Гібридне інтегральне перетворення типу Бесселя-Фур'є-Лежандра на полярній осі r ≥ R0 > 0 із спектральним параметром в крайових умовах та умовах спряження
Методом дельта-подібної послідовності (ядро Коші) запроваджено гібридне інтегральне перетворення типу Бесселя-Фур'є-Лежандра на полярній осі з виколотим полюсом та з двома точками спряження в припущенні, що спектральний параметр бере участь в крайових умовах і умовах спряження. The method of de...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки |
|---|---|
| Дата: | 2012 |
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2012
|
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/48892 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Гібридне інтегральне перетворення типу Бесселя-Фур'є-Лежандра на полярній осі r ≥ R0 > 0 із спектральним параметром в крайових умовах та умовах спряження / Т.М. Пилипюк // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2012. — Вип. 7. — С. 242-258. — Бібліогр.: 12 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859740662938730496 |
|---|---|
| author | Пилипюк, Т.М. |
| author_facet | Пилипюк, Т.М. |
| citation_txt | Гібридне інтегральне перетворення типу Бесселя-Фур'є-Лежандра на полярній осі r ≥ R0 > 0 із спектральним параметром в крайових умовах та умовах спряження / Т.М. Пилипюк // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2012. — Вип. 7. — С. 242-258. — Бібліогр.: 12 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки |
| description | Методом дельта-подібної послідовності (ядро Коші) запроваджено гібридне інтегральне перетворення типу Бесселя-Фур'є-Лежандра на полярній осі з виколотим полюсом та з двома точками спряження в припущенні, що спектральний параметр бере участь в крайових умовах і умовах спряження.
The method of delta-like sequence (Cauchy kernel) inculcates hybrid integral transformation of Bessel—Fourier—Legendre type on polar axis with with the pricked pole out and two points of interface in supposition, that a spectral parameter takes part in the in regional terms and terms of interface.
|
| first_indexed | 2025-12-01T17:39:20Z |
| format | Article |
| fulltext |
Математичне та комп’ютерне моделювання
242
УДК 517.91:532.26
Т. М. Пилипюк, викладач
Кам'янець-Подільський національний університет
імені Івана Огієнка, м. Кам'янець-Подільський
ГІБРИДНЕ ІНТЕГРАЛЬНЕ ПЕРЕТВОРЕННЯ ТИПУ
БЕССЕЛЯ—ФУР'Є—ЛЕЖАНДРА НА ПОЛЯРНІЙ ОСІ
0 0r R ІЗ СПЕКТРАЛЬНИМ ПАРАМЕТРОМ
В КРАЙОВИХ УМОВАХ ТА УМОВАХ СПРЯЖЕННЯ
Методом дельта-подібної послідовності (ядро Коші) за-
проваджено гібридне інтегральне перетворення типу Бессе-
ля—Фур'є—Лежандра на полярній осі з виколотим полюсом
та з двома точками спряження в припущенні, що спектральний
параметр бере участь в крайових умовах і умовах спряження.
Ключові слова: гібридний диференціальний оператор, гі-
бридне інтегральне перетворення, ядро Коші, вагова функція,
спектральна функція, спектральна щільність, функції впливу,
основна тотожність.
Вступ. Вивчення фізико-технічних характеристик композитних ма-
теріалів, які знаходяться в різних умовах експлуатації, математично при-
водить до задачі інтегрування сепаратної системи диференціальних рів-
нянь другого порядку на кусково-однорідному інтервалі. Одним із ефек-
тивних методів одержання інтегрального зображення аналітичного роз-
в'язку таких задач є метод гібридних інтегральних перетворень (ГІП),
започаткованих в роботі [11]. Основні положення теорії ГІП закладено в
роботі [12]. Ця стаття присвячена запровадженню одного з типів ГІП із
спектральним параметром в умовах спряження та крайових умовах.
Основна частина. Розглянемо диференціальні оператори Бессе-
ля, Лежандра та Фур’є:
2 2 2
2
, 32 2
2 1d d
B q
r drdr r
[1],
2 22
1 2
( ) 2
1 1
4 2 1 1
d d
cthr
dr chr chrdr
[2],
2
2
d
dr
[3], 2 1 0 ,
; 1 2 0 , 1 2( ) ( ) .
З допомогою одиничної функції Гевісайда ( )x [4] утворимо гі-
бридний диференціальний оператор (ГДО)
( ) 2
, 0 1 1 ,
2
2 2
1 2 2 2 ( ) 32
( ) ( )
( ) ( ) ( ) .
M r R R r a B
d
r R R r a r R a
dr
(1)
© Т. М. Пилипюк, 2012
Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 7
243
Запровадимо інтегральне перетворення, породжене на множині
2 0 1 1 2 2 0: ( , ) ( , ) ( , ); 0I r r R R R R R R ГДО ( )
,M
, в при-
пущенні, що в крайових умовах та в умовах спряження бере участь
спектральний параметр.
Означення. Областю визначення ГДО ( )
,M
назвемо множину
G вектор-функцій 1 2 3{ ( ); ( ); ( )}g g r g r g r з такими властивостями:
1) вектор-функція ''
, 1 2 ( ) 3( ) [ ( )]; ( ); [ ( )]f r B g r g r g r неперервна
на 2I ,
2) функції ( )jg r задовольняють крайові умови
0
0 0
11 11 1( ) ( ) 0,
r R
d
g r
dr
3 ( ) 0,lim
r
r g r
(2)
3) функції ( )jg r задовольняють умови спряження
~ ~ ~~
1 1 2 2 1( ) ( ) ( ) ( ) 0, , 1, 2.
k
k k k k
j j k j j k r R
d d
g r g r j k
dr dr
(3)
У рівностях (2), (3) прийняті позначення: 0 0 2 2 0
11 11 11 ,
0 0 2 2 0
11 11 11 , 2 2( ) ,k k k
jm jm jm 2 2( )k k k
jm jm jm ,
де 2 0 — спектральний параметр.
Будемо вважати, що виконані умови на коефіцієнти:
0
11 0 , 0
11 0 , 0 0
11 11 0 ; 0k
jm , 0k
jm , 0k
jm , 0k
jm ;
11, 21, 0,k kc c 1, 2 1 1 2
k k k k
j k j j j jc ; 2, 2 1 1 2 0,k k k k
j k j j j jc
1 2 2 1 1 2 2 1
k k k k k k k k
j j j j j j j j , 1 0,a 2 0,a 3 0.a
Визначимо величини
11,1 11,22 2
1 1 2 1
21,1 21,2 1
c c shR
a
c c R
, 11,22
2 2 2
21,2
,
c
a shR
c
2
3 3 1a ,
вагову функцію
2 1
0 1 1
1 2 2 2 3
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
r r R R r r
r R R r r R shr
(4)
та скалярний добуток
Математичне та комп’ютерне моделювання
244
1
2
1 2
2 1
1 1 1
0 0
2 2 2 3 3 3
( ), ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) .
R
R
R R
u r v r u r v r r dr u r v r r dr
u r v r dr u r v r shrdr
(5)
Зауважимо, що із умов спряження (3) випливає базова тотожність:
21,
1 1 1 1
11,
( ) ( ) ( ) ( )
[ ( ) ( ) ( ) ( )] .
j
j
j j j j r R
j
j j j j r R
j
u r v r u r v r
c
u r v r u r v r
c
(6)
Покажемо, що ГДО ( )
,M
самоспряжений оператор.
Згідно правила (5) розглянемо вираз
1
0
2
1 2
( ) 2 2 1
, 1 , 1 1 1
2
2 22
2 2 2 3 ( ) 3 3 32
( ) , ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) .
