Зображення обкладинки

Задача Коші для сингулярних еволюційних рівнянь у зліченно-нормованих просторах нескінченно диференційовних функцій. ІІI

У статті визначаються нові класи функцій-символів та нові класи псевдодиференціальних операторів, які будуються за такими символами за допомогою прямого та оберненого перетворення Бесселя. Встановлюється коректна розв’язність задачі Коші для еволюційних рівнянь з псевдо-Бесселевими операторами з поч...

Повний опис

Збережено в:
Бібліографічні деталі
Опубліковано в: :Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки
Дата:2012
Автор: Мартинюк, О.В.
Формат: Стаття
Мова:Українська
Опубліковано: Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2012
Онлайн доступ:https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/48889
Теги: Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:Задача Коші для сингулярних еволюційних рівнянь у зліченно-нормованих просторах нескінченно диференційовних функцій. ІІI / О.В. Мартинюк // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2012. — Вип. 7. — С. 199-212. — Бібліогр.: 7 назв. — укр.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
_version_ 1859757941507227648
author Мартинюк, О.В.
author_facet Мартинюк, О.В.
citation_txt Задача Коші для сингулярних еволюційних рівнянь у зліченно-нормованих просторах нескінченно диференційовних функцій. ІІI / О.В. Мартинюк // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2012. — Вип. 7. — С. 199-212. — Бібліогр.: 7 назв. — укр.
collection DSpace DC
container_title Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки
description У статті визначаються нові класи функцій-символів та нові класи псевдодиференціальних операторів, які будуються за такими символами за допомогою прямого та оберненого перетворення Бесселя. Встановлюється коректна розв’язність задачі Коші для еволюційних рівнянь з псевдо-Бесселевими операторами з початковими функціями з просторів типу розподілів Соболєва—Шварца. The new classes of functions-symbols and new classes of pseudodifferential operators, which are built on such characters by direct and inverse Bessel transformation, are defined in the paper. The correct solvability of the Cauchy problem for evolution equations with pseudo-Bessel operators with initial functions of the spaces such as Sobolev—Schwartz distributions is set.
first_indexed 2025-12-02T01:48:30Z
format Article
fulltext Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 7 199 УДК 517.956 О. В. Мартинюк, канд. фіз.-мат. наук Чернівецький національний університет імені Юрія Федьковича, м. Чернівці ЗАДАЧА КОШІ ДЛЯ СИНГУЛЯРНИХ ЕВОЛЮЦІЙНИХ РІВНЯНЬ У ЗЛІЧЕННО-НОРМОВАНИХ ПРОСТОРАХ НЕСКІНЧЕННО ДИФЕРЕНЦІЙОВНИХ ФУНКЦІЙ. ІІI У статті визначаються нові класи функцій-символів та нові класи псевдодиференціальних операторів, які будуються за та- кими символами за допомогою прямого та оберненого перет- ворення Бесселя. Встановлюється коректна розв’язність задачі Коші для еволюційних рівнянь з псевдо-Бесселевими операто- рами з початковими функціями з просторів типу розподілів Соболєва—Шварца. Ключові слова: перетворення Бесселя, простори основних функцій, простори узагальнених функцій, задача Коші, псевдо- Бесселеві оператори, оператор узагальненого зсуву аргументу. Ця робота є продовженням статей [1; 2]. Тут вивчаються власти- вості оператора узагальненого зсуву аргументу, перетворення Бессе- ля узагальнених функцій, згорток, згортувачів та мультиплікаторів. Оператор узагальненого зсуву аргументу в просторі ,    Символом xT  позначимо оператор узагальненого зсуву аргуме- нту, який відповідає оператору Бесселя [3]:  2 2 2 , 0 ( ) = 2 cos sin , ,xT x b x x d                 де = ( 1) / ( (1/ 2) ( 1/ 2))b       , при цьому [3] 1) [0, ) | ( ) | | ( ) | sup | ( ) |x x x T x T x x        ; 2) ( ) = ( ) ( )xT j sx j sx j s     , { , , } (0, )x s   ; 3) якщо ( )f x , [0, )x  , — неперервна функція, для якої 2 1 0 | ( ) | <f x x dx    , функція ( )g x , [0, )x  , — неперервна і обмежена на [0, ) , то 2 1 2 1 0 0 ( ) ( ) = ( ) ( ) ;x xT f x g x x dx f x T g x x dx         © О. В. Мартинюк, 2012 Математичне та комп’ютерне моделювання 200 4) 1 = 1xT  , ( ) = ( )x xT f x T f   , ( ) = ( )z z x z xT T f T T f    ; 5) [ ( )]( ) = ( ) [ ]( )B x BF T f x j F f    . Лема 1. У просторі ,    визначений і неперервний оператор узагальненого зсуву аргументу xT  . Доведення. Внаслідок властивості 5) для довільної основної фу- нкції ,     маємо, що 1 1[ ]( ) = ( ) [ ]( ) ( ).B x BF T j F           Зазначимо, що при фіксованому  функція ( )j  , як функція  , є мультиплікатором у просторі ,M  . Справді, із інтегрального зобра- ження Пуассона