Про апостеріорний вибір параметра дискретизації при розв'язуванні рівняння Сімма повністю дискретним методом колокації
Розглянуто задачу наближеного розв'язування інтегрального рівняння Сімма для нескінченно гладкої замкненої межі. У метриці соболівських просторів знайдено оцінки похибки повністю дискретного методу колокації при виборі параметра дискретизації згідно з принципом рівноваги. Встановлено, що обрани...
Saved in:
| Published in: | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Date: | 2012 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2012
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/48843 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Про апостеріорний вибір параметра дискретизації при розв'язуванні рівняння Сімма повністю дискретним методом колокації / С.Г. Солодкий, Є.В. Семенова // Доп. НАН України. — 2012. — № 1. — С. 18-24. — Бібліогр.: 9 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859471520648134656 |
|---|---|
| author | Солодкий, С.Г. Семенова, Є.В. |
| author_facet | Солодкий, С.Г. Семенова, Є.В. |
| citation_txt | Про апостеріорний вибір параметра дискретизації при розв'язуванні рівняння Сімма повністю дискретним методом колокації / С.Г. Солодкий, Є.В. Семенова // Доп. НАН України. — 2012. — № 1. — С. 18-24. — Бібліогр.: 9 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | Розглянуто задачу наближеного розв'язування інтегрального рівняння Сімма для нескінченно гладкої замкненої межі. У метриці соболівських просторів знайдено оцінки похибки повністю дискретного методу колокації при виборі параметра дискретизації згідно з принципом рівноваги. Встановлено, що обраний принцип дозволяє досягнути в межах вказаного методу того ж порядку точності, що і при апріорному виборі параметра дискретизації.
Рассмотрена задача приближенного решения интегрального уравнения Симма для бесконечно гладкой замкнутой границы. В метрике соболевских пространств найдены оценки погрешности полностью дискретного метода коллокации при выборе параметра дискретизации согласно принципу равновесия. Установлено, что выбранный принцип позволяет достичь в рамках указанного метода тот же порядок точности, что и при априорном выборе параметра дискретизации.
The problem of solving Symm's integral equation for an infinitely smooth closed boundary is considered. The error bounds of the fully discretized collocation method on the scale of Sobolev spaces are established with selection of the discretization parameter by a balancing principle. The principle provides the achievement of the same accuracy that can be achieved with a priori selection of the discretization parameter.
|
| first_indexed | 2025-11-24T10:08:22Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 519.642
© 2012
С.Г. Солодкий, Є. В. Семенова
Про апостерiорний вибiр параметра дискретизацiї
при розв’язуваннi рiвняння Сiмма повнiстю дискретним
методом колокацiї
(Представлено академiком НАН України В. Л. Макаровим)
Розглянуто задачу наближеного розв’язування iнтегрального рiвняння Сiмма для не-
скiнченно гладкої замкненої межi. У метрицi соболiвських просторiв знайдено оцiнки
похибки повнiстю дискретного методу колокацiї при виборi параметра дискретизацiї
згiдно з принципом рiвноваги. Встановлено, що обраний принцип дозволяє досягнути
в межах вказаного методу того ж порядку точностi, що i при апрiорному виборi па-
раметра дискретизацiї.
У роботi розглядається iнтегральне рiвняння першого роду з логарифмiчною особливiстю
в ядрi, що отримало у спецiальнiй лiтературi назву рiвняння Сiмма (див., наприклад, [1,
§ 5.6]). Ранiше це рiвняння дослiджувалося, зокрема, в роботах [2, 3], де було встановлено
стiйкiсть повнiстю дискретного проекцiйного методу на парах соболiвських просторiв, обра-
них належним чином. Аналогiчнi результати були отриманi i для деяких варiантiв методу
колокацiї: в роботi [4] розглядався дискретний спектральний колокацiйний метод, а в робо-
тi [5] — повнiстю дискретний метод колокацiї (ПДМК).
