Гіперболічні крайові задачі в обмежених кусково-однорідних просторових областях

Методом функції впливу та функцій Гріна (головних розв’язків) побудовано інтегральні зображення точних аналітичних розв’язків алгоритмічного характеру гіперболічних крайових задач в обмежених кусково-однорідних (багатошарових) просторових областях. Для побудови головних розв’язків залучено відповідн...

Full description

Saved in:

Bibliographic Details
Published in:	Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки
Date:	2012
Main Author:	Конет, І.М.
Format:	Article
Language:	Ukrainian
Published:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2012
Online Access:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/48882
Tags:	Add Tag No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Cite this:	Гіперболічні крайові задачі в обмежених кусково-однорідних просторових областях / І.М. Конет // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2012. — Вип. 7. — С. 124-139. — Бібліогр.: 24 назв. — укр.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

_version_	1859651096632360960
author	Конет, І.М.
author_facet	Конет, І.М.
citation_txt	Гіперболічні крайові задачі в обмежених кусково-однорідних просторових областях / І.М. Конет // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2012. — Вип. 7. — С. 124-139. — Бібліогр.: 24 назв. — укр.
collection	DSpace DC
container_title	Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки
description	Методом функції впливу та функцій Гріна (головних розв’язків) побудовано інтегральні зображення точних аналітичних розв’язків алгоритмічного характеру гіперболічних крайових задач в обмежених кусково-однорідних (багатошарових) просторових областях. Для побудови головних розв’язків залучено відповідні інтегральні перетворення Фур’є на декартових осі та півосі, а також інтегральне перетворення Фур’є на декартовому сегменті з n точками спряження. The method of influence functions and Green's function (key solutions) developed integral image accurate analytical solutions of algorithmic nature of hyperbolic boundary value problems in bounded piecewise-homogeneous (multi) spatial regions. To build a major integrated solutions are involved corresponding Fourier transform to Cartesian axis and semi-axles and integral Fourier transform on n Cartesian segment of coupling points.
first_indexed	2025-12-07T13:33:25Z
format	Article
fulltext	Математичне та комп’ютерне моделювання 124 российской научной конференции «Математическое моделирование и крае- вые задачи». — Самара : Изд-во СамГТУ, 2006. — Часть 3. — С. 221–223. 5. Кобильська О. Б. Дослідження нелокальної задачі для рівняння параболічно- го типу з інтегральною умовою / О. Б. Кобильська // Сучасні проблеми ма- шинобудування: тези доповідей конференції молодих вчених та спеціалістів, Харків, 8–11 листопада 2010 р. — Харків : Інститут проблем машинобуду- вання ім. А. М. Підгорного НАН України, 2010. — С. 32. 6. Ляшенко В. П. Дослідження нелокальної задачі з інтегральною умовою / В. П. Ляшенко, О. Б. Кобильська // Вісник Київського університету. Серія «Фізико-математичні науки». — 2010. — № 4. — С. 104–111. 7. Никитенко Н. И. Теория тепломассопереноса / Н. И. Никитенко. — К. : Наукова думка, 1983. — 352 с. In this study involving nonlocal integral conditions resolved inverse problem for the equation-thermal conductivity of the Hall. Calculated pa- rameters control the temperature field moving environment, the results of numericaltion experiments. Plotting temperature distribution diliv and dis- tribution parameters. Key words: heat equation, integral condition inverse problem. Отримано: 9.04.2012 УДК 517.947 І. М. Конет, д-р фіз.-мат. наук, професор Кам’янець-Подільський національний університет імені Івана Огієнка, м. Кам’янець-Подільський ГІПЕРБОЛІЧНІ КРАЙОВІ ЗАДАЧІ В ОБМЕЖЕНИХ КУСКОВО-ОДНОРІДНИХ ПРОСТОРОВИХ ОБЛАСТЯХ Методом функції впливу та функцій Гріна (головних розв’язків) побудовано інтегральні зображення точних аналі- тичних розв’язків алгоритмічного характеру гіперболічних крайових задач в обмежених кусково-однорідних (багатоша- рових) просторових областях. Для побудови головних розв’яз- ків залучено відповідні інтегральні перетворення Фур’є на де- картових осі та півосі, а також інтегральне перетворення Фур’є на декартовому сегменті з n точками спряження. Ключові слова: гіперболічне рівняння, початкові та кра- йові умови, умови спряження, інтегральні перетворення, головні розв’язки. Вступ. Теорія крайових задач для диференціальних рівнянь з ча- стинними похідними — важливий розділ сучасної теорії диференціа- льних рівнянь, який в цей час інтенсивно розвивається. Її актуаль- © І. М. Конет, 2012 Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 7 125 ність обумовлена як значимістю її результатів для розвитку багатьох розділів математики, так і численними застосуваннями її досягнень при дослідженні різноманітних математичних моделей різних проце- сів і явищ фізики, механіки, біології, медицини, економіки та техніки. Добре відомо, що складність досліджуваних крайових задач суттє- во залежить від коефіцієнтів рівнянь (різні види виродженостей і особ- ливостей) та геометрії області (гладкість її межі, наявність в неї кутових точок тощо), в якій розглядається задача. На цей час досить детально вивчені властивості розв’язків крайових задач для лінійних, квазіліній- них та певних класів нелінійних рівнянь в однозв’язних областях (одно- рідних середовищах), які обумовлені згаданими вище властивостями коефіцієнтів рівнянь і геометрії