Нелінійні системи реакції-дифузії: побудова точних розв'язків та їх біологічна інтерпретація
Вивчаються точні розв'язки та їх застосування для класу двокомпонентної системи реакції-дифузії (РД) зі сталими коефіцієнтами дифузії. За допомогою нещодавно введеного поняття Q -умовної симетрії першого типу (R. Cherniha J. Phys. A: Math. Theor., 2010. vol. 43., 405207) отримано системи РД, як...
Saved in:
| Published in: | Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки |
|---|---|
| Date: | 2012 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2012
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/48893 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Нелінійні системи реакції-дифузії: побудова точних розв'язків та їх біологічна інтерпретація / Р.М. Черніга, В.В. Давидович // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2012. — Вип. 7. — С. 259-265. — Бібліогр.: 9 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859640994080751616 |
|---|---|
| author | Черніга, Р.М. Давидович, В.В. |
| author_facet | Черніга, Р.М. Давидович, В.В. |
| citation_txt | Нелінійні системи реакції-дифузії: побудова точних розв'язків та їх біологічна інтерпретація / Р.М. Черніга, В.В. Давидович // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2012. — Вип. 7. — С. 259-265. — Бібліогр.: 9 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки |
| description | Вивчаються точні розв'язки та їх застосування для класу двокомпонентної системи реакції-дифузії (РД) зі сталими коефіцієнтами дифузії. За допомогою нещодавно введеного поняття Q -умовної симетрії першого типу (R. Cherniha J. Phys. A: Math. Theor., 2010. vol. 43., 405207) отримано системи РД, які допускають вказану симетрію. Знайдену симетрію застосовано для проведення редукції систем РД до систем звичайних диференціальних рівнянь (ЗДР) та побудови точних розв'язків. Подано застосування отриманих розв'язків до розв'язання однієї моделі з математичної біології.
Exact solutions and their application for a class of two-component reaction-diffusion (RD) systems with constant diffusivities are studied. Using the recently introduced notion of Q -conditional symmetries of the first type (R. Cherniha J. Phys. A: Math. Theor., 2010. vol. 43., 405207), some RD systems admitting such symmetry are derived. The symmetries found for reducing RD systems to ODE systems and finding exact solutions are applied. The application of the solutions obtained for solving a model arising in mathematical biology is presented.
|
| first_indexed | 2025-12-07T13:21:54Z |
| format | Article |
| fulltext |
Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 7
259
УДК 517.9: 95
Р. М. Черніга, д-р фіз.-мат. наук, професор,
В. В. Давидович, аспірант
Інститут математики НАН України, м. Київ
НЕЛІНІЙНІ СИСТЕМИ РЕАКЦІЇ-ДИФУЗІЇ: ПОБУДОВА
ТОЧНИХ РОЗВ'ЯЗКІВ ТА ЇХ БІОЛОГІЧНА ІНТЕРПРЕТАЦІЯ
Вивчаються точні розв'язки та їх застосування для класу
двокомпонентної системи реакції-дифузії (РД) зі сталими кое-
фіцієнтами дифузії. За допомогою нещодавно введеного поня-
ття Q -умовної симетрії першого типу (R. Cherniha J. Phys. A:
Math. Theor., 2010. vol. 43., 405207) отримано системи РД, які
допускають вказану симетрію. Знайдену симетрію застосовано
для проведення редукції систем РД до систем звичайних дифе-
ренціальних рівнянь (ЗДР) та побудови точних розв'язків. По-
дано застосування отриманих розв'язків до розв'язання однієї
моделі з математичної біології.
Ключові слова: система реакції-дифузії, модель типу
хижак-жертва, умовна симетрія, точний розв'язок.
1. Вступ
Розглянемо клас систем рівнянь РД вигляду
= ( , ),
= ( , ),
t xx
t xx
u u F u v
v dv G u v
(1)
де ( , )u t x та ( , )v t x — невiдомi функцiї, що описують концентрації
популяцiй (густини клітин чи хімічних реагентів), F та G — деякі
заданi функцiї, d — коефіцієнт дифузії, який нижче припускається
деякою додатною сталою, відмінною від нуля, тут і нижче індекси t
та x означають диференціювання за цими змінними.
Система (1) широко застосовується при описі різноманітних про-
цесів у біології [1] та екології [2]. Класичним представником класу РД
систем (1) є дифузійна система Лотки—Вольтера дослідженням якої
присвячено велику кількість праць (див. бібліографію в [1—2]).
