Коректна розв’язність задачі Коші для простішого класу вироджених параболічних систем рівнянь типу Колмогорова
Для вироджених модельних параболічних систем рівнянь типу Колмогорова встановлено коректну розв’язність задачі Коші у просторах початкових даних, елементами яких є узагальнені функції типу розподілів Л. Шварца. We established the correct solvability of the Cauchy problem for degenerate model parabol...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки |
|---|---|
| Дата: | 2012 |
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2012
|
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/48874 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Коректна розв’язність задачі Коші для простішого класу вироджених параболічних систем рівнянь типу Колмогорова / О.Б. Васько // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2012. — Вип. 7. — С. 44-54. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859587224105910272 |
|---|---|
| author | Васько, О.Б. |
| author_facet | Васько, О.Б. |
| citation_txt | Коректна розв’язність задачі Коші для простішого класу вироджених параболічних систем рівнянь типу Колмогорова / О.Б. Васько // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2012. — Вип. 7. — С. 44-54. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки |
| description | Для вироджених модельних параболічних систем рівнянь типу Колмогорова встановлено коректну розв’язність задачі Коші у просторах початкових даних, елементами яких є узагальнені функції типу розподілів Л. Шварца.
We established the correct solvability of the Cauchy problem for degenerate model parabolic systems of Kolmogorov-type equations in the space of initial data, elements of which are generalized functions distribution L. Shvarts type.
|
| first_indexed | 2025-11-27T11:06:33Z |
| format | Article |
| fulltext |
Математичне та комп’ютерне моделювання
44
14. Орлов В. О. Водоочисні фільтри із зернистою засипкою / В. О. Орлов. —
Рівне : НУВГП, 2005. — 163 с.
The mathematical model which describes laws of filtering and accumu-
lation of impurity in porous attachment taking into account return influence
of characteristics of process (concentration of a deposit) on characteristics
of environment (diffusion factors, mass exchange) is constructed and in-
cludes possibility of definition unknown mass exchange factor. The algo-
rithm of the decision of the corresponding indignant problem which, in
particular, provides possibility of definition of time of protective action of
the filter is offered. Results of calculations of distribution of specific con-
centration and mass volume of impurity (on length filtering porous attach-
ment) for the different moments of time are resulted.
Key words: a nonlinear problem, filtering, a return problem, singular
indignations, аsymptotic, identification of unknown parameter.
Отримано: 19.04.2012
УДК 517.956.4
О. Б. Васько, асистент
Буковинський державний фінансово-економічний
університет, м. Чернівці
КОРЕКТНА РОЗВ’ЯЗНІСТЬ ЗАДАЧІ КОШІ
ДЛЯ ПРОСТІШОГО КЛАСУ ВИРОДЖЕНИХ ПАРАБОЛІЧНИХ
СИСТЕМ РІВНЯНЬ ТИПУ КОЛМОГОРОВА
Для вироджених модельних параболічних систем рівнянь
типу Колмогорова встановлено коректну розв’язність задачі
Коші у просторах початкових даних, елементами яких є уза-
гальнені функції типу розподілів Л. Шварца.
Ключові слова: вироджені параболічні системи, задача
Коші, коректна розв’язність, основні та узагальнені функції.
Вступ. При математичному моделюванні броунівського руху фі-
зичної системи А. М. Колмогоров прийшов до рівняння, яке у прос-
тішому випадку має вигляд [1]
2 1
2 2 2
1 1 2( ; ) ( ; ), ( ; ), ( ; ) 0; t x xx u t x a u t x x x x t x T .
Це рівняння є виродженим стосовно змінної 2x з параболічною
за Петровським диференціальною частиною
1
2 2
t xa . Воно має ва-
жливе значення при дослідженні теплових і дифузійних процесів з
інерцією в однорідних середовищах. Відтак, наведене вище рівняння
багаторазово узагальнювалось і досліджувалось різними авторами
© О. Б. Васько, 2012
Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 7
45
(див. [2]). Системи ж рівнянь типу Колмогорова першою розпочала
досліджувати Г. П. Малицька [3]. Вона, для простішого випадку сис-
тем, побудувала фундаментальну матрицю розв’язків задачі Коші
(ФМРЗК) та дослідила її властивості.
У цій статті з’ясовано, що задача Коші для систем з [3] коректно
розв’язна в просторі початкових даних — узагальнених функцій типу
розподілів Л. Шварца, а її розв’язок є нескінченно диференційовною
вектор-функцією за просторовою змінною.