R
R
R
R R
u r v r a B u r v r r dr
d u
a v r dr a u r v r shrdr
dr
(7)
Проінтегруємо в рівності (7) під знаками інтегралів два рази ча-
стинами:
1( ) 2 2 1 1 1
, 1 1 1 1
0
22 2 3 32 2
2 2 2 2 3 3 3 3
1 2
( )
,
[ ( )], ( )
( ), [ ( )] .
Rdu dv
M u r v r a r v u
Rdr dr
r R du dvdu dv
a v u a shr v u
r R Rdr dr dr dr
u r M v r
(8)
В силу крайової умови в точці 0r R вираз
0 01 1
1 1 11 11 1 1 00
0 011
10 0 0
1 0 11 11 1 11 1 0 1 0
0
1
( ) ( )
( )( ) ( ) [0 ( ) ( ) 0] 0.
r R r R
du dv d
v u u r v R
dr dr dr
d
u R v r v R u R
r Rdr
(9)
В силу вибору чисел 1 та 2 і внаслідок базової тотожності (6)
в точці 1r R знаходимо, що
2 2 1 21 1 2 2
1 1 1 1 1 2 2 2 2
1 1
du dv du dv
a R v u a v u
r R r Rdr dr dr dr
Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 7
245
21,12 2 1 2 2 2
1 1 1 2 2 2 2
111,1
11,1 11,2 21,1 11,2 2 2
2 2 2 2
121,1 21,2 11,1 21,2
c du dv
a R a v u
r Rc dr dr
c c c c du dv
shR shR v u
r Rc c c c dr dr
(10)
11,2 2 2
2 2 2
121,2
(1 1) 0.
c du dv
shR v u
r Rc dr dr
В силу вибору чисел 2 та 3 і внаслідок базової тотожності (6)
в точці 2r R знаходимо, що
2 2 3 32 2
2 2 2 2 3 3 2 3 3
2 2
21,22 2 3 3
2 2 3 3 2 3 3
211,2
11,2 21,2 3 3
2 2 3 3
221,2 11,2
0.
du dvdu dv
a v u a shR v u
r R r Rdr dr dr dr
c du dv
a a shR v u
r Rc dr dr
c c du dv
shR shR v u
r Rc c dr dr
(11)
Внаслідок співвідношень (9)—(11) та умови обмеження в точці
r позаінтегральні доданки в рівності (8) дорівнюють нулю. Рів-
ність (8) набуває вигляду
( ) ( )
, ,[ ], , [ ] .M u v u M v
(12)
Наявність рівності (12) означає, що ГДО ( )
,M
є самоспряжений.
Звідси випливає, що власні числа ГДО ( )
,M
дійсні. Оскільки опера-
тор ( )
,M
має на множині 2I одну особливу точку r , то його
спектр неперервний.
Висновок: Спектр ГДО ( )
,M
дійсний та неперервний. Можна
вважати, що спектральний параметр (0, ) . Йому відповідає дій-
сна спектральна вектор-функція
( )( )
, 0 1 , ;1
( ) ( )
1 2 2, ;2 , ;3
( , ) ( ) ( ) ( , )
( ) ( ) ( , ) ( ) ( , ).
V r r R R r V r
r R R r V r r R V r
(13)
При цьому функції ( )
, ; ( , )jV r
повинні задовольняти відповідно
диференціальні рівняння
( )2
, 1 0 1, ;1( , ) 0, ( , )B b V r r R R
,
Математичне та комп’ютерне моделювання
246
2
( )2
2 1 2, ;22
( , ) 0, ( , )
d
b V r r R R
dr
, (14)
( )2
( ) 3 2, ;3 ( , ) 0, ( , )b V r r R
,
крайові умови (2) та умови спряження (3); 1 2 2 1/2( )j j jb a k , 2 0jk .
Фундаментальну систему розв'язків для диференціального рів-
няння Бесселя 2
, 1 0B b v складають функції , 1( )J b r та
, 1( )N b r [1]; фундаментальну систему розв'язків для диференціаль-
ного рівняння Лежандра 2
( ) 3 0b v складають функції
*
3
( ) ( )A chr
та *
3
( ) ( )B chr
, *
3 31 2 ib [2]; фундаментальну систему
розв'язків для диференціального рівняння Фур'є
2
2
22
( ) 0
d
b v
dr
скла-
дають функції 2cosb r та 2sin b r [3].
В силу лінійності задачі (2), (3), (14) покладемо
( )
1 , 1 1 , 1 0 1, ;1( , ) ( ) ( ), ( , )V r A J b r B N b r r R R
,
( )
2 2 2 2 1 2, ;2 ( , ) cos sin , ( , )V r A b r B b r r R R
, (15)
* *
3 3
( ) ( ) ( )
3 3 2, ;3 ( , ) ( ) ( ), ( , ).V r A A chr B B chr r R
Крайова умова в точці 0r R та умови спряження (3) для визна-
чення шести величин , ( 1,3)j jA B j дають однорідну алгебраїчну
систему з п'яти рівнянь:
01 02
, ;11 1 0 1 , ;11 1 0 1( ) ( ) 0u b R A u b R B ,
11 12
, ; 1 1 1 1 , ; 1 1 1 1
11 12
2 2 1 2 2 2 1 2
( ) ( )
( ) ( ) 0, 1,2;
j j
j j
u b R A u b R B
v b R A v b R B j
(16)
* *
3 3
( );21 ( );2221 22
1 2 2 2 1 2 2 2 2 3 2 3; 2 ; 2
( ) ( ) ( ) ( ) 0.j j j j
v b R A v b R B Y chR A Y chR B
Сумісну алгебраїчну систему (16) розв'язуємо стандартним спо-
собом [5].
Нехай 02
1 0 , ;11 1 0( )A A u b R , 01
1 0 , ;11 1 0( )B A u b R , де 0 0A під-
лягає визначенню. Перше рівняння системи (16) стає тотожністю.
Для визначення величин 2 2,A B маємо алгебраїчну систему:
11 12
2 2 1 2 2 2 1 2 0 , ; 1 1 0 1 1( ) ( ) ( , ), 1,2.j j jv b R A v b R B A b R b R j (17)
Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 7
247
Визначник алгебраїчної системи (17) обчислюється безпосередньо:
11 12 11 12
12 2 1 22 2 1 22 2 1 12 2 1 21,1 2( ) ( ) ( ) ( ) 0.v b R v b R v b R v b R c b
Алгебраїчна система (17) має єдиний розв'язок [5]:
12 120
2 , ;11 1 0 1 1 22 2 1 , ;21 1 0 1 1 12 2 1
21,1 2
( , ) ( ) ( , ) ( )
A
A b R b R v b R b R b R v b R
c b , (18)
11 110
2 , ;21 1 0 1 1 12 2 1 , ;11 1 0 1 1 22 2 1
21,1 2
( , ) ( ) ( , ) ( ) .
A
B b R b R v b R b R b R v b R
c b
При відомих 2A , 2B для визначення величин 3A , 3B отримуємо
алгебраїчну систему:
* *
3 3
( );21 ( );22 0
2 3 2 3 , ;; 2 ; 2
21,1 2
( ) ( ) ( ), 1, 2.jj j
A
Y chR A Y chR B a j
c b
(19)
Визначник алгебраїчної системи (19) обчислюється безпосередньо:
* * * *
3 3 3 3
( );21 ( );22 ( );21 ( );22
2 2 2 2;12 ;22 ;22 ;12
21,2
( )
( ) 3 2
( ) ( ) ( ) ( )
( ) 0.
