Группа автоморфизмов полугруппы
Доказано, что группа автоморфизмов произвольной полугруппы изоморфна подгруппе полного прямого произведения полных сплетений групп. Доведено, що група автоморфізмів довільної напівгрупи є ізоморфною підгрупі повного прямого добутку повних вінцевих добутків груп. We prove that the automorphism group...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Дата: | 2012 |
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2012
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/48841 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Группа автоморфизмов полугруппы / А.В. Жучок // Доп. НАН України. — 2012. — № 1. — С. 7-10. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860070494279041024 |
|---|---|
| author | Жучок, А.В. |
| author_facet | Жучок, А.В. |
| citation_txt | Группа автоморфизмов полугруппы / А.В. Жучок // Доп. НАН України. — 2012. — № 1. — С. 7-10. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | Доказано, что группа автоморфизмов произвольной полугруппы изоморфна подгруппе полного прямого произведения полных сплетений групп.
Доведено, що група автоморфізмів довільної напівгрупи є ізоморфною підгрупі повного прямого добутку повних вінцевих добутків груп.
We prove that the automorphism group of an arbitrary semigroup is isomorphic to the subgroup of a complete direct product of complete wreath products of groups.
|
| first_indexed | 2025-12-07T17:10:09Z |
| format | Article |
| fulltext |
оповiдi
НАЦIОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМIЇ НАУК
УКРАЇНИ
1 • 2012
МАТЕМАТИКА
УДК 512.53
© 2012
А.В. Жучок
Группа автоморфизмов полугруппы
(Представлено членом-корреспондентом НАН Украины В.В. Шарко)
Доказано, что группа автоморфизмов произвольной полугруппы изоморфна подгруппе
полного прямого произведения полных сплетений групп.
1. Пусть J — некоторая полурешетка. Полугруппа S называется полурешеткой J подполу-
групп Sα, α ∈ J (см. [1]), если:
а) S =
⋃
α∈J
Sα;
б) Sα
⋂
Sβ = ∅ при любых α, β ∈ J , α 6= β;
в) для любых α, β ∈ J выполняется условие SαSβ ⊆ Sαβ.
Для произвольной полугруппы T через AutT будем обозначать группу автоморфизмов
полугруппы T . Если
∏
i∈Y
Gi — полное прямое произведение групп Gi, i ∈ Y , a ∈
∏
i∈Y
Gi, то
через [a]i будем обозначать i-ю компоненту элемента a.
Пусть G — произвольная группа, X — произвольное непустое множество, ℑ[X] — сим-
метрическая группа на множестве X. Через G =
∏
x∈X
Gx обозначим полное прямое прои-
зведение изоморфных копий Gx группы G, индексированных элементами множества X,
и построим отображение
ρ : ℑ[X] → AutG, γ 7→ γρ = ργ ,
где ργ((ax)) = (aγ(x)) для всех (ax) ∈ G. Непосредственно проверяется, что отображение ρ
является гомоморфизмом. На множестве G× ℑ[X], определив операцию по правилу
((ax), γ1)((bx), γ2) = ((ax)(bγ1(x)), γ1γ2),
получим группу [2], которую называют полным сплетением группы G с симметрической
группой ℑ[X] и обозначают через Gı ℑ[X] (или GWrℑ[X]).
Для каждой полугруппы S пусть
S0 =
{
S, если S имеет нуль и |S| > 1,
S
⋃
{0} в противном случае.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №1 7
Полугруппу S = S0 называют ортогональной суммой полугрупп Si, i ∈ Ω, если S =
⋃
i∈Ω
Si
и Sα
⋂
Sβ = SαSβ = {0} для всех α, β ∈ Ω, α 6= β. Если S = S0 — ортогональная сумма
полугрупп Si, i ∈ Ω, то семейство D = {Si | i ∈ Ω} называют ортогональной декомпозицией
полугруппы S, а полугруппы Si, i ∈ Ω, — ортогональными компонентами полугруппы S.
Полугруппу S = S0 называют ортогонально неразложимой, если D = {S} — единственная
ортогональная декомпозиция полугруппы S.