1. Допоміжні відомості. Постановка задачі Коші. Нехай , і
— множини всіх натуральних, дійсних та комплексних чисел відпо-
відно, : 0 , : (0; ) , i — уявна одиниця, | |:i
2 2: , якщо 2
1 2{ , } ; ( ) :: ; x x x ; (·,·) — скаляр-
ний добуток в 2 , : ( , )x x x для 2x , 1 2
1 2: l llz z z , 1 2
1 2| | : | | | |l llz z z ,
якщо 2
1 2: ( ; ) :z z z , 2
1 2( ; ) :l l l , * 1
1 ,
2b
* 1
:
2b
; 1 2| |:| | | |x x x , : ( ; ) | ,n n
M t x t M x , , — результат
дії функціонала на основну функцію, при цьому, якщо 1;( ; )mf f f і
, 1
(·) (·)
m
lj l j
, то 1
1 1
, : , ; ; , .
m m
r r r mr
r r
f col f f
Наведемо необхідні відомості про простори типу S , де S —
простір основних функцій Л. Шварца [4]. Для довільних 0,
0 покладемо
2: | { , , } { , }S S c A B k m
| | | |2 : | ( ) | . k mk m k m
xx x x cA B k m
Цей простір з відповідною топологією є об’єднанням повних досконалих
зліченно-нормованих просторів із неперервними операціями додавання,
віднімання, множення, диференціювання та звичайного зсуву h на крок
2h , остання з яких є ще й нескінченно диференційовною.
При 1 простір S
є нетривіальним і містить тільки ті не-
скінченно диференційовні в 2 функції , для яких виконуються оцінки
1/
( )
m xm m
x x cB m e
, 2 ,m 2x ,
де , ,c B — додатні сталі, залежні від .
Математичне та комп’ютерне моделювання
46
При 0 1 простір S
складається тільки з тих функцій , які
продовжуються з 2 до цілих функцій ( )x iy , 2( )x iy , причому
1/ 1/(1 )
1 2| ( ) | exp | | | | ,x iy c x y
з деякими 1 2{ , , }c .
Якщо 1 , то елементи відповідного простору S
допус-
кають аналітичне продовження в деяку залежну від множину
2( ) | .x iy y ‖ ‖
Якщо ж 1 , то простір S
містить і фінітні функції. Просто-
ри типу S пов’язані між собою перетворенням Фур’є F , зокрема,
правильним є співвідношення [ ]F S S
, де
2
( , )[ ] : | ( ) ( ) , i xF X x e dx X
.
Позначимо топологічно спряжений з S
простір через S
.
Якщо f належить до простору S
, то і її похідна m
x
f , 2m ,
зсув ( )f ax h , 0a , і добуток f , де — мультиплікатор у S
,
теж належать до нього. Для того, щоб послідовність , 1 S
збігалась у S
до S
при 0 1 , необхідно і досить, щоб вона:
1) правильно збігалась на 2 , тобто ( ) ( )
z
z z
(рівномірно що-
до z на кожному компакті 2K );
2) була обмежена в S
:
2
1 2{ , , } 1 ( ) : c x iy
1/ 1/(1 )
1 2| ( ) | exp | | | | .x iy c x y
Перетворення Фур’є узагальненої функції f S
діє за пра-
вилом
2[ ], [ ] : (2 ) , ,F f F f S
;
і є узагальненою функцією визначеною на [ ]F S
. Обернене перетворен-
ня Фур’є 1F узагальненої функції [ ]g F S
задається формулою
Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 7
47
1 1 2[ ], [ ] : (2 ) ,F g F g , [ ]F S
.
Зафіксуємо довільно 0T , , 2 m b і розглянемо систему
вироджених параболічних рівнянь типу Колмогорова вигляду [3]
2 11 ( ; ) ( ; ) ( ; ),t x xx u t x t i u t x 2
(0; ]( ; ) ,Tt x (1)
де 1: ( ;...; )mu col u u ,
1 1
2
0 , 1
( ; ) ( )( )
mb
ij k
x xk
k i j
t i a t i
— матричний
диференціальний вираз, коефіцієнти якого є неперервними на [0; ]T
функціями і такими, що відповідний диференціальний вираз
1
( ; )t xt i
є 2b -параболічним за Петровським на множині 1
(0; ]T , тобто
0 0 1 0;t T :
2
1 0 1max Re ( ; )
b
j
j
t .
Тут j — власні числа головного матричного символа
0 2
1 1 2 , 1
( ; ) ( )
mijb
b i j
t a t
.
Задамо для системи (1) початкову умову
0
( ; )
t
u t f
, f
(2)
де
— векторний аналог простору S
. Розв’язком задачі Коші (1),
(2) назвемо вектор-функцію u , яка диференційована за t , нескінчен-
но диференційована за x на множині 2
(0; ]T і задовольняє систему
(1) у звичайному розумінні, а початкову умову (2) у сенсі збіжності в
просторі S
, тобто
( ; ), ( ) , ( )
0
u t E f E
t
S
,
де E — одинична матриця порядку m .
Функціональна матриця ( , ; , )G t x розмірності m m , визначе-
на для всіх ( ; )t x 2
(0; ]T й залежна від параметричної точки
( ; ) 2
(0; ]T , називається ФМРЗК для системи (1), якщо:
1) G як функція аргументу ( ; )t x задовольняє систему (1) на 2
( ; ]T ,
[0; )T ;
Математичне та комп’ютерне моделювання
48
2) виконується граничне співвідношення
( , ; , ) ( )
0
G t x x E
t
у розумінні слабкої збіжності в просторі S розподілів Л. Шварца, де
( ) — дельта-функція Дірака.
