Збіжність дискретної процедури стохастичної оптимізації в схемі дифузійної апроксимації
Встановлено достатні умови збіжності динамічної системи в марковському середовищі в схемі дифузійної апроксимації при умові експоненційної стійкості усередненого дифузійного процесу. Отримано оцінки залишкових членів розв'язку проблеми сингулярного збурення через властивості функції Ляпунова дл...
Saved in:
| Published in: | Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки |
|---|---|
| Date: | 2012 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2012
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/48838 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Збіжність дискретної процедури стохастичної оптимізації в схемі дифузійної апроксимації / Я.М. Чабанюк, П.П. Горун // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2012. — Вип. 6. — С. 234-248. — Бібліогр.: 24 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860109340782886912 |
|---|---|
| author | Чабанюк, Я.М. Горун, П.П. |
| author_facet | Чабанюк, Я.М. Горун, П.П. |
| citation_txt | Збіжність дискретної процедури стохастичної оптимізації в схемі дифузійної апроксимації / Я.М. Чабанюк, П.П. Горун // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2012. — Вип. 6. — С. 234-248. — Бібліогр.: 24 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки |
| description | Встановлено достатні умови збіжності динамічної системи в марковському середовищі в схемі дифузійної апроксимації при умові експоненційної стійкості усередненого дифузійного процесу. Отримано оцінки залишкових членів розв'язку проблеми сингулярного збурення через властивості функції Ляпунова для усереднених систем.
It was obtained sufficient conditions of convergence of dynamic systems in diffusion approximation scheme with Markow switchings under the condition of exponential stability of the averaged diffusion process. By using properties of Lyapunov functions it also was optained estimations for the remainder terms of the solution of singular perturbation problem.
|
| first_indexed | 2025-12-07T17:32:51Z |
| format | Article |
| fulltext |
Математичне та комп’ютерне моделювання
234
8. Ясинський В. К. Стабілізація у динамічних системах випадкової структу-
ри / В. К. Ясинський, Є. В. Ясинський, І. В. Юрченко. — Чернівці : Золоті
литаври, 2011. — 738 с.
9. Королюк В. С. Ймовірність, статистика та випадкові процеси : в 3-х
томах / В. С. Королюк, Є. Ф. Царков, В.К. Ясинський. — Чернівці : Золоті
литаври, 2009. — Т. 3: Випадкові процеси. Теорія та комп’ютерний
практикум. — 798 с.
10. Yasinski V. K. Existence of the l-th moment of a solution to a Stochastic Func-
tional-Differential Equations with the Entire Prehistory / V. K. Yasinski,
S. V. Antonyuk // Cybernetics and Systems Analysis. — 2008. — Vol. 44,
№ 4. — P. 582–590.
The article is devoted to discussion of the theory of stability by
Lyapunov for dynamic systems with Markov perturbations. We consider
the Skorokhod limit theorems for dynamical systems with Markov pertur-
bations and stability analysis using stochastic averaged procedure.
Key words: the Markov perturbations, dynamical systems, diffusion
approximation.
Отримано: 13.03.2012
УДК 519.21
Я. М. Чабанюк, д-р фіз.-мат. наук,
П. П. Горун, аспірант
Національний університет «Львівська політехніка», м. Львів
ЗБІЖНІСТЬ ДИСКРЕТНОЇ ПРОЦЕДУРИ СТОХАСТИЧНОЇ
ОПТИМІЗАЦІЇ В СХЕМІ ДИФУЗІЙНОЇ АПРОКСИМАЦІЇ
Встановлено достатні умови збіжності динамічної системи
в марковському середовищі в схемі дифузійної апроксимації
при умові експоненційної стійкості усередненого дифузійного
процесу. Отримано оцінки залишкових членів розв'язку про-
блеми сингулярного збурення через властивості функції Ляпу-
нова для усереднених систем.
Ключові слова: стохастична оптимізація, марковський
процес, дифузійна апроксимація.
Вступ. Асимптотичний аналіз стохастичних систем розвиваєть-
ся загалом у двох напрямках: аналіз стохастичних систем в схемі се-
рій (усереднення та дифузійна апроксимація) та дослідження систем
на зростаючих інтервалах часу (проблема стійкості).
Проблема першого типу приводить до теорії усереднення, ство-
реної Боголюбовим Н. Н. [1] та розвиненої Митропольським Ю. А. та
Самойленком А. М. [2], Гіхманом І. І. [3; 4], Скороходом А. В. [5] та
багатьма іншими.
© Я. М. Чабанюк, П. П. Горун, 2012
Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 6
235
Проблема другого типу приводить до теорії стійкості, відкритої
Ляпуновим А. М. [6] для детермінованих систем, а також розвиненої
Кушнером Г. Дж. [7], Красовським Н. Н. та Кацом Дж. Я. [8], Хась-
мінським Р. З. [9; 10], Скороходом А. В. [11], Царковим Є. Ф. [12; 13],
Королюком В. С. [14—16] та іншими для стохастичних систем.
Насправді, можна розглядати узагальнену проблему стійкості,
досліджуючи стохастичні системи на зростаючих інтервалах часу за
умов усереднення чи дифузійної апроксимації (див., наприклад [17—
18, 21—22]).
Проблема стійкості вихідної стохастичної системи розглядається
за умови стійкості усередненої системи.
Задача такого типу була вперше поставлена Боголюбовим Н. Н. для
детерміністичних еволюційних систем. Успішні результати були отри-
мані Самойленком А. М. [2]. Задача стійкості стохастичних систем за
умов дифузійної апроксимації досліджувалася Бланкеншіпом Дж. Л. та
Папаніколау Г. К. [19], а також Царковим Є. Ф. [12; 13] для систем із
запізненнями. Узагальнена проблема стійкості динамічних систем зі
швидкими марковськими перемиканнями була розвинута у працях Ко-
ролюка В. С. [14—17]. Це дало можливість отримати достатні умови
збіжності неперервної процедури стохастичної оптимізації [20] з мар-
ковськими перемиканнями [21—22]. Природно, що для достатньо малих
значень параметра серій , стійкість усередненої системи забезпечує
стійкість вихідної системи. Основний підхід полягає у використанні збу-
реної функції Ляпунова при знаходженні розв’язку проблеми сингуляр-
ного збурення для зведено-оборотного оператора.
