Об устойчивости движения математического маятника, взаимодействующего со струной
В линейной и нелинейной постановках решена задача об устойчивости стационарных движений однозвенного маятника в гибридной модели механической системы, состоящей из горизонтально закрепленной струны, нагруженной колеблющейся сосредоточенной массой. У лінійній і нелінійній постановках розв'язано...
Saved in:
| Published in: | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Date: | 2012 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2012
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/48852 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Об устойчивости движения математического маятника, взаимодействующего со струной / Д.М. Лила // Доп. НАН України. — 2012. — № 1. — С. 55-63. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859638429154803712 |
|---|---|
| author | Лила, Д.М. |
| author_facet | Лила, Д.М. |
| citation_txt | Об устойчивости движения математического маятника, взаимодействующего со струной / Д.М. Лила // Доп. НАН України. — 2012. — № 1. — С. 55-63. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | В линейной и нелинейной постановках решена задача об устойчивости стационарных движений однозвенного маятника в гибридной модели механической системы, состоящей из горизонтально закрепленной струны, нагруженной колеблющейся сосредоточенной массой.
У лінійній і нелінійній постановках розв'язано задачу про стійкість стаціонарних рухів одноланкового маятника в гібридній моделі механічної системи, яка складається з горизонтально розміщеної струни, навантаженої коливною зосередженою масою.
The problem of stability of the stationary motions of a single-mass pendulum in the hybrid model of one mechanical system is solved in the linear and nonlinear statements. The mechanical system consists of a string which is horizontally disposed and loaded by an oscillating localized mass.
|
| first_indexed | 2025-12-07T13:19:10Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 531.36
© 2012
Д.М. Лила
Об устойчивости движения математического маятника,
взаимодействующего со струной
(Представлено академиком НАН Украины А.А. Мартынюком)
В линейной и нелинейной постановках решена задача об устойчивости стационарных
движений однозвенного маятника в гибридной модели механической системы, состоя-
щей из горизонтально закрепленной струны, нагруженной колеблющейся сосредоточен-
ной массой.
При исследовании устойчивости движения систем с распределенными параметрами эф-
фективной является идея декомпозиции. В данной работе, согласно разделу 4.3 диссерта-
ции [1], исследуется проблема устойчивости стационарных движений однозвенного матема-
тического маятника, колеблющегося под влиянием малых колебаний взаимодействующей
с ним упругой струны [2–9]. Система дифференциальных уравнений бесконечной размер-
ности, описывающих эти движения, заменяется некоторым конечным приближением вслед-
ствие рассмотрения конечной линейной комбинации системы “координатных” функций, ап-
проксимирующих движение системы с бесконечным числом степеней свободы.
Данная работа является продолжением статьи [10].
Постановка задачи. Ограничиваясь в формуле (4.1) статьи [10] 2-й частичной суммой,
рассмотрим систему трех нелинейных связанных осцилляторов. В нормальной форме будем
иметь следующую систему обыкновенных дифференциальных уравнений:
ξ̇1 = ξ4, ξ̇2 = ξ5, ξ̇3 = ξ6,
ξ̇4 = β1 − ν21ξ1 +mlu10 ×
×
ξ26 cos ξ3−
[
g
l
+a1+a2+
ν21u10
l
ξ1+
ν22u20
l
ξ2+bξ
2
6 cos ξ3
]
sin2 ξ3+
k
ml2
ξ6 sin ξ3
1+b sin2 ξ3
,
ξ̇5 = β2 − ν22ξ2 +mlu20 ×
×
ξ26 cos ξ3−
[
g
l
+a1+a2+
ν21u10
l
ξ1+
ν22u20
l
ξ2+bξ
2
6 cos ξ3
]
sin2 ξ3+
k
ml2
ξ6 sin ξ3
1+b sin2 ξ3
,
ξ̇6 = −
[
g
l
+ a1 + a2 +
ν21u10
l
ξ1 +
ν22u20
l
ξ2 + bξ26 cos ξ3
]
sin ξ3 +
k
ml2
ξ6
1 + b sin2 ξ3
,
ξ0 = (ξ10, . . . , ξ60)
T = (w01, w02, ϕ0, ẇ01, ẇ02, ϕ̇0)
T ,
(1)
где обозначено
ξ1 = q1, ξ2 = q2, ξ3 = ϕ, ξ4 = q̇1, ξ5 = q̇2, ξ6 = ϕ̇,
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №1 55
a1 = −
u10β1
l
, a2 = −
u20β2
l
, b = −m(u210 + u220).