ФМРЗК для системи (1) має вигляд [3]
1 2 2
2
( ,( ( ) ; ))( , )
2
1
( , ; , ) ( ) ,
(2 )
i y ti x tG t x y e e d
(3)
де
1 1
1 2 2 1
1 1
( ) ( ( ) ) .
rt tt r
t
j r
r j
E t t dt dt dt
При дослідженні властивостей матричної функції ( )t
встано-
влено, що вона допускає аналітичне продовження у комплексний
простір 2 до цілої матричної функції, причому
2 2
1 1 2
2 2 2
2 1 2
| ( ) | exp{ ( )[ ( (( ) ) )
( (( ) ) )]}, , 0 ,
t b b
b b
i c t t
t i t T
(4)
де 1 2, ,c — додатні сталі, залежні лише від T .
Ця оцінка є достатньою умовою належності до простору
1
1
2
1
2
b
b
S
при фіксованих змінних t і кожного елемента матриці ( )t
(як
функції просторової змінної).
Означимо оператор ,
tT , який діє за правилом
,
1 1 2 1 2( ) ( , )tT x x x t .
Тоді за допомогою цього оператора ФМРЗК G можна зобразити так:
, 1( , ; , ) [ ( )] ( , ; , ),x t
t xG t x T F t x
0 t T , 2, ,x
де позначення xF означає, що перетворення Фур’є діє за змінною
і переводить її в x ).
Ураховуючи властивості оператора ,
tT (див. [5]), одержимо
належність матричної функції G стосовно кожної просторової змін-
ної x і до відповідного векторного простору
*
*
(при фіксованих
t і ), а також її (сильну) диференційовність за змінною ( ; ]t T та
нескінченну диференційовність за змінною 2x у цьому просторі
(як абстрактної функції цих змінних).
Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 7
49
2. Коректна розв’язність задачі Коші. Коректну розв’язність
задачі Коші (1), (2) характеризує наступне твердження.
Теорема. Нехай початкова вектор-функція f є елементом просто-
ру *
*
. Тоді для задачі Коші (1), (2) існує єдиний неперервно залеж-
ний від початкових даних розв’язок, який диференційовний за t , нескін-
ченно диференційовний за змінною x і зображується формулою
( ; ) , ( , ;0, )u t x f G t x , 2
(0; ]( ; ) Tt x .
Доведення. Диференційовність за змінною t і нескінченна ди-
ференційовність за змінною x на множині 2
(0; ]T вектор-функції
, ( , ;0,·)f G t x безпосередньо випливає із сильної диференційовності
у просторі
*
*
матричної функції G за цими змінними.
Використовуючи властивість лінійності функціонала f , а також
рівність
2 11( , ;0, ) ( ; ) ( , ;0, ),t x xG t x x t i G t x
отримаємо
( ; ) , ( , ;0,·)t tu t x f G t x
2 11, ( ; ) ( , ;0,·)x xf x t i G t x
2 1
2
1 (0; ]( ; ) ( ; ), ( ; ) . x x Tx t i u t x t x
Таким чином, вектор-функція , ( , ;0,·)f G t x є звичайним розв'язком
системи (1) на множині 2
(0; ]T .
Перевіримо виконання початкової умови (2) для зазначеної век-
тор-функції ( ;·)u t . Для цього зафіксуємо довільно елемент
*
*S
і,
врахувавши означення оберненого перетворення Фур'є узагальненої
функції, а також регулярність функціонала ( ;·)u t , одержимо
2( ; ), ( ) (2 )u t x x E
2
1 1[ ], [ ( , ;0, )] ( )F f F G t x x dx
2
1
,[ ], ( ) , 0 , tF f I x dx t T
де 2 1
, ( ) : (2 ) ( ) [ ( , ;0, )].tI x x F G t x
Далі, перевіримо виконання наступних умов інтегровності абст-
рактної матриці , ( )tI x за x при кожному фіксованому (0; ]t T у
просторі
*
*S
:
Математичне та комп’ютерне моделювання
50
1) інтегровність матричної функції , ( )tI x за x у просторі
*
*S
на
кожній множині
2( ) : | , 0K r x x r r ‖ ‖ ;
2)
*
*
, ,
( )
( ) : ( ) ( ),t t t
r
r
K r
J I x dx J
2 , 0 ,t T
де
2
,( ) : ( ) .t tJ I x dx
Виконання умови 1) забезпечує неперервність абстрактної мат-
риці , ( )tI x на множині ( )K r у сенсі топології простору
*
*
при
2 , (0; ]t T . Проте ця неперервність стає очевидною, якщо зва-
жити на сильну диференційовність стосовно змінної x матриці
( , ;0, )G t x у цьому просторі, а також на неперервність оператора
перетворення Фур'є у просторах типу S .