функції j випливають оцінки | ( ) | | | , ,{ , } .k kD j A k         Скориставшись тим, що опукла функція  на нескінченності зростає швидше за довільну лінійну функцію знаходимо, що ,Mj    для довільної функції ,M   . Оскільки 1 ,[ ]B MF    , то ,M   при кожному  . Застосувавши перетворення Бесселя знайдемо, що ,= [ ]x BT F       при кожному  , тобто вказаний оператор ви- значений у просторі ,    . Неперервність оператора xT  випливає з властивості непере- рвності операції прямого та оберненого перетворення Бесселя. Спра- вді, якщо ,{ , , 1}k k        , причому k  при k  у прос- торі ,    , то 1 1 1 1= ( ) [ ]( ) ( ) [ ]( ) =B x k B k B B x k F T j F j F F T                      у просторі ,M  . Застосувавши перетворення BF знайдемо, що x k xT T   при k  у просторі ,    . Лема доведена. Лема 2. Операція узагальненого зсуву аргументу xT  ди- ференційовна у просторі ,    . Доведення. Нехай, за означенням, , 1 ( ) = [ ( ) ( )], ,{ , , } , 0.x xG x T x T x x                       Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 7 201 Для доведення твердження досить встановити, що граничне співвідношення xG T        , 0  , справджується у просторі ,    . Урахувавши властивість неперервності перетворення Бесселя (прямого і оберненого) досить довести, що 1 1[ ] [ ]B B xF G F T           при 0  у просторі ,M  . Іншими словами, це означає, що: 1) сім’я функцій 1{ [ ]BF G    , 0| |   , 0 > 0 — фіксоване чис- ло} обмежена в просторі ,M  , тобто 1 0 , = ( ) > 0 0,| | : [ ]B p a p c c p F G c             при деякому > 0a ; 2) для довільного k  сім’я функцій 2 1 1 , 0{ ( ) := [ ]( ) ( ) ,| | }k k B B xD F G F T                           збігається до нуля при 0  рівномірно по  на кожному відрізку [ , ] (0, )a b   . Доведемо, що умова 1) виконується. Урахувавши властивість 5) оператора xT  одержимо співвідношення: 1 1 11 [ ]( ) = ( [ ]( ) [ ]( )) =B B x B xF G F T F T                 11 = ( ( ( )) ( )) [ ]( ) =Bj j F            1= ( ( )) [ ]( ),0 < < 1.Bj F             Із інтегрального зображення Пуассона нормованої функції Бес- селя випливає, що | ( ( )) | | |, 0 2 ,l lD j c l k                  (1) де = ( )l lc c   ( — фіксоване) і lc не залежить від  . Оскільки 1 ,[ ] MF    , то при деякому > 0a функція 1[ ]BF  задовольняє нерівності 1 ( )| [ ]( ) | ( ) , , \{0}.k k a B kD F c M e k             (2) Математичне та комп’ютерне моделювання 202 Тоді для вказаного > 0a з урахуванням (1), (2) знайдемо, що для фіксованого p  2 2 2 =0 1 ( ) : exp{ ( (1 ) )} ( ) | ( ( ( ))) 2 k k l l k l a M C D j p                    2 1 1 [ ]( ) | exp{ ( (1 ) ) ( )} | | 2 k l BD F a a p               2 2 =0 1 ( ) exp{ ( (1 ) ) (( ) )} 2 k l l k l l C c M a a p               2 2 =0 ( )exp{ ( )}, > 0, k l l k l l C c M       де 0, 2 a p       ,  – фіксоване. Тут ми скористалися нерівністю опуклості для функції  , з якої випливає, що ( ) (( ) ) ( )a a           для вказаного параметра  . З цієї ж нерівності дістаємо також, що 1 ( (1 ) ) (( ) ) (( ) ), > 0. 2 2 2 a a a a p p p                   Із обмежень, накладених на функції  та M випливає також нерівність ( ) exp{ ( )}l lM d     , > 0 . Тоді 2 2 =0 ( ) exp , > 0, 2 k l k l l k l a C c d B p                           де стала > 0kB не залежить від  . Зазначимо також, що ( ) const  при 0   (див. властивості функції 1 ,[ ]B MF    , [1]). Звідси вже випливає нерівність 1 , [ ] , , > 0,B p a F G c p a     де > 0c не залежить від  . Таким чином, сім'я функцій 1{ [ ]BF G    , 0| | }   умову 1) задовольняє. Далі скористаємося такими відомими формулами [4]: 2 2 1 1( ) = ( ), ( ) = ( ),j c j j c j                (3) де стала c залежить лише від  . Тоді Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 7 203 1 1 1[ ]( ) = [ ]( ) = ( ) [ ]( ) =B x B x BF T F T j F                    2 1 1= ( ) [ ]( ),Bc j F     1 1[ ]( ) = ( ( )) [ ]( ) =B BF G j F                2 1 1= ( ( )) [ ]( ).Bc j F          Знову скориставшись формулами (3) знайдемо, що 2 2 1 , 1 1( ) = [ ( ( ( )) ( )) [ ]( )] =k k Bc D j j F                   2 2 4 1 1 2 1= [ ( ( )) [ ]( )], ,k Bcc D j F k                де стала 1 > 0c залежить лише від  , 10 < < 1 . Із властивостей нор- мованої функції Бесселя 2j  (див. інтегральне зображення Пуассона нормованої функції Бесселя) та функції 1[ ]BF  дістаємо, що при ко- жному фіксованому k  функція 2 4 1 2 1[ ( ( )) [ ]( )]k BD j F           є обмеженою деякою сталою = ( , , ) > 0c c k   (не залежною від  ), якщо [ , ] (0, )a b    . Отже, , 0k    при 0  рівномірно на кожному відрізку [ , ] (0, )a b   . Отже, умова 2) також виконується. Лема доведена. Наслідок 1. Операція узагальненого зсуву аргументу