Поряд з аналiзом стiйкостi методу природним чином виникає питання про оцiнку його
точностi у випадку збурених даних. Як вiдомо, досягнення заданої точностi методу тiс-
но пов’язане з вибором параметра регуляризацiї (у нашому випадку останнiй збiгається
з параметром дискретизацiї), що може бути здiйснено в рамках двох пiдходiв: по-перше,
апрiорно, тобто залежно вiд гладкостi розв’язку, i, по-друге, апостерiорно, тобто без вико-
ристання точної гладкостi розв’язку. При апрiорному виборi параметра регуляризацiї оцiнка
точностi (у шкалах соболiвських просторiв) розв’язування рiвняння Сiмма для ПДМК була
встановлена в [5], а для повнiстю дискретного проекцiйного методу — у [2, 3].
Зазначимо, що дослiдження точностi методiв при апостерiорному виборi параметра дис-
кретизацiї для рiвняння Сiмма ранiше не проводилися. Наша мета — поширити дослiджен-
ня [5] на випадок апостерiорного вибору параметра дискретизацiї. Для цього скористаємося
принципом рiвноваги, який для розв’язання некоректних задач вперше був запропонований
у роботi [6]. Як буде показано нижче, застосування принципу рiвноваги дозволяє зберегти
порядок похибки ПДМК, вiдомий ранiше лише в апрiорному випадку(див. [5]), без викорис-
тання жодної додаткової iнформацiї про точну гладкiсть розв’язку.
Постановка задачi. Розглянемо рiвняння Сiмма
∫
Γ
log |x− y|v(y) dsy = g(x), x ∈ Γ, (1)
де Γ — замкнена C∞-гладка жорданова крива, яка є межею однозв’язної областi Ω ⊂ R
2.
Нехай γ(t) : [0, 1] → Γ є C∞-гладкою 1-перiодичною параметризацiєю межi Γ такою, що
18 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №1
|γ′(t) 6= 0| для будь-якого t ∈ [0, 1]. Вiдомо (див. [7]), що єдинiсть розв’язку рiвняння (1)
гарантована у випадку, коли дiаметр Γ не перевищує 1, а виконання цiєї умови легко дося-
гається вiдповiдним масштабуванням змiнних.
Перепишемо (1) у стандартному виглядi (див., наприклад, [4]):
Au := A0u+Bu = f, (2)
де
u(t) = v(γ(t))|γ′(t)|, f(t) = g(γ(t)),
(A0)(t) =
1∫
0
log | sinπ(t− s)|u(s) ds,
(Bu)(t) =
1∫
0
b(t, s)u(s) ds, b(t, s) =
log
|γ(t)− γ(s)|
| sinπ(t− s)|
, t 6= s,
log(|γ′(t)/π|), t = s.
Вiдомо (див. [4]), що власнi функцiї оператора A0 мають вигляд тригонометричних
полiномiв
A0e
2πikt =
{
−(2|k|)−1e2πikt, k = ±1,±2, . . . ,
− log 2, k = 0,
а ядро b(t, s) оператора B є C∞-гладкою i 1-бiперiодичною функцiєю.
Позначимо через {Hλ}, −∞ < λ < ∞, шкалу гiльбертових просторiв 1-перiодичних
функцiй з нормою
‖u‖λ :=
(
|û(0)|2 +
∑
n 6=0,n∈Z
|n|2λ|û(n)|2
)1/2
,
де û(n) =
1∫
0
e−2πintu(t) t — коефiцiєнти Фур’є функцiї u(t), а H0 = L2(0, 1).