Перевіримо виконання умови 2. Для цього, враховуючи критерій
збіжності у просторі
*
*S
, необхідно переконатись у виконанні на-
ступних умов:
І) ,| ( ) ( ) | 0, 0 , t t
r
r
J J t T
для довільного компакта 2 ;
ІІ) обмеженість послідовності , (·),t
rJ r , у
*
*
при кожних фік-
сованих (0; ]t T .
Безпосередньо із структури (3) ФМРЗК G одержуємо, що
1 2 2( ,( ( ) ; ))2( , ; , ) (2 ) [ i x z t z z
zG t x F e
1 2 2( ( ) ; )],t z t z z
2{ , } ,0 ,x t T
i, відтак приходимо до такого зображення матричної функції , ( )t
zI x :
1 2 2( ,( ; ))
, ( ) ( )i x z tz zt
zI x e x 2
0 1 2 2( ; ), { , } , 0 . t z tz z x z t T
Надалі користуватимемося цим зображенням, яке, між іншим, є
зручним для аналітичного продовження за змінною z матричної функції
, ( )t
zI x у комплексний простір 2 .
Оскільки
*
*S
, то
*2 1/{ , } : | ( ) | exp | | . c x x c x
Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 7
51
Для кожної кулі 2( ) : { | }, 0,K ‖ ‖ маємо
1 2 2
2 2
( ,( ; ))
, ( ) | ( ) || || | i x ttI x dx x e dx
0 1 2 2| ( ; ) |t t
*1/
1 2 2
2
| | ( ,( ; ))2
( ),
sup | |
x i x t
K x
c e e
*1/
2
| |
2
0 1 2 2
( )
sup | ( ; ) |
xt
K
t e dx
1( , ) , 0 , ( ). c t t T K
Отже, інтеграл
2
, ( )tI x dx
збігається рівномірно щодо на довільній
кулі ( )K при кожному фіксованому (0; ]t T . Звідси та з рівності
2 \ ( )
, ,( ) ( ) ( ) ,
K r
t t t
rJ J I x dx
дістаємо виконання умови І).
Умова ІІ) теж виконується. Справді, для всіх 20,r i
(0; ]t T маємо
2
, ,| ( ) | | ( ) |t t
rJ I x dx
2
1 2 2
2
| | ( ,( ; ))
0 1 2 2| | | ( ; ) | .
bx i x t tc e e dx t
Безпосередньо з оцінки (4), для кожного фіксованого (0; ]t T
одержуємо існування таких додатних сталих 0c , i , з якими для
всіх 2 виконується нерівність
2 2|Re | |Im |
0 1 2 2 0| ( ; ) | .
b bt t c e
Зваживши тепер на те, що
2
1 2 2
2 2
( ,( ; ))( )
,
sup | |
b i x tx
x
e e
‖‖‖‖
при кожному 0 і (0; ]t T , дістанемо оцінку
2 2
0 1|Re | |Im |
,| ( ) | ,
b bt
rJ ce
20, , (0; ],r t T
в якій оціночні сталі залежать лише від t . Це й означає обмеженість
послідовності , (·),t
rJ r , у просторі
*
*
при кожному фіксовано-
му (0; ]t T .
Математичне та комп’ютерне моделювання
52
Таким чином, встановлено рівність
1( ; ), ( ) [ ], ( ) ,tu t x x E F f J
*
*
2
(0; ], ( ; ) ,TS t x
(5)
з якої згідно з аналогом відповідного твердження леми 6 з [5] одержуємо
0
( ; ), ( )
t
u t x x E
2 1 1(2 ) [ ]( ), [ ]( ) , ,F f F E f E
для довільних
*
*S
.
Отже, виконання початкової умови (2) для зазначеної вектор-
функції ( ; )u t x встановлено.
Доведемо далі єдиність розв'язку задачі Коші (1), (2). Скориста-
ємося відомим способом Хольмгрена, належно пристосувавши його
до даного випадку. Нагадаємо, що цей спосіб характеризується тим,
що з існування розв'язку заданої системи рівнянь при довільних по-
чаткових даних з певного основного простору випливає єдиність роз-
в'язку задачі Коші для відповідної спряженої системи рівнянь.
Розглянемо спряжену задачу Коші:
1
* ( ) ( ; ) 0,t xP v t x 2
[0; )( ; ) ,t x (6)
*
*
*
*0
( ; ) ( ), ,
S
t
v t
(7)
де (0; ]T , a
1
* ( )xP — спряжений за Лагранжем з
1 21( ) :x xP x
1
( ; )xt i диференціальний вираз.
Оскільки
*
*
, то згідно з [3] класичний розв'язок системи (6)
зображується рівністю
2
*( ;·) ( ,·; , ) ( ) , 0 , v t G t d t T
в якій *G — відповідна ФМРЗК для системи (6).
