Задача Стефана при наличии конвекции
Исследована задача Стефана с учетом конвекции и примесей в жидкой фазе. Доказана теорема существования. Построено приближенное решение задачи с использованием метода малого параметра. Получена сходимость приближенного решения к точному решению в метрике H^2+α,(2+α)/2. Досліджено задачу Стефана з ура...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Datum: | 2012 |
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2012
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/48844 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Задача Стефана при наличии конвекции / А.И. Шевченко, А.С. Миненко // Доп. НАН України. — 2012. — № 1. — С. 25-29. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859979037372317696 |
|---|---|
| author | Шевченко, А.И. Миненко, А.С. |
| author_facet | Шевченко, А.И. Миненко, А.С. |
| citation_txt | Задача Стефана при наличии конвекции / А.И. Шевченко, А.С. Миненко // Доп. НАН України. — 2012. — № 1. — С. 25-29. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | Исследована задача Стефана с учетом конвекции и примесей в жидкой фазе. Доказана теорема существования. Построено приближенное решение задачи с использованием метода малого параметра. Получена сходимость приближенного решения к точному решению в метрике H^2+α,(2+α)/2.
Досліджено задачу Стефана з урахуванням конвекції та домішок у рідині. Доведено теорему розв'язності. Побудовано наближений розв'язок задачі з використанням методу малого параметра. Одержано збіжність наближеного розв'язку до точного розв'язку в метриці H^2+α,(2+α)/2.
The Stefan convection problem in the liquid phase is investigated. We prove the theorem of solvability. The approximate solution is constructed using the method of small parameter. The convergence of the approximate solution to the exact one in the metric H^2+α,(2+α)/2 is proved.
|
| first_indexed | 2025-12-07T16:24:45Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.988
© 2012
Член-корреспондент НАН Украины А.И. Шевченко, А. С. Миненко
Задача Стефана при наличии конвекции
Исследована задача Стефана с учетом конвекции и примесей в жидкой фазе. Доказана
теорема существования. Построено приближенное решение задачи с использованием
метода малого параметра. Получена сходимость приближенного решения к точному
решению в метрике H2+α,(2+α)/2.
1. Изучается задача, моделирующая процесс кристаллизации вещества, с учетом конвек-
тивного переноса тепла. При этом задача содержит две свободные границы. Впервые при ис-
следовании данного класса задач используется метод малого параметра. В работе построено
приближенное решение задачи и исследована его сходимость.
Будем обозначать через Ω±
t область, занятую жидкой (твердой) фазой в момент време-
ни t. При этом Ω0 — заданная область в R
3, граница которой состоит из двух замкнутых
связанных поверхностей Γ+
0 и Γ−
0 , не имеющих самопересечений, где Γ0 — гладкая замкнутая
поверхность, лежащая внутри Ω0, такая, что Γ−
0 лежит внутри ограниченной области, гра-
ницей которой является Γ0. Требуется определить области Ω+
t и Ω−
t (т. е. границы Γ+
t и Γ−
t ),
вектор скорости
−→
V (x, t) = (V1(x, t), V2(x, t), V3(x, t)), давление p(x, t), концентрации примеси
c(x, t), температуру жидкой u+(x, t) и твердой u−(x, t) фаз по следующим условиям:
∂u+(x, t)
∂t
+ (
−→
V ∇)u+(x, t)− a2+∇
2u+(x, t) = 0, (x, t) ∈ D+
T ,
∂u−(x, t)
∂t
− a2−∇
2u−(x, t) = 0, (x, t) ∈ D−
T ,
∂
−→
V (x, t)
∂t
+ (
−→
V ∇)
−→
V (x, t) +∇p(x, t) = v∇2−→V (x, t) +
−→
f (u+, c), (x, t) ∈ D+
T ,
∇
−→
V (x, t) = 0, (x, t) ∈ D+
T , ∇
−→
V (x, 0) =
−→
C (x);
T (
−→
V , p)−→n = −q(x, t)−→n , (x, t) ∈ Γ+
t ; Vn = −
(
1−
ρ−
ρ+
)
Wn;
Vτ = 0, (x, t) ∈ Γt, u±(x, t) = B±(x, t), (x, t) ∈ Γ+
t
⋃
Γ−
0 ;
u±(x, 0) = A±(x); u+ = u− = T ∗ − εc, k−
∂u−
∂n
− k+
∂u+
∂n
= χp+Wn, (x, t) ∈ Γt,
∂c
∂t
(x, t) + (
−→
V ∇)c(x, t)− γ∇2c(x, t) = 0, (x, t) ∈ D+
T ;
c(x, 0) = g0(x), c(x, t) = g(x, t), (x, t) ∈ Γ+
t , −α
∂c
∂n
= βcWn, (x, t) ∈ Γt.