( )
Y chR Y chR Y chR Y chR
c
q
S b shR
Алгебраїчна система (19) має єдиний розв'язок [5]:
( ) ( )
0 21,1 2 ( ) 3 3, ;2 , ;1( ), ( ), ( ).A c b q A B
(20)
У рівностях (17)—(20) беруть участь функції:
01 12 02 11
, ; 1 1 0 1 1 , ;11 1 0 , ; 1 1 1 , ;11 1 0 , ; 1 1 1( , ) ( ) ( ) ( ) ( ),
1,2;
j j jb R b R u b R u b R u b R u b R
j
11 22 12 21
2 1 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2( , ) ( ) ( ) ( ) ( ); , 1, 2;jk j k j kb R b R v b R v b R v b R v b R j k
, ; , ;21 1 0 1 1 1 2 1 2 2
, ;11 1 0 1 1 2 2 1 2 2
( ) ( , ) ( , )
( , ) ( , ); 1, 2;
j j
j
a b R b R b R b R
b R b R b R b R j
* *
3 3
( );2 ( );2( )
, ; , ;2 2 , ;1 2;12 ;22
( ) ( ) ( ) ( ) ( ), 1, 2j j
j a Y chR a Y chR j
.
Всі інші функції загальноприйняті [6].
Підставивши обчислені за формулами (18) та (20) величини Аj та
Вj ( 1,3)j у рівності (15), одержуємо функції:
( )
21 2 ( ), ;1
01 02
, ;11 1 0 , 1 , ;11 1 0 , 1
( , ) ( )
[ ( ) ( ) ( ) ( )]
V r c b q
u b R N b r u b R J b r
0
21 2 ( ) , ;11 1 0 1( ) ( , ),c b q b R b r
Математичне та комп’ютерне моделювання
248
( ) 1
( ) , ;11 1 0 1 1 22 2 1 2, ;2
1
, ;21 1 0 1 1 12 2 1 2
( , ) ( )[ ( , ) ( , )
( , ) ( , )],
V r q b R b R b R b r
b R b R b R b r
1 12 11
2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2( , ) ( ) cos ( ) sinj j jb R b r v b R b r v b R b r , (21)
* *
3 3
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
, ;3 , ;1 , ;2( , ) ( ) ( ) ( ) ( )V r B chr A chr
.
Згідно рівності (13) спектральна вектор-функція стає відомою
(визначеною).
Введемо до розгляду спектральну щільність
12 2( ) ( )( )
, ( ) 3 ( ) 3, ;1 , ;2( ) ( ) ( ) ( ) ( )S b b
. (22)
Наявність вагової функції ( )r , спектральної вектор-функції
( )
, ( , )V r
та спектральної щільності ( )
, ( )
дозволяє визначити
пряме ( )
,H
та обернене ( )
,H
гібридне інтегральне перетворення
(ГІП), породжене на множині 2I ГДО ( )
,M
[7]:
0
( ) ( )
, ,[ ( )] ( ) ( , ) ( ) ( ),
R
H g r g r V r r dr g
(23)
( ) ( ) ( )
, , ,
0
2
[ ( )] ( ) ( , ) ( ) ( ),H g g V r d g r
(24)
де вектор-функція ( )g r G .
Математичним обґрунтуванням формул (23) та (24) є тверджен-
ня про інтегральне зображення вектор-функції ( )g r G .
Теорема 1 (про інтегральне зображення). Якщо вектор-функція
1/2
0 1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( )f r r R R r r r R R r r R shr g r
неперервна, абсолютно сумовна та має обмежену варіацію на множи-
ні 0( , )R , то для будь-якого 2r I справджується інтегральне зоб-
раження
0
( ) ( ) ( )
, , ,
0
2
( ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) ( ) .
R
g r V r g V d d
(25)
Доведення. Доведення теореми здійснимо методом дельта-
подібної послідовності — ядро Коші: фундаментальна матриця роз-
в'язків задачі Коші для сепаратної системи диференціальних теплоп-
ровідності параболічного типу, породженої ГДО ( )
,M
.
Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 7
249
Побудуємо обмежений в області 2 2( , ) : (0, );D t r t r I
розв'язок сепаратної системи диференціальних рівнянь з частинними
похідними параболічного типу [8]
2 21
1 1 1 , 1 0 1[ ] 0, ( , )
u
u a B u r R R
t
,
2
2 22 2
2 2 2 1 22
0, ( , )
u u
u a r R R
t r
, (26)
2 23
3 3 3 ( ) 3 2[ ] 0, ( , )
u
u a u r R
t
з початковими умовами
1 0 1 0 1
2 0 2 1 2
3 0 3 2
( , ) ( ), ( , ),
( , ) ( ), ( , ),
( , ) ( ), ( , ),
t
t
t
u t r g r r R R
u t r g r r R R
u t r g r r R
(27)
однорідними крайовими умовами
0 3
11 1
0
[ ] 0, lim 0
r
u
L u
r R r
(28)
та умовами спряження
1 2 1[ ] [ ] 0; , 1, 2.k k
j k j k
k
L u L u j k
r R
(29)
Тут беруть участь диференціальні оператори
0 0 0 0 0
1 11 11 11 11 ,jL
t r t
, , , 1,2.k k k k k
jm jm jm jm jmL j m k
t r t
Припустимо, що шукана вектор-функція 1 2( , ) ( , ); ( , );u t r u t r u t r
3( , )u t r є оригіналом Лапласа стосовно t [9]. У зображенні за Лапласом
одержуємо крайову задачу: побудувати обмежений на множині 2I роз-
в'язок сепаратної системи звичайних диференціальних рівнянь Бесселя,
Фур'є та Лежандра для модифікованих функцій
2 *
, 1 1 1 0 1( , ) ( ), ( , )B q u p r g r r R R ,
2
2 *
2 2 2 1 22
( , ) ( ), ( , )
d
q u p r g r r R R
dr
, (30)
Математичне та комп’ютерне моделювання
250
2 *
( ) 3 3 3 2( , ) ( ), ( , )q u p r g r r R
з крайовими умовами
*
0 0 * 3
11 11 1
0
( , ) 0, lim 0
r
dud
u p r
r Rdr dr
(31)
та однорідними умовами спряження
* *
1 1 2 2 1( , ) ( , ) 0,
, 1,2.
k k k k
j j k j j k
k
d d
u p r u p r
r Rdr dr
j k
(32)
У рівностях (30)—(32) беруть участь функції:
2 ( )j j jg a g r , *
0
( , ) ( , ) pt
k ku p r u t r e dp
, 2 2 2( )j j jq a p ,
0 0 0
11 11 11p , 0 0 0
11 11 11p , k k k
jm jm jmp ,
k k k
jm jm jm p , , , 1,2j m k ; p is з 0Re p ,
де 0 — абсциса збіжності інтеграла Лапласа, та Im ( , )p s .
При цьому ми вважаємо, що 0 0 0
11 11 1 0 11( ) 0g R та числа
1 1 2 1 2 1( ) ( ) [ ( ) ( )] 0, , 1,2k k k k
jk j k k j k k j k k j k kg R g R g R g R j k .
У протилежному випадку переходимо до нових початкових даних
1 1 1 1( ) ( ) ( )r g r a r b , 2 2 2 2( ) ( ) ( )r g r a r b , 3 3 3( ) ( )r g r b й
знаходимо числа 1a , 2a та 1 2 3, ,b b b із системи алгебраїчних рівнянь
0 0 0 0
11 0 11 1 11 1 11,R a b (33)
1 1 1 2 2 1 2 1 , , 1,2.k k k k k k
j k j k j k j k j k j k jkR a b R a b j k
Тут 3 0a . Алгебраїчна система (33) при виконанні умов на ко-
ефіцієнти має єдиний розв'язок, який можна одержати, наприклад, за
правилами Крамера [5].