2. Пусть S — произвольная полугруппа. Тогда S есть полурешетка I полурешеточно
неразложимых подполугрупп Si, i ∈ I (см., например, [3]). Разобьем множество I на классы
эквивалентности, относя i, i′ ∈ I к одному классу, если и только если полугруппы Si и Si′
изоморфны. Выберем в каждом классе эквивалентности по одному элементу и обозначим
множество представителей через Y . Для j ∈ Y пусть Aj = {i ∈ I | Si
∼= Sj}, а Kj —
ортогональная сумма полугрупп S0
i = Si
⋃
{0}, i ∈ Aj , где 0 — внешне присоединенный
нуль для каждой полугруппы Si.
Основным результатом работы является следующая теорема.
Теорема. Группа автоморфизмов AutS произвольной полугруппы S изоморфно вкла-
дывается в полное прямое произведение
∏
j∈Y AutSjıℑ[Aj ]
полных сплетений групп автоморфизмов AutSj полугрупп Sj с симметрическими груп-
пами ℑ[Aj] на множествах Aj , j ∈ Y , где S =
⋃
i∈I
Si — разложение на полурешеточно
неразложимые компоненты.
Доказательство. Пусть ϕ — автоморфизм полугруппы S =
⋃
i∈I
Si. Очевидно, для лю-
бого k ∈ I мы имеем Skϕ =
⋃
i∈I
S′
i, где S′
i ⊆ Si. Пусть J = {i ∈ I | S′
i 6= {0}}. Если для неко-
торого k ∈ I будет |J | > 1, то получаем, что Skϕ — полурешетка J подполугрупп S′
i, i ∈ J ,
что невозможно, поскольку полугруппа Sk полурешеточно неразложима. Таким образом,
∀ k ∈ I ∃ i ∈ I : Skϕ ⊆ Si. (∗)
Зафиксируем произвольный элемент t ∈ I. Если теперь предположить, что St =
⋃
λ∈Λ
Sλϕ,
где Λ ⊆ I, |Λ| > 1, то для y ∈ Snϕ, y′ ∈ Smϕ (n,m ∈ Λ, n 6= m) получаем yϕ−1 ∈ Sn,
y′ϕ−1 ∈ Sm, что противоречит условию (∗). Следовательно, |Λ| = 1 и St = Sλϕ. Таким обра-
зом, каждый автоморфизм ϕ полугруппы S однозначно определяется некоторыми изомор-
физмами ϕδ
i : Si → Siδ, i ∈ I, где δ — подходящее биективное преобразование множества I.
При этом если x ∈ Si, y ∈ Si′ , i, i
′ ∈ I, то
(xy)ϕδ
ii′ = (xy)ϕ = xϕyϕ = xϕδ
i yϕ
δ
i′ ∈ SiδSi′δ ⊆ Siδi′δ,
откуда
(ii′)δ = iδi′δ,
т. е. δ — автоморфизм полугруппы I.
8 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №1
Обратно, пусть δ — автоморфизм полугруппы I, {ϕδ
i }i∈I — семейство изоморфизмов
ϕδ
i : Si → Siδ, i ∈ I и выполняется условие (xy)ϕδ
ii′ = xϕδ
i yϕ
δ
i′ для любых x ∈ Si, y ∈ Si′ ,
i, i′ ∈ I. Полагая
xϕ = xϕδ
i ⇔ x ∈ Si, i ∈ I
для всех x ∈ S, получаем, что ϕ — автоморфизм полугруппы S.
Пусть ϕ — автоморфизм полугруппы S. Для каждого j ∈ Y через ϕ|j обозначим огра-
ничение ϕ на множестве Kj \{0} и рассмотрим преобразование ϕ|∗j множества Kj, заданное
по правилу
xϕ|∗j =
{
xϕ|j , если x 6= 0,
0, если x = 0,
для всех x ∈ Kj . Легко проверить, что ϕ|∗j — автоморфизм полугруппы Kj , j ∈ Y .
Определим отображение ω : AutS →
∏
j∈Y
AutKj : ϕ 7→ ϕω = ~ϕ, полагая [~ϕ]j = ϕ|∗j (см.