(1)
Здесь x = (x1, x2, x3); D±
T = {(x, t) : x ∈ Ω±
t, t(0, T )}, Ω±
t — области жидкой и твердой
фаз соответственно, ∂Ω+ = Γt
⋃
Γ+
t , ∂Ω− = Γ−
0
⋃
Γt;
−→n — нормаль к Γt, направленная
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №1 25
в сторону Ω+
t ; ∇ = (∂/∂x1, ∂/∂x2, ∂/∂x3); T (
−→
V , p) — тензор напряжений с элементами Tij =
= −δijp+ ν(∂Vi/∂xj + ∂Vj/∂xi); Vn и Vτ — нормальная и тангенциальная составляющие
−→
V ;
Wn — скорость движения фронта кристаллизации в направлении нормали −→n ; T ∗, ν, ε, χ,
ρ+, ρ−, α, β, γ, k+, k− — известные положительные постоянные. Отметим также, что если
Φ(x, t) = u±(x, t) + εc(x, t) − T ∗ = 0 — уравнение поверхности Γt, то Wn = −Φt|∇Φ|.
В дальнейшем удобно условие Стефана представить в следующем виде:
L(u+, u−,Γt, ε) = k2−|∇u−|2 − k2+|∇u+|2 + ε(k2− + k−k+)(∇u−,∇c)−
− ε(k2− + k−k+)(∇u+,∇c) + χρ+(k−u
−
t + k+u
+
t ) + χρ+ε(k+ + k−)ct = 0,
(x, t) ∈ Γt.
В работе предполагается, что A(x) ∈ H4+α(Ω+
0 ),
−→
C (x) ∈ H2+α(Ω+
0 ), B±(x, t) ∈
∈ H2+α,(2+α)/2(Γ+
t
⋃
Γ−
0 ×[0, T ]),
−→
f (u+, c) ∈ C1(R2), g(x, t) ∈ H2+α,(2+α)/2(Γ+
t ×[0, T ]), g0(x) ∈
∈ H4+α(Ω0
+
). При этом g(x, t) и gxi
(x, t) должны быть функциями класса H1+α,(1+α)/2(R3×
× [0, T ]). Считается также, что выполнены условия согласования до первого порядка вклю-
чительно, которые формулируются аналогично [1, с. 268, с. 363].
2. Будем искать свободные границы Γt и Γ+
t в следующем виде: Γt = {x = x(ω) +
+ −→n (ω)ρ(ω, t)}, Γ+
t = {x = x(θ) + η(θ, t)−→n (θ)}, где ω = (ω1, ω2), θ = (θ1, θ2), x(ω) ∈ Γ0,
x(θ) ∈ Γ+
0 , ρ(ω, t) и η(θ, t) — некоторые функции соответственно классов H2+α,(2+α)/2(Γ0 ×
× [0, T ]) и H2+α,(2+α)/2(Γ+
0 × [0, T ]), ρ(ω, 0) = 0 и η(θ, 0) = 0. Введем также обозначения
Q±
T = Ω0 × [0, T ], Γ−
0T = Γ−
0 × [0, T ], Γ+
0T = Γ+
0 × [0, T ], Γ0T = Γ0 × [0, T ].
Далее, для достаточно малых чисел ε будем искать решение задачи (1) в виде следующих
разложений:
u±(x, t; ε) = u±0 (x) +
∞∑
k=1
εku+k (x, t), p(x, t; ε) = p0(x) +
∞∑
k=1
εkpk(x, t),
Vi(x, t; ε) = Vi0(x) +
∞∑
k=1
εkVik(x, t), c(x, t) = c0(x) +
∞∑
k=1
εkck(x, t), i = 1, 2, 3;
ρ(ω, t; ε) =
∞∑
k=1
εkρk(ω, t), η(θ, t; ε) =
∞∑
k=1
εkηk(θ, t).
