Збіжність процедури стохастичної апроксимації з дифузійним збуренням
Встановлено достатні умови збіжності процедури стохастичної апроксимації з дифузійним збуренням у випадку марковських переключень в схемі дифузійної апроксимації. Умови сформульовано в термінах властивостей функції Ляпунова усередненої системи за стаціонарним розподілом рівномірно ергодичного марков...
Saved in:
| Published in: | Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки |
|---|---|
| Date: | 2012 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2012
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/48880 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Збіжність процедури стохастичної апроксимації з дифузійним збуренням / О.І. Кійковська // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2012. — Вип. 7. — С. 109-117. — Бібліогр.: 8 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859762992138158080 |
|---|---|
| author | Кійковська, О.І. |
| author_facet | Кійковська, О.І. |
| citation_txt | Збіжність процедури стохастичної апроксимації з дифузійним збуренням / О.І. Кійковська // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2012. — Вип. 7. — С. 109-117. — Бібліогр.: 8 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки |
| description | Встановлено достатні умови збіжності процедури стохастичної апроксимації з дифузійним збуренням у випадку марковських переключень в схемі дифузійної апроксимації. Умови сформульовано в термінах властивостей функції Ляпунова усередненої системи за стаціонарним розподілом рівномірно ергодичного марковського процесу.
It was obtained sufficient conditions of convergence of stochastic approximation procedure with diffusion perturbation in the case of Markov switching in scheme of series. Conditions are formulated in terms of Lyapunov functions for the averaged system by stationary distribution of uniformly ergodic Markov process.
|
| first_indexed | 2025-12-02T04:39:13Z |
| format | Article |
| fulltext |
Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 7
109
УДК 519.21
О. І. Кійковська, аспірант
Національний університет «Львівська політехніка», м. Львів
ЗБІЖНІСТЬ ПРОЦЕДУРИ СТОХАСТИЧНОЇ
АПРОКСИМАЦІЇ З ДИФУЗІЙНИМ ЗБУРЕННЯМ
Встановлено достатні умови збіжності процедури стохас-
тичної апроксимації з дифузійним збуренням у випадку мар-
ковських переключень в схемі дифузійної апроксимації. Умо-
ви сформульовано в термінах властивостей функції Ляпунова
усередненої системи за стаціонарним розподілом рівномірно
ергодичного марковського процесу.
Ключові слова: дифузійний процес, стохастична апрок-
симація, марковський процес, функція Ляпунова.
Вступ. Процедура стохастичної апроксимації вперше була побу-
дована в [1] для знаходження точки рівноваги функції регресії за дис-
кретним рекурентним співвідношенням. Неперервний аналог проце-
дури розглянуто в [2], а в [3] досліджено збіжність процедури
( )du t = ( )a t [ ( ( ))C u t dt + ( , ( )) ( )t u t d t ], (0) ,u u
з похибкою вимірювання функції регресії ( ), ,dC u u R типу гаусівсь-
кого білого шуму ( ) ( )t d t , через властивості функції Ляпунова. В
роботі [4] вперше розглянуто випадок безпосередньої залежності фу-
нкції регресії від зовнішнього середовища, що описується марковсь-
кими переключеннями в схемі дифузійної апроксимації, та отримано
достатні умови збіжності процедури методом малого параметру [5] з
використанням модельної теореми Королюка [6].
Постановка задачі. Неперервна процедура стохастичної апрокси-
мації в ергодичному марковському середовищі в схемі дифузійної апро-
ксимації [6] визначається стохастичним диференціальним рівнянням:
1
02 2 2
( )
( ) ( ( ); ( )) ( ( ); ( )) ( ( ); ( )) ( ) ,
du t
t t t
a t C u t x dt C u t x dt u t x dw t
(1)
0(0) ,u u
де u — випадкова еволюція, x — марковський процес, w — вінерів-
ський процес, – малий параметр серій.
У рівнянні (1) ( ), 0,x t t — рівномірно ергодичний марковський
процес у фазовому вимірному просторі станів ( , )XX [5]. Генератор
марковського процесу визначається співвідношенням
© О. І. Кійковська, 2012
Математичне та комп’ютерне моделювання
110
( ) ( ) ( , )[ ( ) ( )],Q
X
x q x P x dy y x (2)
у банаховому просторі ( )B X дійснозначних обмежених функцій
( ), ,x x X з нормою
( ) sup ( ) ,
x X
x x
де ( , ), , ,XP x B x X B — стохастичне ядро [5], 1( ) ( ),q x g x
( ) ,x xg x E — час перебування марковського процесу в стані x ,
тобто ( )q x — «інтенсивність» часу перебування в стані x .