Вiдомо (див., наприклад, [8]), що для будь-якого λ ∈ R знайдуться сталi b1, b2 > 0 такi,
що оператор A задовольняє умову
b1‖x‖λ−1 6 ‖Ax‖λ 6 b2‖x‖λ−1. (3)
Треба зазначити, що задача (2) нестiйка до збурення вхiдних даних у просторi Hλ, що
пов’язано з компактнiстю оператора A : Hλ → Hλ, λ ∈ (−∞,∞). Вiдомо, що у загальному
випадку для розв’язання нестiйких задач потрiбно використовувати принципи тiхоновської
регуляризацiї. З iншого боку, рiвняння виду (2) мають таку важливу властивiсть: опера-
тор A породжує iзоморфiзм на парi просторiв Hλ та Hλ+1 для всiх λ ∈ (−∞,∞). Вказана
властивiсть випливає з iзоморфностi оператора A0 : H
λ → Hλ+1 для будь-якого λ та ком-
пактностi оператора B : Hλ → Hλ+1, що, у свою чергу, дозволяє при вiдповiдному виборi
параметра дискретизацiї n саморегуляризовувати розглядувану задачу без використання
додаткових технiк для її розв’язання (бiльш докладно про саморегуляризацiю некоректних
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №1 19
задач див. [9]). Викладений нижче метод побудовано з урахуванням зазначеної властивостi
дослiджуваної задачi.
Для подальшого викладення матерiалу нам будуть потрiбнi такi позначення. Введемо
n-мiрний простiр тригонометричних полiномiв
Tn =
{
un : un =
∑
k∈Zn
cke
2πikt
}
, Zn =
{
k : −
n
2
< k 6
n
2
, k = 0,±1,±2, . . .
}
.
Позначимо через Pn ортогональний проектор виду
Pnu =
∑
k∈Zn
û(k)e2πikt ∈ Tn,
а через Qn — iнтерполяцiйний проектор такий, що Qnu ∈ Tn та на рiвномiрнiй сiтцi (1/n, 2/n,
. . . , 1) ∈ [0, 1] справедливо
(Qnu)(jn
−1) = u(jn−1), j = 1, 2, . . . , n.
У роботi [5] для розв’язування (2) було запропоновано ПДМК, суть якого полягає у на-
ближеннi (2) рiвнянням
Anun := A0un +QnBnun = Qnf, un ∈ Tn, (4)
де (Bnu)(t) = n−1
n∑
j=1
b(t, jn−1)u(jn−1).
Нагадаємо далi деякi результати про стiйкiсть i збiжнiсть ПДМК (4) (див., наприк-
лад, [1, § 10]).
Теорема 1 [1]. Нехай дiаметр межi Γ вiдрiзняється вiд 1, а f ∈ Hν+1, де ν > 1/2. Тодi
знайдуться такi n0 i c0, що для всiх λ ∈ R i n > n0 виконується нерiвнiсть стiйкостi
‖vn‖λ 6 c0‖Anvn‖λ+1. (5)
При цьому справедлива оцiнка похибки методу (4)
‖un − u‖λ 6 cλ,νn
λ−ν‖u‖ν , 0 6 λ 6 ν, (6)
де cλ,ν = 2ν−λ
(
1 +
∞∑
j=1
1
j2ν
)1/2
, u = A−1f ∈ Hν є точним розв’язком рiвняння (2) та
un = A−1
n Qnf є розв’язком (4).
Наслiдуючи [5], припустимо, що замiсть точних функцiй f(t) та γ(t) нам вiдомi лише
деякi їх збурення fδ(t) та γε(t) такi, що у вузлах рiвномiрної сiтки справедливi оцiнки
похибки
(
n−1
n∑
j=1
|fδ(jn
−1)− f(jn−1)|2
)1/2
6 δ‖f‖ν+1, (7)
|γε(in
−1)− γ(in−1)| 6 ε, |γ′ε(in
−1)− γ′(in−1)| 6 nε, i = 1, 2, . . . , n. (8)
20 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №1
Тодi ядро bε(t, s) збуреного оператора Bε може бути записане таким чином:
bε(t, s) =
log
|γε(t)− γε(s)|
| sinπ(t− s)|
, t 6= s,
log(|γ′ε(t)/π|), t = s,
а метод колокацiї набуде вигляду
An,εun,δ,ε := A0un,δ,ε +QnBn,εun,δ,ε = Qnfδ, un,δ,ε ∈ Tn, (9)
де (Bn,εu)(t) = n−1
n∑
j=1
bε(t, jn
−1)u(jn−1).
