Наближені розв'язки нелінійних хвильових рівнянь, що описують пружні поверхневі хвилі Релея
Отримано нові наближені розв'язки нелінійних хвильових рівнянь, запропонованих авторами даного повідомлення раніше. Застосовано метод послідовних наближень. Одержані розв'язки відповідають другому наближенню. Спостережено появу у розв'язках других гармонік як класичної хвилі Релея, та...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Дата: | 2012 |
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2012
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/48853 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Наближені розв'язки нелінійних хвильових рівнянь, що описують пружні поверхневі хвилі Релея / Я.Я. Рущицький, О.О. Хотенко // Доп. НАН України. — 2012. — № 1. — С. 64-69. — Бібліогр.: 13 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860068201486876672 |
|---|---|
| author | Рущицький, Я.Я. Хотенко, О.О. |
| author_facet | Рущицький, Я.Я. Хотенко, О.О. |
| citation_txt | Наближені розв'язки нелінійних хвильових рівнянь, що описують пружні поверхневі хвилі Релея / Я.Я. Рущицький, О.О. Хотенко // Доп. НАН України. — 2012. — № 1. — С. 64-69. — Бібліогр.: 13 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | Отримано нові наближені розв'язки нелінійних хвильових рівнянь, запропонованих авторами даного повідомлення раніше. Застосовано метод послідовних наближень. Одержані розв'язки відповідають другому наближенню. Спостережено появу у розв'язках других гармонік як класичної хвилі Релея, так і класичної експоненти, що описує затухання.
Получены новые приближенные решения нелинейных волновых уравнений, предложенных авторами данной работы ранее. Применен метод последовательных приближений. Полученные решения соответствуют второму приближению. Замечено появление в решениях вторых гармоник как классической волны Релея, так и классической компоненты, которая описывает затухание.
The new approximate solutions are obtained for the nonlinear wave equations offered recently by the authors of this communication. The method of successive approximations is utilized. The equations and their solutions correspond to the second approximation. The appearance of a classical Rayleigh wave and the classical exponent describing the attenuation in the second harmonics is observed.
|
| first_indexed | 2025-12-07T17:09:23Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 539.3
© 2012
Я.Я. Рущицький, О. О. Хотенко
Наближенi розв’язки нелiнiйних хвильових рiвнянь,
що описують пружнi поверхневi хвилi Релея
(Представлено академiком НАН України О.М. Гузем)
Отримано новi наближенi розв’язки нелiнiйних хвильових рiвнянь, запропонованих ав-
торами даного повiдомлення ранiше. Застосовано метод послiдовних наближень. Одер-
жанi розв’язки вiдповiдають другому наближенню. Спостережено появу у розв’язках
других гармонiк як класичної хвилi Релея, так i класичної експоненти, що описує за-
тухання.
Викладенi у данiй роботi результати можна вважати такими, що випливають з [1], де прове-
дено короткий iсторичний огляд дослiджень нелiнiйних поверхневих хвиль Релея i отримано
новi нелiнiйнi хвильовi рiвняння для двовимiрного випадку пружного квадратично нелiнiй-
ного деформування в рамках моделi Мурнагана, якi є базовими для аналiзу хвиль Релея.
В одержаних рiвняннях [1] враховується як геометрична, так i фiзична нелiнiйностi проце-
су деформування. Зазначимо, що теорiя хвиль Релея не являє собою закiнчений фрагмент
класичної теорiї, вона розвивається [2, 3].
Про теоретичний пiдхiд у вивченнi нелiнiйного пружного деформування, ха-
рактерного для хвилi Релея. При лiнiйному деформуваннi конфiгурацiя тiла до де-
формування (вiдлiкова конфiгурацiя) i конфiгурацiя тiла пiсля деформування (актуальна
конфiгурацiя) ототожнюються [4–6]. При переходi вiд малих (iнфiнiтезимальних) деформа-
цiй до великих (скiнченних) цi конфiгурацiї вже не є тотожними — границя тiла змiнюється.
Цю особливiсть нелiнiйностi процесу деформування вiдносять до геометричної нелiнiйностi.