області, та побудовано функціональні простори коректності задач для тих чи інших областей [1—5]. Водночас багато важливих прикладних задач теплофізики, тер- момеханіки, теорії пружності, теорії електричних кіл, теорії коливань приводять до крайових задач для диференціальних рівнянь з частин- ними похідними не тільки в однорідних середовищах, коли коефіціє- нти рівнянь є неперервними, але й в кусково-однорідних та неоднорі- дних середовищах, коли коефіцієнти рівняння є кусково-неперервни- ми чи, зокрема, кусково-сталими [6—9]. Окрім методу відокремлення змінних [10] одним з важливих і ефективних методів вивчення крайових задач для диференціальних рівнянь з частинними похідними є метод інтегральних перетворень, який дає можливість будувати в аналітичному вигляді розв’язки тих чи інших лінійних крайових задач через їх інтегральне зображення. Варто також зауважити, що для досить широкого класу задач (в кус- ково-однорідних середовищах) ефективним виявився метод гібрид- них інтегральних перетворень, які породженні гібридними диферен- ціальними операторами, коли на кожній компоненті зв’язності куско- во-однорідного середовища розглядаються або ж різні диференціаль- ні оператори, або ж диференціальні оператори того ж самого вигляду, але з різними наборами коефіцієнтів [11—16]. Інтегральні зображення розв’язків гіперболічних крайових задач в необмежених (двоскладових і тришарових) та напівобмежених кусково- однорідних просторових областях одержано у працях автора [17—21]. У цій статті ми пропонуємо точні аналітичні розв’язки гіпербо- лічних крайових задач в обмежених кусково-однорідних просторових областях. Постановка задачі. Розглянемо задачу побудови обмеженого на множині    3 2, , , ; 0; , ; ; ;D t x y z t x y a b c d        1 1 1 0 1 1 1 1 ; , 0; , n n n j j j j j n j j z K l l l l l l l                   Математичне та комп’ютерне моделювання 126 розв’язку сепаратної системи диференціальних рівнянь [10]   2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 , , , ; ; 1, 1 j xj yj zj j j j j j u a a a u u f t x y z t x y z z j n                      (1) з початковими умовами    21 0 0 , , ; , , ; ; 1, 1;j j j j jt t u u g x y z g x y z z j n t         (2) крайовими умовами     0 0 0 1 1 11 11 1 0 22 22 1, , ; , , ;n n n l z l z l u g t x y u g t x y z z                        (3) умовами спряження [16] 1 1 2 2 1 0; 1,2; 1, k k k k k j j k j j k z l u u j k n z z                           (4) та відповідними крайовими умовами на межі області 2 , де ,xja ,yja , , ,k k zj j js jsa    — деякі невід’ємні сталі; 2 1 1 2 0;k k k k jk j j j jc       0 0 1 2 11 110; 0;k kc c      1 1 22 22 0; , , ,n n f t x y z           1 2 1, , , , , , , , , , , , ;nf t x y z f t x y z f t x y z   1 , ,g x y z        1 1 1 1 2 1, , , , , , , , , ;ng x y z g x y z g x y z   2 , ,g x y z        2 2 1 1 2 1, , , , , , , , , ;ng x y z g x y z g x y z     0 , , , , ,lg t x y g t x y — задані обмежені неперервні функції;     1, , , , , , ,u t x y z u t x y z    2 1, , , , , , , ,nu t x y z u t x y z — шукана функція. Основна частина. Побудуємо розв’язок розглянутої задачі в за- лежності від структури області 2. 1.    2 ; ; .       У цьому випадку вважаємо, що на межі області 2 виконуються крайові умови 0; 0,1; 1, 1 k j k x u k j n x        (5) щодо змінної x та крайові умови Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 7 127 0; 0,1; 1, 1 k j k y u k j n y        (6) щодо змінної y. Припустимо, що розв’язок задачі (1)—(6) існує і задані й шукані функції задовольняють умови застосовності залучених нижче інтег- ральних перетворень [22; 16]. До задачі (1)—(6) застосуємо інтегральне перетворення Фур’є на декартовій осі  ;  щодо змінної x [21]:       ,i x xF g x g x e dx g            (7)      1 1 , 2 i x xF g g e d g x              (8)     2 2 2 2 .x x d g F F g x g dx                 (9) Інтегральний оператор xF за правилом (7) внаслідок тотожності (9) початково-крайовій задачі (1)—(6) ставить у відповідність задачу побудови обмеженого на множині     3 , , ; 0; : ; nD t y z t y z K        розв’язку сепаратної системи диференціальних рівнянь     2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 , , , ;j yj zj j xj j j j j u a a u a u f t y z z t y z                        (10) з початковими умовами    1 2 0 0 , , , , , ; ; 1, 1;j j j j jt t u u g y z g y z z j n t                (11) крайовими умовами     0 0 0 1 1 11 11 1 0 22 22 1, , ; , ,n n n l z l z l u g t y u g t y z z                             (12) 0; 0,1; 1, 1 k j k y u k j n y         (13) та умовами спряження 1 1 2 2 1 0; 1, ; 1, 2. k k k k k j j k j j k z l u u k n j z z                             (14) Математичне та комп’ютерне моделювання 128 До задачі (10)—(14) застосуємо інтегральне перетворення Фур’є на декартовій осі  ;  щодо змінної у [20]:       ,isy yF g y g y e dy g s           (15)      1 1 , 2 isy yF g s g s e ds g y            (16)   2 2 2 2 ( ).y y d g F s F g y s g s dy              (17) Інтегральний оператор yF за правилом (15) внаслідок тотожно- сті (17) початково-крайовій задачі (10)—(14) ставить у відповідність задачу побудови обмеженого на множині   3 , ; 0; nD t z t z K    розв’язку сепаратної системи диференціальних рівнянь     2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 , , , ; j j zj xj yj j j j j u u a a a s u f t s z z t z                   (18) з початковими умовами    1 2 0 0 , , , , , ; ; 1, 1;j j j j j t t u u g s z g s z z j n t                 (19) крайовими умовами     0 0 0 1 1 11 11 1 0 22 22 1, , ; , ,n n n l z l z