Оскільки будь-яка нелінійна система вигляду (1) є неінтегров-
ною (в сенсі, детально розглянутому в роботі [3]), то проблема побу-
дови частинних розв'язків такої системи є актуальною. Зокрема, важ-
ливим є питання знаходження точних розв'язків, які мають біологічну
інтерпретацію. При побудові точних розв'язків нелінійних систем ди-
ференціальних рівнянь з частинними похідними (ДРЧП) найбільш
ефективними є сучасні теоретико-групові методи, які дозволяють
знайти ті чи інші типи симетрії заданого ДРЧП (чи системи ДРЧП).
© Р. М. Черніга, В. В. Давидович, 2012
Математичне та комп’ютерне моделювання
260
Наслідком цього є можливість побудови анзаців (підстановок спеціа-
льного вигляду), які зводять вихідне рівняння (систему) до системи
рівнянь нижчої розмірності. Зокрема, при проведені редукції системи
(1), отримується система ЗДР. На сьогоднішній день введено означе-
ння та розроблено відповідні алгоритми для знаходження різноманіт-
них типів симетрій (симетрій Лі, умовних симетрій, симетрій Лі-Бек-
лунда тощо). У випадку знаходження класичних симетрій Лі [4] від-
повідний алгоритм є простішим щодо реалізації, оскільки необхідно
розв'язувати деяку перевизначену систему лінійних ДРЧП. У випадку
системи рівнянь РД (1) цей алгоритм було реалізовано в роботах [5;
6], де отримано вичерпний опис симетрій Лі. Зауважимо, що алго-
ритм знаходження симетрій Лі диференціальних рівнянь з фіксовани-
ми коефіцієнтами можна запрограмувати (наприклад, відповідна
програма є в сучасному пакеті програм Maple починаючи з 7 версії).
2. Точні розв'язки нелінійної системи РД та їх властивості
На відміну від випадку симетрій Лі, задача вичерпного опису
умовних симетрій систем РД вигляду (1) є незрівнянно складнішою.
Причини цього факту детально викладено в роботах [7—9]. В роботі
[8] запропоновано конструктивний підхід (алгоритм) для часткового
розв'язання такого типу задач шляхом введення поняття Q -умовної
симетрії першого типу. Нам вдалося реалізувати цей алгоритм у
випадку класу нелінійних систем РД (1). Тут ми подаємо лише
частинний результат, який знайшов застосування для систем, які
моделюють взаємодію двох біовидів.
Теорема. Нелінійна система РД з класу (1) вигляду
= ( ), = ( ),
= ( ) ( ( ) (1 )),
k
t xx
k
t xx
u u uf u v u
v dv u g u d f d
(2)
де ( )f та ( )g — довільні гладкі функції, 0 та 1k — дові-
льні сталі, допускає оператор Q -умовної симетрії першого типу
= ((1 ) ) .t u vQ u k u kv (3)
Доведення теореми здійснюється шляхом прямого застосування
означення 1 з роботи [8].
Наголосимо, що диференціальний оператор першого порядку (3)
не є оператором симетрії Лі, тому він є принципово новим порівняно
з симетріями Лі, знайденими в роботі [5]. Розв'язавши відповідну сис-
тему характеристичних рівнянь ( ) = 0, ( ) = 0Q u Q v , породжену опера-
тором (3), отримуємо анзац
= ( ) ,
= ( ) ( ) ,
t
k t t
u x e
v x e x e
(4)
Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 7
261
де ( )x та ( )x — нові шукані функції. Підставивши (4) в систему
(2) отримуємо редуковану систему ЗДР
= ( ( )),
= ( ).
k
k k
f
d k g
(5)
Незважаючи на те, що задача інтегрування системи (5) є суттєво
простішою, ніж вихідної системи РД (2), проте у випадку довільно
вибраних функцій f та g вона розв'язується лише наближеними ме-
тодами. Нам вдалося вибрати довільні функції f та g таким чином,
щоб початкова система (2) залишалася нелінійною, але систему (5)
можна було б проінтегрувати. Зокрема, ми поклали:
1
( ) = , ( ) = ,kf g d
де , — довільні сталі.