Стаціонарний розподіл ( ), ,XB B марковського процесу
( ), 0,x t t визначається співвідношенням
( ) ( ) ( ), ( ) ( ),
X
dx q x q dx q dx q x
де ( ), ,XB B — стацiонарний розподiл вкладеного ланцюга Ма-
ркова ( ), 0,n nx x n і n — моменти стрибків марковського проце-
су ( ), 0.x t t
Для генератора Q марковського процесу ( ), 0,x t t потенціал
0R має представлення
1
0 ( ) ,R Q
де ( ) ( ) ( ),
X
x dx x — проектор на нуль-простір оператора :Q
( ) : 0B QQN X [6].
Функції
0 0( ; ) ( ; ), 1.. , ( ; ) ( ; ), 1.. ,k kC u x C u x k d C u x C u x k d
( ; ),u x задовольняють умовам існування глобального розв’язку ево-
люційного рівняння
1
0( ) ( ( ); ) ( ( ); ) ( ( ); ) ( ),x x x xdu t C u t x dt C u t x dt u t x dw t
де ( )xu t — еволюція при фiксованому значеннi марковського про-
цесу ( ), 0.x t t
Усереднена функцiя регресiї визначається спiввiдношенням:
( ) ( ) ( , ).
X
С u dx C u x
Збіжність стохастичного процесу.
Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 7
111
Теорема. Нехай існує функція Ляпунова 3( ) ( )dV u C R усеред-
неної системи
( ) ( ( )) ,du t С u t dt (3)
що забезпечує умову експоненційної стійкості цієї системи:
С1 : ( ) ( ) ( ), 0;C u V u cV u c
та задовольняє додатковим умовам:
C2 : 1 1( ) ( ) (1 ( )), 0;B u V u c V u c
C3 : 0 0 2 2( ; ) ( ; ) ( ) (1 ( )), 0;RC u x C u x V u c V u c
C4 : 0 0 3 3( ; ) ( ; ) ( ) (1 ( )), 0;RC u x B u x V u c V u c
C5 : 0 4 4( ; ) ( ; ) ( ) (1 ( )), 0;RC u x C u x V u c V u c
C6 : 2
0 5 5( ; ) ( ; ) ( ) (1 ( )), 0;Ru x C u x V u c V u c
C7 : 0 6 6( ; ) ( ; ) ( ) (1 ( )), 0;RC u x C u x V u c V u c
C8 : 2
0 7 7( ; ) ( ; ) ( ) (1 ( )), 0;Ru x C u x V u c V u c
C9 : 0 8 8( ; ) ( ; ) ( ) (1 ( )), 0;RC u x B u x V u c V u c
C10 : 2
0 9 9( ; ) ( ; ) ( ) (1 ( )), 0,Ru x B u x V u c V u c
де
( ; ) ( ; ) ( ),C u x C u x C u ( ; ) ( ; ) ( ),B u x B u x B u
2
0 0 0( ; ) 2 ( ; ) ( ; ) ( ; ),RB u x C u x C u x u x
2
0 0 0( ) 2 ( ) ( ; ) ( ; ) ( ) ( ; ).R
X X
B u dx C u x C u x dx u x
Крім того, функції 2
0( ; ), ( ; ), ( ; ) ( )dC u x C u x u x С R рівномірно
обмежені по ,x X а 0 ( ; )C u x задовольняє умові балансу
0 0( ; ) ( ) ( ; ) 0.
X
C u x dx C u x (4)
Нормуюча функція ( ) 0a t задовольняє умовам:
Математичне та комп’ютерне моделювання
112
2
0 0
( ) , ( ) 0.a t dt a t dt
Тоді для кожного початкового значення 0(0) ,du u R
розв’язок рівняння (1) при будь-якому малому 0 , 0 достатньо
мале, збігається з ймовірністю 1 до точки рівноваги *,u що однознач-
но визначається рівнянням *( ) 0C u :
lim ( ) * 1
t
P u t u
.
Зауваження 1. Добутки ( ; ) ( )B u x V u
мають представлення [6, c. 10]
2
, 1
( ; ) ( ) ( ; ) ( ).
n
ij
i ji j
B u x V u b u x V u
x x
Зауваження 2. У випадку, коли функції 0 ( ; ), ( ; )C u x C u x — лі-
нійні, а ( )V u — квадратична, виконуються умови C2—C10 теореми.
Властивості генератора.
Лема 1. Генератор двокомпонентного марковського процесу
2
( ), , 0,t
t
u t x x t
(5)
у банаховому просторi ( , )B dR X дiйснозначних функцій ( ; )u x
2,0 ( , )dC R X має представлення
2( ; ) ( ; ) ( ) ( ; ),L Q Vt tu x u x x u x (6)
де
1
1 2( ) ( ; ) ( ) ( ; ) ( ) ( ; ),tV x u x Q x u x Q x u x (7)
1 0( ) ( ; ) ( ) ( ; ) ( ; ),Q x u x a t C u x u x
2 2
2
1
( ) ( ; ) ( ) ( ; ) ( ; ) ( ) ( ; ) ( ; ).