В цiлому, у механiцi матерiалiв врахування нелiнiйностi призводить до значного ускладне-
ння теоретичного опису (формально, ускладнення основної системи рiвнянь i граничних
умов). При рiзному виборi тензорiв деформацiй та обертань отримують варiанти геомет-
ричної нелiнiйностi. У випадку гiперпружного деформування при рiзному виборi пружних
потенцiалiв отримують варiанти фiзичної нелiнiйностi — нелiнiйної залежностi тензорiв
напружень вiд тензорiв деформацiй та обертань. Обидва типи нелiнiйностi взаємозалежнi
внаслiдок того, що вибiр конкретних пружних потенцiалiв поєднується з використанням
конкретних тензорiв деформацiй.
У даному дослiдженнi вибрано потенцiал Мурнагана у виглядi
Φ(I1, I2, I3) =
1
2
λ(I1)
2 + µI2 +
1
3
AI3 +BI1I2 +
1
3
C(I1)
3, (1)
де λ, µ — пружнi сталi другого порядку (сталi Ламе); A, B, C — пружнi сталi третьо-
го порядку (сталi Мурнагана); I1, I2, I3 — першi базиснi алгебраїчнi iнварiанти тензора
деформацiї Кошi–Грiна εnm = (un,m + um,n + ui,nui,m)/2.
64 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №1
Зауваження щодо геометричної та фiзичної нелiнiйностей. Слiд зазначити, що
в нелiнiйнiй теорiї пружностi розрiзнення геометричної та фiзичної нелiнiйностей є загаль-
ноприйнятим. Випадки роздiльного аналiзу нелiнiйних задач теорiї пружностi, коли вра-
ховується або лише геометрична, або лише фiзична нелiнiйностi пружного деформування
прийнятi в теоретичному аналiзi та при акуратних застереженнях фiзично прийнятнi. Ви-
падку нехтування фiзичною нелiнiйнiстю та врахуванню лише геометричної нелiнiйностi
вiдповiдає так званий пружний гармонiчний потенцiал Джона [4, 8] (дехто вiдносить мате-
рiал Джона до стандартних пружних матерiалiв [9], дехто називає його напiвлiнiйним [8]),
який звичайно записують у виглядi Φ = (1/2)λ(s1)
2 + µs2, де s1, s2 — перший та другий
базиснi iнварiанти тензора деформацiй Кошi–Грiна; λ, µ — пружнi сталi Ламе. За вигля-
дом потенцiал Джона iдентичний потенцiалу для пружного лiнiйного iзотропного матерiалу
Φ = (1/2)λ(I1)
2 + µI2, де I1, I2 — перший та другий базиснi алгебраїчнi iнварiанти тензора
деформацiй Кошi–Грiна.
У випадку малих деформацiй базиснi та базиснi алгебраїчнi iнварiанти є тотожними;
для немалих деформацiй в iнварiантах враховується нелiнiйний запис компонентiв тензора
деформацiй Кошi–Грiна через компоненти вектора перемiщень.
Про класичну постановку задачi про поверхневi хвилi Релея. В цiй постанов-
цi задачi [5, 10, 11] вивчається поширення хвиль вздовж площини x3 = 0, коли пружне
середовище займає верхнiй пiвпростiр. Далi припускається, що рух не буде залежати вiд
координат x2, i тодi задача стає двовимiрною (плоскою задачею в площинi Ox1x3; меха-
нiчний стан середовища стає плоским деформованим). Напрямок руху хвиль вибирається
вздовж осi Ox1.
У рамках нелiнiйної постановки та прийнятих припущень про хвильовий рух рiвняння
руху записуються через несиметричний тензор напружень Кiрхгофа tnm в бiльш простому
виглядi
t11,1 + t31,3 = ρü1; t13,1 + t33,3 = ρü3.
