Наближення розривних функцій кусково-лінійними інтерполяційними розривними сплайнами на трикутній сітці вузлів
Пропонується метод побудови розривного інтерполяційного лінійного сплайну для наближення функції з можливими розривами першого роду та область визначення яких розбита на прямокутні трикутники. Причому побудовані розривні сплайни включають в себе як частинний випадок класичні неперервні сплайни першо...
Saved in:
| Published in: | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Date: | 2012 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2012
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/48849 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Наближення розривних функцій кусково-лінійними інтерполяційними розривними сплайнами на трикутній сітці вузлів / О.М. Литвин, Ю.І. Першина // Доп. НАН України. — 2012. — № 1. — С. 38-43. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859754416283844608 |
|---|---|
| author | Литвин, О.М. Першина, Ю.І. |
| author_facet | Литвин, О.М. Першина, Ю.І. |
| citation_txt | Наближення розривних функцій кусково-лінійними інтерполяційними розривними сплайнами на трикутній сітці вузлів / О.М. Литвин, Ю.І. Першина // Доп. НАН України. — 2012. — № 1. — С. 38-43. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | Пропонується метод побудови розривного інтерполяційного лінійного сплайну для наближення функції з можливими розривами першого роду та область визначення яких розбита на прямокутні трикутники. Причому побудовані розривні сплайни включають в себе як частинний випадок класичні неперервні сплайни першого степеня на трикутній сітці вузлів.
Предлагается метод построения разрывного интерполяционного линейного сплайна для приближения функции с возможными разрывами первого рода и область определения которых разбита на прямоугольные треугольники. Причем построенные разрывные сплайны включают в себя как частный случай классические непрерывные сплайны первой степени на треугольной сетке узлов.
A method of construction of a discontinuous interpolational linear spline for the approximation of a function with possible breaks of the first kind, whose range of definition is broken into rectangular triangles, is offered. The constructed splines include, as a special case, classical continuous splines of the first degree on a triangular grid of nodes.
|
| first_indexed | 2025-12-02T00:43:18Z |
| format | Article |
| fulltext |
оповiдi
НАЦIОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМIЇ НАУК
УКРАЇНИ
1 • 2012
IНФОРМАТИКА ТА КIБЕРНЕТИКА
УДК 519.6
© 2012
О.М. Литвин, Ю. I. Першина
Наближення розривних функцiй кусково-лiнiйними
iнтерполяцiйними розривними сплайнами на трикутнiй
сiтцi вузлiв
(Представлено академiком НАН України I. В. Сергiєнком)
Пропонується метод побудови розривного iнтерполяцiйного лiнiйного сплайну для на-
ближення функцiї з можливими розривами першого роду та область визначення яких
розбита на прямокутнi трикутники. Причому побудованi розривнi сплайни включають
в себе як частинний випадок класичнi неперервнi сплайни першого степеня на трикут-
нiй сiтцi вузлiв.
Результати теорiї наближення функцiй полiномами або сплайнами, неперервними або ди-
ференцiйовними до деякого порядку включно [1, 2], загальновiдомi. В той же час практика
вимагає умiння створювати математичнi моделi внутрiшньої структури 3D тiл в заданих
площинах при умовi, що функцiя f(x, y), яка описує цю внутрiшню структуру у точках
площин, має розриви першого роду на деякiй системi лiнiй.
Весь розвиток обчислювальної та прикладної математики говорить про те, що вико-
ристання кожної додаткової iнформацiї про дослiджуваний об’єкт може привести до бiльш
точного i якiсного вiдновлення цього об’єкта. Тобто актуальною є розробка та дослiдження
теорiї наближення розривних функцiй за допомогою розривних функцiй.
У роботi [3] авторами розроблений метод наближення розривних функцiй однiєї змiнної
розривними сплайнами, що використовує метод мiнiмакса. Робота [4] присвячена узагаль-
ненню результатiв попереднiх робiт на випадок наближення розривної функцiї двох змiнних
за допомогою розривних iнтерлiнацiйних сплайнiв двох змiнних, коли розриви першого роду
наближуваної функцiї та розриви першого роду наближуючих сплайнiв розмiщенi в точках
прямих, паралельних осям координат.
У данiй роботi вперше пропонується загальний пiдхiд до побудови кусково-лiнiйних
сплайнiв, якi можуть мати розриви першого роду на границях мiж трикутними елемента-
ми (прямокутнi трикутники) Цi результати пропонується використовувати для наближення
38 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №1
Рис. 1. Зображення можливих трикутних елементiв з прямим кутом у вузлi (xi, yj)
розривних функцiй вiд двох змiнних, якi теж можуть мати (а можуть i не мати) розриви
першого роду на вказаних лiнiях.