Фундаментальну систему розв'язків для диференціального рів-
няння Бесселя 2
, 1 0B q v складають модифіковані функції Бес-
селя 1 , 1( )v I q r та 2 , 1( )v K q r [1]; фундаментальну систему роз-
в'язків для диференціального рівняння Фур'є
2
2
22
0
d
q v
dr
складаю-
ть функції 1 2v chq r та 2 2v shq r [3]; фундаментальну систему роз-
Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 7
251
в'язків для диференціального рівняння Лежандра 2
( ) 3 0q v
складають узагальнені приєднані модифіковані функції Лежандра
3
( ) ( )P chr
та
3
( ) ( )L chr
, 3 31/ 2 q [2].
Наявність фундаментальної системи розв'язків дозволяє побудува-
ти розв'язок крайової задачі (30)—(32) методом функцій Коші [3; 4]:
1
0
* * 2 1
1 1 , 1 1 , 1 1 1( , ) ( ) ( ) ( , , ) ( )
R
R
u p r A I q r B K q r E p r g d
,
2
1
* *
2 2 2 2 2 2 2( , ) ( , , ) ( )
R
R
u p r A chq r B shq r E p r g d , (34)
3
2
( )* *
3 3 3 3( , ) ( ) ( , , ) ( )
R
u p r B L chr E p r g sh d
.
У рівностях (34) *( , , )jE p r — функції Коші [3,4]:
12
* 1
1
, ;11 1 0 1 1
0* 1*
, ;11 1 0 1 , ;11 1 1 1 0 1
0* 1*
, ;11 1 0 1 , ;11 1 1 1 0 1
( , , )
( , )
( , ) ( , ), ,
( , ) ( , ), ,
q
E p r
q R q R
q R q r q R q R r R
q R q q R q r R r R
(35)
*
2
2 11 2 1 2 2
1 2
12 2 1 2 11 2 2 2 1 2
1 2
12 2 1 2 11 2 2 2 1 2
1
( , , )
( , )
( , ) ( , ), ,
( , ) ( , ), ,
E p r
q q R q R
q R q r q R q R r R
q R q q R q r R r R
(36)
3
3 3
3 3
( ) 3*
3 ( );22
2;12
( ) ( ),2
2 2;12
( ) ( ),2
2 2;12
( )
( , , )
( )
( ) ( , ), ,
( ) ( , ), .
B q
E p r
Z chR
L ch F chR chr R r
L chr F chR ch R r
(37)
Крайова умова в точці 0r R та умови спряження (32) для ви-
значення п'яти величин 1 2,A A та 1 2 3, ,B B B дають неоднорідну алгеб-
раїчну систему з п'яти рівнянь:
01 02
, ;11 1 0 1 , ;11 1 0 1( ) ( ) 0,U q R A U q R B
Математичне та комп’ютерне моделювання
252
11 12 11 12 *
, ; 1 1 1 1 , ; 1 1 1 1 2 2 1 2 2 2 1 2 2 12( ) ( ) ( ) ( ) ,j j j j jU q R A U q R B V q R A V q R B G (38)
3
( );2221 22 *
1 2 2 2 1 2 2 2 2 3 2 23; 2( ) ( ) ( ) , 1, 2.j j jjV q R A V q R B Z chR B G j
У системі (38) беруть участь функції
1
0
0**
, ;11 1 0 1* 2 111
12 12 1
1 , ;11 1 0 1 1
( , )( )
( )
( , )
R
R
q R qc p
G g d
R q R q R
2
1
2
* 11 2 2 2
21 2
11 2 1 2 2
( , )
( ) ,
( , )
R
R
q R q
c g d
q R q R
2
1
3
2 3
1
* * 12 2 1 2
23 12 2
11 2 1 2 2
( )*
22
3( );22
2 2;12
( , )
( )
( , )
( )
( )
( )
R
R
R
q R q
G c g d
q R q R
L chc
g sh d
shR Z chR
та символ Кронекера 2j [5].
Введемо до розгляду функції:
, ; , ;11 1 0 1 1 2 2 1 2 2
, ;21 1 0 1 1 1 2 1 2 2
( ) ( , ) ( , )
( , ) ( , ),
j j
j
A p q R q R q R q R
q R q R q R q R
3
3
( );22
( ); 2 1 2 1 2 2;22
( );22
2 2 2 1 2 2;12
( ) ( ) ( , )
( ) ( , ), 1, 2,
j j
j
B p Z chR q R q R
Z chR q R q R j
1
, ;1 , ;11 1 0 1 1 22 2 1 2
1
, ;21 1 0 1 1 12 2 1 2
( , ) ( , ) ( , )
( , ) ( , ),
r p q R q R q R q r
q R q R q R q r
3
3
( );22 2
( );2 2 21 2 2 2;12
( );22 2
2 11 2 2 2;22
( , ) ( ) ( , )
( ) ( , )
r p Z chR q R q r
Z chR q R q r
.
Припустимо, що виконана умова однозначної розв'язності кра-
йової задачі (30)—(32): для p is з 0Re p , де 0 абсциса
збіжності інтеграла Лапласа, та Im ( , )p s визначник алгеб-
раїчної системи (38) відмінний від нуля
3 3
( );22 ( );22( )
, , ;1 2 , ;2 2;22 ;12
, ;11 1 0 1 1 ( );2 , ;21 1 0 1 1 ( );1
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( , ) ( ) ( , ) ( ) 0.
p A p Z chR A p Z chR
q R q R B p q R q R B p
(39)
Визначимо породжені неоднорідністю системи (30) функції впливу:
Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 7
253
0* 1*
2 , ;11 1 0 1 ( );2 , ;11 1 1 1( )* 1
, ;11 ( ) 0* 1*
, , ;11 1 1 1 ( );2 , ;11 1 1 1
( , ) ( ) ( , )
( , , )
( ) ( , ) ( ) ( , )
q R q r B p q R qq
H p r
p q R q B p q R q r
1*
( );1 , ;21 1 1 1 0 1
1*
( );1 , ;21 1 1 1 0 1
( ) ( , ) , ,
( ) ( , ) , ,
B p q R q R r R
B p q R q r R r R
*
( )* 0*21
, ;11 1 0 1 ( );2, ;12 ( )
,
( , , ) ( , ) ( , )
( )
c
H p r q R q r p
p
,
3
* *
( )* ( )0*21 22 2
, ;11 1 0 1, ;13 ( )
2 ,
( , , ) ( , ) ( )
( )
c c q
H p r q R q r L ch
shR p
,
*
( )* 0*11
, ;11 1 0 1 ( );2, ;21 2 1 ( )
1 ,
1
( , , ) ( , ) ( , )
( )
c
H p r q R q r p
R p
, (40)
( )*
, ;22 ( )
2 ,
, ;1 ( );2 1 2
, ;1 ( );2 1 2
1
( , , )
( )
( , ) ( , ), ,
( , ) ( , ), ,
H p r
q p
r p p R r R
p r p R r R
3
*
( )* ( )22
, ;1, ;23 ( )
2 ,
1
( , , ) ( , ) ( )
( )
c
H p r r p L ch
shR p
,
3
* *
( )* ( )0*11 12 2
, ;11 1 0 1, ;31 2 1 ( )
1 ,
1
( , , ) ( , ) ( )
( )
c c q
H p r q R q L chr
R p
,
3
*
( )* ( )12
, ;1, ;32 ( )
,
( )
( , , ) ( , ) ( )
( )
c p
H p r p L chr
p
,
3 3
3 3
( ) ( );2
, ;2 2;12( ) 3( )*
, ;33 ( ) ( ) ( );2
, , ;2 2;12
( ) ( ) ( , )( )
( , , )
( ) ( ) ( ) ( , )
L ch A p F chR chrB q
H p r
p L chr A p F chR ch
3
3
( );2
, ;1 2 2;22
( );2
, ;1 2 2;22
( ) ( , ) , ,
( ) ( , ) , .