У данiй роботi припускається, що запис потенцiалу Мурнагана (1) включає тiльки квад-
ратично нелiнiйнi складовi градiєнта деформацiї [5, 6, 7, 9, 12]
Φ =
1
2
λ(u1,1 + u3,3)
2 + µ
{
(u1,1)
2 + (u3,3)
2 +
1
2
(u1,3 + u3,1)
2
}
+
+
1
2
λ(u1,1 + u3,3)[(u1,1)
2 + (u3,3)
2 + (u1,3)
2 + (u3,1)
2] +
+ µ{(u1,1)3 + (u3,3)
3 + 2u1,1(u1,3)
2 + 2u1,1(u3,1)
2 + u1,3u3,1(u1,1 + u3,3)}+
+
1
3
A
[
(u1,1)
3 + (u3,3)
3 +
3
4
(u1,3 + u3,1)
2(u1,1 + u3,3)
]
+
+B(u1,1 + u3,3)
[
(u1,1)
2 + (u3,3)
2 +
1
2
(u1,3 + u3,1)
2
]
+
1
3
C(u1,1 + u3,3)
3.
Рiвняння руху трансформуються в два нелiнiйнi хвильовi рiвняння (далi записано лише
перше; друге отримується з першого замiною iндексiв 1 ⇋ 3)
ρü1− (λ+ 2µ)u1,11− (λ+ µ)u3,13− µu1,33 = [3(λ+ 2µ) + 2(A+ 3B + C)]u1,1u1,11 +
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №1 65
+
[
2(λ+ 2µ) +
(
A
2
+B
)]
(u1,1u1,33 + 2u1,3u1,13 + u1,3u3,33 + u3,1u3,11 +
+ u3,3u1,33) +
[
(λ+ µ) +
(
A
2
+ 3B + 2C
)]
(u1,1u3,13 + u3,3u3,13) +
+
[
µ+
(
A
2
+B
)]
(u1,3u3,11 + 2u3,1u1,13 + u3,1u3,33) + [λ+ 2(B + C)]u3,3u1,11. (2)
В цих рiвняннях лiнiйнi складовi записанi в лiвих частинах рiвнянь, тодi як правi час-
тини включають по 12 квадратично нелiнiйних складових однакової структури. Складовi
в першому та другому рiвняннях не збiгаються, тому їх загальна кiлькiсть становить 24
(чотири варiанти перших похiдних, помноженi на шiсть варiантiв других похiдних). Нага-
даємо, що у випадку залежностi uk вiд однiєї змiнної (випадок, характерний для плоских
хвиль) три рiвняння руху в перемiщеннях включають тiльки три вiдмiннi мiж собою не-
лiнiйнi складовi [5–7]. Слiд також вiдзначити, що значне збiльшення кiлькостi нелiнiйних
складових було ранiше зафiксовано при дослiдженнi цилiндричних хвиль рiзних типiв [7].
Рiвняння (2) записанi з урахуванням геометричної (шляхом нелiнiйного запису залеж-
ностi деформацiй вiд перемiщень, що допускають не тiльки обов’язковi для лiнiйної теорiї
нескiнченно малi деформацiї) та фiзичної (шляхом кубiчної нелiнiйностi пружного потен-
цiалу Мурнагана, що вiдповiдає квадратичнiй нелiнiйностi у визначальних рiвняннях) не-
лiнiйностей. Однак iснують ситуацiї, коли деформування матерiалу можна вважати тiльки
геометрично нелiнiйним процесом (деформацiї не нескiнченно малi та визначальнi спiввiд-
ношення лiнiйнi) або тiльки фiзично нелiнiйним процесом (деформацiї нескiнченно малi,
але визначальнi спiввiдношення вже нелiнiйнi). Для цих випадкiв рiвняння (2), що реалiзу-
ють загальний нелiнiйний пiдхiд (назвемо його пiдходом 1), можуть бути спрощенi. Пiдхiд 2
враховує геометричну нелiнiйнiсть та не враховує фiзичну. Пiдхiд 3 враховує фiзичну не-
лiнiйнiсть i не враховує геометричну.
Хвильовi рiвняння другого наближення в аналiзi нелiнiйних хвиль Релея.
Рiвняння типу (2) є базовими при аналiзi нелiнiйних пружних хвиль, що поширюються
в площинi (в даному випадку — площинi Ox1x3), включаючи хвилi, локалiзованi в околi
границi. Однiєю з таких хвиль є класична хвиля Релея. Лiнiйний аналiз цiєї хвилi оснований
на введеннi двох нових функцiй, якi можуть бути визначенi як розв’язки двох незв’язаних
лiнiйних хвильових рiвнянь [5, 10, 11]. У нелiнiйному випадку, як випливає з отриманих
базових рiвнянь (2), такi хвильовi рiвняння вже будуть нелiнiйними та взаємозв’язаними.
