Наближене інтегрування жорстких задач

Досліджено задачі наближеного розв’язування жорстких систем звичайних диференціальних рівнянь (ЗДР) та інтегрування погано обумовлених функцій. The problems of approximate solution of stiff differential equations and integration of ill-conditioned functions are researched....

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Опубліковано в: :	Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки
Дата:	2012
Автори:	Абрамчук, В.С., Абрамчук, І.В.
Формат:	Стаття
Мова:	Українська
Опубліковано:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2012
Онлайн доступ:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/48871
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Наближене інтегрування жорстких задач / В.С. Абрамчук, І.В. Абрамчук // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2012. — Вип. 7. — С. 3-17. — Бібліогр.: 12 назв. — укр.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

_version_	1860225763072016384
author	Абрамчук, В.С. Абрамчук, І.В.
author_facet	Абрамчук, В.С. Абрамчук, І.В.
citation_txt	Наближене інтегрування жорстких задач / В.С. Абрамчук, І.В. Абрамчук // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2012. — Вип. 7. — С. 3-17. — Бібліогр.: 12 назв. — укр.
collection	DSpace DC
container_title	Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки
description	Досліджено задачі наближеного розв’язування жорстких систем звичайних диференціальних рівнянь (ЗДР) та інтегрування погано обумовлених функцій. The problems of approximate solution of stiff differential equations and integration of ill-conditioned functions are researched.
first_indexed	2025-12-07T18:19:59Z
format	Article
fulltext	Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 7 3 УДК 519.63 В. С. Абрамчук, канд. фіз.-мат. наук, І. В. Абрамчук, старший викладач Вінницький державний педагогічний університет імені М. Коцюбинського, м. Вінниця, **Вінницький національний технічний університет, м. Вінниця НАБЛИЖЕНЕ ІНТЕГРУВАННЯ ЖОРСТКИХ ЗАДАЧ Досліджено задачі наближеного розв’язування жорстких систем звичайних диференціальних рівнянь (ЗДР) та інтегру- вання погано обумовлених функцій. Ключові слова: жорсткі задачі, гіперболічні многочлени, адаптивні квадратурні формули. Жорстка задача Коші. Задача Коші для системи s звичайних диференціальних рівнянь (ЗДР) першого порядку (у загальному ви- падку нелінійних)    , , ;y f x y x a b     , (1)   0y a y   , (2) де       1 ,..., sy x y x y x   ,       1, , ,..., ,sf x y f x y f x y     , називає- ться жорсткою у деякому інтервалі  ;I a b , якщо Re 0, 1,2,...,i i s   , (3)       1,1, max Re min Re 1i i i si s S x        , (4) де i ― власні значення матриці Якобі i j f J y        в околі розв’язку  y x  [1]. Величини  1 Re i «називають часовими постійними»,  S x ― коефіцієнтом жорсткості. В практичних задачах, що вини- кають в таких областях, як хімічна кінетика, управління і регулюван- ня динамічних систем, деформація пружних тіл, коефіцієнт жорстко- сті може досягати величини  610O [1; 2]. В околі розв’язку рівнян- ня (1) можна апроксимувати лінеаризованим рівнянням        , 0y J x y y x f x y x         , де  J x ― матриця Якобі. Задача (1)—(2) буде абсолютно стійкою, як- що  ,f x y  задовольняє умову Ліпшиця (в деякій рівномірній метриці)    1 2 1 2, ,f x y f x y L y y       © В. С. Абрамчук, І. В. Абрамчук, 2012 Математичне та комп’ютерне моделювання 4 для всіх  ;x a b і всіх компонент векторів 1 2,y y   [1]. Якщо похідні i jf y  неперервні і обмежені, то константа Ліпшиця визначається як i j i jL f y f y      , де  спектральний радіус матриці Якобі: 1, max i i s     . Основна проблема, яка виникає при побудові наближень до розв’язку жорсткої задачі є проблема чисельної стійкості, оскільки довжина кроку інтегрування обмежується величиною найменшої ча- сової постійної, а тому число кроків інтегрування може бути порів- няне з коефіцієнтом жорсткості системи. Розглянемо деякий загальний клас методів для обчислення на- ближеного розв’язку задачі (1)—(2) в прогнозованій точці 1n nx x h   , nx a , який подамо формулою [1; 3]     1 1 1 0 , ,..., , , k n k n i n n n k n k i y y h f x y f x y h               , (5) де  i ― константи, що підбираються апріорі, або розраховуються на основі формули прогнозування розв’язку ,...,n n ky y    ― наближення до розв’язку, обчислені на попередніх кроках в точках ,...,n n kx x a  . Якщо функція  не залежить від  1 1,n nf x y    , то метод називається явним, у протилежному випадку ― неявним. Початкові значення    1 1 ,..., k ky x y x   для запуску неявного методу (5) розраховуються деяким явним методом. На кожному кроці методу (5) прогнозується величина кроку h та наближення 1ny   в точці 1n nx x h   , яке уточ- нюється шляхом розв’язування нелінійної системи (5) методом функ- ціональної ітерації або методом Ньютона. Формула (5) конструюється на основі наближеного інтегрування системи (1) або диференціюван- ням розв’язку задачі (1)—(2) (формули диференціювання вперед — в явних методах, назад — в неявних [1—4]). Аналіз чисельних методів розв’язування задачі (1)—(2). Ана- ліз методів виду (5) дає змогу виділити їх позитивні сторони та недо- ліки [1; 3]: всі методи мають обмеження на величину кроку інтегру- вання 1h J  ; в неявних методах необхідно на кожному кроці (на частині) методом Ньютона розв’язувати нелінійну систему рівнянь, яку можна апроксимувати лінійною з матрицею переходу H I hJ  , яка залежить від матриці Якобі; метод Ньютона не на- кладає додаткових обмежень на