Здесь q1, q2 и ϕ — независимые координаты, определяющие положение точек струны в их
нормальном смещении и положение маятника, соответственно; u10 = u1(y0) и u20 = u2(y0) —
значения первых двух собственных функций спектральной задачи для нагруженной струны
в точке подвеса; l — длина стержня; m — колеблющаяся сосредоточенная масса; βs =
= mgus(y0)
[
1+
∞∑
n=1
4ν2s sin((2n− 1)πy0/L)
π(2n − 1)(ω2
2n−1 − ν2s )
]
, s = 1, 2; g — ускорение свободного падения, L —
длина струны; ω2
2n−1 и ν2s — собственные значения спектральных задач для ненагруженной
и нагруженной струны, соответственно.
Одно из состояний равновесия (нижнее) системы (1) имеет вид
ξ1 =
β1
ν21
, ξ2 =
β2
ν22
, ξ3 = · · · = ξ6 = 0, (2)
поэтому в переменных возмущенного движения
x1 = ξ1 −
β1
ν21
, x2 = ξ2 −
β2
ν22
, x3 = ξ3, . . . , x6 = ξ6
данная система представима в виде
dx
dt
= A0x+ f̃(x), (3)
где
A0 =
0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 1
−ν21 0 0 0 0 0
0 −ν22 0 0 0 0
0 0 −
g
l
0 0 −
k
ml2
;
f̃(x) =
0
0
0
u10(c1x
2
3 + c2x3x6 + c3x
2
6 + c4x1x
2
3 + c5x2x
2
3)
u20(c1x
2
3 + c2x3x6 + c3x
2
6 + c4x1x
2
3 + c5x2x
2
3)
d1x1x3 + d2x2x3 + d3x
3
3 + d4x
2
3x6 − bx3x
2
6
;
x = (x1, . . . , x6)
T ; c1 = −mg; c2 = −
k
l
; c3 = ml; c4 = −mν21u10;
c5 = −mν22u20; d1 = −
ν21u10
l
; d2 = −
ν22u20
l
; d3 =
g(1/6 + b)
l
; d4 =
kb
ml2
.
Исследуя влияние малых колебаний струны на колебания математического маятника
в окрестности нижнего положения равновесия, исключим из системы (3) переменные x1,
56 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №1
x2, x4, x5, проинтегрировав соответствующие линеаризованные уравнения. Вследствие это-
го получим нелинейную нестационарную систему дифференциальных уравнений с квазипе-
риодическими коэффициентами второго порядка
ẋ3 = x6, x3(t0) = ϕ0,
ẋ6 =
[
−
g
l
+
d1
ν1
(c24 sin ν1t− c14 cos ν1t) +
d2
ν2
(c25 sin ν2t− c15 cos ν2t)
]
x3 −
−
k
ml2
x6 + d3x
3
3 + d4x
2
3x6 − bx3x
2
6, x6(t0) = ϕ̇0,
(4)
где
c14 = ẇ01 sin ν1t0 − ν1
(
w01 −
β1
ν21
)
cos ν1t0; c24 = ν1
(
w01 −
β1
ν21
)
sin ν1t0 + ẇ01 cos ν1t0;
c15 = ẇ02 sin ν2t0 − ν2
(
w02 −
β2
ν22
)
cos ν2t0; c25 = ν2
(
w02 −
β2
ν22
)
sin ν2t0 + ẇ02 cos ν2t0.