п. 1) для всех j ∈ Y . Это отображение инъективно по построению и является гомоморфи-
змом, так как [
−→
ϕξ]j = [~ϕ]j [~ξ]j для всех ϕ, ξ ∈ AutS, j ∈ Y .
Очевидно, что каждая ортогональная компонента полугруппы Kj, j ∈ Y , ортогонально
неразложима. Тогда согласно теореме п. 2.3 работы [4]
AutKj
∼= AutS0
j ıℑ[Aj], j ∈ Y.
Так как AutS0
j
∼= AutSj , j ∈ Y , то AutKj
∼= AutSjıℑ[Aj ]. Таким образом, группа AutS
изоморфно вкладывается в группу
∏
j∈Y
AutSjıℑ[Aj ].
Теорема доказана.
3. При изучении групп автоморфизмов тех или иных математических структур есте-
ственным является вопрос об определяемости этих структур их группами автоморфизмов.
Пусть H — класс математических структур. Говорят, что структура T ∈ H определяется
(с точностью до изоморфизма) группой автоморфизмов, если для любой структуры T ′ ∈ H
из того, что AutT ′ ∼= AutT следует, что T ′ ∼= T .
Полугруппа не определяется группой автоморфизмов. Действительно, пусть T — полу-
группа с нулевым умножением, |T | > 1, а T ′ — полугруппа левых нулей, определенная на
множестве T \ {0}. Тогда группы автоморфизмов полугрупп T и T ′ изоморфны, в то время
как сами полугруппы таковыми не являются.
1. Ляпин Е.С. Полугруппы. – Москва: Физматгиз, 1960. – 592 с.
2. Курош А. Г. Теория групп. – 3-е изд. – Москва: Наука, 1967. – 648 с.
3. Putcha M. S. Semilattice decompositions of semigroups // Semigroup Forum. – 1973. – 6. – P. 12–34.
4. Жучок А.В. Групи автоморфiзмiв ортогональних сум напiвгруп // Доп. НАН України. – 2011. –
№ 6. – С. 12–16.
Поступило в редакцию 30.06.2011Киевский национальный университет
им. Тараса Шевченко
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №1 9
А.В. Жучок
Група автоморфiзмiв напiвгрупи
Доведено, що група автоморфiзмiв довiльної напiвгрупи є iзоморфною пiдгрупi повного пря-
мого добутку повних вiнцевих добуткiв груп.
A.V. Zhuchok
The automorphism group of a semigroup
We prove that the automorphism group of an arbitrary semigroup is isomorphic to the subgroup of
a complete direct product of complete wreath products of groups.
10 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №1
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-48841 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T17:10:09Z |
| publishDate | 2012 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Жучок, А.В. 2013-09-04T15:53:03Z 2013-09-04T15:53:03Z 2012 Группа автоморфизмов полугруппы / А.В. Жучок // Доп. НАН України. — 2012. — № 1. — С. 7-10. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/48841 512.53 Доказано, что группа автоморфизмов произвольной полугруппы изоморфна подгруппе полного прямого произведения полных сплетений групп. Доведено, що група автоморфізмів довільної напівгрупи є ізоморфною підгрупі повного прямого добутку повних вінцевих добутків груп. We prove that the automorphism group of an arbitrary semigroup is isomorphic to the subgroup of a complete direct product of complete wreath products of groups. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Математика Группа автоморфизмов полугруппы Група автоморфізмів напівгрупи The automorphism group of a semigroup Article published earlier |
| spellingShingle | Группа автоморфизмов полугруппы Жучок, А.В. Математика |
| title | Группа автоморфизмов полугруппы |
| title_alt | Група автоморфізмів напівгрупи The automorphism group of a semigroup |
| title_full | Группа автоморфизмов полугруппы |
| title_fullStr | Группа автоморфизмов полугруппы |
| title_full_unstemmed | Группа автоморфизмов полугруппы |
| title_short | Группа автоморфизмов полугруппы |
| title_sort | группа автоморфизмов полугруппы |
| topic | Математика |
| topic_facet | Математика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/48841 |
| work_keys_str_mv | AT žučokav gruppaavtomorfizmovpolugruppy AT žučokav grupaavtomorfízmívnapívgrupi AT žučokav theautomorphismgroupofasemigroup |