(2)
В работах [2–7] изучены нулевые и первые приближения задачи (1) для малых чи-
сел ε. При этом установлено, что u±0 (x) = A±(x),
−→
V 0(x) =
−→
C (x), c0(x) = g0(x),
ρ1(ω, t) ∈ H2+α,(2+α)/2(Γ0T ), η1(θ, t) ∈ H2+α,(2+α)/2(Γ+
0T ), u1(x, t; ρ, η) ∈ H2+α,(2+α)/2(Q±
T ),
c1(x, t; ρ, η) ∈ H2+α,(2+α)/2(Q±
T ), причем ρ1(ω, t) находим как неподвижную точку сжимаю-
щегося оператора M1:
M1ρ1 =
1
χp+
t∫
0
(
k−
∂u−1
∂n
− k+
∂u+1
∂n
+ f1(x, t)
)
dt, x(ω) ∈ Γ0T .
26 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №1
3. Имеют место следующие формулы:
ux|Γt
= u0x + ε
(
α1f1 + β1u1 +
∂u1
∂x
)
+ ε2
(
α2f2 + β2u2 +
∂u2
∂x
)
+ · · ·+
+ εk
(
αkfk + βkuk +
∂uk
∂x
)
+ o(εk), (x, t) ∈ Γ0T ;
Wn|Γt
= −
(
u1t
|∇u0|
+ F1
)
ε−
(
u2t
|∇u0|
+ F2
)
ε2 − · · · −
(
ukt
|∇u0|
+ Fk
)
+ o(εk) = 0,
(x, t) ∈ Γ0T ,
L(u+, u−,Γt,Γ
+
t , ε)|Γt
= [k2−|∇u−0 |
2− k2+|∇u+0 |
2]+ ε[2k2−(∇u−0 ,∇u−1 )− 2k2+(∇u+0 ,∇u+1 ) +
+ Φ1 + χρ+(k−u
−
1t + k+u
+
1t)] + · · ·+ εk[2k2−(∇u−0 ,∇u−k )− 2k2+(∇u+0 ,∇u+k ) +
+ Φk + χρ+(k−u
−
kt + k+u
+
kt)] + o(εk) = 0, (x, t) ∈ Γ0T ,
где αk(x, t), βk(x, t), fk(x, t), Fk(x, t) и Φk(x, t) — известные функции. Из последней формулы
следует, что
k2−|∇u−0 |
2 − k2+|∇u+0 | = 0, x ∈ Γ0,
k−
∂u−k
∂n
− k+
∂u+k
∂n
+Φk = χρ+
∂ρk
∂t
, (x, t) ∈ Γ0T .
4. Введем следующие обозначения:
M1(
−→
ξi ,
−→
ζj ) = (
−→
ξ0∇)
−→
ζk + (
−→
ξ1∇)
−−→
ζk−1 + · · ·+ (
−→
ξk∇)
−→
ζ0 ,
M2(
−→
ξi , ζj) = (
−→
ξ0∇)ζk + (
−→
ξ1∇)ζk−1 + · · ·+ (
−→
ξk∇)ζ0,
N(
−→
Vi , pj)
−→n = T (
−→
V0, pk)
−→n + T (
−→
V1pk−1)
−→n + · · · + T (
−→
Vk, p0)
−→n .
Затем рассмотрим k-е приближение (
−→
Vk, u
±
k , pk, ρk, ηk, ck) задачи (1) для малых чисел ε.
Имеем:
∂
−→
Vk
∂t
+M1(
−→
Vi ,
−→
Vj) +∇pk = ν∇2−→Vk +
1
k!
d2f(u+k , ck), (x, t) ∈ Q+
T ,
∇
−→
Vk = 0, (x, t)Q+
T ; N(
−→
Vi,pj)
−→n = 0, (x, t) ∈ Γ+
0T ,
−→
Vk(x, 0) = 0, Vkn =
(
1−
ρ−
ρ+
)[
u+kt
|∇u+0 |
+ Fk(x, t)
]
, Vkτ = 0, (x, t) ∈ Γ0,T ,
(3)
∂u+k
∂t
+M2(
−→
Vi , u
+
k ) = a2+∇
2u+k , (x, t) ∈ Q+
T ,
∂u−k
∂t
− a2−∇
2u−k = 0, (x, t) ∈ Q−
T ,
u±k(x, 0) = 0, u±k(x, t) = 0, (x, t) ∈ Γ−
0T
⋃
Γ+
0T , u+k = u−k ,
|∇u±0 (x(ω))|ρk(ω, t) + uk(x(ω), t) + fk(x(ω), t) = 0, (x, t) ∈ Γ0T ,
(4)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №1 27
∂ck
∂t
+M2(
−→
Vi , cj)− γ∇2ck = 0, (x, t) ∈ Q+
T , c(x, 0) = 0, ck(x, t) = 0,
(x, t) ∈ Γ+
0T ; −α
∂ck
∂n
− αβkck = c0(x)
u+kt
|∇u+0 |
+ Fk, (x, t) ∈ Γ0T ,
∂c0
∂n
ηk(θ, t) + ck(x(θ), t) + gk(x(θ), t) = 0, (x, t) ∈ Γ+
0T ,
(5)
где Fk(x, t), fk(x, t) и F ∗
k (x, t) — известные функции.