крок сітки, але вимагає доброго по- Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 7 5 чаткового наближення; матриця переходу H може бути погано обу- мовленою і мати розріджену структуру, що вимагає внесення попра- вок у ту частину матриці, яка пов’язана з повільними часовими пос- тійними; багатозначні методи типу Адамса—Мултона забезпечують високу точність, але не є абсолютно стійкими і застосовуються для розв’язування не жорстких задач, методи типу Гіра застосовуються для розв’язування жорстких задач, але мають обмеженість для задач з осцилюючими розв’язками; при зростанні кроку інтегрування жорст- ких задач або порядку прогнозуючого многочлена виникають осци- ляції; проблемними задачами є задача про інтегрування ЗДУ, розв’язки яких мають особливість, та задача адаптації квадратурних формул для інтегрування погано обумовлених функцій, якими є розв’язки жорстких задач (1)—(2) [1—6]. Перспективним напрямком побудови наближень до розв’язків жорстких задач є побудова таких узагальнених многочленів  nP t ,  t x ,    nx C D     , які добре апроксимують погано обумов- лені функції, що швидко осилюють на малих проміжках інтегрування (перехідна зона) і асимптотично затухають за їх межами. Побудова таких многочленів  nP t дає змогу обґрунтувати на основі теореми Веєрштрасса збіжність до розв’язку жорсткої задачі Коші. Гіперболічні многочлени. Введемо функції  nG x , поклавши  1 thG x x ,    1n nG x G x  1, 2,...n  ,  ;x   та многочле- ни    n nS t G x , tht x ,  ;x   ,  1;1t  , 2,3,...n  . Клас функцій  nG x ,  nS t , 2n  , назвемо гіперболічними многочлена- ми. Наведемо перші чотири многочлени:  1S t t ,   2 2 1S t t  ,    2 3 2 1S t t t   ,     2 2 4 2 1 1 3S t t t    , 1, 4n  . Многочлени  nG x ,  nS t мають властивості:є парними функція- ми для парних n і непарними для непарних n ; 2,3,...n    0nG x  для x  (   0nS t  для 1t   ). Між многочленами  nG x ,  ;x   і  nS t ,  1;1t  , 2,3,...n  існує взаємно однозначна відповідність, яка встановлюється за допомогою формул tht x і 1 1 ln 2 1 t x t    . Формально доозначимо   1th    ,   1th   , тоді 2,3,...n      0n nG G    (    1 1 0n nS S   ). Математичне та комп’ютерне моделювання 6 Теорема 1. Гіперболічні многочлени  nG x , 2,3,...n  , мають 1n  екстремальну точку і 2n  дійсних скінченних нулів, які роз- ташовані симетрично відносно початку координат. Доведення. Доведення проведемо методом математичної індукції. Для перших многочленів  2G x —  4G x висновки теореми істинні. Допустимо, що ці висновки істинні також для многочлена  kG x , 4k  , і доведемо, що вони виконуються для многочлена  1kG x . Пар- ність (непарність) многочлена  1kG x є наслідком правил диференцію- вання:    1k kG x G x  . Оскільки за допущенням многочлен  kG x , 2k  , має 1k  -ну скінченну екстремальну точку, то ці точки будуть нулями многочлена  1kG x , до яких добавляться два асимптотичні нулі  . Інших нулів многочлен  1kG x не має, оскільки взаємно однозна- чний для нього многочлен  1kS t є многочленом 1k  -го порядку. Між кожною парою дійсних нулів у многочлена  1kG x існує не менше однієї екстремальної точки (як у неперервно диференційовної функції). В силу того, що  1 0kG x  для x  , то на проміжках  min; x ,  max ;x  існує ще принаймні по одній екстремальній точці, оскільки    1 min 1 max 0k kG x G x   і  1 0kG x  для x  . Отже, много- член  1kG x може мати не менше, ніж 2 2k k   скінченних екст- ремальних точок. З другої сторони, більше, ніж k екстремальних точок функція  1kG x не може мати. Дійсно, екстремальні точки многочлена  1kG x є нулями многочлена    2 1k kG x G x  , в якого є ще два асимптотичні нулі  . Многочлену  2kG x взаємно однозначно від- повідає многочлен  2kS t 2k  -го порядку, у якого є не більше, ніж k скінченних нулів thi it x , 1,...,i k , та два асимптотичні нулі 1 . Оскільки висновки теореми істинні для довільного многочлена  1kG x , 2k  , то вони істинні для всіх 2,3,...k  Теорему доведено. З теореми 1 випливає важливий висновок — многочлени  kG x , 2,3,...k  , є лінійно незалежними функціями на  ;  і можуть використовуватись разом з  1G x в якості базису для наближення розв’язків жорсткої задачі Коші. Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 7 7 Ортогоналізація гіперболічних многочленів. Введемо скаляр- ний добуток для елементів із простору гіперболічних многочленів   , 2,3,...nG span G x n  через невласний інтеграл          1 21 , 1 i j i j i j dt x x dx t t t              , (6) де tht x ,  2/ 1dx dt t  ,      thi i it x x    , 2,3,...i  . За норму елемента приймемо число    1 2 ,k k kx   , 2,3,...k  . Сис- тему ортогональних многочленів  nG x побудуємо за правилом Грама- Шмідта: покладемо      2 2 2G x G x G x ,      2 2 2S t S t S t . Для всіх 3, 4,...k  визначимо       1 2 k k k kj j j G x G x G x       ,       1 2 k k k kj j j S t S t S t       , (7)          , ,kj k j k jG x G x S t S t      ,      :k k kG x G x G x   ,      :k k kS t S t S t   , ( : — символ присвоювання). Оскільки кожний із многочленів  kS t , 2,3,...k  , містить множник 21 t , то підінтегральна функція в (6) є многочленом. Теорема 2. Многочлени  nS t , 2,3,...n  ,  1,1t  , для парних n є парними функціями, для непарних n — непарними. Доведення. Дійсно, для многочленів      2 3 4, ,S t S t S t   висло- влення теореми істинне. Нехай для многочлена   , 4kS t k  , викону- ється висновок теореми 2. Побудуємо многочлен  1kS t  за форму- лою (7), і нехай  1kS t є непарним (парним) многочленом, тоді всі коефіцієнти 1,k j  з парними (непарними) номерами