Решение задачи об устойчивости в линейной постановке. Построим для линей-
ного приближения системы (4) вначале матричнозначную вспомогательную функцию
U (2)(t, x3, x6) =
[
p20x
2
3 p11(t)x3x6
p11(t)x3x6 p02x
2
6
]
,
а затем функцию Ляпунова
v(2)(t, x36) = ηTU (2)(t, x3, x6)η, (5)
где x36 = (x3, x6)
T ; η = (η1, η2)
T > 0. Полная производная вспомогательной функции (5)
вдоль решений линейного приближения системы (4) (обозначим его (4′)) может быть пред-
ставлена в виде
dv(2)
dt
∣∣∣∣
(2.4′)
= s
(2)
3 (t)x23 + s
(2)
6 (t)x26,
где
s
(2)
3 (t) = 2η1η2p11(t)
[
−
g
l
+
d1
ν1
(c24 sin ν1t− c14 cos ν1t) +
d2
ν2
(c25 sin ν2t− c15 cos ν2t)
]
;
s
(2)
6 (t) = 2η1η2p11(t)− 2η22p02
k
ml2
и p20 ≡ const > 0, p02 ≡ const > 0, а непрерывно дифференцируемая функция p11(t)
является ограниченным решением линейного дифференциального уравнения
ṗ11 −
k
ml2
p11 =
= −
η1
η2
p20 −
η2
η1
p02
[
−
g
l
+
d1
ν1
(c24 sin ν1t− c14 cos ν1t) +
d2
ν2
(c25 sin ν2t− c15 cos ν2t)
]
.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №1 57
Одним из таких решений есть
p11(t) =
η1
η2
p20 −
η2
η1
g
l
p02
k
ml2
−
−
η2
η1
p02
d1
[(
−
k
ml2
c24
ν1
− c14
)
sin ν1t+
(
−c24 +
k
ml2
c14
ν1
)
cos ν1t
]
(
k
ml2
)2
+ ν21
+
+
d2
[(
−
k
ml2
c25
ν2
− c15
)
sin ν2t+
(
−c25 +
k
ml2
c15
ν2
)
cos ν2t
]
(
k
ml2
)2
+ ν22
.
Таким образом, достаточные условия равномерной асимптотической устойчивости ну-
левого решения системы (4) имеют вид
p20p02 − p211(t) > µ > 0, s
(2)
3 (t) < −µ, s
(2)
6 (t) < −µ при всех t ∈ [t0,∞). (6)
Решение задачи об устойчивости в нелинейной постановке. К нелинейному диф-
ференциальному уравнению второго порядка
ẍ3 +
g
l
x3 =
[
d1
ν1
(c24 sin ν1t− c14 cos ν1t) +
d2
ν2
(c25 sin ν2t− c15 cos ν2t)
]
x3 −
−
k
ml2
ẋ3 + d3x
3
3 + d4x
2
3ẋ3 − bx3ẋ
2
3, (7)
эквивалентному системе (4), применим асимптотический метод Крылова–Боголюбова. Для
этого будем предполагать, что колебания маятника осуществляются при наличии малого
трения в точке подвеса стержня к струне, совершающей, в свою очередь, малые колебания.
Тогда в стандартной форме уравнение (7) запишется так:
ẍ3 +
g
l
x3 = εf(t, x3, ẋ3), (8)
где ε = ku10 — малый параметр;
f(t, x3, ẋ3) =
2∑
n=−2
(n 6=0)
fn(x3, ẋ3)e
iνnt + f0(x3, ẋ3); ν−n = −νn; f−n = fn;
f0(x3, ẋ3) = −
1
mu10l2
ẋ3 +
g(1/6 + b)
klu10
x33 +
b
mu10l2
x23ẋ3 −
b
ku10
x3ẋ
2
3.
В нерезонансном случае
ω2 − [nν1 + jν2 + sω]2 6= 0 (9)
58 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №1
(здесь ω =
√
g/l), поэтому
n2 + j2 + (s2 − 1)2 6= 0 (10)
при любых n, j, s ∈ Z и в первом приближении решение уравнения (8) ищем в виде
x3 = a(t) cosψ(t), (11)
где амплитуда a(t) и фаза ψ(t) удовлетворяют системе дифференциальных уравнений
ȧ = εA1(a), ψ̇ = ω + εB1(a), (12)
в которой
A1(a) = −
1
2πω
2π∫
0
f0(x
0
3, ẋ
0
3) sinψdψ, B1(a) = −
1
2πωa
2π∫
0
f0(x
0
3, ẋ
0
3) cosψdψ, (13)
причем x03 = a cosψ, ẋ03 = −aω sinψ, a ∈ R, θj = νjt, j = 1, 2. Таким образом,
A1(a) =
a
2mu10l2
(
ba2
4
− 1
)
, B1(a) = −
1 + 4b
16ku10
ωa2 (14)
и из (12), (13) следует, что в первом приближении в нерезонансном случае колебания ма-
ятника под действием внешней нестационарной двухчастотной силы осуществляются по
закону (11), где
a2(t) =
4
b
(
1−
[
1−
4
ba20
]
e
ε(t−t0)
mu10l
2
) ; (15)
ψ(t) = ω
{
t+
ml2(1 + 4b)
4kb
ln
(
1 +
ba20
4
(
e
−
ε(t−t0)
mu10l
2 − 1
))}
+ θ; (16)
a0 =
√
ϕ2
0 + ϕ̇2
0/ω
2; θ = −ωt0 − arctg(ϕ̇0/ωϕ0). Квадрат мгновенной собственной частоты
таких колебаний составляет
ω2
I
= ω2
[
1−
1 + 4b
16
a2(t)
]2
, (17)
а единственными стационарными “колебаниями” является состояние x3 = ẋ3 = 0. Эквива-
лентный коэффициент затухания λ∗e(a) = −A1(a) > 0 при выполненном условии затухания
колебаний
λe(a) =
1
2πω
2π∫
0
f(0, x03, ẋ
0
3) sinψdψ = −A1(a) > 0
(всякое колебание в системе (4) приближается к x3 = x6 = 0 при любой амплитуде малых
колебаний струны).