У поданому нижче твердженнi наведенi оцiнки, що характеризують стiйкiсть процесу
дискретизацiї у вiдношеннi до збурення вхiдних даних.
Лема 1 [5]. За умов (7) та (8) виконується
‖Qnfδ −Qnf‖0 6 δ‖f‖ν+1,
‖(An,ε −An)vn‖0 6 dε log n‖vn‖ν , vn ∈ Tn,
де d є стала, яка не залежить вiд n, δ та ε.
Тепер сформулюємо результат, який встановлює оцiнку похибки наближених розв’яз-
кiв un та un,δ,ε, якi отриманi у межах методiв (4) та (9) вiдповiдно.
Теорема 2 [5]. Нехай виконуються нерiвнiсть (5) i умови леми 1. Тодi для n > n0,
що задовольняють умову
dε log n 6 qc−1
0 , q ∈ (0, 1),
оператор An,ε має обернений та для будь-якого 0 6 λ 6 ν виконується
‖un − un,δ,ε‖λ 6 cξn
λ+1(δ‖f‖ν+1 + dε log n‖u‖ν) 6 cξn
λ+1‖u‖ν(b2δ + dε log n), (10)
де cξ = 2−λ−1c0/(1 − q).
Повна оцiнка похибки ПДМК (9) встановлена в [5]:
‖u− un,δ,ε‖λ 6 c′[nλ−ν + nλ+1(δ + ε log n)]‖u‖ν , (11)
де c′ — стала, яка не залежить вiд n, δ, ε. Крiм того, там же було показано, що при виборi
параметра дискретизацiї за правилом n = O((δ + ε)−1/(ν+1)) оцiнка (11) набуває вигляду
‖u− un,δ,ε‖λ = O
(
δ
ν−λ
ν+1 + ε
ν−λ
ν+1 log
1
δ + ε
)
, 0 6 λ 6 ν. (12)
Ставиться задача знайти для методу (9) оцiнку похибки, аналогiчну (12), на випадок
невiдомого параметра гладкостi ν. Для цього в процесi обчислень необхiдно узгодити рiвнi
похибки δ, ε з рiвнем дискретизацiї n. З цiєю метою нижче буде використано апостерiорне
правило зупинки у виглядi принципу рiвноваги [6]. Суть названого правила полягає в тому,
щоб знайти таке значення параметра дискретизацiї, яке мiнiмiзує суму правих частин спiв-
вiдношень (6) та (10), яку можна розглядати як повну оцiнку похибки ПДМК (пор. (11)).
Очевидно, що у разi λ < ν функцiя cλ,νn
λ−ν буде ввiгнутою i спадною до 0 при n → 0,
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №1 21
а cξn
λ+1(b2δ + dε log n) — ввiгнутою та зростаючою до ∞ при n → ∞. Отже, значення па-
раметра nopt, яке теоретично забезпечує найменшу похибку розв’язку, знаходиться в точцi
перетину (з точнiстю до найближчого цiлого) зазначених вище функцiй:
cλ,νn
λ−ν
opt = cξn
λ+1
opt (δ + dε log nopt). (13)
Зауваження 1. З останньої рiвностi легко отримати оцiнку похибки для методу (9) у разi
вибору параметра дискретизацiї згiдно з (13), а саме:
‖u− unopt,δ,ε‖λ 6 2cξ‖u‖νn
λ+1
opt (dε log nopt + b2δ). (14)
На жаль апрiорне правило (13) не може бути використано в нашiй ситуацiї, коли величи-
на ν невiдома. Проте, як буде встановлено нижче, принцип рiвноваги дозволяє наблизитися
до iдеального рiвня nopt без точної iнформацiї про гладкiснi властивостi розв’язку. Будемо
розглядати задачу (2) на множинi розв’язкiв u ∈ Hν , ‖u‖ν 6 η.