У цьому випадку для того, щоб знайти розв'язки нелінійної сис-
теми РД
1
1
= ( ) ,
= ( ) ( ) ,
k
t xx
k
t xx
u u v u u
v dv d v u d v d u
(6)
нам достатньо проінтегрувати систему ЗДР
1
= ,
= ( ) ,
k
k
d
(7)
та підставити знайдені функції та в анзац (4).
Оскільки друге рівняння системи (7) є лінійним, то легко
отримуємо її загальний розв'язок:
1
1 2( ) = ( ( ) ) ,kx x dx dx c x c
де функція ( )x приймає одне з трьох значень:
2
3 4
2
3 4
3 4
exp( ) exp( ), = > 0,
( ) = cos( ) sin( ), = ( ) > 0,
, = 0,
k
c x c x
d
k
x c x c x
d
k
c x c
d
(тут і нижче ic — довільні сталі, = 1,2i ).
Математичне та комп’ютерне моделювання
262
Розглянемо детальніше отриманий розв'язок системи (6) при
1
= ,
3
k та 1 2 4 3 0 0= = = 0, = > 0, = cos( ).c c c c c c x У цьому ви-
падку відповідний розв'язок нелінійної системи РД (6) має вигляд
3
0 2
2
3
0 2 3
02
= ( ( ) 6) cos( ) ,cos
9
= ( ( ) 6) cos( ) cos( ) .cos
9
t
tt
c
u x x e
c
v x x e c x e
(8)
Неважко помітити, що розв'язок (8) задовольняє нульові умови
Ноймана та Діріхле
=0 =0
= =
2 2
| = 0, | = 0, | = 0, | = 0x x x x
x x
u v u v
(9)
на просторовому інтервалі [0, ]
2
. Наголосимо, що крайові умови та-
ких типів є найбільш типовими при математичному моделюванні
взаємодії біовидів будь якого типу (хижак-жертва, змагання, мутуа-
лізм тощо) [1]—[2]. Отже, якщо взаємодія двох видів з концентрація-
ми u та v описується моделлю (6), (9) на відрізку [0, ],
2
то знайде-
ний розв'язок показує, що їх еволюція в часі може мати два різні сце-
нарії: обидва види вимирають зі швидкістю спадання показникової
функції (при < 0 ) або необмежено зростають (при > 0 ).
Покладімо тепер 1( ) =f a b , 1( ) = ( (1 ) )g d a d , коли
система (2) набуде вигляду
2 1
1
2 1
2
= ,
= ,
k k
t xx
k k
t xx
u u a u bu bvu
v dv a v dbu dbvu
(10)
де 1a та b — довільні сталі ( 1 0a b ), 2 1= ( 1)a d a d ( 2 0a ).
Тоді відповідна їй редукована система (5) набуває вигляду:
1
1
2
( ) = 0,
1
= ( ) .
kb a
k a
d
(11)
Опускаючи процедуру знаходження загального розв'язку системи
(11), можна легко помітити її частинні розв'язки при = , де — до-
вільна ненульова стала. Тоді з другого рівняння системи (11) отримуємо
1= .
1
a d
k d
(12)
Понизивши порядок першого рівняння системи (11), ми отрима-
ли ЗДР першого порядку
Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 7
263
2 2
1 1
2
= ( ) ,
2
kb
a c
k
(13)
де 1c — довільна стала, 2k (при = 2k отримується рівняння
2
1 1= ( ) 2 lna b c ).
У випадку 1 0c , розв'язок рівняння (13) можна подати через гі-
пергеометричні функції. При 1 = 0, 0c k (випадок = 0k веде до супе-
речності 2 = 0a ) рівняння легко інтегрується та отримується функція
1
12
2 1
1
12
2 1
( ( ( ( )) 1)) , > ,tan
2( ) =
( ( ( ( )) 1)) , < ,tanh
2
k
k
k a
x c a
x
k a
x c a
де 1( )(2 )
=
2
a k
b
, 2c — довільна стала, яку без зменшення за-
гальності можна покласти нулю. Зауважимо, що випадок 1 =a , з
урахуванням умови (12), веде до суперечності = 1.k
Для біологічної інтерпретації отриманих розв'язків, обмежимось
розглядом випадку 1 > ,a коли розв'язок системи РД (10) матиме вигляд
1
12
1
12
= ( ( ( ) 1)) ,tan
2
= ( ( ( ) 1)) .tan
2
tk
kt tk
k a
u x e
k a
v e x e
(14)
Застосувавши дискретну заміну v v , систему (10) та її
розв'язок (14) можна звести відповідно до вигляду
1 1
1
2 1
2
= ( ) ,
= ;
k k
t xx
k k
t xx
u u u a bu bvu
v dv a v bu bvu
(15)
1
12
1
12
= ( ( ( ) 1)) ,tan
2
= ( ( ( ) 1)) .tan
2
tk
kt tk
k a
u x e
k a
v e x e
(16)
Розв'язок (16) задовольняє нульові умови Ноймана
=0 =0 = =| = 0, | = 0, | = 0, | = 0x x x x x x x xu v u v (17)
на просторовому інтервалі [0, ] , де
1
2
= , .