Важливим також є те, що будь-який розв’язок проблеми сингу-
лярного збурення можна використати при дослідженні узагальненої
задачі збіжності в схемі усереднення, подвійного усереднення та ди-
фузійної апроксимації.
1. Постановка задачі. Розглянемо деяку функцію регресії
; , ,dC u x u R x X , яка задовольняє умові існування глобального
розв'язку супроводжуючих систем [14; 15]
, , ,x
x
du t
a t C u t x x X
dt
(1)
в припущенні єдиної точки екстремуму *u а її збурення має предста-
влення:
1
0, , , ,bC u x C u x C u x (2)
де
0 0, , , 1, .iC u C u i d
Математичне та комп’ютерне моделювання
236
Псевдоґрадієнт b визначається співвідношенням
, ,
, , 1, ,
2
i i
b
C u C u
C u i d
b t
(3)
, 0,...,1,0,...,0 ,i i i iu u b t e e
де b t — деяка нормуюча послідовність (див. далі).
Також припускається виконання умови балансу для збурюючої
функції регресії:
0 , 0, 1,i
X
dx C u x i d (4)
де B — стаціонарний розподіл вкладеного ланцюга Маркова
(ВЛМ) , 0, Xnx n B .
Стрибкова процедура стохастичної оптимізації (ПСО) з марков-
ськими перемиканнями в схемі серій задається співвідношенням
1
0
, 0k k k
k
a C u x
[22]:
2/ 1
2
0
, , 0 ,
v t
k k k
k
u t u a C u x u u
(5)
де du R , a ( ) max : nv t n t — рахуючий процес моментів від-
новлення , 0n n ВЛМ , 0n nx x n у рівномірно ергодичний
марковський процес x t у вимірному просторі ,X X з генерато-
ром Q та потенціалом 0R [16, Підрозділ 1.6].
В ПСО (5) нормуюча послідовність na визначається значеннями
керуючої функції , 0a t t :
, 0.n na a n
В процедуру (5) вкладена дискретна процедура nu .
2
1 , ;n n n n nu u a C u x
2, , / 0.n n n n n nu u x x n (6)
Усереднена ПСО в умовах балансу (4) визначається стохастич-
ним диференціальним рівнянням:
2 ,du t a t C u t dt a t d t (7)
Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 6
237
де
d t b u t dt u t d t , (8)
є дифузійним процесом з коефіцієнтом зсуву b u t та коваріацій-
ною матрицею ,u t t — вінерівський процес [23, т. 2, гл. III
§8 г], а усереднена функція регресії задається виразом:
,
X
C u q dx C u x , (9)
– градієнт по змінній u : , ,uf u grad f u .
Коефіцієнти збурюючого дифузійного процесу ( )t : зсув ( )b u
та коваріаційна матриця ( )B u ( ( ) *( ) ( )u u B u ) задаються наступ-
ним чином:
, ,
X
b u q dx b u x (10)
, ,
X
B u q dx B u x (11)
де
0 0 0 0, , , , ,b u x V u q x C u x R q x C u x C u x V u (12)
2
0 0 0 0, , 2 , , ,B u x V u q x C u x R q x C u x C u x V u (13)
Збіжність ПСО (5) розглядається в умовах експоненційної стій-
кості розв'язку ( )u t усередненої системи
( )du t
C u t
dt
. (14)
2. Умови збіжності ПСО. Для функцій 0( , ), ( , )C u x C u x введе-
мо мажоранти:
0( ) max ( , ) ( , ) ,
x X
C u C u x C u x
а також рекурентні співвідношення:
0 ( ) ( ) ( );w u C u V u
1( ) ( ) ( ).i iw u C u w u
Перейдемо до формулювання умов збіжності ПСО (5) до точки
рівноваги усередненої еволюційної системи (14).
Теорема. Нехай існує функція Ляпунова 3( ) ( )dV u C R усеред-
неної системи (14) така, що
С1: забезпечує експоненційну стійкість усередненої системи (14)
0( ) ( ) ( )C u V u k V u ;
Математичне та комп’ютерне моделювання
238
1( ) (1 ( ))V u k V u ;
C2: та мають місце оцінки
2( ) (1 ( )); 0, 2i iw u k V u i ;
C3: функції ( )a t , ( )b t монотонно спадні, додатні та задоволь-
няють умови:
2
0 0 0
( ) , ( ) , ( ) ( )
t t t
a t a t a t b t
;
С4: а також ( )bC u задовольняє глобальну умову Ліпшиця:
5max ( ) ( ) ( )
d b
u R
C u C u k b t
;
0, 0, 5ik i .
Тоді для довільного початкового значення (0)u при кожному до-
датному 0 ( 0 — достатньо мале) ПСО (5) збігається з ймовірніс-
тю 1 до єдиної точки екстремуму усередненої еволюційної системи (14):
lim ( ) * 1
t
P u t u
.
Перш, ніж перейти до доведення теореми, розглянемо двоком-
понентний МП
2( ), ( / )tu t x x t . (15)
Лема 1. Генератор двокомпонентного марковського процесу
(15) на банаховому просторі ( ,X), dB X X R дійснозначних функ-
цій 3( , ) ( )du C R має асимптотичне представлення
2 1
1 21
2 2
22
( , ) ( , ) ( ) ( ) ( , ) ( ) ( ) ( , )
( ) ( ) ( , ) ( ) ( ) ( , ), 0, 1
t
t
L u x Q u x a t Q x u x a t Q x u x
a t Q x u x a t G x u x
(16)
де
1 0 0( ) ( , ) ( , ) ( , )Q x u x C u x Q u x , (17)
21 0( ) ( , ) ( , ) ( , )bQ x u x C u x Q u x , (18)
2 2
22 0 0
1
( ) ( , ) ( , ) ( , )
2
Q x u x C u x Q u x , (19)
1 2 3( ) ( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( , )tG x u x G x a t G x G x u x , (20)
2
1 0 0( ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )bG x u x C u x C u x Q u x , (21)
3 3
2 0 0
1
( ) ( , ) ( , ) ( , )
6
G x u x C u x Q u x , (22)
2 2
3 0
1
( ) ( , ) ( , ) ( , )
2 bG x u x C u x Q u x , (23)
Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 6
239
0 ( , ) ( ) ( , )Q x q x x P , (24)
P ( , ) ( , ) ( , )
X
x P x dy y , (25)
а залишковий член ( ) ( , )tG x u x обмежений.