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №1 59
Резонансный случай в системе (4) может представиться при
ω ± [nν1 + jν2 + sω] = 0, (18)
или же
ω =
p1
p∗1
ν1 +
p2
p∗2
ν2, (19)
где p1, p
∗
1 и p2, p
∗
2 — взаимно простые числа. В связи с этим вместо (8) будем рассматривать
уравнение
ẍ3 +
[
p1
p∗1
ν1 +
p2
p∗2
ν2
]2
x3 = ε[f(t, x3, ẋ3)−∆x3], (20)
где расстройка ε∆ собственной и внешней частот определяется соотношением
ω2 =
[
p1
p∗1
ν1 +
p2
p∗2
ν2
]2
+ ε∆. (21)
Вводя в рассмотрение фазовый угол ϑ = ψ −
[
p1
p∗1
ν1 +
p2
p∗2
ν2
]
t, закон движения маятника
в первом приближении получим в виде
x3 = a(t) cos
([
p1
p∗1
ν1 +
p2
p∗2
ν2
]
t+ ϑ(t)
)
(22)
после решения системы дифференциальных уравнений
ȧ = εA1(a, ϑ), ϑ̇ = εB1(a, ϑ), (23)
где
A1(a, ϑ) = −
1
8π3
[
p1
p∗1
ν1 +
p2
p∗2
ν2
]
∞∑
σ∗=−∞
eiσ
∗ϑ
2π∫
0
2π∫
0
2π∫
0
f(t, x03, ẋ
0
3)e
−iσ∗ϑ′
sinψdθ1dθ2dψ;
B1(a, ϑ) =
∆
2
[
p1
p∗1
ν1 +
p2
p∗2
ν2
] −
1
8π3a
[
p1
p∗1
ν1 +
p2
p∗2
ν2
]
∞∑
σ∗=−∞
eiσ
∗ϑ×
×
2π∫
0
2π∫
0
2π∫
0
f(t, x03, ẋ
0
3)e
−iσ∗ϑ′
cosψdθ1dθ2dψ
(24)
и обозначено ϑ′ = ψ −
p1
p∗1
θ1 −
p2
p∗2
θ2.
Возможные резонансные соотношения
ω =
νj
2
, j = 1, 2, (25)
60 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №1
в исследуемой системе определим из условия “неисчезания” средней мощности внешней не-
стационарной малой силы ε
2∑
n=−2
(n 6=0)
fn(x3, ẋ3)e
iνnt за большой промежуток времени T . Для
определенности остановимся на анализе случая параметрического резонанса ω = ν1/2.
В связи с этим в формулах (24) положим p1 = 1, p∗1 = 2, p2 = 0, σ∗ = 2σ, σ ∈ Z, заменив так-
же
1
8π3
2π∫
0
2π∫
0
2π∫
0
f(t, x03, ẋ
0
3) · · · dθ1dθ2dψ на
1
4π2
3
2π∫
0
2π∫
0
fθ2(t, x
0
3, ẋ
0) · · · dθ1dψ, где fθ2(t, x
0
3, ẋ
0
3) —
соответствующее среднее значение. Непосредственные вычисления показывают, что систе-
ма уравнений (23) имеет тогда следующий вид:
ȧ = −ε
a(4− ba2)
8mu10l2
+ ε
a(c24 cos 2ϑ− c14 sin 2ϑ)
2kl
,
ϑ̇ =
ε∆
ν1
+ ε
(bν21 − 2ω2(1 + 6b))a2
16kν1u10
− ε
c14 cos 2ϑ+ c24 sin 2ϑ
2kl
.