2
Q x u x a t C u x u x a t u x u x
Доведення. Генератор марковського процесу (5) на тест-функ-
цiях ( ; ),u x визначається спiввiдношенням
0
1
( ; ) lim [ [ ( ( ); ) ( ) , ] ( ; )].Lt t tu x E u t x u t u x x u x
(8)
Обчислимо умовне математичне сподiвання
,[ ( ( ); ) ( ) , ] ( ( ); )t t u x tE u t x u t u x x E u t x
, ( ; ).u x tE u u x
Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 7
113
Для цього приведемо iнтегральне представлення рівняння (1)
1
0
0 0
( ) (0) ( ) ( ( ); ) ( ) ( ( ); )
t t
s su t u a s C u s x ds a s C u s x ds
0
( ) ( ( ); ) ( ).
t
sa s u s x dw s
Нехай : ( ) ( ( ); ) ( ),
t
s
t
a s u s x dw s
тоді приріст u можна
представити у вигляді
1
0( ) ( ( ); ) ( ) ( ( ); ) .
t t
s s
t t
u a s C u s x ds a s C u s x ds
Одержимо наступний вигляд умовного математичного споді-
вання [6 ]
2
, ,( ; ) [ ( ; )] ( )u x t u x xE u u x E u u x I
2
, [ ( ; )] ( ) ( ).u x t xE u u x I o
Оскiльки iндикатор часу перебування в станi x має представлення
22 ( ) 2( ) 1 ( ) ( ),q x
xI e q x o
22 ( ) 2( ) 1 ( ) ( ),q x
xI e q x o
то для умовного математичного сподівання маємо
, ,
2
, ,
( ; ) [ ( ; )]
( ){ [ ( ; )] [ ( ; )]} ( ).
u x t u x
u x t u x
E u u x E u u x
q x E u u x E u u x o
(9)
Для другого доданку (9), використовуючи формулу Тейлора,
отримуємо
2 2
, ,
2
,
( ) [ ( ; )] ( ) [ ( ; )]
( ) [ ( ; ) ] ( ).
u x t u x t
u x t
q x E u u x q x E u x
q x E u x u o
(10)
Обчислимо другий доданок у (10), враховуючи вигляд
1
0( ) ( ( ); ) ( ) ( ( ); ) ( )t tu a t C u t x a t C u t x o
:
2 2
, ,( ) [ ( ; ) ] ( ) [ ( ; ){ ( ) ( ( ); )u x t u x t tq x E u x u q x E u x a t C u t x
1
0( ) ( ( ); ) ( )}] ( ).ta t C u t x o o
Отже,
2 2
, ,( ) [ ( ; )] ( ) [ ( ; )] ( ).u x t u x tq x E u u x q x E u x o
Врахувавши формулу Тейлора, формулу генератора марковсько-
го процесу (2), та рiвняння (9) отримуємо
Математичне та комп’ютерне моделювання
114
2
, , ,( ; ) [ ( ; )] ( ){ [ ( ; )]u x t u x u x tE u u x E u u x q x E u x
, ,[ ( ; )]} ( ) [ ( ; )]u x u xE u u x o E u u x
2
, ,( ){ [ ( ; )] [ ( ; ) ( ; ) ( )]} ( )u x t u xq x E u x E u x u x u o u o
.
Оскільки 2
,( ){ [ ( ; ) ( )]} ( ),u xq x E u x u o u o
то з остан-
нього маємо
2
, ,( ; ) ( ; ) [ ( ( ) ( ( ); )Qu x t u x tE u u x u x E u a t C u t x
1
0( ) ( ( ); ) ( ); )] ( ).ta t C u t x o x o
Додавши та віднявши у математичному сподіванні вираз
( ; ),z x де 1
0( ) ( ( ); ) ( ) ( ( ); )t tz u a t C u t x a t C u t x отримуємо
, ( ; )u x tE u u x
2
,( ; ) [ ( ( ); ) ( ; ) ( ; )] ( ).Q u xu x E z o x z x z x o
Використовуючи формулу Тейлора, отримуємо
2
, ,( ; ) ( ; ) ( ; )Qu x t u xE u u x u x E z x E
2 2
, ,
1
( ; ) ( ; ) ( ) ( ).