нескінчен- но диференційовна в просторі ,    . Для доведення цього твердження досить скористатися лемою 2 та методом математичної індукції. Слідуючи [4], згортку двох функцій з простору ,    визначимо формулою 2 1 , 0 ( * )( ) = ( ) ( ) , { , } .xx T x d                 Із властивостей оператора xT  випливає, що функція *  є ін- тегровною на [0, ) з вагою 2 1x   . Справді, оскільки існує інтеграл 2 1 2 1 0 0 | ( ) ( ) | ,d d             то існує подвійний інтеграл 2 1 2 1 0 0 ( ) ( ) .xT x x d dx           (4) Математичне та комп’ютерне моделювання 204 На підставі (4) твердимо, що існує інтеграл 2 1 0 ( * )( ) ( ) .x j x x dx      Із [1] випливає, що ,M      для довільних двох функцій ,{ , } M     . Оскільки 1= [ ]BF  , 1= [ ]BF  , де ,{ , }       , то маємо співвідношення 1 1 ,[ ] [ ]B B MF F      . З іншого боку, 1 1 2 1 2 1 0 0 [ ] [ ] = ( ) ( ) ( ) ( ) =B BF F c x j x x dx c j d                      2 2 1 2 1 0 0 = ( ( ) ( ) ( ) ) ( ) =c x j j x x dx d                2 2 1 2 1 0 0 = ( ( ) ( ) ) ( ) =xc x T j x x dx d               2 2 1 2 1 0 0 = ( ( ) ( ) ) ( ) =xc T x j x x dx d               2 2 1 2 1 1 0 0 = ( ( ) ( ) ) ( ) = [ * ]( ).x Bc T x d j x x dx c F                    Застосувавши перетворення Бесселя знайдемо, що 1 1 1* = [ [ ] [ ]].B B Bc F F F      Отже, ,*      , якщо ,{ , }       . Простір узагальнених функцій ,( )    . Перетворення Бесселя узагальнених функцій з простору ,( )    Символом ,( )    позначатимемо простір усіх лінійних непере- рвних функціоналів над відповідним простором основних функцій зі слабкою збіжністю, а його елементи називатимемо узагальненими функціями. Регулярними узагальненими функціями або регулярними функціоналами називатимемо лінійні неперервні функціонали, дія яких на основні функції ,     визначається формулою 2 1 0 , = ( ) ( ) .f f x x x dx      Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 7 205 Кожна локально інтегровна парна на  функція f , яка задово- льняє умову 1> 0 (0,[ [ ]]) : | ( ) | (1 | |) ,sc s x f x c x        (5) породжує регулярну узагальнену функцію ,( )fF      : 2 1 , 0 , = ( ) ( ) , .fF f x x x dx           тобто простір ,    вкладається в ,( )    . З леми дю Буа Раймона ви- пливає, що кожна регулярна узагальнена функція з ,( )    визначається однією (з точністю до значень на множині міри нуль) локально інтегров- ною парною на  функцією, яка задовольняє умову (5). З властивостей інтеграла Лебега випливає, що вкладення , ,( )ff F           є неперервним. Оскільки , , , 0 = p p           , причому вкладення , , 1 , ,p p         , p  , неперервні, щільні й компактні, то , , , , ,( ) = ( lim ) = lim ( ) .pr indp p p p                 Отже, якщо ,( )f      , то , ,( )pf      при деякому p  , при цьому ,| , | , , p f c         де = p c f — норма функціоналу f у просторі , ,( )p     . Найменше з таких p називається порядком f , тобто кожна узагальнена функ- ція ,( )f      має скінченний порядок. Зазначимо також, що прави- льними є вкладення , ,0 , ,1 , ,( ) ( ) ( ) ,p                   причому кожне вкладення , , , , 1( ) ( )p p           , p  , є непере- рвним і компактним. Із загальної теореми про повноту простору, спряженого до зліченно-нормованого простору [5] дістаємо, що прос- тір ,( )    — повний відносно слабкої збіжності. Оскільки в просторі ,    визначена операція узагальненого зсуву аргументу, то згортку узагальненої функції ,( )f      з осно- вною функцією задамо формулою Математичне та комп’ютерне моделювання 206 ,( * )( ) = , ( ) , ( ) , ,x xf x f T x f T                при цьому *f  є нескінченно диференційовною на  функцією (згідно з наслідком 1 операція узагальненого зсуву аргументу нескін- ченно диференційовна в просторі ,    ; звідси та з властивості непе- рервності функціоналу f випливає, що * ( )f C   для довільної основної функції  ). У просторі узагальнених функцій ,( )    можна також ввести операцію , ,( ) ( )xf T f            так: для довільної узагальненої функції ,( )f      визначимо узагальнену функцію ,( )xT f      за допомогою співвідношення: ,, = , ( ) , .x xT f f T x            Із властивості неперервності операції xT  в основному просторі ,    випливає неперервність вказаної операції у просторі ,( )    . Аналогічно, за довільною узагальненою функцією ,( )f      визна- чається узагальнена функція xT f : ,, = , ( ) , .x xT f f T              Оскільки ( ) = ( )x xT T x     , то звідси дістаємо, що = x xT f T f  , ,( )f       . Отже, ,, = * , .xT f f         Нехай ,( )f      . Якщо ,*f     , ,     і із співвід- ношення 0  при    за топологією простору ,    випливає, що * 0f   при   за топологією простору ,    , то функці- онал f називається