Доведення. Проведемо доведення леми у три етапи.
Етап І (Вигляд генератора). Генератор tL двокомпонентного
МП (15) визначається співвідношенням [20, Глава 3. §5]
1
0
( , )
lim , ( ) , ( ) ( , )
tL u x
u t x t u t u x t x u x
(26)
Обчислимо умовне математичне очікування:
2 2
,
, ( ) , ( )
( ), ( ) .u x x x
u t x t u t u x t x
u t x t I I
(27)
Беручи до уваги те, що 2 2 2( ) ( )xI q x O , а
2 2 21 ( ) ( )xI q x O , для (27) маємо
2
, ,
2 2
( ), ( ) ( ), ( ) ( )
( , ) 1 ( ) ( ).
u x u xu t x t u t x t q x
u x q x O
(28)
Враховуючи, що 2 ( ) ,u t u a t C u x та розклад (28),
генератор (26) можна розписати так:
2 2 2
,
2 2
2 2 2
, ( ) ( ) ( , ), ( ) ( , )
( ) ( , ) ( ) ( , ), ( , )
( , ) ( ) ( , ) ( ) ( , ), ( , ) .
t u x
X
X
L u x q x u a t C u x y q x u x
q x P x dy u a t C u x y u x
Q u x q x P x dy u a t C u x y u y
Остаточно:
2 2( , ) ( , ) ( ) ( , )t tL u x Q u x C x u x , (29)
2( ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) ( , ), ( , )t
X
C x u x q x P x dy u a t C u x y u y
. (30)
Етап ІІ (Вигляд генератора на дійснозначних функціях
3( , ) du C R ). Використовуючи гладкість функцій ( , )u x та ви-
Математичне та комп’ютерне моделювання
240
гляд збуреної функції регресії (2), підінтеґральну функцію з (30) роз-
кладемо в ряд Тейлора:
2 2
0
2
0 0
24 2 2
( ) ( , ), ( ) ( , ) ( ) ( , ),
( ) ( , ), ( ) ( , ) ( ) ( , ),
1
( ) ( , ) ( , ).
2
b
b
b
u a t C u x y u a t C u x a t C u x y
u a t C u x y a t C u x u a t C u x y
a t C u x u y
(31)
Для першого доданку в (31) маємо
0 0
2 2 2 2 3 3 3 3
0 0
( ) ( , ), ( , ) ( ) ( , ) ( , )
1 1
( ) ( , ) ( , ) ( ) ( , ) ( , ).
2 6
u a t C u x y u y a t C u x u y
a t C u x u y a t C u x u y
Тепер розклад (31) матиме вигляд:
2
0
2 2 2 2 3 3 3 3
0 0
2 2
0
24 2 2
( ) ( , ), ( , ) ( ) ( , ) ( , )
1 1
( ) ( , ) ( , ) ( ) ( , ) ( , )
2 6
( ) ( , ) ( , ) ( ) ( , ) ( , )
1
( ) ( , ) ( , ).
2
b
b
u a t C u x y u y a t C u x u y
a t C u x u y a t C u x u y
a t C u x u y a t C u x u y
a t C u x u y
(32)
Підставимо (32) в (30):
0
2 2 2 2
0
3 3 3 3
0
2
24 2 2
( ) ( , ) ( ) ( , ) ( )P ( , )
1
( ) ( , ) ( )P ( , )
2
1
( ) ( , ) ( )P ( , )
6
( ) ( , ) ( )P ( , )
1
( ) ( , ) ( )P ( , ) .
2
t
b
b
C x u x a t C u x q x u x
a t C u x q x u x
a t C u x q x u x
a t C u x q x u x
a t C u x q x u x
(33)
Використовуючи розклад (33), генератор (29) запишемо у вигляді:
2 1
0 0
2 2 2 3 3 3
0 0 0 0
2 2
0 0 0
22 2 2
0
, ( , ) ( ) ( , ) ( ) ( , )
1 1
( ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) ( , )
2 6
( ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( , ) ( ) ( , )
1
( ) ( , ) ( ) ( ,
2
t
b b
b
L u x Q u x a t C u x Q x u x
a t C u x Q x u x a t C u x Q x u x
a t C u x Q x u x a t C u x C u x Q x u x
a t C u x Q x u
),x
Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 6
241
або в позначеннях (17)—(25) маємо (16).
Зауваження. У випадку, коли ( )u , представлення (17)—
(19) матимуть вигляд:
1 0( ) ( ) ( ) ( , ) ( )Q x u q x C u x u , (34)
21( ) ( ) ( ) ( , ) ( )bQ x u q x C u x u , (35)
2 2
22 0
1
( ) ( ) ( ) ( , ) ( )
2
Q x u q x C u x u . (36)
Етап III (Обмеженість залишкового члена). Обмеженість зали-
шкового члена ( ) ( , )tG x u x в (16) випливає з представлень (20)—
(23), умови С2 теореми 1 і гладкості функцій ( , )u x :
( ) ( , ) 1 ( , ) , 0tG x u x k u x k , (37)
тобто
2 ( ) ( ) ( , ) 0, 0ta t G x u x .
Розв'яжемо проблему сингулярного збурення (ПСЗ) для опера-
тора tL на збуреній функції Ляпунова
2
1 2( , ) ( ) ( ) ( , ) ( ) ( , )V u x V u a t V u x a t V u x , (38)
де ( )V u — функція Ляпунова для усередненої системи (14).
Лема 2. Генератор tL на збуреній функції Ляпунова ( , )V u x
такій, що 4( ) ( )dV u C R , має асимптотичне представлення
2 2
0( , ) ( ) ( ) ( ) ( )t b tL V u x a t C u V u a t L V u a t H x V u , (39)
де
0
1
2
L V u b u V u B u V u , (40)
а залишковий член tH x V u обмежений.
Доведення. Проведемо доведення леми у два етапи.
Етап І. Розв'яжемо ПСЗ тільки для зрізаного до tL оператора, а
саме:
2 1 2
0 1 21 22tL Q a t Q x a t Q x a t Q x , (41)
оскільки залишковий член в (16) не впливає на розв'язок ПСЗ (див.