2 u x u xE z x E E z x o o
Оскільки 2 2 20, ( ( ); ( )) ( ( ); ( )) ,
t
t
E E u s x s ds u t x t
[7,
розділ 1, с. 42], отримуємо
2 2 2
, ,
1
( ; ) ( ; ) ( ; ) ( ) ( ( ); )
2
Qu x t u xE u u x u x E z x a t u t x
, ( ; ) ( ).u xE z x o
Отже, з (8) маємо
2 2
, ,
0
1 1
( ; ) lim { [ ( ; ) ( ; )] ( ) ( ; ) ( ( ); )
2
Lt u x u xu x E z x u x a t E z x u t x
2
,
0
1
( ; ) ( )} lim { [ ( ) ( ( ); ) ( ; )Q u x tu x o E a t C u t x u x
1
0( ) ( ( ); ) ( ; ) ( )]ta t C u t x u x o
2 2 21
( ) ( ( ); ) ( ; ) ( ; ) }.
2
Qa t E u t x z x u x
Враховуючи формулу Тейлора та те, що ,z u при
0, отримаємо генератор (6).
Лема 1 доведена.
Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 7
115
Лема 2. Граничний генератор Lt на збуреній тест-функції
2 4
1 2( ; ) ( ) ( ; ) ( ; ), ( ) ( ),du x u u x u x u C R визначається роз-
в’язком проблеми сингулярного збурення [6]
( ; ) ( ) ( ; ) ( ),t t tL u x L u u x u (11)
де
21
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),
2
L C Bt u a t u a t u u
( ) ( ) ( ),C u C u u
( ) ( ) ( ) ( ),B u u B u u
2
0 0 0( ) 2 ( ) ( ; ) ( ; ) ( ) ( ; ),R
X X
B u dx C u x C u x dx u x
1 0
2 0 1 2 0
( ; ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),
Q R L
Q R Q Q R L
t t
t
u x u x x u
x x u x x u
(12)
( ) ( ) [ ( ) ] ( ),L L Lt t tx u x u
1 0 1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).L Q R Q Qt x u x x u x u
Доведення. Генератор Lt
на тест-функціях ( ; ),u x визначаєть-
ся наступним чином
2 1
1 1 2( ; ) ( ) [ ( ; ) ( ) ( )] ( ; )L Q Q Q Qt u x u u x x u u x
1 1 2 1 2 2 1 2 2( ) ( ; ) ( ) ( ) [ ( ) ( ; ) ( ) ( ; ) ( ) ( ; )].Q Q Q Q Qx u x x u x u x x u x x u x
З того, що ( ) Qu N слідує рівність ( ) 0Q u . З умови
розв’язності проблеми сингулярного збурення 1 1( ; ) ( ) ( ) 0Q Qu x x u
та умови балансу (4) отримуємо представлення
1 0 1( ; ) ( ) ( ).R Qu x x u
Згідно з розв’язком проблеми сингулярного збурення [6, с. 141]
маємо
2 ( ; ) ( ) ( ) ( ),Q L Lt tu x x u u
де граничний генеретор ( )Lt u обчислюється за співвідношенням [5, с. 143]
( ) ( ) ( ) ( ).L Lt t
X
u dx x u
Отже, в позначеннях Леми 2 маємо
2 0( ; ) ( ) ( ).R Ltu x x u
Беручи до уваги вигляд збурень 1 та 2 , одержуємо вигляд
граничного генератора та залишкового члена в (11).
Лема 2 доведена.
Математичне та комп’ютерне моделювання
116
Наслідок 1. Якщо функція Ляпунова ( )V u системи (3) задово-
льняє умови Леми 2, то для збуреної функції Ляпунова ( ; )V u x
2 4
1 2( ) ( ; ) ( ; ), ( ) ( ),dV u V u x V u x V u C R має місце представлення
( ; ) ( ) ( ; ) ( )L Lt t tV u x V u u x V u ,
в позначеннях Леми 2.
Доведення теореми. Перш за все вкажемо на існування граничного
процесу ( )u t для випадкової еволюції ( )u t , що слідує з модельної тео-
реми Королюка [6, теорема 6.3, с. 197], та властивостей мартингала
0
( ( ); ) ( ( ); ) .L
t
t t s sV u t x V u s x ds
При цьому граничний процес ( )u t задається генератором Lt ,
тобто ( )u t визначається стохастичним диференціальним рівнянням
( ) ( )[ ( ( )) ( ( )) ( )],du t a t C u t dt u t dw t
По-друге зауважимо, що з вигляду генератора ( )LtV u та умов
1C та 2C теореми маємо оцінку
2
1
1
( ) ( ) ( ) ( ) (1 ( )).
2
LtV u a t cV u a t c V u (13)
Для встановлення оцінки залишкового члена ( ; ) ( )t u x V u обчи-
слимо праву частину (12) на функціях Ляпунова ( )V u .
Для оцінки першого доданку 1 0( ) ( ) ( )Q R Ltx x V u
розглянемо
представлення:
21
( ) ( ) ( ) ( ; ) ( ) ( ) ( ; ) ( ).