j
j
k a
Модель (15)
та (17) описує взаємодію видів типу хижак (популяція з концентра-
Математичне та комп’ютерне моделювання
264
цією v ) — жертва (популяція з концентрацією u ), при умові, що кое-
фіцієнти 1 2,a a , та b додатні. Розв'язок (16) показує, що еволюція в
часі хижака і жертви може мати ті самі два сценарії, які наведено ви-
ще для розв'язку (8). Зокрема, обмеження:
1
1 1(2 )( )
0 < < 1 , 0 < ( )
2
kk a
k d
b
забезпечують невід'ємність концентрацій обох видів в будь-який
момент часу > 0t та їх швидке вимирання з плином часу.
3. Висновки
У цій роботі продемонстровано ефективність знаходження умовних
симетрій для нелінійних систем рівнянь РД та їх застосування для побу-
дови точних розв'язків у явному вигляді. Шляхом застосування нещодав-
но введеного поняття Q -умовної симетрії першого типу, знайдено таку
симетрію для класу двокомпонентних систем рівнянь РД зі сталими кое-
фіцієнтами дифузії. Використовуючи отриманий оператор Q -умовної
симетрії, побудовано анзац та проведено редукцію системи РД до систе-
ми ЗДР. Це дозволило побудувати багатопараметричні сім'ї точних роз-
в'язків відповідної системи РД та навести їх біологічну інтерпретацію.
Зокрема встановлено, що при певних обмеженнях на коефіцієнти систе-
ми рівнянь РД та на параметри, які містяться в розв'язках, вони можуть
описувати різні сценарії взаємодії популяцій двох біовидів, при цьому во-
ни задовольняють біологічно вмотивовані додаткові умови: невід'ємність
концентрацій обох видів в будь-який момент часу > 0t , обмеженість рос-
ту популяцій, відсутність дифузії популяцій через границю області.
Список використаних джерел:
1. Murray J. D. Mathematical Biology / J. D. Murray. — Berlin : Springer,
1989. — 767 p.
2. Okubo A. Diffusion and Ecological Problems. Modern Perspectives / A. Oku-
bo, S. A. Levin. — Berlin : Springer, 2001. — 444 p.
3. Михайлов А. В. Условия интегрируемости систем двух уравнений. I /
А. В. Михайлов, А. Б. Шабат // Теор. мат. физика. — 1985. — Т. 62. —
C. 163–185.
4. Овсянников Л. В. Групповой анализ дифференциальных уравнений /
Л. В. Овсянников. — М. : Наука, 1978. — 400 с.
5. Cherniha R. Lie Symmetries of Nonlinear Multidimensional Reaction-
Diffusion Systems: I / R. Cherniha, J. R. King // J. Phys. A: Math. Gen. —
2000. — Vol. 33. — P. 267–282.
6. Cherniha R. Lie Symmetries of Nonlinear Multidimensional Reaction-
Diffusion Systems: II / R. Cherniha, J. R. King // J. Phys. A: Math. Gen. —
2003. — Vol. 36. — P. 405–425.
7. Cherniha R. New conditional symmetries and exact solutions of reaction–
diffusion systems with power diffusivities / R. Cherniha, O. Pliukhin // J. Phys.
A: Math. Theor. — 2008. — Vol. 41. — P. 185–208.
Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 7
265
8. Cherniha R. Conditional symmetries for systems of PDEs: new definition and
its application for reaction-diffusion systems / R. Cherniha // J. Phys. A: Math.
Theor. — 2010. — Vol. 43.
9. Cherniha R. Conditional symmetries and exact solutions of nonlinear reaction-
diffusion systems with non-constant diffusivities / R. Cherniha, V. Davydovych //
Commun. Nonlinear Sci. Numer. Simulat. — 2012. — Vol. 17. — P. 3177–3188.