Постановка задачi. Нехай задана розривна функцiя двох змiнних f(x, y) в областi D.
Будемо вважати, що область D розбивається прямими 0 = x0 < x1 < x2 < · · · < xm = 1, 0 =
= y0 < y1 < y2 < · · · < yn = 1 на прямокутнi елементи, а кожний прямокутник розбивається
дiагоналлю на два прямокутнi трикутники. Трикутники не вкладаються один в одний,
а сторони трикутникiв не перетинаються. Функцiя f(x, y) має розриви першого роду на
границях мiж цими прямокутними трикутниками (не обов’язково мiж всiма). Метою роботи
є побудува та дослiдження операторiв розривної кусково-полiномiальної iнтерполяцiї таких,
якi в кожному трикутнику є операторами полiномiальної iнтерполяцiї функцiї f(x, y).
Метод побудови наближуючого розривного сплайн-iнтерполянта. Якщо
(xi, yj) — вузол, в якому знаходиться прямий кут прямокутного трикутника, то може зу-
стрiтися чотири типи трикутникiв (рис. 1)
T
(1)
ij =
{
xi < x < xi+1, yj < y < yj +
(x− xi+1)(yj+1 − yj)
xi − xi+1
}
;
T
(2)
ij =
{
xi−1 < x < xi, yj < y < yj +
(x− xi−1)(yj+1 − yj)
xi − xi−1
}
;
T
(3)
ij =
{
xi−1 < x < xi, yj−1 +
(x− xi)(yj − yj−1)
xi − xi−1
< y < yj
}
;
T
(4)
ij =
{
xi < x < xi+1, yj +
(x− xi+1)(yj − yj−1)
xi+1 − xi
< y < yj
}
.
Вважаємо, що на кожнiй iз сторiн заданих трикутникiв функцiя f(x, y) може мати (а мо-
же i не мати) розриви першого роду, причому у вершинах трикутника функцiя набуває
значень
C
(1)
1 = C
(1)++
i,j = f(xi + 0, yj + 0), C
(2)
1 = C
(2)−+
i,j = f(xi − 0, yj + 0),
C
(1)
2 = C
(1)+−
i,j+1 = f(xi + 0, yj+1 − 0), C
(2)
2 = C
(2)−−
i,j+1 = f(xi − 0, yj+1 − 0),
C
(1)
3 = C
(1)−+
i+1,j = f(xi+1 − 0, yj + 0), C
(2)
3 = C
(2)−+
i−1,j = f(xi−1 − 0, yj + 0),
C
(3)
1 = C
(3)−−
i,j = f(xi − 0, yj − 0), C
(4)
1 = C
(4)+−
i,j = f(xi + 0, yj − 0),
C
(3)
2 = C
(3)−−
i−1,j = f(xi−1 − 0, yj − 0), C
(4)
2 = C
(4)−−
i+1,j = f(xi+1 − 0, yj − 0),
C
(3)
3 = C
(3)−−
i,j−1 = f(xi − 0, yj−1 − 0), C
(4)
3 = C
(4)+−
i,j−1 = f(xi + 0, yj−1 − 0).
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №1 39
Означення. Називатимемо розривним iнтерполяцiйним лiнiйним полiномiальним
сплайном в областi T
(k)
ij ⊂ D (k = {1, 2, 3, 4}) таку функцiю:
S(x, y) = s
(k)
ij (x, y) = C
(k)
1
ω3
(k)
ij (x, y)
ω3
(k)
ij (A
(k)
1 )
+ C
(k)
2
ω2
(k)
ij (x, y)
ω2
(k)
ij (A
(k)
2 )
+ C
(k)
3
ω1
(k)
ij (x, y)
ω1
(k)
ij (A
(k)
3 )
, (1)
(x, y) ∈ T
(k)
ij , ω1
(k)
ij (x, y) = x− xi, ω2
(k)
ij (x, y) = y − yj,
ω3
(k)
ij x, y) =
−y + yj +
(x− xi+1)(yj+1 − yj)
xi − xi+1
, k = 1,
−y + yj +
(x− xi−1)(yj+1 − yj)
xi − xi−1
, k = 2,
−y + yj−1 +
(x− xi)(yj − yj−1)
xi − xi−1
, k = 3,
−y + yj +
(x− xi+1)(yj − yj−1)
xi+1 − xi
, k = 4,
A
(k)
1 = (xi, yj),
A
(k)
2 =
(xi + 0, yj+1 − 0), k = 1,
(xi − 0, yj+1 − 0), k = 2,
(xi − 0, yj−1 − 0), k = 3,
(xi + 0, yj−1 − 0), k = 4,
A
(k)
3 =
(xi+1 − 0, yj + 0), k = 1,
(xi−1 + 0, yj + 0), k = 2,
(xi−1 + 0, yj − 0), k = 3,
(xi+1 − 0, yj − 0), k = 4.