Міркуючи як у випадку задачі Коші (1), (2), дотримуючись при
цьому схеми, запропонованої в [5], переконуємося у тому, що вектор-
функція ( ;·)v t є елементом простору
*
*
при всіх t i ,
0 t T , яка задовольняє відповідну початкову умову (7).
Далі, означимо оператор
* *
* *:t
рівністю
(·) : ( ;·), 0 . t v t t T
Він є лінійним, неперервним і таким, що для всіх
*
*
*
*
1
*
0
( ) , .
St t t
t x t
P
(8)
Розглянемо тепер розв'язок ( ;·) , ( ,·;0, )u t f G t ,
*
*( )f
, за-
дачі Коші (1), (2), який, очевидно, є елементом простору
*
*( )
. Для єди-
Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 7
53
ності розв'язку цієї задачі Коші досить довести, що єдиним розв'язком сис-
теми (1) при нульовій початковій умові (2) може бути лише 0u .
Застосуємо функціонал u до функції t
, де — довільний
елемент з
*
*
, і розглянемо : ,
t
tu
. Диференціюючи
t
за змінною t та використовуючи (1) і (8), одержимо [4, с.96]
, ,
t
t t
t t tu u
*, ,t tPu u P
*
*, , 0, ,t tPu Pu
0 .t T
З останнього співвідношення випливає, що
t
— стала вели-
чина. Якщо тепер урахувати початкову умову
0
( ;·) 0
t
u t
, то мати-
мемо, що для всіх
*
*[0; ) 0,
t
t
. Зокрема, при 0t ,
згідно (8) і тим, що елементи вектор-функції u − неперервні функціо-
нали з
*
*( )S
, маємо
*
*, , .
t
u
Таким чином, ( ; ) 0u t
для [0; ]t . Довільність вибору з (0; ]T забезпечує виконання
останньої рівності для всіх [0; ]t T .
Наостанок, переконаємось у неперервній залежності розв'язку зада-
чі Коші (1), (2) від початкових даних. Для цього досить установити, що
*
*
*
*
( )
{ ; , 1} ( ) : ,
S
f f f f
відповідна послідовність розв'язків
*
*( )
: , , : .
S
u f G f G u
Проте цей факт стає очевидним, якщо зважити на рівність (5) та власти-
вість неперервності оператора перетворення Фур'є у просторі *
*S
.
Теорему доведено.
Висновок. Задача Коші для системи (1) вироджених параболічних
рівнянь типу Колмогорова з відповідними узагальненими початковими
даними типу розподілів Гельфанда І. М. і Шилова Г. Є. коректно
розв’язна, причому її розв’язок є звичайною нескінченно диференційов-
ною за просторовою змінною вектор функцією.
Математичне та комп’ютерне моделювання
54
Список використаних джерел:
1. Kolmogoroff A. N. Zufällige Bewegungen (Zur Theorie der Brownishen Bewe-
gungen) / A. N. Kolmogoroff // Ann. Math. — 1934. — Vol. 35. — P. 116–117.
2. Eidelman S. D. Analytic methods in the theory of differential and pseudo-diffe-
rential equations of parabolic type / S. D. Eidelman, S. D. Ivasyshen, A. N. Koc-
hubei // Operator Theory: Adv. and Appl. — 2004. — Vol. 152. — 390 p.
3. Малицька Г. П. Системи рівнянь типу Колмогорова / Г. П. Малицька //
Укр. мат. журн. — 2008. — Т. 60, №12. — С. 1650–1663.
4. Гельфанд И. М. Пространства основных и обобщенных функций /
И. М. Гельфанд, Г. Е. Шилов. — М. : Физматгиз, 1958. — 307 с.
5. Івасишен С. Д. Задача Коші для одного класу вироджених параболічних
рівнянь типу Колмогорова з додатним родом / С. Д. Івасишен, В. А. Літо-
вченко // Укр. мат. журн. — 2009. — Т. 61, №8. — С. 1066–1087.
We established the correct solvability of the Cauchy problem for de-
generate model parabolic systems of Kolmogorov-type equations in the
space of initial data, elements of which are generalized functions distribu-
tion L. Shvarts type.
Key words: degenerate parabolic system, the Cauchy problem, correct
solvability, fundamental and generalized functions.
Отримано: 19.06.2012
УДК 517.5
В. О. Гнатюк, канд. фіз.-мат. наук,
У. В. Гудима, канд. фіз.-мат. наук
Кам'янець-Подільський національний університет
імені Івана Огієнка, м. Кам'янець-Подільський
НЕОБХІДНІ, ДОСТАТНІ УМОВИ І КРИТЕРІЇ
ЕКСТРЕМАЛЬНОСТІ ЕЛЕМЕНТА ДЛЯ ЗАДАЧІ НАЙКРАЩОЇ
У РОЗУМІННІ ОПУКЛОЇ ФУНКЦІЇ РІВНОМІРНОЇ
АПРОКСИМАЦІЇ КОМПАКТНОЗНАЧНОГО ВІДОБРАЖЕННЯ
У статті встановлено необхідні, достатні умови і критерії
екстремальності елемента для задачі найкращої у розумінні
опуклої неперервної функції p рівномірної апроксимації не-
перервного компактнозначного відображення множиною не-
перервних однозначних відображень з використанням крайніх
точок субдиференціалів функції p .