[14, Глава 3.1] або [16]).
Розклад оператора 0tL на функціях ,V u x має вигляд
2 1
0 1 1, ,tL V u x QV u a t QV u x a t Q x V u
Математичне та комп’ютерне моделювання
242
2
21 22a t Q x V u a t Q x V u (42)
2 2
1 1 2 0, , ,ta t Q x V u x a t QV u x a t x V u
1 2
21 22 1 21 22 2
,
, ,
to x V u Q x V u x
Q x a t Q x V u x Q x a t Q x V u x
(43)
Умови розв'язності (див. наприклад, [14, Підрозділ 3.1 або 15])
розкладу (42) мають наступний вигляд:
0QV u , (44)
1 1,QV u x Q x V u , (45)
2
21 22
2
1 1 2, , .
tL V u a t Q x V u a t Q x V u
a t Q x V u x a t QV u x
(46)
Оскільки V u належить простору QN нулів оператора Q , то
умова (44) виконується. Враховуючи умову балансу (4) та представ-
лення (34), подіємо потенціалом 0R на обидві частини рівняння (45):
0 1 0 1,R QV u x R Q x V u .
Через те, що 0R Q I , а також 1 , 0V u x , отримуємо ро-
зв'язок рівняння (45) для 1 ,V u x :
1 0 0, ,V u x R q x C u x V u . (47)
Перепишемо (46):
2 , t ta t QV u x L x V u L V u , (48)
де
2
1 1
2
21 22
,
.
tL x V u a t Q x V u x
a t Q x V u a t Q x V u
(49)
Подіємо на обидві частини рівняння (48) потенціалом 0R :
2 0
1
, tV u x R L x V u
a t
, (50)
t t tL x L x L . (51)
Для обчислення першого доданку 2
1 1 ,a t Q x V u x в (49) ви-
користаємо (17) та (47):
2 2
1 1 0 0 0, , P ,a t Q x V u x a t C u x q x R q x C u x V u .
Оскільки 0 0Pq x R q x R I , останню рівність можна
переписати:
Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 6
243
2
1 1
2
0 0 0
,
, ,
a t Q x V u x
a t C u x q x R I q x C u x V u
.
Згідно з умовою балансу (4) остаточно маємо:
2
1 1
2
0 0 0
0 0
,
, ,
, , .
a t Q x V u x
a t C u x q x R q x C u x V u
q x C u x C u x V u
(52)
Обчислимо тепер другий доданок в (49), враховуючи (35):
21 ,ba t Q x V u a t q x C u x V u . (53)
Аналогічно, враховуючи (36), обчислимо третій доданок:
2 2 2 2
22 0
1
,
2
a t Q x V u a t q x C u x V u . (54)
Підставимо тепер (52)—(54) в (49):
2
0,t bL x V u a t q x C u x V u a t L x V u , (55)
де
0
2 2
0 0 0 0
1
, , ,
2
L x V u
C u x q x R q x C u x q x C u x V u
(56)
Усереднення оператора tL x по стаціонарному розподілу
dx (див. теорему про усереднення в [14] або [18]) дає наступний
вигляд генератора ( t tL L x ):
2
0,t bL V u a t q x C u x V u a t L x V u . (57)
Обчислимо перший доданок в правій частині (57), беручи до
уваги (9):
,
,
b
b b
X
q x C u x V u
q dx C u x V u C u V u
.
А тепер знайдемо другий доданок та представимо його у формі:
0 0 0 0
0 0
2
0 0 0
2 2
0
, ,
, ,
, ,
1 1
, ,
2 2
L x V u C u x q x R q x C u x V u
q x C u x C u x V u
C u x q x R q x C u x V u
q x C u x V u b u V u B u V u
Математичне та комп’ютерне моделювання
244
де b u та B u мають представлення (10), (11) в позначеннях (12), (13).
З останніх двох рівнянь для (57) матимемо:
2
0t bL V u a t C u V u a t L V u , (58)
де 0L V u має представлення (40).
Тепер можна використати (58) для знаходження розв'язку
2 ,V u x в рівнянні (50). Перед цим знайдемо центрований генератор
tL x , використовуючи (55), (56) та (58):
2
0
2
0
2
0
,
, ,
t b
b
b
L x V u a t q x C u x V u a t L x V u
a t C u V u a t L V u
a t C u x V u a t L x V u
де
, ,b b bC u x V u q x C u x C u V u ,
0 0 0L x V u L x L V u .
Остаточно 2 ,V u x з (50) визначається співвідношенням:
2 0 0, ,bV u x R C u x a t L x V u
. (59)
Зауваження. Як видно з представлень (47) та (59), збурення фу-
нкції Ляпунова V u виражаються через її першу та другу похідні.
Тепер, маючи 1 ,V u x та 2 ,V u x , проведемо аналіз залишково-
го члена (43).
Перший доданок з (43) знаходиться за допомогою (17) та (59):
1 2 1,Q x V u x x V u , (60)
1 0 0 0 0, ,bx V u C u x Q x R C u x a t L x V u
.
Далі, другий доданок з (43) знаходиться за допомогою (18), (19)
та (47):
21 22 1 2 3,Q x a t Q x V u x x a t x V u , (61)
2
2 0 0 0, ,bx V u C u x Q x R q x C u x V u ,
2 3
3 0 0 0 0
1
, ,
2
x V u C u x Q x R q x C u x V u .
Аналогічно визначається третій доданок:
21 22 2 4 5,Q x a t Q x V u x x a t x V u , (62)
4 0 0 0, ,b bx V u C u x Q x R C u x a t L x V u ,
Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 6
245
2
5 0 0 0 0
1
, ,
2 bx V u C u x Q x R C u x a t L x V u . (63)
Приймаючи до уваги (60)—(62), залишковий член в (43) запи-
шемо так:
0t tx V u H x V u , (64)
де
1 2 3 4 5 .
tH x V u
x x a t x x a t x V u
(65)
Остаточно з (41), (46), (58) та (64) маємо асимптотичне предста-
влення зрізаного оператора:
2 2
0 0, .t b tL V u x a t C u V u a t L V u a t H x V u (66)
Етап II.