Exact solutions and their application for a class of two-component
reaction-diffusion (RD) systems with constant diffusivities are studied.
Using the recently introduced notion of Q -conditional symmetries of the
first type (R. Cherniha J. Phys. A: Math. Theor., 2010. vol. 43., 405207),
some RD systems admitting such symmetry are derived. The symmetries
found for reducing RD systems to ODE systems and finding exact solu-
tions are applied. The application of the solutions obtained for solving a
model arising in mathematical biology is presented.
Key words: reaction-diffusion system, predator-prey type model,
conditional symmetry, exact solution.
Отримано: 03.05.2012
УДК 519.217;519.718
В. К. Ясинський, д-р фіз.-мат. наук, професор,
Б. В. Савчук, аспірант
Чернівецький національний університет
імені Юрія Федьковича, м. Чернівці
ТЕОРЕТИЧНІ ОСНОВИ МЕТОДУ УСЕРЕДНЕННЯ
ДЛЯ КВАЗІЛІНІЙНИХ СТОХАСТИЧНИХ
ДИФЕРЕНЦІАЛЬНО-ФУНКЦІОНАЛЬНИХ РІВНЯНЬ
Отримано достатні умови експоненціальної стійкості в се-
редньому квадратичному тривіального розв’язку задачі Коші
для квазілінійного стохастичного диференціально-функціо-
нального рівняння за допомогою усередненого рівняння.
Ключові слова: задача Коші, квазілінійне стохастичне
диференціально-функціональне рівняння, метод усереднення,
експоненціальна стійкість, стійкість в середньому квадрати-
чному, малий параметр.
Вступ
Багато математичних моделей реальних об’єктів описуються дифе-
ренціальними рівняннями з випадковими параметрами. Якщо випадкові
збурення такі, що динаміка поведінки об’єкта в майбутньому не зале-
© В. К. Ясинський, Б. В. Савчук, 2012
<<
/ASCII85EncodePages false
/AllowTransparency false
/AutoPositionEPSFiles true
/AutoRotatePages /All
/Binding /Left
/CalGrayProfile (Gray Gamma 2.2)
/CalRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1)
/CalCMYKProfile (Coated FOGRA27 \050ISO 12647-2:2004\051)
/sRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1)
/CannotEmbedFontPolicy /Warning
/CompatibilityLevel 1.3
/CompressObjects /Tags
/CompressPages true
/ConvertImagesToIndexed true
/PassThroughJPEGImages true
/CreateJobTicket false
/DefaultRenderingIntent /Default
/DetectBlends true
/DetectCurves 0.1000
/ColorConversionStrategy /sRGB
/DoThumbnails false
/EmbedAllFonts true
/EmbedOpenType false
/ParseICCProfilesInComments true
/EmbedJobOptions true
/DSCReportingLevel 0
/EmitDSCWarnings false
/EndPage -1
/ImageMemory 1048576
/LockDistillerParams false
/MaxSubsetPct 100
/Optimize true
/OPM 1
/ParseDSCComments true
/ParseDSCCommentsForDocInfo true
/PreserveCopyPage true
/PreserveDICMYKValues true
/PreserveEPSInfo false
/PreserveFlatness false
/PreserveHalftoneInfo false
/PreserveOPIComments false
/PreserveOverprintSettings true
/StartPage 1
/SubsetFonts true
/TransferFunctionInfo /Apply
/UCRandBGInfo /Remove
/UsePrologue false
/ColorSettingsFile ()
/AlwaysEmbed [ true
]
/NeverEmbed [ true
/Arial-Black
/Arial-BlackItalic
/Arial-BoldItalicMT
/Arial-BoldMT
/Arial-ItalicMT
/ArialMT
/ArialNarrow
/ArialNarrow-Bold
/ArialNarrow-BoldItalic
/ArialNarrow-Italic
/ArialUnicodeMS
/CenturyGothic
/CenturyGothic-Bold
/CenturyGothic-BoldItalic
/CenturyGothic-Italic
/CourierNewPS-BoldItalicMT
/CourierNewPS-BoldMT
/CourierNewPS-ItalicMT
/CourierNewPSMT
/Georgia
/Georgia-Bold
/Georgia-BoldItalic
/Georgia-Italic
/Impact
/LucidaConsole
/Tahoma
/Tahoma-Bold
/TimesNewRomanMT-ExtraBold
/TimesNewRomanPS-BoldItalicMT
/TimesNewRomanPS-BoldMT
/TimesNewRomanPS-ItalicMT
/TimesNewRomanPSMT
/Trebuchet-BoldItalic
/TrebuchetMS
/TrebuchetMS-Bold
/TrebuchetMS-Italic
/Verdana
/Verdana-Bold
/Verdana-BoldItalic
/Verdana-Italic
]
/AntiAliasColorImages false
/CropColorImages false
/ColorImageMinResolution 150
/ColorImageMinResolutionPolicy /OK
/DownsampleColorImages true
/ColorImageDownsampleType /Bicubic
/ColorImageResolution 150
/ColorImageDepth -1
/ColorImageMinDownsampleDepth 1
/ColorImageDownsampleThreshold 1.50000
/EncodeColorImages true
/ColorImageFilter /DCTEncode