l u g t s u g t s z z                                 (20) та умовами спряження 1 1 2 2 1 0; 1, ; 1, 2. k k k k k j j k j j k z l u u k n j z z                              (21) До задачі (18)—(21) застосуємо інтегральне перетворення Фур’є на декартовому сегменті 0 ;l l   з n точками спряження щодо змінної z [16]:         0 , , l jn j j l F g z g z V z z dz g       (22)      1 2 1 , , , j jn j j j j V z F g g g z V z            (23) Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 7 129         1 21 1 2 2 2 1 2 1 1 , i i ln n jn zi i i j j i i j i i i l d g F a z l l z g k g z V z dz dz                               0 12 0 0 0 1 1 11 1 0 11 11,z j z l dg a V l g dz               (24)    12 1 1 1 , 1 1 22 1 22 22, .n n n z n n n j z l dg a V l g dz                   У формулах (22)—(24) беруть участь величини і функції:       1 1 1 , , ( ); n j i j i i i V z V z z l l z                1 , 1 1 1 2 12 , 11 1 ; ; ; nn z k i i i k m m n z ki m kzk a z z l l z c c aa                      2 1,1, ; , , ; 1, ; n m j i i j m j i m k n V z c q G z m n                1 2 1, 1 1,, cos sin ; n j n j n j n j n jV z q z q z                  1,2 1,1, cos sin ;m j m j mj m j mjG z q z q z               0 1 12 2 2 1 , , , ; k k ll n j j k j k kl l V z V z z dz V z dz                  1 21 2 2 , ; ;s s z s s sj s jq q q k g g           1 sin cos ;k k k ip sj m ip sj sj m ip sj mq l q q l q l          2 cos sin ;k k k ip sj m ip sj sj m ip sj mq l q q l q l           01 02 01 11 1 0 02 11 1 0; ;j j j jq l q l                22 1211 21, ;kp kpk km km pm x y x y x v y              1,2 1, 1,1 1,1 2, , ;p p pm j p j pj p p j p p j pj p p j pm mq l q l q l q l            j — корені трансцендентного рівняння        1,2 1,1 1 1 1 222 22 0,n n n n n n nv q l v q l          які утворюють дискретний спектр;  x — одинична функція Геві- сайда. Запишемо систему диференціальних рівнянь (18) та початкові умови (19) у матричній формі Математичне та комп’ютерне моделювання 130             1 2 2 2 2 2 1 12 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 , 1 1 12 2 , , , , , , , , ................................................................... , , , , z z z n n n a q s u t s z t z a q s u t s z t z a q s u t s z t z                                             1 2 1 , , , , , , , ................... , , ,n f t s z f t s z f t s z                                               (25)             1 11 1 2 2 1 1 10 , ,, , , , , , , , , ................... ................... , , , , ,n nt g s zu t s z u t s z g s z u t s z g s z                                                     2 11 2 2 2 2 1 10 , ,, , , , , , , , , ................... ................... , , , , ,n nt g s zu t s z u t s z g s z t u t s z g s z                                          (26) де  2 2 2 2 2 2, ; 1, 1.j xj yj jq s a a s j n       Інтегральний оператор jnF , який діє за правилом (22), зобразимо у вигляді операторної матриці-рядка         1 2 0 1 1 1 2 2 1 1, , , n l l l jn j j n j n l l l F V z dz V z dz V z dz                     (27) і застосуємо за правилом множення матриць до задачі (25), (26). Вна- слідок тотожності (24) одержуємо задачу Коші                   21 1 12 2 2 2 0 1 1 112 1 1 12 1 1 0 0 1 , 1 22 1 , , , , , , , , , , , , n n j i i ij ij z i i n j n z n n j l d q s k u t s f t s a dt V l g t s a V l g t s                                           (28)     1 1 1 1 1 2 1 1 1 10 0 , , , , n n n n ij ij ij ij i i i it t d u g s u g s dt                       (29) Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 7 131 де       1 , , , , , , ; 1, 1; i i l ij i i j i l u t s u t s z V z dz i n                1 , , , , , , ; 1, 1; i i l ij i i j i l f t s f t s z V z dz i n                 1 1 1, , , , ; 1, 1; i i l ij i i j i l g s g s z V z dz i n                 1 2 2, , , , ; 1, 1. i i l ij i i j i l g s g s z V z dz i n          Припустимо, не зменшуючи загальності, що  2 2 1 2max , ,q q  2 2 1 1nq q  і покладемо всюди  2 2 2 1 1, 1 .i ik q q i n    Задача Коші (28), (29) набуває вигляду                 2 12 2 0 1 1 11 1 02 12 1 0 1 , 1 22 1 , , , , , , , , , , , j j j j z j n n z n n j l d u s u f t s a V l dt g t s a V l g t s                              (30)      1 2 0 0 , , , ; , , j j j jt t du u t s g s g s dt             (31) де       1 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 , , , , , , , ; n j ij j j x y i u t s u t s s a a s                         1 1 1 1 1 1 , , , , ; , , ; n n j ij j ij i i f t s f t s g s g s                     1 2 2 1 , , . n j ij i g s g s        Безпосередньо перевіряється, що єдиним розв’язком задачі (30), (31) є функція                2 1 sin , , sin , , , , , , , , , , j j j j j j j s t s td u t s g s g s dts s                        Математичне та комп’ютерне моделювання 132            12 0 1 1 11 1 0 0 sin , , , , , , , t j j z j j s t f s a V l s                 (32)         12 1 0 1 , 1 22 1, , , , , .n n z n n j lg s a V l g s d                  Оскільки суперпозиція операторів jnF та 1 jn F  є одиничним опе- ратором, то оператор 1 jnF  зобразимо у вигляді операторної матриці- стовпця               1 2 1 2 21 1 1 2 1 , , , ., , , jn j j j j j j n j j j V z V z V z F V z V z V z                                                      (33) Застосуємо за правилом множення матриць операторну матри- цю-стовпець (33) до матриці-елемента  , , ,ju t s     де функція  , ,ju t s визначена формулою (32). Одержуємо єдиний розв’язок початково-крайової задачі (18)—(21):               2 1 sin , , sin , , , , , , , , , , j j i j j j j s t s t u t s z g s ts s                                   11 2 0 1 1 11 1 0 0 sin , , , , , , , , t j j j z j j s t g s f s a V l s                          12 1 0 1 , 1 22 1, , ,n n z n n jg s a V l           (34)        2 , , , ; 1, 1. , i j l j V z g s d i n V z          Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 7 133 До функцій  , , , ,iu t s z визначених формулами (34), послідовно застосуємо обернені оператори 1 yF  за правилом (16) та 1 xF  за прави- лом (8). Виконавши нескладні перетворення, одержуємо функції  , , ,ju t x y z          1 1 1 1 0 1 1 1 , , , , , , , , , , , , , , , , , k k k k ltn ik k k k l ln ik k k k l E t x y z f d d d d E t x y z g d d d t                                                        1 1 2 1 , , , , , , , , k k ln ik k k k l E t x y z g d d d                     (35)         1 0 0 2 , , , , , , , , , , , , , , ; 1, 1, t i i l W t x y z g W t x y z g d d d i n                              які визначають єдиний розв’язок гіперболічної початково-крайової задачі (1)—(6). У формулах (35) застосовано компоненти                  2 1 0 0 2 sin , ,2 , , , , , , , , , , cos cos ; , 1, 1 , j ik j j i j k j j s t E t x y z s V z V x y s d ds i k n V z                                матриці впливу (функції впливу), компоненти       11 2 0 1 1 11 1 0, , , , , , , , , , ,i z iW t x y z a E t x y z l         нижньої аплікатної матриці Гріна (функції Гріна) та компоненти       12 2 1 1 , 1 22 , 1, , , , , , , , , , ,n i n z n i nW t x y z a E t x y z l          верхньої аплікатної матриці Гріна розглянутої задачі. З використанням властивостей функцій впливу  , , , , , ,ikE t x y z   і функцій Гріна    , , , , , , 1, 2s iW t x y z s   безпосередньо перевіряєть- ся, що функції  , , , ,ju t x y z визначені формулами (35), задовольняють рівняння (1), початкові умови (2), крайові умови (3), (5), (6) та умови спряження (4) в сенсі теорії узагальнених функцій [24]. Математичне та комп’ютерне моделювання 134 Зауваження 1. У випадку 2 2 2 2 0xj yj zj ja a a a    формули (35) визначають структуру розв’язку гіперболічної крайової задачі (1)— (6) в ізотропному (n+1) — шаровому обмеженому за координатою z просторовому середовищі. Зауваження 2. Параметри 0 0 1 1 11 11 22 22, ; ,n n     дають можливість виділяти із формул (35) розв’язки крайових задач у випадках задання на поверхнях 0 ,z l z l  крайових умов 1-го й 2-го роду та їх мож- ливих комбінацій. Зауваження 3. Аналіз розв’язку (35) в залежності від аналітич- ного виразу функцій      1 2, , , , , , , , , ,j j jf t x y z g x y z g x y z  0 , , ,g t x y  , ,lg t x y проводиться безпосередньо. 2.    2 ; 0; .      У цьому випадку вважаємо, що на межі області 2 виконуються крайові умови (5) щодо змінної x та крайові умови   0 , , ; 0; 0,1; 1, 1 k j j j k y y u h u t x z k j n y y                (36) щодо змінної y, де h – деяка невід’ємна стала;     1, , , , ,t x z t x z     2 1, , , , , ,nt x z t x z    задана обмежена неперервна функція. Припустимо, що розв’язок задачі (1)—(5), (36) існує і задані й шукані функції задовольняють умови застосовності залучених нижче інтегральних перетворень [22; 23; 16]. До задачі (1)—(5), (36) застосуємо інтегральне перетворення Фур’є на декартовій осі  ;  щодо змінної x. Інтегральний опе- ратор xF за правилом (7) внаслідок тотожності (9) початково- крайової задачі (1)—(5), (36) ставить у відповідність задачу побудови обмеженого на множині     ' 3 , , ; 0; 0; ; nD t y z t y z K      розв’язку системи рівнянь (10) з початковими умовами (11), крайо- вими умовами (12), крайовими умовами   0 , , ; 0; 0,1; 1, 1 k j j j k y y u h u t z k j n y y                   (37) та умовами спряження (14). До задачі (10)—(12), (37), (14) застосуємо інтегральне перетво- рення Фур’є на декартовій півосі  0; щодо змінної y [23]: Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 7 135         0 , ,y yF g y g y K y s dy g s          (38)        1 0 , ,y yF g s g s K y s ds g y           (39)     2 2 2 0 0, ,y y y d g dg F s g s K s hg dydy                     (40) де ядро перетворення       2 2 cos sin2 , .y sy h sy K y s s h    Інтегральний оператор yF за правилом (38) внаслідок тотож- ності (40) початково-крайовій задачі (10)—(12) (37), (14) ставить у відповідність задачу побудови обмеженого на множині 3D   , ; 0; nt z t z K    розв’язку сепаратної системи диференціаль- них рівнянь     2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 , , , ; 1, 1j j zj xj yj j j j u u a a a s u F t s z j n t z                    (41) з початковими умовами (19), крайовими умовами (20) та умовами спряження (21), де        2, , , , , , 0, , , ; ; 1, 1.j j yj y j jF t s z f t s z a K s t z z j n          З точністю до позначень початково-крайова задача на спряження (41), (19)—(21) збігається із задачею (18)—(21). Отже, відповідно до фор- мул (34), єдиний розв’язок задачі (41), (19)—(21) визначають функції         2 1 sin , , , , , , , , j j j j j s t u t s z g s s                             1 0 sin , , sin , , , , , , , , , t j j j j j j s t s t g s F s t s s                       (42)          1 12 0 2 1 1 1 11 1 0 0 1 , 1 22 1, , , ,n z j n z n n ja V l g s a V l                      , , , ; 1, 1. , i j l j V z g s d i n V z          Математичне та комп’ютерне моделювання 136 Застосувавши послідовно до функцій  , , , ,iu t s z визначених формулами (42), обернені оператори 1 yF   та 1,xF  одержуємо функції  , , ,iu t x y z      1 1 1 0 0 , , , , , , , , , k k ltn ik k k k l E t x y z f d d d