f0073002000640065002000410064006f00620065002000500044004600200061006400650063007500610064006f007300200070006100720061002000760069007300750061006c0069007a00610063006900f3006e0020006500200069006d0070007200650073006900f3006e00200064006500200063006f006e006600690061006e007a006100200064006500200064006f00630075006d0065006e0074006f007300200063006f006d00650072006300690061006c00650073002e002000530065002000700075006500640065006e00200061006200720069007200200064006f00630075006d0065006e0074006f00730020005000440046002000630072006500610064006f007300200063006f006e0020004100630072006f006200610074002c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000200079002000760065007200730069006f006e0065007300200070006f00730074006500720069006f007200650073002e>
/ETI <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>
/FRA <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>
/GRE <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>
/HEB <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>
/HRV (Za stvaranje Adobe PDF dokumenata pogodnih za pouzdani prikaz i ispis poslovnih dokumenata koristite ove postavke. Stvoreni PDF dokumenti mogu se otvoriti Acrobat i Adobe Reader 5.0 i kasnijim verzijama.)
/HUN <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>
/ITA (Utilizzare queste impostazioni per creare documenti Adobe PDF adatti per visualizzare e stampare documenti aziendali in modo affidabile. I documenti PDF creati possono essere aperti con Acrobat e Adobe Reader 5.0 e versioni successive.)
/JPN <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>
/KOR <FEFFc7740020c124c815c7440020c0acc6a9d558c5ec0020be44c988b2c8c2a40020bb38c11cb97c0020c548c815c801c73cb85c0020bcf4ace00020c778c1c4d558b2940020b3700020ac00c7a50020c801d569d55c002000410064006f0062006500200050004400460020bb38c11cb97c0020c791c131d569b2c8b2e4002e0020c774b807ac8c0020c791c131b41c00200050004400460020bb38c11cb2940020004100630072006f0062006100740020bc0f002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e00300020c774c0c1c5d0c11c0020c5f40020c2180020c788c2b5b2c8b2e4002e>
/LTH <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>
/LVI <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>
/NLD (Gebruik deze instellingen om Adobe PDF-documenten te maken waarmee zakelijke documenten betrouwbaar kunnen worden weergegeven en afgedrukt. De gemaakte PDF-documenten kunnen worden geopend met Acrobat en Adobe Reader 5.0 en hoger.)
/NOR <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>
/POL <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>
/PTB <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>
/RUM <FEFF005500740069006c0069007a00610163006900200061006300650073007400650020007300650074010300720069002000700065006e007400720075002000610020006300720065006100200064006f00630075006d0065006e00740065002000410064006f006200650020005000440046002000610064006500630076006100740065002000700065006e007400720075002000760069007a00750061006c0069007a00610072006500610020015f006900200074006900700103007200690072006500610020006c0061002000630061006c006900740061007400650020007300750070006500720069006f0061007201030020006100200064006f00630075006d0065006e00740065006c006f007200200064006500200061006600610063006500720069002e002000200044006f00630075006d0065006e00740065006c00650020005000440046002000630072006500610074006500200070006f00740020006600690020006400650073006300680069007300650020006300750020004100630072006f006200610074002c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e00300020015f00690020007600650072007300690075006e0069006c006500200075006c0074006500720069006f006100720065002e>
/SKY <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>
/SLV <FEFF005400650020006e006100730074006100760069007400760065002000750070006f0072006100620069007400650020007a00610020007500730074007600610072006a0061006e006a006500200064006f006b0075006d0065006e0074006f0076002000410064006f006200650020005000440046002c0020007000720069006d00650072006e006900680020007a00610020007a0061006e00650073006c006a00690076006f0020006f0067006c00650064006f00760061006e006a006500200069006e0020007400690073006b0061006e006a006500200070006f0073006c006f0076006e0069006800200064006f006b0075006d0065006e0074006f0076002e00200020005500730074007600610072006a0065006e006500200064006f006b0075006d0065006e0074006500200050004400460020006a00650020006d006f0067006f010d00650020006f0064007000720065007400690020007a0020004100630072006f00620061007400200069006e002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000200069006e0020006e006f00760065006a01610069006d002e>
/SUO <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>