Теорема 1. Функцiя S(x, y) = s
(k)
ij (x, y), (x, y) ∈ T
(k)
ij ⊂ D(k = 1, 2, 3, 4) задовольняє
такi властивостi:
s
(1)
ij (xi + 0, yj + 0) = C
(1)
1 , s
(2)
ij (xi − 0, yj + 0) = C
(2)
1 ,
s
(1)
ij (xi + 0, yj+1 − 0) = C
(1)
2 , s
(2)
ij (xi − 0, yj+1 − 0) = C
(2)
2 ,
s
(1)
ij (xi+1 − 0, yj + 0) = C
(1)
3 , s
(2)
ij (xi−1 − 0, yj + 0) = C
(2)
3 ,
s
(3)
ij (xi − 0, yj − 0) = C
(3)
1 , s
(4)
ij (xi + 0, yj − 0) = C
(4)
1 ,
s
(3)
ij (xi − 0, yj−1 − 0) = C
(3)
2 , s
(4)
ij (xi + 0, yj−1 − 0) = C
(4)
2 ,
s
(3)
ij (xi−1 − 0, yj − 0) = C
(3)
3 , s
(4)
ij (xi+1 − 0, yj − 0) = C
(4)
3 .
Наведемо оцiнку похибки наближення функцiї лiнiйним iнтерполяцiйним сплайном,
згiдно з роботою [5].
Нехай ξ = {ξ1, ξ2} ∈ R2, ‖ξ‖ =
√
ξ21 + ξ22 = 1, Dξf(x, y) = ξ1
∂f(x, y)
∂x
+ ξ2
∂f(x, y)
∂y
—
похiдна за напрямком ξ.
Теорема 2. Нехай функцiя f(x, y) ∈ M2, M2 = {f(x, y) : Dξf(x, y) — неперервнi в D та
|Dξf(u) −Dξf(v)| 6 M‖u − v‖, ∀u = {u1, u2} ∈ D, ∀ v = {v1, v2} ∈ D, ∀ ξ} наближується
40 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №1
оператором S(x, y) = s
(k)
ij (x, y), (x, y) ∈ T
(k)
ij ⊂ D(k = 1, 2, 3, 4), тодi для оцiнки похибки
наближення в кожному трикутному елементi розбиття справедлива нерiвнiсть
|f(x, y)− S(x, y)| 6
1
6
Mh2,
де h — довжина гiпотенузи.
Теорема 3. Якщо C(k)
µ = f(A(k)
µ ), k = 1, 4, µ = 1, 3, то в кожному трикутнику T
(k)
ij ,
i = 1,m, j = 1, n, оператор (1) точно вiдновлює всi лiнiйнi функцiї.
З ау в аже нн я . Якщо значення функцiї у вузлах трикутної сiтки невiдомi, то для зна-
ходження невiдомих коефiцiєнтiв C(k)
p , p = 1, 2, 3, k = 1, 2, 3, 4, в данiй роботi пропонуєть-
ся використовувати метод найменших квадратiв, згiдно з яким всi невiдомi знаходяться
з умови
J (k) =
∑
T
(k)
ij ⊂D
∫∫
T
(k)
ij
[f(x, y)− s
(k)
ij (x, y)]2dxdy −→ min
C
.
П р и к л ад . Нехай заданi вузли трикутної сiтки: x1 = 0, x2 = 0,5, x3 = 1, y1 = 0, y2 = 0,5, y3 = 1
та функцiя f(x, y) визначена в областi T = T1
⋃
T2
⋃
T3
⋃
T4, де
T1 = {x− 0,5 > 0, y − 0,5 > 0, 1,5− x− y > 0},
T2 = {−x+ 0,5 > 0, y − 0,5 > 0, 0,5 + x− y > 0},
T3 = {−x+ 0,5 > 0, −y + 0,5 > 0, −0,5 + x+ y > 0},
T4 = {x− 0,5 > 0, −y + 0,5 > 0, 0,5− x+ y > 0}.