(26)
Соответствующее тривиальному стационарному решению
a = 0, ϑ = ϑ0 =
1
2
arcsin
2kl∆
ν1γ
−
δ
2
(27)
(
γ =
√
c214 + c224, tg δ = c14/c24
)
системы (26) линейное приближение системы уравнений
возмущенного движения (ã = a, ϑ̃ = ϑ − ϑ0) представляется в виде
˙̃a = ε
(
−
1
2mu10l2
+
c24 cos 2ϑ0 − c14 sin 2ϑ0
2kl
)
ã,
˙̃
ϑ = ε
c14 sin 2ϑ0 − c24 cos 2ϑ0
kl
ϑ̃.
(28)
Отсюда условие асимптотической устойчивости стационарного синхронного режима, отве-
чающего тривиальному состоянию равновесия (27), получаем в виде двойного неравенства
−
k
mu10l
< c14 sin 2ϑ0 − c24 cos 2ϑ0 < 0. (29)
Заметим, что стационарное решение (27) системы (26) соответствует положению равнове-
сия исследуемой механической системы. Выполнение условия (29) гарантирует асимптоти-
ческую устойчивость этого положения равновесия.
Другое (нетривиальное) стационарное решение a = a∗, ϑ = ϑ∗ системы дифференциаль-
ных уравнений (26) существует при выполнении условий
c14 sin 2ϑ
∗ − c24 cos 2ϑ
∗
6 −
k
mu10l
, Γ =
√
γ21 + γ22 6 |γ3|, (30)
где
γ1 =
ml(bν21 − 2ω2(1 + 6b))c14
4k2ν1b
−
c24
2kl
, γ2 =
ml(bν21 − 2ω2(1 + 6b))c24
4k2ν1b
+
c14
2kl
,
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №1 61
γ3 = −
∆
ν1
−
bν21 − 2ω2(1 + 6b)
4kbν1u10
,
и определяется как
ϑ∗ =
1
2
arcsin
γ3
Γ
+
δ∗
2
, a∗ = 2
√
1
b
+
mu10l(c14 sin 2ϑ∗ − c24 cos 2ϑ∗)
kb
, (31)
где tg δ∗ = γ2/γ1. Линейное приближение соответствующей системы уравнений возмущен-
ного движения (ã = a − a∗, ϑ̃ = ϑ − ϑ∗) имеет вид
˙̃a = ε(a11ã+ a12ϑ̃),
˙̃
ϑ = ε(a21ã+ a22ϑ̃), (32)
где
a11 =
3ba∗2 − 4
8mu10l2
−
c14 sin 2ϑ
∗ − c24 cos 2ϑ
∗
2kl
, a12 = −
a∗(c24 sin 2ϑ
∗ + c14 cos 2ϑ
∗)
kl
,
a21 =
(bν21 − 2ω2(1 + 6b))a∗
8kν1u10
, a22 =
c14 sin 2ϑ
∗ − c24 cos 2ϑ
∗
kl
.
Согласно критерию Рауса–Гурвица, асимптотическая устойчивость данного синхронного
режима колебаний имеет место при выполнении условий
a11 + a22 < 0, a11a22 − a12a21 > 0. (33)
Появление и устойчивость предельных циклов в фазовой плоскости (x3; ẋ3) системы (4)
с установившимися амплитудами a∗ (см. (31)) в резонансном случае имеют место не только
при “больших” возмущениях точки подвеса маятника, но и при “малых” в области значи-
тельных расстроек. Смещение этой области относительно максимума амплитудной харак-
теристики и малость самих амплитуд автоколебаний во втором случае свидетельствуют
о “дрожащем” характере колебаний маятника, равноценном с практической точки зрения
устойчивому положению равновесия в нерезонансном случае.
Амплитудная характеристика a2(∆), полученная из условия ȧ = 0, ϑ̇ = 0, имеет вид
a2(∆) =
−α2(∆)±
√
D(∆)
2α1
,
где
D(∆) = α2
2(∆)− 4α1α3(∆), α1 =
[
l(bν21 − 2ω2(1 + 6b))
8ν1u10
]2
+
[
kb
4mu10l
]2
,
α2(∆) =
kl2(bν21−2ω2(1 + 6b))∆
2ν21u10
−
k2b
2m2u210l
2
, α3(∆) =
4k2l2∆2
ν21
+
k2
m2u210l
2
−c214−c
2
24.
1. Лила Д.М. Достаточные условия устойчивости крупномасштабных нестационарных механических
систем: Дис. . . . канд. физ.-мат. наук; 01.02.01. – Киев, 2009. – 150 с.
2. Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. –
Москва: Гостехиздат, 1955. – 408 с.