A p F chR chr R r
A p F chR ch R r
У результаті однозначної розв'язності алгебраїчної системи (38)
й підстановки одержаних значень 1A , 2A та 1B , 2B , 3B у формули
(34) маємо єдиний розв'язок крайової задачі (30)—(32):
Математичне та комп’ютерне моделювання
254
1
0
2
1 2
( )** 2 1
1, ; 1
( )* ( )*
2 3, ; 2 , ; 3
( , ) ( , , ) ( )
( , , ) ( ) ( , , ) ( ) , 1,3.
R
j j
R
R
j j
R R
u p r H p r g d
H p r g d H t r g sh d j
(41)
Повертаючись до оригіналу, одержуємо єдиний розв'язок пара-
болічної задачі (26)—(29):
1
0
2
1
2
( ) 2 1 2
1 1, ; 1
( ) 2
2 2, ; 2
( ) 2
3 3, ; 3
( , ) ( , , ) ( )
( , , ) ( )
( , , ) ( ) , 1,3.
R
j j
R
R
j
R
j
R
u t r H t r g d a
H t r g d a
H t r g sh d a j
(42)
Тут за означенням
0
0
( ) ( )*
, ; , ;
1
( , , ) ( , , ) , , 1,3.
2
i
pt
jk jk
i
H t r H p r e d j k
i
(43)
Особливими точками функцій впливу ( )*
, ; ( , , )jkH p r
є точки
галуження 2
1p , 2
2p , 2
3p та p . Якщо покласти
1 1 2 2 1/2( )j j j j jq ia b ia k , де 2 0jk , то одержимо, що
2 2( )p , 2dp d . При 2 2
1 0 , 2
1 0k , 2 2 2
2 1 2 0k ,
2 2 2
3 1 3 0k ; при 2 2
2 0 , 2 2 2
1 2 1 0k , 2
2 0k , 2 2
3 2k
2
3 0 ; при 2 2
3 0 , 2 2 2
1 3 1 0k , 2 2 2
2 3 2 0k , 2
3 0k .
Якщо скористатися методом контурного інтегралу, лемою Жор-
дана й теоремою Коші [9], то формули (43) можна перетворити до
розрахункових:
2 2( ) ( )* 2 2 ( )
, ; , ;
0
2
( , , ) Im ( ), , .i t
jk jkH t r H e r e d
(44)
Тут 2 2 2 2
1 2 3max ; ; ; , 1,3j k ; Im( ) означає уявну час-
тину виразу ( ) , 2 2 2 2
* ( ) ( ).iP e
Наведемо необхідні в подальшому співвідношення:
1 1
2 2 2 2 2( ) ( ) sin cos , ( ) ( )m m m m m m
jk m jk m jk m jk m jk jkV ib R v b R b b R b R p ,
Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 7
255
2 2
2 2
2 2 2
( ) ( )
[ cos sin ], ( ) ( )
m m
jk m jk m
m m m m
jk m jk m jk jk
V ib R v b R
i b b R b R p
,
11 22
2 1 2 2 2 2 1 1 2 2
12 21
2 2 1 1 2 2 2 1 2 2
( , ) [ ( ) ( )
( ) ( )] ( , )
jk j k
j k jk
ib R ib R i v b R v b R
v b R v b R i b R b R
,
, ; 1 1 0 1 1 , ; 1 1 0 1 1 , ; 1 1 0 1 1( , ) ( , ); ( , )
2
i
j j jib R ib R e b R b R b R b R
01 12 02 11
, ;11 1 0 , ; 1 1 1 , ;11 1 0 , ; 1 1 1( ) ( ) ( ) ( )j ju b R u b R u b R u b R ;
, ; , ;11 1 0 1 1 2 2 1 2 2 , ;21 1 0 1 12
( ) [ ( , ) ( , ) ( , )ii
j jA p e b R b R b R b R b R b R
1 2 1 2 2 , ;( , )] exp( ) ( ), 1, 2
2j j
i
b R b R i a j
;
* * *
3 3 3
( );22 ( );21 ( );22 *
2 2 ( ) 3 2 3 3; 2 ; 2 ; 2
( ) ( ) ( ) ( ), 1 / 2
j j j
Z chR Y chR i b Y chR ib
;
*
3
*
3
( );21( ) 2 2
, , ;1 2;22
( );21
, ;2 2 ( ) 3;12
( ( )) { ( ) ( )
2
( ) ( ) ( )
ii
e a Y chR
a Y chR i b
* *
3 3
( );22 ( );22
, ;1 2 , ;2 2;22 ;12
( ( ) ( ) ( ) ( )}a Y chR a Y chR
( ) ( )
( ), ;1 , ;2[ ( ) ( )];
2
ii
e i
* * *
3 3 3
( ) ( ) ( )
( ) 3( ) ( ) ( ) ( )L chr A chr i b B chr
;
* *
3; 2 3; 2
( ),2 ( ),2
2 ( ) 3 2( , ) ( ) ( , )
j j
F chR chr z b f chR chr
* * * *
3; 2 3 3; 2 3
( ),21 ( ) ( ),22 ( )
( ) 3 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ;
j j
z b Y chR B chr Y chR A chr
( ) 3 1 ( ) 3 1( ) cos ( )sinz b i b ;
1
( ) 3 1 3 2 1 3( ) cos (2 ) cos cos (2 )b sh b ch b ;
1
2
2
3
( ) 3 3 12
( ) 3 ( ) 3 ( ) 3 2
3 3 12
1
2 ( ) ( )
2
( ) ( ) ( ) ;
1
2 (2 ) ( )
2
b Г ib
z b B ib S b
sh b Г ib
12 1 2
1
( );
2
0* 0
, ;11 1 0 1 , ;11 1 0 1( , ) ( , )
2
iib R ib r b R b r
Математичне та комп’ютерне моделювання
256
01 02
, ;11 1 0 , 1 , ;11 1 0 , 1( ) ( ) ( ) ( ) ;
2
ie u b R N b r u b R I b r
2 2 1
, ;1 , ;11 1 0 1 1 22 2 1 2( , ( )) ( , ) ( , )
2
ir ie b R b R b R b r
1
, ;21 1 0 1 1 12 2 1 2( , ) ( , )b R b R b R b r .