Введемо два потенцiали за класичною схемою
u1(x1, x3, t) = [ϕ(x1, x3, t)],1 + [ψ(x1, x3, t)],3,
u3(x1, x3, t) = [ϕ(x1, x3, t)],3 − [ψ(x1, x3, t)],1.
(3)
Пiдставимо потенцiали (3) в рiвняння (2) та одержуємо нелiнiйнi хвильовi рiвняння (далi
записане лише перше; друге отримується з першого замiною iндексiв 1 ⇋ 3)
[ρϕ̈− (λ+ 2µ)∆ϕ],1 + [ρψ̈ − µ∆ψ],3 =
= 3(λ+ 2µ)ϕ,11ϕ,111 + (2λ + 3µ)ϕ,11ϕ,133 + 3(λ+ 3µ)ϕ,13ϕ,113 +
+ (λ+ 3µ)ϕ,13ϕ,333 + λϕ,33ϕ,111 + (2λ+ 3µ)ϕ,33ϕ,133 + (λ+ 2µ)ψ,11ψ,111 −
− µψ,11ψ,133 + 2(λ+ 3µ)ψ,13ψ,113 − µψ,33ψ,111 + (λ+ 2µ)ψ,33ψ,133. (4)
66 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №1
Застосуємо до аналiзу рiвнянь (4) метод послiдовних наближень (тобто, використаємо
досвiд аналiзу плоских нелiнiйних хвиль [5–7, 12, 13]). Розв’язок для першого (лiнiйного)
наближення шукатимемо у виглядi класичного запису хвилi Релея [5, 10, 11]
ϕ(1)(x1, x3, t) = ei(klinx1−ωt)ϕ̃(1)(x3); ψ(1)(x1, x3, t) = ei(klinx1−ωt)ψ̃(1)(x3). (5)
Пiсля пiдстановки в лiнiйнi частини рiвнянь (4) (з нульовими правими частинами) за
класичною процедурою отримаємо, що функцiї ϕ̃, ψ̃ задовольняють рiвняння
ϕ̃′′ − k2ϕϕ̃ = 0, ψ̃′′ − k2ψψ̃ = 0, k2ϕ = k2lin − k2L, k2ψ = k2lin − k2T ,
vL =
ω
kL
=
√
λ+ 2µ
ρ
, vT =
ω
kT
=
√
µ
ρ
.
В результатi, в першому наближеннi потенцiали мають вигляд, що вiдповiдає гармонiч-
нiй хвилi з частотою ω та хвильовим числом klin, яка затухає за експоненцiальним законом
при вiддаленнi вiд площини x1 = 0,
ϕ(1)(x1, x3, t) = A(1)
ϕ ei(klinx1−ωt)−
√
k2
lin
−k2
L
x3 ,
ψ(1)(x1, x3, t) = A
(1)
ψ ei(klinx1−ωt)−
√
k2
lin
−k2
T
x3 .
(6)
Рiвняння другого наближення можна записати у виглядi чотирьох рiвнянь (далi запи-
санi лише першi два; два iншi отримуються з перших замiною iндексiв 1 ⇋ 3)
[ρϕ̈(2) − (λ+ 2µ)∆ϕ(2)],1 = 3(λ+ 2µ)ϕ
(1)
,11ϕ
(1)
,111 + (λ+ 3µ)ϕ
(1)
,13ϕ
(1)
,333 + λϕ
(1)
,33ϕ
(1)
,111 +
+ (2λ+ 3µ)ϕ
(1)
,33ϕ
(1)
,133;
[ρψ̈(2) − µ∆ψ(2)],3 = (λ+ 2µ)ψ
(1)
,11ψ
(1)
,111 − µψ
(1)
,11ψ
(1)
,133 + 2(λ+ 3µ)ψ
(1)
,13ψ
(1)
,113 −
− µψ
(1)
,33ψ
(1)
,111 + (λ+ 2µ)ψ
(1)
,33ψ
(1)
,133.