2
Lt x V u a t C u x V u a t B u x V u
З умов теореми С3 і С4 маємо
1 0 2 3| ( ) ( ) ( ) | ( )(1 ( )).Q R Ltx x V u c c V u (14)
Для другого доданку з умов С5 та С6 теореми отримуємо:
2 0 1 4 5| ( ) ( ) ( ) | ( )(1 ( )).Q R Qx x V u c c V u (15)
А для останнього доданку залишкового члена за умов С7—С10
теореми маємо:
2 0 6 7 8 9| ( ) ( ) ( ) | ( )(1 ( )).Q R Ltx x V u c c c c V u (16)
Використовуючи (13)—(16) маємо
( ; ) ( ) ( ) (1 ( )).L V u x ca t V u c V u
Тепер скористаємось теоремою Невельсона—Хасьмінського [3,
теорема 8.1, с. 100], що і доводить твердження теореми.
Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 7
117
Висновки. Встановлено достатні умови збіжності процедури
стохастичної апроксимації з дифузійним збуренням до точки рівнова-
ги функції регресії в терміні властивості функції Ляпунова. Отримані
результати дозволяють дослідити збіжність процедури стохастичної
оптимізації та її модифікацій [8] з врахуванням марковських впливів
на функцію регресії.
Список використаних джерел:
1. Robbins H. A stochastic approximation method / H. Robbins, S. Monro // Ann.
Math. Statist. — 1951. — Vol. 22, № 1. — P. 400–407.
2. Driml M. Stochastic approximation for continuous random processes /
M. Driml , J. Nedoma // Trans. of the second Prague conference on informa-
tion theory. — 1960. — P. 145–148.
3. Невельсон М. Б. Стохастическая аппроксимация и рекуррентное оцени-
вание / М. Б. Невельсон, Р. З. Хасьминский. — М. : Наука, 1972. — 304 c.
4. Чабанюк Я. М. Непрерывная процедура стохастической аппроксимации
с сингулярным возмущением в условиях баланса / Я. М. Чабанюк // Ки-
бернетика и системный анализ. — 2006. — №3. — С. 133–139.
5. Королюк В. С. Стохастичнi моделі систем / В. С. Королюк. —
К. : Либiдь. — 1993. — 136 c.
6. Korolyuk V. S. Stochastic Systems in Merging Phase Space / V. S. Korolyuk,
N. Limnios. — World Scientific, Singapore, 2005. — 330 p.
7. Вентцель Е. С. Флуктуации в динамических системах под влияни-
ем случайных возмущений / Е. С. Вентцель, М. И. Фрейдлин. —
М. : Наука, 1979. — 424 с.
8. Ljung L. Stochastic approximation and optimization of random systems /
L. Ljung, G. Pflug, H. Walk. — Basel, 1992. — 115 p.
It was obtained sufficient conditions of convergence of stochastic ap-
proximation procedure with diffusion perturbation in the case of Markov
switching in scheme of series. Conditions are formulated in terms of
Lyapunov functions for the averaged system by stationary distribution of
uniformly ergodic Markov process.
Key words: diffusion process, stochastic approximation, Markov
process, Lyapunov function.
Отримано: 11.04.2012
<<
/ASCII85EncodePages false
/AllowTransparency false
/AutoPositionEPSFiles true
/AutoRotatePages /All
/Binding /Left
/CalGrayProfile (Gray Gamma 2.2)
/CalRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1)
/CalCMYKProfile (Coated FOGRA27 \050ISO 12647-2:2004\051)
/sRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1)
/CannotEmbedFontPolicy /Warning
/CompatibilityLevel 1.3
/CompressObjects /Tags
/CompressPages true
/ConvertImagesToIndexed true
/PassThroughJPEGImages true
/CreateJobTicket false
/DefaultRenderingIntent /Default
/DetectBlends true
/DetectCurves 0.1000
/ColorConversionStrategy /sRGB
/DoThumbnails false
/EmbedAllFonts true
/EmbedOpenType false
/ParseICCProfilesInComments true
/EmbedJobOptions true
/DSCReportingLevel 0
/EmitDSCWarnings false
/EndPage -1
/ImageMemory 1048576
/LockDistillerParams false
/MaxSubsetPct 100
/Optimize true
/OPM 1
/ParseDSCComments true
/ParseDSCCommentsForDocInfo true
/PreserveCopyPage true
/PreserveDICMYKValues true
/PreserveEPSInfo false
/PreserveFlatness false
/PreserveHalftoneInfo false
/PreserveOPIComments false
/PreserveOverprintSettings true
/StartPage 1
/SubsetFonts true
/TransferFunctionInfo /Apply
/UCRandBGInfo /Remove
/UsePrologue false
/ColorSettingsFile ()
/AlwaysEmbed [ true
]
/NeverEmbed [ true
/Arial-Black
/Arial-BlackItalic
/Arial-BoldItalicMT
/Arial-BoldMT
/Arial-ItalicMT
/ArialMT
/ArialNarrow
/ArialNarrow-Bold