Виконавши зазначені у формулах (44) операції, одержуємо:
2 2( ) ( )( ) ( ) ( ) 2
, ; ,, ; , ;
0
2
( , ) ( , ) ( , ) ( ) ;
, 1,3.
t
j k kjk kH t r e V r V d a
j k
(45)
Розв'язок (42) параболічної задачі (26)—(29) набуває вигляду:
1
2 2 ( )( ) ( ) 2 1 ( )
, ; 1 1 ,, ;1
0 0
2
( , ) ( , ) ( ) ( , ) ( )
R
t
j ju t r e V r g V d d
2
2 2
1
( )( ) ( ) ( )
, ; 2 2 ,, ;2
0
2
( , ) ( ) ( , ) ( )
R
t
j
R
e V r g V d d
(46)
2 2
2
( )( ) ( ) ( )
, ; 3 3 ,, ;3
0
2
( , ) ( ) ( , ) ( ) ; 1,3.t
j
R
e V r g V sh d d j
Внаслідок початкових умов (27) та властивостей функцій впливу
як дельта-подібних по t послідовностей при 0t маємо інтегра-
льні зображення:
1
0
( ) ( ) 2 1 ( )
1 1 1 ,, ;1 , ;1
0
2
( ) ( ) ( , ) ( , ) ( ) ,
R
R
g r g V r V d d
(47)
2
1
( ) ( ) ( )
2 2 2 ,, ;2 , ;2
0
2
( ) ( ) ( , ) ( , ) ( ) ,
R
R
g r g V r V d d
(48)
2
( ) ( ) ( )
3 3 3 ,, ;3 , ;3
0
2
( ) ( ) ( , ) ( , ) ( ) .
R
g r g V r V sh d d
(49)
Якщо рівність (47) помножити на 0 1( ) ( )r R R r , рівність
(48) помножити на 1 2( ) ( )r R R r , а рівність (49) помножити на
2( )r R і скласти, то одержимо інтегральне зображення (25).
В основі застосувань запровадженого ГІП знаходиться основна
тотожність інтегрального перетворення ГДО ( )
,M
.
Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 7
257
Теорема 2 (про основну тотожність). Якщо вектор-функція
, 1 2 ( ) 3( ) [ ( )]; ( ); [ ( )];f r B g r g r g r неперервна на множині 2I , а
функції ( )jg r задовольняють крайові умови
0
0 0
11 11 1 0( ) ,
r R
d
g r g
dr
, ;3 , ;3
( ) ( )3
3( , ) ( ) 0lim
r
dg d
shr V r g r V
dr dr
(50)
та умови спряження
1 1 2 2 1( ) ( ) ,
, 1,2,
k k k k
j j k j j k jk
k
d d
g r g r
r Rdr dr
j k
(51)
то має місце ГІП ГДО ( )
,M
:
( ) ( ) 2
, ,
3
2 0 1 2 2 1 ( )
11 1 1 0 , 0 0
1
2
, ;12 2 , ;22 1
1
[ ( )] ( )
( ) ( ) ( , )
( ) ( ) .
j j
j
k k
k k k
k
H M g r g
k g a R V R g
d Z Z
(52)
У рівності прийняті позначення:
2 2 1 2
1 1 1 1 11,1 2 2 2 11,2: , :d a R c d a c ,
1
0
( ) 2 1
1 1 1, ;1( ) ( ) ( , ) ,
R
R
g g r V r r dr
2
1
( )
2 2 2, ;2( ) ( ) ( , ) ,
R
R
g g r V r dr
2
( )
3 3 3, ;3( ) ( ) ( , ) ,
R
g g r V r shrdr
( )
, ; 2 2 2 , ; 1( ) ( , ) , , 1,2.
k
k k k
j j j r Rk
dZ V r j kdr
Доведення справедливості основної тотожності (52) здійснюєть-
ся за логічною схемою доведення ідентичної теореми в [10].
Висновок: Встановлені правила (23), (24) та (52) складають ма-
тематичний апарат для розв’язання відповідних стаціонарних та не-
стаціонарних задач математичної фізики в куcково-однорідних сере-
довищах з м’якими межами.
Математичне та комп’ютерне моделювання
258
Список використаних джерел:
1. Ленюк М. П. Исследование основных краевых задач для диссипативного
волнового уравнения Бесселя / М. П. Ленюк. — К., 1983. — 62 с.
2. Конет І. М. Інтегральні перетворення типу Мелера—Фока / І. М. Конет,
М. П. Ленюк. — Чернівці : Прут, 2002. — 248 с.
3. Степанов В. В. Курс дифференциальных уравнений / В. В. Степанов. —
М. : Физматгиз,1959. — 468 с.
4. Шилов Г. Е. Математический анализ. Второй специальный курс /
Г. Е. Шилов. — М. : Наука, 1965. — 328 с.
5. Курош А. Г. Курс высшей алгебры / А. Г. Курош. — М. : Наука, 1971. —
432 с.
6. Ленюк М. П. Обчислення поліпараметричних невласних інтегралів за
власними елементами гібридних диференціальних операторів другого
порядку / М. П. Ленюк. — Чернівці : Прут, 2010. — Т. VІ. — 404 с.
7. Ленюк М. П. Гібридні інтегральні перетворення (Фур’є, Ейлера, Бесселя,
Лежандра). Частина 2 / М. П. Ленюк, М. І. Шинкарик. — Тернопіль :
Економічна думка, 2011. — 384 с.
8. Тихонов А. Н. Уравнения математической физики / А. Н. Тихонов,
А. А. Самарский. — М. : Наука, 1972. — 735 с.
9. Лаврентьев М.А. Методы теории функций комплексного переменного /
М. А. Лаврентьев, Б. В. Шабат. — М. : Наука, 1987. — 688 с.
10. Пилипюк Т. М. Гібридне інтегральне перетворення Бесселя—Фур’є—
Лежандра на полярній осі із спектральним параметром в умовах спря-
ження / Т. М. Пилипюк // Крайові задачі для диференціальних рівнянь :
зб. наук. пр. — Чернівці : Прут, 2010. — Ч. 1. — С. 150–169.
11. Уфлянд Я. С. О некоторых новых интегральных преобразованиях и их
приложениях к задачам математической физики / Я. С. Уфлянд // Вопро-
сы математической физики. — Л., 1976. — С. 93–106.
12. Ленюк М. П. Гібридні інтегральні перетворення (Фур'є, Бесселя, Лежанд-
ра). Частина 1 / М. П. Ленюк, М. І. Шинкарик. — Тернопіль : Економічна
думка, 2004. — 368 с.
The method of delta-like sequence (Cauchy kernel) inculcates hybrid inte-
gral transformation of Bessel—Fourier—Legendre type on polar axis with with
the pricked pole out and two points of interface in supposition, that a spectral
parameter takes part in the in regional terms and terms of interface.
Key words: hybrid differential operator, hybrid integral transforma-
tion, Cauchy kernel functions of influencing, spectral function, gravimetric
function, spectral density, basic identity.