рівні нулеві (за властивістю визначеного інтеграла (6)). Теорему доведено. Отже, процедуру побудови ортогональних многочленів  nG x ,  nS t для парних і непарних номерів можна виконувати паралельно. Нехай    f x C R ,  f x dx     і   0f x  для x   . І нехай функція  f x осцилює на проміжку [ ; ]a b і монотонно асимп- Математичне та комп’ютерне моделювання 8 тотично згасає для x  , тоді природно її апроксимувати за допо- могою узагальненого многочлена (ряду)   1 m k k k G x    . Якщо форма- льно побудований ряд для функції  f x :     ,k kf x G x   , рівно- мірно збіжний на деякому проміжку    ; ;a b    , то можна гаран- тувати, що для будь-якого 0  знайдеться такий скінченний номер m , що     1 m k k k f x G x      ( m буде залежати від меж відрізка  ;a b і точності  ). Зазначимо, що аналогічно до гіперболічних многочленів на основі tht x можна побудувати многочлени на основі функції 1 cht x . Тестовий приклад для жорсткої задачі. Звернемо увагу на суттє- ву відмінність розв’язків жорсткої задачі від їх апроксимацій у вигляді многочленів Тейлора, що використовуються для прогнозу в явних і нея- вних методах виду (5). Розв’язки жорстких задач в початкових точках (перехідна зона) сильно збурені (абсолютні величини похідних від розв’язку сильно ростуть з ростом порядку похідної), що приводить до сильної осциляції прогнозуючого многочлена на межі проміжку інтегру- вання, у той час як розв’язок за межами перехідної зони починає моно- тонно затухати (матриця Якобі починає вироджуватись у вектор [1]). Приклад 1 [4]. Проінтегрувати жорстку задачу Коші        03, 0; , , 1,1,0 T y f y x y R y          , де 3 1 1 1 20.013 10f y y y   , 3 2 2 32.5 10f y y  , 3 1 2f f f   , f    1 2 3, , T f f f ,  1 2 3, , T y y y y  . Матриця Якобі   3 3 3 1 3 3 3 2 3 3 3 3 3 3 1 2 0.013 10 0 10 0 2.5 10 2.5 10 0.013 10 2.5 10 10 2.5 10 y y J x y y y y y y                    . Компонента розв’язку  1y x монотонно спадає, а компонента  2y x монотонно зростає і обмежена зверху. Компонента  3y x зростає до деякого максимального значення ( 5 3 1.3 10y   ), після чого монотон- но спадає. Обчислимо похідні до третього порядку в точці 0x  :    0 0.013,0,0.013 T y    ,    0 13.000169,32.5, 45.500169 T y    ,  0y   Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 7 9  29489.5983, 113750.4225,159251.0987 T  . Власні значення матриці Якобі в околі  0y  : 1 0  , 2 3499.996286   , 3 0.0167145   . От- же розв’язок є умовно стійким і сильно збуреним в точці 0x  , моно- тонно згасаючим для x  . За прогнозуючі розв’язки наведеної жорсткої задачі необхідно вибирати функції з аналогічними власти- востями, якими є гіперболічні многочлени. Багатомірні гіперболічні многочлени. Позначимо  H x     1 1 , ..., th m m i i H x x x     і утворимо гіперболічні многочлени          , th , , k i k k i j ik j ii H x D x G x x x x            , (8) та відповідні многочлени      , , 1,1i k k i j i j i U t S t t t      ,  1,..., mx x x  ,  1,..., mt t t  , 1,i m , 2,3,...k  . Для наближення багатомірних функцій  f x  , mx R  ,  2 D f x d    , d  1 mdx dx  , mD R і  f x  — асимптотично згасаючі функції для кожної компоненти ix  , можна використовувати кратні ряди побудовані за системою многочленів ,i kD . Рівняння в частинних похідних параболічного типу. В теорії тепло і масоперенесення необхідно розв’язувати крайову задачу: розв’язати рівняння параболічного типу    , 1 , , , , , ..., m i j m j ji j u u K f u x t x x x t x x                , (9) 1,2,3m  ,    , ;x t D a b   з початковими умовами    0, ,u x a u x x D     , (10) і крайовими умовами, наприклад,  , 0,su x t   x D S   , (11) де D — відкрита і обмежена область з замкненою межею D . Якщо  ( )ij ijK K u x  , то рівняння (9) стає нелінійним, у протилежному випадку — лінійне. Якщо ijK — константа x D   , то рівняння (9) набуде вигляду 2 ( )tu a u f u    . Математичне та комп’ютерне моделювання 10 Для наближеного розв’язування рівняння (9) методом скінчен- них елементів [1] його зводять до системи звичайних диференціаль- них рівнянь ( )B y Ay f y       , (12) де матриця B необов’язково буде одиничною. Для цього область D розбивають сіткою на елементарні частини, на яких задають базисні кусково-поліноміальні функції ( )i x  і розв’язок апроксимують мно- гочленом [1] ( , ) ( ) ( )i i i U x t y t x   . (13) Якщо розв’язок є погано обумовленою функцією для кожного [ ; ]t a b , то в якості базисних функцій необхідно обирати гіперболіч- ні многочлени (8). Для зведення крайової задачі до задачі Коші засто- совують метод Гальоркіна (Канторовича—Гальоркіна або Фаело— Гальоркіна) [1; 2], замінивши рівняння (9) рівнянням , 1 , , ( , ) m p p ij p j ii j U U K f t x x                      , (14) для кожної базисної функції p . Скалярний добуток задається у фор- мі:  , ( ) ( ) R u v u x v x dx  , а базисні функції повинні задовольняти кра- йовим умовам ( , ) 0u x t   , [ ; ]t a b , x R  . Початкові умови для рів- няння (14) мають вигляд p    0( ), , .p pU a u  (15) Отже, якщо наближений розв’язок шукається у вигляді (13), то з рівнянь (14), (15) випливає, що функції ( )iy t задовольняють систему рівнянь (12), у якій  ,p qB   ,  Ay D y y     ,  pqD d , , 1 , m q p pq ij j ii j d K x x               ,  ( ) ( , )pf y f     . Зазначимо, якщо f  — нелінійна функція, то необхідний значний машинний час для обчислення інтегралів  , pf   ; якщо застосувати метод коллокацій, то відпадає необхідність обчислення інтегралів, але вимагається неперервність (кускова) других похідних від базис- Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 