Наведемо опис принципу рiвноваги. Через DN позначимо множину можливих значень
параметра дискретизацiї n
DN = {n : n = 1, . . . , N,N = [(δ + ε)−1/(λ+1)]}.
Принцип рiвноваги полягає у виборi номера n+, який апроксимує оптимальне можливе
значення nopt за правилом
n+ = min{n : n ∈ D+
N}, (15)
де
D+
N = {n ∈ DN : ‖un,δ,ε − uj,δ,ε‖λ 6 4cξηj
λ+1(dε log j + b2δ), j > n}.
Крiм того, нам знадобиться такий допомiжний параметр:
n⋆ := min{n : cλ,νn
λ−ν
6 cξn
λ+1(dε log n+ b2δ)}. (16)
Сформулюємо основнi результати, якi встановлюють оцiнки похибки ПДМК, викорис-
товуючи принцип рiвноваги.
Теорема 3. Нехай виконанi умови теореми 1 i параметр дискретизацiї обрано згiдно
з (15), тодi
‖u− un+,δ,ε‖λ 6 6c′′cξη
(
n⋆
n⋆ − 1
)λ+1
nλ+1
opt (dε log nopt + b2δ), (17)
де c′′ не залежить вiд δ, ε, n.
Доведення. Для оцiнки шуканої величини скористаємося нерiвнiстю трикутника
‖u− un,δ,ε‖λ 6 ‖un − u‖λ + ‖un − un,δ,ε‖λ.
Тодi з урахуванням оцiнок (6), (10) та умови ‖u‖ν 6 η маємо
‖u− un,δ,ε‖λ 6 cλ,νn
λ−νη + cξn
λ+1(dε log n+ b2δ)η. (18)
22 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №1
Згiдно з (18) отримуємо
‖uj,δ,ε − un⋆,δ,ε‖λ 6 ‖uj,δ,ε − u‖λ + ‖u− un⋆,δ,ε‖λ 6
6 cλ,νj
λ−νη + cξj
λ+1(dε log j + b2δ)η + cλ,νn
λ−ν
⋆ η + cξn
λ+1
⋆ (dε log n⋆ + b2δ)η.
Звiдси за допомогою (16) знаходимо для всiх j > n⋆
‖uj,δ,ε − un⋆,δ,ε‖λ 6 2cξj
λ+1(dε log j + b2δ)η + 2cξn
λ+1
⋆ (dε log n⋆ + b2δ)η,
а внаслiдок зростання функцiї nλ+1(dε log n + b2δ) отримуємо
‖uj,δ,ε − un⋆,δ,ε‖λ 6 4cξj
λ+1(dε log j + b2δ)η. (19)
Враховуючи (15) та (19), знаходимо, що n+ 6 n⋆ та n⋆ ∈ D+
N .
Iз (15), (16), (18), а також на пiдставi означення множини D+
N маємо
‖u− un+,δ,ε‖λ 6 ‖u− un⋆,δ,ε‖λ + ‖un⋆,δ,ε − un+,δ,ε‖λ 6 2cξn
λ+1
⋆ (dε log n⋆ + b2δ)η +
+ 4cξn
λ+1
⋆ (dε log n⋆ + b2δ)η = 6cξn
λ+1
⋆ (dε log n⋆ + b2δ)η. (20)
Крiм того, з урахуванням (16) виконується
cλ,ν(n⋆ − 1)λ−ν > cξ(dε log(n⋆ − 1) + b2δ)(n⋆ − 1)λ+1,
cλ,ν(n⋆ − 1)−ν−1 > cξ(dε log(n⋆ − 1) + b2δ).
Тодi з (13) випливає, що n⋆− 1 6 nopt. З урахуванням останньої нерiвностi з (20) остаточно
отримуємо
‖u− un+,δ,ε
‖λ 6 6cξηn
λ+1
⋆ (dε log n⋆ + b2δ) =
= 6cξη
(
n⋆
n⋆ − 1
)λ+1
(n⋆ − 1)λ+1
(
dε log
(
(n⋆ − 1)
n⋆
n⋆ − 1
)
+ b2δ
)
6
6 6cξη
(
n⋆
n⋆ − 1
)λ+1
(nopt)
λ+1(dε(log nopt + log 2) + b2δ),
що й потрiбно було довести.