/AutoFilterColorImages true
/ColorImageAutoFilterStrategy /JPEG
/ColorACSImageDict <<
/QFactor 0.76
/HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2]
>>
/ColorImageDict <<
/QFactor 0.76
/HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2]
>>
/JPEG2000ColorACSImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 15
>>
/JPEG2000ColorImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 15
>>
/AntiAliasGrayImages false
/CropGrayImages false
/GrayImageMinResolution 150
/GrayImageMinResolutionPolicy /OK
/DownsampleGrayImages true
/GrayImageDownsampleType /Bicubic
/GrayImageResolution 150
/GrayImageDepth -1
/GrayImageMinDownsampleDepth 2
/GrayImageDownsampleThreshold 1.50000
/EncodeGrayImages true
/GrayImageFilter /DCTEncode
/AutoFilterGrayImages true
/GrayImageAutoFilterStrategy /JPEG
/GrayACSImageDict <<
/QFactor 0.76
/HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2]
>>
/GrayImageDict <<
/QFactor 0.76
/HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2]
>>
/JPEG2000GrayACSImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 15
>>
/JPEG2000GrayImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 15
>>
/AntiAliasMonoImages false
/CropMonoImages false
/MonoImageMinResolution 1200
/MonoImageMinResolutionPolicy /OK
/DownsampleMonoImages true
/MonoImageDownsampleType /Bicubic
/MonoImageResolution 1200
/MonoImageDepth -1
/MonoImageDownsampleThreshold 1.50000
/EncodeMonoImages true
/MonoImageFilter /CCITTFaxEncode
/MonoImageDict <<
/K -1
>>
/AllowPSXObjects true
/CheckCompliance [
/PDFX1a:2001
]
/PDFX1aCheck false
/PDFX3Check false
/PDFXCompliantPDFOnly false
/PDFXNoTrimBoxError true
/PDFXTrimBoxToMediaBoxOffset [
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
]
/PDFXSetBleedBoxToMediaBox true
/PDFXBleedBoxToTrimBoxOffset [
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
]
/PDFXOutputIntentProfile (None)
/PDFXOutputConditionIdentifier ()
/PDFXOutputCondition ()
/PDFXRegistryName ()
/PDFXTrapped /False
/CreateJDFFile false
/Description <<
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
/BGR <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>
/CHS <FEFF4f7f75288fd94e9b8bbe5b9a521b5efa7684002000410064006f006200650020005000440046002065876863900275284e8e55464e1a65876863768467e5770b548c62535370300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c676562535f00521b5efa768400200050004400460020658768633002>
/CHT <FEFF4f7f752890194e9b8a2d7f6e5efa7acb7684002000410064006f006200650020005000440046002065874ef69069752865bc666e901a554652d965874ef6768467e5770b548c52175370300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c4f86958b555f5df25efa7acb76840020005000440046002065874ef63002>
/CZE <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>
/DAN <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>
/DEU <FEFF00560065007200770065006e00640065006e0020005300690065002000640069006500730065002000450069006e007300740065006c006c0075006e00670065006e0020007a0075006d002000450072007300740065006c006c0065006e00200076006f006e002000410064006f006200650020005000440046002d0044006f006b0075006d0065006e00740065006e002c00200075006d002000650069006e00650020007a0075007600650072006c00e40073007300690067006500200041006e007a006500690067006500200075006e00640020004100750073006700610062006500200076006f006e00200047006500730063006800e40066007400730064006f006b0075006d0065006e00740065006e0020007a0075002000650072007a00690065006c0065006e002e00200044006900650020005000440046002d0044006f006b0075006d0065006e007400650020006b00f6006e006e0065006e0020006d006900740020004100630072006f00620061007400200075006e0064002000520065006100640065007200200035002e003000200075006e00640020006800f600680065007200200067006500f600660066006e00650074002000770065007200640065006e002e>
/ENU (Use these settings to create Adobe PDF documents suitable for reliable viewing and printing of business documents. Created PDF documents can be opened with Acrobat and Adobe Reader 5.0 and later.)