/ArialNarrow-BoldItalic
/ArialNarrow-Italic
/ArialUnicodeMS
/CenturyGothic
/CenturyGothic-Bold
/CenturyGothic-BoldItalic
/CenturyGothic-Italic
/CourierNewPS-BoldItalicMT
/CourierNewPS-BoldMT
/CourierNewPS-ItalicMT
/CourierNewPSMT
/Georgia
/Georgia-Bold
/Georgia-BoldItalic
/Georgia-Italic
/Impact
/LucidaConsole
/Tahoma
/Tahoma-Bold
/TimesNewRomanMT-ExtraBold
/TimesNewRomanPS-BoldItalicMT
/TimesNewRomanPS-BoldMT
/TimesNewRomanPS-ItalicMT
/TimesNewRomanPSMT
/Trebuchet-BoldItalic
/TrebuchetMS
/TrebuchetMS-Bold
/TrebuchetMS-Italic
/Verdana
/Verdana-Bold
/Verdana-BoldItalic
/Verdana-Italic
]
/AntiAliasColorImages false
/CropColorImages false
/ColorImageMinResolution 150
/ColorImageMinResolutionPolicy /OK
/DownsampleColorImages true
/ColorImageDownsampleType /Bicubic
/ColorImageResolution 150
/ColorImageDepth -1
/ColorImageMinDownsampleDepth 1
/ColorImageDownsampleThreshold 1.50000
/EncodeColorImages true
/ColorImageFilter /DCTEncode
/AutoFilterColorImages true
/ColorImageAutoFilterStrategy /JPEG
/ColorACSImageDict <<
/QFactor 0.76
/HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2]
>>
/ColorImageDict <<
/QFactor 0.76
/HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2]
>>
/JPEG2000ColorACSImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 15
>>
/JPEG2000ColorImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 15
>>
/AntiAliasGrayImages false
/CropGrayImages false
/GrayImageMinResolution 150
/GrayImageMinResolutionPolicy /OK
/DownsampleGrayImages true
/GrayImageDownsampleType /Bicubic
/GrayImageResolution 150
/GrayImageDepth -1
/GrayImageMinDownsampleDepth 2
/GrayImageDownsampleThreshold 1.50000
/EncodeGrayImages true
/GrayImageFilter /DCTEncode
/AutoFilterGrayImages true
/GrayImageAutoFilterStrategy /JPEG
/GrayACSImageDict <<
/QFactor 0.76
/HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2]
>>
/GrayImageDict <<
/QFactor 0.76
/HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2]
>>
/JPEG2000GrayACSImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 15
>>
/JPEG2000GrayImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 15
>>
/AntiAliasMonoImages false
/CropMonoImages false
/MonoImageMinResolution 1200
/MonoImageMinResolutionPolicy /OK
/DownsampleMonoImages true
/MonoImageDownsampleType /Bicubic
/MonoImageResolution 1200
/MonoImageDepth -1
/MonoImageDownsampleThreshold 1.50000
/EncodeMonoImages true
/MonoImageFilter /CCITTFaxEncode
/MonoImageDict <<
/K -1
>>
/AllowPSXObjects true
/CheckCompliance [
/PDFX1a:2001
]
/PDFX1aCheck false
/PDFX3Check false
/PDFXCompliantPDFOnly false
/PDFXNoTrimBoxError true
/PDFXTrimBoxToMediaBoxOffset [
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
]
/PDFXSetBleedBoxToMediaBox true
/PDFXBleedBoxToTrimBoxOffset [
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
]
/PDFXOutputIntentProfile (None)
/PDFXOutputConditionIdentifier ()
/PDFXOutputCondition ()
/PDFXRegistryName ()
/PDFXTrapped /False
/CreateJDFFile false
/Description <<
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
/BGR <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>
/CHS <FEFF4f7f75288fd94e9b8bbe5b9a521b5efa7684002000410064006f006200650020005000440046002065876863900275284e8e55464e1a65876863768467e5770b548c62535370300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c676562535f00521b5efa768400200050004400460020658768633002>
/CHT <FEFF4f7f752890194e9b8a2d7f6e5efa7acb7684002000410064006f006200650020005000440046002065874ef69069752865bc666e901a554652d965874ef6768467e5770b548c52175370300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c4f86958b555f5df25efa7acb76840020005000440046002065874ef63002>
/CZE <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>
/DAN <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>
/DEU <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>
/ENU (Use these settings to create Adobe PDF documents suitable for reliable viewing and printing of business documents. Created PDF documents can be opened with Acrobat and Adobe Reader 5.0 and later.)