7 11 них функцій. За точки коллокацій вибираються нулі полінома Лежа- ндра, якщо за базисні функції обирати кусково-кубічні сплайни. За точки коллокації можна вибирати нулі гіперболічних многочленів, якщо за базисні функції вибирати гіперболічні многочлени. В методі прямих частинні похідні / ix  за координатами можна замінити скі- нченно-різницевим аналогом і задача зведеться до розв’язування сис- тем алгебричних рівнянь [7]. Чисельне інтегрування погано обумовлених функцій. Нехай необхідно обчислити інтеграл ( ) ( ) ( )I f f P P dP    , де область інте- грування  , вагова функція ( )P є фіксованими. Клас розглядува- них задач визначається заданням класу F підінтегральних функцій. Похибкою квадратури 1 ( ) ( ) ( ) ( ) N N j j j I f S f D f f P     на класі F на- зивають величину. ( ) sup ( )N N f F R F R f   , ( ) ( ) ( )N NR f I f S f  [8]. Нижню межу , ( ) inf ( ) i i N N D P W F R f називають оптимальною оцінкою похибки квадратури на розглядуваному класі F . Якщо існує квадра- тура, для якої ( ) ( )N NR F W F , то її називають оптимальною (най- кращою) на класі F . Оптимальні квадратури отримані для невелико- го набору класів функцій [8,9]. Зосередимо увагу на найбільш важли- вих для практики класах [ ; ], 0,1mC a b m  , і виділимо підклас F по- гано обумовлених функцій, що виникають при розв’язувані жорстких задач. Для інтегрування погано обумовлених функцій необхідно роз- робляти адаптивні квадратурні формули, що автоматично налашто- вуються на рельєф підінтегральної функції. Відомі адаптивні форму- ли будуються на принципі порівняння значень квадратур на проміж- ках розбиття з кроками h і / 2h або на застосуванні двох різних ква- дратурних формул [3]. Підінтегральні функції в обох випадках на- ближаються многочленами з цілими степенями, що не перевищують заданого показника m . У той час, як погано обумовлені функції мо- жуть змінювати порядок росту в широких діапазонах. Для характеристики швидкості зміни неперервної монотонної погано обумовленої функції на проміжку [ ; ]a b виберемо показник  позіноміальної апроксимуючої функції  ( )x x a      (або по- казник 1 /  функції  ( )x b x      за умови 1 /  ). Вперше асимптотичний порядок функції в околі точки ввів Кармата (такі фу- Математичне та комп’ютерне моделювання 12 нкції названі правильно змінними або регулярно змінними, а також автомодельними) [10]. У роботах [11; 12] для характеристики поведі- нки погано обумовленої монотонної функції на відрізку [ ; ]a b вибра- ний показник  апроксимуючої функції ( )x :       [ ; ] ln ( ) ( ) / ( ) ( ) / ln 2a b f b f a f c f a    , ( ) / 2c a b  . Розширимо і обґрунтуємо на основі квадратурних форм інтегру- вання погано обумовлених функцій поняття показника швидкості змінних функцій на відрізку. Приклад 2. Наближено обчислити інтеграл 1.396 4 0.001 (1 3ln )x x dx   96.907758279 10I   . Підінтегральна функція є погано обумовленою  13(0.001) 2.17 10 ,f   (0.6985) 8.722,f  (1.396) 0.002f   з логарифмічною швидкістю зміни на всьому проміжку інтегрування  [0.001;1.396] 44.3  , на лівому підінтервалі  [0.001;0.6985] 36.2  , на правому —  [0.6985;1.396] 3.6  . Для обчислення заданого інте- гралу методом Сімпсона з похибкою 1  необхідно 41 розбиття проміжка інтегрування. Адаптивні триточкові квадратурні формули на основі позіно- мів. Нехай відрізок [ ; ]a b розбитий точками 0 1... ...i ia x x x       nx b  на елементарні проміжки, на яких функція f F є монотон- ною. Триточкова адаптивна формула [11]: на кожному проміжку розбит- тя 1[ , ]i ix x  виберемо вузли інтерполяції ,1 ,2 ,3 1i i i i ix x x x x     і по- будуємо інтерполяційні позіноми ( , ) ( ) i i i i i ix p a b x x      , 1( , ) ( ) i i i i i ix q c d x x      , (16) де ( , , )i i i ip a b   , ( , , )i i i iq c d   — параметри, які необхідно визначи- ти з умови інтерполяції: , , ,( , ) ( )i i j i i j i jx p f x f    , , ,( , ) ( )i i j i i jx q f x    ,i jf , 1, 2,3j  , 0,1,..., 1i n  . Параметри ,i i  визначаються формулами: ln / lni i iu v  , ln(1 ) / ln(1 )i i iu v    , де ,2 ,1 ,3 ,1( ) / ( )i i i i iu f f f f   , ,2 ,1 ,3 ,1( ) / ( )i i i i iv x x x x   . Теорема 3. Якщо функція ( )y f x є неперервною, монотонною і зберігає опуклість на проміжках 1[ , ]i ix x  , то параметри ,i ip q   ви- значається однозначно. Квадратурні формули мають вигляд: Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 7 13 1 1 1 ,1 ,3 2 ,3 ,1 1 ( ) ( ) , 1 1 1 ( ) ( ) . 1 1 i i i i x i i i i ix i i x i i i i ix i i S f x dx h f f S f x dx h f f                              (17) Існує такий проміжний вузол ,2ix на кожному проміжку моно- тонності 1[ , ]i ix x  неперервної функції ( )f x , що квадратурні форму- ли (17) є оптимальними для позиномів, 1 /i i  . Доведення. Доведення теореми засноване на основі двох факторів для монотонних неперервних функцій: 1) для довільної внутрішньої то- чки ,1 ,2 ,3i i ix x x  вираз    ,3 ,1 ,2 ,1( ) ( ) / ( ) ( ) 1i i i if x f x f x f x   ; 2) існує завжди така внутрішня точка ,2ix , що ,3 ,1 ,2( ) ( )i i x i ix f x dx h f x  , ,3 ,1i i ih x x  . Геометричний зміст оптимальних параметрів ,  : якщо неперервна функція ( )f x є монотонною і опуклою на [ ; ]a b , то параме- три ,  є відношенням площ фігур над кривою і під кривою монотон- ної неперервної функції ( )y f x , заключених в прямокутник [ , ; ( ), ( )]a b f a f b . Практична важливість квадратурних формул (17) для інтегрування неперервних, монотонних функцій, полягає у тому, що немає потреби кожен раз обчислювати інтеграл на проміжках