Зададим теперь
−→
V =
−→
V 1(x, t). Затем решим задачу (4), (5) и найдем u±1 , c1, ρ1, η1.
После этого решим задачу (3), являющуюся начально-краевой задачей для системы Навье–
Стокса. Затем, используя новое значение
−→
V2(x, t), снова решаем задачу (4) и (5) и т. д.
Следовательно, получим процесс последовательных приближений
−→
Vk, u
±
k , ck, ρk, ηk. Дока-
зательство сходимости этого процесса аналогично приведенному в [8], причем при заданном
ρk(ω, t) ∈ H2+α,(2+α)/2(Γ0T ) найдем функции u±k (x, t, ρk) ∈ H2+α,(2+α)/2(
−→
Q±
T ), ck(x, t, ρk) ∈
∈ H2+α,(2+α)/2(
−→
Q±
T ) как единственное решение задачи (4), (5), а ρk(ω, t) находим как не-
подвижную точку сжимающегося оператора Mk:
Mkρk =
1
χρ+
t∫
0
(
k−
∂u−k
∂n
− k+
∂u+k
∂n
+ fk(x, t)
)
dt, (x(ω), t) ∈ Γ0T .
Справедливы следующие утверждения.
Лемма 1. Пусть выполнены условия
|∇A+(x(ω))| =
∂g0
∂n
, x ∈ Γ0;
c(k− + k+)
χρ+
< 1,
где c — некоторая постоянная [1, с. 364] и пусть
∇2A+(x) = 0, x ∈ Ω±
0 , A±(x)|
x∈Γ+
0
⋃
Γ−
0
= B±(x, 0), A±(x)|Γ0
= 0,
−→
C (x) = 0, x ∈ Ω
±
0 , k−|∇A−(x)|Γ0
= k+|∇A+(x)|Γ0
, |∇A±(x)||Γ0
> ε̃ > 0,
где ε̃ — некоторая положительная постоянная. Тогда оператор Mk, действующий из
H2+α,(2+α)/2(Γ0T ) в H2+α,(2+α)/2(Γ0T ), имеет там неподвижную точку.
Лемма 2. В качестве k-го приближения задачи (1) можно взять решение u±k (x, t),
ck(x, t),
−→
Vk(x, t), ρk(ω, t), ηk(θ, t) задачи (4), (5).
Теорема. Пусть выполнены условия леммы 1. Тогда приближения Vk(x, t), u±k (x, t),
ck(x, t), ρk(ω, t), ηk(θ, t) сходятся к функциям V (x, t), u±(x, t), c(x, t), ρ(ω, t), ηk(θ, t) —
класса H2+α,(2+α)/2, являющимся решением задачи (1).
Лемма 3. Пусть
∂g0(x)
∂n
6= 0 на Γ+
0 . Тогда при малых числах ε и достаточно малых
значениях t справедливы формулы:
Γ+
t : x = x(0)−−→n
k∑
i=1
εi
ci(x(θ), t) + gi(x(θ), t)
∂c0
∂n
+ o(εk), x ∈ Γ+
0 ,
Γt : x = x(ω)−−→n
k∑
i=1
εi
ui(x(ω), t) + fi(x(ω), t)
|∇u±0 (x(ω))|
+ о(εk), x ∈ Γ0.
28 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №1
Замечание. Доказанная теорема фактически устанавливает существование решения за-
дачи (1) в классе функций H2+α,(2+α)/2.
1. Ладыженская О.А., Солонников В.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения пара-
болического типа. – Москва: Наука, 1967. – 756 с.
2. Миненко А.С. Вариационные задачи со свободной границей. – Киев: Наук. думка, 2005. – 341 с.