Зауваження 2. Очевидно, що оцiнки (14) та (17), отриманi для апрiорного правила (13)
та апостерiорного (15) вiдповiдно, збiгаються за порядком.
Теорема 4. Нехай виконуються умови теореми 3, тодi
‖u− un+,δ,ε
‖λ = O(δ(ν−λ)/(ν+1) + ε(ν−λ)/(ν+1) log(ε+ δ)−1).
1. Saranen J., Vainikko G. Periodic integral and pseudodifferential equations with numerical approximation. –
Berlin: Springer, 2002. – 452 p.
2. Pereverzev S. V., Prossdorf S. On the characterization of self-regularization properties of a fully discrete
projection method for Symm’s integral equation // J. Integral Equations Appl. – 2000. – 12, No 2. –
P. 113–130.
3. Solodky S.G., Lebedeva E.V. Error bounds of a fully discrete projection method for Symm’s integral
equation // Comp. Method Appl. Math. – 2007. – 7, No 3. – P. 255–263.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №1 23
4. Saranen J. A modified discrete spectral collocation method for first kind integral equations with logarithmic
kernel // J. Integral Equations Appl. – 1993. – 5, No 4. – P. 547–567.
5. Bruckner G., Prossdorf S., Vainikko G. Error bounds of discretization methods for boundary integral
equations with noisy data // Appl. Anal. – 1996. – 63, No 1–2. – P. 25–37.
6. Pereverzev S., Schock E. On the adaptive selection of the parameter in regularization of ill-posed problems //
SIAM J. Numer. Anal. – 2005. – 43, No 5. – P. 2060. – 2076.
7. Hsiao G.C., Wendland W.L. A finite element method for some integral equations of the first kind //
J. Math. Anal. Appl. – 1977. – 58. – P. 449–481.
8. Mathe P., Pereverzev S. V. Optimal discretization of inverse problems in Hilbert scales. Regularization and
self-regularization of projection methods // SIAM J. Numer. Anal. – 2001. – 38, No 6. – P. 1999. – 2021.
9. Вайникко Г.М., Хаамярик У. A. Проекционные методы и саморегуляризация некорректных задач //
Изв. высш. учеб. заведений. Математика. – 1985. – 29. – С. 1–17.
Надiйшло до редакцiї 24.03.2011Iнститут математики НАН України, Київ
C. Г. Солодкий, Е. В. Семенова
Про апостериорный выбор параматра дискретизации для решения
уравнения Симма полностью дискретным методом коллокации
Рассмотрена задача приближенного решения интегрального уравнения Симма для беско-
нечно гладкой замкнутой границы. В метрике соболевских пространств найдены оценки
погрешности полностью дискретного метода коллокации при выборе параметра дискрети-
зации согласно принципу равновесия. Установлено, что выбранный принцип позволяет до-
стичь в рамках указанного метода тот же порядок точности, что и при априорном выборе
параметра дискретизации.
S.G. Solodky, E. V. Semenova
A posteriori selection of a discretization parameter for solving Symm’s
equation by the fully discretized collocation method
The problem of solving Symm’s integral equation for an infinitely smooth closed boundary is consi-
dered. The error bounds of the fully discretized collocation method on the scale of Sobolev spaces
are established with selection of the discretization parameter by a balancing principle. The principle
provides the achievement of the same accuracy that can be achieved with a priori selection of the
discretization parameter.