(7)
Пiдстановка записiв (6) у рiвняння (7) дає рiвняння для знаходження другого набли-
ження
(
k2L
ω2
)
ϕ̈(2) −∆ϕ(2) =M (1)
ϕ (A(1)
ϕ )2e2[i(klinx1−ωt)−
√
k2
lin
−k2
L
x3], (8)
(
k2T
ω2
)
ψ̈(2) −∆ψ(2) = −iM (1)
ψ (A
(1)
ψ )2e2[i(klinx1−ωt)−
√
k2
lin
−k2
T
x3], (9)
M (1)
ϕ = k4L
{(
2 + 19
k2L
k2T
)
k4lin
k4L
−
(
2 + 19
k2L
k2T
)
k2lin
k2L
+
(
1− k2L
k2T
)}
,
M
(1)
ψ = k4T
{(
k2T
k2L
+
5
4
)
klin
k2T
√
k2lin
k2T
− 1 + 2
(
2
k2lin
k2T
− 1
)(
klin
k2T
√
k2lin
k2T
− 1
)
−1}
.
Зауважимо, що для загального пiдходу 1 структура рiвнянь (8), (9) залишається незмiн-
ною i вiдмiнностi будуть виявлятися лише у записах коефiцiєнтiв M (1)
ϕ , M
(1)
ψ , M
(1)
ϕψ .
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №1 67
Розв’язок нелiнiйних хвильових рiвнянь (друге наближення). Система неодно-
рiдних лiнiйних диференцiальних рiвнянь (8), (9) розв’язувалася з урахуванням того, що
правi частини є розв’язками лiнiйних рiвнянь (випадок резонансу). Тому розв’язок має
вигляд
ϕ(2)(x1, x3, t) = −
x1x3(
√
k2lin − k2Lx1 − iklinx3)
4[(k2lin − k2L)x
2
1 − k2linx
2
3]
Mϕ(A
(1)
ϕ )2e2[i(klinx1−ωt)−
√
k2
lin
−k2
L
x3],
ψ(2)(x1, x3, t) =
x1x3(
√
k2lin − k2Tx1 − iklinx3)
4[(k2lin − k2T )x
2
1 − k2linx
2
3]
Mψ(A
(1)
ψ )2e2[i(klinx1−ωt)−
√
k2
lin
−k2
T
x3].
(10)
Таким чином, розв’язок сформульованої вище задачi про поширення хвилi Релея в рам-
ках двох наближень має вигляд
ϕ(x1, x3, t) = ϕ(1)(x1, x3, t) + ϕ(2)(x1, x3, t) = A(1)
ϕ ei(klinx1−ωt)−
√
k2
lin
−k2
L
x3 −
−
x1x3(
√
k2lin − k2Lx1 − iklinx3)
4[(k2lin − k2L)x
2
1 − k2linx
2
3]
M (1)
ϕ (A(1)
ϕ )2e2[i(klinx1−ωt)−
√
k2
lin
−k2
L
x3],
ψ(x1, x3, t) = ψ(1)(x1, x3, t) + ψ(2)(x1, x3, t) = A
(1)
ψ ei(klinx1−ωt)−
√
k2
lin
−k2
T
x3 +
+
x1x3(
√
k2lin − k2Tx1 − iklinx3)
4[(k2lin − k2T )x
2
1 − k2linx
2
3]
M
(1)
ψ (A
(1)
ψ )2e2[i(klinx1−ωt)−
√
k2
lin
−k2
T
x3].
З одержаних нових результатiв можна, зокрема, зробити такi висновки.
1. Хвильова картина, що вiдповiдає другому наближенню, описується хвильовими па-
раметрами першого наближення. Це спостереження стосується будь-якого наближення i
випливає з природи методу послiдовних наближень.
2. Друге наближення є другою гармонiкою щодо першого (лiнiйного) наближення, тоб-
то це є друга гармонiка щодо хвилi, яка поширюється у напрямку горизонтальної коор-
динати, i друга гармонiка щодо експоненцiального затухання хвилi вздовж вертикальної
координати. Цi гармонiки мають амплiтуди, якi нелiнiйно залежать вiд координат i тому
збiльшуються зi збiльшенням часу поширення хвилi Релея. Як наслiдок, перша гармонiка
буде спотворюватися.