/SVE <FEFF0041006e007600e4006e00640020006400650020006800e4007200200069006e0073007400e4006c006c006e0069006e006700610072006e00610020006f006d002000640075002000760069006c006c00200073006b006100700061002000410064006f006200650020005000440046002d0064006f006b0075006d0065006e007400200073006f006d00200070006100730073006100720020006600f60072002000740069006c006c006600f60072006c00690074006c006900670020007600690073006e0069006e00670020006f006300680020007500740073006b007200690066007400650072002000610076002000610066006600e4007200730064006f006b0075006d0065006e0074002e002000200053006b006100700061006400650020005000440046002d0064006f006b0075006d0065006e00740020006b0061006e002000f600700070006e00610073002000690020004100630072006f0062006100740020006f00630068002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e00300020006f00630068002000730065006e006100720065002e>
/TUR <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>
/UKR <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>
/RUS <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>
>>
/Namespace [
(Adobe)
(Common)
(1.0)
]
/OtherNamespaces [
<<
/AsReaderSpreads false
/CropImagesToFrames true
/ErrorControl /WarnAndContinue
/FlattenerIgnoreSpreadOverrides false
/IncludeGuidesGrids false
/IncludeNonPrinting false
/IncludeSlug false
/Namespace [
(Adobe)
(InDesign)
(4.0)
]
/OmitPlacedBitmaps false
/OmitPlacedEPS false
/OmitPlacedPDF false
/SimulateOverprint /Legacy
>>
<<
/AllowImageBreaks true
/AllowTableBreaks true
/ExpandPage false
/HonorBaseURL true
/HonorRolloverEffect false
/IgnoreHTMLPageBreaks false
/IncludeHeaderFooter false
/MarginOffset [
0
0
0
0
]
/MetadataAuthor ()
/MetadataKeywords ()
/MetadataSubject ()
/MetadataTitle ()
/MetricPageSize [
0
0
]
/MetricUnit /inch
/MobileCompatible 0
/Namespace [
(Adobe)
(GoLive)
(8.0)
]
/OpenZoomToHTMLFontSize false
/PageOrientation /Portrait
/RemoveBackground false
/ShrinkContent true
/TreatColorsAs /MainMonitorColors
/UseEmbeddedProfiles false
/UseHTMLTitleAsMetadata true
>>
<<
/AddBleedMarks false
/AddColorBars false
/AddCropMarks false
/AddPageInfo false
/AddRegMarks false
/BleedOffset [
0
0
0
0
]
/ConvertColors /ConvertToRGB
/DestinationProfileName (sRGB IEC61966-2.1)
/DestinationProfileSelector /UseName
/Downsample16BitImages true
/FlattenerPreset <<
/PresetSelector /MediumResolution
>>
/FormElements true
/GenerateStructure false
/IncludeBookmarks false
/IncludeHyperlinks false
/IncludeInteractive false
/IncludeLayers false
/IncludeProfiles true
/MarksOffset 6
/MarksWeight 0.250000
/MultimediaHandling /UseObjectSettings
/Namespace [
(Adobe)
(CreativeSuite)
(2.0)
]
/PDFXOutputIntentProfileSelector /DocumentCMYK
/PageMarksFile /RomanDefault
/PreserveEditing true
/UntaggedCMYKHandling /UseDocumentProfile
/UntaggedRGBHandling /LeaveUntagged
/UseDocumentBleed false
>>
]
>> setdistillerparams
<<
/HWResolution [600 600]
/PageSize [419.528 595.276]
>> setpagedevice
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-48837 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | XXXX-0059 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-11-28T06:34:32Z |
| publishDate | 2012 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Царков, Є.Ф. Береза, В.Ю. Дорошенко, І.В. 2013-09-04T15:21:01Z 2013-09-04T15:21:01Z 2012 Асимптотичні методи аналізу стохастичної стійкості / Є.Ф. Царков, В.Ю. Береза, І.В. Дорошенко // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2012. — Вип. 6. — С. 228-234. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. XXXX-0059 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/48837 517.19 Стаття присвячена обговоренню розвитку теорії стійкості за Ляпуновим для динамічних систем з марковськими збуреннями. Розглядаються граничні теореми Скорохода для динамічних систем з марковськими збуреннями та аналізується стійкість за допомогою стохастичної усередненої процедури. The article is devoted to discussion of the theory of stability by Lyapunov for dynamic systems with Markov perturbations. We consider the Skorokhod limit theorems for dynamical systems with Markov perturbations and stability analysis using stochastic averaged procedure. uk Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки Асимптотичні методи аналізу стохастичної стійкості Asymptotic methods for stochastic stability analysis Article published earlier |
| spellingShingle | Асимптотичні методи аналізу стохастичної стійкості Царков, Є.Ф. Береза, В.Ю. Дорошенко, І.В. |
| title | Асимптотичні методи аналізу стохастичної стійкості |
| title_alt | Asymptotic methods for stochastic stability analysis |
| title_full | Асимптотичні методи аналізу стохастичної стійкості |
| title_fullStr | Асимптотичні методи аналізу стохастичної стійкості |
| title_full_unstemmed | Асимптотичні методи аналізу стохастичної стійкості |
| title_short | Асимптотичні методи аналізу стохастичної стійкості |
| title_sort | асимптотичні методи аналізу стохастичної стійкості |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/48837 |
| work_keys_str_mv | AT carkovêf asimptotičnímetodianalízustohastičnoístíikostí AT berezavû asimptotičnímetodianalízustohastičnoístíikostí AT dorošenkoív asimptotičnímetodianalízustohastičnoístíikostí AT carkovêf asymptoticmethodsforstochasticstabilityanalysis AT berezavû asymptoticmethodsforstochasticstabilityanalysis AT dorošenkoív asymptoticmethodsforstochasticstabilityanalysis |