Задамо функцiю f(x, y) з розривами першого роду у вузлах заданої трикутної сiтки
f(x, y) =
x2 + y2, (x, y) ∈ T1,
x2 − y2, (x, y) ∈ T2,
−x2 + y2, (x, y) ∈ T3,
−x2 − y2, (x, y) ∈ T4.
В кожному розглянутому трикутному елементi побудуємо iнтерполяцiйний сплайн
S(x, y, C) у виглядi формули (1), де матриця коефiцiєнтiв C в нашому прикладi має вигляд
C =
C
(1)
1 C
(1)
2 C
(1)
3
C
(2)
1 C
(2)
2 C
(2)
3
C
(3)
1 C
(3)
2 C
(3)
3
C
(4)
1 C
(4)
2 C
(4)
3
=
0,5 1,25 1,25
0 −0,5 −0,25
0 −0,25 0,25
−0,5 −0,25 −1,25
.
Пiсля пiдстановки отримаємо такий iнтерполяцiйний сплайн:
S(x, y) =
1,5x+ 1,5y − 1,0, (x, y) ∈ T1;
0,5x− 1,5y + 0,5, (x, y) ∈ T2;
0,5x− 0,5y, (x, y) ∈ T3;
−1,5x− 0,5y + 0,5, (x, y) ∈ T4.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №1 41
Максимальне вiдхилення наближуваної функцiї f(x, y) вiд побудованого iнтерполяцiй-
ного сплайну S(x, y) таке:
max |f(x, y)− S(x, y)| ≈ 0,12.
Тепер побудуємо апроксимацiйний сплайн у виглядi формули (1). Коефiцiєнти матри-
цi C знаходимо, застосовуючи метод найменших квадратiв, тобто розв’язуємо мiнiмiзацiйну
задачу
F (C) =
∫∫
D
(f(x, y)− S(x, y))2dxdy → min .
Одержуємо апроксимацiйний сплайн:
S(x, y) =
1,4x+ 1,4y − 0,95, (x, y) ∈ T1,
0,6x− 1,4y + 0,4, (x, y) ∈ T2,
0,6x− 0,6y, (x, y) ∈ T3,
−2,8x− 1,2y + 2,55, (x, y) ∈ T4.
Далi визначимо максимальне вiдхилення наближуваної функцiї f(x, y) вiд побудованого
апроксимацiйного сплайну
max |f(x, y)− S(x, y)| ≈ 0,088.
Таким чином, у роботi пропонується метод побудови розривного iнтерполяцiйного лiнiй-
ного сплайну для наближення функцiї з можливими розривами першого роду та область
визначення яких розбита на прямокутнi трикутники. Причому побудованi розривнi сплай-
ни включають в себе як частинний випадок класичнi неперервнi сплайни першого степеня
на триангульованiй сiтцi вузлiв.
1. Корнейчук Н.П. Сплайны в теории приближения. – Москва: Наука, 1984. – 352 с.
2. De Vore R.A. A method of grid optimization for finite element methods // Computer Meth. Appl. Mech.
Engineering. – 1983. – 41. – P. 29–45.
3. Литвин О.М., Першина Ю. I. Наближення розривної функцiї за допомогою розривних сплайнiв //
Математ. та комп’ют. моделювання. Сер. Фiз.-мат. науки: Зб. наук. праць. – Кам’янець-Подiльський:
Кам’янець-Подiл. нац. ун-т iм. Iвана Огiєнка, 2010. – Вип. 3. – С. 122–131.
4. Литвин О.М., Першина Ю. I. Наближення розривних функцiй двох змiнних розривними сплайнами
(прямокутнi елементи). Теорiя прийняття рiшень. – Працi V мiжнар. школи-семiнару, 27 вересня –
1 жовтня 2010 p. – Ужгород, 2010. – С. 141–142.
5. Субботин Ю.Н. Зависимость оценок многомерной кусочно-полиномиальной аппроксимации от
геометрических характеристик триангуляции // Тр. Математ. ин-та АН СССР, 1989. – 189. –
С. 117–137.
Надiйшло до редакцiї 11.05.2011Українська iнженерно-педагогiчна академiя,
Харкiв
42 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №1
О.Н. Литвин, Ю.И. Першина
Приближение разрывных функций кусочно-линейными
интерполяционными разрывными сплайнами на треугольной сетке
узлов
Предлагается метод построения разрывного интерполяционного линейного сплайна для при-
ближения функции с возможными разрывами первого рода и область определения которых
разбита на прямоугольные треугольники. Причем построенные разрывные сплайны вклю-
чают в себя как частный случай классические непрерывные сплайны первой степени на
треугольной сетке узлов.