З гладкості функцій ,C u x , V u , умови С2 теореми 1, обме-
женості операторів 0R і 0Q , а також представлень залишкових членів
(20) та (65) отримуємо обмеження останнього доданку в (66). Тому
для залишкового члена tH x V u маємо оцінку:
1 , 0,tH x V u k V u k x X , (67)
тобто
2 , 0, 0ta t H x u x ,
що й доводить лему.
Доведення теореми 1 проведемо в декілька етапів. Спочатку
встановимо ключову нерівність.
Лема 3. Генератор tL на збуреній функції Ляпунова (38) в умо-
вах теореми 1 допускає оцінку
, 1tL V u x g t V u t V u , (68)
де
0, 0,t g t
0 0
,
t t
t g t
.
Доведення. Використовуючи умову С1 теореми 1 експоненцій-
ної стійкості системи (14), оцінки С2 (там же) для доданків в опера-
торі (40) та залишкового члена tH x V u (67), монотонність та
обмеженість функцій a t , b t (умова С3), а також умову Ліпшиця
(умова С4), маємо:
Математичне та комп’ютерне моделювання
246
2
2
0 0 0 0 0
2 2
0 0 0 0
2
0 1 2 3 4
,
, , , ,
1
, , ,
2
1
1 , 0, 0, 4.
t b t
i
L V u x a t C u V u a t H x V u
a t C u x q x R q x C u x C u x q x C u x V u
C u x q x R q x C u x q x C u x V u
k k a t b t k a t k V u k a t V u
g t V u t V u k i
По-друге, дамо оцінку збуреній функції Ляпунова. Для цього вико-
ристаємо явний вигляд збурень (47), (59), а також умову С2 теореми 1:
0 1 1 0 11 , 1c V u c V u V u x c V u c V u .
Остаточно маємо:
0 1 , 1a t V u V u V u x a t V u V u ,(69)
для всіх 0 1.
По-третє, процес
, , 0n n nV V u x n ,
є невід’ємним супермартингалом (схема доведення аналогічна дове-
денню леми 2 в роботі [24].
Оскільки виконані умови модельної граничної теореми Королю-
ка [15, Підрозділ 3.2, с. 51] та теореми Невельсона—Хасьмінського
[20, Глава 2, теорема 7.1], має місце слабка збіжність процесів
( ) ( ), 0.u t u t
Використання вищезгаданої теореми Невельсона—Хасьмінсько-
го, оцінок (68) та (69), а також леми 2 (див. [24]) завершує доведення
теореми.
Висновки. Встановлено достатні умови збіжності дискретної
процедури стохастичної оптимізації в схемі дифузійної апроксимації
в марковському середовищі через властивості функції Ляпунова для
усереднених систем. Доведено, що при їх виконанні для довільного
початкового значення (0)u описана процедура стохастичної оптимі-
зації збігається з ймовірністю 1 до єдиної точки екстремуму *u усе-
редненої еволюційної системи.
Отримано оцінки залишкових членів розв'язку проблеми сингу-
лярного збурення через функції Ляпунова ( )V u для усереднених сис-
1 Легко перевірити, що
0
1
1
V u
a t V u
.
Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 6
247
тем. Ці оцінки випливають з умов гладкості функцій регресії та функ-
ції Ляпунова ( )V u .
Отримані результати використовуються для подальших досліджень
асимптотичної нормальності стрибкової процедури стохастичної опти-
мізації, а також поведінки системи на зростаючих інтервалах часу.
Список використаних джерел:
1. Боголюбов Н. Н. О некоторых статистических методах в математической
физике / Н. Н. Боголюбов. — К. : Изд-во АН УССР, 1945. — 137 с.
2. Митропольский Ю. А. Математические проблемы нелинейной механики /
Ю. А. Митропольский, А. М. Самойленко. — К. : Инст. мат., 1987. — 72 с.
3. Гихман И. И. Дифференциальные уравнения со случайными функция-
ми. — В кн.: Зимняя.школа по теории вероятностей и математической
статистике / И. И. Гихман. — К. : Наук. думка, 1964. — С. 41–85.
4. Гихман И. И. Об устойчивости решений стохастических дифференциаль-
ных уравнений. — В кн.: Предельные теоремы и статистические выводы /
И. И. Гихман. — Ташкент : ФАН, 1966. — С. 14–45.
5. Скороход А. В. Асимптотические методы теории стохастических дифферен-
циальных уравнений / А. В. Скороход. — К. : Наук. думка, 1987. — 328 с.
6. Ляпунов А.М. Общая задача об устойчивости движения / А. М. Ляпу-
нов. — М. : Гостехиздат, 1950. — 320 с.
7. Kushner H. J. Approximation and weak convergence methods for random
processes with Applications to Stochastic Systems Theory / H. J. Kushner. —
Cambridge : MIT Press, 1984. — 252 p.
8. Кац И. Я. Об устойчивости систем со случайными параметрами /
И. Я. Кац, Н. Н. Красовский // Прикладн. матем. и механ. — 1960. —
С. 809–823.
9. Khasminskii R. Z. A limit theorems for solutions with random right hand side
/ R. Z. Khasminskii // Theor. Prob. Appl. — 1966. — P. 390–406.
10. Khasminskii R. Z. Stochastic stability of differential equations / R. Z. Khas-
minskii. – Sijthoff and Noordhoff, 1980. — 364 p.
11. Skorohod A. V. Dynamical systems under rapid random disturbances /
A. V. Skorohod // Ukr. Math. Zh. — 1991. — T. 43, №1. — P. 3–21.
12. Tsarkov E. F. Average and stability of linear equations with small diffusion coeffi-
cients / E. F. Tsarkov // Proc. VI USSR-Jap. Symp. — 1992. — P. 390–396.
13. Tsarkov E. F. On stability of solutions of linear differential equations with
Markov coefficients / E. F. Tsarkov // Dokl. Acad. Nauk. Ukraine. — 1987. —
№2. — P. 34–37.
14. Королюк В.С. Стохастичні моделі систем / В. С. Королюк. – К. : Либідь,
1993. — 136 с.
15. Korolyuk V. S. Stochastic Models of Systems / V. S. Korolyuk, V. V. Koro-
lyuk. — London : Kluwer acad. pub., 1999. — 185 p.