/ESP <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>
/ETI <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>
/FRA <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>
/GRE <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>
/HEB <FEFF05d405e905ea05de05e905d5002005d105d405d205d305e805d505ea002005d005dc05d4002005db05d305d9002005dc05d905e605d505e8002005de05e105de05db05d9002000410064006f006200650020005000440046002005e205d105d505e8002005d405e605d205d4002005d505d405d305e405e105d4002005d005de05d905e005d4002005e905dc002005de05e105de05db05d905dd002005e205e105e705d905d905dd002e002005de05e105de05db05d90020005000440046002005e905e005d505e605e805d5002005e005d905ea05e005d905dd002005dc05e405ea05d905d705d4002005d105d005de05e605e205d505ea0020004100630072006f006200610074002005d5002d00410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e0030002005d505d205e805e105d005d505ea002005de05ea05e705d305de05d505ea002005d905d505ea05e8002e>
/HRV (Za stvaranje Adobe PDF dokumenata pogodnih za pouzdani prikaz i ispis poslovnih dokumenata koristite ove postavke. Stvoreni PDF dokumenti mogu se otvoriti Acrobat i Adobe Reader 5.0 i kasnijim verzijama.)
/HUN <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>
/ITA (Utilizzare queste impostazioni per creare documenti Adobe PDF adatti per visualizzare e stampare documenti aziendali in modo affidabile. I documenti PDF creati possono essere aperti con Acrobat e Adobe Reader 5.0 e versioni successive.)
/JPN <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>
/KOR <FEFFc7740020c124c815c7440020c0acc6a9d558c5ec0020be44c988b2c8c2a40020bb38c11cb97c0020c548c815c801c73cb85c0020bcf4ace00020c778c1c4d558b2940020b3700020ac00c7a50020c801d569d55c002000410064006f0062006500200050004400460020bb38c11cb97c0020c791c131d569b2c8b2e4002e0020c774b807ac8c0020c791c131b41c00200050004400460020bb38c11cb2940020004100630072006f0062006100740020bc0f002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e00300020c774c0c1c5d0c11c0020c5f40020c2180020c788c2b5b2c8b2e4002e>
/LTH <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>
/LVI <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>
/NLD (Gebruik deze instellingen om Adobe PDF-documenten te maken waarmee zakelijke documenten betrouwbaar kunnen worden weergegeven en afgedrukt. De gemaakte PDF-documenten kunnen worden geopend met Acrobat en Adobe Reader 5.0 en hoger.)
/NOR <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>
/POL <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>
/PTB <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>
/RUM <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>
/SKY <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>
/SLV <FEFF005400650020006e006100730074006100760069007400760065002000750070006f0072006100620069007400650020007a00610020007500730074007600610072006a0061006e006a006500200064006f006b0075006d0065006e0074006f0076002000410064006f006200650020005000440046002c0020007000720069006d00650072006e006900680020007a00610020007a0061006e00650073006c006a00690076006f0020006f0067006c00650064006f00760061006e006a006500200069006e0020007400690073006b0061006e006a006500200070006f0073006c006f0076006e0069006800200064006f006b0075006d0065006e0074006f0076002e00200020005500730074007600610072006a0065006e006500200064006f006b0075006d0065006e0074006500200050004400460020006a00650020006d006f0067006f010d00650020006f0064007000720065007400690020007a0020004100630072006f00620061007400200069006e002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000200069006e0020006e006f00760065006a01610069006d002e>
/SUO <FEFF004b00e40079007400e40020006e00e40069007400e4002000610073006500740075006b007300690061002c0020006b0075006e0020006c0075006f0074002000410064006f0062006500200050004400460020002d0064006f006b0075006d0065006e007400740065006a0061002c0020006a006f0074006b006100200073006f0070006900760061007400200079007200690074007900730061007300690061006b00690072006a006f006a0065006e0020006c0075006f00740065007400740061007600610061006e0020006e00e400790074007400e4006d0069007300650065006e0020006a0061002000740075006c006f007300740061006d0069007300650065006e002e0020004c0075006f0064007500740020005000440046002d0064006f006b0075006d0065006e00740069007400200076006f0069006400610061006e0020006100760061007400610020004100630072006f0062006100740069006c006c00610020006a0061002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e0030003a006c006c00610020006a006100200075007500640065006d006d0069006c006c0061002e>