згортувачем у просторі ,    . Оскільки ,    — досконалий простір із диференційовною операцією узагальненого зсуву аргументу, то із результатів, одержаних у [5], випливає, що ко- жний фінітний функціонал є згортувачем у просторі ,    . Відзначи- мо, що фінітні узагальнені функції утворюють досить широкий клас; зокрема, довільна обмежена замкнена множина є носієм узагальненої функції з ' '( )E E  [6]. Тут символом ( )E E  позначено простір усіх нескінченно диференційовних на  функцій з топологією, яка визначається сім'єю півнорм Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 7 207 , ( ) = max | ( ) |, ( ),x x p D x C           де  — компакт в  ,   . Відомо [7], що 'E збігається з сукуп- ністю узагальнених функцій з простору ( ) D , які мають компакт- ний носій. Оскільки ,[ ]BF     , якщо ,M   , то перетворення Бесселя узагальненої функції ,( )f      визначимо за допомогою співвід- ношення ,[ ], = , [ ] , .B B MF f f F          Звідси, з властивості лінійності і неперервності функціоналу f та перетворення Бесселя випливає лінійність і неперервність функці- оналу [ ]BF f , заданого на просторі ,M  . Отже, ,[ ]B MF f   . Теорема 1. Якщо узагальнена функція ,( )f      — згортувач у просторі ,    , то для довільної функції ,     правильною є формула 1 1[ * ] = [ ] [ ], [ ] = [ ].B B B B BF f F f F F c F     Доведення. Згідно з умовою теореми , ,* ( )f          . То- ді, скориставшись означенням перетворення Бесселя (прямого і обер- неного), а також означенням згортки узагальненої функції з основ- ною, запишемо співвідношення , : [ * ], = * , [ ] =M B BF f f F           2 1 2 1 0 0 = ( * )( ) [ ]( ) = , ( ) [ ]( ) =B x Bf x F x x dx f T x F x x dx             (6) 2 1 0 = , ( ) [ ]( )x Bf T x F x x dx        (зазначимо, що остання рівність записана, поки-що, формально). Нехай 2 1 0 ( ) : ( ) [ ]( ) .x BJ T x F x x dx       Тоді 2 1 2 1 0 0 ( ) = ( )( ( ) ( ) ) =xJ T x j x d x dx               Математичне та комп’ютерне моделювання 208 2 1 2 1 0 0 = ( ( ) ( ) ) ( ) =xT x j x x dx d              2 1 2 1 0 0 = ( ( ) ( ) ) ( ) =xx T j x x dx d              2 1 2 1 0 0 = ( ( ) ( ) ( ) ) ( ) =x j j x x dx d               2 1 2 1 0 0 = ( ) ( ) ( ( ) ( ) ) =j x j x x dx d               2 1 0 = ( ) [ ]( ) ( ) = [ [ ] ]( ).B B BF j d F F              Тут ми скористалися теоремою Фубіні, врахувавши, що збіжним є інтеграл 2 1 2 1 0 0 ( | ( ) ( ) ( ) ( ) | ) .x j x j x d dx               Отже, [ * ], = , [ [ ] ] = [ ], [ ] =B B B B BF f f F F F f F             ,= [ ] [ ], , .B B MF f F         Обґрунтуємо коректність проведених в (6) перетворень. Для цього введемо позначення: 2 1 0 ( ) : ( ) [ ]( ) ( ) , > 0. r r BF j d r           Для доведення (6) досить показати, що ( ) ( )r J   при r   у просторі ,    , тобто ( ) := ( ) ( ) 0r rJ     при r   за топологією простору ,    . Це означає, що: 1) сім'я функцій { , 1}r r  обмежена в ,    , тобто = ( ) > 0 > 0 : ;r p p c c p r c     2) для довільного m  сім'я функцій 2{ , > 0}m rD r  збігаєть- ся до нуля при r   рівномірно на кожному відрізку [ , ] [0, )a b   . Доведемо 1). Для довільного m  маємо, що Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 7 209 2 2 2 1 0 ( ) = ( ) [ ]( ) ( ) .m m BD J F D j d             (7) Диференціювання тут по  під знаком інтеграла можливе, оскі- льки вказаний інтеграл є рівномірно збіжним відносно параметра  . Справді, із інтегрального зображення Пуассона нормованої функції Бесселя випливає нерівність 2 2| ( ) | 2 , 0, .m mD j A        Оскільки ,[ ]B MF     , то звідси та з останньої нерівності ді- стаємо, що інтеграл (7) є рівномірно збіжним по параметру  . Із рів- номірної збіжності (по  ) інтеграла (7) випливає рівномірна збіж- ність інтегралів (по  ) 2 2 2 1( ) = ( ) [ ]( ) ( ) ,m m r B r D F D j d              2 2 2 1 0 ( ) = ( ) [ ]( ) ( ) , . r m m r BD F D j d m              Зазначимо, що 2 2 2( ) = ( ) ( ), .m m m r rD D J D m         Тоді 2 2 2| ( ) | | ( ) | | ( ) | .m m m r rD D J D        Розглянемо функції 2 2 2 2 , ,( ) = max( ( ),0), ( ) = min( ( ),0),m m m m r r r rD D D D            які є невід’ємними і врахуємо те, що 2 2 2 2 , ,| ( ) |= ( ) ( ) 2 | ( ) | .m m m m r r rD D D D J            Отже, 2 2 2| ( ) | 3 | ( ) |= 3 | ( [ [ ] ]( )) |, > 0.m m m r B BD D J D F F r          Оскільки 2 ,( [ [ ] ])m B BD F F       , якщо ,     , ,M   , то 2 22 20 0( ) | ( ) | 3 ( ) | ( [ [ ] ]( )) | , m mm m r B B mD D F F c                    (0, ),   де стала > 0mc не залежить від r . Звідси дістаємо, що сім'я функцій { , > 0}r r обмежена в ,    . Властивість 2) випливає з рівномірної збіжності інтеграла (7) по  (рівномірної на кожному відрізку [ , ] [0, )a