16. Korolyuk V. Stochastic Systems in Merging Phase Space / V. Korolyuk,
N. Limnios. – World Scientific Publishing, 2005. — 330 p.
17. Королюк В. С. Стійкість стохастичних систем у схемі дифузійної апроксима-
ції / В. С. Королюк // Укр. мат. журн. — 1998. — Т. 50, № 1. — С. 36–47.
Математичне та комп’ютерне моделювання
248
18. Korolyuk V. S. Evolution of systems in random media / V. S. Korolyuk,
A. V. Swishchuk. — CRC Press, 1995. — 352 p.
19. Blankenship G. L. Stability and control of stochastic systems with wide band
noise disturbances, I / G. L. Blankenship, G. C. Papanicolau // SIAM J. Appl.
Math. — 1978. — Т. 34. — P. 437–476.
20. Невельсон М. Б. Стохастическая апроксимация и рекуррентное оценива-
ние / М. Б. Невельсон, Р. З. Хасьминский ; за ред. Б. Я. Левита. — М. :
Наука, 1972. — 304 с.
21. Чабанюк Я. М. Неперервна процедура Кіфера-Вольфовиця в Марковсь-
кому середовищі / Я. М. Чабанюк // Вісник Держ. ун-ту "Львівська полі-
техніка". Прикл. матем. — Львів, 2000. — №411. — С. 440–445.
22. Горун П. П. Генератор стрибкової процедури оптимізації в марковському
середовищі / П. П. Горун, Я. М. Чабанюк, В. Р. Кукурба // XVI Interna-
tional Conference "Problems of decision making under uncertainties": PDMU-
2010, October 4-8, 2010. — К. : Освіта України, 2010. — С. 54.
23. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложение : в 2-х т. /
В. Феллер ; за ред. А. А. Бряндинской. — М. : Мир, 1967. — Т. 1. — 527 с.
24. Чабанюк Я. М. Неперервна процедура стохастичної апроксимації у напі-
вмарковському середовищі / Я. М. Чабанюк // Укр. матем. журн., 2004. —
№ 5. — С. 713–720.
It was obtained sufficient conditions of convergence of dynamic sys-
tems in diffusion approximation scheme with Markow switchings under
the condition of exponential stability of the averaged diffusion process. By
using properties of Lyapunov functions it also was optained estimations for
the remainder terms of the solution of singular perturbation problem.
Key words: stochastic optimization, Markov process, diffusion ap-
proximation.
Отримано: 15.03.2012
<<
/ASCII85EncodePages false
/AllowTransparency false
/AutoPositionEPSFiles true
/AutoRotatePages /All
/Binding /Left
/CalGrayProfile (Gray Gamma 2.2)
/CalRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1)
/CalCMYKProfile (Coated FOGRA27 \050ISO 12647-2:2004\051)
/sRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1)
/CannotEmbedFontPolicy /Warning
/CompatibilityLevel 1.3
/CompressObjects /Tags
/CompressPages true
/ConvertImagesToIndexed true
/PassThroughJPEGImages true
/CreateJobTicket false
/DefaultRenderingIntent /Default
/DetectBlends true
/DetectCurves 0.1000
/ColorConversionStrategy /sRGB
/DoThumbnails false
/EmbedAllFonts true
/EmbedOpenType false
/ParseICCProfilesInComments true
/EmbedJobOptions true
/DSCReportingLevel 0
/EmitDSCWarnings false
/EndPage -1
/ImageMemory 1048576
/LockDistillerParams false
/MaxSubsetPct 100
/Optimize true
/OPM 1
/ParseDSCComments true
/ParseDSCCommentsForDocInfo true
/PreserveCopyPage true
/PreserveDICMYKValues true
/PreserveEPSInfo false
/PreserveFlatness false
/PreserveHalftoneInfo false
/PreserveOPIComments false
/PreserveOverprintSettings true
/StartPage 1
/SubsetFonts true
/TransferFunctionInfo /Apply
/UCRandBGInfo /Remove
/UsePrologue false
/ColorSettingsFile ()
/AlwaysEmbed [ true
]
/NeverEmbed [ true
/Arial-Black
/Arial-BlackItalic
/Arial-BoldItalicMT
/Arial-BoldMT
/Arial-ItalicMT
/ArialMT
/ArialNarrow
/ArialNarrow-Bold
/ArialNarrow-BoldItalic
/ArialNarrow-Italic
/ArialUnicodeMS
/CenturyGothic
/CenturyGothic-Bold
/CenturyGothic-BoldItalic
/CenturyGothic-Italic
/CourierNewPS-BoldItalicMT
/CourierNewPS-BoldMT
/CourierNewPS-ItalicMT
/CourierNewPSMT
/Georgia
/Georgia-Bold
/Georgia-BoldItalic
/Georgia-Italic
/Impact
/LucidaConsole
/Tahoma
/Tahoma-Bold
/TimesNewRomanMT-ExtraBold
/TimesNewRomanPS-BoldItalicMT
/TimesNewRomanPS-BoldMT
/TimesNewRomanPS-ItalicMT
/TimesNewRomanPSMT
/Trebuchet-BoldItalic
/TrebuchetMS
/TrebuchetMS-Bold
/TrebuchetMS-Italic
/Verdana
/Verdana-Bold
/Verdana-BoldItalic
/Verdana-Italic
]
/AntiAliasColorImages false
/CropColorImages false
/ColorImageMinResolution 150
/ColorImageMinResolutionPolicy /OK
/DownsampleColorImages true
/ColorImageDownsampleType /Bicubic
/ColorImageResolution 150
/ColorImageDepth -1
/ColorImageMinDownsampleDepth 1
/ColorImageDownsampleThreshold 1.50000
/EncodeColorImages true
/ColorImageFilter /DCTEncode
/AutoFilterColorImages true
/ColorImageAutoFilterStrategy /JPEG
/ColorACSImageDict <<
/QFactor 0.76
/HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2]
>>
/ColorImageDict <<
/QFactor 0.76
/HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2]
>>
/JPEG2000ColorACSImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 15
>>
/JPEG2000ColorImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 15
>>
/AntiAliasGrayImages false
/CropGrayImages false
/GrayImageMinResolution 150
/GrayImageMinResolutionPolicy /OK
/DownsampleGrayImages true
/GrayImageDownsampleType /Bicubic
/GrayImageResolution 150
/GrayImageDepth -1
/GrayImageMinDownsampleDepth 2
/GrayImageDownsampleThreshold 1.50000
/EncodeGrayImages true
/GrayImageFilter /DCTEncode
/AutoFilterGrayImages true
/GrayImageAutoFilterStrategy /JPEG
/GrayACSImageDict <<
/QFactor 0.76
/HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2]
>>
/GrayImageDict <<
/QFactor 0.76
/HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2]
>>
/JPEG2000GrayACSImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 15
>>
/JPEG2000GrayImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 15
>>
/AntiAliasMonoImages false
/CropMonoImages false
/MonoImageMinResolution 1200
/MonoImageMinResolutionPolicy /OK
/DownsampleMonoImages true
/MonoImageDownsampleType /Bicubic
/MonoImageResolution 1200
/MonoImageDepth -1
/MonoImageDownsampleThreshold 1.50000
/EncodeMonoImages true
/MonoImageFilter /CCITTFaxEncode
/MonoImageDict <<
/K -1
>>
/AllowPSXObjects true
/CheckCompliance [
/PDFX1a:2001
]
/PDFX1aCheck false
/PDFX3Check false
/PDFXCompliantPDFOnly false
/PDFXNoTrimBoxError true
/PDFXTrimBoxToMediaBoxOffset [
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
]
/PDFXSetBleedBoxToMediaBox true
/PDFXBleedBoxToTrimBoxOffset [
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
]
/PDFXOutputIntentProfile (None)
/PDFXOutputConditionIdentifier ()
/PDFXOutputCondition ()
/PDFXRegistryName ()
/PDFXTrapped /False
/CreateJDFFile false
/Description <<
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
/BGR <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>
/CHS <FEFF4f7f75288fd94e9b8bbe5b9a521b5efa7684002000410064006f006200650020005000440046002065876863900275284e8e55464e1a65876863768467e5770b548c62535370300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c676562535f00521b5efa768400200050004400460020658768633002>
/CHT <FEFF4f7f752890194e9b8a2d7f6e5efa7acb7684002000410064006f006200650020005000440046002065874ef69069752865bc666e901a554652d965874ef6768467e5770b548c52175370300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c4f86958b555f5df25efa7acb76840020005000440046002065874ef63002>
/CZE <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>
/DAN <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>
/DEU <FEFF00560065007200770065006e00640065006e0020005300690065002000640069006500730065002000450069006e007300740065006c006c0075006e00670065006e0020007a0075006d002000450072007300740065006c006c0065006e00200076006f006e002000410064006f006200650020005000440046002d0044006f006b0075006d0065006e00740065006e002c00200075006d002000650069006e00650020007a0075007600650072006c00e40073007300690067006500200041006e007a006500690067006500200075006e00640020004100750073006700610062006500200076006f006e00200047006500730063006800e40066007400730064006f006b0075006d0065006e00740065006e0020007a0075002000650072007a00690065006c0065006e002e00200044006900650020005000440046002d0044006f006b0075006d0065006e007400650020006b00f6006e006e0065006e0020006d006900740020004100630072006f00620061007400200075006e0064002000520065006100640065007200200035002e003000200075006e00640020006800f600680065007200200067006500f600660066006e00650074002000770065007200640065006e002e>
/ENU (Use these settings to create Adobe PDF documents suitable for reliable viewing and printing of business documents. Created PDF documents can be opened with Acrobat and Adobe Reader 5.0 and later.)
/ESP <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>
/ETI <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>
/FRA <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>
/GRE <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>
/HEB <FEFF05d405e905ea05de05e905d5002005d105d405d205d305e805d505ea002005d005dc05d4002005db05d305d9002005dc05d905e605d505e8002005de05e105de05db05d9002000410064006f006200650020005000440046002005e205d105d505e8002005d405e605d205d4002005d505d405d305e405e105d4002005d005de05d905e005d4002005e905dc002005de05e105de05db05d905dd002005e205e105e705d905d905dd002e002005de05e105de05db05d90020005000440046002005e905e005d505e605e805d5002005e005d905ea05e005d905dd002005dc05e405ea05d905d705d4002005d105d005de05e605e205d505ea0020004100630072006f006200610074002005d5002d00410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e0030002005d505d205e805e105d005d505ea002005de05ea05e705d305de05d505ea002005d905d505ea05e8002e>
/HRV (Za stvaranje Adobe PDF dokumenata pogodnih za pouzdani prikaz i ispis poslovnih dokumenata koristite ove postavke. Stvoreni PDF dokumenti mogu se otvoriti Acrobat i Adobe Reader 5.0 i kasnijim verzijama.)
/HUN <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>
/ITA (Utilizzare queste impostazioni per creare documenti Adobe PDF adatti per visualizzare e stampare documenti aziendali in modo affidabile. I documenti PDF creati possono essere aperti con Acrobat e Adobe Reader 5.0 e versioni successive.)
/JPN <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>
/KOR <FEFFc7740020c124c815c7440020c0acc6a9d558c5ec0020be44c988b2c8c2a40020bb38c11cb97c0020c548c815c801c73cb85c0020bcf4ace00020c778c1c4d558b2940020b3700020ac00c7a50020c801d569d55c002000410064006f0062006500200050004400460020bb38c11cb97c0020c791c131d569b2c8b2e4002e0020c774b807ac8c0020c791c131b41c00200050004400460020bb38c11cb2940020004100630072006f0062006100740020bc0f002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e00300020c774c0c1c5d0c11c0020c5f40020c2180020c788c2b5b2c8b2e4002e>
/LTH <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>
/LVI <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>
/NLD (Gebruik deze instellingen om Adobe PDF-documenten te maken waarmee zakelijke documenten betrouwbaar kunnen worden weergegeven en afgedrukt. De gemaakte PDF-documenten kunnen worden geopend met Acrobat en Adobe Reader 5.0 en hoger.)