/ESP <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>
/ETI <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>
/FRA <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>
/GRE <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>
/HEB <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>
/HRV (Za stvaranje Adobe PDF dokumenata pogodnih za pouzdani prikaz i ispis poslovnih dokumenata koristite ove postavke. Stvoreni PDF dokumenti mogu se otvoriti Acrobat i Adobe Reader 5.0 i kasnijim verzijama.)
/HUN <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>
/ITA (Utilizzare queste impostazioni per creare documenti Adobe PDF adatti per visualizzare e stampare documenti aziendali in modo affidabile. I documenti PDF creati possono essere aperti con Acrobat e Adobe Reader 5.0 e versioni successive.)
/JPN <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>
/KOR <FEFFc7740020c124c815c7440020c0acc6a9d558c5ec0020be44c988b2c8c2a40020bb38c11cb97c0020c548c815c801c73cb85c0020bcf4ace00020c778c1c4d558b2940020b3700020ac00c7a50020c801d569d55c002000410064006f0062006500200050004400460020bb38c11cb97c0020c791c131d569b2c8b2e4002e0020c774b807ac8c0020c791c131b41c00200050004400460020bb38c11cb2940020004100630072006f0062006100740020bc0f002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e00300020c774c0c1c5d0c11c0020c5f40020c2180020c788c2b5b2c8b2e4002e>
/LTH <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>
/LVI <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>
/NLD (Gebruik deze instellingen om Adobe PDF-documenten te maken waarmee zakelijke documenten betrouwbaar kunnen worden weergegeven en afgedrukt. De gemaakte PDF-documenten kunnen worden geopend met Acrobat en Adobe Reader 5.0 en hoger.)
/NOR <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>
/POL <FEFF0055007300740061007700690065006e0069006100200064006f002000740077006f0072007a0065006e0069006100200064006f006b0075006d0065006e007400f300770020005000440046002000700072007a0065007a006e00610063007a006f006e00790063006800200064006f0020006e00690065007a00610077006f0064006e00650067006f002000770079015b0077006900650074006c0061006e00690061002000690020006400720075006b006f00770061006e0069006100200064006f006b0075006d0065006e007400f300770020006600690072006d006f0077007900630068002e002000200044006f006b0075006d0065006e0074007900200050004400460020006d006f017c006e00610020006f007400770069006500720061010700200077002000700072006f006700720061006d006900650020004100630072006f00620061007400200069002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e0030002000690020006e006f00770073007a0079006d002e>
/PTB <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>
/RUM <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>
/SKY <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>
/SLV <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>
/SUO <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>
/SVE <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>
/TUR <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>
/UKR <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>
/RUS <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>
>>
/Namespace [
(Adobe)
(Common)
(1.0)
]
/OtherNamespaces [
<<
/AsReaderSpreads false
/CropImagesToFrames true
/ErrorControl /WarnAndContinue
/FlattenerIgnoreSpreadOverrides false
/IncludeGuidesGrids false
/IncludeNonPrinting false
/IncludeSlug false
/Namespace [
(Adobe)
(InDesign)
(4.0)
]
/OmitPlacedBitmaps false
/OmitPlacedEPS false
/OmitPlacedPDF false
/SimulateOverprint /Legacy
>>
<<
/AllowImageBreaks true
/AllowTableBreaks true
/ExpandPage false
/HonorBaseURL true
/HonorRolloverEffect false
/IgnoreHTMLPageBreaks false
/IncludeHeaderFooter false
/MarginOffset [
0
0
0
0
]
/MetadataAuthor ()
/MetadataKeywords ()
/MetadataSubject ()
/MetadataTitle ()
/MetricPageSize [
0
0
]
/MetricUnit /inch
/MobileCompatible 0
/Namespace [
(Adobe)
(GoLive)
(8.0)
]
/OpenZoomToHTMLFontSize false
/PageOrientation /Portrait
/RemoveBackground false
/ShrinkContent true
/TreatColorsAs /MainMonitorColors