3. Шевченко А.И., Миненко А.С. Приближенный анализ многомерной конвективной задачи Стефана //
Доп. НАН України. – 2010. – № 4. – С. 30–34.
4. Шевченко А.И., Миненко А.С. Приближенный анализ стационарной конвективной задачи Стефа-
на // Там само. – 2010. – № 5. – С. 36–40.
5. Шевченко А.И., Миненко А.С. Приближенный анализ пространственной конвективной задачи Сте-
фана // Там само. – 2010. – № 10. – С. 29–33.
6. Миненко А.С. Исследование одной конвективной задачи Стефана методом Ритца // Укр. мат. журн. –
2007. – 59, № 11. – С. 1546–1556.
7. Миненко А.С. О минимизации одного интегрального функционала методом Ритца // Там же. –
2006. – 58, № 10. – С. 1385–1394.
8. Солонников В.А. Разрешимость задачи о движении вязкой несжимаемой жидкости, ограниченной
свободной поверхностью // Изв. АН СССР. Сер. мат. – 1977. – 41, № 6. – С. 1388–1424.
Поступило в редакцию 28.02.2011Государственный университет информатики
и искусственного интеллекта, Донецк
Член-кореспондент НАН України А. I. Шевченко, О.С. Мiненко
Задача Стефана за наявностi конвекцiї
Дослiджено задачу Стефана з урахуванням конвекцiї та домiшок у рiдинi. Доведено теоре-
му розв’язностi. Побудовано наближений розв’язок задачi з використанням методу малого
параметра. Одержано збiжнiсть наближеного розв’язку до точного розв’язку в метрицi
H2+α,(2+α)/2.
Corresponding Member of the NAS of Ukraine A. I. Shevchenko, A. S. Minenko
The Stefan problem with convection
The Stefan convection problem in the liquid phase is investigated. We prove the theorem of solvabi-
lity. The approximate solution is constructed using the method of small parameter. The convergence
of the approximate solution to the exact one in the metric H2+α,(2+α)/2 is proved.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №1 29
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-48844 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T16:24:45Z |
| publishDate | 2012 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Шевченко, А.И. Миненко, А.С. 2013-09-04T15:56:12Z 2013-09-04T15:56:12Z 2012 Задача Стефана при наличии конвекции / А.И. Шевченко, А.С. Миненко // Доп. НАН України. — 2012. — № 1. — С. 25-29. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/48844 517.988 Исследована задача Стефана с учетом конвекции и примесей в жидкой фазе. Доказана теорема существования. Построено приближенное решение задачи с использованием метода малого параметра. Получена сходимость приближенного решения к точному решению в метрике H^2+α,(2+α)/2. Досліджено задачу Стефана з урахуванням конвекції та домішок у рідині. Доведено теорему розв'язності. Побудовано наближений розв'язок задачі з використанням методу малого параметра. Одержано збіжність наближеного розв'язку до точного розв'язку в метриці H^2+α,(2+α)/2. The Stefan convection problem in the liquid phase is investigated. We prove the theorem of solvability. The approximate solution is constructed using the method of small parameter. The convergence of the approximate solution to the exact one in the metric H^2+α,(2+α)/2 is proved. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Математика Задача Стефана при наличии конвекции Задача Стефана за наявності конвекції The Stefan problem with convection Article published earlier |
| spellingShingle | Задача Стефана при наличии конвекции Шевченко, А.И. Миненко, А.С. Математика |
| title | Задача Стефана при наличии конвекции |
| title_alt | Задача Стефана за наявності конвекції The Stefan problem with convection |
| title_full | Задача Стефана при наличии конвекции |
| title_fullStr | Задача Стефана при наличии конвекции |
| title_full_unstemmed | Задача Стефана при наличии конвекции |
| title_short | Задача Стефана при наличии конвекции |
| title_sort | задача стефана при наличии конвекции |
| topic | Математика |
| topic_facet | Математика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/48844 |
| work_keys_str_mv | AT ševčenkoai zadačastefanaprinaličiikonvekcii AT minenkoas zadačastefanaprinaličiikonvekcii AT ševčenkoai zadačastefanazanaâvnostíkonvekcíí AT minenkoas zadačastefanazanaâvnostíkonvekcíí AT ševčenkoai thestefanproblemwithconvection AT minenkoas thestefanproblemwithconvection |