3. Залежнiсть амплiтуд других гармонiк вiд квадратiв вiдповiдних амплiтуд перших
гармонiк є стандартним для методу послiдовних наближень i має певнi наслiдки щодо
спотворення першої гармонiки. Зокрема, оскiльки в конструкцiйних матерiалах амплiту-
ди звичайно мають порядок 10−3 − 10−5 м, то для виявлення ефекту спотворення малiсть
квадрату амплiтуд повинна компенсуватися бiльшими значеннями хвильових чисел (бiль-
шими значеннями частоти).
4. Для чисто поверхневої хвилi (x3 = 0) друге наближення є нульовим, проте для при-
поверхневої хвилi (x3 > 0) це наближення може суттєво змiнити хвильову картину. Слiд
зауважити, що в одержаному розв’язку хвильове число klin визначається з граничних умов,
аналiз яких не наводиться у даному повiдомленнi.
1. Rushchitsky J. J., Khotenko E.A. On Rayleigh wave in quadratically nonlinear elastic half-space (Murna-
ghan model) // Int. Appl. Mech. – 2011. – 47 (3). – P. 100–108.
68 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №1
2. Zabolotskaya E.A., Il’inskii Yu. A., Hamilton M. F. Nonlinear Rayleigh waves in soft tissue // J. Acoust.
Soc. Am. – 2006. – 119 (5). – P. 3319.
3. Liu M., Kim J.-M., Jacobs L., Qu J. Experimental study of nonlinear Rayleigh wave propagation in
shot-peened aluminium plates. Feasibility of measuring residual stress // Nondestr. Testing and Experim.
International. – 2011. – 44 (1). – P. 67–74.
4. Гузь А.Н. Упругие волны в телах с начальными (остаточными) напряжениями. – Киев: А.С. К.,
2004. – 672 с.
5. Рущицький Я.Я., Цурпал С. I. Хвилi в матерiалах з мiкроструктурою. – Київ: Iнст-ту механiки iм.
С.П. Тимошенка НАН України, 1998. – 377 с.
6. Cattani C., Rushchitsky J. J. Wavelet and wave analysis as applied to materials with micro or nanostruc-
ture. – Singapore; London: World Scientific, 2007. – 466 p.
7. Rushchitsky J. J. Quadratically nonlinear cylindrical hyperelastic waves: primary analysis of evolution //
Int. Appl. Mech. – 2005. – 41 (7). – P. 770–777.
8. Лурье А.И. Нелинейная теория упругости. – Москва: Наука, 1980. – 512 с.
9. Черных К.Ф. Нелинейная теория упругости в машиностроительных расчетах. – Ленинград: Маши-
ностроение, 1986. – 336 с.
10. Викторов И.А. Звуковые поверхностные волны в твердых телах. – Москва: Наука, 1981. – 288 с.
11. Achenbach J. D. Wave propagation in elastic solids. – Amsterdam: North Holland, 1973. – 436 p.
12. Rushchitsky J. J. Analysis of a quadratically nonlinear hyperelastic plane longitudinal wave // Int. Appl.
Mech. – 2009. – 45 (2). – P. 148–158.
13. Rushchitsky J. J., Sinchilo S. V., Khotenko I.N. On generation of the second, fourth, eighth and next
harmonics by the quadratically nonlinear hyperelastic plane longitudinal wave // Int. Appl. Mech. – 2009. –
45 (6). – P. 621–628.
Надiйшло до редакцiї 05.04.2011Iнститут механiки iм. С.П. Тимошенка
НАН України, Київ
Я.Я. Рущицкий, О.О. Хотенко
Приближенные решения нелинейных уравнений, описывающих
поверхностные волны Релея
Получены новые приближенные решения нелинейных волновых уравнений, предложенных
авторами данной работы ранее. Применен метод последовательных приближений. Полу-
ченные решения соответствуют второму приближению. Замечено появление в решениях
вторых гармоник как классической волны Релея, так и классической компоненты, которая
описывает затухание.