24 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №1
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-48843 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-11-24T10:08:22Z |
| publishDate | 2012 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Солодкий, С.Г. Семенова, Є.В. 2013-09-04T15:55:22Z 2013-09-04T15:55:22Z 2012 Про апостеріорний вибір параметра дискретизації при розв'язуванні рівняння Сімма повністю дискретним методом колокації / С.Г. Солодкий, Є.В. Семенова // Доп. НАН України. — 2012. — № 1. — С. 18-24. — Бібліогр.: 9 назв. — укр. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/48843 519.642 Розглянуто задачу наближеного розв'язування інтегрального рівняння Сімма для нескінченно гладкої замкненої межі. У метриці соболівських просторів знайдено оцінки похибки повністю дискретного методу колокації при виборі параметра дискретизації згідно з принципом рівноваги. Встановлено, що обраний принцип дозволяє досягнути в межах вказаного методу того ж порядку точності, що і при апріорному виборі параметра дискретизації. Рассмотрена задача приближенного решения интегрального уравнения Симма для бесконечно гладкой замкнутой границы. В метрике соболевских пространств найдены оценки погрешности полностью дискретного метода коллокации при выборе параметра дискретизации согласно принципу равновесия. Установлено, что выбранный принцип позволяет достичь в рамках указанного метода тот же порядок точности, что и при априорном выборе параметра дискретизации. The problem of solving Symm's integral equation for an infinitely smooth closed boundary is considered. The error bounds of the fully discretized collocation method on the scale of Sobolev spaces are established with selection of the discretization parameter by a balancing principle. The principle provides the achievement of the same accuracy that can be achieved with a priori selection of the discretization parameter. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Математика Про апостеріорний вибір параметра дискретизації при розв'язуванні рівняння Сімма повністю дискретним методом колокації Про апостериорный выбор параматра дискретизации для решения уравнения Симма полностью дискретным методом коллокации A posteriori selection of a discretization parameter for solving Symm's equation by the fully discretized collocation method Article published earlier |
| spellingShingle | Про апостеріорний вибір параметра дискретизації при розв'язуванні рівняння Сімма повністю дискретним методом колокації Солодкий, С.Г. Семенова, Є.В. Математика |
| title | Про апостеріорний вибір параметра дискретизації при розв'язуванні рівняння Сімма повністю дискретним методом колокації |
| title_alt | Про апостериорный выбор параматра дискретизации для решения уравнения Симма полностью дискретным методом коллокации A posteriori selection of a discretization parameter for solving Symm's equation by the fully discretized collocation method |
| title_full | Про апостеріорний вибір параметра дискретизації при розв'язуванні рівняння Сімма повністю дискретним методом колокації |
| title_fullStr | Про апостеріорний вибір параметра дискретизації при розв'язуванні рівняння Сімма повністю дискретним методом колокації |
| title_full_unstemmed | Про апостеріорний вибір параметра дискретизації при розв'язуванні рівняння Сімма повністю дискретним методом колокації |
| title_short | Про апостеріорний вибір параметра дискретизації при розв'язуванні рівняння Сімма повністю дискретним методом колокації |
| title_sort | про апостеріорний вибір параметра дискретизації при розв'язуванні рівняння сімма повністю дискретним методом колокації |
| topic | Математика |
| topic_facet | Математика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/48843 |
| work_keys_str_mv | AT solodkiisg proaposteríorniivibírparametradiskretizacííprirozvâzuvannírívnânnâsímmapovnístûdiskretnimmetodomkolokacíí AT semenovaêv proaposteríorniivibírparametradiskretizacííprirozvâzuvannírívnânnâsímmapovnístûdiskretnimmetodomkolokacíí AT solodkiisg proaposteriornyivyborparamatradiskretizaciidlârešeniâuravneniâsimmapolnostʹûdiskretnymmetodomkollokacii AT semenovaêv proaposteriornyivyborparamatradiskretizaciidlârešeniâuravneniâsimmapolnostʹûdiskretnymmetodomkollokacii AT solodkiisg aposterioriselectionofadiscretizationparameterforsolvingsymmsequationbythefullydiscretizedcollocationmethod AT semenovaêv aposterioriselectionofadiscretizationparameterforsolvingsymmsequationbythefullydiscretizedcollocationmethod |