b   ), встановленої ра- ніше, бо тоді Математичне та комп’ютерне моделювання 210 2 2 1( ) [ ]( ) ( ) 0m B r F D j d            при r   рівномірно по [ , ] [0, )a b    як залишок збіжного інтеграла. Теорема доведена. З доведеної теореми випливає також, що якщо функціонал ,( )f      є згортувачем у просторі ,    , то [ ]BF f — мультиплі- катор у просторі ,M  . Наслідок 2. Нехай узагальнена функція ,( )f      задовольняє умови: 1) [ ]BF f — мультиплікатор у просторі ,M  ; 2) для довільної функції ,     згортка *f  породжує регулярну узагальнену фу- нкцію з простору ,( )    . Тоді f — згортувач у просторі ,    . Справді, урахувавши умови 1), 2), як і при доведенні теореми 1 встановлюємо, що , : [ * ], = * , [ ] =M B BF f f F           2 1 0 = ( * )( ) [ ]( ) = [ ] [ ], ,B B Bf x F x x dx F f F         тобто [ * ] = [ ] [ ]B B BF f F f F  , при цьому ,: [ ] [ ]B B MF f F      . Отже, 1[ * ] =BF f c  , або ,* = [ ]Bf c F       , що й потрібно було довести. Символом ,M   позначатимемо сукупність усіх лінійних непе- рервних функціоналів, заданих на ,M  , зі слабкою збіжністю. Еле- менти простору ,M   також називатимемо узагальненими функція- ми. Перетворення Бесселя узагальненої функції ,Mf   визначимо за допомогою співвідношення 1 ,[ ], = , [ ] , .B BF f f F           (8) Із (8) випливає, що ,[ ] ( )BF f      . Теорема 2. Якщо узагальнена функція ,Mf   — мультиплі- катор у просторі ,M  , то її перетворення Фур’є — згортувач у прос- торі ,    . Доведення. Згідно з означенням згортки узагальненої функції з основною маємо, що Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 7 211 1 ,[ ]* = [ ], ( ) = , [ ( )] , .B B x B xF f F f T x f F T x             Зазначимо також, що з умови теореми випливає, що функціонал f є регулярною узагальненою функцією. Оскільки 1 1[ ( )] = ( ) [ ]( ),B x BF T x j F      то 1[ ]* = , ( ) [ ]( ) =B BF f f j F     1 2 1 1 0 = ( ) ( ) [ ]( ) = [ [ ]].B B Bf j F d F f F            Звідси випливає, що 1 ,[ [ ]]B BF f F     , бо 1 ,[ ]B Mf F    (тут враховано, що 1 ,[ ]B MF    , якщо ,     , а f — мультиплі- катор у просторі ,M  ). Абстрактні функції Нехай X — лінійний топологічний простір або об'єднання (пе- ретин) таких просторів,  — деяка множина чисел. Функцію X     називають абстрактною функцією параметра  у просторі X (див. [5]). Границею абстрактної функції при 0  називається такий елемент 0 X  , що для довільної послідовності { , 1}n n  , 0n  , n  , виконується граничне співвідношення 0n    , n  , у розумінні збіжності в просторі X . Абстрактна функція називається диференційовною у точці 0  , якщо в просторі X існує границя 00 0= 0 | = lim . h d h d h         Відзначимо деякі властивості числових функцій вигляду ,f   , де X  , f X  . За X можна, зокрема, взяти простір ,    . Правильними є наступні твердження [5]: 1) якщо 0    при 0  у просторі X , 0 f f  при 0  у просторі X  (тоб- то слабко), то 0 0 , ,f f         при 0  ; 2) якщо абстрактна функція  диференційовна в точці   , функціонал f X  — слабко диференційовна функція параметра  , то ,f   — дифере- нційовна функція, причому Математичне та комп’ютерне моделювання 212 , = , , . df dd f f d d d                    Список використаних джерел: 1. Мартинюк О. В. Задача Коші для сингулярних еволюційних рівнянь у зліченно-нормованих просторах нескінченно диференційовних функцій. І / О. В. Мартинюк // Математичне та комп’ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки : зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський Кам’янець-Поділ. нац. ун-т ім. І. Огієнка, 2011. — Вип. 5. — С. 179–192. 2. Мартинюк О.В. Задача Коші для сингулярних еволюційних рівнянь у зліченно-нормованих просторах нескінченно диференційовних функцій. ІІ / О. В. Мартинюк // Математичне та комп’ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки : зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський : Кам’янець-Поділ. нац. ун-т ім. І. Огієнка, 2011. — Вип. 6. — С. 157–171. 3. Левитан Б.И. Разложения по функциям Бесселя в ряды и интегралы Фурье / Б.И. Левитан // Успехи мат. наук. — 1951. — Т.6, вып. 2. — С. 102–143. 4. Житомирский Я. И. Задача Коши для систем линейных уравнений в част- ных производных с дифференциальним оператором Бесселя / Я. И. Жи- томирский // Матем. сб. — 1955. — Т. 36, №2. — С. 299–310. 