Ya. Ya. Rushchitskii, О.О. Khotenko
Approximate solutions of nonlinear wave equations describing the
Rayleigh elastic surface waves
The new approximate solutions are obtained for the nonlinear wave equations offered recently by the
authors of this communication. The method of successive approximations is utilized. The equations
and their solutions correspond to the second approximation. The appearance of a classical Rayleigh
wave and the classical exponent describing the attenuation in the second harmonics is observed.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №1 69
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-48853 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T17:09:23Z |
| publishDate | 2012 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Рущицький, Я.Я. Хотенко, О.О. 2013-09-04T16:04:48Z 2013-09-04T16:04:48Z 2012 Наближені розв'язки нелінійних хвильових рівнянь, що описують пружні поверхневі хвилі Релея / Я.Я. Рущицький, О.О. Хотенко // Доп. НАН України. — 2012. — № 1. — С. 64-69. — Бібліогр.: 13 назв. — укр. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/48853 539.3 Отримано нові наближені розв'язки нелінійних хвильових рівнянь, запропонованих авторами даного повідомлення раніше. Застосовано метод послідовних наближень. Одержані розв'язки відповідають другому наближенню. Спостережено появу у розв'язках других гармонік як класичної хвилі Релея, так і класичної експоненти, що описує затухання. Получены новые приближенные решения нелинейных волновых уравнений, предложенных авторами данной работы ранее. Применен метод последовательных приближений. Полученные решения соответствуют второму приближению. Замечено появление в решениях вторых гармоник как классической волны Релея, так и классической компоненты, которая описывает затухание. The new approximate solutions are obtained for the nonlinear wave equations offered recently by the authors of this communication. The method of successive approximations is utilized. The equations and their solutions correspond to the second approximation. The appearance of a classical Rayleigh wave and the classical exponent describing the attenuation in the second harmonics is observed. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Механіка Наближені розв'язки нелінійних хвильових рівнянь, що описують пружні поверхневі хвилі Релея Приближенные решения нелинейных уравнений, описывающих поверхностные волны Релея Approximate solutions of nonlinear wave equations describing the Rayleigh elastic surface waves Article published earlier |
| spellingShingle | Наближені розв'язки нелінійних хвильових рівнянь, що описують пружні поверхневі хвилі Релея Рущицький, Я.Я. Хотенко, О.О. Механіка |
| title | Наближені розв'язки нелінійних хвильових рівнянь, що описують пружні поверхневі хвилі Релея |
| title_alt | Приближенные решения нелинейных уравнений, описывающих поверхностные волны Релея Approximate solutions of nonlinear wave equations describing the Rayleigh elastic surface waves |
| title_full | Наближені розв'язки нелінійних хвильових рівнянь, що описують пружні поверхневі хвилі Релея |
| title_fullStr | Наближені розв'язки нелінійних хвильових рівнянь, що описують пружні поверхневі хвилі Релея |
| title_full_unstemmed | Наближені розв'язки нелінійних хвильових рівнянь, що описують пружні поверхневі хвилі Релея |
| title_short | Наближені розв'язки нелінійних хвильових рівнянь, що описують пружні поверхневі хвилі Релея |
| title_sort | наближені розв'язки нелінійних хвильових рівнянь, що описують пружні поверхневі хвилі релея |
| topic | Механіка |
| topic_facet | Механіка |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/48853 |
| work_keys_str_mv | AT ruŝicʹkiiââ nabliženírozvâzkinelíníinihhvilʹovihrívnânʹŝoopisuûtʹpružnípoverhnevíhvilíreleâ AT hotenkooo nabliženírozvâzkinelíníinihhvilʹovihrívnânʹŝoopisuûtʹpružnípoverhnevíhvilíreleâ AT ruŝicʹkiiââ približennyerešeniânelineinyhuravneniiopisyvaûŝihpoverhnostnyevolnyreleâ AT hotenkooo približennyerešeniânelineinyhuravneniiopisyvaûŝihpoverhnostnyevolnyreleâ AT ruŝicʹkiiââ approximatesolutionsofnonlinearwaveequationsdescribingtherayleighelasticsurfacewaves AT hotenkooo approximatesolutionsofnonlinearwaveequationsdescribingtherayleighelasticsurfacewaves |