d                                        1 1 1 1 1 0 1 2 1 0 1 0 0 0 2 , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , k k k k ln ik k k k l ln ik k k k l t i i l E t x y z g d d d t E t x y z g d d d W t x y z g W t x y z g d d d                                                                        (43)     1 1 2 1 0 , , , , , , , ; 1, 1, k k ltn yi yik k k k l a W t x y z d d d i n                     які визначають єдиний розв’язок гіперболічної початково-крайової задачі (1)—(5), (36). У формулах (43) застосовано компоненти              2 1 0 0 sin , , , ,1 , , , , , , , , , j i j k j ik j j j s t V z V E t x y z s V z                            cos , , ; , 1, 1y yx K y s K s dzds i k n      матриці впливу, компоненти    , , , , , , 1, 2s iW t x y z s   аплікатних матриць Гріна та компоненти    , , , , , , , , ,0, ,yik ikW t x y z E t x y z    ординатної матриці Гріна розглянутої задачі. З використанням властивостей функцій впливу  , , , ,ikE t x y , ,z  і функцій Гріна  , , , , , ,s iW t x y z   , , , , ,yikW t x y z  безпосе- редньо перевіряється, що функції  , , , ,ju t x y z визначені формулами (43), задовольняють рівняння (1), початкові умови (2), крайові умови (3), (5), (36) та умови спряження (4) в сенсі теорії узагальнених функцій [24]. Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 7 137 Зазначимо, що: 1) зауваження 1-2 поширюються на випадок роз- глянутої гіперболічної крайової задачі; 2) параметр h дає можливість виділяти із формул (43) розв’язки крайових задач у випадках задання на поверхні y=0 крайових умов 1-го  h  та 2-го роду  0 ;h  3) аналіз розв’язку (43) в залежності від аналітичного виразу функцій      1 2, , , , , , , , , ,j j jf t x y z g x y z g x y z      0 , , , , , , , ,l jg t x y g t x y t x z про- водиться безпосередньо. Висновки. Методом інтегральних та гібридних інтегральних пере- творень Фур’є у поєднанні з методом головних розв’язків (функцій впливу і функцій Гріна) побудовано точні аналітичні розв’язки гіпербо- лічних крайових задач в обмежених кусково-однорідних просторових областях, які описуються декартовою системою координат. Одержані розв’язки носять алгоритмічний характер, неперервно залежать від па- раметрів і даних задачі й можуть бути використані як в подальших тео- ретичних дослідженнях, так і в практиці інженерних розрахунків реаль- них процесів, які моделюються гіперболічними крайовими задачами (задачі акустики, гідродинаміки, теорії коливань). Список використаних джерел: 1. Адамар Ж. Задача Коши для линейных уравнений с частными производ- ными гиперболического типа / Ж. Адамар. — М. : Наука, 1978. — 352 с. 2. Городецький В. В. Граничні властивості гладких у шарі розв’язків рівнянь параболічного типу / В. В. Городецький. — Чернівці : Рута, 1998. — 225 с. 3. Миранда К. Уравнения с частными производными эллиптического типа / К. Миранда. — М. : ИЛ, 1957. — 256 с. 4. Матійчук М. І. Параболічні та еліптичні крайові задачі з особливостями / М. І. Матійчук. — Чернівці : Прут, 2003. — 248 с. 5. Смирнов М. М. Вырождающиеся эллиптические и гиперболические урав- нения / М. М. Смирнов. — М. : Наука, 1966. — 292 с. 6. Подстригач Я. С. Термоупругость тел неоднородной структуры / Я. С. Подстригач, В. А. Ломакин, Ю. М. Коляно. — М. : Наука, 1984. — 368 с. 7. Дейнека В. С. Модели и методы решения задач с условиями сопряжения / В. С. Дейнека, И. В. Сергиенко, В. В. Скопецкий. — К. : Наук. думка, 1998. — 614 с. 8. Сергиенко И. В. Математическое моделирование и исследование процес- сов в неоднородных средах / И. В. Сергиенко, В. В. Скопецкий, В. С. Дейнека. — К. : Наук. думка, 1991. — 432 с. 9. Коляно Ю. М. Методы теплопроводности и термоупругости неоднород- ного тела / Ю. М. Коляно. — К. : Наук. думка, 1992. — 280 с. 10. Тихонов А. Н. Уравнения математической физики / А. Н. Тихонов, А. А. Са- марский. — М. : Наука, 1972. — 735 с. 11. Конет І. М. Стаціонарні та нестаціонарні температурні поля в ортотроп- них сферичних областях / І. М. Конет. — К. : Ін-т математики НАН Укра- їни, 1998. — 209 с. Математичне та комп’ютерне моделювання 138 12. Конет І. М. Стаціонарні та нестаціонарні температурні поля в циліндрич- но-кругових областях / І. М. Конет, М. П. Ленюк. — Чернівці : Прут, 2001. — 312 с. 13. Конет І. М. Температурні поля в кусково-однорідних циліндричних областях / І. М. Конет, М. П. Ленюк. — Чернівці : Прут, 2004. — 276 с. 14. Громик А. П. Стаціонарні задачі теплопровідності в кусково-однорідних просторових середовищах / А. П. Громик, І. М. Конет. — Кам’янець- Подільський : Абетка-Світ, 2008. — 120 с. 15. Громик А. П. Нестаціонарні задачі теплопровідності в кусково-одно- рідних просторових середовищах / А. П. Громик, І. М. Конет. — Кам’янець-Подільський : Абетка-Світ, 2009. — 120 с. 16. Ленюк М. П. Температурні поля в плоских кусково-однорідних ортотропних областях / М. П. Ленюк. — К. : Ін-т математики НАН України, 1997. — 188 с. 17. Конет І. М. Гіперболічні крайові задачі в необмежених двоскладових просто- рових областях / І. М. Конет // Крайові задачі для диференціальних рівнянь : зб. наук. пр. — Чернівці : Прут, 2010. — Вип. 19, ч. 1. — С. 47–59. 18. Конет І. М. Інтегральні зображення розв’язків гіперболічних крайових задач в необмежених двоскладових просторових областях / І. М. Конет // Вісник Кам’янець-Подільського національного університету імені Івана Огієнка. Фі- зико-математичні науки. — Кам’янець-Подільський : Кам’янець-Поділ. нац. ун-т ім. І. Огієнка, 2010. — Вип. 3. — С. 55–71. 