3. Бутиков Е.И. Маятник с осциллирующим подвесом (к 60-летию маятника Капицы). – http://faculty.
ifmo.ru/butikov/Russian/ParamPendulum.pdf.
62 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №1
4. Капица П.Л. Динамическая устойчивость маятника при колеблющейся точке подвеса // Журн. эк-
сперим. и теор. физики. – 1951. – 21, вып. 5. – С. 588–597.
5. Капица П.Л. Маятник с вибрирующим подвесом // Усп. физ. наук. – 1951. – 44, вып. 1. – С. 7–20.
6. Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики. T. 1. – Москва: Гостехиздат, 1951. – 476 с.
7. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. T. 1. – Москва: Физматлит, 2004. – 224 с.
8. Штокало И. З. Критерий устойчивости и неустойчивости решений линейных дифференциальных
уравнений с квази-периодическими коэффициентами // Матем. сб. – 1946. – 19 (61), № 2. – С. 263–286.
9. Stephenson A. On induced stability // Philosoph. Magazine. – 1908. – 15. – P. 233–236.
10. Лила Д.М. Об уравнениях движения одной механической системы // Доп. НАН України. – 2011. –
№ 5. – С. 65–71.
Поступило в редакцию 26.08.2010Институт механики им. С.П. Тимошенко
НАН Украины, Киев
Д.М. Лила
Про стiйкiсть руху математичного маятника, що взаємодiє
зi струною
У лiнiйнiй i нелiнiйнiй постановках розв’язано задачу про стiйкiсть стацiонарних рухiв
одноланкового маятника в гiбриднiй моделi механiчної системи, яка складається з горизон-
тально розмiщеної струни, навантаженої коливною зосередженою масою.
D.M. Lila
About the stability of motion of a mathematical pendulum interacting
with a string
The problem of stability of the stationary motions of a single-mass pendulum in the hybrid model
of one mechanical system is solved in the linear and nonlinear statements. The mechanical system
consists of a string which is horizontally disposed and loaded by an oscillating localized mass.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №1 63
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-48852 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T13:19:10Z |
| publishDate | 2012 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Лила, Д.М. 2013-09-04T16:04:14Z 2013-09-04T16:04:14Z 2012 Об устойчивости движения математического маятника, взаимодействующего со струной / Д.М. Лила // Доп. НАН України. — 2012. — № 1. — С. 55-63. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/48852 531.36 В линейной и нелинейной постановках решена задача об устойчивости стационарных движений однозвенного маятника в гибридной модели механической системы, состоящей из горизонтально закрепленной струны, нагруженной колеблющейся сосредоточенной массой. У лінійній і нелінійній постановках розв'язано задачу про стійкість стаціонарних рухів одноланкового маятника в гібридній моделі механічної системи, яка складається з горизонтально розміщеної струни, навантаженої коливною зосередженою масою. The problem of stability of the stationary motions of a single-mass pendulum in the hybrid model of one mechanical system is solved in the linear and nonlinear statements. The mechanical system consists of a string which is horizontally disposed and loaded by an oscillating localized mass. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Механіка Об устойчивости движения математического маятника, взаимодействующего со струной Про стійкість руху математичного маятника, що взаємодіє зі струною About the stability of motion of a mathematical pendulum interacting with a string Article published earlier |
| spellingShingle | Об устойчивости движения математического маятника, взаимодействующего со струной Лила, Д.М. Механіка |
| title | Об устойчивости движения математического маятника, взаимодействующего со струной |
| title_alt | Про стійкість руху математичного маятника, що взаємодіє зі струною About the stability of motion of a mathematical pendulum interacting with a string |
| title_full | Об устойчивости движения математического маятника, взаимодействующего со струной |
| title_fullStr | Об устойчивости движения математического маятника, взаимодействующего со струной |
| title_full_unstemmed | Об устойчивости движения математического маятника, взаимодействующего со струной |
| title_short | Об устойчивости движения математического маятника, взаимодействующего со струной |
| title_sort | об устойчивости движения математического маятника, взаимодействующего со струной |
| topic | Механіка |
| topic_facet | Механіка |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/48852 |
| work_keys_str_mv | AT liladm obustoičivostidviženiâmatematičeskogomaâtnikavzaimodeistvuûŝegosostrunoi AT liladm prostíikístʹruhumatematičnogomaâtnikaŝovzaêmodíêzístrunoû AT liladm aboutthestabilityofmotionofamathematicalpenduluminteractingwithastring |