Ключові слова: компактнозначне відображення, найкра-
ща у розумінні опуклої функції рівномірна апроксимація, край-
ні точки, субградієнт, критерії.
Вступ. У статті для задачі найкращої у розумінні опуклої непере-
рвної функції p рівномірної апроксимації неперервного компактнознач-
ного відображення множиною неперервних однозначних відображень
© В. О. Гнатюк, У. В. Гудима, 2012
<<
/ASCII85EncodePages false
/AllowTransparency false
/AutoPositionEPSFiles true
/AutoRotatePages /All
/Binding /Left
/CalGrayProfile (Gray Gamma 2.2)
/CalRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1)
/CalCMYKProfile (Coated FOGRA27 \050ISO 12647-2:2004\051)
/sRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1)
/CannotEmbedFontPolicy /Warning
/CompatibilityLevel 1.3
/CompressObjects /Tags
/CompressPages true
/ConvertImagesToIndexed true
/PassThroughJPEGImages true
/CreateJobTicket false
/DefaultRenderingIntent /Default
/DetectBlends true
/DetectCurves 0.1000
/ColorConversionStrategy /sRGB
/DoThumbnails false
/EmbedAllFonts true
/EmbedOpenType false
/ParseICCProfilesInComments true
/EmbedJobOptions true
/DSCReportingLevel 0
/EmitDSCWarnings false
/EndPage -1
/ImageMemory 1048576
/LockDistillerParams false
/MaxSubsetPct 100
/Optimize true
/OPM 1
/ParseDSCComments true
/ParseDSCCommentsForDocInfo true
/PreserveCopyPage true
/PreserveDICMYKValues true
/PreserveEPSInfo false
/PreserveFlatness false
/PreserveHalftoneInfo false
/PreserveOPIComments false
/PreserveOverprintSettings true
/StartPage 1
/SubsetFonts true
/TransferFunctionInfo /Apply
/UCRandBGInfo /Remove
/UsePrologue false
/ColorSettingsFile ()
/AlwaysEmbed [ true
]
/NeverEmbed [ true
/Arial-Black
/Arial-BlackItalic
/Arial-BoldItalicMT
/Arial-BoldMT
/Arial-ItalicMT
/ArialMT
/ArialNarrow
/ArialNarrow-Bold
/ArialNarrow-BoldItalic
/ArialNarrow-Italic
/ArialUnicodeMS
/CenturyGothic
/CenturyGothic-Bold
/CenturyGothic-BoldItalic
/CenturyGothic-Italic
/CourierNewPS-BoldItalicMT
/CourierNewPS-BoldMT
/CourierNewPS-ItalicMT
/CourierNewPSMT
/Georgia
/Georgia-Bold
/Georgia-BoldItalic
/Georgia-Italic
/Impact
/LucidaConsole
/Tahoma
/Tahoma-Bold
/TimesNewRomanMT-ExtraBold
/TimesNewRomanPS-BoldItalicMT
/TimesNewRomanPS-BoldMT
/TimesNewRomanPS-ItalicMT
/TimesNewRomanPSMT
/Trebuchet-BoldItalic
/TrebuchetMS
/TrebuchetMS-Bold
/TrebuchetMS-Italic
/Verdana
/Verdana-Bold
/Verdana-BoldItalic
/Verdana-Italic
]
/AntiAliasColorImages false
/CropColorImages false
/ColorImageMinResolution 150
/ColorImageMinResolutionPolicy /OK
/DownsampleColorImages true
/ColorImageDownsampleType /Bicubic
/ColorImageResolution 150
/ColorImageDepth -1
/ColorImageMinDownsampleDepth 1
/ColorImageDownsampleThreshold 1.50000
/EncodeColorImages true
/ColorImageFilter /DCTEncode
/AutoFilterColorImages true
/ColorImageAutoFilterStrategy /JPEG
/ColorACSImageDict <<
/QFactor 0.76
/HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2]
>>
/ColorImageDict <<
/QFactor 0.76
/HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2]
>>
/JPEG2000ColorACSImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 15
>>
/JPEG2000ColorImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 15
>>
/AntiAliasGrayImages false
/CropGrayImages false
/GrayImageMinResolution 150
/GrayImageMinResolutionPolicy /OK
/DownsampleGrayImages true
/GrayImageDownsampleType /Bicubic
/GrayImageResolution 150
/GrayImageDepth -1
/GrayImageMinDownsampleDepth 2
/GrayImageDownsampleThreshold 1.50000
/EncodeGrayImages true
/GrayImageFilter /DCTEncode
/AutoFilterGrayImages true
/GrayImageAutoFilterStrategy /JPEG
/GrayACSImageDict <<
/QFactor 0.76
/HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2]
>>
/GrayImageDict <<
/QFactor 0.76
/HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2]
>>