розбиття. Обчислюються лише параметри ,i i  , і, якщо знайдена проміжна точка ,2ix для якої 1 /i i  , то тим самим знайдені інтерполяційні позіноми (16), на осно- ві яких можна будувати оптимальні квадратурні формули. Оскільки ква- дратурні формули (17) можуть давати одностороннє наближення, то оп- тимальна квадратурна формула будується на основі нерівності ,2 ,3 ,3 ,1 ,2 ,1 ,2 ,3 ,1 ,2 1, 2, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). i i i i i i i i i i x x x i i ix x x x x i i ix x S f x dx x dx f x dx x dx x dx S f                 За наближення значення інтегралу приймається  1, 2,( ) ( ) / 2i iS f S f . Запишемо явні квадратурні формули:                      1, 1, 2, 1, ,1 ,22,1 2, ,3 ,2 2, 1, 2,3,2 1, ,3 ,2 ,12,1 3,2 3,1 ( ) , ( ) ( ) / 1 , ( ) ( ) / 1 , ( ) , ( ) ( ) ( ) / 1 , i i i i i i i ii i i i i i i i ii i i i i i ii i i S f A A A x f x f x A x f x f x S f B B B f x x f x x f x x                          (18) Математичне та комп’ютерне моделювання 14       2, 2, ,3 ,2 ,13,1 2,1( ) ( ) ( ) / 1 ,i i i i i i ii iB B f x x f x x f x        де   , ,, i p i qi p qx x x   . Чотириточкові квадратурні формули для неперервних опук- лих функцій. Для підвищення точності наближення інтерполяційни- ми функціями введемо в базис як степеневі доданки з цілими показ- никами, так і позіноміальні функції. Чотириточкові інтерполяційні позіноми задамо формулами: 1 1 ( , ) ( ) ( )( ) , ( , ) ( ) ( )( ) , i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i x p a b x x c x x x x x q c d x x g x x x x                     (19) де параметри ( , , , )i i i i ip a b c   , ( , , , )i i i i iq c d g   визначається з умов інтерполяції ( , ) ( )i k i kx p f x    , ( , ) ( )i k i kx q f x    , де  ,1 ,2 ,3 ,4 1k i i i i i ix x x x x x x       . Теорема 4. Якщо функція ( )f x на елементарних проміжках ро- збиття 1[ ; ]i ix x  неперервна, монотонна і опукла, то вектори парамет- рів ,i ip q   визначаються однозначно за формулами: 2 1 1 2 1 ln / ln 1 i i i i i i k k A k k     , 2 1 1 2 1 ln / ln 1 i i i i i i k k A k k     , (20) де позначено 1 ,2 ,1 ,4 ,1( ) / ( )i i i i ik x x x x   , 2 ,3 ,1 ,4 ,1( ) / ( )i i i i ik x x x x   , ,2 1 ,4 1 ,1 ,3 2 ,4 2 ,1( (1 ) ) / ( (1 ) )i i i i i i i i i i iA y k y k y y k y k y       , ,2 ,3,i ix x — внутрішні точки проміжка 1[ ; ]i ix x  . За рахунок вибору внутрішніх вузлів ,2 ,3;i ix x можна дістати оп- тимальну квадратуру. Найпростішого вигляду квадратурна формула набуває у випадку, коли ,2ix є середньою точкою. Квадратурні фор- мули мають вигляд:   1 2 ,1 ,2 ,42 ( ) 2 3 2 i i x i i i i i i i i ix i i h u x dx y y y              , де i i  , якщо ( )i iu x . Якщо ( )i iu x , то i i  . Доведення теореми випливає з того, що вираз iA еквівалентний відношенню приростів розділених різниць опуклої, неперервної, мо- нотонної функції, а тому величина iA є додатною. Якщо для погано обумовленої функції 4( ) (1 3ln )f x x x   на проміжку [0.001;1.396] за внутрішні вузли вибрати ,2 0.6985ix  , ,3 0.002ix  , то інтеграл обчиститься за один крок. Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 7 15 Ермітова сплайн-інтерполяція. Побудова сплайнів з мінімальною кривиною має важливе застосування для розв’язування практичних за- дач конструювання, квантової механіки, обчислювальної математики. Постановка задачі. Задана ермітова сіткова функція { , ( ), ( )}i i ix y x y x , 0,1,...,i n , на сітці відрізка [ ; ]a b : 0a x  ... nx b   . Побудувати сплайн-функцію ( )x мінімальної кривини на кожному проміжку розбиття 1[ ; ]i ix x  , 0,1,..., 1i n  , за даними сіткової функції. Оскільки побудова функції мінімальної кривини є складною за- дачею, то за міру наближення ( )x до кусково-лінійної функції на проміжках розбиття будемо визначати через показники ,i i  позі- номів ( ), ( )i ix x  : 1 1 ( , ) ( ) ( ) , ( , , , ), ( , ) ( ) ( ) , ( , , , ), i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i x p a b x x c x x p a b c x q d e x x g x x q d e g                        (21) де 0, 1i n  . Теорема 5. Якщо сіткова функція { , ( ), ( )}i i ix y x y x , 0,1,..., 1i n  на кожному проміжку розбиття 1[ ; ]i ix x  визначає опуклу функцію:  1 1/i i i i iy y y h y     або  1 1 /i i i i iy y y h y     , 1i i ih x x  , то існують сплайни з базисними функціями ,i i  , параметри ,i ip q   визна- чаються формулами: 11 1 1 1 1 1 11 1 1 , , , ( ) / , ( ) / , , , , 0,1,..., 1. i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i y y a y b y c h y y y y y y y y y y h h y y d y e y g h i n                                                  Існування позіномів з базисними функціями ,  геометрично означає, що сіткова функція { , ( ), ( )}i i ix y x y x задає криві, що проходять через вершини ( , )i ix y , 1 1( , )i ix y  основи трикутника і дотикаються його бічних сторін, з кутовими коефіцієнтами 1,i iy y   . Виконавши опу- клу комбінацію позіномів ( ) (1 ) ( )i i i ix x    , 0 1i  , можна ста- вити задачу про побудову найкращого наближення гладкої функції в класі позіномів за умови мінімізації похибки min ( , ) ( )x f x   на Математичне та комп’ютерне моделювання 16 опуклій замкненій множині  : 0 1, 0,1,..., 1i i n        , де ( , ) ( ) ( ( ) ( ))i i i ix x x x         , 1[ ; ]i ix x x  , 0,1,..., 1i n  , — ер- мітів сплайн. Невласні інтеграли. Нехай на проміжку  ;a b функція ( )f x неперервна, монотонна і необмежена в єдиній точці a , необхідно дослідити на збіжність невласний інтеграл ( ) b a f x dx . Апроксимуємо підінтегральну функцію ( )f x поліномом ( ) ( )x x a      в околі  ,a a  , вибравши