Отримано: 03.09.2012
<<
/ASCII85EncodePages false
/AllowTransparency false
/AutoPositionEPSFiles true
/AutoRotatePages /All
/Binding /Left
/CalGrayProfile (Gray Gamma 2.2)
/CalRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1)
/CalCMYKProfile (Coated FOGRA27 \050ISO 12647-2:2004\051)
/sRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1)
/CannotEmbedFontPolicy /Warning
/CompatibilityLevel 1.3
/CompressObjects /Tags
/CompressPages true
/ConvertImagesToIndexed true
/PassThroughJPEGImages true
/CreateJobTicket false
/DefaultRenderingIntent /Default
/DetectBlends true
/DetectCurves 0.1000
/ColorConversionStrategy /sRGB
/DoThumbnails false
/EmbedAllFonts true
/EmbedOpenType false
/ParseICCProfilesInComments true
/EmbedJobOptions true
/DSCReportingLevel 0
/EmitDSCWarnings false
/EndPage -1
/ImageMemory 1048576
/LockDistillerParams false
/MaxSubsetPct 100
/Optimize true
/OPM 1
/ParseDSCComments true
/ParseDSCCommentsForDocInfo true
/PreserveCopyPage true
/PreserveDICMYKValues true
/PreserveEPSInfo false
/PreserveFlatness false
/PreserveHalftoneInfo false
/PreserveOPIComments false
/PreserveOverprintSettings true
/StartPage 1
/SubsetFonts true
/TransferFunctionInfo /Apply
/UCRandBGInfo /Remove
/UsePrologue false
/ColorSettingsFile ()
/AlwaysEmbed [ true
]
/NeverEmbed [ true
/Arial-Black
/Arial-BlackItalic
/Arial-BoldItalicMT
/Arial-BoldMT
/Arial-ItalicMT
/ArialMT
/ArialNarrow
/ArialNarrow-Bold
/ArialNarrow-BoldItalic
/ArialNarrow-Italic
/ArialUnicodeMS
/CenturyGothic
/CenturyGothic-Bold
/CenturyGothic-BoldItalic
/CenturyGothic-Italic
/CourierNewPS-BoldItalicMT
/CourierNewPS-BoldMT
/CourierNewPS-ItalicMT
/CourierNewPSMT
/Georgia
/Georgia-Bold
/Georgia-BoldItalic
/Georgia-Italic
/Impact
/LucidaConsole
/Tahoma
/Tahoma-Bold
/TimesNewRomanMT-ExtraBold
/TimesNewRomanPS-BoldItalicMT
/TimesNewRomanPS-BoldMT
/TimesNewRomanPS-ItalicMT
/TimesNewRomanPSMT
/Trebuchet-BoldItalic
/TrebuchetMS
/TrebuchetMS-Bold
/TrebuchetMS-Italic
/Verdana
/Verdana-Bold
/Verdana-BoldItalic
/Verdana-Italic
]
/AntiAliasColorImages false
/CropColorImages false
/ColorImageMinResolution 150
/ColorImageMinResolutionPolicy /OK
/DownsampleColorImages true
/ColorImageDownsampleType /Bicubic
/ColorImageResolution 150
/ColorImageDepth -1
/ColorImageMinDownsampleDepth 1
/ColorImageDownsampleThreshold 1.50000
/EncodeColorImages true
/ColorImageFilter /DCTEncode
/AutoFilterColorImages true
/ColorImageAutoFilterStrategy /JPEG
/ColorACSImageDict <<
/QFactor 0.76
/HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2]
>>
/ColorImageDict <<
/QFactor 0.76
/HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2]
>>
/JPEG2000ColorACSImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 15
>>
/JPEG2000ColorImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 15
>>
/AntiAliasGrayImages false
/CropGrayImages false
/GrayImageMinResolution 150
/GrayImageMinResolutionPolicy /OK
/DownsampleGrayImages true
/GrayImageDownsampleType /Bicubic
/GrayImageResolution 150
/GrayImageDepth -1
/GrayImageMinDownsampleDepth 2
/GrayImageDownsampleThreshold 1.50000
/EncodeGrayImages true
/GrayImageFilter /DCTEncode
/AutoFilterGrayImages true
/GrayImageAutoFilterStrategy /JPEG
/GrayACSImageDict <<
/QFactor 0.76
/HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2]
>>
/GrayImageDict <<
/QFactor 0.76
/HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2]
>>
/JPEG2000GrayACSImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 15
>>
/JPEG2000GrayImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 15
>>
/AntiAliasMonoImages false
/CropMonoImages false
/MonoImageMinResolution 1200
/MonoImageMinResolutionPolicy /OK
/DownsampleMonoImages true
/MonoImageDownsampleType /Bicubic
/MonoImageResolution 1200
/MonoImageDepth -1
/MonoImageDownsampleThreshold 1.50000
/EncodeMonoImages true
/MonoImageFilter /CCITTFaxEncode
/MonoImageDict <<
/K -1
>>
/AllowPSXObjects true
/CheckCompliance [
/PDFX1a:2001
]
/PDFX1aCheck false
/PDFX3Check false
/PDFXCompliantPDFOnly false
/PDFXNoTrimBoxError true
/PDFXTrimBoxToMediaBoxOffset [
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
]
/PDFXSetBleedBoxToMediaBox true
/PDFXBleedBoxToTrimBoxOffset [
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
]
/PDFXOutputIntentProfile (None)
/PDFXOutputConditionIdentifier ()
/PDFXOutputCondition ()
/PDFXRegistryName ()
/PDFXTrapped /False
/CreateJDFFile false
/Description <<
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
/BGR <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>
/CHS <FEFF4f7f75288fd94e9b8bbe5b9a521b5efa7684002000410064006f006200650020005000440046002065876863900275284e8e55464e1a65876863768467e5770b548c62535370300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c676562535f00521b5efa768400200050004400460020658768633002>
/CHT <FEFF4f7f752890194e9b8a2d7f6e5efa7acb7684002000410064006f006200650020005000440046002065874ef69069752865bc666e901a554652d965874ef6768467e5770b548c52175370300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c4f86958b555f5df25efa7acb76840020005000440046002065874ef63002>
/CZE <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>
/DAN <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>
/DEU <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>
/ENU (Use these settings to create Adobe PDF documents suitable for reliable viewing and printing of business documents. Created PDF documents can be opened with Acrobat and Adobe Reader 5.0 and later.)
/ESP <FEFF005500740069006c0069006300650020006500730074006100200063006f006e0066006900670075007200610063006900f3006e0020007000610072006100200063007200650061007200200064006f00630075006d0065006e0074006f0073002000640065002000410064006f00620065002000500044004600200061006400650063007500610064006f007300200070006100720061002000760069007300750061006c0069007a00610063006900f3006e0020006500200069006d0070007200650073006900f3006e00200064006500200063006f006e006600690061006e007a006100200064006500200064006f00630075006d0065006e0074006f007300200063006f006d00650072006300690061006c00650073002e002000530065002000700075006500640065006e00200061006200720069007200200064006f00630075006d0065006e0074006f00730020005000440046002000630072006500610064006f007300200063006f006e0020004100630072006f006200610074002c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000200079002000760065007200730069006f006e0065007300200070006f00730074006500720069006f007200650073002e>
/ETI <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>
/FRA <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>
/GRE <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>
/HEB <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>
/HRV (Za stvaranje Adobe PDF dokumenata pogodnih za pouzdani prikaz i ispis poslovnih dokumenata koristite ove postavke. Stvoreni PDF dokumenti mogu se otvoriti Acrobat i Adobe Reader 5.0 i kasnijim verzijama.)
/HUN <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>
/ITA (Utilizzare queste impostazioni per creare documenti Adobe PDF adatti per visualizzare e stampare documenti aziendali in modo affidabile. I documenti PDF creati possono essere aperti con Acrobat e Adobe Reader 5.0 e versioni successive.)
/JPN <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>
/KOR <FEFFc7740020c124c815c7440020c0acc6a9d558c5ec0020be44c988b2c8c2a40020bb38c11cb97c0020c548c815c801c73cb85c0020bcf4ace00020c778c1c4d558b2940020b3700020ac00c7a50020c801d569d55c002000410064006f0062006500200050004400460020bb38c11cb97c0020c791c131d569b2c8b2e4002e0020c774b807ac8c0020c791c131b41c00200050004400460020bb38c11cb2940020004100630072006f0062006100740020bc0f002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e00300020c774c0c1c5d0c11c0020c5f40020c2180020c788c2b5b2c8b2e4002e>
/LTH <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>
/LVI <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>
/NLD (Gebruik deze instellingen om Adobe PDF-documenten te maken waarmee zakelijke documenten betrouwbaar kunnen worden weergegeven en afgedrukt. De gemaakte PDF-documenten kunnen worden geopend met Acrobat en Adobe Reader 5.0 en hoger.)