/JPEG2000GrayACSImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 15
>>
/JPEG2000GrayImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 15
>>
/AntiAliasMonoImages false
/CropMonoImages false
/MonoImageMinResolution 1200
/MonoImageMinResolutionPolicy /OK
/DownsampleMonoImages true
/MonoImageDownsampleType /Bicubic
/MonoImageResolution 1200
/MonoImageDepth -1
/MonoImageDownsampleThreshold 1.50000
/EncodeMonoImages true
/MonoImageFilter /CCITTFaxEncode
/MonoImageDict <<
/K -1
>>
/AllowPSXObjects true
/CheckCompliance [
/PDFX1a:2001
]
/PDFX1aCheck false
/PDFX3Check false
/PDFXCompliantPDFOnly false
/PDFXNoTrimBoxError true
/PDFXTrimBoxToMediaBoxOffset [
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
]
/PDFXSetBleedBoxToMediaBox true
/PDFXBleedBoxToTrimBoxOffset [
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
]
/PDFXOutputIntentProfile (None)
/PDFXOutputConditionIdentifier ()
/PDFXOutputCondition ()
/PDFXRegistryName ()
/PDFXTrapped /False
/CreateJDFFile false
/Description <<
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
/BGR <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>
/CHS <FEFF4f7f75288fd94e9b8bbe5b9a521b5efa7684002000410064006f006200650020005000440046002065876863900275284e8e55464e1a65876863768467e5770b548c62535370300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c676562535f00521b5efa768400200050004400460020658768633002>
/CHT <FEFF4f7f752890194e9b8a2d7f6e5efa7acb7684002000410064006f006200650020005000440046002065874ef69069752865bc666e901a554652d965874ef6768467e5770b548c52175370300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c4f86958b555f5df25efa7acb76840020005000440046002065874ef63002>
/CZE <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>
/DAN <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>
/DEU <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>
/ENU (Use these settings to create Adobe PDF documents suitable for reliable viewing and printing of business documents. Created PDF documents can be opened with Acrobat and Adobe Reader 5.0 and later.)
/ESP <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>
/ETI <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>
/FRA <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>
/GRE <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>
/HEB <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>
/HRV (Za stvaranje Adobe PDF dokumenata pogodnih za pouzdani prikaz i ispis poslovnih dokumenata koristite ove postavke. Stvoreni PDF dokumenti mogu se otvoriti Acrobat i Adobe Reader 5.0 i kasnijim verzijama.)
/HUN <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>
/ITA (Utilizzare queste impostazioni per creare documenti Adobe PDF adatti per visualizzare e stampare documenti aziendali in modo affidabile. I documenti PDF creati possono essere aperti con Acrobat e Adobe Reader 5.0 e versioni successive.)
/JPN <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>
/KOR <FEFFc7740020c124c815c7440020c0acc6a9d558c5ec0020be44c988b2c8c2a40020bb38c11cb97c0020c548c815c801c73cb85c0020bcf4ace00020c778c1c4d558b2940020b3700020ac00c7a50020c801d569d55c002000410064006f0062006500200050004400460020bb38c11cb97c0020c791c131d569b2c8b2e4002e0020c774b807ac8c0020c791c131b41c00200050004400460020bb38c11cb2940020004100630072006f0062006100740020bc0f002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e00300020c774c0c1c5d0c11c0020c5f40020c2180020c788c2b5b2c8b2e4002e>
/LTH <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>
/LVI <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>
/NLD (Gebruik deze instellingen om Adobe PDF-documenten te maken waarmee zakelijke documenten betrouwbaar kunnen worden weergegeven en afgedrukt. De gemaakte PDF-documenten kunnen worden geopend met Acrobat en Adobe Reader 5.0 en hoger.)