/SVE <FEFF0041006e007600e4006e00640020006400650020006800e4007200200069006e0073007400e4006c006c006e0069006e006700610072006e00610020006f006d002000640075002000760069006c006c00200073006b006100700061002000410064006f006200650020005000440046002d0064006f006b0075006d0065006e007400200073006f006d00200070006100730073006100720020006600f60072002000740069006c006c006600f60072006c00690074006c006900670020007600690073006e0069006e00670020006f006300680020007500740073006b007200690066007400650072002000610076002000610066006600e4007200730064006f006b0075006d0065006e0074002e002000200053006b006100700061006400650020005000440046002d0064006f006b0075006d0065006e00740020006b0061006e002000f600700070006e00610073002000690020004100630072006f0062006100740020006f00630068002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e00300020006f00630068002000730065006e006100720065002e>
/TUR <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>
/UKR <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>
/RUS <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>
>>
/Namespace [
(Adobe)
(Common)
(1.0)
]
/OtherNamespaces [
<<
/AsReaderSpreads false
/CropImagesToFrames true
/ErrorControl /WarnAndContinue
/FlattenerIgnoreSpreadOverrides false
/IncludeGuidesGrids false
/IncludeNonPrinting false
/IncludeSlug false
/Namespace [
(Adobe)
(InDesign)
(4.0)
]
/OmitPlacedBitmaps false
/OmitPlacedEPS false
/OmitPlacedPDF false
/SimulateOverprint /Legacy
>>
<<
/AllowImageBreaks true
/AllowTableBreaks true
/ExpandPage false
/HonorBaseURL true
/HonorRolloverEffect false
/IgnoreHTMLPageBreaks false
/IncludeHeaderFooter false
/MarginOffset [
0
0
0
0
]
/MetadataAuthor ()
/MetadataKeywords ()
/MetadataSubject ()
/MetadataTitle ()
/MetricPageSize [
0
0
]
/MetricUnit /inch
/MobileCompatible 0
/Namespace [
(Adobe)
(GoLive)
(8.0)
]
/OpenZoomToHTMLFontSize false
/PageOrientation /Portrait
/RemoveBackground false
/ShrinkContent true
/TreatColorsAs /MainMonitorColors
/UseEmbeddedProfiles false
/UseHTMLTitleAsMetadata true
>>
<<
/AddBleedMarks false
/AddColorBars false
/AddCropMarks false
/AddPageInfo false
/AddRegMarks false
/BleedOffset [
0
0
0
0
]
/ConvertColors /ConvertToRGB
/DestinationProfileName (sRGB IEC61966-2.1)
/DestinationProfileSelector /UseName
/Downsample16BitImages true
/FlattenerPreset <<
/PresetSelector /MediumResolution
>>
/FormElements true
/GenerateStructure false
/IncludeBookmarks false
/IncludeHyperlinks false
/IncludeInteractive false
/IncludeLayers false
/IncludeProfiles true
/MarksOffset 6
/MarksWeight 0.250000
/MultimediaHandling /UseObjectSettings
/Namespace [
(Adobe)
(CreativeSuite)
(2.0)
]
/PDFXOutputIntentProfileSelector /DocumentCMYK
/PageMarksFile /RomanDefault
/PreserveEditing true
/UntaggedCMYKHandling /UseDocumentProfile
/UntaggedRGBHandling /LeaveUntagged
/UseDocumentBleed false
>>
]
>> setdistillerparams
<<
/HWResolution [600 600]
/PageSize [419.528 595.276]
>> setpagedevice
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-48880 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | XXXX-0059 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-02T04:39:13Z |
| publishDate | 2012 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Кійковська, О.І. 2013-09-05T09:17:32Z 2013-09-05T09:17:32Z 2012 Збіжність процедури стохастичної апроксимації з дифузійним збуренням / О.І. Кійковська // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2012. — Вип. 7. — С. 109-117. — Бібліогр.: 8 назв. — укр. XXXX-0059 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/48880 519.21 Встановлено достатні умови збіжності процедури стохастичної апроксимації з дифузійним збуренням у випадку марковських переключень в схемі дифузійної апроксимації. Умови сформульовано в термінах властивостей функції Ляпунова усередненої системи за стаціонарним розподілом рівномірно ергодичного марковського процесу. It was obtained sufficient conditions of convergence of stochastic approximation procedure with diffusion perturbation in the case of Markov switching in scheme of series. Conditions are formulated in terms of Lyapunov functions for the averaged system by stationary distribution of uniformly ergodic Markov process. uk Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки Збіжність процедури стохастичної апроксимації з дифузійним збуренням Article published earlier |
| spellingShingle | Збіжність процедури стохастичної апроксимації з дифузійним збуренням Кійковська, О.І. |
| title | Збіжність процедури стохастичної апроксимації з дифузійним збуренням |
| title_full | Збіжність процедури стохастичної апроксимації з дифузійним збуренням |
| title_fullStr | Збіжність процедури стохастичної апроксимації з дифузійним збуренням |
| title_full_unstemmed | Збіжність процедури стохастичної апроксимації з дифузійним збуренням |
| title_short | Збіжність процедури стохастичної апроксимації з дифузійним збуренням |
| title_sort | збіжність процедури стохастичної апроксимації з дифузійним збуренням |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/48880 |
| work_keys_str_mv | AT kíikovsʹkaoí zbížnístʹproceduristohastičnoíaproksimacíízdifuzíinimzburennâm |