O.M. Lytvyn, Y. I. Pershina
The approximation of discontinuous functions by piecewise-linear
interpolational discontinuous splines on a triangular grid of nodes
A method of construction of a discontinuous interpolational linear spline for the approximation of
a function with possible breaks of the first kind, whose range of definition is broken into rectangular
triangles, is offered. The constructed splines include, as a special case, classical continuous splines
of the first degree on a triangular grid of nodes.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №1 43
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-48849 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-02T00:43:18Z |
| publishDate | 2012 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Литвин, О.М. Першина, Ю.І. 2013-09-04T16:01:41Z 2013-09-04T16:01:41Z 2012 Наближення розривних функцій кусково-лінійними інтерполяційними розривними сплайнами на трикутній сітці вузлів / О.М. Литвин, Ю.І. Першина // Доп. НАН України. — 2012. — № 1. — С. 38-43. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/48849 519.6 Пропонується метод побудови розривного інтерполяційного лінійного сплайну для наближення функції з можливими розривами першого роду та область визначення яких розбита на прямокутні трикутники. Причому побудовані розривні сплайни включають в себе як частинний випадок класичні неперервні сплайни першого степеня на трикутній сітці вузлів. Предлагается метод построения разрывного интерполяционного линейного сплайна для приближения функции с возможными разрывами первого рода и область определения которых разбита на прямоугольные треугольники. Причем построенные разрывные сплайны включают в себя как частный случай классические непрерывные сплайны первой степени на треугольной сетке узлов. A method of construction of a discontinuous interpolational linear spline for the approximation of a function with possible breaks of the first kind, whose range of definition is broken into rectangular triangles, is offered. The constructed splines include, as a special case, classical continuous splines of the first degree on a triangular grid of nodes. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Інформатика та кібернетика Наближення розривних функцій кусково-лінійними інтерполяційними розривними сплайнами на трикутній сітці вузлів Приближение разрывных функций кусочно-линейными интерполяционными разрывными сплайнами на треугольной сетке узлов The approximation of discontinuous functions by piecewise-linear interpolational discontinuous splines on a triangular grid of nodes Article published earlier |
| spellingShingle | Наближення розривних функцій кусково-лінійними інтерполяційними розривними сплайнами на трикутній сітці вузлів Литвин, О.М. Першина, Ю.І. Інформатика та кібернетика |
| title | Наближення розривних функцій кусково-лінійними інтерполяційними розривними сплайнами на трикутній сітці вузлів |
| title_alt | Приближение разрывных функций кусочно-линейными интерполяционными разрывными сплайнами на треугольной сетке узлов The approximation of discontinuous functions by piecewise-linear interpolational discontinuous splines on a triangular grid of nodes |
| title_full | Наближення розривних функцій кусково-лінійними інтерполяційними розривними сплайнами на трикутній сітці вузлів |
| title_fullStr | Наближення розривних функцій кусково-лінійними інтерполяційними розривними сплайнами на трикутній сітці вузлів |
| title_full_unstemmed | Наближення розривних функцій кусково-лінійними інтерполяційними розривними сплайнами на трикутній сітці вузлів |
| title_short | Наближення розривних функцій кусково-лінійними інтерполяційними розривними сплайнами на трикутній сітці вузлів |
| title_sort | наближення розривних функцій кусково-лінійними інтерполяційними розривними сплайнами на трикутній сітці вузлів |
| topic | Інформатика та кібернетика |
| topic_facet | Інформатика та кібернетика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/48849 |
| work_keys_str_mv | AT litvinom nabližennârozrivnihfunkcíikuskovolíníinimiínterpolâcíinimirozrivnimisplainaminatrikutníisítcívuzlív AT peršinaûí nabližennârozrivnihfunkcíikuskovolíníinimiínterpolâcíinimirozrivnimisplainaminatrikutníisítcívuzlív AT litvinom približenierazryvnyhfunkciikusočnolineinymiinterpolâcionnymirazryvnymisplainaminatreugolʹnoisetkeuzlov AT peršinaûí približenierazryvnyhfunkciikusočnolineinymiinterpolâcionnymirazryvnymisplainaminatreugolʹnoisetkeuzlov AT litvinom theapproximationofdiscontinuousfunctionsbypiecewiselinearinterpolationaldiscontinuoussplinesonatriangulargridofnodes AT peršinaûí theapproximationofdiscontinuousfunctionsbypiecewiselinearinterpolationaldiscontinuoussplinesonatriangulargridofnodes |