/NOR <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>
/POL <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>
/PTB <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>
/RUM <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>
/SKY <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>
/SLV <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>
/SUO <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>
/SVE <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>
/TUR <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>
/UKR <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>
/RUS <FEFF04180441043f043e043b044c04370443043904420435002004340430043d043d044b04350020043d0430044104420440043e0439043a043800200434043b044f00200441043e043704340430043d0438044f00200434043e043a0443043c0435043d0442043e0432002000410064006f006200650020005000440046002c0020043f043e04340445043e0434044f04490438044500200434043b044f0020043d0430043404350436043d043e0433043e0020043f0440043e0441043c043e044204400430002004380020043f04350447043004420438002004340435043b043e0432044b044500200434043e043a0443043c0435043d0442043e0432002e002000200421043e043704340430043d043d044b04350020005000440046002d0434043e043a0443043c0435043d0442044b0020043c043e0436043d043e0020043e0442043a0440044b043204300442044c002004410020043f043e043c043e0449044c044e0020004100630072006f00620061007400200438002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e00300020043800200431043e043b043504350020043f043e04370434043d043804450020043204350440044104380439002e>
>>
/Namespace [
(Adobe)
(Common)
(1.0)
]
/OtherNamespaces [
<<
/AsReaderSpreads false
/CropImagesToFrames true
/ErrorControl /WarnAndContinue
/FlattenerIgnoreSpreadOverrides false
/IncludeGuidesGrids false
/IncludeNonPrinting false
/IncludeSlug false
/Namespace [
(Adobe)
(InDesign)
(4.0)
]
/OmitPlacedBitmaps false
/OmitPlacedEPS false
/OmitPlacedPDF false
/SimulateOverprint /Legacy
>>
<<
/AllowImageBreaks true
/AllowTableBreaks true
/ExpandPage false
/HonorBaseURL true
/HonorRolloverEffect false
/IgnoreHTMLPageBreaks false
/IncludeHeaderFooter false
/MarginOffset [
0
0
0
0
]
/MetadataAuthor ()
/MetadataKeywords ()
/MetadataSubject ()
/MetadataTitle ()
/MetricPageSize [
0
0
]
/MetricUnit /inch
/MobileCompatible 0
/Namespace [
(Adobe)
(GoLive)
(8.0)
]
/OpenZoomToHTMLFontSize false
/PageOrientation /Portrait
/RemoveBackground false
/ShrinkContent true
/TreatColorsAs /MainMonitorColors
/UseEmbeddedProfiles false
/UseHTMLTitleAsMetadata true
>>
<<
/AddBleedMarks false
/AddColorBars false
/AddCropMarks false
/AddPageInfo false
/AddRegMarks false
/BleedOffset [
0
0
0
0
]
/ConvertColors /ConvertToRGB
/DestinationProfileName (sRGB IEC61966-2.1)
/DestinationProfileSelector /UseName
/Downsample16BitImages true
/FlattenerPreset <<
/PresetSelector /MediumResolution
>>
/FormElements true
/GenerateStructure false
/IncludeBookmarks false
/IncludeHyperlinks false
/IncludeInteractive false
/IncludeLayers false
/IncludeProfiles true
/MarksOffset 6
/MarksWeight 0.250000
/MultimediaHandling /UseObjectSettings
/Namespace [
(Adobe)
(CreativeSuite)
(2.0)
]
/PDFXOutputIntentProfileSelector /DocumentCMYK
/PageMarksFile /RomanDefault
/PreserveEditing true
/UntaggedCMYKHandling /UseDocumentProfile
/UntaggedRGBHandling /LeaveUntagged
/UseDocumentBleed false
>>
]
>> setdistillerparams
<<
/HWResolution [600 600]
/PageSize [419.528 595.276]
>> setpagedevice
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-48838 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | XXXX-0059 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T17:32:51Z |
| publishDate | 2012 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Чабанюк, Я.М. Горун, П.П. 2013-09-04T15:23:27Z 2013-09-04T15:23:27Z 2012 Збіжність дискретної процедури стохастичної оптимізації в схемі дифузійної апроксимації / Я.М. Чабанюк, П.П. Горун // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2012. — Вип. 6. — С. 234-248. — Бібліогр.: 24 назв. — укр. XXXX-0059 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/48838 519.21 Встановлено достатні умови збіжності динамічної системи в марковському середовищі в схемі дифузійної апроксимації при умові експоненційної стійкості усередненого дифузійного процесу. Отримано оцінки залишкових членів розв'язку проблеми сингулярного збурення через властивості функції Ляпунова для усереднених систем. It was obtained sufficient conditions of convergence of dynamic systems in diffusion approximation scheme with Markow switchings under the condition of exponential stability of the averaged diffusion process. By using properties of Lyapunov functions it also was optained estimations for the remainder terms of the solution of singular perturbation problem. uk Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки Збіжність дискретної процедури стохастичної оптимізації в схемі дифузійної апроксимації The convergence of discrete procedure of stochastic optimization in diffusion approximation scheme Article published earlier |
| spellingShingle | Збіжність дискретної процедури стохастичної оптимізації в схемі дифузійної апроксимації Чабанюк, Я.М. Горун, П.П. |
| title | Збіжність дискретної процедури стохастичної оптимізації в схемі дифузійної апроксимації |
| title_alt | The convergence of discrete procedure of stochastic optimization in diffusion approximation scheme |
| title_full | Збіжність дискретної процедури стохастичної оптимізації в схемі дифузійної апроксимації |
| title_fullStr | Збіжність дискретної процедури стохастичної оптимізації в схемі дифузійної апроксимації |
| title_full_unstemmed | Збіжність дискретної процедури стохастичної оптимізації в схемі дифузійної апроксимації |
| title_short | Збіжність дискретної процедури стохастичної оптимізації в схемі дифузійної апроксимації |
| title_sort | збіжність дискретної процедури стохастичної оптимізації в схемі дифузійної апроксимації |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/48838 |
| work_keys_str_mv | AT čabanûkâm zbížnístʹdiskretnoíproceduristohastičnoíoptimízacíívshemídifuzíinoíaproksimacíí AT gorunpp zbížnístʹdiskretnoíproceduristohastičnoíoptimízacíívshemídifuzíinoíaproksimacíí AT čabanûkâm theconvergenceofdiscreteprocedureofstochasticoptimizationindiffusionapproximationscheme AT gorunpp theconvergenceofdiscreteprocedureofstochasticoptimizationindiffusionapproximationscheme |