/NOR <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>
/POL <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>
/PTB <FEFF005500740069006c0069007a006500200065007300730061007300200063006f006e00660069006700750072006100e700f50065007300200064006500200066006f0072006d00610020006100200063007200690061007200200064006f00630075006d0065006e0074006f0073002000410064006f00620065002000500044004600200061006400650071007500610064006f00730020007000610072006100200061002000760069007300750061006c0069007a006100e700e3006f002000650020006100200069006d0070007200650073007300e3006f00200063006f006e0066006900e1007600650069007300200064006500200064006f00630075006d0065006e0074006f007300200063006f006d0065007200630069006100690073002e0020004f007300200064006f00630075006d0065006e0074006f00730020005000440046002000630072006900610064006f007300200070006f00640065006d0020007300650072002000610062006500720074006f007300200063006f006d0020006f0020004100630072006f006200610074002000650020006f002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e0030002000650020007600650072007300f50065007300200070006f00730074006500720069006f007200650073002e>
/RUM <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>
/SKY <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>
/SLV <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>
/SUO <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>
/SVE <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>
/TUR <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>
/UKR <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>
/RUS <FEFF04180441043f043e043b044c04370443043904420435002004340430043d043d044b04350020043d0430044104420440043e0439043a043800200434043b044f00200441043e043704340430043d0438044f00200434043e043a0443043c0435043d0442043e0432002000410064006f006200650020005000440046002c0020043f043e04340445043e0434044f04490438044500200434043b044f0020043d0430043404350436043d043e0433043e0020043f0440043e0441043c043e044204400430002004380020043f04350447043004420438002004340435043b043e0432044b044500200434043e043a0443043c0435043d0442043e0432002e002000200421043e043704340430043d043d044b04350020005000440046002d0434043e043a0443043c0435043d0442044b0020043c043e0436043d043e0020043e0442043a0440044b043204300442044c002004410020043f043e043c043e0449044c044e0020004100630072006f00620061007400200438002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e00300020043800200431043e043b043504350020043f043e04370434043d043804450020043204350440044104380439002e>
>>
/Namespace [
(Adobe)
(Common)
(1.0)
]
/OtherNamespaces [
<<
/AsReaderSpreads false
/CropImagesToFrames true
/ErrorControl /WarnAndContinue
/FlattenerIgnoreSpreadOverrides false
/IncludeGuidesGrids false
/IncludeNonPrinting false
/IncludeSlug false
/Namespace [
(Adobe)
(InDesign)
(4.0)
]
/OmitPlacedBitmaps false
/OmitPlacedEPS false
/OmitPlacedPDF false
/SimulateOverprint /Legacy
>>
<<
/AllowImageBreaks true
/AllowTableBreaks true
/ExpandPage false
/HonorBaseURL true
/HonorRolloverEffect false
/IgnoreHTMLPageBreaks false
/IncludeHeaderFooter false
/MarginOffset [
0
0
0
0
]
/MetadataAuthor ()
/MetadataKeywords ()
/MetadataSubject ()
/MetadataTitle ()
/MetricPageSize [
0
0
]
/MetricUnit /inch
/MobileCompatible 0
/Namespace [
(Adobe)
(GoLive)
(8.0)
]
/OpenZoomToHTMLFontSize false
/PageOrientation /Portrait
/RemoveBackground false
/ShrinkContent true
/TreatColorsAs /MainMonitorColors
/UseEmbeddedProfiles false
/UseHTMLTitleAsMetadata true
>>
<<
/AddBleedMarks false
/AddColorBars false
/AddCropMarks false
/AddPageInfo false
/AddRegMarks false
/BleedOffset [
0
0
0
0
]
/ConvertColors /ConvertToRGB
/DestinationProfileName (sRGB IEC61966-2.1)
/DestinationProfileSelector /UseName
/Downsample16BitImages true
/FlattenerPreset <<
/PresetSelector /MediumResolution
>>
/FormElements true
/GenerateStructure false
/IncludeBookmarks false
/IncludeHyperlinks false
/IncludeInteractive false
/IncludeLayers false
/IncludeProfiles true
/MarksOffset 6
/MarksWeight 0.250000
/MultimediaHandling /UseObjectSettings
/Namespace [
(Adobe)
(CreativeSuite)
(2.0)
]
/PDFXOutputIntentProfileSelector /DocumentCMYK
/PageMarksFile /RomanDefault
/PreserveEditing true
/UntaggedCMYKHandling /UseDocumentProfile
/UntaggedRGBHandling /LeaveUntagged
/UseDocumentBleed false
>>
]
>> setdistillerparams
<<
/HWResolution [600 600]
/PageSize [419.528 595.276]
>> setpagedevice
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-48892 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | XXXX-0059 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-01T17:39:20Z |
| publishDate | 2012 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Пилипюк, Т.М. 2013-09-05T10:54:48Z 2013-09-05T10:54:48Z 2012 Гібридне інтегральне перетворення типу Бесселя-Фур'є-Лежандра на полярній осі r ≥ R0 > 0 із спектральним параметром в крайових умовах та умовах спряження / Т.М. Пилипюк // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2012. — Вип. 7. — С. 242-258. — Бібліогр.: 12 назв. — укр. XXXX-0059 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/48892 517.91:532.26 Методом дельта-подібної послідовності (ядро Коші) запроваджено гібридне інтегральне перетворення типу Бесселя-Фур'є-Лежандра на полярній осі з виколотим полюсом та з двома точками спряження в припущенні, що спектральний параметр бере участь в крайових умовах і умовах спряження. The method of delta-like sequence (Cauchy kernel) inculcates hybrid integral transformation of Bessel—Fourier—Legendre type on polar axis with with the pricked pole out and two points of interface in supposition, that a spectral parameter takes part in the in regional terms and terms of interface. uk Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки Гібридне інтегральне перетворення типу Бесселя-Фур'є-Лежандра на полярній осі r ≥ R0 > 0 із спектральним параметром в крайових умовах та умовах спряження Article published earlier |
| spellingShingle | Гібридне інтегральне перетворення типу Бесселя-Фур'є-Лежандра на полярній осі r ≥ R0 > 0 із спектральним параметром в крайових умовах та умовах спряження Пилипюк, Т.М. |
| title | Гібридне інтегральне перетворення типу Бесселя-Фур'є-Лежандра на полярній осі r ≥ R0 > 0 із спектральним параметром в крайових умовах та умовах спряження |
| title_full | Гібридне інтегральне перетворення типу Бесселя-Фур'є-Лежандра на полярній осі r ≥ R0 > 0 із спектральним параметром в крайових умовах та умовах спряження |
| title_fullStr | Гібридне інтегральне перетворення типу Бесселя-Фур'є-Лежандра на полярній осі r ≥ R0 > 0 із спектральним параметром в крайових умовах та умовах спряження |
| title_full_unstemmed | Гібридне інтегральне перетворення типу Бесселя-Фур'є-Лежандра на полярній осі r ≥ R0 > 0 із спектральним параметром в крайових умовах та умовах спряження |
| title_short | Гібридне інтегральне перетворення типу Бесселя-Фур'є-Лежандра на полярній осі r ≥ R0 > 0 із спектральним параметром в крайових умовах та умовах спряження |
| title_sort | гібридне інтегральне перетворення типу бесселя-фур'є-лежандра на полярній осі r ≥ r0 > 0 із спектральним параметром в крайових умовах та умовах спряження |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/48892 |
| work_keys_str_mv | AT pilipûktm gíbridneíntegralʹneperetvorennâtipubesselâfurêležandranapolârníiosírr00ízspektralʹnimparametromvkraiovihumovahtaumovahsprâžennâ |