5. Гельфанд И. М. Пространства основных и обобщенных функций / И. М. Гельфанд, Г. Е. Шилов. — М. : Физматгиз, 1958. — 307 с. 6. Городецький В. В. Граничні властивості гладких у шарі розв’язків рівнянь параболічного типу / В. В. Городецький. — Чернівці : Рута, 1998. — 225 с. 7. Матийчук М. И. Об одном методе решения задачи Коши для сингуляр- ных параболических уравнений / М. И. Матийчук // Укр. мат. журн. — 1992. — Т. 44, №1. — С. 135–138. The new classes of functions-symbols and new classes of pseudo- differential operators, which are built on such characters by direct and in- verse Bessel transformation, are defined in the paper. The correct solvabil- ity of the Cauchy problem for evolution equations with pseudo-Bessel op- erators with initial functions of the spaces such as Sobolev—Schwartz dis- tributions is set. Key words: Bessel transformation, spaces of basic functions, spaces of generalized functions, the Cauchy problem, pseudo-Bessel operators, the operator of generalized shift of the argument. Отримано: 14.06.2011 << /ASCII85EncodePages false /AllowTransparency false /AutoPositionEPSFiles true /AutoRotatePages /All /Binding /Left /CalGrayProfile (Gray Gamma 2.2) /CalRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1) /CalCMYKProfile (Coated FOGRA27 \050ISO 12647-2:2004\051) /sRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1) /CannotEmbedFontPolicy /Warning /CompatibilityLevel 1.3 /CompressObjects /Tags /CompressPages true /ConvertImagesToIndexed true /PassThroughJPEGImages true /CreateJobTicket false /DefaultRenderingIntent /Default /DetectBlends true /DetectCurves 0.1000 /ColorConversionStrategy /sRGB /DoThumbnails false /EmbedAllFonts true /EmbedOpenType false /ParseICCProfilesInComments true /EmbedJobOptions true /DSCReportingLevel 0 /EmitDSCWarnings false /EndPage -1 /ImageMemory 1048576 /LockDistillerParams false /MaxSubsetPct 100 /Optimize true /OPM 1 /ParseDSCComments true /ParseDSCCommentsForDocInfo true /PreserveCopyPage true /PreserveDICMYKValues true /PreserveEPSInfo false /PreserveFlatness false /PreserveHalftoneInfo false /PreserveOPIComments false /PreserveOverprintSettings true /StartPage 1 /SubsetFonts true /TransferFunctionInfo /Apply /UCRandBGInfo /Remove /UsePrologue false /ColorSettingsFile () /AlwaysEmbed [ true ] /NeverEmbed [ true /Arial-Black /Arial-BlackItalic /Arial-BoldItalicMT /Arial-BoldMT /Arial-ItalicMT /ArialMT /ArialNarrow /ArialNarrow-Bold /ArialNarrow-BoldItalic /ArialNarrow-Italic /ArialUnicodeMS /CenturyGothic /CenturyGothic-Bold /CenturyGothic-BoldItalic /CenturyGothic-Italic /CourierNewPS-BoldItalicMT /CourierNewPS-BoldMT /CourierNewPS-ItalicMT /CourierNewPSMT /Georgia /Georgia-Bold /Georgia-BoldItalic /Georgia-Italic /Impact /LucidaConsole /Tahoma /Tahoma-Bold /TimesNewRomanMT-ExtraBold /TimesNewRomanPS-BoldItalicMT /TimesNewRomanPS-BoldMT /TimesNewRomanPS-ItalicMT /TimesNewRomanPSMT /Trebuchet-BoldItalic /TrebuchetMS /TrebuchetMS-Bold /TrebuchetMS-Italic /Verdana /Verdana-Bold /Verdana-BoldItalic /Verdana-Italic ] /AntiAliasColorImages false /CropColorImages false /ColorImageMinResolution 150 /ColorImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleColorImages true /ColorImageDownsampleType /Bicubic /ColorImageResolution 150 /ColorImageDepth -1 /ColorImageMinDownsampleDepth 1 /ColorImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeColorImages true /ColorImageFilter /DCTEncode /AutoFilterColorImages true /ColorImageAutoFilterStrategy /JPEG /ColorACSImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /ColorImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /JPEG2000ColorACSImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /JPEG2000ColorImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /AntiAliasGrayImages false /CropGrayImages false /GrayImageMinResolution 150 /GrayImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleGrayImages true /GrayImageDownsampleType /Bicubic /GrayImageResolution 150 /GrayImageDepth -1 /GrayImageMinDownsampleDepth 2 /GrayImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeGrayImages true /GrayImageFilter /DCTEncode /AutoFilterGrayImages true /GrayImageAutoFilterStrategy /JPEG /GrayACSImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /GrayImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /JPEG2000GrayACSImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /JPEG2000GrayImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /AntiAliasMonoImages false /CropMonoImages false /MonoImageMinResolution 1200 /MonoImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleMonoImages true /MonoImageDownsampleType /Bicubic /MonoImageResolution 1200 /MonoImageDepth -1 /MonoImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeMonoImages true /MonoImageFilter /CCITTFaxEncode /MonoImageDict << /K -1 >> /AllowPSXObjects true /CheckCompliance [ /PDFX1a:2001 ] /PDFX1aCheck false /PDFX3Check false /PDFXCompliantPDFOnly false /PDFXNoTrimBoxError true /PDFXTrimBoxToMediaBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXSetBleedBoxToMediaBox true /PDFXBleedBoxToTrimBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXOutputIntentProfile (None) /PDFXOutputConditionIdentifier () /PDFXOutputCondition () /PDFXRegistryName () /PDFXTrapped /False /CreateJDFFile false /Description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> /CHS <FEFF4f7f75288fd94e9b8bbe5b9a521b5efa7684002000410064006f006200650020005000440046002065876863900275284e8e55464e1a65876863768467e5770b548c62535370300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c676562535f00521b5efa768400200050004400460020658768633002> /CHT <FEFF4f7f752890194e9b8a2d7f6e5efa7acb7684002000410064006f006200650020005000440046002065874ef69069752865bc666e901a554652d965874ef6768467e5770b548c52175370300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c4f86958b555f5df25efa7acb76840020005000440046002065874ef63002> /CZE <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> /DAN <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> /DEU <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> /ENU (Use these settings to create Adobe PDF documents suitable for reliable viewing and printing of business documents. Created PDF documents can be opened with Acrobat and Adobe Reader 5.0 and later.) /ESP <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> /ETI <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> /FRA <FEFF005500740069006c006900730065007a00200063006500730020006f007000740069006f006e00730020006100660069006e00200064006500200063007200e900650072002000640065007300200064006f00630075006d0065006e00740073002000410064006f006200650020005000440046002000700072006f00660065007300730069006f006e006e0065006c007300200066006900610062006c0065007300200070006f007500720020006c0061002000760069007300750061006c00690073006100740069006f006e0020006500740020006c00270069006d007000720065007300730069006f006e002e0020004c0065007300200064006f00630075006d0065006e00740073002000500044004600200063007200e900e90073002000700065007500760065006e0074002000ea0074007200650020006f007500760065007200740073002000640061006e00730020004100630072006f006200610074002c002000610069006e00730069002000710075002700410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e0030002000650074002000760065007200730069006f006e007300200075006c007400e90072006900650075007200650073002e> /GRE <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> /HEB <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> /HRV (Za stvaranje Adobe PDF dokumenata pogodnih za pouzdani prikaz i ispis poslovnih dokumenata koristite ove postavke. Stvoreni PDF dokumenti mogu se otvoriti Acrobat i Adobe Reader 5.0 i kasnijim verzijama.) /HUN <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> /ITA (Utilizzare queste impostazioni per creare documenti Adobe PDF adatti per visualizzare e stampare documenti aziendali in modo affidabile. I documenti PDF creati possono essere aperti con Acrobat e Adobe Reader 5.0 e versioni successive.) /JPN <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> /KOR <FEFFc7740020c124c815c7440020c0acc6a9d558c5ec0020be44c988b2c8c2a40020bb38c11cb97c0020c548c815c801c73cb85c0020bcf4ace00020c778c1c4d558b2940020b3700020ac00c7a50020c801d569d55c002000410064006f0062006500200050004400460020bb38c11cb97c0020c791c131d569b2c8b2e4002e0020c774b807ac8c0020c791c131b41c00200050004400460020bb38c11cb2940020004100630072006f0062006100740020bc0f002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e00300020c774c0c1c5d0c11c0020c5f40020c2180020c788c2b5b2c8b2e4002e> /LTH <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> /LVI <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> /NLD (Gebruik deze instellingen om Adobe PDF-documenten te maken waarmee zakelijke documenten betrouwbaar kunnen worden weergegeven en afgedrukt. De gemaakte PDF-documenten kunnen worden geopend met Acrobat en Adobe Reader 5.0 en hoger.) /NOR <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> /POL <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> /PTB <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> /RUM <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> /SKY <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> /SLV <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> /SUO <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> /SVE <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> /TUR <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> /UKR <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> /RUS <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> >> /Namespace [ (Adobe) (Common) (1.0) ] /OtherNamespaces [ << /AsReaderSpreads false /CropImagesToFrames true /ErrorControl /WarnAndContinue /FlattenerIgnoreSpreadOverrides false /IncludeGuidesGrids false /IncludeNonPrinting false /IncludeSlug false /Namespace [ (Adobe) (InDesign) (4.0) ] /OmitPlacedBitmaps false /OmitPlacedEPS false /OmitPlacedPDF false /SimulateOverprint /Legacy >> << /AllowImageBreaks true /AllowTableBreaks true /ExpandPage false /HonorBaseURL true /HonorRolloverEffect false /IgnoreHTMLPageBreaks false /IncludeHeaderFooter false /MarginOffset [ 0 0 0 0 ] /MetadataAuthor () /MetadataKeywords () /MetadataSubject () /MetadataTitle () /MetricPageSize [ 0 0 ] /MetricUnit /inch /MobileCompatible 0 /Namespace [ (Adobe) (GoLive) (8.0) ] /OpenZoomToHTMLFontSize false /PageOrientation /Portrait /RemoveBackground false /ShrinkContent true /TreatColorsAs /MainMonitorColors /UseEmbeddedProfiles false /UseHTMLTitleAsMetadata true >> << /AddBleedMarks false /AddColorBars false /AddCropMarks false /AddPageInfo false /AddRegMarks false /BleedOffset [ 0 0 0 0 ] /ConvertColors /ConvertToRGB /DestinationProfileName (sRGB IEC61966-2.1) /DestinationProfileSelector /UseName /Downsample16BitImages true /FlattenerPreset << /PresetSelector /MediumResolution >> /FormElements true /GenerateStructure false /IncludeBookmarks false /IncludeHyperlinks false /IncludeInteractive false /IncludeLayers false /IncludeProfiles true /MarksOffset 6 /MarksWeight 0.250000 /MultimediaHandling /UseObjectSettings /Namespace [ (Adobe) (CreativeSuite) (2.0) ] /PDFXOutputIntentProfileSelector /DocumentCMYK /PageMarksFile /RomanDefault /PreserveEditing true /UntaggedCMYKHandling /UseDocumentProfile /UntaggedRGBHandling /LeaveUntagged /UseDocumentBleed false >> ] >> setdistillerparams << /HWResolution [600 600] /PageSize [419.528 595.276] >> setpagedevice
id nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-48889
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
issn XXXX-0059
language Ukrainian
last_indexed 2025-12-02T01:48:30Z
publishDate 2012
publisher Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
record_format dspace
spelling Мартинюк, О.В.
2013-09-05T09:39:43Z
2013-09-05T09:39:43Z
2012
Задача Коші для сингулярних еволюційних рівнянь у зліченно-нормованих просторах нескінченно диференційовних функцій. ІІI / О.В. Мартинюк // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2012. — Вип. 7. — С. 199-212. — Бібліогр.: 7 назв. — укр.
XXXX-0059
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/48889
517.956
У статті визначаються нові класи функцій-символів та нові класи псевдодиференціальних операторів, які будуються за такими символами за допомогою прямого та оберненого перетворення Бесселя. Встановлюється коректна розв’язність задачі Коші для еволюційних рівнянь з псевдо-Бесселевими операторами з початковими функціями з просторів типу розподілів Соболєва—Шварца.
The new classes of functions-symbols and new classes of pseudodifferential operators, which are built on such characters by direct and inverse Bessel transformation, are defined in the paper. The correct solvability of the Cauchy problem for evolution equations with pseudo-Bessel operators with initial functions of the spaces such as Sobolev—Schwartz distributions is set.
uk
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки
Задача Коші для сингулярних еволюційних рівнянь у зліченно-нормованих просторах нескінченно диференційовних функцій. ІІI
Article
published earlier
spellingShingle Задача Коші для сингулярних еволюційних рівнянь у зліченно-нормованих просторах нескінченно диференційовних функцій. ІІI
Мартинюк, О.В.
title Задача Коші для сингулярних еволюційних рівнянь у зліченно-нормованих просторах нескінченно диференційовних функцій. ІІI
title_full Задача Коші для сингулярних еволюційних рівнянь у зліченно-нормованих просторах нескінченно диференційовних функцій. ІІI
title_fullStr Задача Коші для сингулярних еволюційних рівнянь у зліченно-нормованих просторах нескінченно диференційовних функцій. ІІI
title_full_unstemmed Задача Коші для сингулярних еволюційних рівнянь у зліченно-нормованих просторах нескінченно диференційовних функцій. ІІI
title_short Задача Коші для сингулярних еволюційних рівнянь у зліченно-нормованих просторах нескінченно диференційовних функцій. ІІI
title_sort задача коші для сингулярних еволюційних рівнянь у зліченно-нормованих просторах нескінченно диференційовних функцій. ііi
url https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/48889
work_keys_str_mv AT martinûkov zadačakošídlâsingulârnihevolûcíinihrívnânʹuzlíčennonormovanihprostorahneskínčennodiferencíiovnihfunkcíiííi

Схожі ресурси