/NOR <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>
/POL <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>
/PTB <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>
/RUM <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>
/SKY <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>
/SLV <FEFF005400650020006e006100730074006100760069007400760065002000750070006f0072006100620069007400650020007a00610020007500730074007600610072006a0061006e006a006500200064006f006b0075006d0065006e0074006f0076002000410064006f006200650020005000440046002c0020007000720069006d00650072006e006900680020007a00610020007a0061006e00650073006c006a00690076006f0020006f0067006c00650064006f00760061006e006a006500200069006e0020007400690073006b0061006e006a006500200070006f0073006c006f0076006e0069006800200064006f006b0075006d0065006e0074006f0076002e00200020005500730074007600610072006a0065006e006500200064006f006b0075006d0065006e0074006500200050004400460020006a00650020006d006f0067006f010d00650020006f0064007000720065007400690020007a0020004100630072006f00620061007400200069006e002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000200069006e0020006e006f00760065006a01610069006d002e>
/SUO <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>
/SVE <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>
/TUR <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>
/UKR <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>
/RUS <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>
>>
/Namespace [
(Adobe)
(Common)
(1.0)
]
/OtherNamespaces [
<<
/AsReaderSpreads false
/CropImagesToFrames true
/ErrorControl /WarnAndContinue
/FlattenerIgnoreSpreadOverrides false
/IncludeGuidesGrids false
/IncludeNonPrinting false
/IncludeSlug false
/Namespace [
(Adobe)
(InDesign)
(4.0)
]
/OmitPlacedBitmaps false
/OmitPlacedEPS false
/OmitPlacedPDF false
/SimulateOverprint /Legacy
>>
<<
/AllowImageBreaks true
/AllowTableBreaks true
/ExpandPage false
/HonorBaseURL true
/HonorRolloverEffect false
/IgnoreHTMLPageBreaks false
/IncludeHeaderFooter false
/MarginOffset [
0
0
0
0
]
/MetadataAuthor ()
/MetadataKeywords ()
/MetadataSubject ()
/MetadataTitle ()
/MetricPageSize [
0
0
]
/MetricUnit /inch
/MobileCompatible 0
/Namespace [
(Adobe)
(GoLive)
(8.0)
]
/OpenZoomToHTMLFontSize false
/PageOrientation /Portrait
/RemoveBackground false
/ShrinkContent true
/TreatColorsAs /MainMonitorColors
/UseEmbeddedProfiles false
/UseHTMLTitleAsMetadata true
>>
<<
/AddBleedMarks false
/AddColorBars false
/AddCropMarks false
/AddPageInfo false
/AddRegMarks false
/BleedOffset [
0
0
0
0
]
/ConvertColors /ConvertToRGB
/DestinationProfileName (sRGB IEC61966-2.1)
/DestinationProfileSelector /UseName
/Downsample16BitImages true
/FlattenerPreset <<
/PresetSelector /MediumResolution
>>
/FormElements true
/GenerateStructure false
/IncludeBookmarks false
/IncludeHyperlinks false
/IncludeInteractive false
/IncludeLayers false
/IncludeProfiles true
/MarksOffset 6
/MarksWeight 0.250000
/MultimediaHandling /UseObjectSettings
/Namespace [
(Adobe)
(CreativeSuite)
(2.0)
]
/PDFXOutputIntentProfileSelector /DocumentCMYK
/PageMarksFile /RomanDefault
/PreserveEditing true
/UntaggedCMYKHandling /UseDocumentProfile
/UntaggedRGBHandling /LeaveUntagged
/UseDocumentBleed false
>>
]
>> setdistillerparams
<<
/HWResolution [600 600]
/PageSize [419.528 595.276]
>> setpagedevice
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-48874 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | XXXX-0059 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-11-27T11:06:33Z |
| publishDate | 2012 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Васько, О.Б. 2013-09-05T09:03:00Z 2013-09-05T09:03:00Z 2012 Коректна розв’язність задачі Коші для простішого класу вироджених параболічних систем рівнянь типу Колмогорова / О.Б. Васько // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2012. — Вип. 7. — С. 44-54. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. XXXX-0059 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/48874 517.956.4 Для вироджених модельних параболічних систем рівнянь типу Колмогорова встановлено коректну розв’язність задачі Коші у просторах початкових даних, елементами яких є узагальнені функції типу розподілів Л. Шварца. We established the correct solvability of the Cauchy problem for degenerate model parabolic systems of Kolmogorov-type equations in the space of initial data, elements of which are generalized functions distribution L. Shvarts type. uk Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки Коректна розв’язність задачі Коші для простішого класу вироджених параболічних систем рівнянь типу Колмогорова Article published earlier |
| spellingShingle | Коректна розв’язність задачі Коші для простішого класу вироджених параболічних систем рівнянь типу Колмогорова Васько, О.Б. |
| title | Коректна розв’язність задачі Коші для простішого класу вироджених параболічних систем рівнянь типу Колмогорова |
| title_full | Коректна розв’язність задачі Коші для простішого класу вироджених параболічних систем рівнянь типу Колмогорова |
| title_fullStr | Коректна розв’язність задачі Коші для простішого класу вироджених параболічних систем рівнянь типу Колмогорова |
| title_full_unstemmed | Коректна розв’язність задачі Коші для простішого класу вироджених параболічних систем рівнянь типу Колмогорова |
| title_short | Коректна розв’язність задачі Коші для простішого класу вироджених параболічних систем рівнянь типу Колмогорова |
| title_sort | коректна розв’язність задачі коші для простішого класу вироджених параболічних систем рівнянь типу колмогорова |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/48874 |
| work_keys_str_mv | AT vasʹkoob korektnarozvâznístʹzadačíkošídlâprostíšogoklasuvirodženihparabolíčnihsistemrívnânʹtipukolmogorova |