за вузлові точки , , 4 2 a a a          [11]. Пара- метр  визначиться формулою: ln( 1) / ln 0.5p   , де      / 4 ( ) / / 2 ( )p f a f a f a f a          . Інтеграл розбігається, якщо 1   і збігається, якщо 1   . Приклад 3. Дослідити на збіжність  1 2 0 1 ln /x x dx , 1 0 ln xdx . Оскільки 0a  , то за інтерполяційні вузли виберемо  / 4, / 2,   . Для 0  значення виразу p для 2( ) (1 ln ) /f x x x  прямує до 5. тому ln 4 / ln 0.5 2    . Отже, перший невласний інтеграл розбіга- ється. Для другого інтегралу 0  – другий інтеграл збігається. Якщо функція ( )f x монотонна на проміжку  ;a  (або  ;a ), то або шляхом заміни змінної перейти до невласного інтег- ралу другого роду або функцію ( )f x апроксимувати іншою інтегро- вною функцією, яка відображає поведінку ( )f x . Приклад 4. Вивести аналітичну формулу для інтегралу похибки 2 0 ( ) ( ) x terf x x e dt     , 2 /  . Апроксимуємо функцію   2 ( ) , 0;tf t e t   функцією 2 0( ) 0( ) ( ) t tt a t t e     з умов: 1) 0 ( ) / 2;t dt    2)   2 max ( ) min, 0;xe x x     . Оскільки задача є нелінійною, то для визначення параметрів 0, ,a x  викорис- тали імітаційне моделювання. В результаті отримали формулу: 2 2 0 ( ) 1 x t x xx e dt e e        , 0.721221301  , яка на проміжку  0; наближує ( )x з похибкою 0.005  . Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 7 17 Висновки 1. Для апроксимації розв’язків жорстких ЗДР без сингулярностей за- пропоновані гіперболічні многочлени, які осцилюють на малих про- міжках і асимптотично монотонно згасають на нескінченності. 2. Для інтегрування погано обумовлених функцій запропоновані оптимальні квадратурні формули. Список використаних джерел: 1. Холл Дж. Современные численные методы решения обыкновенных диффе- ренциальных уравнений / Дж. Холл, Дж. Уатт. — М. : Мир, 1979. — 311 с. 2. Хайрер Э. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Жест- кие и дифференциально-алгебраические задачи / Э. Хайрер, Г. Ваннер. — М. : Мир, 1999. — 685 с. 3. Каханер Д. Численные методы и программное обеспечение / Д. Каханер, К. Моулер, С. Неш. — М. : Мир, 2001. — 575 с. 4. Gear C. W. Algorithm 407, DIFSUB for solution of ordinary differential equa- tions / C. Gear // Communications of the ACM, Volume 14, Issue 3, March 1971. — P. 186–190. 5. Альшина Е. А. Диагностика особенностей точного решения при расчетах с контролем точности / Е. Альшина, Н. Калиткин, П. Корякин // ЖВМ и МФ. — 2005. — Т. 45, № 10. — С. 1837–1847. 6. Ортега Дж. Итерационные методы решения систем уравнений со многи- ми неизвестными / Дж. Ортега, В. Рейнболт. — М. : Мир, 1975. 7. Абрамчук В. С. Ефективні ітераційні методи розв’язування систем ліній- них рівнянь / В. С. Абрамчук, І. В. Абрамчук, А. Вешемірський // Вісник Львівського університету. Сер. прикладна математика та інформатика. — 2007. — Вип. 12. — С. 5–12. 8. Никольский С. М. Квадратурные формулы / С. М. Никольский. — М. : Наука, 1974. — 223 с. 9. Корнейчук Н. П. О новых результатах по экстремальным задачам теории квадратур / Н. П. Корнейчук // В книге С. М. Никольский. Квадратурные формулы, 1974. 10. Сенета Е. Правильно меняющиеся функции / Е. Сенета. — М. : Наука, 1985. — 139 с. 11. Абрамчук І. В. Інтегрування погано зумовлених функцій / І. В. Абрамчук // Вісник ВПІ. — 1999. — № 5. — С. 120–126. 12. Абрамчук В. С. Обобщенные интерполяционные многочлены / В. С. Аб- рамчук, С. И. Ляшко, В. В. Скопецкий // Кибернетика и системный ана- лиз. — 1997. — № 1. — С. 84–90. The problems of approximate solution of stiff differential equations and integration of ill-conditioned functions are researched. Key words: stiff problem, hyperbolic polynomial, adaptive quadrature formula. Отримано: 28.03.2012 << /ASCII85EncodePages false /AllowTransparency false /AutoPositionEPSFiles true /AutoRotatePages /All /Binding /Left /CalGrayProfile (Gray Gamma 2.2) /CalRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1) /CalCMYKProfile (Coated FOGRA27 \050ISO 12647-2:2004\051) /sRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1) /CannotEmbedFontPolicy /Warning /CompatibilityLevel 1.3 /CompressObjects /Tags /CompressPages true /ConvertImagesToIndexed true /PassThroughJPEGImages true /CreateJobTicket false /DefaultRenderingIntent /Default /DetectBlends true /DetectCurves 0.1000 /ColorConversionStrategy /sRGB /DoThumbnails false /EmbedAllFonts true /EmbedOpenType false /ParseICCProfilesInComments true /EmbedJobOptions true /DSCReportingLevel 0 /EmitDSCWarnings false /EndPage -1 /ImageMemory 1048576 /LockDistillerParams false /MaxSubsetPct 100 /Optimize true /OPM 1 /ParseDSCComments true /ParseDSCCommentsForDocInfo true /PreserveCopyPage true /PreserveDICMYKValues true /PreserveEPSInfo false /PreserveFlatness false /PreserveHalftoneInfo false /PreserveOPIComments false /PreserveOverprintSettings true /StartPage 1 /SubsetFonts true /TransferFunctionInfo /Apply /UCRandBGInfo /Remove /UsePrologue false /ColorSettingsFile () /AlwaysEmbed [ true ] /NeverEmbed [ true /Arial-Black /Arial-BlackItalic /Arial-BoldItalicMT /Arial-BoldMT /Arial-ItalicMT /ArialMT /ArialNarrow /ArialNarrow-Bold /ArialNarrow-BoldItalic /ArialNarrow-Italic /ArialUnicodeMS /CenturyGothic /CenturyGothic-Bold /CenturyGothic-BoldItalic /CenturyGothic-Italic /CourierNewPS-BoldItalicMT /CourierNewPS-BoldMT /CourierNewPS-ItalicMT /CourierNewPSMT /Georgia /Georgia-Bold /Georgia-BoldItalic /Georgia-Italic /Impact /LucidaConsole /Tahoma /Tahoma-Bold /TimesNewRomanMT-ExtraBold /TimesNewRomanPS-BoldItalicMT /TimesNewRomanPS-BoldMT /TimesNewRomanPS-ItalicMT /TimesNewRomanPSMT /Trebuchet-BoldItalic /TrebuchetMS /TrebuchetMS-Bold /TrebuchetMS-Italic /Verdana /Verdana-Bold /Verdana-BoldItalic /Verdana-Italic ] /AntiAliasColorImages false /CropColorImages false /ColorImageMinResolution 150 /ColorImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleColorImages true /ColorImageDownsampleType /Bicubic /ColorImageResolution 150 /ColorImageDepth -1 /ColorImageMinDownsampleDepth 1 /ColorImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeColorImages true /ColorImageFilter /DCTEncode /AutoFilterColorImages true /ColorImageAutoFilterStrategy /JPEG /ColorACSImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /ColorImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /JPEG2000ColorACSImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /JPEG2000ColorImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /AntiAliasGrayImages false /CropGrayImages false /GrayImageMinResolution 150 /GrayImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleGrayImages true /GrayImageDownsampleType /Bicubic /GrayImageResolution 150 /GrayImageDepth -1 /GrayImageMinDownsampleDepth 2 /GrayImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeGrayImages true /GrayImageFilter /DCTEncode /AutoFilterGrayImages true /GrayImageAutoFilterStrategy /JPEG /GrayACSImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /GrayImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /JPEG2000GrayACSImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /JPEG2000GrayImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /AntiAliasMonoImages false /CropMonoImages false /MonoImageMinResolution 1200 /MonoImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleMonoImages true /MonoImageDownsampleType /Bicubic /MonoImageResolution 1200 /MonoImageDepth -1 /MonoImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeMonoImages true /MonoImageFilter /CCITTFaxEncode /MonoImageDict << /K -1 >> /AllowPSXObjects true /CheckCompliance [ /PDFX1a:2001 ] /PDFX1aCheck false /PDFX3Check false /PDFXCompliantPDFOnly false /PDFXNoTrimBoxError true /PDFXTrimBoxToMediaBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXSetBleedBoxToMediaBox true /PDFXBleedBoxToTrimBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXOutputIntentProfile (None) /PDFXOutputConditionIdentifier () /PDFXOutputCondition () /PDFXRegistryName () /PDFXTrapped /False /CreateJDFFile false /Description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> /CHS <FEFF4f7f75288fd94e9b8bbe5b9a521b5efa7684002000410064006f006200650020005000440046002065876863900275284e8e55464e1a65876863768467e5770b548c62535370300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c676562535f00521b5efa768400200050004400460020658768633002> /CHT <FEFF4f7f752890194e9b8a2d7f6e5efa7acb7684002000410064006f006200650020005000440046002065874ef69069752865bc666e901a554652d965874ef6768467e5770b548c52175370300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c4f86958b555f5df25efa7acb76840020005000440046002065874ef63002> /CZE <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> /DAN <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> /DEU <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> /ENU (Use these settings to create Adobe PDF documents suitable for reliable viewing and printing of business documents. Created PDF documents can be opened with Acrobat and Adobe Reader 5.0 and later.) /ESP <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> /ETI <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> /FRA <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> /GRE <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> /HEB <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> /HRV (Za stvaranje Adobe PDF dokumenata pogodnih za pouzdani prikaz i ispis poslovnih dokumenata koristite ove postavke. Stvoreni PDF dokumenti mogu se otvoriti Acrobat i Adobe Reader 5.0 i kasnijim verzijama.) /HUN <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> /ITA (Utilizzare queste impostazioni per creare documenti Adobe PDF adatti per visualizzare e stampare documenti aziendali in modo affidabile. I documenti PDF creati possono essere aperti con Acrobat e Adobe Reader 5.0 e versioni successive.) /JPN <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> /KOR <FEFFc7740020c124c815c7440020c0acc6a9d558c5ec0020be44c988b2c8c2a40020bb38c11cb97c0020c548c815c801c73cb85c0020bcf4ace00020c778c1c4d558b2940020b3700020ac00c7a50020c801d569d55c002000410064006f0062006500200050004400460020bb38c11cb97c0020c791c131d569b2c8b2e4002e0020c774b807ac8c0020c791c131b41c00200050004400460020bb38c11cb2940020004100630072006f0062006100740020bc0f002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e00300020c774c0c1c5d0c11c0020c5f40020c2180020c788c2b5b2c8b2e4002e> /LTH <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> /LVI <FEFF0049007a006d0061006e0074006f006a00690065007400200161006f00730020006900650073007400610074012b006a0075006d00750073002c0020006c0061006900200076006500690064006f00740075002000410064006f00620065002000500044004600200064006f006b0075006d0065006e007400750073002c0020006b006100730020006900720020007000690065006d01130072006f00740069002000640072006f016100610069002000620069007a006e00650073006100200064006f006b0075006d0065006e007400750020006100700073006b006100740065006900200075006e0020006400720075006b010101610061006e00610069002e00200049007a0076006500690064006f006a006900650074002000500044004600200064006f006b0075006d0065006e007400750073002c0020006b006f002000760061007200200061007400760113007200740020006100720020004100630072006f00620061007400200075006e002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e0030002c0020006b0101002000610072012b00200074006f0020006a00610075006e0101006b0101006d002000760065007200730069006a0101006d002e> /NLD (Gebruik deze instellingen om Adobe PDF-documenten te maken waarmee zakelijke documenten betrouwbaar kunnen worden weergegeven en afgedrukt. De gemaakte PDF-documenten kunnen worden geopend met Acrobat en Adobe Reader 5.0 en hoger.) /NOR <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> /POL <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> /PTB <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> /RUM <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> /SKY <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> /SLV <FEFF005400650020006e006100730074006100760069007400760065002000750070006f0072006100620069007400650020007a00610020007500730074007600610072006a0061006e006a006500200064006f006b0075006d0065006e0074006f0076002000410064006f006200650020005000440046002c0020007000720069006d00650072006e006900680020007a00610020007a0061006e00650073006c006a00690076006f0020006f0067006c00650064006f00760061006e006a006500200069006e0020007400690073006b0061006e006a006500200070006f0073006c006f0076006e0069006800200064006f006b0075006d0065006e0074006f0076002e00200020005500730074007600610072006a0065006e006500200064006f006b0075006d0065006e0074006500200050004400460020006a00650020006d006f0067006f010d00650020006f0064007000720065007400690020007a0020004100630072006f00620061007400200069006e002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000200069006e0020006e006f00760065006a01610069006d002e> /SUO <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> /SVE <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> /TUR <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> /UKR <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> /RUS <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> >> /Namespace [ (Adobe) (Common) (1.0) ] /OtherNamespaces [ << /AsReaderSpreads false /CropImagesToFrames true /ErrorControl /WarnAndContinue /FlattenerIgnoreSpreadOverrides false /IncludeGuidesGrids false /IncludeNonPrinting false /IncludeSlug false /Namespace [ (Adobe) (InDesign) (4.0) ] /OmitPlacedBitmaps false /OmitPlacedEPS false /OmitPlacedPDF false /SimulateOverprint /Legacy >> << /AllowImageBreaks true /AllowTableBreaks true /ExpandPage false /HonorBaseURL true /HonorRolloverEffect false /IgnoreHTMLPageBreaks false /IncludeHeaderFooter false /MarginOffset [ 0 0 0 0 ] /MetadataAuthor () /MetadataKeywords () /MetadataSubject () /MetadataTitle () /MetricPageSize [ 0 0 ] /MetricUnit /inch /MobileCompatible 0 /Namespace [ (Adobe) (GoLive) (8.0) ] /OpenZoomToHTMLFontSize false /PageOrientation /Portrait /RemoveBackground false /ShrinkContent true /TreatColorsAs /MainMonitorColors /UseEmbeddedProfiles false /UseHTMLTitleAsMetadata true >> << /AddBleedMarks false /AddColorBars false /AddCropMarks false /AddPageInfo false /AddRegMarks false /BleedOffset [ 0 0 0 0 ] /ConvertColors /ConvertToRGB /DestinationProfileName (sRGB IEC61966-2.1) /DestinationProfileSelector /UseName /Downsample16BitImages true /FlattenerPreset << /PresetSelector /MediumResolution >> /FormElements true /GenerateStructure false /IncludeBookmarks false /IncludeHyperlinks false /IncludeInteractive false /IncludeLayers false /IncludeProfiles true /MarksOffset 6 /MarksWeight 0.250000 /MultimediaHandling /UseObjectSettings /Namespace [ (Adobe) (CreativeSuite) (2.0) ] /PDFXOutputIntentProfileSelector /DocumentCMYK /PageMarksFile /RomanDefault /PreserveEditing true /UntaggedCMYKHandling /UseDocumentProfile /UntaggedRGBHandling /LeaveUntagged /UseDocumentBleed false >> ] >> setdistillerparams << /HWResolution [600 600] /PageSize [419.528 595.276] >> setpagedevice
id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-48871
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
issn	XXXX-0059
language	Ukrainian
last_indexed	2025-12-07T18:19:59Z
publishDate	2012
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
record_format	dspace
spelling	Абрамчук, В.С. Абрамчук, І.В. 2013-09-05T08:56:24Z 2013-09-05T08:56:24Z 2012 Наближене інтегрування жорстких задач / В.С. Абрамчук, І.В. Абрамчук // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2012. — Вип. 7. — С. 3-17. — Бібліогр.: 12 назв. — укр. XXXX-0059 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/48871 519.63 Досліджено задачі наближеного розв’язування жорстких систем звичайних диференціальних рівнянь (ЗДР) та інтегрування погано обумовлених функцій. The problems of approximate solution of stiff differential equations and integration of ill-conditioned functions are researched. uk Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки Наближене інтегрування жорстких задач Article published earlier
spellingShingle	Наближене інтегрування жорстких задач Абрамчук, В.С. Абрамчук, І.В.
title	Наближене інтегрування жорстких задач
title_full	Наближене інтегрування жорстких задач
title_fullStr	Наближене інтегрування жорстких задач
title_full_unstemmed	Наближене інтегрування жорстких задач
title_short	Наближене інтегрування жорстких задач
title_sort	наближене інтегрування жорстких задач
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/48871
work_keys_str_mv	AT abramčukvs nabliženeíntegruvannâžorstkihzadač AT abramčukív nabliženeíntegruvannâžorstkihzadač

Наближене інтегрування жорстких задач

Репозитарії

Схожі ресурси