19. Конет І. М. Гіперболічні крайові задачі в необмежених тришарових обла- стях / І. М. Конет, М. П. Ленюк. — Львів, 2011. — 48 с. — (Препр./ НАН України Ін-т прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підст- ригача; 01.11). 20. Конет І. М. Гіперболічні крайові задачі в напівобмежених кусково- однорідних просторових областях / І. М. Конет // Математичне та комп’ютерне моделювання. Серія : Фізико-математичні науки : зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський : Кам’янець-Поділ. нац. ун-т ім. І. Огієнка, 2011. — Вип. 5. — С. 127–140. 21. Конет І. М. Інтегральні зображення розв’язків гіперболічних крайових задач в напівобмежених кусково-однорідних просторових областях / І. М. Конет // Вісник Кам’янець-Подільського національного університе- ту імені Івана Огієнка. Фізико-математичні науки. — Кам’янець- Подільський : Кам’янець-Поділ. нац. ун-т ім. І. Огієнка, 2011. — Вип. 4. — С. 36–54. 22. Снеддон И. Преобразования Фурье / И. Снеддон. — М. : ИЛ, 1955. — 668 с. 23. Ленюк М. П. Интегральные преобразования с разделенными переменны- ми (Фурье, Ханкеля) / М. П. Ленюк. — К., 1983. — 60 с. — (Препр. / АН УССР. Ин-т математики; 83.4). 24. Шилов Г. Е. Математический анализ. Второй специальный курс / Г. Е. Шилов. — М. : Наука, 1965. — 328 с. The method of influence functions and Green's function (key solutions) de- veloped integral image accurate analytical solutions of algorithmic nature of hyperbolic boundary value problems in bounded piecewise-homogeneous Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 7 139 (multi) spatial regions. To build a major integrated solutions are involved corre- sponding Fourier transform to Cartesian axis and semi-axles and integral Fou- rier transform on n Cartesian segment of coupling points. Key words: hyperbolic equations, initial and boundary conditions, matching, integral transformation, the main solution. Отримано: 22.05.2012 УДК 517.977.56 М. М. Копець, канд. фіз.-мат. наук Національний технічний університет України ‹‹КПІ››, м. Київ ЗАДАЧА ОПТИМАЛЬНОГО КЕРУВАННЯ СИНГУЛЯРНОЮ ЛІНІЙНОЮ СИСТЕМОЮ ІЗ РОЗПОДІЛЕНИМИ ПАРАМЕТРАМИ У статті розглядається задача оптимального керування лі- нійною сингулярною системою з розподіленими параметрами і квадратичним функціоналом. Використовуючи метод множни- ків Лагранжа, отримано рівняння Ейлера—Лагранжа. Для дослі- дження цих рівнянь виведено матричне інтегро-диференціальне рівняння Ріккаті. Доведено єдиність оптимального керування. Ключові слова: оптимальне керування, сингулярна система лінійних диференціальних рівнянь з частинними похідними, метод множників Лагранжа, рівняння Ейлера—Лагранжа, матричне інтегро-диференціальне рівняння Ріккаті. 1. Вступ Дослідження систем диференціальних рівнянь, що не розв’язані відносно старших похідних, почалось ще в сорокових роках минулого століття. Однією із перших робіт, присвячених вище згаданій тематиці, є стаття академіка М. М. Лузіна [10]. Системи подібного типу розгля- нуті також в монографії [8, с. 348]. Однак тільки на початку 80-х років минулого століття почалось систематичне дослідження таких систем. Значне зростання популярності подібних систем пояснюється, з одного боку, їх широким застосуванням для моделювання великого числа практичних задач у техніці, економіці, з другого боку, тією об- ставиною, що таким системам властиві певні особливості у порівняні із системами звичайних диференціальних рівнянь. Такі системи назива- ють по-різному: алгебро-диференціальні системи; вироджені системи; диференціально-алгебраїчні системи; системи не типу Коші- Ковалевської; системи, не розв’язані відносно старших похідних; де- скрипторні системи; сингулярні системи; системи з виродженням. Од- © М. М. Копець, 2012 << /ASCII85EncodePages false /AllowTransparency false /AutoPositionEPSFiles true /AutoRotatePages /All /Binding /Left /CalGrayProfile (Gray Gamma 2.2) /CalRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1) /CalCMYKProfile (Coated FOGRA27 \050ISO 12647-2:2004\051) /sRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1) /CannotEmbedFontPolicy /Warning /CompatibilityLevel 1.3 /CompressObjects /Tags /CompressPages true /ConvertImagesToIndexed true /PassThroughJPEGImages true /CreateJobTicket false /DefaultRenderingIntent /Default /DetectBlends true /DetectCurves 0.1000 /ColorConversionStrategy /sRGB /DoThumbnails false /EmbedAllFonts true /EmbedOpenType false /ParseICCProfilesInComments true /EmbedJobOptions true /DSCReportingLevel 0 /EmitDSCWarnings false /EndPage -1 /ImageMemory 1048576 /LockDistillerParams false /MaxSubsetPct 100 /Optimize true /OPM 1 /ParseDSCComments true /ParseDSCCommentsForDocInfo true /PreserveCopyPage true /PreserveDICMYKValues true /PreserveEPSInfo false /PreserveFlatness false /PreserveHalftoneInfo false /PreserveOPIComments false /PreserveOverprintSettings true /StartPage 1 /SubsetFonts true /TransferFunctionInfo /Apply /UCRandBGInfo /Remove /UsePrologue false /ColorSettingsFile () /AlwaysEmbed [ true ] /NeverEmbed [ true /Arial-Black /Arial-BlackItalic /Arial-BoldItalicMT /Arial-BoldMT /Arial-ItalicMT /ArialMT /ArialNarrow /ArialNarrow-Bold /ArialNarrow-BoldItalic /ArialNarrow-Italic /ArialUnicodeMS /CenturyGothic /CenturyGothic-Bold /CenturyGothic-BoldItalic /CenturyGothic-Italic /CourierNewPS-BoldItalicMT /CourierNewPS-BoldMT /CourierNewPS-ItalicMT /CourierNewPSMT /Georgia /Georgia-Bold /Georgia-BoldItalic /Georgia-Italic /Impact /LucidaConsole /Tahoma /Tahoma-Bold /TimesNewRomanMT-ExtraBold /TimesNewRomanPS-BoldItalicMT /TimesNewRomanPS-BoldMT /TimesNewRomanPS-ItalicMT /TimesNewRomanPSMT /Trebuchet-BoldItalic /TrebuchetMS /TrebuchetMS-Bold /TrebuchetMS-Italic /Verdana /Verdana-Bold /Verdana-BoldItalic /Verdana-Italic ] /AntiAliasColorImages false /CropColorImages false /ColorImageMinResolution 150 /ColorImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleColorImages true /ColorImageDownsampleType /Bicubic /ColorImageResolution 150 /ColorImageDepth -1 /ColorImageMinDownsampleDepth 1 /ColorImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeColorImages true /ColorImageFilter /DCTEncode /AutoFilterColorImages true /ColorImageAutoFilterStrategy /JPEG /ColorACSImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /ColorImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /JPEG2000ColorACSImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /JPEG2000ColorImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /AntiAliasGrayImages false /CropGrayImages false /GrayImageMinResolution 150 /GrayImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleGrayImages true /GrayImageDownsampleType /Bicubic /GrayImageResolution 150 /GrayImageDepth -1 /GrayImageMinDownsampleDepth 2 /GrayImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeGrayImages true /GrayImageFilter /DCTEncode /AutoFilterGrayImages true /GrayImageAutoFilterStrategy /JPEG /GrayACSImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /GrayImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /JPEG2000GrayACSImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /JPEG2000GrayImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /AntiAliasMonoImages false /CropMonoImages false /MonoImageMinResolution 1200 /MonoImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleMonoImages true /MonoImageDownsampleType /Bicubic /MonoImageResolution 1200 /MonoImageDepth -1 /MonoImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeMonoImages true /MonoImageFilter /CCITTFaxEncode /MonoImageDict << /K -1 >> /AllowPSXObjects true /CheckCompliance [ /PDFX1a:2001 ] /PDFX1aCheck false /PDFX3Check false /PDFXCompliantPDFOnly false /PDFXNoTrimBoxError true /PDFXTrimBoxToMediaBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXSetBleedBoxToMediaBox true /PDFXBleedBoxToTrimBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXOutputIntentProfile (None) /PDFXOutputConditionIdentifier () /PDFXOutputCondition () /PDFXRegistryName () /PDFXTrapped /False /CreateJDFFile false /Description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> /CHS <FEFF4f7f75288fd94e9b8bbe5b9a521b5efa7684002000410064006f006200650020005000440046002065876863900275284e8e55464e1a65876863768467e5770b548c62535370300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c676562535f00521b5efa768400200050004400460020658768633002> /CHT <FEFF4f7f752890194e9b8a2d7f6e5efa7acb7684002000410064006f006200650020005000440046002065874ef69069752865bc666e901a554652d965874ef6768467e5770b548c52175370300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c4f86958b555f5df25efa7acb76840020005000440046002065874ef63002> /CZE <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> /DAN <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> /DEU <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> /ENU (Use these settings to create Adobe PDF documents suitable for reliable viewing and printing of business documents. Created PDF documents can be opened with Acrobat and Adobe Reader 5.0 and later.) /ESP <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> /ETI <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> /FRA <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> /GRE <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> /HEB <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> /HRV (Za stvaranje Adobe PDF dokumenata pogodnih za pouzdani prikaz i ispis poslovnih dokumenata koristite ove postavke. Stvoreni PDF dokumenti mogu se otvoriti Acrobat i Adobe Reader 5.0 i kasnijim verzijama.) /HUN <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> /ITA (Utilizzare queste impostazioni per creare documenti Adobe PDF adatti per visualizzare e stampare documenti aziendali in modo affidabile. I documenti PDF creati possono essere aperti con Acrobat e Adobe Reader 5.0 e versioni successive.) /JPN <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> /KOR <FEFFc7740020c124c815c7440020c0acc6a9d558c5ec0020be44c988b2c8c2a40020bb38c11cb97c0020c548c815c801c73cb85c0020bcf4ace00020c778c1c4d558b2940020b3700020ac00c7a50020c801d569d55c002000410064006f0062006500200050004400460020bb38c11cb97c0020c791c131d569b2c8b2e4002e0020c774b807ac8c0020c791c131b41c00200050004400460020bb38c11cb2940020004100630072006f0062006100740020bc0f002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e00300020c774c0c1c5d0c11c0020c5f40020c2180020c788c2b5b2c8b2e4002e> /LTH <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> /LVI <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> /NLD (Gebruik deze instellingen om Adobe PDF-documenten te maken waarmee zakelijke documenten betrouwbaar kunnen worden weergegeven en afgedrukt. De gemaakte PDF-documenten kunnen worden geopend met Acrobat en Adobe Reader 5.0 en hoger.) /NOR <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> /POL <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> /PTB <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> /RUM <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> /SKY <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> /SLV <FEFF005400650020006e006100730074006100760069007400760065002000750070006f0072006100620069007400650020007a00610020007500730074007600610072006a0061006e006a006500200064006f006b0075006d0065006e0074006f0076002000410064006f006200650020005000440046002c0020007000720069006d00650072006e006900680020007a00610020007a0061006e00650073006c006a00690076006f0020006f0067006c00650064006f00760061006e006a006500200069006e0020007400690073006b0061006e006a006500200070006f0073006c006f0076006e0069006800200064006f006b0075006d0065006e0074006f0076002e00200020005500730074007600610072006a0065006e006500200064006f006b0075006d0065006e0074006500200050004400460020006a00650020006d006f0067006f010d00650020006f0064007000720065007400690020007a0020004100630072006f00620061007400200069006e002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000200069006e0020006e006f00760065006a01610069006d002e> /SUO <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> /SVE <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> /TUR <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> /UKR <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> /RUS <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> >> /Namespace [ (Adobe) (Common) (1.0) ] /OtherNamespaces [ << /AsReaderSpreads false /CropImagesToFrames true /ErrorControl /WarnAndContinue /FlattenerIgnoreSpreadOverrides false /IncludeGuidesGrids false /IncludeNonPrinting false /IncludeSlug false /Namespace [ (Adobe) (InDesign) (4.0) ] /OmitPlacedBitmaps false /OmitPlacedEPS false /OmitPlacedPDF false /SimulateOverprint /Legacy >> << /AllowImageBreaks true /AllowTableBreaks true /ExpandPage false /HonorBaseURL true /HonorRolloverEffect false /IgnoreHTMLPageBreaks false /IncludeHeaderFooter false /MarginOffset [ 0 0 0 0 ] /MetadataAuthor () /MetadataKeywords () /MetadataSubject () /MetadataTitle () /MetricPageSize [ 0 0 ] /MetricUnit /inch /MobileCompatible 0 /Namespace [ (Adobe) (GoLive) (8.0) ] /OpenZoomToHTMLFontSize false /PageOrientation /Portrait /RemoveBackground false /ShrinkContent true /TreatColorsAs /MainMonitorColors /UseEmbeddedProfiles false /UseHTMLTitleAsMetadata true >> << /AddBleedMarks false /AddColorBars false /AddCropMarks false /AddPageInfo false /AddRegMarks false /BleedOffset [ 0 0 0 0 ] /ConvertColors /ConvertToRGB /DestinationProfileName (sRGB IEC61966-2.1) /DestinationProfileSelector /UseName /Downsample16BitImages true /FlattenerPreset << /PresetSelector /MediumResolution >> /FormElements true /GenerateStructure false /IncludeBookmarks false /IncludeHyperlinks false /IncludeInteractive false /IncludeLayers false /IncludeProfiles true /MarksOffset 6 /MarksWeight 0.250000 /MultimediaHandling /UseObjectSettings /Namespace [ (Adobe) (CreativeSuite) (2.0) ] /PDFXOutputIntentProfileSelector /DocumentCMYK /PageMarksFile /RomanDefault /PreserveEditing true /UntaggedCMYKHandling /UseDocumentProfile /UntaggedRGBHandling /LeaveUntagged /UseDocumentBleed false >> ] >> setdistillerparams << /HWResolution [600 600] /PageSize [419.528 595.276] >> setpagedevice
id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-48882
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
issn	XXXX-0059
language	Ukrainian
last_indexed	2025-12-07T13:33:25Z
publishDate	2012
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
record_format	dspace
spelling	Конет, І.М. 2013-09-05T09:20:57Z 2013-09-05T09:20:57Z 2012 Гіперболічні крайові задачі в обмежених кусково-однорідних просторових областях / І.М. Конет // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2012. — Вип. 7. — С. 124-139. — Бібліогр.: 24 назв. — укр. XXXX-0059 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/48882 517.947 Методом функції впливу та функцій Гріна (головних розв’язків) побудовано інтегральні зображення точних аналітичних розв’язків алгоритмічного характеру гіперболічних крайових задач в обмежених кусково-однорідних (багатошарових) просторових областях. Для побудови головних розв’язків залучено відповідні інтегральні перетворення Фур’є на декартових осі та півосі, а також інтегральне перетворення Фур’є на декартовому сегменті з n точками спряження. The method of influence functions and Green's function (key solutions) developed integral image accurate analytical solutions of algorithmic nature of hyperbolic boundary value problems in bounded piecewise-homogeneous (multi) spatial regions. To build a major integrated solutions are involved corresponding Fourier transform to Cartesian axis and semi-axles and integral Fourier transform on n Cartesian segment of coupling points. uk Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки Гіперболічні крайові задачі в обмежених кусково-однорідних просторових областях Article published earlier
spellingShingle	Гіперболічні крайові задачі в обмежених кусково-однорідних просторових областях Конет, І.М.
title	Гіперболічні крайові задачі в обмежених кусково-однорідних просторових областях
title_full	Гіперболічні крайові задачі в обмежених кусково-однорідних просторових областях
title_fullStr	Гіперболічні крайові задачі в обмежених кусково-однорідних просторових областях
title_full_unstemmed	Гіперболічні крайові задачі в обмежених кусково-однорідних просторових областях
title_short	Гіперболічні крайові задачі в обмежених кусково-однорідних просторових областях
title_sort	гіперболічні крайові задачі в обмежених кусково-однорідних просторових областях
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/48882
work_keys_str_mv	AT konetím gíperbolíčníkraiovízadačívobmeženihkuskovoodnorídnihprostorovihoblastâh

Гіперболічні крайові задачі в обмежених кусково-однорідних просторових областях

Institution

Similar Items