/UseEmbeddedProfiles false
/UseHTMLTitleAsMetadata true
>>
<<
/AddBleedMarks false
/AddColorBars false
/AddCropMarks false
/AddPageInfo false
/AddRegMarks false
/BleedOffset [
0
0
0
0
]
/ConvertColors /ConvertToRGB
/DestinationProfileName (sRGB IEC61966-2.1)
/DestinationProfileSelector /UseName
/Downsample16BitImages true
/FlattenerPreset <<
/PresetSelector /MediumResolution
>>
/FormElements true
/GenerateStructure false
/IncludeBookmarks false
/IncludeHyperlinks false
/IncludeInteractive false
/IncludeLayers false
/IncludeProfiles true
/MarksOffset 6
/MarksWeight 0.250000
/MultimediaHandling /UseObjectSettings
/Namespace [
(Adobe)
(CreativeSuite)
(2.0)
]
/PDFXOutputIntentProfileSelector /DocumentCMYK
/PageMarksFile /RomanDefault
/PreserveEditing true
/UntaggedCMYKHandling /UseDocumentProfile
/UntaggedRGBHandling /LeaveUntagged
/UseDocumentBleed false
>>
]
>> setdistillerparams
<<
/HWResolution [600 600]
/PageSize [419.528 595.276]
>> setpagedevice
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-48893 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | XXXX-0059 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T13:21:54Z |
| publishDate | 2012 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Черніга, Р.М. Давидович, В.В. 2013-09-05T10:56:34Z 2013-09-05T10:56:34Z 2012 Нелінійні системи реакції-дифузії: побудова точних розв'язків та їх біологічна інтерпретація / Р.М. Черніга, В.В. Давидович // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2012. — Вип. 7. — С. 259-265. — Бібліогр.: 9 назв. — укр. XXXX-0059 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/48893 517.9: 95 Вивчаються точні розв'язки та їх застосування для класу двокомпонентної системи реакції-дифузії (РД) зі сталими коефіцієнтами дифузії. За допомогою нещодавно введеного поняття Q -умовної симетрії першого типу (R. Cherniha J. Phys. A: Math. Theor., 2010. vol. 43., 405207) отримано системи РД, які допускають вказану симетрію. Знайдену симетрію застосовано для проведення редукції систем РД до систем звичайних диференціальних рівнянь (ЗДР) та побудови точних розв'язків. Подано застосування отриманих розв'язків до розв'язання однієї моделі з математичної біології. Exact solutions and their application for a class of two-component reaction-diffusion (RD) systems with constant diffusivities are studied. Using the recently introduced notion of Q -conditional symmetries of the first type (R. Cherniha J. Phys. A: Math. Theor., 2010. vol. 43., 405207), some RD systems admitting such symmetry are derived. The symmetries found for reducing RD systems to ODE systems and finding exact solutions are applied. The application of the solutions obtained for solving a model arising in mathematical biology is presented. uk Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки Нелінійні системи реакції-дифузії: побудова точних розв'язків та їх біологічна інтерпретація Article published earlier |
| spellingShingle | Нелінійні системи реакції-дифузії: побудова точних розв'язків та їх біологічна інтерпретація Черніга, Р.М. Давидович, В.В. |
| title | Нелінійні системи реакції-дифузії: побудова точних розв'язків та їх біологічна інтерпретація |
| title_full | Нелінійні системи реакції-дифузії: побудова точних розв'язків та їх біологічна інтерпретація |
| title_fullStr | Нелінійні системи реакції-дифузії: побудова точних розв'язків та їх біологічна інтерпретація |
| title_full_unstemmed | Нелінійні системи реакції-дифузії: побудова точних розв'язків та їх біологічна інтерпретація |
| title_short | Нелінійні системи реакції-дифузії: побудова точних розв'язків та їх біологічна інтерпретація |
| title_sort | нелінійні системи реакції-дифузії: побудова точних розв'язків та їх біологічна інтерпретація |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/48893 |
| work_keys_str_mv | AT černígarm nelíníinísistemireakcíídifuzíípobudovatočnihrozvâzkívtaíhbíologíčnaínterpretacíâ AT davidovičvv nelíníinísistemireakcíídifuzíípobudovatočnihrozvâzkívtaíhbíologíčnaínterpretacíâ |